答题模板：数列的通项、求和
数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
）例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式．2项和为S ，满足3如,1对所有的4。
例．521a a ⋅⋅⋅(例．已知数列{}n a 满足31=a ，n n a n a 11+=+，求n a 。
答案：23n a n=6．已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差．等比数列）。
（1）形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ． 答案：123n n a +=-②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例③(n f （2）n rq ，其中p q1+ 例（3型（2）的方法求解。
例．已知数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。
答案：1731(443n n a -=--7．形如11n n n a a ka b--=+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。
例．1,13111=+⋅=--a a a a n n n答案：132n a n =- 8.利用平方法、开平方法构造等差数列例1．数列{}n a的各项均为正数，且满足11n n a a +=+，12a =，求n a 。
答案：2(1)n a n = 例2．已知()f x x =<，求：（1）9．n a +设n b =例．1.已知2.已知13a =且132n n n a a +=+，求n a 答案：1532n n n a -=⋅- 3.已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，试求通项公式n a 。
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列通项公式的求法及数列求和方法---含答案
第4讲 数列通项公式求法一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21--二、公式法公式法1：等差与等比数列例2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n例3：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n nn .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12-=n s n练习：1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()lg 1n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列，并写出}{n a 的通项公式2：已知数列{}n a 前n 项的和为sn ＝23a n －3，求这个数列的通项公式。
3：已知正项数列{}n a 中，sn ＝21（a n +n a 1），求数列{}n a 的通项公式.三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是数学中非常重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数列中，我们可以通过寻找规律，并找到数列的通项公式与求和公式。
本文将介绍数列的通项公式与求和公式的概念、推导方法以及实际应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指可以通过一个通用的公式来表示数列中任意一项与项数之间的关系。
通项公式的推导方式因数列的特点而有所不同。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差是常数的数列，通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式可以通过以下步骤推导得出：我们知道，等差数列中相邻两项之间的差是常数d，可以表示为第n项与第n-1项之间的差：an - an-1 = d (1)又因为等差数列的首项为a，所以可以推出第n-1项为a + (n-1)d。
将第n项和第n-1项的表达式代入公式(1)，则有：an - (a + (n-1)d) = d整理后得到等差数列的通项公式：an = a + (n-1)d (2)其中，an表示等差数列中第n项的值。
等差数列的通项公式为一个关于n的一次函数，可以方便地计算出数列中任意一项的值。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比是常数的数列，通常用字母a表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式可以通过以下步骤推导得出：我们知道，等比数列中相邻两项之间的比是常数q，可以表示为第n项与第n-1项之间的比：an / an-1 = q (3)又因为等比数列的首项为a，所以可以推出第n-1项为a * q^(n-1)。
将第n项和第n-1项的表达式代入公式(3)，则有：an / (a * q^(n-1)) = q整理后得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1) (4)其中，an表示等比数列中第n项的值。
等比数列的通项公式为一个关于n的指数函数，同样可以方便地计算数列中任意一项的值。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指可以通过一个通用的公式来计算数列从第一项到第n项的和。
数列求和常用方法(含答案)
数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。
高考数学万能解题模板总结(高考必备)
高考数学万能解题模板总结（高考必备）1、选择填空题1）易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2）答题方法选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法。
填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
2、解答题答题技巧与模板1）三角变换与三角函数的性质问题一、解题路线图①不同角化同角①降幂扩角①化f（x）=Asin（ωx+φ）+h①结合性质求解。
二、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin（ωx+φ）+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
①整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。
①求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin（ωx+φ）+h的性质，写出结果。
①反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
2）解三角形问题一、解题路线图①化简变形；①用余弦定理转化为边的关系；①变形证明。
①用余弦定理表示角；①用基本不等式求范围；①确定角的取值范围。
二、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
①定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
①求结果。
①再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
3）数列的通项、求和问题一、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
①求通项公式。
①求数列和通式。
二、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列通项公式的求法(较全)【范本模板】
常见数列通项公式的求法公式:1、 定义法若数列是等差数列或等比数列，求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ，求数列{}n b 的的通项公式.练习:数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式。
2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法。
方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,()11n n a a f n --=-,()122n n a a f n ---=-,()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++（3）已知1a ,()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项。
①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和。
数列求和与求通项公式方法总结(已打)
12、已知 为等比数列, , ,则 。
13、已知 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
14、已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项公式 _____.
15、等比数列{ }的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比 =_______
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求数列 的通项公式.
（1）求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 。
数列练习题（近三年各地高考题选编）
一、填空题
1、在等差数列 中, ,则 的前5项和 =。
2、等差数列 中, ,则数列 的公差为。
3、在等差数列 中,已知 =16,则 。
4、如果等差数列 中， + + =12，那么 + +•••…+ =。
5、 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，问 > 的最小正整数 是多少
2、（2012广州一模）已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ．
3、（2012惠州三模）已知函数 ，且数列 是首项为 ，公差为2的等差数列.
6、{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7、已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 .
(I)求数列 与 的通项公式;
高考数学数列求通项公式及求和
⾼考数学数列求通项公式及求和数列求通项公式与求和（Shmily.东）⼀、通项公式⼆、数列求和补充：22 2233(1)(21)(1)2,264n n n n nn n+++ +++=+++=L L2311典型例题⼀．通项类型形如)(1n f a a n n =-+型累加法：（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，⽤累加法. ⽅法如下：由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，KK)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n+++-+-=-Λ即：∑-=+=111)(n k nk f a a .为了书写⽅便，也可⽤横式来写：Θ 2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+-Λ.①若f(n)是关于n 的⼀次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的⼆次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等⽐数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例4.已知数列}{n a 中, 0>na 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知)(21n n na n a S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S ,化简有n S S n n=--212,由类型(1)有n S S n ++++=Λ32212,⼜11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,⼜0>n a ,2)1(2+=n n s n ,则2)1(2)1(2--+=n n n n a nPS ：形如)(1n f a a n n =++型（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是⼀个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（⾮常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或⽤逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.例1. 数列{n a }满⾜01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n}的通项公式. 分析 1：构造转化为)(1n f a a n n =-+型解法1：令n n n a b )1(-=则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111-=+-=---=-++++++.2≥n 时,=-=??-=--?-=--?-=-----012)1()2(2)1()1(2)1(112121211a b b b n b b n b b n n n n n n ΛΛ各式相加:[]1)1(2)1()2()1()1()1(2231?-+?-++--+--=-Λn n b n n n当n 为偶数时，n n n b n=-?-+-=22)1()1(2.此时n b a n n ==当n 为奇数时，1)21(2+-=--=n n b n 此时n na b -=,所以1-=n a n .故-=.,,,1为偶数为奇数n n n n a n 解法2：Θna a n n 21=++∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，两式相减得：211=--+n n a a .∴,,,,531Λa a a 构成以1a ,为⾸项，以2为公差的等差数列;,,,,642Λa a a 构成以2a ,为⾸项，以2为公差的等差数列∴22)1(112-=-+=-k d k a a kk d k a a k 2)1(22=-+=.∴??-=.,,,1为偶数为奇数n n n n a n评注：结果要还原成n 的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满⾜S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式. 解：⽅法⼀：因为),3()21(31112≥-?=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以以下同例1，略答案+-?-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n类型 . 形如)(1n f a a nn =+型累乘法（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等⽐数列，n a =1 1-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,⽤累乘法. 由)(1n f a a n n =+得 2≥n 时，)1(1-=-n f a an n ，∴112211a a aa a a a a n n n n n =---Λ=f(n)f(n-1)1)1(a f ??Λ. 例1.设{}n a 是⾸项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________. 解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a aΘ0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即11+=+n na a n n ∴2≥n 时，nn a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n =---Λ=121121??--?-Λn n n n =n1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的⼆次齐次式，可以通过因式分解（⼀般情况时⽤求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从⽽求出n a . 例2.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n}的通项公式.解：因为,11-+=+n na a n n 所以,11n na a n n +=++故),1(11+=++n n a n a ⼜因为11->a ,即011>+a ，所以由上式可知01>+na ,所以n a a n n =+++111,故由累乘法得)1(11111111*********+?++?++??++?++=+---a a a a a a a a a a n n n n n Λ=)1()!1()1(12)2()1(11+?-=+-?-a n a n n Λ所以=na )1()!1(1+?-a n -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进⼀步转化为n n nb b =+1形式，进⽽应⽤累乘法求出数列的通项公式. PS.形如)(1n f a a n n =?+型（1）若p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是⼀个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（⾮常数）时，可通过逐差法得)1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列满⾜}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略. 类型形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型构造辅助数列（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等⽐数列; （3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.⽅法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+⽐较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c c dλ所以有：)1(11-+=-+-c da c c d a n n因此数列-+1c d a n 构成以11-+c da 为⾸项，以c 为公⽐的等⽐数列，所以 11)1(1-?-+=-+n nc cd a c d a 即：1)1(11---+=-c dc cd a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c d a c c d a n n ,构造成公⽐为c 的等⽐数列}1{-+c da n 从⽽求得通项公式)1(1111-++-=-+c d a c c d a n n 有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n+=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从⽽化为公⽐为c 的等⽐数列}{1n n a a -+,进⽽求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利⽤类型(1)即可求得通项公式.我们看到此⽅法⽐较复杂.例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 分析：两边直接加上1-c d,构造新的等⽐数列。
2018届高三理科数学答题模板 数列的通项与求和
数列的通项求和【一般数列的通项公式】一般数列的定义：果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子表示成a n=f （n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
【通项公式的求法】（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。
③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。
【等差数列的通项公式】a n=a1+（n-1）d，n∈N*。
a n=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；a n=kn+b（k≠）｛a n｝为等差数列，反之不能。
【等差数列的前n项和的公式】【数列求和的常用方法】1.裂项相加；2、错位相减；3、倒序相加法。
4、分组转化法。
5、公式法求和等差数列的前n项和的公式：【等比数列的通项公式】a n=a1q n-1，q≠0，n∈N*。
【等比数列的前n项和公式】等比数列前n项和公式的变形【2017年高考全国Ⅱ卷，理15】等差数列的前项和为,,,则____________．【答案】【考点】等差数列前n项和公式、裂项求和．【点拨】等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,a n,d,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时,要注意正、负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．答题思路【命题意图】数列的通项与求和高考必考内容,重点考查方程思想求通项,及等价转换在求和中的应用,同时考查运算求解能力.【命题规律】高考试题对数列内容考查的主要角度有两种：一种是仅在客观题中考查数列,一般有2道小题,特点是小巧活；一种是仅在解答题中考查数列,一般在第17题的位置上,属于基础题,多以等差数列或等比数列为载体,考查数列的通项与求和,求和常考公式求和、裂项求和.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步： 第一步：利用方程思想求基本量 列出关于基本量的方程组,解方程组求 ；第二步：根据公式求借助等差数列前n 项和公式,求出；第三步：裂项求和 通过求和.【方法总结】1.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d. (2)设等差数列{a n }的公差为d,其前n 项和S n ＝或S n ＝na 1＋d.(3)等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An2＋Bn(A 、B 为常数)． 2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m)d(n,m∈N *)．(2)若{a n }为等差数列,且k ＋l ＝m ＋n(k,l,m,n∈N *),则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d. (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列,公差为d,则a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…(k,m∈N *)是公差为md 的等差数列． 3.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d,n,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想． 4.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后,可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后,得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．5.等比数列的通项公式与前n 项和公式(1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则它的通项a n ＝a 1·q n －1.(2) 等比数列{a n }的公比为q(q≠0),其前n 项和为S n , 当q ＝1时,S n ＝na 1； 当q≠1时,S n ＝＝a 1－a n q 1－q. 6.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n,m∈N *)．(2)若{a n }为等比数列,且k ＋l ＝m ＋n (k,l,m,n∈N *),则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．7.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．8.在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n 项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q,则有a m a n ＝a p a q ”,可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k ,…成等比数列,公比为q k(q≠－1)． 7.由递推关系求数列的通项公式(1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个.(2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p,q 均为常数,）.把原递推公式转化为：,其中,再利用换元法转化8.求数列的前n项和的方法(1)公式法(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：1n＋n＋k＝1k(n＋k－n),＝1k(1n－1n＋k)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．用错位相减法求和时,应注意：(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．(6)并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型,可采用两项合并求解．例如,S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.9.易错警示(1)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列．(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有①已知S n与a n的关系,要分n＝1,n≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1,q≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论．(3)注意等比数列的任意一项及公比都不为零①由a n ＋1＝qa n ,q≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0. ②是成等差数列的充要条件,而是成等比数列的既不充分也不必要条件.③等比数列性质中S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 不一定成等比数列,因为S 2n －S n ,S 3n －S 2n 可能为零. (4)在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n,a n ＋1的式子应进行合并．(5)在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项．1.【2017年高考全国Ⅲ卷，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 2.【2017年高考江苏卷，理9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a =▲.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 3.【2017年高考山东卷，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+$来&源：=……+①又……+②【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【点拨】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.4．【2017重庆一中5月模拟】已知等差数列中,其前项和为,若,则A. 98B. 49C. 14D. 147【答案】A【解析】,解得：, ,故选A. 5．【2017宁夏六盘山三模】已知数列是等差数列,且, ,则A. 12B. 24C. 16D. 32【答案】A6．【2017陕西渭南市二模】成等差数列的三个正数的和等于,并且这三个数分别加上后成为等比数列中的,则数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】A【解析】设成等差数列的三个正数为,即有,计算得出,根据题意可得成等比数列,即为成等比数列,即有,计算得出舍去),即有4,8,16成等比数列,可得公比为2,则数列的通项公式为.所以A选项是正确的.7．【2017甘肃省兰州冲刺模拟】已知数列、满足,其中是等差数列,且,则________.【答案】20178．【2017重庆巴蜀中学三诊】设数列中, , , , ,则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】因为 ,所以数列为以为首项,2为公比的等比数列,即9．【2017辽宁庄河市四模】已知数列满足 ,且 . （1）求数列的通项公式；（2）若 ,求数列的前项和 .【解析】(1)由于.10．【2017辽宁葫芦岛市二模】已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）若,求数列的前项和.【解析】(1)当n=1时,a1=4-=1.当n≥2时,a1+2a2+…+na n=4-..........................①a1+2a2+…+(n-1)a n=4-..........................②①-②得: na n=-= (2n+2-n-2)=a n=当n=1时,a1也适合上式, ∴a n= (n N*).(2) b n=(3n-2)S n=+++…+(3n-5) +(3n-2)......................①S n=+++…+(3n-5) +(3n-2)......................②①-②得: S n=+3(+++…+)-(3n-2) =1+-(3n-2)解得:S n=8-.11．【2017青海西宁市二模】已知正项数列的前项和,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设,数列的前项和,证明：.又,所以则,所以数列是首项为1,公差2的等差数列,则.(Ⅱ) ,所以数列的前项和.而,所以.12．【2017吉林吉林市第三次调研】已知等差数列的前和为,公差．且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列,求数列的前项和．（Ⅱ）因为,所以则【2017甘肃第二次高考诊断】已知等差数列中, , ,数列中, 13．,其前项和满足：．（1）求数列、的通项公式；（2）设,求数列的前项和．【解析】(I)①②①-②得,为等比数列,14.【2016年高考全国II卷,理17】为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过x的最大整数,如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和【答案】（Ⅰ）,, ；（Ⅱ）1 893.【考点】等差数列的通项公式、前项和公式,对数的运算【点拨】解答新颖的数学题时,一是通过转化,化“新”为“旧”；二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点.。
数列通项公式与求和的常见解法
数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得，则，故数列{}2nna 是以为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列{}n a 的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.（2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式.注：①并非所有的数列都有通项公式；②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式.题型归纳及思路提示题型1 数列通项公式的求解 思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a②叠乘法：形如1()nn a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.利用n S 与n a 的关系求解 形如1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据1*1(1)(2,)n n n S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩，求出n a 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n-或者1(1)n -- 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2n 、{}2n与(1)n-有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374,,,,,,;751381911---L（2）2,22,222，L ，222L ；（3）数列{}n a 中各项为：12,1122,111222，L，{111222n n L L 123个个，L 分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.解析：（1）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以(1)n-；②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，L ，则2(1)34nn n a n +=-+. 解法一：1212021021022(101010)1(110)22(101)1109n n n n n n n a ----=⨯+⨯++=+++-==--L L g g 解法二：原数列⇔2229,99,999999n ⨯⨯⨯L L 123个，即2=(10-1)9nn a （3）121=(10-1)10+(10-1)=(10-1)(10+2)999n n n n n n a g 变式1 将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为__________ 12 34 5 67 8 9 10L L L L L L L L L 变式2 观察下列等式：211122ni i n n ==+∑，2321111326ni i n n n ==++∑34321111424ni i n n n ==++∑45431111152330ni i n n n n ==++-∑5654211151621212ni i n n n n ==++-∑67653111111722642ni in n n n n ==++-+∑ L L L L1111101nk k k k k k k i i a n a n a n a n a +-+-==+++++∑L ，可以推测，当*2()k k N ≥∈时，111k a k +=+，12k a =，1_____k a -=，2_____k a -=利用递推公式求通项公式叠加法 数列有形如1()n n a a f n +=+的递推公式，且(1)(2)()f f f n +++L 的和可求，则变形为1()n n a a f n +-=，利用叠加法求和例6.21 已知数列{}n a 满足132n n a a n +=++ *()n N ∈，且12a =，求数列{}n a 的通项公式.分析：式子132n n a a n +=++ *()n N ∈是形如1()n n a a f n +=+的形式，故利用叠加法求和. 解析：132n n a a n +-=+ *()n N ∈可得131n n a a n --=-，（2n ≥） 1234n n a a n ---=-，L L L215a a -=相加可得：232n n n a +=（2n ≥），且12a =也满足上式，故232n n na +=*()n N ∈ 变式1 已知数列{}n a 中，12a =，12n n na a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式变式2 已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++ *()n N ∈，则n a =____A 、2ln n +B 、2(1)ln n n +-C 、2ln n n +D 、1ln n n ++ 变式3 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-，（2n ≥，0q ≠）（1）设1n n n b a a +=-*()n N ∈，证明：{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式 变式4 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 为常数）*()n N ∈，且123,,a a a 成公比不为1的等比数列.（1）求c 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式2、叠乘法 数列有形如1()nn a f n a -=g 的递推公式，且(1)(2)()f f f n g g L g 的积可求，则将递推公式变形为1()nn a f n a -=，利用叠乘法求出通项公式n a 例6.22 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A 、2n n B 、12n n - C 、21n n - D 、12n n +分析：数列的递推公式是形如1()nn a f n a -=的形式，故可以利用叠乘法求解. 解析：由12(1)n n na n a +=+变形得112n n a n a n ++=，从而 12(1)n n a na n -=-，L ， 2122a a =，故1132112211132()212212n n n n n n a a a a n n na a a a n n ------==--g g L g g g g g L g g （2n ≥） 即112n n a n a -=（2n ≥），所以12n n n a -=（2n ≥，*n N ∈），且11a =满足上式，故12n n na -=（*n N ∈），选B变式1 已知数列{}n a 中，11a =，12n n a n a n++=，求数列{}n a 的通项公式 3、构造辅助数列法 （1）待定系数法形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠）的递推式，可构造1()n n a p a λλ++=+，转化为等比数列求解.也可以与类比式1n n a pa q -=+作差，由11()n n n n a a p a a +--=-，构造{}1n n a a +-为等比数列，然后利用叠加法求通项.例6.23 已知数列{}n a 中，11a =，1112n n a a +=+，求{}n a 的通项公式. 分析：式子1112n n a a +=+形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠），故利用构造法转化. 解析：解法一、设1112n n a a +=+等价于11()2n n a a λλ++=+，得到11122n n a a λ+=-，对应1112n n a a +=+，得到2λ=-故原递推式等价于112(2)2n n a a +-=-，因此数列{}2n a -为首项为1-，公比为12的等比数列，所以112()2n n a --=-，故112()2n n a -=- 解法二、由1112n n a a +=+得 1112n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈）， 因此111()2n n n n a a a a +--=-（2n ≥，*n N ∈），所以数列{}1n n a a -- 是首项为2112a a -=，公比为12的等比数列.2112111()()()22n n n n a a a a ----=-=2121()2n n n a a ----=L L L L1211()2a a -= 叠加得到：211111()111122()()1()1222212n n n n a a ----=+++==--L 故112()2n n a -=- （*n N ∈）变式1 已知11a =，132n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈），求{}n a 的通项公式.例6.24 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+ （*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.分析：将原递推公式转化为1(1)4()n n a a n a an λλ++++=++，即1433n n a a an a λ+=++-，比较1431n n a a n +=-+，得1a =-，0λ=，所以数列{}n a n -是首项为1，公比为4的等比数列，故14n n a n --=，即14n n a n -=+ （*n N ∈）2、同除以指数形如 1nn n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）的递推式，当p d =时，两边同除以1n d +转化为关于n n a d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的等差数列；当p d ≠时，两边人可以同除以1n d +得111n n n n a a p d d d d ++=+g ，转化为11n np b b d d+=+g ，同类型（1）.例6.25 已知数列{}n a 中，11a =-，1132n n n a a --=+（2n ≥，*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.解析：解法一、将1132n n n a a --=+两边同除以3n得11112()3333n n n nn a a ---=+⨯， 则1111121212()()()33333333n n nna a -=+⨯++⨯=-L ，则132n nn a -=- 解法二、将1132n n n a a --=+两边同除以2n得11312222n n n n a a --=+g ，令2nnna b =，得13122n n b b -=+，构造13()2n n b b λλ-+=+，得1λ=，因此数列{}1n b +为等比数列，且111331(1)()22n n n n b b --+=+=，则1312n n n b -=- （*n N ∈）， 故13122n n n n a -=-，进而得到132n nn a -=- 评注：一般地，对于形如 1nn n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）的数列求通项公式，两边同除以1n d +转化为待定系数法求解；两边同除以1n p+转化为叠加法求解.变式1 在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+（1）设12nnn a b -=，试证明：数列{}n b 是等差数列. （2）求数列{}n a 的前n 项的和n S取倒数法 对于1(0)n n n aa a ac b ca +=≠+，取倒数得111n n n n b ca b ca aa a a a++==+g .当a b =时，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；当a b ≠时，令1nnb a =，则1n n b c b b a a+=+g ，可用待定系数法求解. 例6.26 在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，求数列{}n a 的通项公式. 分析：式中含有形如1n a +和n a 的分式形式，故考虑利用倒数变换求其通项公式. 解析：因为1121122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，11111(1)22n n n n a a ++=+-=，故21n a n =+（*n N ∈） 变式1 已知数列{}n a 中首项135a =，1312n n n a a a +=+（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.变式2 已知数列{}n a 中首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足1112n n n S S S --=+（2n ≥，*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式. 取对数法 形如1(0,0)k n n n a ca c a +=>>的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.例6.27 已知数列{}n a 中首项13a =，且31n na a += （*n N ∈），则数列的通项n a =_______ 分析：取对数时，常用以1a 为底的对数，便于计算. 解析：因为13a =，所以对31n na a +=两边取以3为底的对数，得到313log 2log n n a a +=，故{}3log n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以13log 2n n a -=，所以123n na -=（*n N ∈）变式1 已知数列{}n a 中首项110a =，且2110n na a +=g （*n N ∈），求数列的通项n a 已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题对于给出关于n a 与n S 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转化n S 为n a 的形式，手段是使用类比作差法，使nS 1n S --=n a （2n ≥，*n N ∈），故得到数列{}n a 的相关结论，这种方法适用于数列的前n 项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将n a 转化为n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈），先考虑n S 与1n S -的关系式，继而得到数列{}n S 的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解{}n a 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前n 项和的形式不够独立的情况.简而言之，求解n a 与n S 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化n S 的形式为n a 的形式，适用于n S 的形式独立的情形，如已知142nn S a -=+（2n ≥，*n N ∈）；其二称为转化法，实质是转化n a 的形式为n S 的形式，适用于n S 的形式不够独立的情形，如已知2221n n n S a S =-（2n ≥，*n N ∈）；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对n 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注n 的范围.例6.28 已知正项数列{}n a 中，前n 项的和n S，且满足1n a =+，求数列{}n a 的通项公式.解析：由已知，可得24(1)n n S a =+ ①类比得到2114(1)n n S a --=+（2n ≥，*n N ∈）②式①-式②得 221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-即1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-所以11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又因为10n n a a -+>，故120n n a a ---=（2n ≥，*n N ∈），因此数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公比为2 故21na n =- （*n N ∈）评注：本题是关于n a 与n S 的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出n S 的直接形式，需要考生稍加变形，转化为24(1)nn S a =+后，才可使求解方向变得更为明朗.变式1 已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，11a =，142n n S a +=+（*n N ∈）（1）设12n n n b a a +=-，求n b ；（2）设112nn nc a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）设2n nna d =，求2010d例6.29 已知数列{}n a 中，0n a >，且对于任意正整数n 有11()2n n nS a a =+，求数列{}n a 的通项公式分析：已知n a 与n S 的关系，求数列的通项公式利用n a =n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈）求解，将试题右边的含n a 的式子换成n S 1n S --来处理.解析：当1n =时，111111()2S a a a ==+，及0n a >，解得 11a =当2n ≥时，由11()2n n n S a a =+得1111()2n n n n n S S S S S --=-+-，变形整理得2211n n S S --=，数列{}2n S 是等差数列，首项为1， 公差为1 故21(1)1nS n n =+-⨯=，所以n S =1n =适合上式，故n S =（*n N ∈）故当2n ≥时，n a =n S 1n S --= 1n =适合上式，故na =*n N ∈）变式1 已知数列{}n a 中，0n a ≠(1)n ≥，112a =，前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-（2n ≥，*n N ∈）（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式变式2 设数列{}n a是正数组成的数列，且有*2)n a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式.例6.30 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知111,42n n a S a +==+. （1）设12n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.解析 （1）在142n n S a +=+中，令1n =，得2142S a =+，即12142a a a +=+，故25a =，由142n n S a +=+知2142n n S a ++=+，两式相减得2144n n n a a a ++=-，即211224n n n n a a a a +++-=-，故12n n b b +=，且121230b a a =-=≠，即{}n b 是以2为公比的等比数列.（2）由2142S a =+且11a =知26S =，故2215a S a =-=，所以212523a a -=-=，即有111232n n n b b --==g g ，所以11232n n n a a -+-=g ，于是113224n n n n a a ++-=，因此数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等差数列.所以1331(1)22444n na n n =+-⨯=-，故2(31)2n n a n -=-g . 变式1 已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且*585()n n S n a n N =--∈. （1）证明：数列{1}n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，请指出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*24()n n S a n n n N =+-∈. （1）写出数列{}n a 的前3项123,,a a a ； （2）求证：数列{21}n a n -+为等比数列； （3）求n S .变式3 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2*112121,()33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.题型2 数列的求和 思路提示求数列前n 项和的常见方法如下： （1）通项分析法.（2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n 项和公式.（3）错位相减法：数列的通项公式为n n a b g 或n nab 的形式，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列.（4）分组求和法：数列的通项公式为n n a b +的形式，其中{}n a 和{}n b 满足不同的求和公式.常见于{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列或者{}n a 与{}n b 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律. （5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. （6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和. 一、通项分析法例6.31 求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++L L L 的前n 项的和. 解析 数列的通项21122221n n n a -=++++=-L ，即*21()n n a n N =-∈， 所以数列的前n 项的和为121212(12)(21)(21)(21)(222)2212n nnn n S n n n +-=-+-++-=+++-=-=---L L即1*22()n n S n n N +=--∈.评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前n 项和问题应该强化的意识. 变式1 求数列9，99，999，L ，999nL 123的前n 项和. 二、公式法利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.例6.32 已知等差数列{}n a 中，259,21,2n a n a a b ===，求数列{}n b 的前n 项和n S .分析 根据数列{}n a 为等差数列，259,21a a ==，求出数列{}n a 的通项， 从而知数列{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式求n S .解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得154a d =⎧⎨=⎩.数列{}n a 的通项公式为41n a n =+，由2na nb =得412n n b +=，因为454141222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是首项为512b =，公比为42q =的等比数列.于是得数列{}n b 的前n 项和54442[1(2)]32(21)1215n n n S --==-. 评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.变式1 如图6-4所示，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在点1Q 处的切线与x 轴交于点2P .再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,;;,n n P Q P Q P Q L ，记点k P 的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =L .（1）试求k x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤； （2）求1122||||||n n PQ P Q P Q +++L .三、错位相减法 求数列{n n a b g }和{nna b }的前n 项和，数列{}n a ， {}n b 分别为等差与等比数列.求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，与原数列的和作差，即n n S qS -，然后求n S 即可.例6.33 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =g ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T . 解析 （1）22n n S a =-，*1122(2,)n n S a n n N --=-≥∈上两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，得122n n n a a a -=-，故12n n a a -=， 令1*11111,22,2,2()n n n n a a a a a q n N -==-===∈.点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，则120n n b b +-+=，12n n b b +=+， 则{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，*1(1)221()n b b n n n N =+-⨯=-∈.（2）(21)2n n n n c a b n ==-gg ， 121232(21)2(1)n n T n =⨯+⨯++-⨯L 23`21232(21)2(2)n n T n +=⨯+⨯++-⨯L由（1）-(2)得112118(12)22222(21)22(21)212n nn n n T n n -++--=+⨯++⨯--⨯=+--⨯-L12(32)6n n +=--，故1(23)26n n T n +=-+.评注 由于结果的复杂性，自己可以通过代入1,2n =等验证，111222,T a b T a b ==等以确保所求结果的准确性. 变式1 已知数列{}n a 的前n 项和21(*)2n S n kn k N =-+∈,且n S 的最大值为8.（1）确定常数k ，并求n a ； （2）求数列92{}2nna -的前n 项和n T . 变式2已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}nb 是等比数列，且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121(*)n n n n T a b a b a b n N -=+++∈L ，证明：12210(*)n n n T a b n N +=-+∈.四、分组求和法对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和.例6.34 在数列{}n a 中11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.（1）设nn a b n=，证明1{}n n b b +-为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 解析 （1）由已知得1111(1)12112n nn n n n n a a a n b n n n +++++===+++，即112n n nb b +=+， 故112n n nb b +-=，且111(2,*)2n n n n b b n n N b b +--=≥∈-，因此1{}n n b b +-是公比为12的等比数列. （2）由（1）知当2n ≥时，1121111,,22n n n b b b b ---=-=L ，叠加得 11122111122n n n n n b b b b b b -----+-++-=++L L ， 所以111112211212n n n b b ---==--，得11112n n b b -=+-，1n =时也成立，又111b a ==，所以112(*)2n n b n N -=-∈，得12(*)2n nn na nb n n N -==-∈. 12123(21)(4)(6)(2)24223(2462)(1)222n n n nS n nn --=-+-+-++-=++++-++++L L L令21231222n n nT -=++++L ， 23111231222222n n n n nT --=+++++L ， 故2111(1)11112212(1)2122222222212n n n n n n n nT nn n n --+=++++-=-=--=--g L ，故1242n n nT -+=-，又2462(1)n n n ++++=+L ， 所以12(1)42n n nS n n -+=++-. 变式 1 已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=g 的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L .（1）求1357,,,a a a a ；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .变式2 等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表6-1的同一列.表6-1第1列 第2列 第3列 第1行 3 2 10 第2行 6 4 14 第3行 9 8 18(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .五、裂项相消法将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. 常用的裂项相消变换有： 1.分式裂项1111()()n n p p n n p=-++；1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++.2.根式裂项1p=.3.对数式裂项lg lg()lgn pn p nn+=+-.4.指数式裂项1()(1)1n n naaq q q qq+=-≠-；11111()(1)(1)(1)111nn n n nqqq q q q q++=-≠-----.使用裂项法，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列{}na中每一项na均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.例6.35 求数列1111,,,,,132435(2)n n⨯⨯⨯+L L的前n项和nS.解析先分析通项公式1111()(2)22nan n n n==-++，所以1111111111311[(1)()()](1)(*)23242221242224 nS n Nn n n n n n=-+-++-=+--=--∈+++++L评注如果数列的通项公式可以写成()()f n p f n+-的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如11{}n na a+，其中{}na是等差数列时，可尝试使用此法.变式1 已知数列1111,,,,,12123123n+++++++L LL，求它的前n项和nS.例6.36已知等差数列{}na满足3577,26a a a=+=，{}na的前n项和nS.（1）求na及nS；（2）令21(*)1nnb n Na=∈-，求数列{}nb的前n项和nT.解析（1）设{}na的首项为1a，公差为d，由已知可得111273210262a d aa d d+==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩.所以1(1)21(*)na a n d n n N=+-=+∈，1()(2)(*)2nna a nS n n n N+==+∈.（2）因为21na n=+，所以214(1)na n n-=+，因此1111()4(1)41nbn n n n==-++，故1211111111(1)(1)(*)42231414(1)n n nT b b b n N n n n n =+++=-+-++-=-=∈+++L L .故数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.评注 采用裂项相消法求解数列的前n 项和，消项时要注意相消的规律，可将前几项和表示出来，归纳规律.一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项. 变式1 设正项数列{}n a 前n 项和n S 满足21(1)4n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T .变式2 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg ,1n n a T n =≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan n n n b a a +=g 求数列{}n b 的前n 项和n S .六、倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）.例6.37设()f x (7)(6)(5)(0)(8)f f f f f -+-+-++++L L 的值.解析因为1()(1)22x xf x f x +-==+=+x =+==所以(7)(6)(5)(0)(8)8f f f f f -+-+-++++==L L . 变式1 函数121()(0),,4xf x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，121()()2f x f x +=. （1）求m 的值；（2）已知数列{}n a 满足121(0)()()()(1)n n a f f f f f n n n-=+++++L ，求n a ；（3）若12n n S a a a =+++L ，求n S .变式2 已知函数()f x 对任意x R ∈都有1()(1)2f x f x +-=.（1）求1()2f 的值；（2）若数列{}n a 满足121(0)()()()()(*)n n na f f f f f n N n n n n-=+++++∈L ，数列{}n a 是等差数列吗？试证明之；（3）设4(*)41n n b n N a =∈-，1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .变式3 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求0121231n n nn n n n S C a C a C a C a +=++++L .最有效训练题1.L ，则 ）A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项2.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,),(,1),*n n n n c a a b n n n N +==+∈u u r u u r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r成立，则数列{}n a 是等比数列3.设{}n a 是单调递减的等差数列，前3项的和是15，前3项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2011a =（ ）A ．12B ．2C ．-1D ．1 5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对*n N ∀∈，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（0，2）C ．[1，2）D ．（0）6.对于数列{}n a ，如果*k N ∃∈及12,,,k R λλλ∈L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成立，其中*n N ∈，则称{}n a 为k 阶递推数列，给出下列三个结论： ①若{}n a 为等比数列，则是1阶递推数列； ②若{}n a 为等差数列，则是2阶递推数列；③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则是3阶递推数列. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）-1，7，-13，19，L ，n a =_____________； （2）0.8，0.88，0.888，L ，n a =_____________； （3）115132961,,,,,,248163264--L ，n a =_____________；（4）0，1，0，1，L ，n a =_____________. 8.若数列{}n a 满足111n n d a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称{}n a 为调和数列.已知数列1{}nx 为调和数列，且1220200x x x +++=L ，则56x x +=__________.9.在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，则100S =__________. 10.根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式. （1）已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+； （2）已知数列{}n a 的满足132n n n a a +=++，且12a =； （3）1111,(2,*)n n n a a a n n N n--==≥∈； （4）在数列{}n a 中，111,2(*)n n n a a a n N +==+∈； （5）在数列{}n a 中，113,21(*)n n a a a n N +==+∈；（6）在数列{}n a 中，2111,2(*)n nn a a a a n N +==+∈. 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(*)nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .12. 已知数列{}n a 的首项1122,(*)31n n n a a a n N a +==∈+（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）求数列{}nna 的前n 项和n S .。
高考答题模板：数学答题模板
选择填空题1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2、答题方法：选择题十大速解方法：（十大解题技巧你会了没）排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法；填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
高考数学答题模板：数列的通项、求和问题
高考数学答题模板：数列的通项、求和问题高考数学答题模板：数列的通项、求和问题
1、解题路线图
①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板
①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
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模板 数列的通项、求和
典例 (12分)(2015·天津)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和． 规 范 解 答· 评 分 标 准
解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得q ＞0. 1分
由已知有⎩⎪⎨⎪⎧
2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，整理得 q 4－2q 2－8＝0， 3分 又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2. 4分 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. 6分
(2) 由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －
1， 设{c n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －
1＋(2n －1)×2n ， （前三项，后两项） 8分 上述两式相减，得
－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n 9分 ＝2n ＋
1－3－(2n －1)×2n 10分 ＝－(2n －3)×2n －3， 11分 所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *. 12分 草稿本上．．．．验证．．21S S 或
评分细则 (1)只求d 或只求出q 得2分；
(2)q 没有舍去负值扣1分；
(3)写出{a n }、{b n }的通项公式各得1分；
(4)S n 写对式子求和时计算错误得1分；
(5)n ∈N *不写不扣分．
跟踪演练，冲刺高考
1.(2016成都一诊改编)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=，2510a a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）设2
21log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n S ； （3）求数列{}3
n n a 的前n 项和n S ； （4）设⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数
为奇数n n n a b n n ,32,2，求数列{b n }的前2n 项和n S ． （5）若}{n n a b -是等差数列，且13,331==b b ，求数列
{}n b 的通项公式n b 及前n 项和n S ； （6）设n n a b 2log 2-=，求数列{}n n
b a 的前n 项和n S ；
2.已知数列{}n a 中，1211,3a a ==，且数列()*2n n N na ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）设n S 数列
{}n a 的前n 项和，求1+n n a S 的最大值.
3.等比数列
{}n a 满足693,,S S S 成等差数列. （I ）求3q 的值；
（II ）证明：582,,a a a 成等差数列； （Ⅲ）341=-a a ，求23741-+⋅⋅⋅+++n a a a a .
4.数列{}n a 的前n 项和记为12,1,11+==+n n n S a a S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T 有最大值，且153=T ，又,11b a +,22b a + 33b a +成等比数列，求29852b b b b ++++ （用最简分式表示）.
5.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，且342S =，263716a a a a ⋅=⋅． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2211(log )(log )n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤<．
6.设数列{a n }各项为正数，且n n n a a a a a 2,42112+==+
（1）证明：数列)}1({log 3n a +为等比数列；
（2）设数列)}1({log 3n a +的前n 项和为n T ，求使520>n T 成立时n 的最小值.。