2018年人教A版数学必修4-5第1讲 1-1

一不等式1.不等式的基本性质1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1两实数的大小比较阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题．a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()A．P在Q的左边B．P在Q的右边C．P，Q两点重合 D.不能确定【解析】∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．【答案】 B教材整理2不等式的基本性质阅读教材P3～P5第一行，完成下列问题．已知a ，b ，c ∈R ，且ab ＞0，则下面推理中正确的是( )【导学号：32750000】A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2 B.a c ＞bc ⇒a ＞b C ．a 3＞b 3⇒1a ＜1bD.a 2＞b 2⇒a ＞b【解析】 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c ＜0，则不成立；对于C ，a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2＞0恒成立，∴a －b ＞0，∴a ＞b .又∵ab ＞0，∴1a ＜1b .∴C 成立；对于D ，a 2＞b 2⇒(a －b )(a ＋b )＞0，不能说a ＞b .【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]设A ＝x 3B 的大小． 【精彩点拨】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系． 【自主解答】 A －B ＝x 3＋3－3x 2－x ＝x 2(x －3)－(x －3)＝(x －3)(x ＋1)(x －1)． ∵x >3，∴(x －3)(x ＋1)(x －1)>0， ∴x 3＋3>3x 2＋x . 故A >B .1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)――→转化考查差的符号(难以确定)――→转化考查积的符号――→转化考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．[再练一题]1．若例1中改为“A ＝y 2＋1x 2＋1，B ＝yx ，其中x ＞y ＞0”，试比较A 与B 的大小．【解】 因为A 2－B 2＝y 2＋1x 2＋1－y 2x2＝x 2(y 2＋1)－y 2(x 2＋1)x 2(x 2＋1)＝x 2－y 2x 2(x 2＋1)＝(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1)， 且x ＞y ＞0，所以x －y ＞0，x ＋y ＞0，x 2＞0，x 2＋1＞1，所以(x－y)(x＋y)x2(x2＋1)＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.已知－2≤α＜β≤2，求2，2的范围．【精彩点拨】由－π2≤α＜β≤π2可确定α2，β2的范围，进而确定α＋β2，α－β2的范围．【自主解答】∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，∴－π2＜α＋β2＜π2.又－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4，∴－π2≤α－β2＜π2.又∵α＜β，∴α－β2＜0，∴－π2≤α－β2＜0，即α＋β2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，α－β2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0.1．本例中由α2，β2的范围求其差α－β2的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．[再练一题]2．已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围.【导学号：32750001】【解】∵－6<a<8,2<b<3.∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，则a－b的取值范围是(－9,6)．又13<1b<12，(1)当0≤a<8时，0≤ab<4；(2)当－6<a<0时，－3<ab<0.由(1)(2)得－3<ab<4.因此ab的取值范围是(－3,4)．已知c>a>b>0，求证：ac－a>bc－b.【精彩点拨】构造分母关系→构造分子关系→证明不等式【自主解答】∵a>b，∴－a<－b.又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，∴1c－a>1c－b>0.又∵a>b>0，∴ac－a>bc－b.1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0<c－a<c －b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．[再练一题]3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：aca＋c ＞bdb＋d.【导学号：32750002】【证明】∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴1b＞1a＞0，①1 d＞1c＞0，②①＋②得1b＋1d＞1a＋1c＞0，即b＋dbd＞a＋cac＞0，∴aca＋c＞bdb＋d.[探究共研型]探究1甲同学认为a>b⇔1a<1b，乙同学认为a>b>0⇔1a<1b，丙同学认为a>b，ab>0⇔1a<1b，请你思考一下，他们谁说的正确？【提示】他们说的都不正确．探究2不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，要注意什么？【提示】要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变，特别注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号方向改变．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若ac2>bc2，则a>b；(3)若a>b，ab≠0，则1a<1 b；(4)若a>b，c>d，则ac>bd.【精彩点拨】主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．【自主解答】 (1)错误．当c ＝0时不成立． (2)正确．∵c 2≠0且c 2>0，在a c 2>bc 2两边同乘以c 2， ∴a >b .(3)错误．a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0.(4)错误．a >b ，c >d ⇒ac >bd ，当a ，b ，c ，d 为正数时成立．1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．[再练一题]4．判断下列命题的真假． (1)若a <b <0，则1a >1b ； (2)若|a |>b ，则a 2>b 2； (3)若a >b >c ，则a |c |>b |c |.【解】 (1)∵a <b <0，∴ab >0，∴1ab >0， ∴a ·1ab <b ·1ab ，∴1b ＜1a ，∴(1)是真命题．(2)∵|a |>b ，取a ＝1，b ＝－3，但a 2<b 2，∴(2)是假命题． (3)取a >b ，c ＝0，有a |c |＝b |c |＝0，∴(3)是假命题．[构建·体系]1．设a ∈R ，则下面式子正确的是( ) A ．3a >2ª B ．a 2<2a C.1a <a D.3－2a >1－2a【答案】 D2．已知m ，n ∈R ，则1m ＞1n 成立的一个充要条件是( ) A ．m ＞0＞n B ．n ＞m ＞0 C ．m ＜n ＜0D.mn (m －n )＜0 【解析】 ∵1m ＞1n ⇔1m －1n ＞0⇔n －m mn ＞0⇔mn (n －m )＞0⇔mn (m －n )＜0. 【答案】 D3．已知a ，b ，c 均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( ) ①a ＜b ＜0⇒a 2＜b 2；②ab ＜c ⇒a ＜bc ；③ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；④a ＜b ＜0⇒ba ＜1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 ①不正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0， ∴(－a )2＞(－b )2，即a 2＞b 2.②不正确．∵ab ＜c ，若b ＜0，则a ＞bc . ③正确．∵ac 2＞bc 2，∴c ≠0，∴a ＞b .④正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴1＞ba ＞0.【答案】 C4．若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的取值范围是________.【导学号：32750003】【解析】 ∵－4<b <2， ∴0≤|b |<4， ∴－4<－|b |≤0. 又1<a <3， ∴－3<a －|b |<3. 【答案】 (－3,3)5．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，比较a ，b ，c 的大小．【解】 b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴b ≥c .由题意可得方程组⎩⎨⎧b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1. ∴c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴c >a ，∴b ≥c >a .我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。