巧用数学思想解二次根式题
二次根式的思维之魂
二次根式思维之魂----数学思想“二次根式”是初中代数中的一个重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，有些二次根式问题，若巧用数学思想方法解之会收到意想不到的效果. 一.数形结合思想例1 (08山东济宁)如图1，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．13-B ．31-C ．32-D ．23-解析：根据图示，可知线段AB 的长度为13-，因为点C 与点B 关于点A 对称，所以，线段AC 的长度也为13-，设点C 所表示的数为x ，则1-x=13-,解得x=32-.故选C ．二.整体代入思想例2 （08山东烟台）已知2,2a b ==的值为（ ）A.3B.4C.5D.6 解析:∵2,2a b ==,∴a+b =52,ab=1,∴()().5257220712527222==+-=+⨯-=+-+ab b a故本题应选C.三.方程思想例3 (08荆门)如图2，矩形纸片ABCD 中，AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为________．解析:折叠问题首先要搞清楚折叠前后线段之间的相等关系,然后根据勾股定理列方程求解.设AE=x,则BE=DE=BF=9-x,在Rt △ABE 中，由勾股定理,得:,222BE AEAB=+即(),93222x x-=+解得:x=4.过点E 作EG⊥BF,垂足为G.则GF=BF-BG=BF-AE=1.在Rt △EGF 中,根据勾股定理,得EF=.1022=+GFEG四.分类讨论思想 例4若化简1x --2x -5，则x 的取值范围是（ ）A ．x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ．x ≤4解析：当x ≥1时，｜1-x ｜=x -1，① 当x ≤1时，｜1-x ｜=1-x ，②因为4x ==-，所以当x ≥4时，｜x -4｜=x -4，③图1O CBA C ’A FD BC图2当x ≤4时，｜x -4｜=4-x ．④因此只有①式减④式的结果才为2x -5，x 的取值范围是1≤x ≤4，故选B ． 五.非负数思想例5 （08贵州遵义）若2-a ＋3-b ＝0，则=-b a 2_________. 解析:因为|a-2|≥0, 3-b ≥0,而且2-a ＋3-b ＝0,所以a=2,b=3,所以=-b a 24+3=7.六.估算法例6 (08天津)若440-=m ，则估计m 的值所在的范围是( )A.21<<mB.32<<mC.43<<mD.54<<m 解析: 课标要求“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，本题在落实这一目标方面做了有益的尝试.∵6＜40＜7,∴2＜40-4＜3,故应选B. 七.逆向思维法例7 (08甘肃)计算:()().212120082007+⋅-解析:此题如果直接计算,既先分别计算()200721-与()200821+,再将其结果相乘,该是何等的艰难!相反，若逆用积的乘方法则:()nn nb a ab =,就异常简便.原式=()()()21.]2121[2007++⋅-=()()()2121121212007--=+⋅-=+⋅-.。
二次根式运算的技巧
二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。
下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算)3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418)(4823(22=)4818)(4818(=18-48=-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(分析：∵2=2)2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解：原式=]3)2(25)[65(2 =)]65(2)[65( =)65)(65(2 =2（25-6） =192三、公式法例3、计算)632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62[( =22)3()62( =366222=345四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x =)()(2y x y x =yx 五、拆项法例5、化简)23)(36(23346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=)23)(36()23(3)36( =363231 =3623 =26六、配方法例6、计算3819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=222)34()23()21( =)34()23()12( =-5。
二次根式解题思想
数学思想在二次根式中的运用数学思想是解决数学问题的灵魂，是解决数学问题的金钥匙。
是知识转化为能力的桥梁。
在平时的学习中，我们要挖掘和掌握其中蕴含的数学思想和方法，为帮助大家理解数学思想方法, 解题时若能灵活运用，则使我们的思维更敏捷、思路更清晰。
《新课标》强调：数学基础知识、基本技能、基本的数学思想方法和基本的活动经验是数学学科的根本.然而数学思想方法是解决数学问题的灵魂，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键.在解决数学问题时，尤其需要用数下面举例予以说明。
1、方程的思想。
方程思想，就是利用问题中已知量和未知量之间的等量关系列方程（组），使问题得到解决的一种思想方法，在探索二次根式乘法法则的过程中，运用“方程”的思想，解二次根式的化简求值题能起到“柳暗花明”的作用。
例如：温馨提示：2、分类讨论的思想。
分类思想，就是在解题中，当问题包含多种情况时，要按可能出现的各种情况分类讨论，得出各种情况下的结论的一种解题思想。
例、若a 、b 为实数，满足︱a-2︱+2b -=3则b-a 的值为多少？ 分析：2b -中-b 2必须是非页实数， b 2≥0，∴ -b 2=0即2b -=0则满足︱a-2︱=3 a-2=±3解：︱a-2︱+2b -=3 b 2≥0 ∴ b 2 0︱a-2︱+0=3 ∴ b=0a-2=±3当a-2=+3时 a=+5当a-2=-3时 a=-1综上上述：b- a=0-5=-5 b- a=0-（-1）=1温馨提示：温馨提示：根据二次根式的性质，这充分体现了分类讨论的数学思想。
3、数形结合的思想。
数形结合的思想就是在研究问题的过程中，注意把“数”和“形”结合起来，把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，复杂的问题简单化的一种解题思路。
例温馨提示：4、整体代换法思想。
整体思想，就是从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构等，从而对问题进行整体处理的一种思想，在进行某些二次根式求值时，若从整体角度考虑，将已知条件和待求的式子进行整体变形或代入，这样往往能收到事半功倍的效果。
例析“二次根式”中常见的数学思想方法
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例析“二次根式”中常见的数学思想方法
作者：金玉荣
来源：《初中生世界·八年级》2014年第08期
同学们在学习二次根式时经常会用到一些常见的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、方程、转化等思想，在学习过程中同学们要注意总结归纳，学会运用，这对知识的掌握与解题能力的提高有着至关重要的作用. 下面，针对部分数学思想在二次根式中的运用做一些分析，供同学们参考.
一、转化思想
转化不仅是一种解题思想，也是一种思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的转
化思想方法，是把复杂的问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化成容易求解的问题；将未知的问题通过变换转化为已知的问题，以达到解决问题的目的.
二次根式中常用以下两种转化方法：
1. 确定二次根式中字母的取值范围，可用方程或方程组解决问题. 如：已知在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 本题要考虑两个方面：一是对于二次根式来说被开方数要为非负数，二是作为分母来说要不等于零，所以，可列方程组
二、整体思想
整体思想就是从问题的整体出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体特征. 在本章的学习中常把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而使得问题简单化、明晰化.
以上是以二次根式为例，总结的几种数学思想方法，在平时的学习过程中同学们还会遇到其他的思想方法，大家要充分掌握，这对提高思考能力、解题能力有事半功倍的作用.
（作者单位：江苏省盐城市城北中学）。
二次根式中常用的数学思想
式 转 化 为 绝 对 值 ，再 去 绝 对 值 的 符 号 ．当ａ＞０时 ，、／ ＝ｌａｌ＝ａ；当口＜
０时 ，、／ ＝Ｉａｌ＝一ａ．
四 、整体思 想
整 体 思 想 就 是 在 处 理 问 题 时 ，从 整 体 角 度 思 考 ，将 局 部 放 在 整 体 中 去 观 察 分 析 ，从 而 探 究 问 题 解 决 方 法 的 一 种 思 想 ．
五 、娄 比 思 想
通 过 类 比 可 以发 现 新 旧 知 识 的 相 同点 ，利 用 已 有 知 识 来 认 识 新 知识 ．二 次 根 式 的 加 减 运 算 与 合 并 同类 项 类 似 ．
例５（２ｏｌｏ年聊城卷）化简：、／ ＋、／ ＋、／詈＝——． 解： ＋ ＋＼／ ＝３ ＋２ ＝ ．
、／ ＜ ｂ，则 ０＋６＿
．
—
—
分 析 ：要 求 口、ｂ的 值 ，就 要 对 、／ 进 行 估 值 ．１５在 平 方 数 ９和 １６
之 间 ，而 、／可 ＝３，、／ ：４，于是 可 得 到 答 案．
解 ：·．·９＜１５＜１６．．．．、／可 ＜、／ ＜、／ ，即３＜、／ ＜４．
因为０、ｂ为两个 连续 的整 数 ，Ｒａ＜、／ ＜ｂ， 则 ａ＝３，ｂ＝４，ａ＋ｂ：７． 温 馨 小 提 示 ：这 里Ⅱ、ｂ为 两 个 连 续 整 数 的 条 件 很 重 要 ，否 则 答
简 ｌａ—ｂＩ一、／ 的 结 果 是 （ ）．
Ａ．２ａ—ｂ
Ｂ． ｂ
Ｃ．一ｂ
解 ：观 察 数 轴 可 知 ａ＞０，ｂ＜０＇．．．０一ｂ＞０．
Ｄ． 一２ａ＋ｂ
· ．．
１ａ—ｂｌ一、／ａ２＝ｌａ—ｂＩ—ｌａｌ＝（ａ—ｂ）一ａ＝ａ—ｂ一０＝一ｂ．选 Ｃ．
二次根式化简的常用技巧
二次根式化简的常用技巧,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：一、巧用乘法公式例1、化简：)303223)(532(-+++二、巧因式分解例2、化简 2356101528-+--+解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.三、巧用逆运算例3、化简20092008)322()322(-+ 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：n n n ab b a )(=四、巧拆项、裂项例4、化简42356305627+++++解析：本题的关键是将分子中的62拆成66+，分母因式分解，进而裂项化简 五、巧换元例5、化简 1111-++--+x x x x +1111--+-++x x x x解析：注意到11-++x x 与11--+x x 的和为12+x ，积为2因此若设11-++x x =A ， 11--+x x =B则 A +B =21+x ，2)1()1(=--+=x x AB所以，原式=A B +B A =AB B A 22+=()AB AB B A 22-+ =()222122⨯-+x =x 2 六、巧构方程例6、化简 333解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x = 333两边平方，得 x x 32= 即 0)3(=-x x解得 0,321==x x （不合舍去） 所以 333= 3七、巧取倒数例7、化简 132533515-++--八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。
例11 （十二届初二“希望杯”）化简.______3426302352的结果是+--+.126621ac21)a c b (ac 2c b a )c a ac abc (2cb a ,3c ,5b ,2a ：22===+--+=+--+====原式则设解九、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+=解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。
数学解题方法谈10：二次根式的运算技巧
数学解题方法谈10：二次根式的运算技巧在二次根式的运算中,首先弄清它的最本的两条性质:一、分母有理化例1、例如计算6－23－1时，这是一道课本题,教学时都做成： 解：6－23－1=(6－2)(3＋1)(3－1)(3＋1)=32－6＋6－2(3)2－1 = 222= 2 但是我们可以这样解：6－23－1=2(3－1)3－1= 2 可省许多力. 因此运用一些相应的方法可以把某些题目的运算化繁为简.二、巧用乘法公式例1、计算：（1）(1＋2＋3)(1＋2－3)(1－2＋3)(－1＋2＋3)（2）(2＋3－6)2－(2－3＋6)2 解：（1）原式=[](1＋2)2－(3)2 []－(1－2)2＋(3)2=22·2 2 =8 （2）原式=[](2＋3－6)＋ (2－3＋6) [](2＋3－6)－ (2－3＋6) =22·2( 3 －6)=46－8 3 三、巧用因式分解例2、化简下列各式：（1）(2＋3＋5)(32＋23－30)（2）12－23－1解：（1）原式=(2＋3＋5)·6(2＋3－6) =6[](2＋3)2－(5)2=6·26=12（2）原式=2(3－1)3－1=2例4、先化简，再求值 x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy，其中：x=3＋1 ，y=3－1 解：∵x ＞0，y ＞0 ∴原式=x(x ＋y)y(x ＋y)＋y(x －y)x(x －y)=x y ＋y x = x ＋y xy∵ x=3＋1 y=3－1 ∴ x ＋y=2 3 xy=(3＋1)(3－1)=2 ∴原式=232= 6 四、巧用根式定义例5、（1）若x 、y 是实数，且2x －1＋1－2x ＋y=4 则xy 的值是（ ）（A ）0 （B ）12（C ）2 （D ）不能确定 （97无锡中考题） （2）若、是实数，且y =x 2－4＋4－x 2＋2x ＋2 求y x 的值 解：（1）由题设知2x －1≥0，1－2x ≥0得x=12代入已知式得y=4 ∴xy=2 故选（C ） （2）由x 2－4≥和4－x 2≥0 知x 2=4 ∴x=±2∵x ＋2≠0 ∴x≠－2 ∴x ＝2 则y ＝12 ∴ y x = ⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14五、巧用换元法例6、计算：n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4(n ＞2)解：设n ＋2＋n 2－4=x n ＋2－n 2－4=y则 x ＋y=2n ＋4 xy=4n ＋8 ∴原式=x y ＋y x =(x ＋y)2－2xy xy =(2x ＋4)2－2(4n ＋8)4n ＋8=(2n ＋4)(2n ＋4－4)2(2n ＋4)=n=12a 2－1= 12x －1= 12－1=2＋1 例8、计算：3－5－3＋ 5 解：设x=3－5－3＋ 5 则＜0∵x 2=()3－5－3＋52 =3－5－2(3－5)( 3＋5)＋3＋5=6－4 = 2 ∴ x= 2 即3－5－3＋5=－ 2六、巧用对称式例9、已知x=3＋23－2 ，y=3＋23＋2求x y ＋y x 的值 解：由已知得：x ＋y=3＋23－2 3＋23＋2=－(3＋2)2－(3－2)2=－14 xy=1 ∴ x y ＋y x =x 2＋y 2xy = (x ＋y)2－2xy xy =(－14)2－2×11=194 七、巧取倒数例10、已知：x 2x 2－2=11－3－2 ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x －11＋x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2－1＋x 的值 解：把已知式两边都取倒数得x 2－2x 2=1－3－ 2 即1－2x 2=1－3－ 2∴－2x2=－(3＋2)∴原式=2x1－x2·x2－1x3=－2x2=－(3＋2) =－2－ 2例11、化简：15－5－3＋3 5＋23－1解：设原式=，则1a=(5＋3)＋(3－1)(5＋3) (3－1)=13－1＋15＋3=3＋12＋5－32=5＋12∴原式=25＋1=5－12八、巧添项和拆项例12、化简262＋3＋5解：分母中的三项有以下的关系：(2)2＋(3)2－(5)2=0∴原式=2(6)＋(2)2＋(3)2－(5)22＋3＋5=(2＋3)2－522＋3＋5=(2＋3＋5)( 2＋3－5)2＋3＋5= 2＋3－5例13、化简22＋33＋5( 5＋3)( 2＋3)解：∵33=3＋2 3∴原式=22＋33＋5( 5＋3)( 2＋3)=13＋2＋15＋3=3－2＋5－3=5－ 2九、巧用配方法例14、计算：a＋2＋4a－2＋a＋2－4a－2 其中a≥2 解：∵a＋2＋4a－2=(a－2)＋4a－2＋4=(a－2＋2)2a＋2－4a－2=(a－2)－4a－2＋4=(a－2－2)2∴原式=丨a－2＋2丨+丨a－2－2|例15、若有理数a、b、c满足2a＋2b－1＋2c－2 =a＋b＋c 求abc的值解：∵、、是有理数，并对等式进行变形得：a－2a＋b－2b－1＋c－2c－2=0左边配方：(a－2a＋1)＋(b－1－2b－1＋1)＋c－2－2c－2＋1=0(a－1)2＋(b－1－1)2＋(c－2－1)2=0十、整体求值法：例16、当x=12－3求x2－4x＋2 的值解：由已知得x=12－3=2＋ 3 ∴x－2= 3 则(x－2)2=3∴x2－4x＋4=3 x2－4x＋2=1 附件：试题摘录计算：11＋3＋13＋5＋15＋7＋…＋12005＋2007=12(3－1＋5－3＋7－5＋…＋2007－2005)=12(2007－1)=32(223－1)例2、计算：9－45－6－25=(5－2)－(5－2)=－1例3、设a表示13－5的小数部分，求a(2a＋1) 的值.解：∵13－5=3＋54又1＜3＋54＜2 ∴a =3＋54－1=5－14∴a(2a＋1)=5－14×(2×5－14＋1)=5－14×5＋12=12例4、已知x=222…y=2＋2＋2＋…则和的关系为（）（A）x=y （B）x=2+y （C）x=2y （D）2x=y解：∵x2=22x 且x＞0 ∴x=2 ∵y=2＋y ∴y2=2＋y∵y＞0 ∴y=2 ∴x=y 故选（A）例5、化简：3633×3635×3639×3641＋36－3633×3638解：设a=3637 则原式=(a－4)(a－2)(a＋2)(a＋4)＋36－(a－1)(a＋1)=(a2－16)(a2－4)＋36－a2＋1=(a2－10)2－a2＋1= a2－10－a2＋1=9例6、已知a、b满足a1－b2＋b1－a2=1 求证：a2＋b2=1解：∵a1－b2＋b1－a2=1 ∴a1－b2=1－b1－a2∴(a1－b2)2=(1－b1－a2)2∴a2(1－b2)=1－2b1－a2＋b2(1－a2) ∴1－a2－2b1－a2＋b2=0 ∴则(1－a2－b)2=0∴1－a2=b ∴1－a2=b2故得证：a2＋b2=1例7、化简：2＋3＋2－3－3＋22－3－22＋8解：原式=4＋232＋4－232－3＋22－3－22＋2 2=22(3－1)(2＋1)－(2－1)=6－22＋22= 6 敬请看看我的数学解题方法谈1------10.。
中考数学复习指导：巧用二次根式两个非负性解题
巧用二次根式两个非负性解题一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.注意到a 表示非负数a 的算术平方根，那么二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a 的值，另一个是二次根式a 的值.解答某些与二次根式有关的问题时，要注意灵活巧用这两个非负数.一、确定取值范围问题例1如果2211a a a ，那么a 的取值范围是（）（A ）a ＝0（B ）a ＝1（C ）a ＝0或a ＝1（D ）a ≤1 .解：已知等式即为2211a a a .因为221a a ≥0，所以1a ≥0，a ≤1，应选D .例2已知3233x x x x ，那么（）（A ）x ≤０（B ）x ≥－3（C ）０＜x ＜3（D ）－3≤x ≤０．解：由323x x ≥０，得3x x ≥０．因为3x ≥０，x ＋3≥０，所以－x ≥０，x ≥－3．所以－3≤x ≤０，应选D ．二、化简问题例3当ab ＜0时，化简2ab ，得（）（A ）b a （B ）b a （C ）b a （D ）b a .解：在2ab 中，因为2ab ≥0，所以ab b ≥0 .因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0 .原式＝2b a b a ，应选 A .三、求值问题例4若x 、y 都为实数，且21124x x y ，则xy 的值为（）（A ）0 （B ）12（C ）2（D ）不能确定.解：由21x ≥0，12x ≥0，得2x ≥1，2x ≤1 .所以2x ＝1，x ＝12 .所以y ＝4, xy ＝2，应选 C .例5已知5260x y x ，则31x y ______ .解：在5260x y x 中，因为5x ≥0，26y x ≥0，所以5x ＝0，260y x .所以5x ，16y ，31x y 0 .。
巧用平方根的概念解决相关题目(解析版)--七年级数学下册
第05讲巧用平方根的概念解决相关题目类型一：巧用非负性求值类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值类型三：巧用算术平方根的最小值求值类型四：巧用平方根的定义解方程【类型一：巧用非负性求值】1．（2023秋•余姚市期中）已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴m﹣4＝0，n+9＝0，解得m＝4，n＝﹣9，∴＝＝﹣．故选：B．2．（2023春•祥云县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（）A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，故选：A．3．（2023春•五华区校级期中）已知x，y满足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（）A．B．C．1D．±1【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出x，y的值，再利用平方根的定义求出答案．【解答】解：∵x，y满足+（y+1）2＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，∴x﹣y的平方根是：±．故选：A．4．（2023秋•大东区期中）+|b+2|＝0，则的值是（）A．0B．2018C．﹣1D．1【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，则＝＝1．故选：D．5．（2023春•西岗区月考）已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定义进行计算即可．【解答】解：由题意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故选：C．6．（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若，则的值等于（）A．1B．﹣C．2D．﹣2【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再将a，b，c代入中即可求解．【解答】解：∵，，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝，c＝﹣4，∴＝＝＝2，故选：C．7．（2023春•赛罕区期中）已知，则a2+b2的值为（）A．2B．C．1或﹣1D．1【分析】由已知得，两边平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，从而可选出正确答案．【解答】解：，则两边平方得，整理得，两边平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故选：D．8．（2023春•南山区校级月考），则a+b＝（）A．a+b＝﹣1B．a+b＝1C．a+b＝2D．a+b＝3【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵，，∴，∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．【类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值】9．（2023秋•榆阳区校级月考）一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（）A．49B．25C．16D．7【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即这个数是49，故选：A．10．（2023春•台江区校级期末）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（）A．﹣7B．﹣4C．1D．16【分析】根据平方根的定义得出3m+1+2m﹣6＝0，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，∴3m+1+2m﹣6＝0，∴m＝1；故选：C．11．（2023秋•玄武区校级期中）若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，则a＝﹣1，这个正数是16．【分析】根据平方根的性质即可求得a的值，然后根据平方根的定义即可求得这个正数的值．【解答】解：∵一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，∴2a﹣2﹣a+3＝0，解得：a＝﹣1，则﹣a+3＝1+3＝4，那么这个正数是16，故答案为：﹣1；16．12．（2023春•南通期末）已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，则x＝3．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后将其代入2a2x+（a+b）2x ＝27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．【解答】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵2a2x+（a+b）2x＝27，∴2x•x+x•x＝27，即3x2＝27，则x2＝9，∵x为正实数，∴x＝3，故答案为：3．13．（2023秋•太和区期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，∵＝2，解得a＝5，∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，∴18的平方根是±3．14．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a ﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．15．（2023秋•临汾月考）若实数b的两个不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．【分析】根据平方根的性质进行解题即可．【解答】解：由题意得（2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，解得a＝2，∴b＝（2a﹣3）2＝1，∴5a﹣b＝9．∴5a﹣b的平方根为±3．16．（2023春•惠阳区期末）已知正实数x的两个平方根分别为a和a+b．（1）若a＝﹣2，求b和x的值；（2）若b＝6时，求a和x的值；（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．【分析】（1）根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x的值；（2）根据平方根的定义及性质即可求得a的值和x的值；（3）根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x的值即可．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴a+a+b＝0，即2a+b＝0，∵a＝﹣2，∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；（2）∵2a+b＝0，b＝6，∴2a+6＝0，解得：a＝﹣3，∴x＝（﹣3）2＝9；（3）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵a2x+（a+b）2x＝8，∴x2+x2＝8，即2x2＝8，解得：x＝±2，∵x为正实数，∴x＝2．【类型三：巧用算术平方根的最小值求值】17．（2023•墨玉县一模）当x＝4时，式子3+有最小值，且最小值是3．【分析】先根据二次根式非负的性质求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴当x﹣4＝0时，会有最小值，∴当x＝4时，会有最小值，且最小值是3．故答案为：4，3．18．（2023春•东湖区校级期中）已知y＝﹣9+，当x＝13时，y的最小值＝﹣9．【分析】由算术平方根的非负性求解即可．【解答】解：∵，∴当x＝13时，有最小值是0，∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，故答案为：13；﹣9．19．（2023春•潮阳区期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9，进而求出答案．【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是3，故选：B．20．（2023春•海淀区校级期中）关于式子m2+1（m为实数），下列结论中错误的是（）A．式子m2+1定有平方根B．当m＝0时，式子m2+1有最小值C．无论m为何值，式子m2+1的值一定是有理数D．式子m2+1的算术平方根一定大于等于1【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解．【解答】解：∵m2+1（m为实数）≥1，∴A：m2+1定有平方根，B：当m＝0时，m2+1有最小值1，D：m2+1的算术平方根大于等于1，C：当m＝π时，m2+1是无理数，故选：C．21．（2023春•淮北月考）当a取什么值时，的值最小？请求出这个最小值．【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．【解答】解：∵≥0，∴当a＝﹣时，有最小值，是0．则的最小值是1．【类型四：巧用平方根的定义解方程】22．（2023秋•永修县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a﹣11．（1）求a及m的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：a+5+2a﹣11＝0，解得：a＝2，∴m＝（a+5）2＝49；（2）原方程为：2x2﹣16＝0，∴x2＝8，解得：．23．（2023春•牧野区校级期中）解方程：（1）16x2＝49；（2）（x﹣2）2＝64．【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．【解答】解：（1）16x2＝49，∴x2＝，∴x＝±；（2）（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x＝10或x＝﹣6．24．（2023春•西和县期中）解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化为：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化为：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．25．（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：．26．（2023春•鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．【解答】解：根据题意得，2a+10＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣5，b＝，所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，即﹣x+5＝﹣6，解得x＝11．27．（2023春•天河区期中）已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax3﹣64＝0的解．【分析】（1）根据平方根的定义可求出a的值；（2）将a的值代入后，再由立方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，∴a+6+2a﹣9＝0，解得a＝1，答：a＝1；（2）当a＝1时，原方程可变为x3﹣64＝0，由立方根的定义可知，x＝4，即方程x3﹣64＝0的解为x＝4．28．（2023春•昭平县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；（3）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4．29．（2023春•东港区校级月考）已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．。
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进展二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进展，运算中要运用公式ab b a =⋅ ()0,0≥≥b a③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进展运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的根底上去括号与合并同类项．⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。
常言道：“兵无常势，水无常形。
〞我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握根本概念和运算法那么外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想方法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。
现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法例1.计算b a b a ba ba b a +-+-+-2分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式()ba b a b a ba b a b a ba b a 22)()())((2-=-+-=+-++--=二、适当配方法。
例2．计算：32163223-+--+分析：此题主要应该从式子入手发现特点，∵分母含有321-+其分子必有含321-+的因式，于是可以发现()221223+=+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的321-+的因式就出来了。
因式分解狂练300题二次根式100题带答案
因式分解的方法与技巧因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。
现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1、因式分解 32422+++-b a b a解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a例2、因式分解 611623+++x x x解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+ 则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x 二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例3、因式分解444y x +解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++例4、因式分解 4323+-x x解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x =2)2)(1(-+x x 三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
二次根式中常用的数学思想
二次根式中常用的数学思想作者：陈德前来源：《初中生·考试》2011年第10期数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙?郾在学习二次根式时，常用到如下数学思想?郾一、估值思想对于有些根式问题，需要先估值，才能解决?郾例1 （2010年呼和浩特卷）已知：a、b为两个连续的整数，且a＜■＜ b，则a+b= ?郾分析：要求a、b的值，就要对■进行估值?郾 15在平方数9和16之间，而■=3，■=4，于是可得到答案?郾解：∵ 9＜15＜16，∴ ■＜■＜■，即3＜■＜4?郾因为a、b为两个连续的整数，且a＜■＜ b，则a＝3，b＝4，a+b＝7?郾温馨小提示：这里a、b为两个连续整数的条件很重要，否则答案不唯一?郾二、方程思想利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（组）来解决问题?郾例2 （2010年成都卷）若x，y为实数，且｜x+2｜+■=0，则（x+y）2 010的值为 ?郾解：∵｜x+2｜≥0，■≥0，而｜x+2｜+■=0，∴｜x+2｜=0，■=0?郾解得x＝-2，y＝3. 所以（x+y）2 010=1?郾温馨小提示：非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根等）是一类具有特殊性质的数. 一个等式中有两个未知数，利用非负数的性质构造方程组求出未知数的值，在中考命题中很常见?郾三、数形结合思想数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微. 数形结合有助于找到简捷的解法?郾例3 （2010年广州卷）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简｜a-b｜-■的结果是（）?郾A?郾 2a-b?摇?摇 B?郾 b?摇?摇 C?郾 -b?摇?摇 D?郾 -2a+b解：观察数轴可知a＞0，b＜0，∴ a-b＞0.∴｜a-b｜-■=｜a-b｜-｜a｜=（a-b）-a=a-b-a=-b?郾选C?郾温馨小提示：在化简根号内含有字母的二次根式时，需把平方式转化为绝对值，再去绝对值的符号?郾当a＞0时，■＝｜a｜=a；当a＜0时，■＝｜a｜＝-a?郾四、整体思想整体思想就是在处理问题时，从整体角度思考，将局部放在整体中去观察分析，从而探究问题解决方法的一种思想?郾例4 （2010年益阳卷）已知x-1=■，求代数式（x+1）2-4（x+1）+4的值?郾解法1：由x-1=■得x=■+1.原式＝x2+2x+1-4x-4+4＝x2-2x+1＝（■+1）2-2（■+1）+1＝3?郾解法2：原式＝（x+1-2）2＝（x-1）2.当x-1=■时，原式＝（■）2＝3?郾温馨小提示：解法1直接代入化简后的代数式进行计算，运算量较大，且易出错?郾而解法2通过观察已知条件和求值式的特点，发现可以视x-1为整体，将求值式逆向变形，采取整体代入，快速得出答案?郾五、类比思想通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识?郾二次根式的加减运算与合并同类项类似?郾例5 （2010年聊城卷）化简：■+■+■= .解：■+■+■=3■+2■+■■=■■.温馨小提示：二次根式的运算结果可以含二次根式，也可以不含二次根式?郾六、转化思想转化是初中数学中常见的一种思想，它的应用十分广泛. 在研究和解决数学问题时，经常将复杂问题转化成简单问题，将疑难问题转化成容易问题，将未解决的问题转化成已解决的问题?郾例6 化简并求值：■（■-■）÷■，其中a=3-■，b=3+■?郾分析：利用换元，将二次根式运算转化为分式运算来处理?郾解：设■=m，■=n，则a=m2，b=n2.原式＝■（■-■）÷■＝■［■-■］÷■＝mn（■-■）×■＝mn■×■＝2mn，即原式=2■?郾当a=3-■，b=3+■时，原式=2■=2■=4?郾温馨小提示：这里利用换元法，变根式运算为分式运算，各种隐藏被“曝光”，再进行化简已是轻车熟路?郾请做一做下面几道中考题：1?郾（2010年襄樊卷）计算■×■+■·■的结果估计在（）?郾 A?郾 6至7之间?摇?摇 B?郾 7至8之间C?郾 8至9之间?摇?摇 D?郾 9至10之间2?郾（2010年广州卷）若a＜1，化简■-1＝（）?郾A?郾 a-2?摇?摇 B?郾 2-a?摇?摇 C?郾 a?摇?摇 D?郾 -a3?郾（2010年连云港卷）已知x＝-1，求x2＋3x-1的值?郾 4?郾（2010年荆门卷）已知a=2+■，b=2-■，求■-■的值?郾■。
二次根式运算的技巧
二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法,可使问题化繁为简，易于计算。
下面举例说明二次根式的运算技巧:一、巧移因式法例1、 计算)3418)(4823(-+ 分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯ =)4818)(4818(-+=18-48=—30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(-+分析：∵2=2)2( ∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解:原式=]3)2(25)[65(2-+ =)]65(2)[65(-+ =)65)(65(2-+ =2（25—6） =192三、公式法例3、计算)632)(632(---+分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用,本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62[(--+- =22)3()62(-- =366222-+- =345-四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x +÷++分析：本题若直接按乘除法则计算,显然很麻烦,若适当分解因式约去公因式,则运算很简便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++ =)()(2y x y x +÷+ =y x +五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项,则计算会很简便解:原式=)23)(36()23(3)36(+++++ =363231+++ =3623-+- =26-六、配方法例6、计算3819625223+--+-分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=222)34()23()21(+--+- =)34()23()12(+--+-=-5。
“二次根式”中的数学思想方法
“二次根式”中的数学思想方法一、分类讨论的思想方法有些问题包含的对象比较复杂，很难用一种情况概括它的全貌，这时往往按照一种标准把问题分成几类，分别进行讨论，再综合起来进行说明，这种思想方法称为分类讨论思想。
例1 已知a 是实数，化简：22(2)(1)a a +--。
分析 因为2a +和1a -的符号不能确定，所以可以令20a +=，则2a =-，令10a -=，则1a =，然后分以下三种情况讨论2a ≤，21a -<≤，1a >，最后化简。
解 22(2)(1)21a a a a +--=+--。
分三种情况：①当2a ≤-时，原式2[(1)]213a a a a =-----=--+-=-，②当21a -<≤时，原式2[(1)]2121a a a a a =+---=++-=+，③当1a >时，原式2(1)213a a a a =+--=+-+=。
点评 本题运用了“0”点取值法，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分清况化简，体现了分类讨论思想方法的运用。
二、数形结合思想数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决。
在进行二次根式的化简时，可以利用数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简。
例4 实数a 在数轴上的位置如图所示，试化简22(4)(11)a a -+-。
分析 先看实数a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围为510a <<，然后确定(4)a -和(11)a -的正负：40a ->，110a -<再开方化简。
解 22(4)(11)4114117a a a a a a --=-+-=-+-=点评 先将二次根式转化为绝对值问题，然后根据数轴上各点的位置确定代数式的正负，再将绝对值符号进行化简。
三、整体思想整体思想是一种重要的思想方法，它把研究对象的一部分(或全部)视为整体，在解题时，则把注意力和着眼点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的计算，使问题得以简化。
二次根式化简中运用的数学思想
二次根式化简中运用的思想方法1、转化思想例1 计算2008200822（.分析：直接计算，无法进行.仔细观察后我们把20092（看成20082（·（2，然后利用积的乘方公式逆用来处理.解：原式=20082）·20082（·（2=20082（·20082（·（2=[2（2]2008（2=(－1)2008（2=2点评：转化思想是将不易解决的问题，设法变成我们容易解决的问题，从而达到将将抽象转化为具体，复杂转化为简单的目的的一种数学思想.在本题中，是将陌生的形式转化成熟悉的积的乘方公式，再利用平方差公式知识求解.练习：计算 ))2011201222⋅+2、分类思想例2 化简：aa a 3|2|2-. 分析 题目只有一个隐含的条件是a ≠0，而要化简本题，首先得化去根号和绝对值，由于字母a 并没有确定，于是必须通过分情况讨论才能解决问题.解 由题意可知a ≠0，所以a ＞0或a ＜0.当a ＞0时，原式＝a a a 3|2|-＝a a 3＝31； 当a ＜0时，原式＝a a a 3|2|+＝a a 33-＝－1. 说明 利用“分类思想”，必须把所研究的数学对象，按某种本质特征区分为不同种类，然后分别加以考察.分类时必须遵循三条原则：①分类标准必须统一；②任何两种情况不重复；③每一种情况都不能遗漏.分类讨论思想是处理有关二次根式问题的一种重要的解题策略，同学们在学习时一定要加以注意.练习：化简 （1；（2 3、整体思想例3 已知a ＝2323-+，b ＝2323+-2的值. 分析 此题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们都可以化简，这样采取变问题的条件和结论的方法，然后采用整体代入的思想，比较容易求出问题的解来.解 因为a ＝2323-+，b ＝2323+-， 所以ab ＝1，a +b ＝2323-++2323+-＝(3+2)2+(3－2)2＝3+26+2+3－26+2＝10，＝10011001-+＝－99101. 说明 有关二次根式中的不少公式、法则都有一定的隐含条件，求解时，若能及时发现其中的条件，就能使问题柳暗花明. 本题在求解的过程中运用了整体代入的数学思想，即直接从已知条件中挖掘答案，显然既简洁又巧妙.练习：1、已知:,572+=a ,572-=b 求22b ab a +-的值.2、已知：2310x x -+=. 4、换元思想例4.分析 考虑到要化简的二次根式的复杂性，不妨用字母代换其中的一部分，或许能从中找到求解的突破口.解 设A ＝20049999个，那么120049999个＝102004+20049999个＝102004+A ，①而102004＝20049999个+1＝A +1，②由②、①得120049999个＝2A+1＝A +1＝102004是有理数.说明 换元思想就是将含某个(或某些)字母的式子作为一个整体，用一个字母表示，以便进一步解决问题.换元法可以把一个复杂式子化简，把问题化归为基本问题，从而达到化繁为简、化难为易的目的.5、数形结合思想例5 如图，数a 、b 在数轴上的位置，化简分析：通过观察数轴可以看到a<0,b>0.于是a －b<0,所以－a －b+(a －b)=－2b.说明 本题利用数形结合思想，通过观察和分析可从数轴上获取一些信息，然后结合二次根式的性质解决了问题.图。
2二次根式巧用数学思想解二次根式题
巧用数学思想解二次根式题“二次根式”是初中数学中的一个重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，有些二次根式问题，若巧用数学思想方法解之会收到意想不到的效果。
一、 数形结合思想例1 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a -|a+b|+2)1(a -+2)(c b +解析：由图可知b ＜a ＜0＜c ，∴a ＜0，a+b ＜0，c-a ＞0，b+c ＜0所以2a -|a+b|+2)1(a -+2)(c b +=-a+a+b+c-a-（b+c ）=-a二、 分类讨论思想 例2 化简aa a 3|2|2-= 解析：由题意可知a ≠0，所以a ＞0或a ＜0当a ＞0时，原式=a a a 3|2|-=a a 3=31 当a ＜0时，原式=a a a 3|2|+=aa 33-=-1 所以结果应填31或-1 三、 整体思想例3 已知x=2323-+，y=2323+-，求代数式22)()(y x y x y x y x +-++的值。
分析：此题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们都可以化简，这样采取变问题的条件和结论的方法，然后采用整体代入的思想，比较容易求出问题的解来。
解：∵x=2323-+，y=2323+-∴xy=1，x+y=2323-++2323+-=（3+2）2+（3-2）2=3+26+2+3-26+2=10所以22)()(y x y x y x y x +-++=10011001-+=-99101 四、 方程思想0 ca b例4 已知x=2，求xx x x x x x x +---++-+-+22222222的值 分析：本题将x=2代入求值，相当繁，若用方程思想设所求代数式为，进行一些变换，易求值即原代数式可求解：设y=xx x x x x x x +---++-+-+22222222 则y+1=x x x x x x +---+-+2222222，,y-1=x x x x x x +---++-2222222 11-+y y =x x -+22，∴y=x2，又x=2 ∴y=22=2五、 等价转化思想例5 比较15-13与13-11的大小分析：本题直接解答较困难，可采用等价转化思想，将原两数分别分子有理化，再比较 解：∵15-13=13152+ 13 -11=11132+ ∴13152+＜11132+，∴15-13＜13-11。
专训1 巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值
专训1巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值名师点金：本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．)利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子中为二次根式的是()A.38B.－1C. 2D.x(x＜0)利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围2．无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，化简式子（m－3）2＋（4－m）2.利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？不是最简二次根式的请说明理由．412－402，8－x2，22，x2－4x＋4(x>2)，－x 12x，0.75ab，ab2(b>0，a>0)，9x2＋16y2，（a＋b）2（a－b）(a>b>0)，x3，x3.4．把下列各式化成最简二次根式．(1) 1.25；(2)4a3b＋8a2b(a≥0，b≥0)；(3)－nm2(mn＞0)；(4)x－yx＋y(x≠y)．利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值5．如果最简根式b－a3b和2b－a＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么()A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0 C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－26．若最简二次根式5a＋b和2a－b能合并，则代数式－3a2b＋(3a＋2b)2的值为________．7．如果最简二次根式3a－8与17－2a在二次根式加减运算中可以合并，求使4a－2x 有意义的x的取值范围．8．若m，n均为有理数，且3＋12＋34＝m＋n3，求(m－n)2＋2n的值．答案1．C2．解：∵x 2－4x ＋m ＝（x －2）2＋m －4，且无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义，∴m －4≥0，∴m ≥4.当m ≥4时，（m －3）2＋（4－m ）2＝(m －3)＋(m －4)＝2m －7.3．解：8－x 2，22，9x 2＋16y 2，x 3是最简二次根式． ∵412－402＝（41－40）×（41＋40）＝81＝9，x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝x －2(x>2)，－x 12x ＝－x 2x 2x·2x＝－122x ， 0.75ab ＝0.25×3ab ＝123ab ，ab 2＝b a(b>0，a>0)， （a ＋b ）2（a －b ）＝(a ＋b)a －b(a>b>0)，x 3＝3x 3， ∴412－402，x 2－4x ＋4(x ＞2)，－x12x ，0.75ab ，ab 2(b ＞0，a ＞0)，（a ＋b ）2（a －b ）(a ＞b ＞0)，x 3不是最简二次根式． 4．解：(1) 1.25＝54＝52. (2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b(a ≥0，b ≥0)．(3)由－n m2≥0，mn ＞0知：m ＜0，n ＜0，∴－n m 2＝－n m 2＝－n －m＝－－n m . (4)x －y x ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋y x －y (x ≠y)． 5．A 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2.故选A . 6．1 点拨：∵最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，∴5a ＋b ＝2a －b ，∴3a ＋2b ＝0，∴3a ＝－2b.∴－3a 2b＋(3a ＋2b)2＝1＋0＝1. 7．解：由题意得3a －8＝17－2a.∴a ＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可．∴20－2x ≥0，∴x ≤10.8．解：∵3＋12＋34＝3＋23＋32＝723＝m ＋n 3，m ，n 均为有理数，∴m＝0，n ＝72. ∴(m －n)2＋2n ＝⎝⎛⎭⎫0－722＋2×72＝494＋7＝774.。
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巧用数学思想解二次根式题
“二次根式”是初中代数中的一个重要内容，其中蕴含着丰富的数学思想方法，有些二次根式问题，若巧用数学思想方法解之会收到意想不到的效果。
一、 数形结合思想
例1
已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简
2
a -|a+b|+2)1(a -+2
)(c b +
解析：由图可知b ＜a ＜0＜c ，∴a ＜0，a+b ＜0，c-a ＞0，b+c ＜0 所以2
a -|a+b|+2)1(a -+2)(c
b +=-a+a+b+c-a-（b+
c ）=-a 二、 分类讨论思想 例2 化简
a
a
a 3|
2|2
-
=
解析：由题意可知a ≠0，所以a ＞0或a ＜0 当a ＞0时，原式=a a a 3|2|-=a a
3=
31
当a ＜0时，原式=a
a a 3|2|+=
a
a 33-=-1
所以结果应填
3
1或-1
三、 整体思想 例3 已知x=
2
323-
+，y=
2
323+
-，求代数式
2
2)
()(y x y x y x y x +-++的值。
分析：此题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们都可以化简，这样采取变问题的条件和结论的方法，然后采用整体代入的思想，比较容易求出问题的解来。
解：∵x=
2323-
+，y=
2
323+-
∴xy=1，x+y=2
323-
++
2
323+
-=（3+2）2+（3-2）2
=3+26+2+3-26+2=10 所以
2
2)
()(y x y x y x y x +-++=
100
11001-+=-
99
101
四、 方程思想
0 c
a b
例4 已知x=2，求
x
x x
x x x x x
+--
-++-+-+22222222的值
分析：本题将x=2代入求值，相当繁，若用方程思想设所求代数式为，进行一些变换，易求值即原代数式可求
解：设y=
x
x x x x x x x
+--
-++-+-+22222222
则y+1=
x
x x
x x x +--
-+-+2222222
，,y-1=
x
x x
x x x +--
-++-2222222
1
1-+y y =
x
x -+22，∴y=x
2，又x=2
∴y=
2
2=2
五、 等价转化思想
例5 比较15-13与13-11的大小
分析：本题直接解答较困难，可采用等价转化思想，将原两数分别分子有理化，再比较
解：∵15-13=
13
152+
13 -11=11132+
∴
13
152+
＜11132+
，∴15-13＜13-11。