2.2函数与方程及函数的应用

答案：①③④⑤
2 高频考点·探循规律
考点1 函数零点的确定
【例1】
(1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝4cos2
x 2
cos
2π－x
－2sinx－
|ln(x＋1)|的零点个数为__________．
解析：因为f(x)＝4cos2
x 2
cos
π2－x
－2sinx－|ln(x＋1)|＝2(1＋
cosx)·sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点
f(x0)＝0，当x0＜x1时，一定有f(x1)＜0，故选A.
答案：A
考点 3 函数与方程的应用 【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 B.21，1 C．(1,2) D．(2，＋∞)
因此此时函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点． 同理，当k＜0时，函数y＝f[f(x)]＋1有1个零点，结合各选项知， 选D. 答案：D
考点2 函数零点的应用
【例2】 (1)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)
时，f(x)＝|x2－2x＋
1 2
|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2；④a＝ 0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
解析：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得 f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1＜0，f(x)极小值＝ f(1)＝－5＜0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个 实根；对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x－ 1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4＞0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交 点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b＞2，得f(x)＝x3－3x ＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b＞0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2 ＞0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对 于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增， 函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于 ⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1＞0，f(x)在R上单调递 增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．
1.已知函数 f(x)＝14x－cosx，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：函数 f(x)＝41x－cosx 的零点个数为41x－cosx＝0⇒41x＝
cosx 的根的个数，即函数 h(x)＝41x 与 g(x)＝cosx 的图象的交点个数．如 图所示，在区间[0,2π]上交点个数为 3，故选 C.
对点训练 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个
零点，则a的取值范围是( )
A．a＞15
B．a＞15或a＜－1
C．－1＜a＜15 D．a＜－1
解析：当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0.
由于函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，则f(－1)f(1)
3．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足条件： (1)图象在闭区间[a，b]上连续不断， (2)f(a)·f(b)＜0. 则f(x)在开区间(a，b)上存在零点(此处的零点仅指变号零点)，个 数不定，若仅有变号零点，则有奇数个，反之不成立，即函数f(x)在 (a，b)上有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0，这不是一个等价条件.
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－
1 x
的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.
答案：A
⑰[方法规律] 1．函数的零点不是点 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个 点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标． 2．函数零点具有的性质 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有 以下性质： (1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．函数零点的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个 零点； 2零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连 续不断的曲线，且fa·fb＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调
性、奇偶性才能确定函数有多少个零点；,3利用图象交点的个数：
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不 同的值，就有几个不同的零点.
3．2012年国内房价持续上涨，政府各部门高度重视，联合出台 一系列房屋销售的严控措施，在2013年9月初房价逐步回落．某城市 建筑公司为谋得更多的利润，在2012年12月和2013年3月连续两次上 调新建楼房的价格，已知每次提价10%，在2013年10月为了尽快盘活 资金，建筑公司决定通过降价进行促销，若建筑公司想把价格恢复原 价，则应该降价约为( )
③当k＞0时，有4个零点；
④当k＜0时，Biblioteka 1个零点．则正确的判断是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
，下列是关于函数y＝f[f(x)]＋1
解析：如图，令f[f(x)]＋1＝0得f[f(x)]＝－1.当k＞0时，在平面直 角坐标系下画出函数f(x)的大致图象及直线y＝－1，注意到直线y＝－ 1与函数f(x)的图象有2个交点，设其横坐标分别是t1、t2，则t1＜0,0＜t2 ＜1；再画出直线y＝t1与y＝t2，结合图象可知，直线y＝t1与函数f(x)的 图象有2个不同的交点，直线y＝t2与函数f(x)的图象有2个不同的交 点，
不相同)，则实数a的取值范围是__________．
解析：函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，
即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．在坐标系
中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0＜a＜
1 2
时满足题
意．
答案：0，12
(2)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间 21，3 上有零点，则实数a的取值范 围是( )
0，0＜x≤1， |x2－4|－2，x＞1，
则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为__________．
解析：当0＜x≤1时，f(x)＝－lnx，g(x)＝0，此时方程|f(x)＋g(x)|＝
递减，因为
1 2
＜x＜3，所以g(x)在
21，1
上单调递减，在(1,3)上单调递
增，所以当12＜x＜3时，2≤g(x)＜130，所以a∈2，130. 答案：D
⑱[方法规律] 应用函数零点的情况求参数值或取值范围的“三个”方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等 式求解．
A．20% B．17.5% C．17.4% D．16.5%
解析：设降价x%，房屋原来的价格为a，则两次提价后房屋的价 格为a(1＋10%)2＝1.21a，则由题意知1.21a(1－x%)＝a，即1－x%＝ 1.121，故x%＝12211≈17.355%，故可取17.4%.
答案：C
4．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平 距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部 分，则该函数的解析式为( )
2．方程的根 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实根，即函数y ＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象的交点的横坐标．函数与方程间要 灵活转化．
注意：零点不是点，对零点应理解为：函数f(x)的零点⇔方程f(x) ＝0的根⇔函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．例如，求函数f(x)＝lnx －1的零点，可令lnx－1＝0，得x＝e，故函数f(x)的零点为e，而不是 点(e,0)．
1 主干梳理·体验高考 1.函数的零点 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)＝0， 则a叫做这个函数的零点． (2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零 点具有下列性质：①当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号；② 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.2，52 D.2，130
解析：因为f(x)＝x2－ax＋1在区间 21，3 上有零点，所以x2－ax＋
1＝0在
21，3
上有解．由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋
1 x
，设g(x)＝x＋
1 x
，
则g(x)在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)及(0,1)上单调
个数为函数y＝sin2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin2x
与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所
以函数f(x)有2个零点．
答案：2
(2)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－
1 的零点依次 x
为a，b，c，则( )
＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞15，选B.