4.2一元二次方程的解法(2)
4.2 一元二次方程的解法(2)
第3课时 一元二次方程的解法（2）班级_____ 学号_____姓名_______一、知识点：1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为)0()(2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义.2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法. 二、典例精析 例1、解方程：（1）2670x x ++= （2）462+=x x练习：用配方法解下列方程（1）0342=+-x x （2）0132=-+x x （3）211063x x --=例2、用配方法解下列方程（1）253x x -+=- （2）01322=--x x （3）2(2)2(2)10x x +-+-=例3、用配方法解关于x 的方程20x px q ++=，其中24p q ≥．三、随堂练习1、完成下列配方过程（1）28x x ++_____2(___)x =+ （2）22____(___)x x x -+=-（3）221____(___)3x x x ++=+ （4）229____(___)4x x -+=- 2、若22497()255x mx x -+=+，则m 的值为___________． 3、将方程2530x x --=化成2()x m n +=的形式为___________．4、①如果代数式226x x m -+是一个完全平方式，那么______m =．②如果代数式29x mx -+是一个完全平方式，那么______m =．5、用配方法解方程2670y y -+=，得2()y m n +=，则_______,______m n ==．6、如果矩形的长和宽为x 和y ，且052422=+--+y x y x ，则矩形的周长为______________7、用配方法解下列方程（1）26160x x --=（2）2320x x +-=（3）240x +-=（4）2640x x -+=（5）2(1)10(1)90x x +-++=（6）2226940x ax a b -+-=（7）22(10x x ++=（8）22224x x -=四、课后作业 1、填空 （1）2a ba ++（ ）2(___)a =+ （2）24y y -+（ ）2(___)y =-（3）25y y ++（ ）2(___)y =+ （4）252x x -+（ ）2(___)x =- （5）2x px ++（ ）2(___)x =+（6）2b x x a++（ ）2(___)x =+2、将方程210x --=化成2()x m n +=的形式，正确的是（ ）A．2(9x = B．2(3x = C．2(1x = D．2(1x -= 3、用配方法解关于x 的一元二次方程2222x mx n m -=-（,m n 是常数），解为（ ）A ．12,x m n x m n =+=-B ．12,x m n x n m =+=-C ．12,x m n x n m =-=-D ．12,x m n x m n =-=--4、用配方法解下列方程 （1）2680x x ++=（2）24120x x +-=（3）21024x x -=-（4）28150x x -+=（5）22990x x +-=（6）2520y y ++=（7）2317024x x ++=（8）220y ay a +-=（9）2(21)32(21)x x +-=+（10）2(34)2(43)80x x -+--=5、已知a 、b 、c 是直角三角形的三边，且两直角边a 、b 满足等式22222()2()150a b a b +-+-=，求斜边c 的值．6、将方程230x x P -+=配方后得到21()2x m +=（1）求常数P 与m 的值． （2）求此方程的解．★7、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边①当2222a ab c bc +=+，试判断△ABC 的形状； ②证明22220a b c ac -+-<．。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
4.2一元二次方程的解法——配方法2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法, 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 完全平方式的方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 用配方法解一元二次方程的方法的 平方根的意义: 平方根的意义:
助手:
如果x2=a,那么 ± a . 那么x= 如果 那么
解:根 题 得 :根 据 意 10 =15t −5t2. 即 2 −3t = −2. t 2 2 3 3 2 t −3t + = −2+ . 2 2 2 1 , 球 到 ; 最 点 答: 在s时小 达 10m 至 高 3 1 t − = . 后 落在 s时其 度 为 m 下 , 2 , 高 又 10 . 2 4
2
8 x + x =1. 3 2
2
5.开方 根据平方根意义, 开方: 5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方; 边开平方; 求解: 6.求解 解一元一次方程; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解 写出原方程的解. 定解: 7.定解:写出原方程的解.
3
用配方法解方程-3x2+4x+1=0 用配方法解方程 分析： 分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方， 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1， 次项系数化为 ，再求解 4 1 2 x − x − = 0 系数化为 两边都除以-3， 解：两边都除以 ，得 系数化为1 3 3 4 1 2 移项 移项， 移项，得 x − x = 3 3 2 2
想一想
方程与 x 么关系？ 么关系？
2
5 1 − x + = 0 与方程 与方程2x2-5x+2=0有什 有什 2 2
§4.2(2) 配方法
§4.2（2）一元二次方程的解法—配方法备课时间：2007年月日主备人：孙祥教学目标(一)教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．(二)能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．(三)情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．教学重点用配方法求解一元二次方程．教学难点理解配方法．教学方法讲练结合法．教学过程一、巧设现实情景，引入新课[师]上节课我们探讨了一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法．现在来复习巩固一下．解下列方程：(1)x2＝2；(2)(x-2)2＝2；(3)x2-4x+4＝5；(4)x2+8x+3＝0；(5)x2+5x+2＝0．[生甲]方程(1)可以用开平方法来解．解：两边同时开方，得x＝±2，即x1＝2，x2＝-2．[生乙]只要把方程(2)中的(x-2)看作整体，就化归为方程(1)的形式．解：两边同时开平方，得x-2=±2，即：x-2=2或x-2＝-2∴x1＝2+2，x2＝2-2．[生丙]方程(3)的左边是完全平方式，所以就可以变形为(x-2)2，即化归为方程(2)的形式．解：、、、、、、[生丁]方程(4)需要利用配方法，把它化为(x+m)2＝n的形式，然后利用开平方法即可求出其解．解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x＝-3．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x2+8x+42＝-3+42，即(x+4)2＝13．两边同时开平方，得x+4＝±13，即x+4＝13或x+4＝-13．∴x 1=-4+13，x 2＝-4-13[生戊]方程(5)的一次项系数5是奇数它的一半(即25 )是分数，如果利用配方法的话，那么，配的常数项是分数而不是整数．老师，这样是否也能求解呢?[师]噢，那大家想一想，做一做，看戊同学的问题能不能解决?[生]能，我的解答如下：、、、、、、[师]同学们能触类旁通，这很好．这节课我们继续来探讨利用配方法解一元二次方程．二、讲授新课[师]由刚才大家求解的方程可知：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解．下面同学们来用配方法解方程．1．用配方法解方程x 2+ 38x-1＝0． [生甲]解、、、、、、[师]很好．这个方程的一次项系数是分数，所以配方时一定要注意正确性．接下来，我们来看另一题：2．尝试将方程3x 2+8x-3＝0的左边配方，并求解这个方程．[师]观察一下，这个方程与前面解的方程一样吗?[生乙]不一样．这个方程的二次项系数是3，而前面解的那些方程的二次项系数是1．[师]噢，那二次项系数不为1的一元二次方程的左边如何配方呢?如何求解这个方程呢?[生丙]完全平方式是a 2±2ab+b 2．由此可知：配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1，所以，这个方程应先利用等式的性质进行更形，使它的二次项系数为1，然后再利用配了法进行求解．[生丁]噢，我知道了，只要把方程3x 2+8-3＝0的两边都除以3，方程就变形为二次项系数为1的方程，而二次项系数为1的方程我们可以通过配方求解，所以方程3x 2-8x-3＝0也可求解．[师]对，这样我们就把新知识转化为旧知识，新知识便可理解、掌握了．现在我们共同来解方程3x 2+8x-3=0．[师生共析]解：两边都除以3，得x 2+x38-1＝0． 移项，得x 2+38x ＝1． 配方，得 x 2+38x+(34)2=1+(34)2 (x+34)2=925． 两边同时开平方，得 x+34=±35， 即x+34=35或x+34=-35． 所以x 1=31；x 2＝-3． [师]好，下面我们来总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．[师]同学们做得很好，下面大家来看一实际问题，你能解答吗?做一做一小球以15 m ／s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2．小球何时能达到10 m 高?[生]要求小球何时能达到10m 高，而小球向上弹出时满足h=15t-5t 2，因此根据题意，可得15t-5t 2＝10．这样只需求出方程15t-5t 2=10的解，本题即可解答．[师]这位同学分析得对吗?[生齐声]对．[师]噢，那你能解这个方程吗?[生]能．解：-5t 2+15t ＝10，两边都除以-5，得t 2-3t ＝-2．配方，得t 2-3t+(-23)2=-2+(-23)2， (t-23)2=41， 即，t-23=21或t-23=21． 所以t 1＝2,t 2=1．[师]很好，这两个解是原方程的解。
4.2一元二次方程的解法(2)配方法1
主备人：刘景波 审核人：王海军
情境创设 因式分解的完全平方公式
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
完全平方式
1 ( x ___) 1 (1) x 2 x _____
2 2
2
2
2
2
4 ( x ___) (2) x 8 x _____ 4 5 5 2 2 ） ( y ___) (3) y 5 y （ _____ 2 2 2 2 1 （1） 1 (4) y y ____ ( y ___) 4 4 2
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x 3 5, x 3 5 得 : x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4 两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
2
2
它们之间有什么关系
探究交流
x 6x 4 0
2
2 想一想如何解方程 x 23 xx 4 6x 4 0 ?
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
x 2 3 x 3 4 3
2 2
2
左边写成完全平方的形式
( x 3) 5
2
开平方
2 2
x 10x 20 0
x x 1
2 2
x 5x 5 0
x 2.5 x 1 0
2
4x 1 x
2
2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长 比宽多10cm，面积是200cm3，求这张 包装纸的长与宽。
4.2 一元二次方程的解法-配方法课件(2) (苏科版九年级上)
2
解 : 3x 8x 3 0.
2
x2
2
4 5 x . 3 3 4 5 x . 3 3 1 x1 , x2 3.
8 4 4 3.配方:方程两边都加上一 2 x x 1 . 3 3 3 次项系数一半的平方; 2 2 4 5 4.变形:方程左边分解因式,右边 x . 3 3 合并同类项;
你能行吗
3x2 +8x –3=0 ;
用配方法解下列方程.
1 这个方程与前4个方程不 (1) -3x=0 ; 一样的是二次项系数不是 4 1,而是3. 基本思想是: (2) x2－6x＋1＝0 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
x2
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0. 1.化1:把二次项系数化为1;Biblioteka 2、解方程4 x 1 3x
2
开启
智慧
做一做 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的 高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 . 小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
你能行吗
10 15t 5t 2 . 即t 2 3t 2. 2 2 3 3 2 t 3t 2 . 2 2 2 答 : 在1s时, 小球达到10m; 至最高点 3 1 t . 后下落, 在2s时, 其高度又为10m. 2 4
回顾与复习
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
一元二次方程经典例题及答案
一元二次方程经典例题及答案1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)3212=-x x其中，一元二次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项 ，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+xx C.ax 2+bx+c= 0 D.x 2+2x= x 2-16、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
求这个正方形的边长。
11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：(1)2（x 2－1）=3y ； (2)4112=+x ； (3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0；(5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.13、关于x 的方程(2m 2+m-3)x m+1-5x+2=13是一元二次方程吗？为什么？4.2一元二次方程的解法（1）第一课时一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。
一元二次方程的解法(配方)
如果k＜0，那么方程
就没有实数解。
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系：
h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
(2) 1 x2+2x-1=0
2
后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出
方程的解
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
试一试 用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5x10 2
移项，得 x2 5 x 1
系数化为1 移项
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
典型例题 例 解下列方程
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2
解：（1）系数化为1，得 x2
移项，得 x2 3x
3x1
1 4
0
4
配方，得 x2 3x32 19
2 4 4
即
4.2.2一元二次方程的解法
连云港市新海实验中学数学学案4.2.2一元二次方程的解法主备 单宝珍 审核 九年级数学组 时间 2010-10-20一、学习目标1．经历探究将一般一元二次方程化成()k h x =+2（k ≥0）形式的过程，理解配方法的意义； 2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3．在用配方法解一元二次方程的过程中，体会转化的思想。
二、学习重点会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
三、学习难点将一般一元二次方程化成()k h x =+2（k ≥0）形式的过程. 四、学习过程（一）自学导航1．回顾：=+±222b ab a 。
2．思考：(1)2x ＋8x ＋_____＝（x ＋_____）2 (2) 2x －5x ＋_____＝（x －_____）2 (3)2x －23x ＋_____＝（x －____）2 (3)2x －62x ＋_____＝（x －____）2 写出你发现的规律 。
3．请你认真阅读课本P84～P86，并在书上记录下你的疑惑。
（二）互动探究1．如何解方程0162=++x x ？2．说说什么叫做配方法？（三）精讲点拨例：课本P85、P87、P88例题（你先尝试自己写一写，再与课本上的答案做比较，找找自己在分析、思考、书写中存在的问题，并把自己的不足记录下来.）（四）提升认识1．通过你的自学、同学的交流、老师的讲解，你能归纳出用配方法解一元二次方程的一般步骤吗？2．阅读P86 （数学实验室）五、矫正巩固：1.用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t 2-7t-4=0化为(t-27)2=465 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x 2-4x-2=0化为(x-32)2=9102.用配方法将方程122=+x x 变形为2()x h k +=的形式是__________________.3.（课本P84练习）1.（2） 1.（3）2.（2） 2.（4）4. （课本P87练习）2.（1）2.（2）2.（3）2.（4）5. （课本P88练习）（1）（2）（3）（4）。
4.2一元二次方程的解法(2)学案
2
集体备课
2
2
5 9 即x 4 16
2
开方，得 x ∴x1=
5 3 4 4
1 ，x2=2 2 问题 2:如何解方程-3x2+4x+1=0? ...
2．概括总结． 对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？ 首先要把二次项系数化为 1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为 一，移项，配方，开方，求解，定根 3 概念巩固 用配方法解下列方程，配方错误的是（C ） 7 65 A.x2+2x-99=0 化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0 化为(t- )2= 2 4 2 10 C.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0 化为(x- )2= 3 9 4.典型例题： 解下列方程 （1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2 5.探究： 一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离 h（m）与抛出后小球运动 的时间 t（s）有如下关系： h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m 6.巩固练习： 练习 1 解下列方程 1 （1）2x2-8x+1=0 (2) x2+2x-1=0 (3)2x2+3x=0 2 2 (4)3x -1=6x (5)-2x2+19x=20 (6)-2x2-x-1=0 练习 2 用配方法求 2x2-7x+2 的最小值 练习 3 用配方法证明-10x2+7x-4 的值恒小于 0 三、归纳总结： 运用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的方法和步骤是什么？ 【课后作业】 1、填空： 1 (1)x2- x+ =(x)2, 3 2 (2)2x -3x+ =2(x)2. 2、用配方法解一元二次方程 2x2-5x-8=0 的步骤中第一步是 。 3 用配方法将方程 2 x 2 x 1 变形为 ( x h)2 k 的形式是__________________. 4、用配方法解方程 2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4 3 3 C.x2-2x+1= +1 D. x2-2x+1=- +1 2 2 5、用配方法解下列方程： （1） 2t 2 7t 4 0 ； （3) 0.1x 2 0.2 x 1 0 （2） 3x 2 1 6 x （4）6x2-4x+1=0
一元二次方程的解法(公式法2)全面版
议一议
方程根的情况：
当 b2 4ac0时,方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac0时,方程有两个相等的实数根； 当 b24ac0时,方程没有实数根.
例1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x0
的根的情况______________
解:5x2 x50
方程要先化 为一般形式
例5.一元二次方程 m 1 x 2 2 m m x 2 0
有两个不等的实数根,则m的取值 范围是______________
变
解 2 m 2 4 m 1 m 2
4 m 24 m 24 m 8
4m8 0 m2
1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且 关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两 个相等的实数根． 求证：这个三角形是直角三角形．
2：已知关于x的方程：
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根， （2）方程有两个相等的实数根， （3）方程没有实数根，
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
例3.已知关于x的方程
x22 m2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个 不相等的实数根
解 : b 2 4 a 4 m c 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4.2一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
xbb24ac(a0,b24ac0) 2a
4、写出方程的解x1与x2.
4.2一元二次方程的解法(2)
一元二次方程的解法（2）---( 教案)备课时间: 主备人:【学习目标】:1、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法一、知识回顾：1、请写出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x3、将下列各进行配方：⑴2x ＋10x ＋_____＝（x ＋_____）2 ⑵2x －6x ＋_____＝（x －_____）2 ⑶2x －45x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）23、思考：如何解下例方程（1）16442=+-x x （2）925102=+-x x【预习指导】如何解方程0462=++x x 呢？提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过 求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
【典型例题】例1、解下例方程（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0例2、解下列方程（1）2x －6x －7＝0； （2）2x ＋3x ＋1＝0.【知识梳理】用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？【课堂练习】1、将下列各式进行配方：⑴2x ＋8x ＋_____＝ （ x + ____ ）2 ⑵2x －5x ＋_____＝（ x- ____ ）2（3）2x －62x ＋_____＝ （ x - _____ ）2 2、填空：（1）++x x 62（ ）＝（ ）2（2）2x －8x ＋（ ）＝（ ）2 （3）2x ＋x ＋（ ）＝（ ）2 （4）42x －6x ＋（ ）＝4（ ）23、用配方法解方程：（1）2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0； （3）2x ＋8x －2＝0；（4）2x －5 x －6＝0；（5）276x x +=-【课后练习】1、解下列方程：（1）2x +2x-3=0；（2）2x +10x+20=0；（3）2x -6x=4；（4）2x -x=1；（5）2x -7x+12=0；（6）2x +6x-16=0；（7）2x -4x=2；（8）2x +5x+5=0；2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是2002cm ，求这张包装纸的长河宽。
4.2一元二次方程的解法(2)学案
主备人
学科
主备时间
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执教人
执教时间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
执教班级
教时
课题
4.2一元二次方程的解法（2）
教学
目标
1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法
2.、经历探究将一般一元二次方程化成（ 形式的过程，进一步理解配方法的意义
3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想
解：两边都除以2，得x2- x+1=0
移项，得x2- x=-1
配方，得x2- x+ 即
开方，得
∴x1= ，x2=2
问题2:如何解方程-3x2+4x+1=0?
...
2．概括总结．
对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？
首先要把二次项系数化为1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为一，移项，配方，开方，求解，定根
3用配方法将方程 变形为 的形式是__________________.
4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（）
A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1= +1 D. x2-2x+1=- +1
5、用配方法解下列方程：
（1） ；（2）
（3) （4）6x2-4x+1=0
2、用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0；(2)x2+3x-2=0；
3、请你思考方程x2- x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别代表不为零的实数常数。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
下面将逐一介绍这些解法。
一、因式分解法当一元二次方程的因式分解形式为(x + m)(x + n) = 0时，方程的解即为x = -m和x = -n。
通过因式分解法求解一元二次方程的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
2. 如果方程可以因式分解为两个一次式的乘积，即可直接得到方程的解。
3. 如果方程无法因式分解，可以通过配方法或求根公式等其他方法求解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，通过配方法将其变形为(a'x + p)(b'x + q) = 0的形式，从而得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
2. 根据配方法的原则，首先将方程中二次项的系数a拆分为两个数m和n，使得a = m * n，并保证m + n等于一次项的系数b。
3. 将方程进行变形，得到(ax^2 + mx + nx + c = 0)。
4. 对方程进行因式分组，将前两项和后两项分组并提取公因式，得到((ax^2 + mx) + (nx + c) = 0)。
5. 分别对括号中的项进行因式分解，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。
6. 化简方程，继续合并同类项，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。
7. 根据方程(x(a + m) + (n + c) = 0)，可得到方程的解。
三、求根公式法求根公式法是一种比较常用的解一元二次方程的方法，通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到方程的解。
求根公式法的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
4.2一元二次方程的解法(公式法)
4.2一元二次方程的解法（公式法）主备人：宋亚娟审核人：赵东祥教材分析：公式法实际上是匹配法的推广。
运用公式法可以更简单地解出医院二次方程学习情况分析：由于学生已经有运用搭配法解一元二次方程的经验，可以在教学中指导学习生自主探索一元二次方程的求根公式.教学目标：1.知识与技能使学生能熟练运用求根公式解一元二次方程。
2过程和方法使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力.正确选择合适的方法求解一元二次方程。
3.情感与价值在探索和应用求根公式的过程中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物主义观点.教学重难点：教学重点：掌握一元二次方程的根公式，并用它熟练地解一元二次方程教学难点：对字母系数二次三项式进行配方；系数和常数为负数时,代入求根公式时符号的手柄教学过程：一．课前导学阅读课本88的倒数第二行3-90行16，完成以下练习。
1.用公式法求解下列方程：2（1）x?15?10x（2）3x?12x?21?0（3）ax2?bx?c?032.根据问题（3）的结果，B是什么时候？4ac？0，一元二次方程AX的一般形式？bx？C022? Bb2？4ac的根是x？，我们称这个公式为寻根公式，并用这个公式求解一个变量的二次方程2a程的方法叫做公式法.思考：B什么时候？4ac？0时，方程是否有实根？3.用公式法求解以下方程：⑴x?3x?1?0⑵2x?x?1222⑶十、25倍？？5.⑷2y2？3岁？5.四二．成果初展1.考试预习1.请在黑板上玩，详细解释第三个问题并介绍新课2因为a?0,方程两边都除以a,得:x?2bcx??0aabcx??aabbcb2?()2???()2配方,得:x?2?x?2a2aa2a移项,得:x?2b2b2?4ac)?即:(x?2a4a2b2?4ac问题1:当b?4ac?0，且a?0时，大于等于零吗？24a2让学生思考、分析、表达观点并得出结论：b2?4ac?0.当b?4ac?0时，因为a?0，所以4a?0，从而24a22问题2:让学生讨论、交流,从中得出结论:B什么时候？4ac？0，一元二次方程AX的一般形式？bx？C0（a？0）的根是：22?b?b2?4ac.x?2a由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式:2.Bb2？4ac2（b？4ac？0）x？2A该公式表明，方程的根由方程的系数a、B和C决定。
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一元二次方程的解法（2）(教案)
备课时间: 主备人:
【学习目标】:
1、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法
一、知识回顾：
1、请写出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =
2、用直接开平方法解下例方程：
（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x
3、将下列各进行配方：
⑴2x ＋10x ＋_____＝（x ＋_____）
2 ⑵2x －6x ＋_____＝（x －_____）2 ⑶2x －4
5x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）2 3、思考：如何解下例方程 （1）16442=+-x x （2）925102=+-x x
【预习指导】
如何解方程0462
=++x x 呢？
提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过 求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
【典型例题】
例1、解下例方程
（1）2
x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0
例2、解下列方程
（1）2x －6x －7＝0； （2）2
x ＋3x ＋1＝0.
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？
【课堂练习】
1、将下列各式进行配方：
⑴2x ＋8x ＋_____＝ （ x + ____ ）2 ⑵2x －5x ＋_____＝（ x- ____ ）2
（3）2
x －62x ＋_____＝ （ x - _____ ）2 2、填空：
（1）++x x 62（ ）＝（ ）2（2）2
x －8x ＋（ ）＝（ ）2 （3）2x ＋x ＋（ ）＝（ ）2 （4）42x －6x ＋（ ）＝4（ ）2
3、用配方法解方程：
（1）2x ＋2x ＝5；
（2）2x －4x ＋3＝0； （3）2x ＋8x －2＝0；
（4）2x －5 x －6＝0；
（5）276x x +=-
【课后练习】
1、解下列方程：
（1）2x +2x-3=0；
（2）2x +10x+20=0；
（3）2x -6x=4；
（4）2
x -x=1； （5）2x -7x+12=0；
（6）2x +6x-16=0；
（7）2x -4x=2；
（8）2
x +5x+5=0； 2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是2002cm ，求这张包装纸的长河宽。