数列复习提纲
数列知识点总结大纲
数列知识点总结大纲一、数列的概念。
1.1 数列的定义。
1.2 数列的表示方法。
1.3 数列的通项公式。
二、常见数列。
2.1 等差数列。
2.2 等比数列。
2.3 斐波那契数列。
2.4 等差-等比数列。
三、数列的性质。
3.1 数列的有界性。
3.2 数列的单调性。
3.3 数列的极限。
四、数列的运算。
4.1 数列的加法运算。
4.2 数列的乘法运算。
4.3 数列的整体运算。
五、数列的应用。
5.1 数列在数学中的应用。
5.2 数列在生活中的应用。
5.3 数列在科学中的应用。
六、数列的发展与展望。
6.1 数列的历史发展。
6.2 数列的未来展望。
数列知识点总结大纲。
一、数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，通常用a1, a2, a3, …, an表示。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的概念是数学中非常基础的概念，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
二、常见数列。
1. 等差数列，等差数列是指数列中任意两个相邻的项之差都相等的数列，这个公共的差值称为公差，通常用d表示。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等比数列，等比数列是指数列中任意两个相邻的项之比都相等的数列，这个公共的比值称为公比，通常用q表示。
等比数列的通项公式为an = a1 q^(n-1)。
3. 斐波那契数列，斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列，通常用F(n)表示。
斐波那契数列的前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …。
4. 等差-等比数列，等差-等比数列是指数列中每一项都等于前一项加上一个公差再乘以一个公比的数列，通常用an = a1 + (n-1)d q表示。
三、数列的性质。
1. 数列的有界性，如果数列的项在某一范围内有界，那么这个数列就是有界的，否则就是无界的。
2. 数列的单调性，如果数列中的每一项都大于或等于它前面的项，那么这个数列就是递增的；如果数列中的每一项都小于或等于它前面的项，那么这个数列就是递减的。
数列知识点大纲总结
数列知识点大纲总结一、数列的概念和分类1. 数列的概念- 数列是由一系列有规律的数按照一定的顺序排列而成的数集合。
数列中每一个数称为该数列的项。
2. 数列的分类- 按照数列的性质和规律，数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列、递归数列等。
- 等差数列：数列中相邻两个项的差都相等的数列，这个差值称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两个项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
- 等差-等比数列：数列中相邻两个项的差的绝对值保持不变且相邻两项的比值保持不变的数列。
- 递归数列：数列中的每一项都是前面若干项的某种函数所确定的。
二、等差数列的性质和常用公式1. 等差数列的性质- 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an为数列的第n项，a1为数列的首项，d 为数列的公差。
- 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2 = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为数列的前n项和。
2. 等差数列的常用公式- 求和公式：Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 公差公式：d = (an - a1) / (n-1)三、等比数列的性质和常用公式1. 等比数列的性质- 等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中an为数列的第n项，a1为数列的首项，q为数列的公比。
- 等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn为数列的前n项和。
2. 等比数列的常用公式- 求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 公比公式：q = an / a(n-1)四、递推数列的性质和常用公式1. 递推数列的性质- 递推数列是指数列的每一项都是由其前面若干项通过递推公式所确定的数列。
2. 递推数列的常用公式- 递推数列的通项公式：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中f为递推函数，k为递推的项数。
数列知识点总结框架
数列知识点总结框架一、数列的概念和性质1. 数列的定义数列是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合，常用符号表示为{an}或(a1,a2, a3, …)，其中an表示第n个数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的常见形式常见的数列形式包括等差数列、等比数列、等差-等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式对于数列{an}，如果能找到一个关于n的表达式an=f(n)，使得对于任意n，an都能用f(n)来表示，则f(n)便为数列的通项公式。
4. 数列的性质数列的性质包括有界性、单调性、极限性等。
其中，有界性指数列的值在一定范围内；单调性指数列中的项是递增或递减的；极限性指数列随着n的增大，其值趋于某一定值。
二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的任意两项之间的差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的性质等差数列的性质包括前n项和公式、n项倒数和公式、性质及推导等。
3. 等差数列的应用等差数列常用于算术平均数的计算、数列求和、数列前n项和等问题的解答。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的任意两项之间的比值都相等的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的性质等比数列的性质包括前n项和公式、无穷项和公式、收敛性等。
3. 等比数列的应用等比数列常用于几何平均数的计算、复利计算、无穷等比数列的求和等问题的解答。
四、递推数列1. 递推数列的定义递推数列是指数列中的每一项都是前面一项的某个函数，其通项公式可以通过前面一项来表示。
2. 递推数列的性质递推数列的性质包括递推关系、递推方程、解法等。
3. 递推数列的应用递推数列常用于递归函数的求解、动态规划问题的解答等。
五、数列求和1. 等差数列求和等差数列的前n项和可用公式S_n=(a1+an)n/2来表示，其中n为项数，a1为首项，an 为末项。
数列知识点总结大纲
数列知识点总结大纲
一、数列的概念和性质
1.1 数列的定义
1.2 数列的项、通项公式和前n项和
1.3 数列的分类：等差数列、等比数列、等差数列
1.4 数列的性质：有界性、单调性、周期性
二、等差数列
2.1 等差数列的概念和性质
2.2 等差数列的通项公式和前n项和公式
2.3 等差数列的应用：等差数列的中项、倒数第n项等问题
三、等比数列
3.1 等比数列的概念和性质
3.2 等比数列的通项公式和前n项和公式
3.3 等比数列的应用：等比数列的中项、倒数第n项等问题
四、递推数列
4.1 递推数列的概念和性质
4.2 递推数列的通项公式和前n项和公式
4.3 递推数列的应用：如何构造递推数列、递推数列的性质
五、综合应用
5.1 几何问题与数列：等差数列、等比数列在几何图形中的应用5.2 累加与数列：数列的和与级数的求和
5.3 数列的特殊问题：收敛性、散度性、收敛上界、收敛下界等问题
六、挑战问题
6.1 数列的特殊性质：如何判断一个数列的性质
6.2 数列的极限问题：数列的极限性质与收敛性定理
6.3 数列的推广问题：数列在数学、物理、工程等领域中的应用
七、拓展应用
7.1 数列与函数：数列与函数的关系
7.2 数列与级数：级数求和与展开
7.3 数列与微积分：数列在微积分中的应用
以上是对数列知识点的一个大致总结，通过学习这些知识点，我们可以深入了解数列的概念、性质与应用，从而更好地应用数列知识解决实际问题。
希望这份总结对你有所帮助，谢谢！。
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《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法 2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A af n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a += ,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
数列复习提纲
数列、数学归纳法、数列极限复习提纲1.什么叫数列？数列与函数有什么关系？数列是一种特殊的函数，故可利用函数的知识来解决数列的问题。
例如在求等差数列前n 项和的最值时，可利用二次函数的相关知识，但要注意*n N ∈。
2．复习等差数列与等比数列单调性的规律。
3．怎样证明一个数列是等差或等比数列？（用定义证明）怎样说明一个数列不是等差或等比数列？（举反例）4．复习等差数列前n 项和公式的推导（逆序相加法）及其应用。
5．复习等比数列前n 项和公式的推导（错项相减法）及其应用。
用等比数列前n 项和公式时应注意什么？如何处理？当q=1时，1na S n =，这一点常被学生忽略。
在等比数列求和时，若公比q 不确定时应对公比q 按q=1和1≠q 进行分类讨论。
6．罗列数列{}n a 为等差数列的常用充要条件：{}n a 为等差数列(),n a pn q p q ⇔=+为常数 {}n a 为等差数列()2,n S an bn a b ⇔=+为常数 {}n a 为等差数列()1122n n n a a a n -+⇔=+≥当．01q q ≠≠且时．，罗列数列{}n a 为等比数列的常用充要条件： {}n a 为等比数列(),n n a a q a q ⇔=⋅为常数 {}n a 为等比数列(),n n S k kq k q ⇔=-为常数 {}n a 为等比数列()2112n n n a a a n -+⇔=⋅≥7．复习等差、等比数列的常见性质，要会推导并记住。
下表仅供参考（等比数列的类似性质自己填写）：9．复习数学归纳法。
注意格式规范，尤其是一定要用到归纳假设。
10．怎样由n a 求n S ？先分析通项，根据通项确定求和方法。
（1）熟悉等差数列、等比数列的求和；（2）对于既不是等差数列也不是等比数列的求和，通常可用分段、配对、错位相减、裂项相消、倒序相加等手段转化为等差数列或等比数列的求和，对于无法转化的，可考虑用归纳—猜想—论证的途径解决。
数列知识点提纲
数列复习提纲1.数列的概念（1）按_____________________________叫数列。
在函数意义下,数列是____________________, （2）如果数列 }{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式)(n f a n =来表示，这个公式就叫做这个数列的_________________。
（3）递增数列⇔1+n a ___n a ;递减数列⇔1+n a ___n a ;常数列⇔1+n a ___n a . （4）若已知n S ，则______________________________n a ⎧=⎨⎩2.等差数列(1) 若数列}{n a 满足 ___________________________,则称这个数列为等差数列,这个常数叫等差数列的___ ___，记为d ;若d _ _0则这个数列为递增数列, 若d _ _0则这个数列为递减数列, 若d _ _0则这个数列为常数列.定义法：对于数列{}n a ，若 ，则数列{}n a 是等差数列。
(2)如果三个数x ,A ,y 组成等差数列,那么A 叫做x 和y 的__________,且A =_________. 等差中项法：对于数列{}n a ，若 ，则数列{}n a 是等差数列。
(3)等差数列}{n a 的通项为 n a =_____ ____,或n a =_____ ____,其中m ,n N *∈.推导方法为 、(4)}{n a 成等差数列⇔n a kn b =+(q p ,为常数).其中k =(5)等差数列的求和公式为:______ _____可变形为_____ _____.推导方法为__________ ____. 整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 函数法：{}Bn AnS B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列（0d ≠）。
(6)}{n a 为等差数列,求n S 的最值:若01>a ,0<d ,且满足⎩⎨⎧+________,_________,1n n a a 时, n S 取最_______;若01<a ,0>d ,且满足⎩⎨⎧+________,_________,1n n a a 时, n S 取最_______.(7)对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
高三数列专题复习
高三（文科数学）第二轮专题复习数列及其应用一、基本概念：1. 数列的定义及表示方法.2. 数列的项与项数.3. 有穷数列与无穷数列.4. 递增（减）、摆动、循环数列.5. 数列{a n }的通项公式a n .6. 数列的前n 项和公式S n .7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.二、基本公式：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n nn . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.4.等差中项公式：2b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).6.等比数列的前n 项和公式：（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；（2）当q ≠0时，（1）qq a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).三、有关等差、等比数列的结论1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d .10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3qa , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;3.分裂项法求和，如a n = )1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;5.公式法求和;6.观察规律求和.五.数列的综合应用数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.六、数列实际应用例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。
数列基础知识复习提纲
1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ．2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类：①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ．8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =1nii a =∑=a 1+a 2+…+a n ，如果S n与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1)(n 2)n nn S n a S S -=⎧=⎨-≥⎩数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩。
数学必修五数列知识点提纲
数学必修五数列知识点提纲
数学必修五数列知识点提纲如下：
1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一串数，其中每个数称为该数列的项。
2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差为固定常数的数列。
公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
3. 等差数列的前n项和：若知道等差数列的首项a1、末项an以及项数n，则前n项和Sn可以计算为：Sn = (a1 + an)n/2。
4. 等差数列的性质：等差数列的性质包括：公差相同、任意两项的和等于中间项与首尾两项之和、等差数列的奇数项和与偶数项和之和等于项数的二分之一乘总和等。
5. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比为固定常数的数列。
公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
6. 等比数列的前n项和：若知道等比数列的首项a1、末项an以及项数n，且公比r不等于1，则前n项和Sn可以计算为：Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)。
7. 等比数列的性质：等比数列的性质包括：公比相同、任意两项的比等于中间项与首尾两项之比、等比数列的前n项和与后n项和之差等于第n+1项与第2项之差等。
8. 通项公式：数列的通项公式是用来表示数列中第n项的公式。
对于等差数列和等比数列，已经列出了通项公式，可以根据已知条件来确定数列中任意项的值。
9. 等差数列与等比数列的应用：等差数列和等比数列在实际生活中有很多应用，如计算利息、计算成绩排名等。
总结：以上是数学必修五数列的主要知识点提纲，学生可以通过理解这些知识点来提高对数列的理解和运用能力。
数列知识点归纳总结复习
数列知识点归纳总结复习一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合，通常用表示为{an}，其中an表示数列的第n个项。
例如，1, 2, 3, 4, 5,… 就是一个简单的递增数列。
2. 数列的常见表示方式数列可以用公式、递推关系或者图形等方式来表示。
比如，斐波那契数列可以用递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)来表示，而调和数列可以用公式表示为{1, 1/2, 1/3, 1/4, …}。
3. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差-等比数列、递归数列、调和数列等多种类型。
在实际问题中，我们需要根据数列的特点来选择合适的方法进行求解。
二、数列的常用公式与性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质包括递推公式、前n项和公式、通项求和公式等，在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列同样具有递推公式、前n项和公式、通项求和公式等性质，其在金融、生物学、物理学等领域都有着重要的应用。
3. 通项公式对于一些特定的数列，我们可以通过观察数列的规律得到其通项公式，这样就能方便地计算数列中任意一项的值。
通项公式的求解是数列问题中的常见技巧，需要灵活运用代数方法和数学归纳法进行推导。
4. 前n项和对于一个数列{an}，其前n项和S(n)可以用数学方法得到一个通用的公式。
对于等差数列和等比数列，其前n项和公式分别为Sn = n/2(a1+an) 和 Sn = (a1(q^n-1))/(q-1)，这些公式在实际问题中有着重要的应用。
5. 数列的极限当n趋向无穷大时，数列{an}的极限值称为数列的极限。
数列的极限可以用来判断数列的趋势和发散性，以及在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
2023数学必修五数列知识点提纲
2023数学必修五数列知识点提纲数学必修五数列学问点提纲1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简洁的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1好玩的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈Nx 、若m，n，p，q∈Nx且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq四、对任意的k∈Nx有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。
《数列》复习纲要.doc
sgl)S w -5…_I (n>2)《数列》复习纲要 一数列的基木概念【知识梳理】1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2. 通项公式：如果数列仏｝的第〃项与崖号之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即%—3. 递推公式：如果己知数列血｝的第一项（或前儿项），且任何一项色与它的前一项 %】（或前儿项）间的关系可以用一个式子来表示，即色=或心二/⑺灯,陽_2）， 那么这个式子叫做数列｛勺｝的递推公式.如数列｛爲｝中,a 】=1,勺=2陽+1,其中 a n = 2a n + 1是数列也”｝的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式① S” = G] + C<2 -- Cl n ; ®Cl5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列; 有界数列，无界数列.%1 递增数列：对于任何nw N*,均有a n+l > a n . %1 递减数列:对于任何ne N +,均有a n+[ < a n . %1 摆动数列:例如:-1,1-1,1-1,--. %1 常数数列:例如：6, 6, 6, 6,……. %1 有界数列:存在正数M 使\a fJ \<M,ne N +.%1 无界数列:对于任何正数M ,总有项〜使得|d”| > M .【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴ 3,5,9,17,33,…，a n =2" +12 4 6 8 10（2）1，0,-亍 0,护,-严…,当斤=1 时，2x3,_, =2H ® 4(n = 1)• a v (【例3】已知数列｛%｝中，a 】 = l,如+1=2乩(nGN*),求该数列的通项公式. 5+2 解：方法一:由a n+1= ^-得5+2丄一丄=丄，・・・｛丄｝是以丄=］为首项，丄为公差的等差数列.如 a n 2 a n a t 2— = 1 + (n — 1).［，即 a n — —^― a n 2 齐 + 1方法二：求出前5项，归纳猜想出如=丄，然后证明. n + \【例4】己知数列｛aj 的前n 项和S.满足色+2S”S,i 二0 (n22),务二丄，求色・2【解题思路】利用d 广s 厂S T 消去转化为求数量｛S 〃｝,继而求色解•••当 n$2 时，a n = S 舁- S 〃_|,・・・S 〃-S”T +2S 〃S 『0,即右-一2,5°/?-1* ■.・・数列丿亠是公差为2的等差数列.X Si=aF —,・:丄二 2,・ *. —=2+ (n-1) • 2=2n,・'.S”二丄.2 Si SnH 2n・・・当心2时,色二-2 S” S”_严-2 • f1 二_ 12(n 一 1) 2/z(/z-1)(4) 1,3,6,10,15,21,…,a” 二 1 + 2 + 3 + …+ 斤二"(岁)【例2】已知下列数列仏}的前〃项和S”,分别求它们的通项公式色.⑴ S” = 2n 2+； ⑵ S” 二3"+1.【解析】⑴当刃=1时，a x = S } = 2xl 2+3xl=5,当 n>2 时,a rl = S n - S_] = (2n 2 + 3n) 一 [2(n 一 l)2 + 3(n-l)] = 4n + l. 当比=1 吋，4 x 1 +1 = 5 = d], /. a n = 4/? +1.⑵当 n = 1 时，= Sj =3+1=4,当 n>2 时，a n = S n - S,T = (3" + 1) — (3“ +l) = 2x 3,,_1.答案6116解析:a x a 2 = 4, a 2 = 4, a x • a 2(—1)2(n>2)a na n-\a 2—2a n-i 1 2rtn-\z(I) (2)【例5】如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿 顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一 个点，若青蛙从5这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应 厂的数为()5/A. IB. 2C. 3D. 5II解析 5—2—1—3—5,周期为 4, 2009=4X502+1,经过 2009 次跳后 \ /它停在的点所对应的数为2.答案B.【例6］数列｛/｝中，对于所有的n^2, n W N*都有第10题图ai • a 2 • a 3 ......... a…=n \ 贝lj a ：汁as 二 _ •【例7】已知数列｛a n ｝ ai=l, (n+l)an=na n q,则数列◎｝的一个通项公式a“二 ___________ 答案n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 _________ 块.(用含n 的代数式表示)答案4n+8解析：不妨设第〃个图案有黑色瓷砖色块，则® =12,色=16卫3 =20,…，不难发现数 列仏｝是公差为4的等差数列5.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =n 2-9n,第k 项满足5< a k <8,则k 二 __________ .答案 8 解析：[S[,n = 1a n = <[S n -S fl ^n>26•若数列｛aj 的通项公式a n =—,记f (n)二2(l-aJ (l-a?)…(1-aJ ,试通过计算5 + 1)2⑶…何1_ n(n + 2)(72 + 1)2 _ (斤 + 1)22x4 3x5n(n + 2)5 + 1)27.数列｛an ｝满足aL 丄，则数列的第2 008项为 __________ .答案壬解析：a 2=-,a 3=-9a 4=-,a 5=-f 数列仏｝是周期数列，周期为412.已知二次函数f(x)=x 2-ax+a (xWR)同时满足：①不等式f(x)W0的解集有且只有一个元 素；②在定义域内存在0<X1<x 2,使得不等式f(X1)>f(x 2)成立.设数列4｝的前n 项和 Sn 二f (n).(1) 求函数f(x)的表达式； (2) 求数列｛aj 的通项公式.解(1) Tf (x) W0的解集有且只有一个元素，A =a 2-4a=0 => a 二0 或 a=4,当a=4时，函数f(x)=x-4x+4在(0, 2)上递减, 故存在0 Vx ：<X2,使得不等式f (Xi) >f (X2)成立， 当a 二0时，函数f (x) =x'在(0,+8)上递增，故不存在0 < Xi < x 2,使得不等式f (xi) >f (X2)成立， 综上，得 a 二4, f (x)二x 「4x+4.(2)由(1)可知S 帛-岔+4,当 n=1 时,ai=Si=l, 当 nM2 时,a n =Sn _Sn-i=(n 2-4n+4)- [ (n-l)2-4 (n-1) +4] =2n-5, ._p(« = D2n - 5(n > 2)解析: °Sd” <p。
数列复习大纲
数列一．数列的基础知识1、数列的概念：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序列有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（记做1a ),往后各项依次叫做这个数列的第2项，…，第n 项，….数列的一般形式可以写成1a ……n a ，其中n a 是数列的第n 项，我们把上面的数列简记为{}n a .其实在很多情况中我们可以将数列看成是一个定义域为n 的函数()=n a f n 2、数列的分类：3、数列通项公式n a ，前n 项和n S 的求法与其关系。
（1）求n a ：观察法：1，4，7，10，…递推法：1=1a ，11=n n n a a n--，(n ≥2),n ∈N*，求n a 利用n S ：-1=-n n n a S S（2）求n S ：公式法：求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n 项和分项法：（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n ） 裂项法：1111223(1)n S n n =+++⨯⨯+错位相消：（等比数列求和公式的推导） 放缩法：n S =+++二. 等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-等差中项：,,a A b 成等差数列，A 叫a,b 的等差中项（注：任意两个数都有等差中项）2a bA +=证明一个数列是等差数列的方法：一般用d a a n n =-+1（常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明d a a n n =-+1，有时也可采用一系列的递推方法来证明)2(,11≥-=--+n a a a a n n n n 来完成。
等差数列的性质：（1）0>d ，n a 单增；0<d ，n a 单减；0d =，n a 是常数列。
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《数列》复习
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法
2.等差数列{}n a 中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；
（2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；
（3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)1211221213,,m m m m m m m a a a a a a a a a +++++++++++++ 仍成等差数列.
（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22
n d d S n a n =+-， 2121n n S a n -=
-，()(21)n n n n A a f n f n B b =⇒=-. (7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p q m +=，则2
p q m a a a += ,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，
,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
（9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2
a b A +=叫做,a b 的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列{}n a 中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
（2）11n n a a q -=n m m a q -=；
（3）{||}n a 、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、成等比数列{}n n a b ⇒成等比数列.
（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++ 成等比数列.
（6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨-+≠=≠⎪⎪----⎩⎩
. （7）p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅；22m p q m p q b b b =+⇒=⋅m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数,a b 的等
比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。
（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法
4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式 ③1123(1)2n n n ++++=+ ，22221123(1)(21)6
n n n n ++++=++ ， 2135(21)n n ++++-= ，2135(21)(1)n n +++++=+ .
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.
(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①
111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k
=-++， ③
1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++。