2020版数学人教B版必修3课件：2.3.1 变量间的相关关系- 2.3.2 两个变量的线性相关2

2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关
课标解读1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，
作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．(重点)
2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(难点、易混点)
知识1 变量间的相关关系
【问题导思】
1．当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？
【提示】这两个变量是一个函数关系．
2．在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？为什么？
【提示】不是函数关系．因为数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的．但决非唯一因素，还有其他因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等．即不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少．所以它们的关系不是函数关系．
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是 的函数关系；
另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的 ，它们的关系是带有 的，称这两个变量具有 ．
确定性确定性随机性相关关系
知识2 两个变量的线性相关
【问题导思】
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
转速x(转/秒)1614128
每小时生产有缺
11985
陷的零件件数y(件)
1．在平面直角坐标系中作出散点图？【提示】
2．从散点图中判断x与y之间是否有相关关系？
【提示】具有相关关系．
3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数．【提示】可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．
(1)两个变量的线性相关
①散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在
中得到的图形．
②正相关与负相关
正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值
也 ，这种相关称为正相关．
负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的
值 ，这种相关称为负相关．
平面直角坐标系由小变大由大变小
(2)最小二乘法
设x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常
是用离差的平方和，即Q ＝∑n i ＝1
(y i －a －bx i )2作为总离差，并使之达 到 .这样，回归直线就是所有直线中Q 取 的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“ ”的方法，叫做最小二乘法． 最小最小值离差平方和为最小
(3)回归直线方程的系数计算公式
类型1 相关关系的判断
下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据(单位：kg)：水稻产量320330360410460470480施肥量15202530354045
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施肥量的增加而增加吗？
(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．
解(1)以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图所示：
(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量之间具有正相关关系．当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而增加．
(3)如图中所示．
变式训练
以下是在某地搜集到不同楼盘新房屋的销售价格Y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x(m2)11511080135105
销售价格Y(万元)24.821.619.429.222
(1)画出数据对应的散点图；
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？
如果有相关关系，是正相关还是负相关？
解(1)数据对应的散点图如图所示：
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
类型2 求线性回归方程
例25个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
学生
A B C D E
学科
数学8075706560
物理7066686462
画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．
解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．
列表，计算：
设所求回归方程为y^＝bx＋a，则由上表可得
a^＝y－b^x＝40.8.
∴所求回归方程为y^＝0.36x＋40.8.
变式训练
某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位/元)的对应数据
x3528912
y46391214
求回归直线方程．
解经计算得：x＝6.5，y＝8，
a^＝y－b^x＝8－1.143×6.5＝0.571. ∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.
类型3 利用回归直线方程对总体进行估计
例3 在7块并排、形状大小相同的实验田上进行施化肥量
对水稻产量影响的试验，得数据列表(单位：kg)：
施化肥量x15202530354045
水稻产量Y330345365405445450455
(1)画出散点图；
(2)求水稻产量Y与施化肥量x之间的回归直线方程；
(3)当施化肥50 kg时，对水稻的产量予以估计．
解(1)画出散点图如图：
由图可见是线性相关的．
(2)借助计算器列表：
计算得：b^＝87 175－7×30×399.3
7 000－7×302
≈4.75，
a^＝399.3－4.75×30≈257.
即得回归直线方程y^＝257＋4.75x.
(3)施化肥50 kg时，可以估计水稻产量约为495 kg.
变式训练
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份20082010201220142016需求量(万吨)236246257276286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．
解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2012－4－2024
需求量－257－21－1101929
对预处理后的数据，容易算得x－＝0，y－＝3.2.
b＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2
(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02
＝
260
40＝6.5，
a＝y－＝b x－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y^－257＝b(x－2 012)＋a＝6.5(x－2 012)＋3.2. 即y^＝6.5(x－2 012)＋260.2①，
(2)利用直线方程①，可预测2018年的粮食需求量为6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨).
思维启迪
1．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．
2．数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种方法，它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化．本章的数形结合思想的应用是利用散点图判断相关关系．
课堂小结
1．相关关系与函数关系
(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．
(2)不同点：
①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．用回归直线进行拟合两变量关系的线性相关的一般步骤为：
(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a^、b^；并写出线性回归方程．
3．在回归直线方程y^＝b^x＋a^中b^的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，y平均增加的单位数．一般地说，当回归系数b>0时，说明两个变量呈正相关关系，
它的意义是：当x每增加一个单位时y就增加b^个单位；当b^<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，t就减少|b^|单位.
当堂检测1．下列各关系不属于相关关系的是() A．产品的样本与生产数量
B．球的表面积与体积
C．家庭的支出与收入
D．人的年龄与体重
【解析】 B 中S 球＝4πR 2
，V 球＝43πR 3， ∴S 球V 球＝3R
即V 球＝3R S 球，二者有确定的函数关系，不是相关关系． 【答案】 B
2．观察下列四个散点图，两个变量具有相关关系的是()
【解析】A中两个变量之间的关系的散点图从左下角到右上角具有相关关系．B、C、D中两个变量间的关系的散点图看不出有什么相关关系．【答案】 A
3．已知一个回归直线方程为y^＝1.5x＋45，x i∈{1,7,5,13,19}，则y＝________.
【解析】∵x i∈{1,7,5,13,19}，∴x＝9.
∵(x，y)在回归直线上，
∴y＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】58.5。