第十二章 光的衍射
12光的衍射1
对夫琅和费衍射： 对夫琅和费衍射：
K (θ ) Ep = C ∫ cos(ω t − kr ) dS = C1 ∫ cos(ω t − kr ) dS r
夫琅和费衍射积分
13. 2 单缝夫琅和费衍射
单缝即是在遮光屏上开出的一条宽度远较长度为小的透光狭缝。 单缝即是在遮光屏上开出的一条宽度远较长度为小的透光狭缝。
二、菲涅尔衍射积分方法 1、光强分布公式的推导 、 由费涅尔衍射积分： 由费涅尔衍射积分：
E p = c1 ∫ cos(ω t − kr ) ds缝衍射的光强分布公式 积分面元： ds = b ⋅ dx 积分面元： 由O点（狭缝中心）到场 点 狭缝中心） 的光程为r 点P的光程为 0 的光程为 由狭缝上的任意一点D（其 由狭缝上的任意一点 （ 坐标为x） 点的光程为r 坐标为 ）到P点的光程为 点的光程为 则 ： r = r0 − ON = r0 − x sin θ
K (θ ) E p = ∫ dE p = C ∫ cos(ω t − kr ) dS r
——菲涅尔衍射积分 ——菲涅尔衍射积分 利用这个积分， 利用这个积分，就可以求得衍射的光强分布问题 干涉与衍射有什么区别？ 干涉与衍射有什么区别？ 菲涅尔衍射理论是建立在子波干涉的基础上。 菲涅尔衍射理论是建立在子波干涉的基础上。可以说衍 射和干涉没有质的区别， 射和干涉没有质的区别，二者都是建立在相干叠加的基 础上，只是一般干涉是指有限多束的叠加， 衍射则是 干涉是指有限多束的叠加 础上，只是一般干涉是指有限多束的叠加，而衍射则是 无限多束子波的叠加 的叠加。 无限多束子波的叠加。
倾斜因子K( 的具体表达式 倾斜因子 θ)的具体表达式 菲涅尔对 K假设： 假设：
θ↑，K(θ)↓是单调递减函数 θ=0，K(θ)=1 =0， θ≥π/2，K(θ)=0，无回头波假定 /2， )=0，
高中物理：光学-光的衍射
高中物理：光学-光的衍射光的衍射是光学中的经典知识点，其在多个领域都有着广泛的应用，例如显微镜、天文望远镜等。
本文将详细介绍光的衍射的基本概念、衍射定理、夫琅禾费衍射以及常见的实验方法。
一、光的衍射的基本概念光的衍射是指光通过一个孔或者通过物体表面的缝隙后，光波会扩散成为一组新的光波，这种现象被称为光的衍射。
在光的衍射中，光波会形成一些明暗交替的区域，这些区域被称为衍射图样，其形状和孔或者缝隙的大小和形状有关。
二、衍射定理衍射定理是光学中最重要的定理之一，它是描述从一个孔或者一个光源丝的发射的光经过另一个孔或者缝隙后产生的光的波前的变化情况。
衍射定理可以用来计算衍射图案的形状，以及通过使用光的衍射图案来确定物体的大小和形状。
衍射定理的公式如下所示：sinθ = nλ/d其中，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长，d是孔或者缝隙的宽度。
三、夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射是一种典型的衍射现象，它是一种发生在单缝或双缝上的衍射现象。
夫琅禾费衍射的衍射图样是一组纵向的亮暗条纹。
夫琅禾费衍射的公式如下所示：dsinθ = nλ其中，d是缝隙的大小，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长。
四、实验方法实验方法是研究光的衍射现象的重要手段。
常见的光的衍射实验方法包括单缝衍射实验、双缝干涉实验、格点衍射实验等。
（1）单缝衍射实验单缝衍射实验是研究光的衍射现象的最简单的实验方法之一，它可以通过一个狭窄的孔洞使光波扩散成为一个圆形的波前来观察光的衍射现象。
（2）双缝干涉实验双缝干涉实验是研究光的干涉现象的重要实验方法，它可以通过两个狭缝使光波扩散成为一组具有干涉现象的亮暗条纹。
（3）格点衍射实验格点衍射实验是一种研究光的衍射现象的实验方法，它可以通过一个光栅来使光波扩散成为一组具有规律的亮暗条纹。
五、练习题1. 一束波长为500nm的光穿过一个宽度为0.3mm的单缝后，经过距离1m的观察屏时，其衍射图样的第五个主极大的位置距离中心线的距离是多少？参考答案：0.30mm2. 光通过一组双缝（缝距为0.1mm，缝宽为0.05mm），在距离屏幕40cm处出现了一组亮暗条纹。
光的衍射课件PPT课件课件
C.衍射条纹的疏密程度与狭缝宽度有关 D.衍射条纹的间距与光的波【长A有CD关】
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练习3：观察实验回答下列问题
1.在观察光的衍射现象的实验中,通过紧
靠眼睛的卡尺测脚形成的狭缝,观看远处
的日光灯管或线状白炽灯丝(灯管或灯丝
都要平行于狭缝),可以看到
A.黑白相间的直条纹 B.黑白相间的弧形条纹
5 、关于衍射下列说法正确的是
ABD
A．衍射现象中衍射花样有亮暗条纹的出现是光的叠加
的结果
B．双缝干涉中也存在着光的衍射现象
C．影的存在是一个与衍射现象相矛盾的客观事实
D．一切波都可以产生衍射
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6 、用点燃的蜡烛照亮一个带有圆孔的遮光板，当圆孔的直
径由数厘米逐渐减小为零的过程中，位于遮光板后面的屏上将依
关于光的衍射课件PPT课件
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复习提问
问题1.什么是波的衍射现象？
问题2.发生明显衍பைடு நூலகம்的条件是什么？
障碍物或孔的尺寸跟波长差不多或比波长小。
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光的衍射
光的干涉现象反映了光的波动性，而波动性的 另一特征是波的衍射现象，光是否具有衍射现象 呢？如果有衍射现象，为什么在日常生活中我们 没有观察到光的衍射现象呢？
中央亮纹越宽
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光的衍射
一、单缝衍射
1 衍射图样：明暗相间且不等距条纹 2
1)波长一定时，单缝越窄,中央条纹越宽，各条纹间距越大．
2)单缝不变时，波长大的中央亮纹越宽，条纹间隔越大
3)白光的单缝衍射条纹为中央亮,两侧为彩色条纹，
且外侧呈红色，靠近光源的内侧为紫色．
工程光学习题参考答案第十二章-光的衍射
第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 11 4.493 0.047182 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为λθ∆=图12-50 习题3图解：设直径为a ，则有f d aλ=4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
∴P 当（12449416a ca ⎫-=⎪⎭ ∴()()09016aI I = （2）第一暗纹有()()22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-= 查表可有 3.144ka θ=4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61aλθ=∴传到月球上时光斑直径为（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。
工程光学：第十二章 光的衍射
600 n m
28°
*LI
2×6×10 - 4 0.469
2.56×10 - 3(mm)
由第三级谱缺级判断
而且第三级谱缺级
光栅常数（a+b） a 的可能最小宽度 在上述条件下最 多能看到多少条 谱线
0.85×10 - 3(mm)
max
4.27 取整数4
4 （ 3） 2 1 0 1 2 （3） 4
（缺）
(1) 各主极大受到单缝衍射的调制 (2) d /a为整数比时，会出现缺级
d sin k
a sin k '
k d k' a
例; d / a = 4
K’=±1，±2…
缺±4,±8,±12 ……项
52
N=3
N=3, d/a=2
53
N=3, d/a=3 N=3, d/a=4
54
三 光栅光谱
三 光栅光谱 三 光栅光谱
的平行光垂直入射宽度a = 2λ的单缝,则
对应第一级暗纹的衍射角θ= __6_, 单缝
处波面可分成的半波带数目为__2__;中央
明纹的角宽度φ=____/ 3;
asin k
θ
sin 1
a2
a
θ
2
2
31
LI
1
角宽度： 2.0103 rad
线宽度：
d 2 ftg1 2 f 1 2 f a
2
2
三个半波带
亮条纹
29
例.在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ 的平行光垂直入射宽LI 度a = 5λ的单缝,对 应于衍射角300的方向,单缝处波面可分成 的半波带数目为 5 条;是__明__(明,暗)纹.
a sin 5 sin 30
大学物理 第十二章 波动光学2
2 又，明纹所在处x满足： x tg 1.5 0.003 , f 500
2 0.5 1.5 3 104 2ax / f 107 m A λ (2k 1) 500 2k 1 2k 1
白光波长范围4000—7000Å，满足上式的波长值即为所求：
• • • •
例题：已知单缝宽a=0.5mm，透镜焦距f=50cm，今以白光垂直照 射狭缝，在观察屏上x=1.5mm处看到明纹极大，求： （1）入射光的波长及衍射级数； （2）单缝所在处的波阵面被分成的波带数目。
[解]： （1）由明纹条件： a sin (2k 1)
x 很小 。 sin ≈ tg f
sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称次极大。
2、明暗纹中心位置坐标
(1)中央明纹中心位置 x=0
xk t g k f
tgk sin k
x xk
k
中 O 央 明 纹
k2
k 1
(1)
(2)
f
（2）暗纹中心位置坐标
由 a sin k k 及式(1)、(2) 得
二、光学仪器的分辨本领
1.22 1 D
D
瑞 利 判 据
定义
分辨本领
D R 1.22
1
刚可分辨
非相干叠加
不可分辨
瑞利判据 : 对于两个等光强的非相
干物点,若其中一点的象斑中心恰好落 在另一点的象斑的边缘(第一暗纹处), 则此两物点被认为是刚刚可以分辨。
当 再 ， =3/2时，可将缝分成三个“半波带”，
B a A θ a B θ
大学物理第12章光的衍射ppt课件
dsin m 光栅公式
斜入射
d(si n sin o)m
o
(m 0 , 1 , 2 )
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.
19
2、极小— G = 0 的位置
G s inN s in
k 0 1 2 … N-1 N
当 k
m 0 （ N-1个极小） 1
k
N
1,2,
大
0 级
（N-2） 个次极大
大1 级
且k 0，N 主
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.
1
12.1 惠更斯—菲涅耳原理
12.2 单缝夫琅禾费衍射
12.3 光学仪器的分辨本领
12.4 衍射光栅
12.5 X 射线的衍射
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.
2
12.1惠更斯—菲涅耳原理 一、光的衍射现象
当障碍物的线度接近光的波长，衍射现象
尤其显著。 a < 0.1m m
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k22级 暗 纹
a 2
sin ?
k k 1 1..5 51级明纹
k11级 暗 纹
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.
12
x
四、光强分布
设中央明纹中心光强 I0
IP
I0
s
i n
2
as in
得暗纹公式
o
I
I0
k
asink
IP 0
0
sin0 1 0
0
I0I0
明纹中心衍射角
asin 11.43 asin 22.46 as in33.47
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.
a，d
d 不变，a 缩小中
央包络区变大， 显见谱线增多。
《大学物理》教学资料：第十二章光的衍射
入射波长和中央明纹宽度的关系
越大， 1越大，衍射效应越明显.
第 16 页
（3）条纹宽度（相邻条纹间距）
x
f k1
f k
f
a
(k 很小)
除了中央明纹外的其 它明纹、暗纹的宽度
（4）单缝衍射的动态变化 单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .
R
单缝上移，零级明
解： (a b)sin k
sin 31
31
(a b)
sin 32
32
(a b)
x2
1
x1
f
x31 f tg31 x32 f tg32 sin tg
x f (tg32 tg31)
f ( 32 31 ) 0.006 m
解 由单缝衍射示意图可知，
两侧第一级暗纹所夹的即 为中央明条纹。
asin k
sin
x 2 f
a
tan
2f
a
x
2 546 109 0.40 0.437 103
1.0 103
m
第 19 页
例 用波长=632.8nm的平行光垂直入射于宽度a=1.5×10-4m的单缝
a
a
(1很小)
第一暗纹距中心的距离
x1 1 f
a
f
RL
a
P
x
o
f
第 12 页
（2）中央明纹的宽度 当衍射角很小时，
中央明纹的半角宽：
a
其他各级明纹的角宽：
大学物理第12章光的衍射
光通过狭缝后，会向四周扩散，形成 衍射现象。衍射图样的形状和大小与 狭缝的宽度和光波长有关。
多缝干涉与衍射的应用
光学仪器设计
干涉和衍射原理被广泛应用于光学仪器设计，如望远镜、显微镜 等，以提高成像质量和分辨率。
物理实验研究
多缝干涉和衍射实验是研究光波性质的重要手段，有助于深入理解 光的波动性和相干性。
光源
圆孔
选择单色光源，如激光， 以产生相干性好的光束。
制作一个具有特定直径 的圆孔，作为衍射的障
碍物。
屏幕
放置在圆孔后方，用于 接收衍射后的光束。
测量工具
测量衍射图案的直径、 形状和强度分布。
圆孔衍射的规律
中央亮斑
通过圆孔衍射形成的中央亮斑是各向同性的，其 直径与圆孔的直径成正比。
衍射角
衍射角与波长和圆孔直径有关，随着波长的增加， 衍射角减小。
该理论可以解释光的干涉、衍射和散射等现象，是光学领域的重要理论之一。
03 单缝衍射
单缝衍射实验装置
01
02
03
光源
使用单色光作为光源，如 激光，以保证光的相干性。
单缝
单缝的宽度决定了衍射的 程度，缝宽越窄，衍射现 象越明显。
屏幕
用于接收衍射光斑，记录 衍通过单缝后，会在屏幕中央形成最亮的光斑。
夜空中星星发出的光在穿过大气层时， 由于大气的密度和温度变化，使得星 光发生衍射，产生了闪烁现象。
02 光的衍射理论
惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯-菲涅尔原理是光的衍射理论的基础，它指出波前上的 每一点都可以被视为新的波源，这些波源发出的波在空间中 相互叠加，形成衍射现象。
该原理可以解释光的直线传播、反射和折射等现象，是光学 领域的重要理论之一。
第12章 光的衍射
第十二章 光的衍射一、选择题12.1 一束波长为λ的平行单色光垂直射到一单缝AB 上，装置如图，在屏幕D 上形成衍射图样，如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则BC 的长为[ ] （A ）λ （B ）2λ （C ）23λ （D ）λ212.2 波长为λ的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为6πθ±=，则狭缝的大小为[ ]（A ）2λ （B ）λ （C ）λ2 （D ）λ312.3 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为λ4=a 的单缝上，对应于衍射角为︒30的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为[ ] （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个二、填空题12.4 一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第三级明纹位置恰与波长为600nm 的单色光垂直入射该缝时衍射的第2级明纹位置重合，则该单色光波长 。
12.5 一块光栅，每毫米有400条刻痕线，用波长范围在400nm~590nm 的复色光垂直照射，可以测得 级不重叠的完整光谱。
12.6 光强均为0I 的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是。
12.7 单缝宽度mm a 02.0=，用平行光的纳黄光（nm 3.589=λ）垂直照射到狭缝上，一级暗纹的衍射角=1φ 弧度；若将此装置全部浸入折射率为62.1=n 的溶液中，一级明纹的衍射角将为 弧度。
P D12.8 单色平行光垂直射向缝数足够多的透射光栅，此时将在屏幕上得到一组光栅谱线。
现将光栅的奇数（或偶数）号缝遮住，则将看到屏幕上相邻谱线的间距变为原来的 倍。
12.9 一束平行光垂直入射在光栅上，若光栅的透明部分a 是不透明部分b 宽度的一半，则衍射光谱缺级的可能级次为 。
12.10 若X 射线以掠射角︒=300α入射，已知晶体原子层的间距nm d 275.0=，则第三级谱线的波长是 nm 。
二、计算题12.11 使波长为480nm 的单色光垂直入射到每毫米有250条狭缝的光栅上，光栅常数为一条缝宽的3倍，求（1）第一级谱线的角位置； （2）总共可以观察到几条光谱线？12.12 用白光（白光所含光波波长范围为400~760nm ）照射一光栅，通过透镜将衍射光谱聚焦于屏幕上，透镜与屏幕距离为0.8m ，（1）试说明第一级光谱能否出现完整的不重叠的光谱； （2）第二级光谱从哪一个波长开始与第三级光谱发生重叠？（3）若第二级光谱被重叠的部分长度为2.5cm ，求这光栅每cm 有多少条刻痕？12.13 在宽度mm b 6.0=的单缝后有一薄透镜，其焦距cm f 40=，在焦平面处有一个与狭缝平行的屏，以平行光垂直入射，在屏上形成衍射条纹。
2024版年度光的衍射ppt课件完整版
在实际应用中，需要根据具体情况判断是否满足夫琅禾费衍射的近似条 件。如果条件不满足，需要采用更精确的衍射理论或实验方法进行研究 和分析。
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数值计算方法在衍射中应用
2024/2/2
数值计算方法概述
数值计算方法是一种通过数学模型和计算机程序来模拟和分析物理现象的方法。在衍射领域，数值计算方法 可以用来计算衍射光场的分布、模拟衍射图案的形成过程等。
琅禾费衍射、菲涅尔衍射等。
2024/2/2
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衍射对光学系统影响
2024/2/2
分辨率限制
由于光的衍射现象，光学系统的分辨率受到一定限制。衍 射使得点光源在经过光学系统后形成一个有限大小的艾里 斑，从而影响了成像的清晰度。
光学仪器设计 在设计和制造光学仪器时，需要考虑衍射现象对成像质量 的影响。通过合理设计光学系统的结构和参数，可以减小 衍射现象对成像的不利影响。
光既具有波动性，又具有粒子性。波 动性表现在光的干涉、衍射等现象中。
光的波动性实验验证
通过双缝干涉、单缝衍射等实验，可 以观察到光波的干涉和衍射现象，从 而验证光的波动性。
光的波动模型
光波是一种电磁波，具有振幅、频率、 波长等特性。光波的传播遵循波动方 程。
2024/2/2
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波动性与衍射关系解析
衍射现象
实验结果
光栅衍射条纹具有等间距、等强度的 特点，且条纹间距与光波波长和光栅 常数有关。通过测量条纹间距和已知 光波波长，可以计算出光栅常数等参 数。
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04
衍射理论计算方法
2024/2/2
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菲涅尔-基尔霍夫衍射公式推导
衍射现象的基本描述
当光波遇到障碍物或通过小孔时，会偏离直线传播方向，形成衍射现象。
2024年高中物理新教材讲义：光的衍射
5光的衍射[学习目标] 1.知道光的衍射现象，了解产生明显衍射现象的条件(重点)。
2.知道衍射条纹的特点，会区分衍射条纹和干涉条纹(重难点)。
一、光的衍射1．用单色平行光照射狭缝，当缝很窄时，光没有沿直线传播，它绕过了缝的边缘，传播到了相当宽的地方。
这就是光的衍射现象。
2．各种不同形状的障碍物都能使光发生衍射，致使影的轮廓模糊不清，出现明暗相间的条纹。
3．发生明显衍射现象的条件：在障碍物或狭缝的尺寸足够小的时候，衍射现象十分明显。
有同学说：“光照到较大圆孔上出现大光斑，说明光沿着直线传播，光不再发生衍射现象”，这种说法对吗？答案不对。
衍射现象是一定会发生，大光斑说明光是沿直线传播的，衍射现象不明显，但大光斑的边缘模糊，正是光的衍射造成的。
三种衍射图样的特点：1．单缝衍射(1)单色光通过狭缝时，在屏上出现明暗相间的条纹，中央条纹最宽最亮，两侧的亮条纹逐渐变暗变窄；白光通过狭缝时，在屏上出现彩色条纹，中央为白色条纹。
(2)波长一定时，单缝窄的中央条纹宽，条纹间距大；单缝不变时，光波波长大的中央条纹宽，条纹间距大。
2.圆孔衍射：光通过小孔(孔很小)时，在光屏上出现明暗相间的圆环。
如图所示。
(1)中央是大且亮的圆形亮斑，周围分布着明暗相间的同心圆环，且越靠外，圆形亮条纹的亮度越弱，宽度越小。
(2)圆孔越小，中央亮斑的直径越大，同时亮度越弱。
(3)用不同单色光照射圆孔时，得到的衍射图样的大小和位置不同，波长越大，中央圆形亮斑的直径越大。
(4)白光的圆孔衍射图样中，中央是大且亮的白色光斑，周围是彩色的同心圆环。
3．圆板衍射(泊松亮斑)(1)若在单色光传播途中放一个较小的圆形障碍物，会发现在影的中心有一个亮斑，这就是著名的泊松亮斑。
衍射图样如图所示。
(2)中央是亮斑(与圆孔衍射图样中心亮斑比较，泊松亮斑较小)，圆板阴影的边缘是模糊的，在阴影外还有不等间距的明暗相间的圆环。
(1)衍射条纹和干涉条纹都是明暗相间的，所以二者是一样的。
大学物理第三版上海交大出版社答案光的衍射
a
0.437 ×10−3
19-2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为 λ 的单色光的第三极亮纹与波长 λ ' = 630 nm 的
单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长 λ 。
解：单缝衍射的明纹公式为： a sinϕ = (2k +1) λ ， 2
当 λ ' = 630 nm 时， k ' = 2 ，未知单色光的波长为 λ 、 k = 3 ，重合时 ϕ 角相同，所以有：
辨。
解：最小分辨角为：θ
= 1.22 λ
550 ×10−9 = 1.22 ×
= 2.2 ×10−4 rad
D
3 ×10−3
如果窗纱上两根细丝之间的距离为 2.0 mm ，人在 s 远处恰能分辨，则利用：
θ = l = 2.2×10−4 rad ，当 l = 2mm 时， s = 9.1m 。 s
19-5．波长为 500nm 和 520nm 的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为 0.002cm 的光栅 上，紧靠光栅后用焦距为 2m 的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的
19-7．如能用一光栅在第一级光谱中分辨在波长间隔 ∆λ = 0.18nm ，发射中心波长为 λ = 656.3nm 的红双线，则该光栅的总缝数至少为多少？
解：根据光栅的分辨本领： ∆λ = kN −1，令 k = 1 ，有： λ
N = ∆λ +1 = 653.3 +1 = 3646 + 1 = 3647 （条）。
射；（2）光线以入射角 30� 入射时，最多能看到几级条纹？
解：（1）正入射时，光栅常数为： a + b
10−3 =
=
2 ×10−6
大学物理光的衍射概论
13-1 光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理 一、 光的衍射现象：
屏幕
屏幕
阴 影
缝较大时，光是直线传播 缝变小，衍射现象明显 衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成。
二、惠更斯--菲涅尔原理
菲涅尔认为波面S上面
元dS发出的子波在P点的
（即位相差为） ，在P
点会聚时将“一一抵消”。
若AB面分成 奇数个半波带，出现亮纹
AC a sin
A . .. .C
3
2
a
A1 . A 2.φ
φ
x
.
P
亮纹公式：
B
f
a sin (2k 1) 2 (k 1,2,)
若AB面分成偶数个半波带，出现暗纹。
AC a sin
4
2
a
暗纹公式：
解：(a) asin (2k 1) / 2 亮纹
sin tg x / f
k ax 1 3
A. A1.
..
狭a(bs缝)in当处k波=(f阵32时k面，2可1 )分2成77个 2半波带a 。AAB23...φ
.
.C
φ
x P
f
三、讨论：
a sin 0
1、中央明纹很亮，出现在 0 处。
A A1
. .
.
.
.
.C
A 2.
A 3.φ
.
B
φ
x
P
a sin k
f (k 1,2,)
例：一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在
一个单缝上。已知单缝衍射的第一暗纹的衍射
角1=300，求该单缝的宽度a=?
工程光学习题解答 第十二章 光的衍射
第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 9134.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴===⨯⨯ 21150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 1 1 2 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a iλθ∆=证明：(1)(2)令(sin sin ai πθπλ==± ∴对于中央亮斑 sin sin i aλθ-=3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。
问细丝直径是多少解：设直径为a ，则有f d aλ=93632.8100.030.01261.510fa mm d λ--⨯⨯===⨯ 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
光的衍射夫琅禾费单缝衍射
k
0
1
-1
-2
-3
2
3
f
sin
0.047
0.017
1
I / I0
0
相对光强曲线
0.047
0.017
四. 光强：
中央明纹最亮，其它明纹光强迅速下降。
条纹间距
五、讨论
波长对衍射条纹的影响
缝宽对衍射条纹的影响
单缝位置对衍射条纹的影响
光源位置对衍射条纹的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
Single slit Double slit Three slit Seven slit More slit Double hole Square aperture
惠更斯- 菲涅耳原理：波前S上每一个面元dS都可以看成是发射球面子波的新波源，波场中P点的强度由各个子波在该点的相干叠加决定。
菲涅耳在惠更斯子波假说的基础上补充了子波相干叠加的概念。
波在前进过程中引起前方某点的总振动，为面 S 上各面元 dS 所产生子波在 P 点引起分振动的总和，即这些子波在 P 点的相干叠加。
夫琅禾费单缝衍射
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01
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光学作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝世。
（3）当 时会出现明显的衍射现象。 a <λ时条纹太暗。
(优选)第十二光的衍射
波阵面外任一点光振动应该是波面
上所有子波相干叠加的结果。
波面S上Q点的复振幅：
Z
E~Q
A
expikR
R
E~Q对P点的贡献为：
Q R
r
S
P
dE~
P
K
E~Q
eБайду номын сангаас
xpik
r
r
d
Z'
图3
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
2、惠更斯－菲涅耳原理
dE~P
K
E~Q
e
xpik
r
r
d
菲涅尔假设：
W献’和W” 对P的贡献可以忽略，近似正射入，
此时有： exp(ikl) exp(ilR)
l
RS
而在W上(nl) 0
R
w
(nl) p
p (nl),(nl) p
L
w"
图6 光波通过圆孔的惠更斯作图法
则
E~P＝－
i 2l
A
expikR
R
W
exp ik r1
r
cos
d
所以 K＝－ i 1 cos
cosn,
r
2
cosn,
l
d
P点：由 上多个虚设的子波源产生。
子波的原振幅与E（）成正比，与波长l成反比， 因子－i=exp.(-i/2·p)表示子波源振动的位相超前入射 波90度。
n
S l
Q
r
P
图4 球面波在孔径上的衍射
二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式（需要确定K()) 基尔霍夫从波动方程出发，用场论得出了比较严格的公式。
第12章-光的衍射-徐
3λ2 3λ1 sin ϕ2 = sin ϕ1 = b + b′ b + b′
ϕ1
f
x1 = f ⋅ tan ϕ1 x2 = f ⋅ tan ϕ2
sin ϕ ≈ tan ϕ
3λ2 3λ1 ∆x = f (tan ϕ2 − tan ϕ1 ) = f ( − ) = 0.006 m b + b′ b + b′
L
d
α
由 a ⋅ sinθ 1 = λ 有 sinθ1 =
λ
a
θ1
a
150
30 mm = = 0.15 0.20 m
L
d
α β
θ1
a
150
sinθ1 =
如图： 如图：
λ
a
= 0.15
→θ 1 ≈ 8.63°
α = 15° θ 1 = 23.63° + − β = 15° θ1 = 6.37°
L = d (ctg β − ctgα ) ) = 15(ctg 6.37° ctg 23.63° − ≈ 100 m
∴
总结： 总结：夫琅禾费单缝衍射
b sin ϕ = ±2k
λ
2
= ±kλ
(k = 1,2,3,K)
(k = 1,2,3,L)
条纹角宽度 条纹角宽度
中央明纹
暗纹
b sin ϕ = ±(2k + 1)
１ ２ ３ ４ ５
λ
2λ
答案： 答案：２π，暗点
１ ２ ３ ４ ５ 6
3λ
例２、如果单缝被分成６个半波带，则Ｐ点为第几级暗纹 如果单缝被分成６个半波带， 若缝缩小一半， 点为明条纹还是暗条纹，第几级？ ？若缝缩小一半，则Ｐ点为明条纹还是暗条纹，第几级？ 答案： 明条纹， 答案：(1)k=３[bsinϕ=2k(λ/2)]; (2) 明条纹，第一级 ３ ϕ λ (2)设：缝为a, 缝缩小一半为 设 缝为 缝缩小一半为a’
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第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 9134.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴===⨯⨯21150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 11 4.493 0.047182 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a iλθ∆=证明：(1))即可(2)令(sin sin ai πθπλ==± ∴对于中央亮斑 sin sin i aλθ-=3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。
问细丝直径是多少？解：设直径为a ，则有f d aλ=93632.8100.030.01261.510fa mm d λ--⨯⨯===⨯ 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
解：已知半径为a 的圆孔的衍射场振幅为()()122'a J ka E p a c ka θπθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦同样，圆屏使P 点振幅减小()()122'b J kb E p b c kb θπθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因此圆环在P 点产生的振幅为图12-50 习题3图 图12-51 习题6图()()22112'a b a J ka b J kb E E E c ka kb θθπθθ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∴P 点强度为()()222112224'a J ka b J kb I E c ka kb θθπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦对于衍射场中心，0θ=有()()2224422222222204'4'22442a b a b a b I c c c a b ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2ab =时， （1）()222242224904'28416a b a I c c a ca π⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()()09016a I I =（2）第一暗纹有()()22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-=()11122a aJ ka aJ k θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭查表可有 3.144ka θ=3.144 3.1440.512ka a aλλθπ∴==⋅=4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61aλθ= ∴传到月球上时光斑直径为9830.610.61632.810222 3.7610290.3110D l l km a λθ--⨯⨯=⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ （2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。
直径980.610.61632.810'2'22 3.7610145.2'2D l l m a λθ-⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯=5． 若望远镜能分辨角距离为7310rad -⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？ 解：970.610.615501022.243102D m λθ--⨯⨯⨯===⨯人眼分辨率为41' 2.910rad -≈⨯∴放大率472.910900310M --⨯≥⨯6． 若要使照相机感光胶片能分辨2m μ的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/至少有多大？（光波波长为550nm ）解： （1）胶片分辨率为31500210N -==⨯线/毫米 （2） 1.220.341490D N N d λ=⋅=7． 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm λ=时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为'1）。
解：（1）960.610.61400100.2910sin 0.85m n u λε--⨯⨯===⨯ （2）提高 1.45' 1.70.85ε== （3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为 42250250 2.9107.2510e mm mm εα--=⋅=⨯⨯=⨯∴放大率至少为237.2510425'0.2910 1.7e mm M mm εε--⨯===⨯⨯8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm λ=，透镜焦距50f cm =，观察到两相邻亮条纹之间的距离 1.5e mm =，并且第四级亮纹缺级。
试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。
解：（1）双缝衍射亮纹条件为sin ,0,1, 2..............d m m θλ==±± 取微分有 cos d m θθλ⋅∆=∆令1m ∆=，且cos 1θ≈，则dλθ∆又e f f dλθ=∆⋅=⋅933632.8100.50.21101.510fd me λ---⨯⨯∴===⨯⨯ （2）衍射极小位置为sin a n θλ=,1, 2............0,1, 2............a dn m n m∴==±±=±± 取1,4n m ==0.054da mm ∴== （3）对于第一级亮纹有sin d θλ=±即2sin 2d πδθπλ==±又4d a = sin 4a λθ∴=±sin 4a ππαθλ∴==± ∴第一级亮纹的相对强度222102sin sin sin 240.81sin 24I I πδαδπα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理32000.4,0.09I I I I ==9． 在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm ，折射率为1.5的玻璃片。
设双缝间距为1.5m μ，缝宽为0.5m μ，用波长500nm 的平行光垂直入射。
试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。
解：衍射图样不变，干涉位置变为()0sin d n n d m θλ+-=10． 一块光栅的宽度为10cm ，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm 。
问（1）它产生的波长632.8nm λ=的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm 和波长之相差0.5nm 的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？解：（1）611210500mm mmd m N -===⨯ 对于一级主极大有1sin 18.43d θλθ=⇒=︒31 3.3410cos fr mm Nd λθ-⋅∴==⨯同理32 4.0810r mm -=⨯ （2）sin d m θλ= ∴线色散cos l m fd δδθθ⋅=∴1，2级衍射线色散为 15000.26/0.002cos18.43l mm mm nm mm δδθ⎛⎫==⎪⋅︒⎝⎭ 20.64/l mm nm δδθ⎛⎫=⎪⎝⎭ 而0.5nm λ∆=∴谱线间距 110.26/0.50.13l l mm nm mm δλθ⎛⎫∆=∆=⨯=⎪∆⎝⎭ 20.32l mm ∆=11． 设计一块光栅，要求（1）使波长600nm λ=的第2级谱线的衍射角030θ≤，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长600nm λ=的2级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。
在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线？解：为使600nm λ=的二级谱线的衍射角30θ≤︒，则光栅常数d 应满足96260010 2.410sin sin 30m d m λθ--⨯⨯=≥=⨯︒∵色散cos d md d θλθ=∴d 越小色散越大 ∴62.410d m -=⨯若第三级缺级，应有630.810a m d -==⨯ 由条件（4）600150000.022N m λλ===∆⋅⨯∴光栅总长度36L N d mm =⋅=可看到最高级条纹为69sin 2.410460010d dm θλλ--⨯=<==⨯ ∴可看到0,1,2±±级，3±级缺级，共5条条纹。
12． 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm 的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz ），光栅需要有多宽？ 解：632.8nm 对应的频率为144.74110Hz ⨯641445010632.86104.74110nm νλλν-⨯∴∆=⋅=⨯=⨯∆⨯ ∴光栅总条纹数为64632.81.00510610N m λλ-===⨯∆⋅⨯ ∴长度为611.005108791200L Nd mm ==⨯⨯= 13． 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为220sin sin sin N I I αβαβ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式中()sin sin a i παθλ=-，()sin sin di πβθλ=- θ为衍射角；i 为入射角，见图12-53，N 为光栅缝数。