北师大课标版九年级数学下册教案§2.4.1用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标

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数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计

北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。

本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。

该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。

二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。

对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。

从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。

因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。

二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。

学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。

学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。

该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》这一节主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的意义，掌握二次函数解决实际问题的方法。

教材通过实例引导学生利用二次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.让学生理解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的联系。

2.培养学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数解决实际问题的方法，培养学生的数学应用能力。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题。

2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际生活中的应用实例，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中思考，培养学生的团队合作能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、最大利润问题等，引导学生发现这些问题都可以用二次函数来解决，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的实际意义。

3.实例讲解：通过具体实例，讲解如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。

4.课堂练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.总结提升：引导学生总结二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学应用能力。

北师大版初三下册数学 2.4 二次函数的应用教案(教学设计)

2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x ==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.y x x ++π=由 157.4x x y --π=得 2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积 271522x x =-+ 2715225().21456x =--+ 2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时即当x≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积 30202,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 602m ,1022103210210m .=--+⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为 )2S 3002002m .=-最大3.解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得4x 2＋（100－2x ）（80－2x ）＝5 200，整理，得x 2－45x ＋350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验x 1＝35，x 2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则 y ＝30[4x 2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]即y ＝80x 2－3 600x ＋240 000，配方，得y ＝80（x －22．5）2＋199 500.当x ＝22．5时，y 的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE 中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴BF BE CE CD =, ∴8y x x m-= 即28x x y m -=.⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m-=得关于x 的方程: 28120x x -+=，得1226x x ==，.∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ，此时， Rt△BFE≌Rt△CED.∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x．∴y=-2x2+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．即x2-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴2--⨯⨯<(20)411050,∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究：例题：“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.2.4.2二次函数的应用一、教学目标1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、课时安排1课时三、教学重点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．四、教学难点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．五、教学过程（一）导入新课某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？（二）讲授新课活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件；每件T恤衫的利润为: 元；所获总利润可以表示为: 元；即y=-200x 2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50-10x ；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=2x 34x 8 000.10-++ （3）因为w=2x 34x 8 000,10-++ 所以x=b -2a=170时，w 有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- 10x =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(200－10x)=1 500，解得x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5. 答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x=1507.522(10)ba-=-=⨯-时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5 000元，故y 1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x ≤ 5 000 3 50010025010-+= 即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y 1=6 000x-10x 2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y 1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-=时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程，得x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a =-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P （元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．六．板书设计2.4.2二次函数的应用探究：例题2：例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.。

北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质》公开课教案_1

2.2.4二次函数的图象和性质教学设计学情分析：本节课在前面学习二次函数y=a(x-h)2+k图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质进行学习。

主要的学习方法是通过配方将y=ax2+bx+c 向y=a(x-h)2+k转化。

前面学过用配方法解一元二次方程，了解方程配方的基本过程，但是把y=ax2+bx+c配方成y=a(x-h)2+k，学生理解和掌握还需要一个过程。

前面多节课都采用画函数图象的方法来研究函数性质，学生已经基本具备这种学习函数图像和性质的思路和方法，这些都为本节课的进一步学习打下了基础。

设计理念：本节课遵循“探索—学习—运用”即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，由旧知识类比得新知识，进一步学习一般形式的二次函数图象及其性质。

教学方法与学习指导策略建议贯彻从特殊到一般的思想：整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，激励学生主动学习，在独立练习中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．特殊到一般引入充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．学习目标根据新课程目标要求、本单元的教学目标和学生已有的知识经验，联系本节课的内容，本节课的教学目标确定为：1、能用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式。

2、会根据配方式熟练地说出二次函数的顶点坐标、对称轴及函数值的增减性。

3、利用二次函数y=ax2+bx+c 的图像及性质解决实际问题。

学习重难点以及分析学习重点：会用配方法把二次函数一般形式化成顶点式，并熟练地指出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性。

配方法在前面学习解一元二次方程的时候，学生已有所认识，但不是要求重点掌握的内容，本堂课让学生通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式仍有一定的难度，特别是面对一般形式要想到把它化为顶点式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的。

在转化过程中学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。

初三数学教案-数学九年级下北师大版2.4二次函数的图象习题课精品

数学九年级下北师大版2.4二次函数c bx ax y ++=2的图象习题课教案一、例题：【例1】二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）【例2】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）【例3】在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（）【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）【例6】抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是．【例7】已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．【例9】已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【例10】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？【例11】已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．【例12】如图，A 、B 是直线ι上的两点，AB=4cm ，过ι外一点C 作CD ∥ι，射线BC 与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm ，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1cm 的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ 的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？【例13】如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【例16】阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==．　④， ③12m y m x当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化．把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1．解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是，其中运用了公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．。

北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质

由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac

b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知

北师大版九年级数学下册：第二章2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿

北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节实践活动课。

本节课通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材中给出了两个实例：制作轴对称图案和确定顶点式二次函数的图象，教师可以在此基础上进行拓展，让学生更好地理解二次函数的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。

但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往因为不能将实际问题与数学知识很好地结合起来而遇到困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。

2.使学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学素养。

3.培养学生合作学习、交流分享的习惯，增强学生的团队意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，如何利用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数在实际生活中的应用。

2.利用多媒体课件展示实例，直观地展示二次函数的图象与性质。

3.学生进行小组讨论，培养学生合作学习的能力。

4.教师进行适时点拨，帮助学生突破思维瓶颈。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对二次函数应用的思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：让学生自主探究教材中的实例，理解二次函数在实际生活中的应用。

3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的想法，培养学生的合作意识。

4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，引导学生正确运用二次函数解决实际问题。

北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》说课稿1

北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识进行解答，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，学会运用二次函数进行解答。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行思考和解答。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。

2.讲解新课：引导学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。

在此过程中，教师要注意讲解二次函数在实际问题中的应用方法。

3.巩固新课：通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高运用二次函数解决实际问题的能力。

4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生明确二次函数在实际问题中的应用方法。

2019-2020学年九年级数学下册2.2.4二次函数的图象与性质教案新版北师大版 .doc

2019-2020学年九年级数学下册2.2.4二次函数的图象与性质教案新版北师大版教学目标：1．能够熟练运用配方法确定二次函数图象的对称轴和顶点坐标．2．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.教学重、难点：重点：运用配方法或二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．难点：把数学问题与实际问题相联系的过程．课前准备：多媒体课件、检测小卷（学生用）．教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容1：知识回顾说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：2=+（）23(7)-4;y x1(-5)3;y x=-+（）22y x=++（）45(9)10.12(-3)-6;（）2y x=-处理方式：让学生口答二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．设计意图：通过此题组，回顾如何根据二次函数的顶点式，确定二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.为下步确定一般式的二次函数图象的性质做准备.活动内容2：导入新课我们发现，根据二次函数的顶点式很容易确定二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．如果给你一个一般形式的二次函数7xy，你还能确定其图象的开口方向、对=x8-22+称轴和顶点坐标吗？如何确定？【教师板书课题：2.2二次函数的图象与性质（4）】处理方式：给学生抛出问题，让学生联想到化成顶点式解决此题.设计意图：学生有了从顶点式确定二次函数图象性质的经验，教师直接抛出一个一般式的二次函数，并提出问题，在对比中激发学生的探究欲望．二、探究学习，获取新知活动内容1：用配方法确定二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴和顶点坐标例1 求二次函数7822+-=x x y 图象的对称轴和顶点坐标.处理方式：学生对比一般式和顶点式的形式特点，将一般式通过配方化成顶点式，从而确定二次函数图象的对称轴、顶点坐标.一生板演后，师生共同规范解题过程.当然，还有部分同学对配方的过程有些淡忘，可以引导学生小组交流、合作，完成对配方法过程的理解.学生板演，教师规范：解：7822+-=x x y7422+-=）（x x （提取二次项系数）744422++-=）（-x x （配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方）78222+=--）（x1222--）（x =. （整理）设计意图：学生在解一元二次方程时，已有了配方的经验，因此，学生完全可以独立的类比方程的配方进行代数式的配方.教师只需要大胆放手给学生时间和空间，让学生板书并说明自己的想法.做一做确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：76312+-=x x y ）（； 812222+-=x x y ）（。

九年级数学下册第二章二次函数教案 (新版)北师大版教案

第二章二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。

学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。

同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。

它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。

具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。

2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。

情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。

2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。

教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。

教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。

这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。

但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。

如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。

请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。

例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。

3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。

例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数的应用。

同时，运用讨论法、案例分析法等教学方法，提高学生的参与度和积极性。

六. 教学准备1.教材：《北师大版九年级数学下册》。

2.教学课件：根据教学内容制作的课件。

3.练习题：针对本节课内容设计的练习题。

4.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的跳板，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题，讲解二次函数在实际生活中的应用。

通过例题，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》教案3

北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》教案3一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.2《二次函数图象与性质》这一节主要让学生掌握二次函数的图象与性质。

内容包括：二次函数的图象、顶点、开口、对称轴等概念，以及如何通过观察图象来判断二次函数的性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数图象与性质的关系。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识。

但学生对二次函数图象与性质的理解可能会受到以前学习经验的影响，需要通过实例来加深对二次函数图象与性质的认识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数的图象与性质，学会通过观察图象来判断二次函数的性质。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、思考、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。

2.难点：如何通过观察图象来判断二次函数的性质。

五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等，以学生为主体，教师为主导，引导学生通过观察、思考、讨论来理解和掌握二次函数图象与性质。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括二次函数的图象与性质的定义、例题和练习题。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.准备与本节课相关的辅导资料和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子，引导学生回顾二次函数的定义和标准式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解二次函数的图象与性质，包括顶点、开口、对称轴等概念。

通过PPT展示相关的图象，让学生直观地理解二次函数的性质。

3.操练（15分钟）让学生根据二次函数的性质，判断给定的二次函数图象。

教师引导学生观察图象，找出顶点、开口和对称轴，从而判断二次函数的性质。

4.巩固（10分钟）让学生解决一些与二次函数图象与性质相关的练习题。

教师引导学生运用所学知识，解决实际问题。

北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教案3

北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教案3一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.1节《二次函数》是学生在学习了函数、一次函数的基础上，进一步研究二次函数的性质和图象。

本节内容是整个初中数学的重要内容，也是高考的考点之一。

通过本节课的学习，使学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质，会画二次函数的图象，为后续学习解析几何打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，一次函数的概念、性质和图象已经掌握。

但二次函数相对于一次函数来说，概念抽象，性质复杂，图象形状特殊，学生理解和掌握有一定难度。

因此，在教学过程中，要注意从学生已有的知识出发，引导学生逐步深入，突破难点，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质，会画二次函数的图象。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的性质，提高学生的探究能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体会数学与实际生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的性质，二次函数图象的特点。

2.难点：二次函数的性质的推导，二次函数图象的画法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.教师准备：二次函数的PPT，相关例题和练习题，二次函数图象的软件。

2.学生准备：笔记本，相关数学书籍。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

然后，教师提出本节课的学习目标，引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的特点。

同时，教师给出二次函数的一般式，解释二次函数的各个参数的含义。

3.操练（10分钟）教师给出几个典型的二次函数例题，引导学生运用所学知识解决问题。

九年级数学下册二次函数的图像与性质教案北师大

2.2.4二次函数的图像与性质课题 2.2.4二次函数的图像与性质课型新授教学目标1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.重点探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.难点利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.教学用具教学环节说明二次备课复习新课导入（一）导入新课1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y=2(x－3)2－5(2)y=－0.5(x+1)2(3) y = 3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？课程讲授（二）讲授新课活动1：小组合作我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样平移的呢？只要将表达式右边进行配方就可以知道了. 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2把二次函数y=ax²+bx+c的化为顶点式：2y ax bx c=++2b ca x xa a=++（）2222(222b b b ca x xa a a a⎡⎤=+⋅+-+⎢⎥⎣⎦（））2224()24b ac b a x a a ⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦224().24b ac b a x a a-=++这个结果通常称为顶点坐标公式. 活动2：探究归纳顶点坐标公式224().24b ac b y a x a a-=++因此,二次函数y=ax²+bx+c 的图象是一条抛物线它的对称轴是直线：.2b x a=-它的顶点坐标是;24,).24b ac b a a--( （三）重难点精讲如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=9400x²+ 910x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y 轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流. 【解析】（1）将函数y=9400x²+ 910x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;2229y (x 40x)104009(x 40x 400)14009(x 20)1400=++=+++=++ ∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2）299y x x 1040010=++左边的钢缆的表达式为 ()29x 20 1.400=++ 且左右两条钢缆关于y 轴对称， ∴右边的钢缆的表达式为：()29y x 201400=-+ 这条抛物线的顶点坐标是（20,1）∴这两条钢缆最低点之间的距离为：()202040.m --= 当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。

2010-2011学年九年级下册北师大版数学全册教案§2.4二次函数的图象(第一课时)

§2.4 二次函数的图象（第一课时）
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数与的图象；
2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、
分析、总结的能力;
学习重点:
画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的
开口方向，对称轴，顶点坐标.
学习难点:
理解函数、与及其图象间的相互关系
学习方法:
探索研究法。

学习过程:
一、复习引入
提问：1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、新课
复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.
例1 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象. 由图象思考下列问题：
（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线与同有什么关系？
继续回答：
①抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线
呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．
三、本节小结
本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

填写下表：
表一：
表二：。

九年级数学下册 2.2 二次函数图象与性质教案4 (新版)北师大版

二次函数图象性质【教学内容】二次函数图象性质【教学目标】知识与技能利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标。

过程与方法经历二次函数一般形式转化为顶点式的过程，明确配方法的重要性。

熟练转化并准确求出二次函数的对称轴和顶点坐标。

情感、态度与价值观在探究二次函数的形式转化过程中，体会通过探究得到发现的乐趣。

【教学重难点】重点：利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标。

难点：二次函数一般形式转化为顶点式在实际问题中的应用。

【导学过程】【知识回顾】1、填写下表a (x-h)2、用配方法解方程：2x2－2x－3=0【情景导入】我们已经认识了y＝a (x－h)2＋k的图象和性质，你能研究y＝2 x2一4x +5函数图象和性质吗？【新知探究】探究一、例1、求y＝2 x2一8x +7图象的对称轴和顶点坐标。

配方为：y=2 (x一2)2－1 对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2、一1）做一做：确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标：⑴y＝3x2一6x +7 ⑵ y＝2 x2一12x +8探究二、例2、求y＝ax2+bx +c图象的对称轴和顶点坐标。

归纳：可让学生记忆顶点坐标公式，可帮助学生提高解题速度。

探究三、…例3、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？并求出钢缆最低点到桥面距离及两条钢缆最低点之间的距离。

【知识梳理】本节课你学习了什么知识？【随堂练习】1.用配方法求二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的顶点坐标.2.二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1,－2),则b ＝________,c ＝_________.3.已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6,当________时,y 随x 的增大而增大;当x ＝________时,y有______值是_____.4.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝12x 2－2－1的顶点坐标. 5.二次函数y ＝－x 2＋mx 中,当x ＝3时,函数值最大,求其最大值.6、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA 距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA 所在的直线为y 轴，过点O 垂直于OA 的直线为x 轴，点O 为原点）。

《用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标》教案

《用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标》教案教学目标1、经历探索二次函数c bx ax y ++=2的图象的作法和性质的过程2、用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标教学重点和难点重点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标难点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们研究了二次函数k h x a y +-=2)(中的a 、h 、k 对二次函数图象的影响。

这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。

||a 越大，开口越小；||a 越小，开口越大当0>a 时，抛物线的开口向上；当0<a 时，抛物线的开口向下；当0>c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的上方；当0<c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的下方。

平移：左加右减对称轴、顶点坐标：前相反，后相同师生共同研究形成概念 1、用配方法求二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标与学生回忆配方的步骤。

2、讲解例题例1 用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

（1）522++=x x y ；（2）1622-+=x x y ；（3）432++=x x y 。

分析：此处可由老师和学生一起完成，明确配方的步骤。

例2 用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

（1）)5)(2(++=x x y ；（2）)1)(32(-+=x x y ；（3）2)4)(3(+++=x x y 。

分析：此例比上一例的难度有所提高，可先学生尝试做，再由老师指导。

随堂练习3、书本 P 50 随堂练习4、《练习册》 P 26 3小结用配方法求二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标公式。

作业书本 P 55 习题2.5 1教学后记。

北师大初中数学九年级下册《2.2二次函数的图象与性质》word教案 (3)

二次函数的图象与性质教学目标：1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系.3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程：复习引入二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学:1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当时，函数y 有最小值。

当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。

当时，函数y 有最大值 a2b x -=a2bx -=a 4ac 4b2-a 4ac 4b2-4.探索二次函数与一元二次方程二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x 轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点.当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根. 当b 2-4ac ﹥0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax 2+bx+c 的两个根x 1与 x 2；当b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点；当b 2-4ac ﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。

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教学目标
1.经历探索二次函数y = ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程
2.用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标
教学重点和难点
重点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标
难点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们研究了二次函数y = a(x−h)2+k中的a、h、k对二次函数图象的影响。

这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下；
当c>0时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当c<0时，抛物线与y轴的交点在原点的下方。

平移：左加右减对称轴、顶点坐标：前相反，后相同
师生共同研究形成概念
1.用配方法求二次函数y = ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标
与学生回忆配方的步骤。

2.讲解例题
例1.用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

（1）y = x2+2x+5；（2）y = 2x2+6x−1；（3）y = x2+3x+4。