高考数学二轮复习 2.5 函数与方程及函数的应用
专题三函数与方程及函数的应用
高三二轮复习专题三函数与方程及函数的应用主备教师：xxx 审核：xxx 班级___________ 姓名____________【考试要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3、了解函数模型的广泛应用。
【高考试题回放】 1、（2011天津理2）函数()23xf x x=+的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1Ｄ．()1,22、（2011山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 3、（2011湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克4、（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16【课内探究】探究一、确定函数的零点 例1.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则f(x)（ ）A ．在区间1[,1],(1,)e e内均有零点 B.在区间1[,1],(1,)e e内均无零点 C.在区间 1[,1]e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点D ．在区间 1[,1]e内无零点，在区间（1，e ）内有零点拓展延伸：1、方程||cos x x =在(,)-∞+∞内（ ）A ．没有根 B.有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根2、已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()f x =0 B. 0()f x <0 C. 0()f x >0 D. 0()f x 的符号不确定 探究二、函数零点的应用例2. 1.（2011重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 2．（2011辽宁文16）已知函数ax e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是__________3.m 为何值时，2()234f x x m x m =+++（1）、有且仅有一个零点？（2）、有两个零点且比-1大？（3）、若函数2()|4|F x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围.探究三、函数的应用 问题四、（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【巩固练习】1、方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（ ）A ．01a <≤ B.a<1 C. 1a ≤ D. 01a <≤或a<0 2、已知f (x )=1-(x -a )(x -b ) (a<b ),m ,n 是f (x )的零点，且m<n ,则实数a ,b ,m ,n 的大小关系是 （ ）A. m<a<b<nB. a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b3、关于x 的实系数方程x 2-ax +2b =0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a +3b 的最大为4、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______________. 5、已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0，求实数p 的取值范围.6、某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x -22x（万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？。
高三二轮专题突破课件函数与方程及函数的应用.ppt
∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，12]上单调递增，
热点分类突破
且 g(0)＝3a＋23，g(12)＝a＋76，
g(0)－g(12)＝2(a－14)．
本 讲 栏 目
故 M(a)＝gg012，，014≤ <aa≤≤1214. ，
开 关
即M(a)＝a3＋ a＋76， 23，0≤ 14<aa≤≤1412，.
主干知识梳理
专题一 第3讲
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
本 讲
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零
栏 目
点．
开 关
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即
函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
本
讲 栏
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
目 开
(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln
x
关 和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；
1x62 ＋2，0<x≤4， x2＋ x－142，x>4，
当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)
时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
热点分类突破
专题一 第3讲
(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一
共可持续几天？
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题2 函数与方程及函数的应用
热点与突破
热点一 函数与方程问题 【例 1】 (2013· 苏锡常镇调研)已知直线 y＝mx 与函数 f(x)＝ 1x ，x≤0， 2－ 3 1x2＋1，x>0 2
的图象恰好有 3 个不同的公共点， 则实数 m
的取值范围是________．
解析
作出函数
1x ，x≤0， 2－ 3 f(x)＝ 1x2＋1，x>0 2
不同的交点． 作出函数 f(x)的图象，如图，由图象可知，当 0<k<1 时，函数 f(x)与 y＝k 的图象有两个不同的交点， 所以所求实数 k 的取值 范围是(0,1)．
答案 (0,1)
热点二
函数的实际应用问题
【例 2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万 元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元．设该公司一年内生产该 品牌服装 x 千件并全部销售完， 每千件的销售收入为 R(x)万元， 1 2 10.8－30x ，0＜x≤10， 且 R(x)＝ 108－1 000 ，x＞10. 3x2 x (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获 得的年利润最大． (注：年利润＝年销售收入一年总成本)
(2)①当 0＜x≤10 时， x2 由 W′＝8.1－10＝0， 得 x＝9. 当 x∈(0,9)时，W′＞0； 当 x∈(9,10]时，W′＜0， ∴当 x＝9 时， W 取得最大值， 1 即 Wmax＝8.1×9－30×93－10＝38.6.
②当 x＞10 时，
1 000 W＝98－ 3x ＋2.7x≤98－2
• 3．在求方程解的个数或者根据解的个数求 方程中的字母参数的范围的问题时，数形 结合是基本的解题方法，即把方程分拆为 一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的 函数的解析式，然后构造两个函数f(x)， g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这 时方程根的个数就是两个函数图象交点的 个数，可以根据图象的变化趋势找到方程 中字母参数所满足的各种关系.
高三数学二轮复习 2-5函数与方程、函数的应用
x2＋x＋2，x<0， －x)＝2，0≤x≤2，
x2－5x＋8，x>2，
作出该函数的图象
如图所示，由图可知，当74<b<2 时，直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有
4 个不同的交点，故函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点时，b 的取值范围是74，2。
第22页
赢在微点 无微不至
即 f(x)＝0 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，其充要条件为
f0＝－a≤0， ff12＝ ＝llnn23＋ －112－－aa≤>00，，
解得 ln3－1≤a<ln2＋12。所以方程 ln(x＋1)＝x2－32x
＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数 a 的取值范围是ln3－1，ln2＋12。
考前顶层设计·数学文·二轮教案
答案 A
解析
令
f(x)
＝
ln(x
＋
1)
－
x2
＋
3 2
x
－
a
，
则
f′(x)
＝
1 x＋1
－
2x
＋
3 2
＝
－42x＋x＋51x－1。当 x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当 x∈(1,2]时，f′(x)<0，
f(x)单调递减。由于方程 ln(x＋1)＝x2－32x＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
第二部分 讲小题•通法＋技法
第1页
赢在微点 无微不至
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第五讲 函数与方程、函数的应用 学生用书P024
高考数学二轮复习方案 第3讲 函数、方程及函数的应用课件 文 课标版
第3讲 │ 要点热点探究
► 探究点一 函数的零点和方程根的分布
例 1(1)[2011·山东卷] 已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且 a≠1)．当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数 f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则 n＝________.
(2)[2011·陕西卷] 方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
f(1)＝－2
f(1.5)＝ 0.625
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(1.25)≈ －0.984
[2011·天津卷] 对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b>1.
设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函
数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取
值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
第3讲 函数、方程及函数的应用
第3讲 函数、方程及函数的应用
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数的零点 方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定 义可知，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根， 也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以， 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交 点⇔函数 y＝f(x)有零点．
第3讲 │ 要点热点探究
【分析】 (1)从对数函数的单调性入手，借助函数零点 定理，进一步确定 n 的值；(2)把方程解的问题转化为函数 图象的交点，进而得出方程根的情况．
(1)2 (2)C 【解析】 (1)本题考查对数函数的单 调性与函数零点定理的应用．因为 2＜a＜3，所以 loga2 ＜1＝logaa＜loga3，因为 3＜b＜4，所以 b－2>1>loga2， b－3＜1＜loga3，所以 f(2)·f(3)＝ (loga2＋2－b)·(loga3 ＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以 n＝2.(2) 如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方 程有且仅有两个根，故答案为 C.
高考数学二轮强化突破：专题4《函数与方程、函数的应用》ppt课件
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在 该市用丙车比用乙车更省油
[立意与点拨] 函数应用问题；考查对“燃油效率”新定 义的理解和对函数图象的理解．解答时先依据新定义，识读图 象，再逐个选项进行判断．
利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函 数应用问题，利用数形结合的思想方法研究方程根的分布问题 是高考命题的趋势.
考题引路
考例1 (2015·北京理，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每 消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
[答案] D [解析] “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里 程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点 的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油 效率最高，所以甲最省油，B错误；C中甲车以80千米/小时的 速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10 km，行驶 80 km，消耗8升汽油，C错误；D中某城市机动车最高限速80 千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用 丙车比用乙车更省油，选D.
易错防范
案例 不能准确的进行等价转化致误
(2015·山东青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上
的两个函数，若函数 y＝f(x)－g(x)在 x∈[a，b]上有两个不同的零
点，则称 f(x)和 g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为
“关联区间”．若 f(x)＝x2－3x＋4 与 g(x)＝2x＋m 在[0,3]上是“关
(课标专用)2020高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件
高频考点•探究突破
-10-
突破点一
突破点二
突破点三
解析:(1)f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,
等价于y=f(x)+|x-2|与y=kx的图象有三个交点,
������2 + 3������ + 2,-3 ≤ ������ ≤ 0,
画出 y=f(x)+|x-2|= ������-1,0 < ������ ≤ 2,
显然1e>0.
综上,f(t)=1
的两根为 2
������
与
1e,
故方程 f(-f(x))=1 的解即为方程 f(x)=-���2���与 f(x)=-1e的解.
解方程 f(x)=-���2���:
①当 x≤0 时,方程可化为 mx-1=-���2���,解得 x=1���-������2��� = ������������-22,
高频考点•探究突破
-7-
突破点一
突破点二
突破点三
即时巩固 1 定义在 R 上的函数 f(x),满足 f(x)=
������2 + 2,������∈[0,1), 2-������2,������∈[-1,0),
且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,+∞) 内的零点个数有( B )
������
函数y=f(x)的图象与直线y=-a>0存在两个交点,此时方程f(-f(x)) =1的实数根有2个;由f(x)=-b∈(-1,0),知函数y=f(x)的图象与直线y= -b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程f(-f(x))=1的实数根有2个.综上可 知方程的实数根个数为4.
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学二轮复习课件2.2.2 函数与方程及函数的应用精选ppt课件
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可使年利润最大．
[自主解答] (1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)， y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)． (2)∵10－a>0，故 y1 为增函数， ∴当 x＝200 时，y1 取得最大值 1 980－200a，即投资生产甲产品 的最大年利润为(1 980－200a)万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当 x＝100 时，y2 取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年 利润为 460 万美元．
(2)①利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. ②令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞， 1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y ＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝g(t)(t<1)的图象，由图象 可知，当 1≤a<54时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同的交点，即
年固定 每件产品 每件产品 每年可最多
成本 的成本 的销售价 生产的件数
甲产品 20
a
10
200
乙产品 40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 6≤a≤8.另外，
当年销售 x 件乙产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税，假设所生产的
产品均可售出．
(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1、y2 与生产 相应产品的件数 x(x∈N*)之间的函数关系式；
【精编】高考数学二轮复习 2.5 函数与方程及函数的应用课件-精心整理
能力目标解读 热点考题诠释
-3-
(2)对于函数实际应用问题的考查,多以实际生活、常见的自然现象为 背景,较新颖、灵活,解决此类问题所涉及的数学知识范围较广,但抽象出来 的数学模型一定是我们高中学习过的数学知识及其思想方法,解决实际应 用题的关键是对于数学问题的抽象及结论的回归.
(3)预测 2015 年的高考,在零点方面,重点考查函数零点、方程的根和两 函数图象交点之间的等价转化,运用导数来研究函数零点是后面所研究的; 对于实际应用题仍将凸显实际背景的常规化,重点考查学生处理问题的能 力,最后的归宿是二次函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数或结 合情景本身构造的函数等数学问题.
-17-
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
(2)若 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,即|4x-x2|+a=0 有四个根,即|4x-x2|=-a 有四个根.
令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出函数的图象,
由图象可知要使|4x-x2|=-a 有四个根,则需 g(x)的图象与 h(x)的图象有 四个交点,故 0<-a<4,即-4<a<0.
-4-
能力目标解读 热点考题诠释
123
1.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 11)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一
的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)
命题定位:本题主要考查导数、函数单调性、不等式、零点的存在性关闭
思考:判断函数零点个数的常见方法有哪些? 提示:(1)直接法:解方程 f(x)=0,方程有几个解,函数 f(x)就有几个零点; (2)图象法:画出函数 f(x)的图象,函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即 为函数 f(x)的零点个数; (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差,从而 f(x)=0⇔h(x)g(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=h(x)与函数 y=g(x)的 图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断.
高三文科数学二轮复习专题二第二讲 函数与方程及函数的应用
B.0，14 D.12，34
【标准解答】 (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的 零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图象的交 点个数，作出图象(如图)即可知两个函数图象在区间(0,1)内 有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.
原方程有两个不同的正实根，则t＝2x>20＝1，即方程 ①有两个大于1的实根．
设方程①的两个大于1的实根为t1，t2，
Δ＝－a2－4a＋1>0， 则t1－1＋t2－1＝t1＋t2－2＝a－2>0，
t1－1t2－1＝t1t2－t1＋t2＋1＝a＋1－a＋1>0，
解法三 (分离变量法)从方程中分离a，得a＝222xx－＋11， 设t＝2x，则a＝tt2－＋11＝t－1＋t－2 1＋2.因为原方程有两个不 同的正实根，所以t＝2x>20＝1，即t－1>0.
所以t－1＋
2 t－1
≥2
t－1·t－2 1＝2 2 ，当且仅当t－1＝
2 ，即t＝1＋ 2 时取等号，但此时t只有一个解，不满足题
解得a>2＋2 2.故填(2＋2 2，＋∞)．
解法二 (数形结合法)令f(t)＝t2－at＋a＋1，原方程有两
个不同的正实根，也就是函数f(t)有两个大于1的零点，则由二
Δ＝a2－4a＋1>0， 次函数的图象，可知a2>1，
f1＝2>0，
解得a>2＋2 2.故填(2＋2 2，＋∞)．
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：由f(－1)＝ 12 －3<0，f(0)＝1>0及零点定理，知f(x) 的零点在区间(－1,0)上．
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究
高三数学二轮复习 2.3函数与方程及函数的实际应用课件
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似 解．
3．(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数增长特征，知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
(3)要使企业不亏本，即要求 0≤x≤5 －12x2＋4.75x－0.5≥0 ① 或x1>25－0.25x≥0 ② 解①得5≥x≥4.75－ 21.5625≈0.1(百台)； 解②得5<x≤48(百台)，即10(台)<x≤4800(台)． 所以企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．
[评析] ①分段函数的最大值：分段函数的最值应分段求出 y的最值(或范围)进行比较，取较大者，如本题第(2)问；
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) 的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
[解析]
(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－
1 2
|t－10|)＝(40
－t)(40－|t－10|)
＝3400＋ －tt4500－ －tt， ，
0≤t<10， 10≤t≤20.
[例2] (2011·浙江五校模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不 超过14.
[分析] (1)利用导数法证明函数的单调性． (2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性， 利用函数的单调性说明其唯一性．
25 天的日销售金额最大．
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
全国高考数学备考二轮专题二 函数与导数 第5讲 函数的综合应用(八省新高考)解析版
第5讲 函数的综合应用考点1 函数与方程例 1.(1)已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称， 则0020xa x -+=在()0,∞+上有解，即002xa x =+在()0,∞+上有解，由002xy x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．故选:D ．(2)已知函数()()22log ,2log 4,2x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()y f x k =-有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞ C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由函数2log y x =与()2log 4y x =-的图象关于直线2x =对称， 可得()f x 的图象如图所示，所以当1k >时，直线y k =与函数()y f x =的图象有两个交点．故选:D ． 【点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【跟踪演练】1.(1)对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”．已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．(),1-∞- C ．()()0,11,+∞D ．()(),11,0-∞--【答案】A【解析】由题意函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点， 令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减； 又()1y m x =--恒过点()1,0，当1x >时，()0h x >， 在同一坐标系中作出函数()1y m x =--、()ln xh x x=的图象，如图，由图象可知，若函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点，则0m >， 当直线()1y m x =--为函数ln xy x=图象的切线时，由()11h '=可得1m -=， ∴01m <-<即()1,0m ∈-．故选:A ．(2)已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ） A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞【答案】B【解析】若要使方程()0f x x a +-=即()f x x a =-+有且只有一个实数根， 则函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 在同一坐标系中作出函数()y f x =及y x a =-+的图象，如图，数形结合可得，若函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 则1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞．故选:B ．考点2 函数性质的综合例2.(1)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f x f x +=-，且()2,0x ∈-时，()()2log 31f x x =-+，则()2021f =（ ）A ．4B ．2log 7C ．2D ．-2【答案】D【解析】因为()()22f x f x +=-，所以函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2021)(50541)f f f =⨯+=（1）22(1)log (31)log 42f =--=-+=-=-，故选:D ．(2)已知函数()13xbf x a a=--（0a >且1a ≠）是奇函数，且(1)2f =． ①求,a b 的值及()f x 的定义域；②设函数()()2g x kf x =-有零点，求常数k 的取值范围； ③若2(2)(3)0f t f t ++->，求t 的取值范围． 【答案】①3a =，6b =-， ()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞；②(2,0)(0,2)-；③(2,1)(1,2)--⋃.【解析】①由(1)2f = 得12ba =-又()f x 是奇函数， (1)(1)2f f ∴-=-=- 即233aba=-,注意到0a > 解得3a =，6b =- 2()131x f x =+- ,由310x -≠ 得0x ≠∴()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞②3,6a b ==-，∴31()()2231x x g x kf x k +=-=--()g x ∴有零点，即关于x 的方程312031x x k +-=-有实数解 ∴2(31)31x x k -=+ (0)x ≠有实数解 2(31)423131x x x-=-++ ， 311x +>且312x +≠ ∴2(31)2231x x --<<+且2(31)031xx -≠+ ∴k 的取值范围是(2,0)(0,2)-③先证明函数2()131x f x =+-在(0,)+∞上单调递减 设0m n >>，则331m n >>31310m n ∴->->223131m n ∴<--，22113131m n+<+--即()()f m f n <∴函数2()131xf x =+-在(0,)+∞上单调递减 由2(2)(3||)0f t f t ++->得2(2)(3||)f t f t +>-- 又()f x 是奇函数2(2)(3||)f t f t ∴+> 223||t t ∴+< ∴1||2t <<所以t 的取值范围是(2,1)(1,2)--⋃【点睛】本题考查了奇函数的性质和单调性的应用以及函数的零点，考查了利用函数的单调性解不等式. 【跟踪演练】2.(1)设()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，已知当02x <<时，1()21x f x -=+，则(2022)(2023)f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】根据题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =；又由(1)(1)f x f x -=+即有(2)()f x f x +=-，则(2)()f x f x +=-，进而得到(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 为周期为4的函数， 则(2022)(24505)(2)f f f =+⨯=(0)0f =-=，(2023)(12024)(1)(1)f f f f =-+=-=-，当02x <<时，1()21x f x -=+，则f （1）11212-=+=，则(2023)(1)f f =-2=-，故(2022)(2023)0(2)2f f +=+-=-，故选:B ．(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()00f =，当0x <时，()f x 单调递增．若实数a 满足()13a f f -+⎛> ⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．31,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．42,,33⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知()f x 为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()f x 的图象越靠近y 轴对应的函数值越大，因为()13a f f -+⎛> ⎝⎭，所以13a -+<，所以11233a -+-<， 所以112a -+<-，所以112a +>，所以31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集,常见利用函数性质求解抽象不等式的方法：（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内； （3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．考点3 函数的极值与极值点个数例3.(1)已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞-【答案】A【解析】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->， 且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数极值求参数取值范围,其中求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值。
高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题二函数与导数第二讲函数与方程及函数的应用课件文
分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点， 则 f(x)有两个零点．
题型 3 利用零点个数或存在区间求参数的取值范围
典例 3
[2015·湖 南 高 考 ] 已 知 函 数 f(x) ＝
∴包含 f(x)零点的区间是(2,4)，故选 C.
题型 2 函数零点的个数问题
典例 2
[2015·湖北高考]函数 f(x)＝4cos22x·cos2π－x
－2sinx－|ln (x＋1)|的零点个数为___2_____．
[解析] f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln (x＋1)|＝sin2x －|ln (x＋1)|，x>－1，
函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序 ，也可涉及角度、面积、体积、 造价的最优化问题. 2应用函数模型解决实际问题的一般程序
3解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函 数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识 加以综合解答.
(2)由(1)知，v＝a＋blog31Q0＝－1＋log31Q0.所以要使飞行
速度不低于
2
m/s，则有
v≥2，即－1＋log31Q0≥2，即
Q log310
≥3，解得 Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，
则其耗氧量至少要 270 个单位．
高考随堂演练
[全国卷高考真题调研]
针对训练 [2015·山东实验中学月考]候鸟每年都要随季节的变化 而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类 的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：v＝a ＋blog31Q0(其中 a，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的 时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其 飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s， 则其耗氧量至少要多少个单位？