函数、方程及其应用(1)

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函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

专题02函数的应用(知识梳理)第一节函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3；设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点；综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1，即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0，则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为随x 的增大逐渐表现为随n 值变化而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。

高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理

§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33，则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围．解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2，当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。

高中数学(各版本教材目录)

高中数学各版本新教材目录体系比较第三章统计案例§1 回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析阅读材料高尔顿与回归§2 独立性检验2.1条件概率与独立事件阅读材料概率与法庭2.2独立性检验2.3独立性检验的基本思想2.4独立性检验的应用《数学选修4-1 几何证明选讲》第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-2 矩阵与变换》第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用《数学选修4-4坐标系与参数方程》第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-5不等式选讲》第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式。

凤凰新学案高中数学必修一电子版试卷

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它包含六大知识点，分别是概率、线性函数、空间几何、二次函数、函数及其应用、统计学。

一、概率1. 概率的基本概念：概率是指事件发生的可能性。

2. 抽样、连续性及其关系：抽样指对样本容量进行抽样，可以揭示随机事件发生的可能性；连续性则是指样本容量无限增加时，概率的取值趋于某一恒定的正值。

3. 条件概率：通过计算事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，可以得出不同事件之间的相互影响。

二、线性函数1. 线性函数的基本概念：若函数图象为直线，则称之为线性函数，能够表示两量之间等比例关系，其表达式为 y=kx+b，其中k为系数，b 为常数项。

2. 对称：线性函数满足对称性，即函数图象关于指定点的一条轴或一条直线的对称。

3. 方程的解法：可以使用算法、极坐标及相对对称的方法来求解线性方程的解。

三、空间几何1. 平行： n 条相互平行的直线总共有 n-2 个交点，当 n=3 时，共有1个交点；当 n>=4 时，所有直线均通过一个公共点。

2. 平面：平面是由平行直线构成的有限几何空间，它的特征是没有深度，直线只有平行性而无其他关系。

3. 直线：直线是无穷尽的，它由两点确定，其垂直于两垂直直线之间的公共轴，可以用斜率的角度来表示。

四、二次函数1. 二次函数的概念：它是一种特殊的函数，是二次幂函数的一种，是一元函数，表示为 y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不能为0。

2. 判断函数是否是二次函数：此时要求一下函数的一阶导数和二阶导数均为常数，若不满足此条件则说明函数不是二次函数。

3. 函数图像：当a>0时，图象为以原点为极大值点的抛物线；当a<0时，图象为以原点为极小值点的抛物线。

五、函数及其应用1. 函数的概念：函数是把一个变量的值以某一规律映射到另一个变量上的规则或运算。

2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏骈俊生)ppt-第一章函数及其应用-电子课件

第如果对于任意 y f (D)，都可以从关系式y f (x)
一节
中确定唯一的值 x D 与之对应，那么所确定的以 y为自变量的函数x f 1( y) 称为函数的反函数.
函
数
习惯上，函数自变量用x 表示，所以反函数
及
其
通常表示为 y f 1(x) ，
性质
此时函数与反函数的
图像有如图对称性。
由于鱼缸的容积为180cm3 ，即有x2h 108
模型和工
由此得
h 108 x2
程
所以总费用与底面边长的函数关系为：
曲
线
C 2ax2 432a ， x ( 0 , )
x
第二节函数模型和工程曲线
4.函数的有界性
定义1.7 设函数y f (x)在区间I上有定义，
第
如果存在一个正数 M，对于任意xI ，恒
一节
有| f (x) | M 成立，则称y f (x) 是区间I 上
函
的有界函数；如果这样的正数M 不存在，
数及
则称 y f (x) 是区间 I上的无界函数。
其
性质
比如：函数 y sin x 在区间(, ) 内是有
3.函数的周期性
定义1.6 设T 为一个非零实数，如果函数
y f (x) 对于其定义域内任意x D ，且x T D
第一
都有 f (T x) f (x) ，则称y f (x)是周期函数，
节
习惯上，把上述关系式成立的最小正数称
函
为周期。
数
及
其性
例如求函数 f (x) Asin(wx ) 的周期：
xx
x3
注意：若不考虑实际意义，只研究用解析

高一数学目录

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录必修一第一章集合与函数概念1、集合2、函数及其表示3、函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）1、指数函数2、对数函数3、幂函数第三章函数的应用1、函数与方程2、函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置1、点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线的方程3、直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程1、圆的方程2、直线、圆的位置关系3、空间直角坐标系必修三第一章算法初步1、算法与程序框图2、基本算法语句3、算法与案例第二章统计1、割圆术2、随机抽样3、用样本估计总体4、变量间的相关关系第三章概率1、随机事件的概率2、古典概型3、几何概型必修四第一章三角函数1、三角函数2、任意角和弧度制3、任意角的三角函数4、三角函数的诱导公式5、三角函数的图象与性质6、函数y=Asin(ωx+φ)7、三角函数模型的简单应用第二章平面向量1、平面向量的实际背景及基本概念2、平面向量的线性运算3、平面向量的基本定理及坐标表示4、平面向量的数量积5、平面向量应用举例第三章三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切2、简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1、正弦定理和余弦定理2、解三角形的应用举例第二章数列1、数列的概念与简单表示法2、等差数列3、等差数列的前n项和4、等比数列5、等比数列的前n项和第三章不等式1、不等关系与不等式2、一元二次不等式及其解法3、二元一次不等式（组）与简单的线性规则问题4、基本不等式。

高中数学常见函数及其应用

高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。

在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。

本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。

一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。

线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。

以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。

当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。

2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。

斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。

二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。

2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。

例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。

三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。

指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。

通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。

2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。

通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。

四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1课时函数及其表示精品课件

结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．奇偶性
知识点
指数与指数函数
对数与对数函数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法：解析法、
图象法、列表法．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x) 1x－1，将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中，可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．

专题一第2讲基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x) x的图象可能是()log＝1b(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8考向2 求参数的值或范围例3 (2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－2e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e －x －2B ．y ＝f (x )e x ＋2C ．y ＝f (x )e x －2D ．y ＝f (－x )e x ＋2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv ＝v e ln m 0m 1，其中Δv 为火箭的速度增量，v e 为喷流相对于火箭的速度，m 0和m 1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭v e 达到5公里/秒，m 0m 1从100提高到600，则速度增量Δv 增加的百分比约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A ．15%B ．30%C ．35%D ．39%(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00GG L D ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )A ．11B ．22C ．227D ．481易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝r k ＋⎝⎛⎭⎫m 0－r k e kt -v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝220301,010100012,10100,20tt tt+⎧<⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩≤，≤≤为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)() A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时。

人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】

函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

高中数学高考总复习函数与方程及应用题习题及详解

高中数学高考总复习函数与方程及应用题习题及详解一、选择题1．(文)(2010·北京市延庆县)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2，e )C ．(e,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] ∵f (2)＝ln2－1<0，f (e )＝1－2e>0，故选B.(理)(2010·北京东城区)若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)＝0的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤14，12[答案] C[解析] 由题意知，f (－1)·f (0)＝(2m －1)·(2m ＋1)＝4m 2－1<0，∴－12<m <12，又f (1)·f (2)＝(4m －1)(8m －7)<0，∴14<m <78，∴14<m <12.2．(2010·四川)函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1[答案] A[解析] 由－m2＝1得，m ＝－2.3．(文)(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或1 ∵x ≤0，∴x ＝－3，令－2＋ln x ＝0得，ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．(理)(2010·福建省福州市)已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a 、b 、c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b[答案] B[解析] 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)；∵g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此，a <c <b .[点评] 求函数f (x )的零点可直接令f (x )＝0解方程；若f (x )为分段函数，则要注意每段上自变量的允许取值范围；若是讨论零点个数或比较零点的大小，常用单调性和图象辅助讨论．请再练习下列两题：①(2010·合肥市)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0；当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f (x )共有3个零点．②(2010·吉林市质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．4．(2010·安徽江南十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x －1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．5．(文)(2010·福州市质检)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2009)＋f (－2010)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] C[解析] 依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2009)＋f (－2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)，而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2009)＋f (－2010)＝1，故选C.(理)(2010·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；…∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ，故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.6．(文)(2010·山东临沂)若a ，b 在区间[0，3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A.12B.33C.36D ．1－36[答案] C[分析] ①f (x )在R 上有两个相异极值点，即f (x )在R 上的变化规律为增→减→增(或减→增→减)．又f (x )为三次函数，故其导函数f ′(x )为二次函数，f ′(x )＝0应有两不等实根，∴Δ>0.②凡涉及两个变量在实数区间内取值的概率问题，一般都可以通过把这两个变量看作坐标平面内点的坐标转化为平面上的区域问题求解．[解析] 易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a ，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0且其导函数的判别式大于0，即a ≠0且4b 2－12a 2>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ，点(a ，b )满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36. (理)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a －b ≤0f (2)＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.7．(文)(2010·济南一中)如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()A．P点B．Q点C．R点D．S点[答案] B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设s i(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i(i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×4＋2a×3＋3a＋4a×2＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少．(理)(2010·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D 的机票价格为()(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元B．1200元C．1400元D．1500元[答案] D[解析]注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5×300＝1500.[点评]观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．8．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a，b满足a<b，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．9．(文)(2010·江苏南通九校)若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n的取值范围是( )A ．(3.5，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(4.5，＋∞)[答案] B[分析] 欲求1m ＋1n 的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m 、n 之间的关系，观察f (x )与g (x )的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标，因为指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数，故其图象关于直线y ＝x 对称，又因直线y ＝－x ＋4垂直于直线y ＝x ，指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标之和是直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m ，n 的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．[解析] 令a x ＋x －4＝0得a x ＝－x ＋4，令log a x ＋x －4＝0得log a x ＝－x ＋4，在同一坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝－x ＋4的图象，结合图形可知，n ＋m为直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2倍，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝－x ＋4，解得x ＝2，所以n ＋m＝4，因为(n ＋m )⎝⎛⎭⎫1n ＋1m ＝1＋1＋m n ＋n m ≥4，又n ≠m ，故(n ＋m )⎝⎛⎭⎫1n ＋1m >4，则1n ＋1m >1. (理)函数f (x )＝x 2－ax ＋2b 的零点有两个，一个在区间(0,1)上，另一个在区间(1,2)上，则2a ＋3b 的取值范围是( )A ．(2,9)B ．(2,4)C ．(4,9)D ．(4,17)[答案] A[解析] f (x )＝x 2－ax ＋2b ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0a －2b －1>0a －b －2<0，二元一次不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －1＝0a －b －2＝0，解得A (3,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －1＝0b ＝0，解得B (1,0)．令z ＝2a ＋3b ，则当直线2a ＋3b ＝z 经过可行域内点A 时，z max ＝2×3＋3×1＝9，经过可行域内点B (1,0)时，z min ＝2×1－3×0＝2，故z ∈(2,9)，选A.10．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为r (r 相对R 较小)的圆柱棒O 1、O 2、O 3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O 2顶侧面的垂直深度h ，若r ＝10mm ，h ＝4mm ，则R 的值为( )A ．25mmB ．5mmC ．50mmD ．15mm[答案] C[解析] 如图所示，在△O 1O 2H 中，O 1O 2＝20， O 2H ＝(r ＋h )－r ＝4.∵O 1H 2＝O 1O 22－O 2H 2＝OO 12－OH 2 ∴202－42＝R 2－(R －4)2，∴R ＝50(mm)．[点评] 致力于数学应用是新课标的重要指导思想，近几年高考在命题形式上与生活联系更加密切，贴近实际．像函数模型、正余弦定理、导数(理：定积分)都会成为高考的重要出题点，要加强复习．二、填空题11．(文)(2010·辽宁锦州)用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________．[答案] [2,2.5][解析] 令f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1<0，f (2.5)＝458>0，∴f (x )在区间[2,2.5]内有零点．(理)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，给出下列4个命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称；④函数f (x )至多有2个零点．上述命题中的所有正确命题的序号是________． [答案] ①②③[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，结合图形知f (x )＝0只有一个实数根，故①正确；当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，f (－x )＝－f (x )，故y ＝f (x )是奇函数，故②正确；y ＝f (x )的图象可由奇函数f (x )＝x |x |＋bx 向上或向下平移|c |而得到，y ＝f (x )的图象与y 轴交点为(0，c )，故函数y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称，故③正确；方程|x |x －5x ＋6＝0有三个解－6、2、3，即三个零点，故④错误．12．(文)2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按本地区确定的标准，情况如表：2010年要实现一个美好的愿景由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为________．[答案] 62.5% 57.9%[解析] 中等收入原有400户，2010年要变为650户，提高650－400400＝0.625，低收入原有475户，2010年要变为1000×20%＝200户，需降低475－200475≈0.579.(理)(2010·揭阳市模拟)某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[答案] [解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1y 3≥y 2y 3≥y 4d <200⇒50≤d <200，故n ＝50.13．(文)(2010·上海市嘉定区模考)已知函数y ＝f (x )的定义域和值域都是[－1,1](其图象如下图所示)，函数g (x )＝sin x ，x ∈[－π，π]．定义：当f (x 1)＝0(x 1∈[－1,1])且g (x 2)＝x 1(x 2∈[－π，π])时，称x 2是方程f (g (x ))＝0的一个实数根．则方程f (g (x ))＝0的所有不同实数根的个数是________．[答案] 8[解析] 由图知f (x )在[－1,1]上有4个零点，分别位于区间⎝⎛⎭⎫－1，－12，⎝⎛⎭⎫－12，0，⎝⎛⎭⎫0，12和12，1内，当f (x 1)＝0，x 1∈⎝⎛⎭⎫－1，－12时，存在两个值x 2∈[－π，π]，使g (x 2)＝sin x 2＝x 1，同理在其它区间上也都有两个这样的x 2，故在[－π，π]上共有8个x 2，使f [g (x 2)]＝0成立．(理)对于函数f (x )＝x －1x ＋1，设f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，f 3(x )＝f [f 2(x )]，…，f n ＋1(x )＝f [f n (x )](n∈N *，且n ≥2)，若x ∈C (C 为复数集)，则方程f 2010(x )＝x 的解集是________．[答案] {i ，－i }[解析] f 1(x )＝1－2x ＋1，f 2(x )＝1－2f 1(x )＋1＝1－22－2x ＋1＝－1x ，f 3(x )＝1＋x 1－x ，f 4(x )＝x ，f 5(x )＝x －1x ＋1＝f (x )．故{f n (x )}是周期为4的函数列． ∴f 2010(x )＝f 2(x )＝－1x，故方程f 2010(x )＝x 化为－1x＝x ，∴x ＝±i .14．(2010·浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛⎭⎫x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立．三、解答题15．(2010·山东烟台)设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分流x 万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x %(0<x <100)．而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a 万元．(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？[解析] (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <100(100－x )(1＋2x %)a ≥100a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100x 2－50x ≤0，∴0<x ≤50. (2)设该市第二、三产业的总产值增加f (x )(0<x ≤50)万元，则f (x )＝(100－x )(1＋2x %)a －100a ＋1.2ax＝－a 50(x 2－110x )＝－a 50[(x －55)2－3025] ∵x ∈(0,50]时，f (x )单调递增，∴x ＝50时，f (x )max ＝60a即应分流出50万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．16．(2010·济南一中)2009年，浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2009年销售量为20000辆)，销售利润每辆每年比上一年减少10%(2009年销售利润为2万美元/辆)．(1)第n 年的销售利润为多少？(2)求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资，0.95≈0.59)．[解析] (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列{a n }．∴a n ＝10000＋10000n .∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为1－10%的等比数列{b n }．∴b n ＝2×0.9n －1. 第n 年的销售利润记为c n ，则c n ＝a n ·b n ＝(10000＋10000n )×2×0.9n －1. (2)设到2013年年底，浙江吉利盈利为S ，则S ＝20000×2＋30000×2×0.9＋40000×2×0.92＋50000×2×0.93＋60000×2×0.94① 0．9S ＝20000×2×0.9＋30000×2×0.92＋40000×2×0.93＋50000×2×0.94＋60000×2×0.95②①－②得，0.1S ＝20000×2＋20000×(0.9＋0.92＋0.93＋0.94)－60000×2×0.95，解得S ＝10×(220000－320000×0.95)≈31.2×104>(20＋1.5)×104.所以到2013年年底，浙江吉利能实现盈利．17．(文)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系：x ＝2000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)在乙方年产量为t 吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？[解析] (1)因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)因为w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s，所以当t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2时，w 取得最大值．所以乙方取得最大利润的年产量t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2吨(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2，将t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：v ＝10002s －2×10003s 4，又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5，令v ′＝0得s ＝20.当s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以s ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20(元/吨)时，获最大纯收入．(理)某乡镇为了盘活资本，优化组合，决定引进资本拯救出现严重亏损的企业．长年在外经商的王先生为了回报家乡，决定投资线路板厂和机械加工厂．王先生经过预算，如果引进新技术在优化管理的情况下，线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为95%和80%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。

2020年中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用(1)解析

3一．选择题（共 26 小题）1．（2020•随州）用配方法解一元二次方程 x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（）A ．（x ﹣6）2=﹣4+36B ．（x ﹣6）2=4+36C ．（x ﹣3）2=﹣4+9D ．（x ﹣3）2=4+92．（2020•安顺）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x 2﹣12x +35=0 的根，则该三角形的周长为（）A ． 14B ． 12C ． 12 或 14D ．以上都不对3．（2020•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2﹣7x +10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ． 12B ． 9C ． 13D ． 12 或 94．（2020•广州）已知 2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（）A ． 10B ． 14C ． 10 或 14D ． 8 或 105．（2020•烟台）如果 x 2﹣x ﹣1=（x +1），那么 x 的值为（）A ． 2 或﹣1B ． 0 或 1C ． 2D ． ﹣16．（2020•山西）我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程： x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（）（（ x +A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想7．（2020•贵港）若关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0有实数根，则整数 a 的最大值为（）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 28． 2020•河北）若关于 x 的方程 x 2+2x +a =0 不存在实数根，则 a 的取值范围是（）A ． a ＜1B ． a ＞1C ． a ≤1D ． a ≥19．（2020•张家界）若关于 x 的一元二次方程 kx 2﹣4x +3=0有实数根，则 k 的非负整数值是（）A ． 1B ． 0，1C ． 1，2D ． 1，2，310．（2020•达州）方程（m ﹣2）x 2﹣ x + =0 有两个实数根，则 m 的取值范围（）A ． m ＞B ． m ≤ 且 m ≠2C ． m ≥3D ． m ≤3 且 m ≠211． 2020•攀枝花）关于 x 的一元二次方程（m ﹣2）2 （2m +1）x +m ﹣2﹣0 有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞B ． m ＞且 m ≠2C ． ﹣ ＜m ＜2D ．＜m ＜212．（2020•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一13．（2020•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=114．（2020•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10 15．（2020•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个16．（2020•广西）已知实数 x 1，x 2 满足 x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是（）A ． x 2﹣7x +12=0B ． x 2+7x +12=0C ． x 2+7x ﹣12=0D ． x 2﹣7x ﹣12=017．（2020•怀化）设 x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，则 x 12+x 22 的值是（）A ． 19B ． 25C ． 31D ． 3018．（2020•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元，2020 年投入 3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A ． 2500x 2=3500B ． 2500（1+x ）2=3500C ． 2500（1+x %）2=3500D ． 2500（1+x ）+2500（1+x ）2=350019．（2020•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（）A ． x （x ﹣10）=900B ． x （x +10）=900C ． 10（x +10）=900 D ． 2[x +（x +10）]=90020．（2020•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x= D．1+2x=21．（2020•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=8022．（2020•巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315 23．（2020•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=024．（2020•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600 25．（2020•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%26．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1B．﹣1C．0D．﹣2(1)参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2020•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9考点：解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有分析：根据配方法，可得方程的解．解答：解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．点评：本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．2．（2020•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．菁优网版权所有分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答：解：解方程 x 2﹣12x +35=0 得：x =5 或 x =7．当 x =7 时，3+4=7，不能组成三角形；当 x =5 时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为 3+4+5=12，故选 B ．点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．3．（2020•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2﹣7x +10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ． 12B ． 9C ． 13D ． 12 或 9考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．解答：解：x 2﹣7x +10=0，（x ﹣2）（x ﹣5）=0，x ﹣2=0，x ﹣5=0，x 1=2，x 2=5，①等腰三角形的三边是 2，2，5x∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12．故选：A ．点评：本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．4．（2020•广州）已知 2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（）A ． 10B ． 14C ． 10 或 14D ． 8 或 10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：先将 x =2 代入 x 2﹣2mx +3m =0，求出 m =4，则方程即为 x 2﹣8x +12=0，利用因式分解法求出方程的根 x 1=2，2=6，分两种情况：①当 6 是腰时，2 是等边；②当 6 是底边时，2 是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答：解：∵2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，∴22﹣4m +3m =0，m =4，∴x 2﹣8x +12=0，解得 x 1=2，x 2=6．①当 6 是腰时，2 是等边，此时周长=6+6+2=14；②当 6 是底边时，2 是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是 14．故选 B ．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．5．（2020•烟台）如果 x 2﹣x ﹣1=（x +1），那么 x 的值为（）A ． 2 或﹣1B ． 0 或 1C ． 2D ． ﹣1考点：解一元二次方程-因式分解法；零指数幂．菁优网版权所有分析：首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．解答：解：∵x 2﹣x ﹣1=（x +1）0，∴x 2﹣x ﹣1=1，即（x ﹣2）（x +1）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1，当 x =﹣1 时，x +1=0，故 x ≠﹣1，故选：C ．3 点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意 x +1≠0 是解题关键．6．（2020•山西）我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程： x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想考点：解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：上述解题过程利用了转化的数学思想．解答：解：我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选 A ．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．（2020•贵港）若关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0有实数根，则整数 a 的最大值为（）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 2（考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析：由关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0 有实数根，则 △a ﹣1≠0，且 ≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0，解不等式得到 a 的取值范围，最后确定 a 的最大整数值．解答：解：∵关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0 有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0 且 a ﹣1≠0，∴a ≤ 且 a ≠1，∴整数 a 的最大值为 0．故选：B ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4△ac ．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解．8． 2020•河北）若关于 x 的方程 x 2+2x +a =0 不存在实数根，则 a 的取值范围是（）A ． a ＜1B ． a ＞1C ． a ≤1D ． a ≥1考点：根的判别式．菁优网版权所有分析：根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．解答：解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．（2020•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．解答：解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，则k的非负整数值为1．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4△ac．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．（2020•达州）方程（m﹣2）x 2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．解答：解：根据题意得，解得m≤且m≠2．（ x +故选 B ．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（△a ≠0）的根与 =b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．11． 2020•攀枝花）关于 x 的一元二次方程（m ﹣2）2 （2m +1）x +m ﹣2﹣0 有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞B ． m ＞且 m ≠2C ． ﹣ ＜m ＜2D ．＜m ＜2考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m ﹣2≠0 且 =（△2m +1）2﹣4（m ﹣2）（m ﹣2）＞0，解得 m ＞且m ≠2，再利用根与系数的关系得到﹣ ＞0，则 m ﹣2＜0 时，方程有正实数根，于是可得到 m 的取值范围为＜m ＜2．解答：解：根据题意得 m ﹣2≠0 且△=（2m +1）2﹣4（m ﹣2）（m ﹣2）＞0，解得 m ＞且 m ≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选D．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（△a≠0）的根与=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．12．（2020•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一考点：根的判别式；一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有分析：根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4m＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4△ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．13．（2020•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有Ax x分析：利用根的判别式判断 A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ．解答：解：、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么△=b 2﹣4ac =0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么△=b 2﹣4ac ≥0，＞0，所以 a 与 c 符号相同，＞0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C 、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a +5b +c =0，两边同时除以 25，得 c + b +a =0，所以是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a ﹣c ） 2=a ﹣c ，由 a ≠c ，得 x 2=1， =±1，结论错误，符合题意；故选 D ．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．14．（2020•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10考点：根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．菁优网版权所有分析：由三角形是等腰直角三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0可的结果．解答：解：∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0解得：n =10，故选 B ．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．15．（2020•南充）关于 x 的一元二次方程 x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个考点：根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有专题：计算题．分析： ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出 m 2﹣2n ≥0以及 n 2﹣2m ≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解．解答：解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，y 1+y 2=﹣2n ＜0，x 1+x 2=﹣2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b 2﹣4ac =4m 2﹣8△n ≥0， =b 2﹣4ac =4n 2﹣8m ≥0，4m 2﹣8n =m 2﹣2n ≥0，4n 2﹣8m =n 2﹣2m ≥0，m 2﹣2m +1+n 2﹣2n +1=m 2﹣2n +n 2﹣2m +2≥2，（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2，②正确；③∵y 1+y 2=﹣2n ，y 1•y 2=2m ，∴2m ﹣2n =y 1+y 2+y 1•y 2，∵y 1 与 y 2 都是负整数，不妨令 y 1=﹣3，y 2=﹣5，则：2m ﹣2n =﹣8+15=7，不在﹣1 与 1 之间，③错误，其中正确的结论的个数是 2，故选 C ．点评：本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结．16．（2020•广西）已知实数 x 1，x 2 满足 x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是（）A ． x 2﹣7x +12=0B ． x 2+7x +12=0C ． x 2+7x ﹣12=0D ． x 2﹣7x ﹣12=0考点：根与系数的关系．菁优网版权所有分析：根据以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是 x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1，x 2=0，列出方程进行判断即可．解答：解：以 x 1，x 2 为根的一元二次方程 x 2﹣7x +12=0，故选：A ．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是 x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1，x 2=0 是具体点关键．17．（2020•怀化）设 x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，则 x 12+x 22 的值是（）A ． 19B ． 25C ． 31D ． 30考点：根与系数的关系．菁优网版权所有分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 x 1与 x 2 的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．解答：解：∵x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，∴x 1+x 2=﹣5，x 1x 2=﹣3，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+6=31．故选：C ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 18．（2020•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元，2020 年投入 3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）2A ． 2500x 2=3500B ． 2500（1+x ）2=3500C ． 2500（1+x %）2=3500D ． 2500（1+x ）+2500（1+x ）2=3500考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：根据 2013 年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2020 年教育经费支出额，列出方程即可．解答：解：设增长率为 x ，根据题意得 2500×（1+x ）=3500，故选 B ．点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a ，变化后的量为 b ，平均变化率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a （1±x ）2=b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．19．（2020•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（）A ． x （x ﹣10）=900B ． x （x +10）=900C ． 10（x +10）=900 D ． 2[x +（x +10）]=900考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：首先用 x 表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．解答：解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．20．（2020•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x= D．1+2x=考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．解答：解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B．点评：此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍．21．（2020•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=80考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．解答：解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．22．（2020•巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．解答：解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．23．（2020•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．解答：解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得，x2﹣9x+8=0．故选C．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．24．（2020•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2”建立方程即可．解答：解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x2﹣60x=1600，即x（x﹣60）=1600．故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．25．（2020•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：首先设每年投资的增长率为 x ．根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，列方程求解．解答：解：设每年投资的增长率为 x ，根据题意，得：5（1+x ）2=7.2，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为 20%．故选：A ．点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为 a （1+x ）n ，其中 n为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率．26．（2014•菏泽）已知关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则 a ﹣b 的值为（）A ． 1B ． ﹣1C ． 0D ． ﹣2考点：一元二次方程的解．菁优网版权所有分析：由于关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0 有一个非零根﹣b ，那么代入方程中即可得到 b 2﹣ab +b =0，再将方程两边同时除以 b 即可求解．解答：解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0 有一个非零根﹣b ，∴b 2﹣ab +b =0，∵﹣b ≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．。

新教材高中数学第五章函数应用1-1利用函数性质判定方程解的存在性课件北师大版必修第一册

[归纳提升] 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个零点． (2)图象交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象，根据图象的交点个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点．
【对点练习】❷ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－(x－1)2＋1，
解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x.
令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点．
(3)当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾；当 x＜0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x＜0 矛盾，∴函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥ ＜00，没有零点．
必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 函数的零点 (1)零点的概念：如果函数y＝f(x)在实数__a_处__的__函__数__值__等__于__0___，即
___f(_a_)_＝__0__，则a为函数f(x)的零点． (2)零点的意义
思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的零点是－1，而不是(－1，0)． (2)并不是所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x，y＝x2＋1 均没有零点．
第五章函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【素养目标】 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．【学法解读】 1．理解函数的零点、方程的根与图象与x轴交点三者之间的关系．(数学抽象) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(直观想象) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(逻辑推理)

二次函数的微分方程与应用题解析

二次函数的微分方程与应用题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题时起着重要的作用。

本文将详细讨论二次函数的微分方程以及其在应用题中的解析。

一、二次函数的微分方程二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

我们可以通过对二次函数求导得到二次函数的微分方程。

对二次函数y = ax^2 + bx + c求导，得到：dy/dx = 2ax + b这就是二次函数的微分方程。

它描述了函数曲线上每一点的斜率（即切线的斜率）与函数自变量的关系。

二、应用题解析1. 空中飞行的抛物线轨迹假设一个投弹员将炸弹从高空抛下，以下方程描述了炸弹的抛物线轨迹：y = -16t^2 + vt + h其中，t表示时间，v表示初始速度，h表示初始高度。

这是一个二次函数，我们可以利用二次函数的微分方程来解决相关问题。

例如，求炸弹落地时的速度。

根据题意，炸弹落地时y = 0，我们可以将该条件代入二次函数方程中：-16t^2 + vt + h = 0解这个二次方程就可以得到落地时的时间t，然后代入微分方程dy/dx = 2ax + b，就能计算出落地时的速度。

2. 弹簧的振动考虑一个弹簧的振动，其位移和时间之间的关系可以用二次函数表示：y = Acos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角速度，φ表示初相位。

同样，我们可以通过二次函数的微分方程分析弹簧的振动。

对该二次函数求导，得到：dy/dt = -Aωsin(ωt + φ)这个微分方程描述了弹簧在任意时刻的速度与时间的关系。

利用该微分方程，我们可以解决弹簧振动相关的问题，如求解速度的最大值、最小值等。

结语二次函数的微分方程在解决实际问题时起着重要的作用，如空中飞行轨迹和弹簧的振动等。

通过对二次函数求导，我们可以得到描述函数曲线上每一点的斜率与函数自变量关系的微分方程，从而解决相关的应用题。

这篇文章介绍了二次函数的微分方程以及它在应用题中的解析。

新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解第2课时利用二分法求方程的近似解课后习题北

1.2 利用二分法求方程的近似解A级必备知识基础练1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x2-4x+4C.f(x)=log4xD.f(x)=e x-23.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是()A.(4,+∞)B.(-∞,4)C.{4}D.[4,+∞)4.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2B.3C.4D.55.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的有()A.函数f(x)在区间0,a16内可能有零点B.函数f(x)在区间a16,a8内可能有零点C.函数f(x)在a16,a内无零点D.函数f(x)的零点可能是a166.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为()A.2.52B.2.56C.2.66D.2.757.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060根据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为.10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).B级关键能力提升练11.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f3212.(2022安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=2x-3x在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为()A.5B.6C.7D.813.已知f(x)=1x-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n= ,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则至少需将区间等分次.14.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1).15.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:16.某公司生产A种型号的电脑,2018年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2019年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2022年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2018年的80%,实现了纯利润50%.(1)求2022年每台A种型号电脑的生产成本;(2)以2018年的生产成本为基数,用二分法求2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).C级学科素养创新练x3-x2+1.17.已知函数f(x)=13(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.1.2 利用二分法求方程的近似解1.B ∵f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,∴f (1.25)·f (1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B .2.ACD f (x )=x 2-4x+4=(x-2)2,f (2)=0,当x<2时,f (x )>0,当x>2时,f (x )>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD . 3.C 易知方程x 2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4. 4.C 令f (x )=ln x+3x-15, 当x=4时,f (4)=ln4+3×4-15<0, 当x=5时,f (5)=ln5+3×5-15>0,所以f (4)·f (5)<0,所以f (x )在(4,5)上有零点,即方程ln x+3x-15=0有根. 所以[x 0]=4, 故选C .5.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或f a 16=0,故选ABD .6.AB 由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f (2.5)≈-0.084,f (2.5625)≈0.066可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A 中2.52符合,选项B 中2.56也符合,故选AB .7.1 记f (x )=e x-x-2,则该函数的零点就是方程e x-x-2=0的实数根.由题表可知f (-1)=0.37-1<0,f (0)=1-2<0,f (1)=2.72-3<0,f (2)=7.39-4>0,f (3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f (1)·f (2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.8.6 第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6.9.1.562 5(答案不唯一) 由参考数据知,f (1.5625)≈0.003>0,f (1.55625)≈-0.029<0,即f (1.5625)·f (1.55625)<0,且1.5625-1.55625=0.00625<0.01,∴f (x )=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.5625. 10.解∵f (1)=1-3=-2<0,f (2)=23-3=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1, ∴函数y=x 3-3精确度为0.1的零点,可取1.44. 11.ABD 由二分法的步骤可知①零点在(0,4)内,则有f (0)·f (4)<0,不妨设f (0)>0,f (4)<0,取中点2; ②零点在(0,2)内,则有f (0)·f (2)<0,则f (0)>0,f (2)<0,取中点1; ③零点在(1,2)内,则有f (1)·f (2)<0,则f (1)>0,f (2)<0,取中点32; ④零点在1,32内,则有f (1)·f 32<0,则f (1)>0,f 32<0,则取中点54;⑤零点在54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f 32<0,所以与f (0)符号不同的是f (4),f (2),f 32,故选ABD .12.C 由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的12,则等分n 次后的区间长度变为原来的12n , 则由题可得12n <0.01,即n>log 2100, 又6<log 2100<7,则至少等分的次数为7. 故选C .13.1 4 因为f (x )=1x-ln x 在(0,+∞)上单调递减,在区间(n ,n+1)(n ∈Z )上有一个零点x 0,所以零点只能有一个,又f (2)=12-ln2<0,f (1)=1-0=1>0,所以f (2)·f (1)<0,所以x 0∈(1,2),所以n=1,由题意12n<0.1,所以2n >10,所以n>3,至少等分4次.14.解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1.令g (x )=3x,h (x )=1x+1-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g (x )=3x与h (x )=1x+1-1的简图.g (x )与h (x )图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,∴原方程只有一个解x=x 0. 令f (x )=3x+xx+1=3x-1x+1+1, ∵f (0)=1-1+1=1>0,f (-0.5)=√3-2+1=√3√3<0,∴x 0∈(-0.5,0).用二分法逐次计算,列表如下:∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1, ∴原方程的近似解可取为-0.4375. 15.解(1)令f (x )=2x+2x-5.因为函数f (x )=2x+2x-5在R 上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,所以函数的零点近似值可取1.3125, 即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.16.解(1)设2022年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.故2022年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.(2)设2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0<x<1),根据题意,得5000(1-x)4=3200.令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:所以原方程的近似解可取0.1025.故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%. 17.(1)证明∵f (0)=1>0,f (2)=-13<0,∴f (0)·f (2)=-13<0,函数f (x )=13x 3-x 2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f (x )=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解取x 1=12(0+2)=1,得f (1)=13>0,由此可得f (1)·f (2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x 2=12(1+2)=32,得f32=-18<0,由f (1)·f32<0,则下一个有解区间为1,32.综上所述,实数解x 0在较小区间1,32内.。

函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习

-1 200,已知每千件商
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.

6 4
答案 C

6 4
考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2

当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2

1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的

贝塞尔函数及其应用-1

贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，求并出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab 编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式第1章引言1.1 贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。

在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。

它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。

它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。

在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程2tt xx u a u =。

以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。

在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。

同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。

而这其中，18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。

丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。

函数与方程的综合运用

2022年高考数学总复习：函数与方程的综合运用例2 (1)(2018·烟台二模)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，当x ∈R 时，称y ＝[x ]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f (x )＝[x ]，g (x )的图象关于y 轴对称，且当x ≤0时，g (x )＝－x 2－2x ，则方程f (f (x ))＝g (x )解的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 根据已知条件可知，当x >0时，－x <0，又函数g (x )的图象关于y 轴对称，故g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－(－x ＋1)2＋1＝－(x －1)2＋1.由f (x )＝[x ]，得f (f (x ))＝[x ]．在同一平面直角坐标系中画出y ＝f (f (x ))与y ＝g (x )的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1,0，－3，－4，当x ≥0时，方程f (f (x ))＝g (x )的解是0和1；当x <0时，g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－3得x ＝－3，由g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－4得x ＝－1－ 5.综上，f (f (x ))＝g (x )的解的个数为4.(2)(2018·中山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x ≤3，13x 2－103x ＋8，x >3，若方程f (x )＝m (m ∈R )有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 3－3)(x 4－3)x 1x 2的取值范围是( B ) A ．(0,4]B ．(0,3)C ．(3,4]D ．(1,3) [解析] 如图，作出函数f (x )的图象，显然，A (3,1)，又当0<x ≤3时，f (x )≥0，因为方程f (x )＝m 有四个不同的实根，所以0<m <1.由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 3x 1|＝|log 3x 2|，又因为0<x 1<1<x 2，所以log 3x 1＋log 3x 2＝0，解得x 1x 2＝1.因为函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象的对称轴为x ＝5，故由f (x 3)＝f (x 4)可得x 3＋x 4＝10.故(x 3－3)(x 4－3)x 1x 2＝(x 3－3)(x 4－3)＝(x 3－3)(7－x 3)＝－x 23＋10x 3－21＝－(x 3－5)2＋4. 记g (t )＝－(t －5)2＋4，由0<m <1，即0<13x 2－103x ＋8<1，解得3<x <4或6<x <7.又x 3<x 4，所以3<x 3<4，又g (t )＝－(t －5)2＋4在(3,4)上单调递增，所以当3<t <4时，g (3)<g (t )<g (4)，即g (t )∈(0,3)．『规律总结』应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．G 跟踪训练en zong xun lian已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0，(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( C )A ．⎝⎛⎦⎤0，23 B ．⎣⎡⎦⎤23，34 C ．⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D ．⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34[解析] 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，则0<a <1，又由f (x )在R 上单调递减，则：⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0，解得13≤a ≤34.结合f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，||f (x )＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，||f (x )＝2－x 同样有且仅有一个解，当3a >2，即a >23时，联立||x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x ，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得：a ＝34或1(舍)，当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件．综上：a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.。

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、选择题1. (上海文)17若x o 是方程式lgx ・x=2的解，贝U x o 属于区间 ()(A ) (0, 1) . ( B) (1 , 1.25) .(C) ( 1.25, 1.75)( D) (1.75, 2)答案D7 7 1【解析】构造函数 f (x) = lg x • x -2,由 f(1.75) = f( ) = lg 04 4 4f(2)=lg2 0知 X 。

属于区间(1.75，2)2. (湖南文)3.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是AAA. y = _1Ox 200B. y =10x 200答案A3.(陕西文)10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大.于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数 y =[x ] ([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为xx + 3x+4x + 5(A) y = [ — ] (B) y = [- 3](C) y = [- 4](D) y = [- 5]10 10 10 10答案B解析：法一：特殊取值法，若 x=56, y=5,排除C D,若x=57, y=6，排除A 所以选B当 6 ：：：〉_9时，仝3二 m '3=m 1 x 1，所以选 B_ 10 . IL 10 .|l 1013. (浙江文)(9)已知x 是函数f(x)=2x+的一个零点若X 1 €( 1, X ° ),1 —XX 2 €( X 。

, +旳),则(A ) f( x 1) v 0, f( x 2) v 0 ( B ) f( x 1) v 0, f( x 2) > 0 (C ) f( X 1) >0, f( X 2) v 0( D ) f( X 1) >0, f( X 2) > 0AC. y - _10x -AD. y=10x_200法二：设 x = 10m 11二(0 _ ： - 9),。

》6时晋…解析：选B,考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题4.(山东文)(11)函数y =2X-x2的图像大致是(A) (B) (C) (D)解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案D9.(天津文)2(10)设函数g(x) =x -2(x R),f(x)g(x) X 4,x ：：g(x),{g(x)-x,x g(x).则f (x)的值域是答案A5.(山东文)(8)函数关系式为y已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的1 3x 81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为313万件(A)(C) 9万件答案(B)11万件(D)7万件6.(山东文)(5)设f (x)为定义在R上的奇函数，当x _ 0时，f (x^ 2x 2x b ( b为常数)，则f(-1) =(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3答案A7.(四川理)(4)函数f(x) = x2+ mx+ 1的图像关于直线 x= 1对称的充要条件是(A) m 2 (B) m=2 ( C) m =-1 (D) m = 1解析：函数f(x) = x2+ mx+ 1的对称轴为mx=——2于是一答案Am =— 28.(四川理)(2)下列四个图像所表示的函数，在点x = 0处连续的是~ 9 19(A)「?0…)(B)[0,⑴(C )[蔦(D )【答案】【解析】题。

pog 2 x,xA 0,11. (天津理)(8)若函数f(x)= (|ogi(_x ) x < 0,若f(a)>f(-a),贝U 实数a 的取值范围是(A ) (-1 , 0)U( 0, 1) ( B ) (- -1 )U( 1,+ R)(C ) (-1 , 0)U( 1,+ R) ( D ) (- R, -1 )U( 0,1 )【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

a >0a<0f(a) f(-a)= i|og 2a log 1a 或 log'^a) log 2(-a)I2 I 2a 0 a ： 0 一 1 或 1= a 1 或-1 ：： a :: 0 aa 2a【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在(0, 1) 上时，不等号的方向不要写错。

12.(天津理)(2)函数f(x)= 2x3x 的零点所在的一个区间是l x f(x)x10.x=ex - 2的零点所在的一个区间是(-2,-1) (B)( -1,0)(C)( 0,1)(D)(1,2 )(A) 【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，因为f ( 0)=-1<0 f(1)=e-1>0, 所以零点在区间(0, 1 )上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求属于容易题。

(A) (-2 , -1 ) (B) (-1,0 ) (C) (0,1 ) (D) (1,2 )【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

1由f (-1)=㊁-3 ：：： 0, f (0) = 1 0及零点定理知f(x)的零点在区间(-1，0)上。

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

r 2x +2x 3x^013.(福建文)7•函数f(x)=」' 的零点个数为()-2+ln x,x>0A. 3 B . 2 C . 1 D . 0【答案】B【解析】当x乞0时，令x2• 2x -3 = 0解得x = —3 ；当x 0时，令-2 lnx=0解得x=100 ,所以已知函数有两个零点，选G【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

log3X,x>0 小 114.(湖北文) 3.已知函数f(X)= *x ，则f(f (—)) =2x,^0 91 1A.4B.-C.-4 D-—4 4【答案】B【解析】根据分段函数可得 f (-^|og3- - -2，则f ( f (丄))=f (_2) =2上=丄，9 9 9 4所以B正确•二、填空题1.(上海文)14.将直线h : x y -1 = 0、l2 : nx y -n = 0、l3: x ny -n = 0 ( n Nn 一2)围成的三角形面积记为S n，则lim S n二______________【答案】-2【解析】B( ------ )所以BOL AC,n+1'n+1I1匚“ n 匚』2、n T&= 2 (--------- 2 ):2n 1 22( n 1)所以lim S n=丄n^C n 22.(湖南文)10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是g【答案】171.8或148.2【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为110+( 210- 110) 0.618 = 171.8或 210-( 210- 110) 0.618 = 148.2【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

「3x+2,x c1,3.(陕西文)13.已知函数f (x)=彳2若f(f( 0))= 4a,则实数a=.x + ax, x K1,答案2【解析】f ( 0) =2, f (f (0)) =f(2)=4+2a=4a，所以 a=214.(重庆理)(15 ) 已知函数f X 满足：f 1；=44f (x )f (y )= f (x + y )+ f (x _y X x, y w R)，贝y f (2010)= ___ .1解析：取 x=1 y=0 得f (0)=-2法一：通过计算f(2), f(3), f(4) .. ，寻得周期为6法二：取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1), 同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n)1 联立得 f(n+2)= — f(n-1) 所以 T=6 故f 2010 =f(0)=15.(天津文)(16)设函数f(x)=x- ,对任意[1, •: -), f(mx)+mf(x)<0恒成立，则x实数m的取值范围是 __________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

已知f (x)为增函数且m^ 0若m>Q由复合函数的单调性可知 f (mx和mf (x)均为增函数，此时不符合题意。

1 pm 1 1 12 2 M<0,时有mx ———+ mx—— cO n 2 mx—(m——)•- c0 二 1 <2)< 因为y = 2x2 mx x m x m1 2在x・[1「：)上的最小值为2，所以1+ 「:：2即m >1,解得m<-1.m【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

6.(浙江文)(16)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%八月份销售额比七月份递增x%九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 _______ 。

答案207.（天津理数）（16）设函数f （X ）=X ?—1 ,对任意X^-, ■::,IL 3f — -4m - f （x ）乞f （x-1） 4 f （m ）恒成立，则实数 m 的取值范围是 m【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

最值的方法求解8.（广东文数）12•某市居2005^200? 4家屣年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资科如下表所示:艰推统计资辑，屋民家嶷隼亚均收入的宇位数是 B .家庭年平均收入与年平均支出有=1线性相关关系.9.（江苏卷）11、已知函数f （x ）= x "公一0,则满足不等式f （1 — x 2） • f （2 x ）的x 的范围（1, x CO【解析】考查分段函数的单调性。

2 -1）1—x 2>0依据题意得 2X ~2 m -1 -4m 2(x 2 -1)_ (x -仃 -1 4m - 一 1在x [3,：：）上恒定成立，即123 2 32-4m - -一21 在 x [—,■：：)上恒成立。

mx x2 33 2 5当x 时函数y 二-二 1取得最小值 -,15所以^2-4^--，即J 3(3 m 2 1)(4m 2-3) _ 0，解得 m或 m — 2 2【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题, 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为三、解答题1.（福建文）21.（本小题满分12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距 20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。