【全国百强校】高考总复习精品课件39圆的方程_点_直线_圆的位置关系-推荐
2025届高中数学一轮复习课件《圆的方程及直线与圆的位置关系》ppt
解析 答案
高考一轮总复习•数学
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3．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b)与圆 x2＋y2＝1 的关系为( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上都有可能
解析：∵|a×0＋a2b＋×b02－1|<1，∴a2＋b2>1，∴点 P(a，b)在圆外．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
1＋k2 过点 B(－2,0)时，直线 l 的斜率 k＝2－4－－02＝1，则直线 l 与半 圆有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为34，1.故选 A.
l 的倾斜角：相切逆―时―→针过 B 点．
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l
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(3)已知圆 O：x2＋y2＝4 上到直线 l：x＋y＝a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的 即圆心 O 到 l 的距离 d＜3.
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方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2，r2，
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
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方法三：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2 ，－E2.
2．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
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3．圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2； 切线：y－y0＝－xy00(x－x0)(y0≠0)， 即 y0y＋x0x＝x20＋y20＝r2， 即 x0x＋y0y＝r2(留一代一)． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2； (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2.
精选高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.3点、线、圆的位置关系获奖公开课优质课件
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4
B.-3
3
4
C.3
D.2
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a =41,解1 | 得a=- .故选4 A.
35
B3 .- 或2 -
23
5 C.- 4 或-
45
4 D.3- 或-
34
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即
kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3=k1,2解得2kk=3- | 或k=- . 4
3
k2 1
3
4
a2 1
3
4.(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= 3 =7 -2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-
2
2),|PA|= (=15,1于)2是(圆3P2的)2 方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+26 6)-(-2-2 )6|=4 . 6
5.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2 1 0
高考数学一轮复习 第三十九讲 圆的方程 点 直线 圆的位置关系.doc
第三十九讲 圆的方程、点、直线、圆的位置关系班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：本题考查圆的基础知识、两直线的位置关系及直线方程的求法．由于圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心为C (－1,0)，而与直线x ＋y ＝0垂直的直线的斜率为1，故所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0，故选A.答案：A2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：∵圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1， ∴圆C 1是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆．又∵点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(2，－2)， ∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，故选B. 答案：B3．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：本题考查了直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题．因为两条直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r ＝42，所以r ＝ 2. 设圆心坐标为P (a ，－a )，则满足点P 到两条切线的距离都等于半径，所以2|a |2＝|2a －4|2＝2，解得a ＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故选B.答案：B4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 1|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13. |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B. 答案：B5．(·潍坊模拟)对于a ∈R ，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：直线方程可化为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C6．已知集合A ＝{}(x ，y )|y －3x ≤0，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B＝B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：只有当圆心(0，a )到直线y ＝3x 的距离d ≥r ＝1且在y ＝3x 右下方，方能使A ∩B ＝B ，即|a |2≥1，即a ≥2或a ≤－2，又点(0，a )需在y ＝3x 右下方，所以a ≤－2. 答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．(·长沙模拟)已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．解析：圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝为x 2＋y 2－2x －6y ＝10， ① 又x 2＋y 2＝10，②①－②得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.答案：x ＋3y ＝08．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的、半径最小的圆的标准方程是________．解析：∵圆A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18， ∴A (6,6)，半径r 1＝32，∵当圆心A 、B 和切点在一条直线时，半径最小，∴A 到l 的距离为52，∴所求圆B 的直径2r 2＝52－r 1＝22， 即r 2＝ 2.又|OB |＝|OA |－r 2－r 1＝22，由OA 与x 轴正半轴成角45°，∴B (2,2)． ∴所求方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝29．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________．解析：设P 点坐标为(x ，y )，则|PC |＝(x －1)2＋(y －1)2.由勾股定理及|AC |＝1，得|PA |＝|PC |2－|AC |2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12|PA |·|AC |＝|PA |＝(x －1)2＋(y －1)2－1.故欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求|PA |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方．即这个最小值d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9， ∴S 四边形PACB 最小值＝9－1＝2 2. 答案：2 210．设有一组圆：C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)．下列四个命题：(1)存在一条定直线与所有的圆均相切 (2)存在一条定直线与所有的圆均相交 (3)存在一条定直线与所有的圆均不．相交 (4)所有的圆均不．经过原点 其中真命题的序号是____________．(写出所有真命题的序号) 解析：设直线为y ＝ax ＋b ，d ＝|a (k －1)－3k ＋b |1＋a 2＝|(a －3)k ＋b －a |1＋a2. ∵d 中无二次项，∴不存在定值a 、b 使d ＝2k 2，(1)错误， 当a ＝3，b ＝3时，d ＝0，恒小于2k 2与圆相交，(2)正确．同(1)项之理，(3)错误．将O (0,0)代入，方程不成立，(4)正确，选(2)(4)． 答案：(2)(4)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题． 解：(1)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0. ①∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174y ＝0.(2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得[]x ＋(1＋λ)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋λ－422＝54⎝⎛⎭⎪⎫λ－852＋45≥45.∴当λ＝85时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45.解法二：当圆心在直线2x ＋y ＋4＝0上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－(1＋λ)，－λ－42，代入直线方程得－2(1＋λ)－λ－42＋4＝0，解得λ＝85. ∴当λ＝85时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐． 过直线与圆交点的圆系方程设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0表示过直线l 与圆C 的交点的圆系方程．12．设点C 为曲线y ＝2x(x >0)上任一点，以点C 为圆心的圆与x 轴交于点E 、A ，与y轴交于点E 、B .(1)证明：多边形EACB 的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|EM |＝|EN |，求圆C 的方程．解：(1)证明：设点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t >0)，因为以点C 为圆心的圆与x 轴交于点E 、A ，与y 轴交于点E 、B .所以，点E 是直角坐标系原点，即E (0,0)．于是圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2.则A (2t,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t . 由|CE |＝|CA |＝|CB |知，圆心C 在Rt△AEB 的斜边AB 上，于是多边形EACB 为Rt△AEB ， 其面积S ＝12|EA |·|EB |＝12×2t ×4t ＝4.所以多边形EACB 的面积是定值，这个定值是4.(2)若|EM |＝|EN |，则E 在MN 的垂直平分线上，即EC 是MN 的垂直平分线．因为k EC ＝2t t ＝2t2，k MN ＝－2.所以由k EC ·k MN ＝－1得t ＝2.所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.13．一束光线通过点M (25,18)射到x 轴上，被反射到圆C ：x 2＋(y －7)2＝25上． (1)求通过圆心的反射光线方程； (2)求在x 轴上入射点A 的活动范围． 解：∵圆心C (0,7)，半径r ＝5，(1)M 关于x 轴的对称点N (25，－18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N 、C 两点的直线，则过N 、C 的直线方程x ＋y －7＝0，即为所求．(2)设过N 的直线方程为y ＋18＝k (x －25)，即kx －y －25k －18＝0，当它为圆C 的切线时，由|－7－25k －18|1＋k2＝5⇒k ＝－43或k ＝－34. ∴过N 与圆C 相切的直线为y ＋18＝－43(x －25)或y ＋18＝－34(x －25)，令y ＝0，得x＝232或x ＝1， ∵A 点活动范围在两切线与x 轴的两交点之间，∴A 点在x 轴上的活动范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，232.。
高考数学一轮总复习 专题9 直线和圆的方程 9.3 点、线
(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程:x2+y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系 方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,因 此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解)(λ=-1时为公共弦所在直线方 程). 2.与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) =r2; (3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两
点的直线方程为x0x+y0y=r2; (4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点 为T,则切线长为|PT|= x02 y02 Dx0 Ey0 F . 3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法 (1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直 线方程; (2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程. 注意:应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
2019高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.3点、线、圆的位置关系课件
显然t4≠1,Δ=4(t4+4t2+12t+8),
且m1+m2=
2(2t t4
3)t 1
2
,m1·m2=(2t
t4
3)2 1
1
,
所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)·2
t4
|
4t2 12t t4 1|
3
得 190 (x+3)2=1,所以,当P点坐标为
3
3 10 10
,
10 10
时,|PF|有最小值 10
-1.
(2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为
x-2t=m(y-t2),
令y=-1,则有x=2t-m(t2+1).
由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为| 3 mt2 2t | =1,化简得(t4-1)m2-2 1 m2
方法技巧
方法 1 直线与圆的位置关系的解题策略
1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切⇔圆心到直线的距离等于半径长⇔直线与圆只有一个 公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组只有一组解; (2)直线与圆相交⇔圆心到直线的距离小于半径长⇔直线与圆有两个公 共点⇔直线和圆的方程组成的方程组有两组解; (3)直线与圆相离⇔圆心到直线的距离大于半径长⇔直线与圆无公共点 ⇔直线和圆的方程组成的方程组无解. 2.判断直线和圆的位置关系的方法 用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方 法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这
知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.
2023版高考数学一轮总复习：圆的方程及直线圆的位置关系课件文
直线和圆的方程
第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
要点提炼
考点1
圆的方程
1. 圆的定义与方程
定长
(a,b)
考点1
圆的方程
规律总结
(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.
2
2
2
2
(2)在圆的一般方程中:当D +E -4F=0时,方程x +y +Dx+Ey+F=0表示一个点(- ,- );
( ✕)
( √ )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.
( ✕)
(5)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
( ✕)
(6)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( √ )
(7)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直
R-r<d <R+r
____________
___________
d_________
>R+r ___________
_____
4
_____
3
________
2
1
0
考点3
圆与圆的位置关系
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
(*),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
y2=1,即x2+y2-2x=0.
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系
圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法 位置关系 外离 外切 相交 内切内含 圆心距与 半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法） （1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题 （1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。
高中数学《圆的方程与直线、圆的位置关系》复习和习题课件PPT
知识清单
知识点二 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
（2）若直线y=kx+m与圆( − ) +( − ) = 相交于( , )，
( , )两点，则直线被圆截得的弦长为 =
+ − .
（3）以圆 + = 上一点( , )为切点的切线方程为 + =
.
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
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解析几何
高中
数学
§第三节 圆的方程与直线、圆的位置关系
（复习+习题练习）
真题在线
知识清单
知识点一 圆的方程
1.圆的方程
圆的方程如表8-3所示.
知识清单
知识点一 圆的方程
2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有以下两种：
（1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系.
> ⟺点在圆内；
= ⟺点在圆上；
< ⟺点在圆外.
（2）根据点的坐标 0 , 0 与圆的方程 −
0 −
2
+ 0 −
2
> 2 ⟺点在圆外；
0 −
2
+ 0 −
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( √ )
(4)联立两相交圆的方程,消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共
弦所在直线的方程.( √ )
2.直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长为(
=
25 2
4
25
由
得 x =25,则 x2=-4,y2=-3,即 D(-4,-3).∴kCD= 44
= .
16
3
+4
2 + 2 = 25,
25
3
,
4
(方法 2)过点 P 作 x 轴的平行线,交 于点 G,连接 OG,PG⊥EF,PG 交 y 轴于
点 N.
∵|PE|=|PF|,∴△PEF 为等腰三角形.∴PG 是∠EPF 的角平分线.
为
.
答案 x=3或4x+3y-15=0
解析 由题意知P在圆外,圆C的圆心为C(0,0),半径为3.
当切线斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线斜率存在时,设斜
率为k,所以切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,所以
|×0-0+1-3|
3;3y-15=0.
10
A.
2
26
C.
5
B.√10
)
2 26
D.
5
答案 B
解析 由题可知圆 C 的圆心为(1,2),半径为 r=√5,圆心到直线 l 的距离为
|3×1-2-6|
d=
2
2
3 +1
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
高考数学一轮复习 直线与圆圆与圆的位置关系 理优秀PPT
考点探究
解析：(1)若直线与圆相切，则|a－3＋4|＝2 2，解得 a＝3 或 a 2
＝－5，所以“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相
切”的充分不必要条件，故选 A.
(2)设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为：y－2＝k(x＋1)；圆的圆
心坐标为(1，1)，半径为
考点探究
考点1 直线与圆的位置关系的判定
【例 1】 试就 m 的值讨论直线 x－my＋4＝0 和圆 x2＋y2＝4 的关系．
思路点拨：(1)利用直线与圆的代数特征进行判断． (2)利用直线与圆的几何特征判断． 自主解答：
考点探究
解析：方法一 由方程组xx－2＋my2y＝＋44，＝0， 消去 x，得(1＋m2)y2－8my＋12＝0，
∴Δ＝(－8m)2－48(1＋m2)＝16(m2－3)．
当 m＜－ 3或 m＞ 3时，Δ＞0，此时直线与圆相交；
当 m＝± 3时，Δ＝0，此时直线与圆相切；
当－ 3＜m＜ 3时，Δ＜0，此时直线与圆相离．
方法二 圆 x2＋y2＝4 的圆心为(0，0)，半径 r＝2，则圆心到直
线 x－my＋4＝0 的距离为 d＝
高考数学一轮复习 直 线与圆圆与圆的位置
关系课件 理
高考总复习数学（理科）
第七章 平面解析几何
第四节 直线与圆、 圆与圆的位置关系
考纲要求
1.能 根 据 给 定直线 、 圆的方程 ， 判断 直线与圆的位置关 系．能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解代数方法处理几何问题的思想．
所以 m＝2a±2 2a.
因为直线 l 在圆心 C 的下方，
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共 54 页
17
[解]解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵圆心在y=0上,故b=0. ∴圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.
(1 a)2 16
(3
a)2
4
r2, r2,
解得a
1, r2
20.
所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.
第三十九讲 圆的方程､点､直 线､圆的位置关系
共 54 页
1
回归课本
1.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为(a,b),半径为r.
2.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为
径 r 1 D2 E2 4F . 2
共 54 页
29
【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.
[分析]求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系.
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30
[解]圆C1 : x m2 y 22 9, 圆C2 : x 12 y m2 4.
3.以圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)为切点的切线方程为 x0x+y0y=r2.
共 54 页
25
【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交; (2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程.
d>r⇔直线与圆相离.
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6
(2)代数方法
Ax By C 0 由 (x a)2 ( y b)2 r2
其判别式为Δ ,则 Δ >0⇔直线与圆相交; Δ =0⇔直线与圆相切; Δ <0⇔直线与圆相离.
消元,得到一元二次方程
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7
6.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离､外切､相交､内切､
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26
[解析](1)直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m为任 何实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程 联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点 (3,1)在圆内部.∴不论m为何实数,直线l与圆恒相交.
共 54 页
圆M交于A,B两点,且 | AB | 2 3求, 直线a的方程.
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23
(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据 解的个数来研究.
若有两组不同的实数解,即Δ >0,则直线与圆相交; 若有两组相同的实数解,即Δ =0,则直线与圆相切; 若无实数解,即Δ <0,则直线与圆相离.
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24
2.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | .
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3
(3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,则P在圆外 ⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F>0;P在圆上⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F=0;P在 圆内⇔x20+y20+Dx0+Ey0+F<0.
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4
4.直线与圆的三种位置关系及公共点个数
位置关系 相交 相切 相离
(2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的 量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来 判定点与圆的位置关系.
共 54 页
22
类型二
直线与圆的位置关系
解题准备:1.直线与圆位置关系的判定方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断.
当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直 线与圆相离.
4.若过点A 4, 0的直线l与曲线x 22 y2 1有公共点,
则直线l的斜率的取值范围为( )
A. 3, 3
B. 3, 3
C.
3, 3
3
3
D.
3, 3
3 3
共 54 页
12
解析:数形结合的方法.
如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
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8
考点陪练 1.(改编题)当a取不同值时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得
到不同的圆.则( ) A.这些圆的圆心都在直线y=x上 B.这些圆的圆心都在直线y=-x上 C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上 D.这些圆的圆心不在同一条直线上 答案:A
共 54 页
9
2.方程x2 y2 4mx 2y 5m 0表示圆的充要条件是( )
共 54 页
14
解析 :
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
,
x12
x22
( x1
x2 )2
2x1x2
b2 a2
2c . a
又
c a
1 b2 2 , a2
1. x12
x22
1
b2 a2
2.
故点P x1, x2 一定在圆x2 y2 2内,因此选A.
答案:A
即x y 1 0.
共 54 页
20
又知圆心在直线y 0上,故圆心坐标为C1, 0.
半径r | AC | (11)2 42 20.
故所求圆的方程为 x 12 y2 20. 又点P 2, 4到圆心C1, 0的距离为
d | PC | (2 1)2 42 25 r. 点P在圆外.
评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.
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类型一 求圆的方程
解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个 待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来求.一般地,已 知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式. 另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有 关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线 上”“半径,弦心距,弦长的一半构成直角三角形”等.
内含.
7.两圆位置关系的判断方法: 两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0)
的圆心距为d,则
d>r1+r2⇔两圆相离; d=r1+r2⇔两圆外切; |r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交; d=|r1-r2|⇔两圆内切; 0≤d<|r1-r2|⇔两圆内含.(d=0,且r1≠r2时为同心圆)
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【典例1】求过两点A(1,4)､B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆 的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.
[分析]欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大 小,而要判断点P与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离 和圆的半径的大小关系;若距离大于半径,则点在圆外;若 距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
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l的方程为y 1 2x 3,即2x y 5.
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类型三
圆与圆的位置关系
解题准备:判断圆与圆的位置关系常用几何法:设两圆圆心分
别为O1､O2,半径为r1、r2,则|O1O2|>r1+r2⇔相 离;|O1O2|=r1+r2⇔外切;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2⇔相 交;|O1O2|=|r1-r2|⇔内切;0<|O1O2|<|r1-r2|⇔内含.
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2从1的结论知直线l过定点M 3,1,且与过此点的圆O
的半径垂直时, l被圆所截的弦长 AB 最短,由垂径定理得
| AB | 2 r2 CM 2 2 25 [(3 1)2 (1 2)2 ] 4 5.
此时, k1
1 2 1
2.
A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 解析:易得AB两端点分别为(0,2),(2,0),故圆心(1,1),半径
所以r 圆的2,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:B
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所以圆的方程为x2 y2 2x 19 0.
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解法三 :因为圆过A 1, 4､B3, 2两点,所以圆心C必在线
段AB的垂直平分线l上,
又因为k AB
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1, 故l的斜率为1,
又AB的中点为 2, 3 ,
故AB的垂直平分线l的方程为y 3 x 2,
公共点个数 2个 1个 0个
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5.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的 判断方法有: