北京中考一元二次方程全章复习
北师大版中考总复习资料,补习复习资料：11一元二次方程、分式方程的解法及应用(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为2b x a-±=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a ≠0)的两个根是，那么．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：ac 4b 2-=∆⇔⇔⇔⇔0c bx ax 2=++21x x 、ac x x a b x x 2121=⋅-=+，解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=- 二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+53或x=7-53．2．关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0. 【答案与解析】（1）由△=(k+2)2－4k·4k＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0∴k 的取值范围是k ＞－1，且k≠0 （2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx 2+(k+2)x+4k=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系有： x 1+x 2=k k 2+-，x 1·x 2=41， 又01121=+x x =0 则 kk 2+-=0 ∴2-=k 由（1）知，2-=k 时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的k 的值.【总结升华】（1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k 的值，要验证k 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m=4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】方程两边都乘以，得22(1)2(1)(1)(1)21233x x x x x x x x x x x +--=+-+--=--∴==，即，经检验：是原方程的根.【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）2250x x --=()216x +=()216x -=()229x +=()229x -=A ．1B ．12C ．13D ．253．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ． 1k <且0k ≠4．若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.B.C.D.二、填空题7．若ax 2+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是____ ____． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.0235)1(22=+-++-m m x xm15．关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x（1）求p 的取值范围；（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】B ；【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则△=b 2－4ac>0，即4+4k>0.解得1k >-且0k ≠. 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
北京中考一元二次方程全章复习
一元二次方程复习22.1 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：请你举出几个一元二次方程的例子：一元二次方程的一般形式：。
其中叫二次项，叫一次项，叫常数项，叫二次项系数，叫一次项系数。
想一想：分别找出下列方程中的二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
⑴x2+10x-900=0 ⑵5x2+10x-2.2=0 ⑶x2-x-56=0⑷4x2=9 ⑸x2+3x=0 ⑹3y2-5y=7做一做：1、将方程3x（x-10)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
2、将导语中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
拓展练习1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，则梯子底端滑动多少米？2、有一群蜜蜂，其半数的平方根只飞向茉莉花丛， 留在家里，还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂，这两只雄蜂被荷花的香味吸引，傍晚时由于花瓣合拢，飞不出去了，请你告诉我蜂群中有多少只蜜蜂22.1 一元二次方程（2）1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0应用拓展1、要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？2、已知x=2是关于x 的方程1.5x 2-2a=0的解，求式子2a-1的值？22.1一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的一般形式： ，其中二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ， 常数项是 。
叫做一元二次方程的根。
1、判断下列关于x 的方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，请写出它的a 、b 、c① 3x 2=2x-1 ② x 2+x 2=0 ③ x 2=5④ ax 2+bx+c=0 ⑤ (x-2)(x+1)=(x+3)(x-1)2、已知关于x 的方程(m+2)x m +3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程。
九年级数学一元二次方程全章复习首师大版知识精讲
初三数学一元二次方程全章复习首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。
2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。
3. 一元二次方程的根的判别式。
4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。
5. 二元二次方程组的解法。
二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。
难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。
【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例1. 关于x 的一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k=0有实数根，求k 的取值X 围。
分析：注意隐含条件：二次项系数不等于0。
解：∆.≥⎧⎨⎩⇒--≥⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤002140014014022k k k k k k k k ≠≠≠且≠()，∴的取值范围是且≠k k k ≤140。
隐含条件题目的表达方式：（1）关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，含义是一元二次方程；（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含a ≠0；（3）关于x 的方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含a ≠0。
例已知关于的方程有实根，求的取值范围。
2. x ()()a x a x a 2212110-+++= 分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为0时，是一元一次方程，若二次项系数不为0时，是一元二次方程。
解：（）当≠，即≠±时，11012a a -∆=[+]--=+≥214188022()()a a a∴a ≥-1∴且≠a a >-11（）当，即±时，21012a a -==当时，a x ==-114当时，方程无解a =-1∴当时，方程有实根。
a =1 综合（1）、（2），a 的取值X 围是a>-1。
二、对“方程的解”概念的理解： 1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。
专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题08一元二次方程（4大考点）（原卷版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m 如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ，当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．。
(完整版)北京中考数学知识点(全)
初中数学知识点大全1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。
③平行四边形的对边/对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。
③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
②矩形的对角线相等，四个角都是直角。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。
⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
多边形：①N边形的内角和等于（N-2）×180度②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
二、基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc ,那么a:b=c:d84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
北京中考数学知识点(全)
北京中考数学知识点(全)初中数学知识点大全1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。
③平行四边形的对边/对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。
③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边- 2 -形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
②矩形的对角线相等，四个角都是直角。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。
⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
多边形：①N边形的内角和等于（N-2）×180度②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度- 3 -未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
二、基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行- 4 -9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等- 5 -22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合- 6 -30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°- 7 -那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上- 8 -45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边- 9 -相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形- 10 -63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc ,那么a:b=c:d84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
北京中考第二轮复习讲解（一）二次函数与一元二次方程的综合
北京中考第二轮复习讲解（一）二次函数与一元二次方程的综合《定义与命题》学案学习目标：1、体会在生活中对一个名词或术语下定义的重要性，理解定义的含义，能根据定义说明对应的性质和判定，初步了解得到定义的几种方法，会仿写定义。
2、了解命题的含义，了解命题的两个要素，判断和陈述，能辨别命题。
3、培养学生利用对比和类比的方法研究数学，初步学会使用二分法。
重点：定义的含义及简单应用。
难点：仿写定义。
学习过程：一、定义1、写出下列定义，指出它们说明的侧重点（A、特征：B、规定）1、角：2、角的平分线：3、数轴：4、平行线：5、相交线：6、一元一次方程：7、二元一次方程：仿写定义一元二次方程：二、经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）根据定义直接说明：1、线段垂直平分线的一种判定方法。
2、线段垂直平分线的两个性质。
二、能够互相重合的两个三角形叫做全等三角形。
如果两个三角形全等，那么它们的三组对应边______,三组对应角________。
如果___________________________________,那么这两个三角形全等。
当堂检测：1.下列描述中，不属于定义的是（）A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
B．等边三角形是特殊的等腰三角形。
C．三角形：在同一平面内，三条线段首尾顺次连接得到的图形。
D．含有未知数的等式叫做方程。
2.下列语句中，命题的个数有（）①三个角对应相等的两个三角形一定全等：②锐角是不是都小于直角：③你的作业完成了吗?④所有的质数都是奇数：⑤过直线a外一点P作a的平行线：⑥如果明天是星期五，那么后天是星期六。
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个3.由平行四边形的定义可以判定平行四边形的_________________________. 由平行四边形的定义可以判定_________________的四边形是平行四边形.4.提问：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是命题吗？回答：“不是命题，因为它不成立。
第二章 一元二次方程(章末复习)九年级数学上册(北师大版)
x1＝x2＝0
相等
2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
无
≥
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程①
_______
实数根。
四种方法
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，
不相等
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根
2
2
典型例题
例6 关于的一元二次方程 2 − + 3 + 2 + 1 = 0的根的情况是（
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根
D．没有实数根
）
针对训练
1.已知关于x的一元二次方程 2 + 2x − = 0 有两个相等的实数根，则a的值是（
A．4
B．﹣4
4.求解。解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。
典型例题
例1：判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
(1)x2 +
-7=0
分母中有未知数
(2)x3-2x+8=0
最高项次数为3
(3)x2 -3y+4=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
a可能为0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
−1≠0
∴
+1=2
∴ = −1
≠1
，解得：
= ±1
针对训练
6．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
2019—2020年最新北师大版九年级数学上册《一元二次方程》全章热门考点整合及答案(试卷).docx
全章热门考点整合应用名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，两个应用，三种思想．两个概念概念1 一元二次方程的定义1．当m 取何值时，方程(m －1)xm 2＋1＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程？概念2 一元二次方程的根2．【2015·兰州】若一元二次方程ax 2－bx －2 017＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．3．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0182 017c 的值．一个解法——一元二次方程的解法4．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)【中考·山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.两个关系关系1一元二次方程的根的判别与系数的关系5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b ＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．关系2一元二次方程根与系数的关系6．【2016·梅州】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？两个应用应用1 一元二次方程的应用8．【2016·赤峰】如图，一块长5 m 、宽4 m 的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780. (1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．(第8题)应用2配方的应用9．阅读下面材料，完成填空．我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8＝(x＋3)2－1＝(x＋3＋1)(x＋3－1)＝(x＋4)(x＋2)．(1)请仿照上述过程，完成以下练习：x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)]．(2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？10．阅读材料：把形如ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b)2.例如：(x －1)2＋3，(x －2)2＋2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －22＋34x 2是x 2－2x ＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x 2－4x ＋2的三种不同形式的配方；(2)已知a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝0，求a ＋b ＋c 的值．三种思想思想1 整体思想11．已知x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，求代数式2a 4＋a 3＋2a 2＋2a ＋1的值．思想2 转化思想12．解方程：()2x ＋12－3()2x ＋1＝－2.思想3 分类讨论思想13．已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求a 的取值范围；(2)若x 12＝x 1x 2，求方程的两个根及a 的值．答案1．解：当m2＋1＝2且m－1≠0时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1.由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1.所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．点拨：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑．2．2 017 点拨：把x＝－1代入方程中得到a＋b－2 017＝0，即a＋b＝2 017.3．解：∵a＝4－c＋c－4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0.∴c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根， ∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0182 017×4＝0. 4．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13. (2)x 2－6x －6＝0，x 2－6x ＝ 6，x 2－6x ＋9＝ 15，(x －3)2＝ 15，x －3＝±15， ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x)2＝4 860，(1－x)2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，∴x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，(x －10)(x －30)＝ 0，∴x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，(x －2)(x －4) ＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.5．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰长时，△ABC 的周长为5＋5＋2＝12. 当b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形． ∴△ABC 的周长为12.6．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k －3>0.解得k>34. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2＋1. ∵x 1＋x 2＝－x 1·x 2，∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)．解得k ＝0或k ＝2.又∵k>34，∴k ＝2.7．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12， ∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．8．解：(1)设配色条纹的宽度为x m ，依题意得2x ×5＋2x ×(4－2x)＝1780×5×4. 解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝14. 答：配色条纹的宽度为14m. (2)配色条纹部分造价：1780×5×4×200＝850(元)， 其余部分造价：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1780×5×4×100＝1 575(元)． 则总造价为850＋1 575＝2 425(元)．所以地毯的总造价是2 425元．9．解：(1)－1；5；－2；－3；1；－9.(2)这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．10．解：(1)(x －2)2－2；(x －2)2－(4－22)x ；2(x －1)2－x 2.(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34(b －2)2＋(c －1)2＝0，所以a －12b ＝0，b －2＝0，c －1＝0.所以a ＝1，b ＝2，c ＝1.所以a ＋b ＋c ＝4.11．解：∵x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，∴2a 2＋a －2＝0，即2a 2＋a ＝2.∴原式＝a 2(2a 2＋a)＋2a 2＋2a ＋1＝2a 2＋2a 2＋2a ＋1＝2(2a 2＋a)＋1＝5.12．解：设2x ＋1＝y ，则原方程可变形为y 2－3y ＝－2.解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，有2x ＋1＝1，所以x ＝0；当y ＝2时，有2x ＋1＝2，所以x ＝12. 所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝12. 点拨：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解．13．解：(1)由题意得Δ＝4(a －1)2－4(a 2－7a －4)＝20a ＋20≥0，∴a ≥－1.(2)若x 12＝x 1x 2，则x 1(x 1－x 2)＝0，故x 1＝0，或x 1＝x 2.当x1＝0时，代入原方程得a2－7a－4＝0，解得a＝7±652.而此时x1＋x2＝－2(a－1)，得x2＝－2(a－1)．故x2＝－5－65或x2＝－5＋65.当x1＝x2时，Δ＝20a＋20＝0，∴a＝－1.原方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.。
北京市中考数学专题突破四：一元二次方程综合(含答案)
专题突破(四)一元二次方程综合一元二次方程的综合运用，一元二次方程的二次项系数不为零及整数根问题是一元二次方程综合题中的热点考查内容．—北京中考知识点对比题型年份题型一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数综合一元二次方程综合一元二次方程综合一次函数与反比例函数综合1．[·北京]已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．2．[·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．1．[·西城一模]已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x－m(m＋2)＝0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x＝－2是此方程的一个根，求实数m的值．2．[·海淀二模]已知关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a 为正整数，求方程的根．3．[·朝阳一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．4．[·西城二模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋3k －6＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．[·海淀] 已知关于x 的一元二次方程mx 2－()m ＋2x ＋2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 2<0，且x 1x 2>－1，求整数m 的值．6．[·海淀一模] 已知关于x 的方程kx 2－x －2k＝0(k ≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．7．[·石景山二模]已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋(2k－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．8．[·怀柔一模]已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值．参考答案北京真题体验1.解：＝(m ＋2)2－4×2×m＝m 2＋4m ＋4－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0.∴方程总有两个实数根． (2)由公式法解方程可得：x ＝－b ±Δ2a ＝（m ＋2）±（m －2）2m∴x 1＝1；x 2＝2m. 由题意得方程的两个实数根均为整数，∴x 2必为整数．又∵m 为正整数， ∴m ＝1或2.2．(1)k <52(2)k ＝2 北京专题训练1.解：(1)证明：Δ＝[]－2（m －1）2＋4m (m ＋2)＝4m 2－8m ＋4＋4m 2＋8m＝8m 2＋4.∵8m 2≥0，∴8m 2＋4＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x ＝－2是此方程的一个根，∴(－2)2－2×(－2)(m －1)－m (m ＋2)＝0.整理得m 2－2m ＝0.解得m 1＝0，m 2＝2.2．解：(1)∵关于x 的方程x 2－4x ＋3a －1＝0有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4(3a －1)≥0.解得a ≤53. ∴a 的取值范围为a ≤53. (2)∵a ≤53，且a 为正整数， ∴a ＝1.∴方程x 2－4x ＋3a －1＝0可化为x 2－4x ＋2＝0.∴此方程的根为x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.3．解：(1)Δ＝(－6)2－4(k ＋3)＝36－4k －12＝－4k ＋24.∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k ＋24>0.解得k <6.(2)∵k <6且k 为大于3的整数，∴k ＝4或5.①当k ＝4时，方程x 2－6x ＋7＝0的根不是整数．∴k ＝4不符合题意．②当k ＝5时，方程x 2－6x ＋8＝0的根为x 1＝2，x 2＝4均为整数．∴k ＝5符合题意．综上所述，k 的值是5.4．解：(1)由题意，得Δ＝4－4(3k －6)>0.∴k <73. (2)∵k 为正整数，∴k ＝1或2.当k ＝1时，方程x 2＋2x －3＝0的根x 1＝－3，x 2＝1都是整数；当k ＝2时，方程x 2＋2x ＝0的根x 1＝－2，x 2＝0都是整数．综上所述，k ＝1或k ＝2.5．解：(1)由已知，得m ≠0且Δ＝()m ＋22－4×2m ＝m 2－4m ＋4＝()m －22>0， ∴m ≠0且m ≠2.(2)原方程的解为x ＝()m ＋2±()m －22m .∴x ＝1或x ＝2m. ∵x 2<0，∴x 1＝1，x 2＝2m<0.∴m <0. ∵x 1x 2>－1，∴m 2>－1.∴m >－2. 又∵m ≠0且m ≠2，∴－2<m <0.∵m 是整数，∴m ＝－1.6．解：(1)证明：∵k ≠0，∴kx 2－x －2k＝0是关于x 的一元二次方程． ∵Δ＝(－1)2－4k (－2k)＝9>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得x ＝1±92k .∴x 1＝2k ，x 2＝－1k. ∵方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴k ＝－1或k ＝1.7．解：(1)证明：∵Δ＝(k ＋2)2－4(2k －1)＝(k －2)2＋4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)根据题意得1－(k ＋2)＋(2k －1)＝0，解得k ＝2，则原方程为x 2－4x ＋3＝0，解得另一个根为x ＝3.①当该直角三角形的两直角边长是1、3时，由勾股定理得斜边的长为10，该直角三角形的周长为4＋10；②当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2 2，该直角三角形的周长为4＋2 2.8．解：(1)证明：Δ＝(4k ＋1)2－4k (3k ＋3)＝(2k －1)2.∵kx 2－(4k ＋1)x ＋3k ＋3＝0是一元二次方程，∴k ≠0，∵k 是整数，∴k ≠12，即2k －1≠0， ∴Δ＝(2k －1)2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解方程得x ＝（4k ＋1）±（2k －1）22k. ∴x ＝3或x ＝1＋1k. ∵k 是整数，方程的根都是整数，∴k ＝1或k ＝－1.。
第2章 一元二次方程 北师大版九年级上册数学复习课(共23张PPT)
合作探究
一元二次方程的定义
1.下列方程中一元二次方程的个数是( B
)
①2x－3＝x2＋2x－3；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－2)
2
＝(x＋1) ；④x＋ ＝1；⑤(x＋1)(x＋2)＝2x2－3.
A.1
B.2
C.3
D.4
合作探究
2.(1)将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为
减20元，但最低不能低于每台440元.乙公司一律按原售价的75%
促销.某单位需购买一批图形计算器.
(1)若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花
费较少？
(2)若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数
量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
合作探究
解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800－20×6)
第二章 一元二次方程
第二章 复习课
复习目标
1.知道一元二次方程的概念，掌握本章所学的解一元二次方
程的配方法、公式法、分解因式法，会合理选择方法解具体的
一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.
2.会用根的判别式判别一元二次方程的根的情况，会用根与
系数的关系解决问题.
3.利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具
二次方程.
预习导学
5.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况可以由 b2－
4ac 的值来确定，因此，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程
根的判别式，用符号“Δ”表示.Δ＞0，方程有
两个不相等
的实数根；Δ＝0，方程有 两个相等 的实数根；Δ＜0，方程
没有 实数根.
北京中考复习——一元二次方程(解析版)
北京中考复习——一元二次方程一、解答题1、关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．答案：（1）有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，如a=1，b=2，此时方程的根为x1=x2=-1．解答：（1）一元二次方程ax2+bx+1=0，当b=a+2时，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4＞0，故当b=a+2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根．（2）若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2-4a=0，当a=1，b=2时，满足．此时方程为x2+2x+1=0，方程的根为x1=x2=-1．2、关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．答案：（1）证明见解答．（2）k＜0．解答：（1）Δ=（k+3）2-4×1×（2k+2），=k2-2k+1=（k-1）2≥0．∴方程总有两个实数根．（2）x2-（k+3）x+2k+2=0，（x-2）（x-k-1）=0，x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，k＜0，即k的取值范围为k＜0．3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．答案：（1）k＜52．（2）k=2．解答：（1）关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0中，∴a=1，b=2，c=2k-4，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=20-8k＞0，∴k＜52．（2）∵k＜52且k为正整数，∴k=1或k=2．由求根公式，得x=-1∵方程的根都为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，不符合条件．当k=2时，5-2k=1，是完全平方数．故k=2．4、已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=1或m=2．解答：（1）依题可知：Δ=b2-4acΔ=（m+2）2-4×2m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0．∴方程总有两个实数根．（2）原方程可化为：（mx-2）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=2m．由题意可知，方程的两个实数根均为整数，∴x2必为整数；又∵m为正整数；∴m=1或m=2．5、关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．答案：m=1，x1=x2=1．解答：a=1，b=-2，c=2m-1，由题意知Δ=b2-4ac=8-8m≥0，∴m≤1，∵m为正整数，∴m=1，∴方程为x2-2x+1=0，∴x1=x2=1．故答案为：m=1，x1=x2=1．6、关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．答案：（1）m的取值范围为m＞-54．（2）当m的值为1，此时方程的根为x1=0，x2=-3．（答案不唯一）解答：（1）由题知，Δ=（2m+1）2-4（m2-1）=4m2+4m+1-4m2+4=4m+5．∵方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴4m+5＞0，∴m＞-54．即m的取值范围为m＞-54．（2）取m=1，此时方程为x2+3x=0，x（x+3）=0，解得x1=0，x2=-3．∴当m的值为1，此时方程的根为x1=0，x2=-3．7、已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根．（1）求a的取值范围．（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．答案：（1）a≤174．（2）x1=1，x2=2．解答：（1）∵x2-3x+a-2=0有实数根∴Δ=（-3）2-4×1×（a-2）=17-4a≥0∴a≤174．（2）∵a≤174，a为最大整数，∴a=4，∴方程为x2-3x+2=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x1=1，x2=2．8、关于x的一元二次方程mx2-（2m-3）x+（m-1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，求此时方程的根．答案：（1）m≤98且m≠0．（2）x1=-1，x2=0．解答：（1）∵a=m，b=-（2m-3），c=m-1，方程有两个实根，∴Δ=b2-4ac=-8m+9≥0且m≠0，∴m≤98且m≠0．（2）∵m为正整数，∴m=1，∴方程为x2+x=0，∴x1=-1，x2=0．9、已知关于x的一元二次方程3x2-kx+k-4=0．（1）判断方程根的情况．（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．答案：（1）方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，选k=8，此时方程的根为x1=23，x2=2．解答：（1）Δ=b2-4ac=k2-4×3（k-4），=k2-12k+48，=k2-12k+36+12，=（k-6）2+12，∵（k-6）2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，k=8时，3x2-8x+4=0，（3x-2）（x-2）=0，∴x1=23，x2=2．10、已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根．（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=5解答：（1）∵Δ=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．（2）∵由求根公式可得x∴x=2m±3．∵x1＜x2，∴x1=2m-3，x2=2m+3．∵2x1=x2+1．∴2（2m-3）=2m+3+1．解得m=5．11、已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．答案：（1）m＜2．（2）m=0．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴Δ=（-4）2-4·2m=16-8m＞0，∴m＜2．（2）∵m＜2，且m为非负整数，∴m=0或1，当m=0时，方程为x2-4x=0，解得方程的根为x1=0，x2=4，符合题意．桑m=1时，方程为x2-4x+2=0，它的根不是整数，不符合题意，舍去，综上所述，m=0．12、关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．答案：（1）m≥-14．（2）m=0时，x1=0，x2=1．解答：（1）依题意，得Δ=[-（2m+1）]2-4×1×m2=4m+1≥0，解得m≥-14．（2）答案不唯一，如：m=0，此时方程为x2-x=0，解得x1=0，x2=1．13、已知：关于x的方程mx2-4x+1=0（m≠0）有实数根．（1）求m的取值范围．（2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．答案：（1）m≤4．（2）m=4．解答：（1）∵关于x的方程mx2-4x+1=0（m≠0）有实数根，∴Δ=16-4m≥0，即m≤4．（2）由求根公式可得：原方程的根为x，∵方程的根为有理数，且m为正整数，∴0＜m≤4，4-m是完全平方数，∴m=4．14、关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+14m2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m＞-12．（2）x1x2解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+14m2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（m+1）2-4×14m2＞0，解之得m＞-12，故答案为：m＞-12．（2）取m=2得：该一元二次方程x2+3x+1=0，Δ=（3）2-4×1×1=5，xx1x2．15、关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一个根为负数，求k的取值范围．答案：（1）证明见解答．（2）k＜-2．解答：（1）方程x2-（k+3）x+k+2=0中，Δ=[-（k+3）2]-4（k+2）=k2+6k+9-4k-8=k2+2k+1=（k+1）2，∵（k+1）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根．（2）x2-（k+3）x+k+2=0，（x-1）[x-（k+2）]=0，∴x-1=0或x-（k+2）=0．∴x=1或x=k+2．∵方程有一个根为负数，∴k+2＜0，∴k＜-2．16、已知：关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．答案：（1）m≤2．（2）2．解答：（1）Δ=42-4×2m=16-8m，由题意得16-8m≥0，∴m≤2．（2）由m≤2，且m为正整数得，m可取1或2，当m=1时，方程的根不为整数，舍去，当m=2时，x1=x2=-2，符合题意，∴m的值为2．17、关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m＞-1且m≠0．（2）m=3，x1=-1，x2=13．解答：（1）∵一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数，∴Δ=22-4m（-1）=4+4m＞0且m≠0，解得：m＞-1且m≠0．（2）∵方程的两个根都是有理数，，解得：m=3，此时方程为：3x2+2x-1=0，解得：x1=-1，x2=13．18、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m≤5．（2）当m=1时，x1=1，x2=-3．解答：（1）在方程x2+2x+m-4=0中，a=1，b=2，c=m-4，∴Δ=b2-4ac=22-4（m-4）=20-4m，∵一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根，∴20-4m≥0，∴m≤5．（2）当m =1时，方程为x 2+2x -3=0，解得x 1=1，x 2=-3．19、关于x 的一元二次方程4m x 2-（m -3）x +（m -1）=0有两个实数根． （1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，求此方程的根．答案：（1）m ≤95且m ≠0． （2）x 1=0，x 2=-8．解答：（1）根据题意得m ≠0且Δ=（m -3）2-m （m -1）≥0，解得m ≤95且m ≠0． （2）∵m 为正整数，∴m =1， ∴原方程变形为14x 2+2x =0， 解得x 1=0，x 2=-8．20、关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-3x +2=0有两个实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，求此时方程的根．答案：（1）m ≤178且m ≠1． （2）x 1=1，x 2=2．解答：（1）∵Δ=（-3）2-4（m -1）×2=-8m +17，依题意，得108170m m -≠⎧⎨∆=-+≥⎩，解得：m ≤178且m ≠1． （2）∵m 为正整数，∴m =2，∴原方程为：x 2-3x +2=0，解得：x 1=1，x 2=2．21、已知关于x 的一元二次方程x 2-3x +（m +1）=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）如果m 是非负整数，且该方程的根是整数，求m 的值．答案：（1）m＜54．（2）1．解答：（1）∵一元二次方程x2-3x+（m+1）=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（-3）2-4×1×（m+1）=9-4m-4=5-4m＞0，解得，m＜54．（2）∵m＜54，m是非负整数，∴m=0或1，当m=0时，原方程化为x2-3x+1=0，该方程的根不是整数，当m=1时，原方程为x2-3x+2=0，解方程得，x1=1，x2=2，该方程的根是整数，∴m=1．22、已知关于x的方程x2-6x+k+7=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）当k为正整数时，求方程的根．答案：（1）k＜2．（2）x1=2，x2=4．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0．即36-4（k+7）＞0．∴k＜2．（2）∵k＜2且k为正整数，∴k=1．∴x2-6x+8=0．∴x1=2，x2=4．23、关于x的方程2x2+（m+2）x+m=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．答案：（1）证明见解答．（2）m=0时，x1=0，x2=-1．解答：（1）Δ=b2-4ac=（m+2）2-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）当m=0时，原方程2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．24、已知关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+a=0．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．答案：（1）证明见解答．（2）当a=0时，x=0或x=-1．解答：（1）Δ=（a+1）2-4a=a2+2a+1-4a=（a-1）2，∴Δ≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（a+1）2-4a＞0，∴（a-1）2＞0，∴a≠1，当a=0时，原方程为：x2+x=0x（x+1）=0，∴x1=0，x2=-1．故当a=0时，此方程两个根分别为0，-1．。
2012-2023北京中考真题数学汇编：一元二次方程章节综合
2012-2023北京中考真题数学汇编一元二次方程章节综合A．4-B．D．44-C．4的值是．四、问答题8．（2019北京中考真题）关于x的方程22210-+-=有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的x x m根．9．（2018北京中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．（2016北京中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．11．（2013北京中考真题）已知关于x的一元二次方程22240x x k++-=有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．五、作图题12．（2016北京中考真题）阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约_____________亿元，你的预估理由_____________．【分析】（1）找出题中数据，画出折线图即可；（2）只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可．如：近三年平均增长率作为预估依据，以此为依据时，设2013年到2015年的平均增长率为x ，根据题意可求出x ，即可求出2016年北京市文化创意产业实现增加值．【详解】（1）2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值如下图所示：（2）设2013年到2015年的平均增长率为x ，则22406.7(1)3072.3x +=，解得：10.13x ≈，2 2.13x ≈-（舍）∴估计2016年的增长率为0.13，∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约3072.3(10.13)3471.7⨯+=亿元．∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约为3471.7亿元，依据为近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据．故答案为：3471.7，近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据．【点睛】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用．也考查学生的阅读能力，处理数据的能力．。
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－D.3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )A ．－3B ．3C ．－6D ．66.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．277.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2＋3x ＋2＝0C ．x 2－3x －2＝0D ．x 2－3x ＋2＝08.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )A ．－10B ．4C ．－4D ．109.菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )A ．－3B ．5C ．5或－3D ．－5或310.如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．11.一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．12.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.13.已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．14.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．15.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．16.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．18.关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋2x ＋1＝0;(2)3x 2－2x －1＝0；(3)2x 2＋3＝7x 2＋x;(4)5x －5＝6x 2－4.20.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值． 答案： 1---9DDDAADCCA 10.－a/bc/a 11.－4 12.2016 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x 2－10x ＋9＝017.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝.∵m ＝＜2，∴m 的值为18.解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵＋＝0，∴＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19.解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝－ (3)x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－ (4)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝20.解：(1)由Δ≥0得k≤ (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321.解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－＋4＝，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－＋4＝的解．∴a＝24(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－＋＋1＝为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。
初二数学(北京版)-一元二次方程复习(第一课时)-2PPT课件
(2) 3(x-2)2=1
典 例 精 讲
例题
(2) 3(x-2)2=1
解：原方程可化为
典
(x - 2)2 = 1. 3
例
精
讲
例题
(2) 3(x-2)2=1
解：原方程可化为
典
(x - 2)2 = 1. 3
例
开平方，得 x - 2 = 1 = 3 .
33
精 讲
例题
(2) 3(x-2)2=1
解：原方程可化为
解：原方程可化为
典
2x2 =8. x2 =4.
例 精
讲
例题
(1) 2x2-8=0
解：原方程可化为
典
2x2 =8. x2 =4. 开平方，得
例 精x=±2.讲 Nhomakorabea例题
(1) 2x2-8=0
解：原方程可化为
典
2x2 =8. x2 =4. 开平方，得
例 精
x=±2.
讲
原方程的解为
x1= 2，x2=-2.
例题
例
x2+2x-1=0.
精
讲
例题
(1) x(x + 2)=1
典
解：原方程整理为一般形式，得
例
x2+2x-1=0.
精
所以原方程是一元二次方程.
讲
例题
(2) 3x2 +2y+1=0
典
例
精 讲
例题
(2) 3x2 +2y+1=0
典
解：因为方程中含有两个未知数，
例
所以原方程不是一元二次方程.
精
讲
一元二次方程的解法
3
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北京市九年级数学下册 一元二次方程的解法专题讲解 新
专题：一元二次方程的解法重难点易错点解析一元二次方程ax 2+bx+c=0，a ≠0的条件。
题一题面：若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．金题精讲题一题面：选择最佳方法解下列关于x 的方程：(1)(x ＋1)2＝(1－2x )2． (2)x 2－6x ＋8＝0． (3).02222=+-x x (4)x (x ＋4)＝21．(5)－2x 2＋2x ＋1＝0.一元二次方程的解法：直接开方、因式分解、配方法、公式法满分冲刺题一题面：用适当的方法解下列方程1. ()()03051752=+---x x2. ()()08323222=-+-+x x x x3. ()0321322=+++x x4. 022632=+--x x x5. 44862222-+=+-+-+x x x x x x x 6. 11314121+-+=+-+x x x x一元二次方程的解法：因式分解法分式方程：注意分式方程根的验算题二题面：要用总长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?用配方法解决实际问题讲义参考答案重难点易错点解析题一答案:-2金题精讲题一答案：(1)x 1＝2，x 2＝0； (2)x 1＝2，x 2＝4； (3);221==x x(4)x 1＝－7，x 2＝3； (5);231,23121-=+=x x 满分冲刺题一答案：1. x=7或20 2. x=-4,1,-1,-2 3. x=1-- 4. x=3， 5. x=06. 52-±题二答案：当BC=10m 时，最大面积为50m 2。
_北京中考一元二次方程知识点及典型题
一元二次方程题型讲义模块一、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆一元二次方程根的判别式（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.模块二、一元二次方程的根与系数的关系的应用为根的一元二次方程是模块三、有理数根问题模块四、整数根问题整数解问题先保证跟为有理数根，∆一定为平方数处理思想从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2),通过穷举,逼近求解从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解处理方法从判别式入手，∆为平方数，设根的判别式为2t （t 为整数），然后利用整数×整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k 的值，然后再利用整数根进一步验证筛选整数×整数=整数利用的知识有：①若a 、b 为整数，a b ⋅为整数k ，如果1122k m n m n === ，那么11a m b n =⎧⎨=⎩或11a n b m =⎧⎨=⎩或22a m b n =⎧⎨=⎩或22a n b m =⎧⎨=⎩ （1m 、2m 、1n 、2n 为整数）②两个整数的和、差、积仍为整数，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +、a b -、ab 都为整数．③两个整数的和与这两个整数的差奇偶性相同，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +与a b -同奇同偶．要点一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合
y
（ 2）将二次函数 y=（ a-1 ） x2+2x+1 的图象向右平移 m个单位，
向下平移 m2+1 个单位，当 -2 ≤ x≤ 1 时，二次函数有最小值 -3 ，
求实数 m的值 . 27. 解：（ 1）∵二次函数 y=（a-1 ） x 2+2x+1 与 x 轴有交点， 令 y=0，则（ a-1 ） x 2+2x+1=0，
将二次函数 y=x2+2x+1 化成顶点式 y=（ x+1） 2
二次函数图象向右平移 m个单位，向下平移 m2+1 个单位
后的表达式为 y=（ x+1-m） 2- （m2+1） .
此时函数的顶点坐标为（ m-1, -m 2-1 ） . ,,,,,,,,,,,,,
4分
当 m-1＜ -2，即 m＜ -1 时， x=-2 时，二次函数有最小值 -3 ，
∴ -3=（ -1-m ）2- （ m2+1），解得 m
当 -2 ≤ m-1≤ 1, 即 -1 ≤ m≤ 2, 时，当
3
且符合题目要求 . ,,,,,,,,,,,,
2
x= m-1 时，二次函数有最小值
2
-m -1=-3 ，
27 题 图
5分
解得 m
2 . ∵ m - 2 不符合 -1 ≤ m≤ 2 的条件，舍去 .
张老师整理 15010251586
【例 2】（ 2015 昌平 1※ 23） 已知二次函数 y (k 2 1)x2 (3k 1)x 2 ．
（ 1）二次函数的顶点在 x轴上，求 k 的值； （ 2）若二次函数与 x轴的两个交点 A、 B 均为整数点（坐标为整数的点）
北师大版九年级数学10.《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
北师大版九年级数学《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程； 故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．【典型例题】类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0． ∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（）A．2 B．5 C．7 D．83．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）A．2% B．5% C．10% D．20%4．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ． 10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=-，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________．15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x －2)=48，解得x 1=－6(舍去)，x 2=8.∴x 2=64， 即正方形面积为64 cm 2.7.【答案】A ；【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△. 8．【答案】B ；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题 9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣ba解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×， 整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5， ∵20﹣2x ＞0，∴x＜10， ∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ． 11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-. 12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解. 14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根， ∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211*********(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
2020北京中考数学一轮复习课件：第06课时 一元二次方程
解:(1)证明:∵ Δ=[-(k+3)]24×1×(2k+2) =k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴ 方程总有两个实数根. (2)∵ x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0, ∴ x1=2,x2=k+1. ∵ 方程有一个根小于1, ∴ k+1<1,∴ k<0, 即k的取值范围为:k<0.
(3)x2-2 2x+2=0, 变形得:x2-2 2x+( 2)2=0,即(x- 2)2=0,
解得:x1=x2= 2. (4)-2x2+2x+1=0, 这里 a=-2,b=2,c=1, ∵ Δ=4+8=12>0, ∴ x=-22×±(-21)2=1±2 3, 则 x1=1+2 3,x2=1-2 3.
分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是 C ( )
A.100(1+x)=121
B.100(1-x)=121
C.100(1+x)2=121
D.100(1-x)2=121
2.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21
场比赛,则参赛球队的个数是 ( C )
A.5个
B.6个
解:∵ x2-2x+2m-1=0有实数根, ∴ Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0, ∴ m≤1. ∵ m为正整数,∴ m=1, 故此时方程为x2-2x+1=0, 即(x-1)2=0, ∴ x1=x2=1, ∴ m=1,此时方程的根为x1=x2=1.
3.[2018·北京20题]关于x的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根 的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组 满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
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一元二次方程复习22.1 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：请你举出几个一元二次方程的例子：一元二次方程的一般形式：。
其中叫二次项，叫一次项，叫常数项，叫二次项系数，叫一次项系数。
想一想：分别找出下列方程中的二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
⑴x2+10x-900=0 ⑵5x2+10x-2.2=0 ⑶x2-x-56=0⑷4x2=9 ⑸x2+3x=0 ⑹3y2-5y=7做一做：1、将方程3x（x-10)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
2、将导语中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
拓展练习1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米？2、有一群蜜蜂，其半数的平方根只飞向茉莉花丛，留在家里，还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂，这两只雄蜂被荷花的香味吸引，傍晚时由于花瓣合拢，飞不出去了，请你告诉我蜂群中有多少只蜜蜂22.1 一元二次方程（2）1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0应用拓展1、要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？2、已知x=2是关于x 的方程1.5x 2-2a=0的解，求式子2a-1的值？22.1一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的一般形式： ，其中二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ， 常数项是 。
叫做一元二次方程的根。
1、判断下列关于x 的方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，请写出它的a 、b 、c① 3x 2=2x-1 ② x 2+x 2=0 ③ x 2=5④ ax 2+bx+c=0 ⑤ (x-2)(x+1)=(x+3)(x-1)2、已知关于x 的方程(m+2)x m+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程。
3、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+x+m -1=0有一个根为0，则m 的值为( )A. 1B. -1C. 1或-1D. 211、已知a 是x 2-2010x+1=0的一个根，求代数式a 2- 2009a ＋120102+a 的值.2、解方程 ①（2x-1）2=5 ② x 2+6x+9=21.一元二次方程的一般形式是2.方程 4 x 2=0是 元 次方程，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
3.若关于x 的方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 。
4.若x=-1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根，则代数式 2009（a-b+c ）的值为5.已知m 是方程 x 2-x-1=0的一个根，则㎡- m 的值等于6.用直接开方法解方程：① 16 x 2=49 ② 4（2x-1）2=9③ x 2-4x+4=5 ④ 9x 2+6x+1=41、已知关于x 的方程（m+3）x 12-m +2(m-1)x-1=0.(1)m为何值时，它是一元二次方程？(2) m为何值时，它是一元一次方程？2、已知关于x的方程(m-3)x2+4x+㎡-3=0的一个根是0，求m的值。
试证明：关于x的方程(㎡-8m+17) x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。
22.2.3一元二次方程的解法------因式分解法1、因式分解(1)x(x-2)+x-2= (2)a2-b2=(3)a2-2ab+b2= (4)9x2+6x+1=2、∵ x2+(p+q)x+pq ＝x2+px+qx+pq= x(x+p)+q(x+p)=∴ x2+(p+q)x+pq =利用上面公式进行因式分解(1)x2+5x+6= (2) x2 -7x+12=(3) x2-x-6= (4) x2+3x-4=3、如果a·b＝0，那么解方程3（1）x(x-2)+x-2=0 （2）5x2-2x-41=x2-2x+4（3）x2+3x+2=0 (4) x2 -5x+24=0 (5) x2+5x-14=01、方程 x2-3x =0的解为( )A、x=3B、x1=0, x2= - 3C、x1=0, x2= 3D、x1=0, x2= 32、方程 x(x+1)=3(x+1)的解为( )A、x=-1B、x=3C、x1=-1, x2= 3D、以上答案都不对3、若(x-2)(x+3)=x2+mx+n则m，n的値为（）A、m=1,n=-6B、m=5,n=6C、m=1,n=6D、m=5,n= - 64、写一个以0和－2为根的一元二次方程为5、用适当的方法解下列方程：(1) 9(x+2)2=16 (2) x(x-4)=8-2x (3) (1-3x)2=4x2(4) 3x(x-1)=2-2x (5) 2x2-6x+3=0 (6) (x-2)2-10(x-2)+25=03、已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-7x+10=0的根，求△ABC的周长。
4、已知( a2+b2)( a2+b2-1)=6, 求a2+b2的值22.2.4一元二次方程的根与系数的关系1、用适当的方法解方程：（1）4 x-5x=0 (2) 2x+3x-4=0(3)x-6x+9=0 (4) x-x-6=0有求根公式可知，方程ax2 +bx +c = 0 （a≠ 0）的两个根分别为x1= ，x2= ，则x1+x2=x1·x2= ，我们把这一结论叫做韦达定理。
1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：(1)x-6x-15=0 (2)3x+7x-9=0 (3)5x-1=4x (4)x-3x=152、若x1 ，x2是方程x-x-3=0的两个实数根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值：(1)（x1 +2）(x2+2) (2)(x1-x2)2已知关于x的一元二次方程x-2x-a=0（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足+=-，求a的值。
若x1，x2是方程x+x-2=0的两个实数根，则x1+x2=x1 x2=2.若关于x的方程x+x+m=0的一个根为1-，则m= ,另一个根为3.已知m,n是x-3x+1=0的两根，则代数式2m2+2n2-6mn+108=4.若方程2x-6x+3=0的两根为x1，x2，则（x1-x2）2的值为5.若关于x的方程x+(k-1)x+k=0的两实数根的平方和为6，求k的值。
22.3实际问题与一元二次方程（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传）染中平均一个人传染了几个人？问题：①设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人？第一轮传染后，共有人患了流感？②在第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，那么第二轮传染后共有人患流感？列出方程并求解.③完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？增长率问题：向阳村2001年的人均收入为1200元，2003年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A、9℅B、10℅C、11℅D、12℅2、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。
受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a℅后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A、200(1+a℅)2=148B、200(1-a℅)2=148C、200(1-2a℅)=148D、200(1+a2℅)=1483、某市今年1月份的工业产值达5亿元，第一季度的总产值是18亿元，若设后两个月的平均月增长率为，则根据题意可列出的方程为4、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑会被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？5、公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.1、某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后使鸡场共有169只小鸡患病，那么在一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？2、某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少，据统计，2008年和2009年的近视眼人数合计只占2007年人数的75%，这两年平均每年近视人数降低的百分率是多少？3、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？4、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这两个数字分别为多少？22.3实际问题与一元二次方程（2）1、如图，有面积为150㎡的长方形养鸡场，鸡场的一边靠围墙（围墙长为18m），另外三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的总长为35m，求次养鸡场的长与宽各为多少米？18m要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边,地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，求花边的宽。
2、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横、纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？1、有一张长方形的纸片,其长为19cm,宽为15cm，在长方形纸片的四个角各剪去一个边长一样的小正方形，做成一个底面面积为77cm2的无盖长方形的纸盒，剪去的小正方形的边长应为多少?2、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长.22.3实际问题与一元二次方程（3）一、利润问题1、回忆利润问题的相关公式2、某商店购进一种商品，单价30元。