高中数学(必修一)单元检测与评估

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高中数学第一章预备知识质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

第一章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．BA2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |0＜x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |x ＜1}3．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－1，－a }，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P ＝( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{0} D ．{－1}4．命题“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∃x ＜0，|x |＋x 2＜0 B ．∃x ≥0，|x |＋x 2≤0 C ．∃x ≥0，|x |＋x 2＜0 D ．∃x ＜0，|x |＋x 2≥0 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A ．－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0 C ．a ＞ab ＞ab 2D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－1,2] D ．(－1,1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C ．0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A ．4 2B ．8 2C ．8D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( ) A ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 C ．存在锐角α，sin α＝1.5D ．已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅ 10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A ．a ＜bB ．a ＋b ＜abC ．|a |＞|b |D ．ab ＜b 211．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1,0)，则下面结论中正确的是( )A ．2a ＋b ＝0B ．4a －2b ＋c ＜0C ．b 2－4ac ＞0 D ．当y ＜0时，x ＜－1或x ＞412．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．则关于数域的理解正确的是( )A ．有理数集Q 是一个数域B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________．16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |1≤x ≤7}，B ＝{x |－2m ＋1＜x ＜m }．(1)若m ＝5，求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求m 的取值X 围．18.(本小题满分12分)已知不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}． (1)求a 的值；(2)若不等式ax 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，某某数m 的取值X 围．19．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值X 围．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30,50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，某某数m 的取值X 围． (2)若(A ∩B )⊆C ，某某数m 的取值X 围．22．(本小题满分12分)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值．第二部分阶段测试第一章单元质量评估卷1．解析：由真子集的概念，知B A ，故选D. 答案：D2．解析：∵∁U N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ≤1}．故选B. 答案：B3．解析：由题意知a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1.①当a ＝0时，M ＝{1,0}，P ＝{－1,0}，M ∪P ＝{－1,0,1}，满足条件，此时M ∩P ＝{0}；②当a ＝－1时，a 2＝1，与集合M 中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.答案：C4．解析：“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x ≥0，|x |＋x 2＜0”．答案：C5．解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.答案：B6．解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2,1]．由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则∁R B ＝(－1,2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1,1]．故选D.答案：D7．解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故选C.答案：C8．解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.答案：D9．解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A,6∈B ，故A ∩B ≠∅.答案：AB10．解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D 正确．故选BD.答案：BD11．解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a＋b ＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1,0)，∴点A 的坐标为(3,0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：若a ，b ∈Q ，则a ＋b ∈Q ，a －b ∈Q ，ab ∈Q ，a b∈Q (b ≠0)，所以有理数Q 是一个数域，故A 正确；因为1∈Z,2∈Z ，12∉Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2∉M ，所以C 不正确；根据定义，如果a ，b (b ≠0)在数域中，那么a ＋b ，a ＋2b ，…，a ＋kb (k 为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D 正确．故选AD.答案：AD13．解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0，即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 答案：(2,4)(或写成{x |2＜x ＜4})14．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.答案：1615．解析：由1a ＋1b ＝12，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a ＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.答案：1916．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6} (2)3217．解析：(1)∵m ＝5，∴B ＝{x |－9＜x ＜5}，又A ＝{x |1≤x ≤7}， ∴A ∪B ＝{x |－9＜x ≤7}．又∁R A ＝{x |x ＜1，或x ＞7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |－9＜x ＜1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＜1m ＞7，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0m ＞7，解得m ＞7.∴m 的取值X 围是{m |m ＞7}．18．解析：(1)由已知，1－a ＜0，且方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根为－3,1，有⎩⎪⎨⎪⎧41－a ＝－3＋161－a ＝－3，解得a ＝3.(2)不等式3x 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，则Δ＝m 2－4×3×3≤0，解得－6≤m ≤6，实数m 的取值X 围为[－6,6]．19．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }；当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03＋m ≤－13－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞03－m ≤－13＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值X 围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．20．解析：(1)当x ∈[30,50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30,50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝x y＝x ＋1 600x－40，x ∈[30,50]，当x ∈[30,50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4，解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值X 围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值X 围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b2＋4＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4，由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为252.。

苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程单元测试卷(含答案)

苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程单元测试卷(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两平行线x ＋y －1＝0与2x ＋2y －7＝0之间的距离是()A ．32B ．322C ．542D ．62．已知直线l 经过点P (2,1)，且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是()A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x ＋2y －8＝0C ．2x －3y －1＝0D ．3x －2y －4＝03．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是()A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或14．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．π6，，5π6B ．0，π6∪5π6，C ．0，5π6D ．π6，5π65．若直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋9y ＋9＝0平行，则实数n 的值为()A ．3B ．－3C ．1或3D ．3或－36．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是()A －12，B －16，C D －12，＋∞7．已知直线l ：x －y －1＝0，直线l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与直线l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是()A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝08．数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．”后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是()A．(－4,0)B．(0，－4)C．(4,0)D．(4,0)或(－4,0)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有()A．截距相等的直线都可以用方程xa＋ya＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示与y轴平行的直线C．经过点P(1,1)且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝010．若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则实数a的值是() A．－3B．1C．－1D．311．光线自点(2,4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5,0)，则反射光线还经过()A B．点(14,1)C．点(13,2)D．点(13,1)12．下列m的值中，不能使三条直线4x－y＝4，mx－y＝0和2x＋3my＝4构成三角形的有()A．4B．－6C．－1D．23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题第一个空2分、第二个空3分．13．若直线l的倾斜角α满足4sinα＝3cosα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是________________.14．无论实数k取何值，直线(k＋2)x＋(k－3)y＋k－3＝0都恒过定点，则该定点的坐标为________.15．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和直线l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段的中点恰好为P ，则直线l 的方程为________，此时被截得的线段长为________.16．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，且点Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)有下列3个条件：①l ′与l 平行且过点(－1,3)；②l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4；③l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．从中任选1个，补充到下面的问题中并解答．问题：已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，且________，求直线l ′的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知△ABC 的顶点A (－1,5)，B (－1，－1)，C (3,7)．(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求△ABC 的面积．19．(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(2)若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求△MON (O 为坐标原点)面积的最小值及此时直线l 的方程．20．(12分)已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求点D 的坐标，使四边形ABCD 是直角梯形(点A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．21．(12分)在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (1,1)，直线l ：x ＋y ＋1＝0.(1)在直线l 上找一点C 使得AC ＋BC 最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得|AD －BD |最大，并求这个最大值和点D 的坐标．22．(12分)已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求实数a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5？若能，求点P 的坐标，若不能，请说明理由．参考答案与解析综合测试第1章直线与方程1．C 提示方程x ＋y －1＝0可化为2x ＋2y －2＝0，所以两平行线之间的距离为|－2－(－7)|22＋22＝5422.D 提示由题意知k l ＝－1－23＝32，故直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0 3.D 提示由题意知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2；当y ＝0时，x ＝a ＋2a .因此a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝14.B 提示直线的斜率k ＝－33cos α∈－33，33.设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33，所以0≤θ≤π6或5π6≤θ＜π5.B 提示由题意知1n ＝n9，解得n ＝±3.当n ＝3时，3x ＋9y ＋9＝0，即x ＋3y ＋3＝0，两直线重合(舍去)6.B 提示＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.因为直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y＝－12x ＋20，0，解得－16＜k ＜127.B 提示因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知点(0，－2)在l 1上，设其关于l的对称点为(x ，y )－y －22－1＝0，1，＝－1，＝－1，所以点(1,0)，(－1，－1)在l 2上，从而可得l 2的方程为x －2y －1＝08.A提示设C (m ，n )．由重心坐标公式得△ABC线的方程得2＋m 3－4＋n3＋2＝0，整理得m －n ＋4＝0①.易得边AB 的中点为(1,2)，k AB ＝4－00－2＝－2，所以边AB 的垂直平分线的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.－2y ＋3＝0，－y ＋2＝0，＝－1，＝1，所以△ABC 的外心为(－1,1)，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝32＋12＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8②.联立①②解得m ＝－4，n＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，点B ，C 重合，应舍去，所以顶点C 的坐标是(－4,0)9.BD 提示对于A ，若直线过原点，横、纵截距都为0，则不能用方程x a ＋ya ＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，与y 轴平行的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设P (x ，y )是经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，根据P 1P 2∥P 1P 可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确．故选BD 10.AB 提示若两直线垂直，则a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝－3或a ＝1.故选AB 11.AD提示由题意得k ＝tan135°＝－1.设点(2,4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则1，＝－m ＋22＋1，＝－3，＝－1，所以反射光线所在直线的方程为y ＝0－(－1)5－(－3)·(x －5)＝18(x －5)．当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故反射光线过点(13,1)12.ACD 提示①当l 1：4x －y ＝4平行于l 2：mx －y ＝0时，m ＝4；②当l 1：4x －y ＝4平行于l 3：2x ＋3my ＝4时，m ＝－16；③当l 2：mx －y ＝0平行于l 3：2x ＋3my ＝4时，3m 2＋2＝0，无解；④当三条直线经过同一个点时，把直线l 1与l 22x ＋3my ＝4中得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或23.综上，满足条件的m 为4或－16或－1或2313.3x －4y－9＝0提示因为4sin α＝3cos α，所以tan α＝34，从而直线l 的方程为y ＝34(x －3)，即3x －4y －9＝014.(0，－1)提示方程(k ＋2)x ＋(k －3)y ＋k －3＝0可化为k (x ＋y ＋1)＋2x －3y－3＝0x －3y －3＝0，＋y ＋1＝0，解得＝0，＝－115.x ＋4y －4＝0217提示设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把点B 的坐标代入l 2的方程中得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.易求得两交点分别为(－4,2)，(4,0)，所以截得的线段长为21716.94提示因为动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0.又点Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，所以(4－1)2＋(0＋m )2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2.又a ＞0，c ＞0，所以12a ＋2c ＝12(a ＋c＋c 2a ＋＝94，当且仅当c ＝2a ＝43，即c ＝43，a ＝23时等号成立17.选择条件①：因为直线l ：3x ＋4y －12＝0，所以k l ＝－34.因为l ′∥l ，所以k l ′＝k l ＝－34，从而直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0选择条件②：因为l ′⊥l ，所以k l ′＝43.设l ′在x 轴上的截距为b ，则l ′在y 轴上的截距为－43b .由题意可知S ＝12|b |·|－43b |＝4，解得b ＝±6，所以直线l ′：y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)选择条件③：因为l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，所以l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，设其在l ′上的对称点为(x ，y )，所以x ＝－x 0，y ＝－y 0，从而－3x －4y －12＝0，因此直线l ′：3x ＋4y ＋12＝018.(1)因为k BC ＝7－(－1)3－(－1)＝2，所以k AD ＝－12，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为y －5＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －9＝0(2)因为M 是BC 的中点，所以M (1,3)，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为y －35－3＝x －1－1－1，即y ＝－x ＋4(3)由题意知边BC 所在直线的方程为y －(－1)7－(－1)＝x －(－1)3－(－1)，即2x －y ＋1＝0，BC ＝(3＋1)2＋(7＋1)2＝45，所以点A 到直线BC 的距离h ＝|2×(－1)－5＋1|22＋1＝655，从而△ABC 的面积＝12BC ·h ＝1219.(1)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a ＋2.因为l 不过第二象限，所以(a ＋1)≥0，＋2≤0，解得a ≤－2，从而a 的取值范围为(－∞，－2](2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a ＋2，所以OM ＝|a ＋2a ＋1|，ON ＝|a ＋2|，从而S △MON ＝12OM ·ON ＝12(a ＋2)2|a ＋1|＝|a ＋1|＋2，当且仅当|a ＋1|＝1|a＋1|，即a ＝0时等号成立，因此△MON 面积的最小值为2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0(第20题)20．设所求点D 的坐标为(x ，y )．如图，由于k AB ＝3，k BC ＝0，所以k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直．①若BC ⊥CD ，AD ⊥CD .因为k BC ＝0，所以直线CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝k BC ，所以y －3x ＝0，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)．②若AD ⊥AB ，AD ⊥CD .因为k AD ＝y －3x，k CD ＝y x －3，又AD ⊥AB ，所以y －3x ·3＝－1.又AB∥CD ，所以yx －3＝3.＝185，＝95，此时AD与BC 不平行，故所求点D综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)21.(1)设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x ，y )1，＋y＋32＋1＝0，＝－4，＝－3，即A ′(－4，－3)，所以直线A ′B 的方程为y ＋31＋3＝x ＋41＋44x －5y ＋1＝0.当C 为直线4x －5y ＋1＝0与直线x ＋y ＋1＝0的交点时，AC ＋BCx －5y ＋1＝0，＋y ＋1＝0，＝－23＝－13所以－23，－AC ＋BC 的最小值为A ′B ＝(1＋4)2＋(1＋3)2＝41(2)由题意知直线AB 的方程为y －31－3＝x －21－2，即2x －y －1＝0.当D 为直线2x －y －1＝0与直线x ＋y ＋1＝0的交点时，|AD －BD |x －y －1＝0，＋y ＋1＝0，＝0，＝－1，所以D (0，－1)，从而|AD －BD |的最大值为AB ＝(2－1)2＋(3－1)2＝522.(1)直线l 2的方程可化为2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝7510，即|a ＋12|5＝7510，亦即|a ＋12|＝72.又a ＞0，解得a ＝3(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·|c ＋12|5，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y0＋4＝0或3x 0＋2＝0.由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0x 0－y 0＋132＝0，0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12(舍去)；联立x 0－y 0＋116＝0，0－2y 0＋4＝0，0＝19，0＝3718.所以存在点P。

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》单元测试题（含答案）

⾼中数学必修⼀第⼀章《集合与函数概念》单元测试题（含答案）《集合与函数概念》单元测试题(第⼀章)(120分钟150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1.集合A={0,1,2},B={x|-1A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}2.设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N?M,则x的值为( )A.2B.0C.1D.不确定3.在下列由M到N的对应中构成映射的是( )4.已知函数f(x)=ax3+bx(a≠0),满⾜f(-3)=3,则f(3)= ( )A.2B.-2C.-3D.3【补偿训练】已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为( ) A.5 B.10C.8D.不确定5.已知⼀次函数y=kx+b为减函数,且kb<0,则在直⾓坐标系内它的⼤致图象是( )6.若f(x)=则f的值为( )A.-B.C.D.7.若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)= ( )A.3B.3xC.6x+3D.6x+18.下列四个图形中,不是以x为⾃变量的函数的图象是( )9.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=?,则实数m的取值范围是( )A.m<4B.m>4C.0D.0≤m<410.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( )A.(-∞,0]和(-∞,1]B.(-∞,0]和[1,+∞)C.[0,+∞)和(-∞,1]D.[0,+∞)和[1,+∞)11.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中⼀个为正偶数,另⼀个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是( )A.10个B.15个C.16个D.18个12.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则使<0的x的取值范围为( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)⼆、填空题(本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知集合A={x|1≤x<2},B={x|x14.已知a是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的⼦集,则a的值是.15.已知f(x)为偶函数,则f(x)=x1,1x0, ______,0x 1.+-≤≤≤≤16.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)f(b)≤0;②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);③f(b)f(-b)≤0;④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).其中正确的是.(把你认为正确的不等式的序号全写上).三、解答题(本⼤题共6⼩题,共70分.解答时应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设全集为R,集合A={x|3≤x<6},B={x|2(1)分别求A∩B,(eB)∪A.R(2)已知C={x|a18.(12分)已知函数f(x)=.(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上.(2)当x=4时,求f(x)的值.(3)当f(x)=2时,求x的值.19.(12分)若函数f(x)=x2+4x+a的定义域和值域均为[-2,b](b>-2),求实数a,b的值.20.(12分)(2015·烟台⾼⼀检测)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并⽤定义证明..【拓展延伸】定义法证明函数单调性时常⽤变形技巧(1)因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进⾏因式分解.(2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进⾏通分,然后对分⼦进⾏因式分解.(3)配⽅:当原函数是⼆次函数时,作差后可考虑配⽅,便于判断符号.21.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,⼜f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求证:f(x)为R上的减函数.(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域.22.(12分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满⾜:①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f;②f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,f=-1.(1)求f(0)的值.(2)求证:f(x)为奇函数.(3)解不等式f(2x-1)<1.《集合与函数概念》单元测试题参考答案(第⼀章)(120分钟150分)。

人教版高中数学必修一第一章单元测试(含答案)

高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷佛冈中学全校学生家长的全体 1、下列各组对象中不能构成集合的是（）A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生B 、C 、李明的所有家人D 王明的所有好朋友选择（将题的填入2、已知集合A x R|x 5 ,B x R x 1 ,那么AI B 等于3、4、5、 A 、6、 7、 A. C. {2, 2,3,4,5 3,4} D.B.2, 3,4,12,3,4,5,6,7,8 ，集合 A {1,2,315}, 设全集U 则图中的阴影部分表示的集合为（）A. 2B. 4,6C. 1,3,5D. 4,6,7,8 下列四组函数中表示同一函数的是 A. f(x) x , g(x) (Tx )2B. f (x) C. f (x)廉,g(x) |x|D. f(x) 函数 f(x)= 2x 2- 1 , x? (0,3) o1B 1C 、2D B {2,4,6} ()x 2,g(x) x 1 0 , g(x) < x 1 ■. 1 x若f （a ）= 7,则a 的值是（） x 2,(x 0)血设f(x) !,(x 0),则f[f(1)]() A 3B 1C.0D.-1 函数f （x ） = . x + 3的值域为（） A 、[3 , +x ） B 、（一x, 3]C 、[0 , +x ）D R 8、下列四个图像中，不可能是函数图像的是（） 9、设f （x ）是R上的偶函数，且在 [0,+ x ）上单调递增，则f(-2),f(3),f(- )的大小顺序是：() A f(- )>f(3)>f(-2)B 、f(- )>f(-2)>f(3) C 、f(-2)>f(3)>f(- )D 、f(3)>f(-2)>f(- ) 10、在集合｛a , b , c , d ｝上定义两种运算和如下:那么 b (a c)() A. aB. bC. cD. d二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11、函数y 1 (x 3)0的定义域为12、函数f(x) x 2 6x 10在区间［0,4］的最大值是Q I /'13、若 A { 2,2,3,4} , B {x|x t 2,t A}，用列举法表示 B 是.14、下列命题：①集合a,b,c,d 的子集个数有16个；②定义在R 上的奇函数f(x)必满足f (0) 0 ; ③f(x) 2x 1 2 2 2x 1既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤f(x)」x在 ,0 U 0, 上是减函数。

高中数学必修一单元测试及答案

高中数学必修一单元测试及答案(总27页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章集合与函数概念一、选择题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =，则m 的取值集合是( )． A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31－，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )． A ．(0，1) B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1](第4题)9．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )．A．－2 B．2 C．－98 D．9810．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设a＞b＞0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)；③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a).其中成立的是()．A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④二、填空题11．函数x=1的定义域是．-xy+12．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝．13．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是．14．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(I M)∩(I N)＝{3，13}，M ∩(I N)＝{1，7}，则M＝，N＝．15．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝．三、解答题17．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且∅(A∩B)，A∩C＝∅，求a的值．18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ，a ≠1且1 A ． (1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ．19．求函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．∈20．已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．第二章基本初等函数(Ⅰ)一、选择题1．对数式log 32－(2＋3)的值是( )． A ．－1B ．0C ．1D ．不存在2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是( )．A B C D3．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )． A ．(1－a )31＞(1－a )21 B ．log 1－a (1＋a )＞0 C ．(1－a )3＞(1＋a )2D ．(1－a )1+a ＞14．函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是( )．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b5．已知f (x 6)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ．34B ．8C ．18D ．216．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．A ． a ≤2B ．a ＞3C ．2≤a ≤3D ．a ≥37．函数f (x )＝2－x －1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R8．已知－1＜a ＜0，则( )．A ．(0.2)a＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜2aB ．2a＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)aC ．2a ＜(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21D ．a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)a ＜2a(第4题)9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧+-1 log 1≤413＞，，)(x x x a x a a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．⎪⎭⎫⎝⎛310，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡171，10．已知y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．［2，＋∞) 二、填空题11．满足2－x ＞2x 的x 的取值范围是．12．已知函数f (x )＝log 0.5(－x 2＋4x ＋5)，则f (3)与f (4)的大小关系为． 13．64log 2log 273的值为_____．14．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____． 15．函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为． 16．已知函数f (x )＝a －121+x，若f (x )为奇函数，则a ＝________．三、解答题17．设函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，满足f (－1)＝－2，且任取x ∈R ，都有f (x )≥2x ，求实数a ，b 的值．18．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．19．求下列函数的定义域、值域、单调区间：(1)y＝4x＋2x+1＋1；(2)y＝2＋3231x－x⎪⎭⎫⎝⎛．20．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，其中a＞0，a≠1．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．第三章函数的应用一、选择题1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0 B ．x1＋1＝0C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝02．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2］B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)3. 若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |a ＞1}B ．{a |a ≥2}C ．{a |0＜a ＜1}D ．{a |1＜a ＜2}4．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5. 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．36. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).A ．y ＝23|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝23－23|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝23－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)7．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )． A ．x 2＜2xB ．log 2 x ＜x 2C ．log 2 x ＜x1D ．2x＜log 2 x8．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．A ．250B ．400C ．300D ．350二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是．12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长米，宽米.13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x (0＜x ≤40)(克)的函数，其表达式为．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消药量y (毫毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为 .(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.15．已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|，若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围．16．设正△ABC 边长为2a ，点M 是边AB 上自左至右的一个动点，过点M 的直线l 垂直与AB ，设AM ＝x ，△ABC 内位于直线l 左侧的阴影面积为y ，y 表示成x 的函数表达式为．(第14题)三、解答题17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?期末测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋14．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2xB ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝1－1－2x x ，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x 6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元 B ．6.00元 C ．7.00元D ．8.00元8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2)D ．(0，1)9．若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，则( ).A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜010．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞) B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ).A ．f (x )＝x1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln (x ＋1)12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ).A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).A ．－2B ．－1C ．0D ．114．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋x－11的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ).A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ⊆B ，则a 取值范围是． 16．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是． 17．函数y ＝2－log 2x 的定义域是． 18．求满足8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(8分)已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)．(1)证明：当a＞2时，f(x)在R上是增函数．(2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少参考答案第一章集合与函数的概念一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．∈2．D解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B ．当a＝2时，2B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A 解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．10．C 解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319．解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫⎝⎛ 21，．解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0．综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)．＋∞ ＋∞三、解答题17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，－4 ，2 A ；由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾．当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ，∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ；∴a －11＝21－11＝2∈A ．因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A ⇒a －11∈A ⇒ a1－1－11∈A ⇒1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ；(2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；(3)当2a ＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ．∈A ∈综上可知，f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧．＞，－，≤≤ ，－，＜－，＋22522232252a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数，∴ f (0)＝0，即a b2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2，从而有f (x )＝ax x ＋21＋2－＋1．又由f (1)＝－f (－1)知a4＋＋12－＝－a 1＋＋121－，解得a ＝2．(2)先讨论函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x ＝－21＋1＋21x的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝1＋212x －1＋211x ＝))((1＋21＋22－21221x x x x ，∵指数函数2x 为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)， ∴函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)．由(*)式得k ＜3t 2－2t ．又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31－－∞，．第二章初等函数一、选择题1．A 解析：log 32－(2＋3)＝log 32－(2－3)－1，故选A ．2．A 解析：当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，y ＝a －x 单调递减，故选A ．3．A 解析：取特殊值a ＝21，可立否选项B ，C ，D ，所以正确选项是A ．4．B 解析：画出直线y ＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a ，b ，c ，d 的值，由图形可得正确结果为B ．5．D 解析：解法一：8＝(2)6，∴ f (26)＝log 22＝21．解法二：f (x 6)＝log 2 x ，∴ f (x )＝log 26x ＝61log 2 x ，f (8)＝61log 28＝21．6．D 解析：由函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛121 ，上是减函数，于是有21－a ≥1，解得a ≥3． 7．C 解析：函数f (x )＝2－x－1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21－1的图象是函数g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21图象向下平移一个单位所得，据函数g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21定义域和值域，不难得到函数f (x )定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．8．B 解析：由－1＜a ＜0，得0＜2a ＜1，0.2a ＞1，a⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，知A ，D 不正确．当a ＝－21时，2121－⎪⎭⎫⎝⎛＝501.＜201.＝2120－.，知C 不正确． ∴ 2a＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜0.2a ．9．C 解析：由f (x )在R 上是减函数，∴ f (x )在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0＜a ＜1 ①，又由f (x )在(－∞，1]上单减，∴ 3a －1＜0，∴ a ＜31 ②，又由于由f (x )在R 上是减函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1］上的最小值7a －1要大于等于f (x )在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f (x )在R 上是减函数．∴ 7a －1≥0，即a ≥71③．由①②③可得71≤a ＜31，故选C ．10．B 解析：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0且a ≠1，于是得函数的定义域x ＜a2．又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜a2，从而0＜a ＜2且a ≠1．若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )增大，即函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )减小，即函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递减的．所以a 的取值范围应是(1，2)，故选择B ．二、填空题11．参考答案：(－∞，0)．解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0．12．参考答案：f (3)＜f (4)．解析：∵ f (3)＝log 0.5 8，f (4)＝log 0.5 5，∴ f (3)＜f (4)．13．参考答案：21．解析：64log 2log 273＝3lg 2lg ·64lg 27lg ＝63＝21．14．参考答案：41．解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛91f ＝log 391＝－2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ＝f (－2)＝2－2＝41． 15．参考答案：⎥⎦⎤ ⎝⎛143 ，．解析：由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧0 34log 0345.0≥)－(＞－x x ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧13443 ≤－＞x x ∴ 所求函数的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛143 ，． 16．参考答案：a ＝21．解析：∵ f (x )为奇函数，∴ f (x )＋f (－x )＝2a －121＋x －121＋x -＝2a －1212＋＋x x ＝2a －1＝0，∴ a ＝21．三、解答题17．参考答案：a ＝100，b ＝10．解析：由f (－1)＝－2，得1－lg a ＋lg b ＝0 ①，由f (x )≥2x ，得x 2＋x lg a ＋lg b ≥0 (x ∈R )．∴Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0 ②．联立①②，得(1－lg b )2≤0，∴ lg b ＝1，即b ＝10，代入①，即得a ＝100． 18．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]．解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有⎩⎨⎧0 ＜440a －a ＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；(2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值． ①当a ＝0时，a x 2＋2x ＋1＝2x ＋1，当x ∈(－21，＋∞)时满足要求；②当a ≠0时，应有⎩⎨⎧0 ≥440a －a ＝＞Δ⇒ 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．综上，a 的取值范围是[0，1]．19．参考答案：(1)定义域为R ．令t ＝2x (t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)定义域为R ．令t ＝x 2－3x ＋2＝223⎪⎭⎫ ⎝⎛x －－41⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡，＋∞41－t ∈． ∴ 值域为(0，43]．∵ y ＝t⎪⎭⎫⎝⎛31在t ∈R 时为减函数，∴ y ＝2＋3－231x x ⎪⎭⎫⎝⎛在 ⎝⎛－∞，⎪⎭⎫23上单调增函数，在 ⎝⎛23，＋∞⎪⎪⎭⎫为单调减函数．20．参考答案：(1){x |－1＜x ＜1}； (2)奇函数；(3)当0＜a ＜1时，－1＜x ＜0；当a ＞1时，0＜x ＜1．解析：(1)f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，若要式子有意义，则即－1＜x ＜1，所以定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(－1，1)，且F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－［log a (1＋x )－log a (1－x )］＝－F (x )，所以f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0即log a (x ＋1)－log a (1－x )＞0有log a (x ＋1)＞log a (1－x )．当0＜a ＜1时，上述不等式解得－1＜x ＜0；当a ＞1时，上述不等式解得0＜x ＜1．第三章函数的应用参考答案一、选择题1．C 解析：易知A ，B ，D 选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x 是接近0的正数时，21x ＋ln x ＜0；当x 接近1时，21x ＋ln x ＞0. 所以选C ．2．D 解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f (x )＜0的x 的取值范围是(－2，2)．3．A 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a 1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a ＞1时，因为函数x ＋1＞0x ＋1＞01－x ＞0x ＋1＞01－x ＞0y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是{a |a ＞1}.4．D 解析：因为f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D ． 5. C 解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝100，所以已知函数有两个零点，选C ．还可以作出f (x )的图象，依图判断．6. B 解析：取特殊值x ＝1，由图象知y ＝f (1)＝32，据此否定A ，D ，在取x ＝0，由图象知y ＝f (0)＝0，据此否C ，故正确选项是B.或者勾画选项B 的函数图象亦可判断．7．B 解析：当x ∈(2，4)时，x 2∈(4，16)，2x ∈(4，16)，log 2 x ∈(1，2)，x1∈⎪⎭⎫⎝⎛2141 ，，显然C 、D 不正确，但对于选项A ，若x ＝3时，x 2＝9＞23＝8，故A 也不正确，只有选项B 正确．(第4题)8．A 解析：由题意知100＝a log2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．9．D 解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝－10(x－15)2＋6 250．x＝15时，y max＝6 250．每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．10．B 解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．∵函数y在［250，400］上单调递增，∴x＝400时，y max＝825(元)．即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．二、填空题11．参考答案：(－∞，－1)．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．12．参考答案：长宽分别为25米．解析：设矩形长x 米，则宽为21(100－2x )＝(50－x )米，所以矩形面积y ＝x (50－x )＝－x 2＋50 x ＝－(x －25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．13．参考答案：f (x )＝⎩⎨⎧)＜( )＜(40≤ 20 16020≤ 008x x解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．14．参考答案：(1) y ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛- )＞( )( 1.01611.0≤ ≤ 0101.0t t t t ； (2)0.6．解析：(1)据图象0≤t ≤0.1时，正比例函数y ＝k t 图象过点(0.1，1)，所以，k ＝10，即y ＝10t ；当t ＞0.1时，y 与t 的函数y ＝at -⎪⎭⎫⎝⎛161(a 为常数)的图像过点(0.1，1)，即得1＝a-⎪⎭⎫ ⎝⎛1.0161，所以a ＝0.1，即y ＝1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ．(2)依题意得1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ≤0.25，再由y ＝lg x 是增函数，得(t －0.1)lg161≤lg 41，∵ lg 41＜0，即得t －0.1≥0.5，所以，t ≥0.6． 15．参考答案：－1＜m ＜45．解析：由f (x )＝(x ＋1)｜x －1｜＝得函数y ＝f (x )的图象(如图)．按题意，直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝(x ＋1)|x －1|有三个不同的公共点，求直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距m 的取值范围．x 2－1，x ≥11－x 2，x ＜1(第15题)由得x 2＋x ＋m －1＝0．Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ，由Δ＝0，得m ＝45，易得实数m 的取值范围是－1＜m ＜45．16．参考答案：y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222解析：当直线l 平移过程中，分过AB 中点前、后两段建立y 与x 的函数表达式． (1)当0＜x ≤a 时，y ＝21x ·3x ＝23 x 2； (2)当a ＜x ≤2a 时，y ＝21·2a ·3a －21(2a －x )·3(2a －x )＝－23x 2＋23ax －3a 2．所以，y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222三、解答题17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．解析：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30．设客房租金总收入y 元，y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2 ＋8 000(0＜x ＜30)，当x ＝10时，y max ＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.18．参考答案：设从B 市调运x (0≤x ≤6)台到C 市，则总运费y ＝300x ＋500(6－x )＋400(10－x )＋800［8－(6－x )］＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)． (1)若200x ＋8 600≤9 000，则x ≤2．y ＝1－x 2， y ＝x ＋m所以x ＝0，1，2，故共有三种调运方案．(2)由y ＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)可知，当x ＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．19．参考答案：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 均具有单调性不符，所以，在a ≠0的前提下，可选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．把表格提供的三对数据代入该解析式得到：150250500 62108110100 1215050500 2=++=++=++c b a c b a c b a 解得a ＝2001，b ＝－23，c ＝2425．所以，西红柿种植成本Q 与上市时间t 的函数关系是Q ＝2001t 2－23t ＋2425．(2)当t ＝－2001223－⨯＝150天时，西红柿种植成本Q 最低为 Q ＝2001×1502－23×150＋2425＝100(元/100 kg )．20．参考答案：高为88 cm ，宽为55 cm ．解析：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，λx 2＝4 840，设纸张面积为S ，有S ＝(x ＋16)( λx ＋10)＝λx 2＋(16 λ＋10)x ＋160，将λ＝2840 4x 代入上式可得，S ＝10(x ＋x 48416⨯)＋5 000＝10(x －x88)2＋6 760，所以，x ＝x 88，即x ＝88 cm 时，宽为λx ＝55 cm ，所用纸张面积最小．期末测试参考答案一、选择题1．B 解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}．2．C 3．C 4．C 5． A 6．B 7．C 8．D9．D 解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b⎪⎭⎫ ⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．10．C 解析：∵ 4x ＞0，∴0≤16－ 4x ＜16，∴x 416－∈[0，4)．11．A 解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确．12．A13．D 14．B解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，x －11是一个绝对值很大的负数，从而保证 f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，x－11可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0．故正确选项是B ．二、填空题15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)．17．参考答案：[4，＋∞)．18．参考答案：(－8，＋∞)．三、解答题19．参考答案：(1)由⎩⎨⎧0303＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3， ∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)．(2)函数f (x )是偶函数，理由如下：由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝lg (3－x )＋lg (3＋x )＝f (x )，∴ 函数f (x )为偶函数．20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩⎨⎧1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a 因为a ＞2，所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2(x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ；另外，y 2＝(a －2)x －2(x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ．所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩⎨⎧0022＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)． 21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为50000 3600 3－＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车． (2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛50000 3100－－x (x －150)－50000 3－x ×50＝－501(x －4 050)2＋307 050．所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050．当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。

北师大版高中数学必修1第一单元试卷及答案

高一年级数学第一单元质量检测试卷一.填空题（每题5分，共50分）1.集合A={}|12x x -≤≤，B={}|1x x <，则()R A C B ⋂=( )A {}|1x x >B {}|1x x ≥C {}|12x x <≤D {}|12x x ≤≤2.集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =（）A {1,2}B {0,1,2} C{x|0≤x<3} D {x|0≤x ≤3}3．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A B =IA ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<4.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N =5.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（） A.{}|11x x -≤≤ B. {}|0x x ≥ C. {}|01x x ≤≤ D. ∅6.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A=( )A {1,3}B {3,7,9}C {3,5,9}D {3,9}7.已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=( )A (0,2)B [0,2]C {0,2}D {0,1,2}8.已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=( ) A }{13X X -<< B }{13X X -≤≤ C }{13X X X <->或 D }{13X X X ≤-≥或9．已知全集U=R ，集合}{220A x x x =->，则U C A =( )10.若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0.A ．{x ∣0≤x ≤2} B.{x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2} D.{x ∣x ≤0或x ≤2}二.填空题（每题5分，共25分）11．用适当的符号填空（1{}()(){}|2,1,2____,|1,0____x x x y y x φ≤=+，（2）{}32|_______52+≤+x x ，（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭ 12．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或,则___________,__________==b a . 13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.14．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .15.设集合A={-1,1,3}，B={a +2,2a +4},A ∩B={3}，则实数a =________.三.解答题(共75分)16．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求(12分)17．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围.(13分)18．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=，满足,A B φ≠，,A C φ=求实数a 的值.(12分)19．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值.(12分)20．已知集合}023|{2=+-=x ax x A ,（1）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（2）若A 至少有一个元素，求a 的取值范围.(12分)21.已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B={x|2<x+1≤4}，设集合}0|{2>++=c bx x x C ，且满足φ=⋂⋃C B A )(，R C B A =⋃⋃)(，求b 、c 的值.(14分)参考答案：1.D 解析：本题考查集合的基本运算,{}{}21|,1|≤≤=⋂≥=x x B C A x X B C R R2.B ．解析：P={0,1,2}，M=[-3,3]，因此P ∩M={0,1,2}3.D ．解析：{|21}{|02}{|01}A B x x x x x x =-<<<<=<<I I4.C 解析：由集合的子、交、并集概念易知{2,3}M N =，故选C ．5.C 解析:考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(二)

单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 解析：易知y ＝x 和y ＝x 3满足题设条件．答案：A2．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5（4x －3）>0，4x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧0<4x －3<1，4x －3>0，解得34<x <1. 答案：A3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( ) A.14 B ．－14C ．2D ．－2 解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14. 答案：A 4．函数y ＝2|x |的大致图象是( )解析：易知函数y ＝2|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，在区间(0，＋∞)上是增函数，观察图象知B 选项正确．答案：B5．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0，1)C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞) 解析：画f (x )＝|log 12x |的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．答案：D6．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( )A ．－49B ．－94 C.49 D.94解析：原式＝94＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－2＝94－916＋916＝94. 答案：D7．已知函数f (x )＝e －x －e x x，则其图象( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y ＝x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (－x )＝e x －e －x －x＝e －x －e x x ＝f (x )，所以函数f (x )的偶函数，其图象关于y 轴对称．答案：D8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：依据给出的分段函数，分别求出f (－2)与f (log 212)的值，然后相加即可．∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.答案：C9．已知方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程2·2x ＋1－9·2x。

高中数学必修1第一单元试卷及答案

高一年级数学第一单元质量检测试题参赛试卷（满分150分时间90分钟）一.填空题（每题5分；共50分）1.集合A={}|12x x -≤≤；B={}|1x x <；则()R A C B ⋂=( )A {}|1x x >B {}|1x x ≥C {}|12x x <≤D {}|12x x ≤≤2.集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤；则P M =（）A {1；2}B {0；1；2} C{x|0≤x<3} D {x|0≤x ≤3}3．若集合{}|21A x x =-<<；{}|02B x x =<<；则集合A B =A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<4.已知集合M={1；2；3}；N={2；3；4}；则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N = {}A=|1x x x R ≤∈，；{}2B=|y y x x R =∈，；则A B ⋂=（）A.{}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅6.已知A ；B 均为集合U={1；3；5；7；9}的子集；且A ∩B={3}；u B ∩A={9}；则A=( )A {1；3}B {3；7；9}C {3；5；9}D {3；9}{||2,}A x x x R =≤∈}；{|4,}B x x Z =≤∈；则A B ⋂=( )A (0；2)B [0；2]C {0；2}D {0；1；2}8.已知全集U=R ；集合M={x||x-1|≤2}；则U C M=( ) A }{13X X -<< B }{13X X -≤≤ C }{13X X X <->或 D }{13X X X ≤-≥或9．已知全集U=R ；集合}{220A x x x =->；则U C A =( )10.若集合}1,1{-=A ；}1|{==mx x B ；且A B A =⋃；则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0.A ．{x ∣0≤x ≤2} B.{x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2} D.{x ∣x ≤0或x ≤2}题（每题5分；共25分）11．用适当的符号填空（1{}()(){}|2,1,2____,|1,0____x x x y y x φ≤=+；（2）{}32|_______52+≤+x x ；（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭12．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或则___________,__________==b a .13．某班有学生55人；其中体育爱好者43人；音乐爱好者34人；还有4人既不爱好体育也不爱好音乐；则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.14．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =；则x = .15.设集合A={-1；1；3}；B={a +2；2a +4}；A ∩B={3}；则实数a =________.三.解答题(共75分)16．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求(12分) 17．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=；其中x R ∈；如果AB B =；求实数a 的取值范围.(13分) 18．集合{}22|190A x x ax a =-+-=；{}2|560B x x x =-+=；{}2|280C x x x =+-=；满足,A B φ≠；,A C φ=求实数a 的值.(12分)19．设U R =；集合{}2|320A x x x =++=；{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(；求m 的值.(12分)20．已知集合}023|{2=+-=x ax x A ；（1）若A 中至多有一个元素；求a 的取值范围；（2）若A 至少有一个元素；求a 的取值范围.(12分)21.已知集合}02|{2≤-+=x x x A ；B={x|2<x+1≤4}；设集合}0|{2>++=c bx x x C ；且满足φ=⋂⋃C B A )(；R C B A =⋃⋃)(；求b 、c 的值.(14分)参考答案：1.D 解析：本题考查集合的基本运算；{}{}21|,1|≤≤=⋂≥=x x B C A x X B C R R2.B ．解析：P={0；1；2}；M=[-3；3]；因此P ∩M={0；1；2}3.D ．解析：{|21}{|02}{|01}A B x x x x x x =-<<<<=<<4.C 解析：由集合的子、交、并集概念易知{2,3}MN =；故选C ． 5.C 解析:考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。

高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套

高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1(x ∈Z )与y ＝2x －1(x ∈Z )3．设M ＝{1,2,3}，N ＝{e ，g ，h }，从M 至N 的四种对应方式如下图所示，其中是从M 到N 的映射的是( )4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{2}B ．{x |x ≤1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12 D ．{x |x ≤1或x ＝2}5．函数f (x )＝x|x |的图象是( )6．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈0,1]7．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3) 8．已知反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )9．函数f (x )是定义在0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 10．若函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时，有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )－f (－x )>011．已知函数f (x )是定义在－5,5]上的偶函数，f (x )在0,5]上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1)12．函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．0,4]B ．2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (f (3))的值等于________．14．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________.16．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{x ∈R |x ≠0}； ③在(0，＋∞)上为增函数．老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5x ≤0，x ＋50<x ≤1，－2x ＋8x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是偶函数，且x ≤0时，f (x )＝1＋x1－x ，求：(1)f (5)的值； (2)f (x )＝0时x 的值； (3)当x >0时f (x )的解析式．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋a x，且f (1)＝10. (1)求a 的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是二次函数，且f (0)＝8，f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1. (1)求f (x )的解析式；(2)求证：f (x )在区间1，＋∞)上是减函数．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.答案1．B 解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B.2．C 解析：A 中两个函数定义域不同；B 中y ＝x 2－1＝|x |－1，所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选C.解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．C 解析：A 选项中，元素3在N 中有两个元素与之对应，故不正确；同样B ，D 选项中集合M 中也有一个元素与集合N 中两个元素对应，故不正确；只有C 选项符合映射的定义．4．C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.5．C 解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，所以其图象为C.6．B 解析：A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C ，D 选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．7．D 解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D. 8．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1k<0，排除C.9．D 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，故选D.10．C 解析：f (x )为奇函数，当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1， ∴f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.11．D 解析：易知f (x )在－5,0]上单调递增，在0,5]上单调递减，结合f (x )是偶函数可知，故选D.12．C 解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a≥2，∴0<a ≤14，当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1为减函数，符合题意，故选C.13．2 解析：由图可知f (3)＝1，∴f (f (3))＝f (1)＝2. 14．2，＋∞) 解析：∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴实数m 的取值范围为2，＋∞)．15．－1 解析：由题意知，f (－x )＝－f (x )，即x 2－a ＋1x ＋a －x ＝－x 2＋a ＋1x ＋a x，∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 16．y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2x(答案不唯一)解析：可结合条件来列举，如：y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >01＋x ，x <0或y ＝－2x.解题技巧：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，如从基本初等函数中或分段函数中来找．17．解：∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上得，m 的取值范围为{m |m ≥－1}． 18．解：(1)∵32>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×32＋8＝5， ∵0<1π<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)如图：在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )的最大值为6. 19．解：(1)f (5)＝f (－5)＝1－51－－5＝－46＝－23.(2)当x ≤0时，f (x )＝0即为1＋x1－x ＝0，∴x ＝－1，又f (1)＝f (－1)，∴f (x )＝0时x ＝±1.(3)当x >0时，f (x )＝f (－x )＝1－x 1＋x ，∴x >0时，f (x )＝1－x1＋x .20．解：(1)f (1)＝1＋a ＝10，∴a ＝9.(2)∵f (x )＝x ＋9x ，∴f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)设x 2>x 1>3，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋9x 2－x 1－9x 1＝(x 2－x 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫9x 2－9x1＝(x 2－x 1)＋9x 1－x 2x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2－9x 1x 2，∵x 2>x 1>3，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>9，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )＝x ＋9x在(3，＋∞)上为增函数．21．(1)解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c ，又f (0)＝8，∴c ＝8. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ， ∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c ) ＝2ax ＋(a ＋b )．结合已知得2ax ＋(a ＋b )＝－2x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，a ＋b ＝1.∴a ＝－1，b ＝2.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋8. (2)证明：设任意的x 1，x 2∈1，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋8)－(－x 22＋2x 2＋8) ＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)．又由假设知x 2－x 1>0，而x 2>x 1≥1， ∴x 2＋x 1－2>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在区间1，＋∞)上是减函数． 22．解：(1)由题意可知f (－x )＝－f (x )， ∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2，∴b ＝0.∴f (x )＝ax1＋x2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴a ＝1. ∴f (x )＝x1＋x2.(2)f (x )在(－1,1)上为增函数．证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )，又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13.∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 解题技巧：在求解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的奇偶性与单调性将“f ”符号脱掉，转化为解关于参数不等式(组)．测试卷二(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∩⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥2，－x 2＋3x x <2，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．44．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．1或－1或05．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32，满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－36．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34<f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)7．函数y ＝x |x |，x ∈R ，满足( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是偶函数又是增函数C ．既是奇函数又是增函数D ．既是偶函数又是减函数8．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( )A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}9．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，若f x ≥g x ，f x ，若f x <g x .则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图：则F (x )＝f (x )·g (x )的图象可能是下图中的( )12．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．14．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 15．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；④f (－x )·f (x )<0.16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A 为方程－x 2－2x ＋8＝0的解集，集合B 为不等式ax －1≤0的解集． (1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}， (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分) 函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈3,5]．(1)判断单调性并证明； (2)求最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax －a 在区间0,1]上有最大值2，求实数a 的值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的值满足f (x )>0(当x ≠0时)，对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )·f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0<x <1时，f (x )∈(0,1)．(1)求f (1)的值，判断f (x )的奇偶性并证明； (2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在2，＋∞)上的单调性．答案1．D 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.2．D 解析：∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝4.3．B 解析：f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (－1)＋f (4)＝3，故选B.4．D 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}．则m ＝0或－1或1.解题技巧：涉及到B ⊆A 的问题，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．5．B 解析：f (f (x ))＝cf x 2fx ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3. 6．C 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，∴f (a2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 解题技巧：根据函数的单调性，比较两个函数值的大小，转化为相应的两个自变量的大小比较．7．C 解析：由f (－x )＝－f (x )可知，y ＝x |x |为奇函数．当x >0时，y ＝x 2为增函数，而奇函数在对称区间上单调性相同．8．C 解析：由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )＜1即f (x )<f (－3)，∴x <－3.综上知，故选C.9．B 解析：作出F (x )的图象，如图实线部分，则函数有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.10．A 解析：若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)．又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， ∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.11．A 解析：由图象知y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数，∴F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 不正确．在x ＝0的左侧附近，∵f (x )>0，g (x )<0，∴F (x )<0，在x ＝0的右侧附近，∵f (x )<0，g (x )>0，∴F (x )<0.故选A. 12．C 解析：∵x 1<0且x 1＋x 2>0，∴－x 2<x 1<0. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－x 2)>f (x 1)．而f (x )又是偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)．13．{－3,2} 解析：∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．14．(－∞，0] 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 15．①②③ 解析：令x ＝y ＝0得，f (0)＝0；令x ＝2，y ＝1得，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)；令x ＝y ＝12得，f (1)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0.16.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －12，∵函数在(1,2)上单调， ∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.解题技巧：注意分单调递增与单调递减两种情况讨论． 17．解：(1)由－x 2－2x ＋8＝0，解得A ＝{－4,2}．当a ＝1时，B ＝(－∞，1]． ∴A ∩B ＝{}－4. (2)∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a －1≤0，2a －1≤0，∴－14≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.18．解：(1)∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}， (∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)由题意知，∵A ⊆C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥7，a －4≤3，解得3≤a ≤7，即a 的取值范围是3,7]．19．解：(1)f (x )在3,5]上为增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈3,5]且x 1<x 2. ∵ f (x )＝2x －1x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴ f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 2＋1 ＝3x 2＋1－3x 1＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在3,5]上为增函数． (2)根据f (x )在3,5]上单调递增知，f (x )]最大值＝f (5)＝32， f (x )]最小值＝f (3)＝54.解题技巧：(1)若函数在闭区间a ，b ]上是增函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数在闭区间a ，b ]上是减函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．20．解：由f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ，得函数f (x )的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，f (x )在0,1]上单调递减，∴f (0)＝2，即－a ＝2，∴a ＝－2.②当a >1时，f (x )在0,1]上单调递增，∴f (1)＝2，即a ＝3.③当0≤a ≤1时，f (x )在0，a ]上单调递增，在a,1]上单调递减， ∴f (a )＝2，即a 2－a ＝2，解得a ＝2或－1与0≤a ≤1矛盾．综上，a ＝－2或a ＝3.21．解：(1)令x ＝y ＝－1，f (1)＝1.f (x )为偶函数．证明如下：令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)，∵f (－1)＝1，∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．设0<x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2f (x 2)＝f (x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2.∵0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，f (x 2)>0，∴Δy >0，∴f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝f (3)]3， ∴9＝f (3)]3，∴f (3)＝39， ∵f (a ＋1)≤39，∴f (a ＋1)≤f (3)， ∵a ≥0，∴a ＋1≤3，即a ≤2，综上知，a 的取值范围是0,2]．22．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，而f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴ f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在2，＋∞)上单调递增．解题技巧：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的判断．本题中由于函数解析式中含有参数，所以在判断函数奇偶性时需要根据参数的不同取值进行分类讨论；第(2)问中则需要根据f (1)＝2先确定参数的值，再根据函数单调性的定义判断函数的单调性．。

高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

新人教版高中数学必修第一册第一章章末检测试卷

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14.设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是_{_a_|_－__3_<_a_<_－__1_}_.
借助数轴可知aa<＋－8>15，， ∴－3<a<－1.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
分，有选错的得0分)
9.设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是
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四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10 分 ) 已知全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0} ， B ＝ {x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}.求 (1)A∪(B∩C)；
20.(12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B)；
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∵9∈(A∩B)， ∴2a－1＝9或a2＝9， ∴a＝5或a＝3或a＝－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，所以a＝5或a＝－3.

(好题)高中数学必修一第一单元《集合》检测(含答案解析)

一、选择题1．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃2．定义集合运算{},,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（）A ．16B ．15C ．14D ．83．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知区间1[,]3A m m =-和3[,]4B n n =+均为[]0,1的子区间，定义b a -为区间[],a b 的长度，则当A B 的长度达到最小时mn 的值为( )A ．0B ．112C ．0或112D ．0或15．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（） A ．77n = B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥6．设U 为全集，()UB A B =，则A B 为（）A ．AB ．BC ．UB D ．∅7．设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B =∅，则a 的取值范围为（）A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤8．已知全集为R ，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭∣，则A ∩（∁R B ）的子集个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．89．下列结论正确的是（） A ．若a b <且c d <，则ac bd <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a ≠，则12a a +≥ D ．若0a b <<，集合1|A x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，1|B x x b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⊇10．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．211．已知集合{}{}21239A B x x ==<，，，，则A B =（）A ．{}210123--，，，，，B ．{}21012--，，，， C ．{}123，， D ．{}12， 12．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R A C B =（）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞二、填空题13．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________14．我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________15．已知集合{}2|20A x x x x R =--<∈，，集合{}|21B x x x R =-∈≥，，则A B =________.16．已知点H 是正三角形ABC 内部一点，HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆的面积值构成一个集合M ，若M 的子集有且只有4个，则点H 需满足的条件为________. 17．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）18．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为_____． 19．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]AB =-R，[1,2]BA =R，()()[3,5]A B =R R ，则A =________20．记[]x 为不大于x 的最大整数，设有集合[]{}{}2|2=|2A x x x B x x =-=<，,则A B =_____. 三、解答题21．设集合{}{}222280,430A x x x B x x ax a =+-<=-+= （1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使A B ϕ⋂≠成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22．已知集合4231a A a a ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}12B a a =+≤，{3}C x m x m =-<≤+（1）求AB ；（2）若()C AC ⊆，求m 的取值范围.23．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R ．（1）当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．24．已知集合{}2|280A x x x =+-≤，[)1,B =-+∞，设全集为U =R .（1）求()UA B ∩；（2）设集合(1,1)C a a =-+，若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围. 25．已知集合{|123}A x a x a =+≤≤+，{}2|7100B x x x =-+-≥. （1）已知3a =，求集合()R A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的范围． 26．设全集U =R .（1）解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈；（2）记A 为（1）中不等式的解集，B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，若()U C A B ⋂恰有三个元素，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足，当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<，当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a≥-，又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<，综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集.2．B解析：B 【分析】根据新定义得到{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=其真子集个数为：42115-= 故选：B本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.3．C解析：C 【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误; 对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ．【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.4．C解析：C 【分析】由于这两个集合都是区间[]0,1的子集，根据区间长度的定义可得当103314m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或10m n =⎧⎨=⎩时AB 的长度最小，解出方程组即可得结果.【详解】由于这两个集合都是区间[]0,1的子集，根据区间长度的定义可得当103314m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或10m n =⎧⎨=⎩时A B 的长度最小，解得1314m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10m n =⎧⎨=⎩，即112mn =或0，故选C.本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义，充分理解区间长度的定义是解题的关键，属于中档题.5．A解析：A 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解. 【详解】由题意，集合U 为全集，()UBA B =，如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A B =∅，故选D.本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】解集绝对值不等式求得,A B ，结合A B =∅求得a 的取值范围.【详解】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞，由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+. 当0a ≤时，B =∅，AB =∅，符合题意.当0a >时，由于A B =∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤.综上所述，a 的取值范围是1a ≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.8．D解析：D 【分析】解不等式得集合B ，由集合的运算求出()R A B ，根据集合中的元素可得子集个数．【详解】10{|21}2x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，{|2R B x x =≤-或1}x ≥，所以()R A B {2,1,2}=-，其子集个数为328=．故选：D ．【点睛】本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．9．C解析：C 【分析】通过举例和证明的方式逐个分析选项. 【详解】A ：取5,3,6,1a b c d =-==-=，则30,3ac bd ==，则ac bd >，故A 错误；B ：取3,1,0a b c ===，则22ac bc =，故B 错误；C：21122a a a a ⎫+=+=+≥成立，故C 正确；D ：因为0a b <<，所以11a b>，则A B ，故D 错误；故选：C. 【点睛】本题考查不等关系和等式的判断，难度一般.判断不等关系是否成立，常用的方法有：（1）直接带值验证；（2）利用不等式的性质判断；（3）采用其他证明手段.（如借助平方差、完全平方公式等）.10．A解析：A 【解析】【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程．根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-，综上6a =-或2-，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．D解析：D 【解析】【分析】先求出集合B ，然后与集合A 取交集即可. 【详解】由题意，{}{}2933B x x x x =<=-<<，则{}1,2A B =.故答案为D. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题.12．C解析：C【解析】【分析】化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出．【详解】集合A＝{y|y＝2x﹣1}＝（﹣1，+∞），B＝{x|x≥1}＝[1，+∞），则∁R B＝（﹣∞，1）则A∩（∁R B）＝（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．【分析】由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣解析：12 (,] 23【分析】由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10 {120 311aaa-≤--≤＜，解得12＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题14．【分析】当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端由此能求出的长度的最小值【详解】由题的长度为的长度为当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端故的长度的最小值是故答案为:【点睛】本题考查交解析：16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12, 当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端, 故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=, 故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用15．【分析】先解一元二次不等式得集合A 再解含绝对值不等式得集合B 最后求交集得结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查解一元二次不等式解含绝对值不等式以及集合交集考查基本分析求解能力属基础题解析：(]1,1-【分析】先解一元二次不等式得集合A ，再解含绝对值不等式得集合B,最后求交集得结果.【详解】因为{}2|20(1,2)A x x x x R =--<∈=-，,{}|21(,1][3,)B x x x R =-∈=-∞+∞≥，，所以A B =(]1,1-故答案为：(]1,1-【点睛】本题考查解一元二次不等式、解含绝对值不等式以及集合交集，考查基本分析求解能力，属基础题.16．在的三条高上且不为重心【分析】由题意知若集合的子集只有个则集合有个元素可得出三个三角形的面积有两个相等分析点的位置即可得出结论【详解】若集合的子集只有个则集合有个元素是等边内部一点三个三角形的面积值解析：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心【分析】由题意知，若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，可得出HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有两个相等，分析点H 的位置，即可得出结论.【详解】若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，M 是等边ABC ∆内部一点， HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积值构成集合M ，故HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有且只有两个相等.若HAB ∆，HBC ∆的面积相等，则点H 在边AC 的高上且不为ABC ∆的重心；若HBC ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边AB 的高上且不为ABC ∆的重心；若HAB ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边BC 的高上且不为ABC ∆的重心. 综上所述，点H 在等边ABC ∆的三条高上且不为ABC ∆的重心.故答案为：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心【点睛】本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．①③④【分析】根据已知中复活集的定义结合韦达定理以及反证法依次判断四个结论的正误进而可得答案【详解】对于①故①正确；对于②不妨设则由韦达定理知是一元二次方程的两个根由可得或故②错；对于③不妨设中由得解析：①③④【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于①，1==-，故①正确；对于②，不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由>0∆，可得0t <或4t >，故②错；对于③，不妨设A 中123n a a a a <<<<，由1212n n n a a a a a a na =+++<得121n a a a n -<，当2n =时，即有12a <，∴11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确；对于④，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{}1,2,3，当4n ≥时，由()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯-，即有()1!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()1!n n >-，事实上()()()()221!1232222n n n n n n n -≥--=-+=--+>，矛盾， ∴当4n ≥时不存在“复活集”A ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解“复活集”的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.18．96【分析】对分三种情况讨论求出X1+X2+X3取最小值39X1+X2+X3取最大57即得解【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x≤15}＝{123456789101112131415}当A1＝{解析：96【分析】对123,,A A A 分三种情况讨论，求出X 1+X 2+X 3取最小值39，X 1+X 2+X 3取最大57，即得解.【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57，∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96．【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．【分析】根据条件可得结合的意义可得集合【详解】因为集合是实数集的子集若则但不满足所以因为所以所以有又因为表示集合的元素去掉集合中的元素表示A 集合和B 集合中的所有元素所以把中的元素去掉中元素即为所求的解析：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞【分析】根据条件()()[3,5]A B =R R 可得()(),35,A B =-∞+∞，结合[1,2]B A =R 的意义，可得集合A .【详解】因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若A B =∅,则[2,0]A B A =-=R ，[1,2]BA B ==R ，但不满足()()[3,5]A B =R R ，所以A B ⋂≠∅. 因为()()[3,5]A B =R R ,所以()()()[3,5]AB A B ==R R R ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.又因为[1,2]B A =R 表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，()(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()(),35,A B =-∞+∞中的元素去掉[1,2]B A =R 中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为(,1)(2,3)(5,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.20．【分析】求即需同时满足A 集合和B 集合的x 的取值范围先根据比较容易得出解集再将B 集合的解集代入A 集合中判断出可以成立的值即可得【详解】当时当时不满足；当时满足；当时不满足；当时满足；即同时满足和的值有解析：{-【分析】求A B 即需同时满足A 集合和B 集合的x 的取值范围,先根据{}{}=|2=|22B x x x x <-<<,比较容易得出解集, 再将B 集合的解集代入A 集合中,判断出可以成立的值,即可得A B【详解】 {}{}=|2=|22B x x x x <-<<当22x -<<时,[]2,1,0,1x =--,当[]2x =-时,[]2200x x x +==⇒=,不满足[]2x =-；当[]1x =-时,[]2211x x x +==⇒=±,1x =-满足[]1x =-；当[]0x =时,[]222x x x +==⇒=,不满足[]0x =；当[]1x =时,[]223x x x +==⇒=x []1x =；即同时满足[]22x x -=和2x <的x 值有则A B ={-故答案为：{- 【点睛】本题考查了集合的计算,和取整函数的理解,针对两个集合求交集的情况,可先对较简单的或者不含参数的集合求解,再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.三、解答题21．（1）4233a -<<；（2）存在，42a -<<. 【分析】（1）x A ∈是x B ∈的必要条件可转化为B A ⊆，建立不等式求解即可；（2）假设A B ⋂≠∅，建立不等关系，有解则存在，无解则不存在.【详解】 {}42A x x =-<<，()(){}30B x x a x a =--=（1）由已知得：B A ⊆ 42432a a -<<⎧∴⎨-<<⎩ 4233a ⇒-<<，即实数a 的取值范围4233a -<<，（2）假设存在a 满足条件，则42a -<<或432a -<<，42a ∴-<<即存在42a -<<使A B ⋂≠∅.【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了必要条件，属于中档题. 22．（1）(1,1]A B ⋂=-；（2）1m .【分析】（1）先利用分式不等式的解法和绝对值不等式的解法化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.（2）根据()C A C ⊆，得到C A ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论求解.【详解】（1）因为集合423(1,5]1a A aa ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，{}12[3,1]B a a =+≤=-，所以(1,1]A B ⋂=-.（2）因为()C A C ⊆，所以C A ⊆，①当3m m -≥+即32m ≤-时，C =∅，符合题意， ②当3m m -<+即32m >-时，则135m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得132m -<≤，综上：1m【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用以及分式不等式和绝对值不等式的解法，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}；(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}；（2）{4a a <-或11}2a -≤≤．【分析】（1）由a ＝2，得到A ＝{x |1≤x ≤7}，然后利用集合的基本运算求解.（2）由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ．然后分A ＝∅，A ≠∅两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．（2）∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得12312234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得－1≤a ≤12综上，a 的取值范围是{4a a <-或 11}2a -≤≤．【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.24．（1）()[)4,1U AB =--（2）[)3,-+∞【分析】（1）先化简集合A ，再求()U A B ∩；（2）先求出[)4,A B =-+∞，得14a -≥-，解不等式即得解.【详解】（1）由题得[]4,2A =-，[)1,B =-+∞，(,1)U B =-∞-，所以()[)4,1U A B =--；（2）由题得[)4,AB =-+∞，若C A B ⊆⋃，则14a -≥-，所以3a ≥-. 所以a 的取值范围是[)3,-+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．（1）(){|24}R A B x x ⋂=≤<（2）1a =【分析】化简集合B ，（1）计算3a =时集合A ，根据补集与交集的定义；（2）由题意得出A ≠∅，根据包含关系，列出关于a 的不等式，求出实数a 的取值范围．【详解】集合{|123}A x a x a =+≤≤+ {}{}22|7100|7100{|25}B x x x x x x x x =-+-≥=-+≤=≤≤；（1）当3a =时，{|49}A x x =≤≤{| 4 R A x x ∴=<或9}x >则(){|24}R A B x x ⋂=≤<（2）因为B A ⊆，{|25}B x x =≤≤，所以A ≠∅，则1232a a a +≤+⇒≥- 并且由B A ⊆，得12235a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得1a = 综上，实数a 的取值范围是1a =．【点睛】本题主要考查了交集，并集的运算以及根据包含关系求参数范围，属于中档题. 26．（1）见解析（2）10a -<≤【分析】（1）通过讨论a 的取值范围，求出不等式的解集即可.（2）解不等式组求得集合B ，通过讨论a 的范围求出A 的补集，再根据()U C A B ⋂恰有三个元素，建立不等式求解.【详解】（1）因为|1|10()x a a R -+->∈，所以|1|1->-x a ，当10a -< 即1a > 时，解集为R ，当10a -= 即1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ，当10a -> 即1a < 时，11->-x a 或11-<-x a ，所以2x a >-或x a <，所以解集为{|2x x a >- 或}x a <.综上：1a > 时，解集为R ；1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ；1a < 时，解集为{|2x x a >- 或}x a <.（2）因为2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩，所以23510410x x x x -⎧-≤⎪+⎨⎪-+≥⎩，所以()()29404210x x x x x ⎧⎛⎫+-≤≠-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+≥⎩，解得942x -<≤ . 因为B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，所以{}3,2,1,0,1,2,3,4B =--- ，当1a > 时，U A =∅ 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a = 时，{}=1U A 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a < 时，{}=≤≤-|2U A x a x a ，21a -> ，因为()U C A B ⋂恰有三个元素，所以12224a a a a a <⎧⎪--≥⎨⎪--<⎩，解得10a -<≤ .综上：a 的取值范围是10a -<≤.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式，分式不等式及一元二次不等式的解法和集合的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

人教版数学高中A版必修一单元测验卷全册(附答案)

第一章单元检测题时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)2．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,6}，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,6} B ．{0,6} C ．{0,1}D ．{0,1,6}3．已知f (x )＝ax ＋bx (a ，b 为常数)，且f (1)＝1，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不能确定4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (3)＝( )A ．3B ．－3C ．0D ．65．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，f (1)＝2，则f (3)等于( ) A ．10 B ．6 C ．12D ．166．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)7．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．π8．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m ≤4 D ．m ≤410．y ＝1x －2＋1在[3,4]的最大值为( ) A ．2 B.32 C.52D ．411．奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，函数f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝－x (1－x ) B ．f (x )＝x (1＋x ) C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)12．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪ (0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知f (2x ＋1)＝x 2，则f (5)＝________。

2019学年人教版高中数学必修一：第一章单元质量评估1 Word版含答案

（人教版）精品数学教学资料第一章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．∅4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或35．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.1396．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x7．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域是( )A ．[－4,4]B ．[－2,2]C ．[－4，－2]D ．[2,4]9．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )10．已知函数f (x )＝12x 2－kx －8在区间[2,8]上具有单调性，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，2]∪[8，＋∞)D ．∅11．已知某种产品的购买量y (单位：吨)与单价x (单位：元)之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，若一客户购买400吨，则单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元12．对于任意两个正整数m ，n 定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn .则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是( )A ．10B ．15C ．16D ．18二、填空题(每小题5分，共20分) 13．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________．答案1．C 先求集合A 关于全集U 的补集，再求它与集合B 的并集即可．(∁U A )∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．D 只有选项D 中对定义域内任意x 都有唯一的y 值与之对应． 3．B 根据题意知集合M 是函数y ＝x 2－1，x ∈R 的值域[－1，＋∞)，集合N 是函数y ＝2－x 2的定义域[－2，2]，所以M ∩N ＝[－1，2]．4．B 依据并集的概念及A ∪B ＝A 可知，m ＝3或m ＝m ，由m ＝m 解得m ＝0或m ＝1.当m ＝0或m ＝3时，符合题意；当m ＝1时，不满足集合中元素的互异性，因此应舍去．综上可知m ＝0或m ＝3.5．D 由题意得f (3)＝23，从而f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139. 6．C 将选项中的函数逐个代入f (2x )＝2f (x )去验证．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )，故A ，B ，D 满足条件．7．A 当f (0)＝1时，f (1)的值为0或－1都能满足f (0)>f (1)；当f (0)＝0时，只有f (1)＝－1满足f (0)>f (1)；当f (0)＝－1时，没有f (1)的值满足f (0)>f (1)，故有3个．8．B 由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，得－2≤x ≤2.9．B 取h ＝H 2，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的12，故选B.10．C f (x )＝12x 2－kx －8的单调增区间是[k ，＋∞)，单调减区间是(－∞，k ]，由f (x )在区间[2,8]上具有单调性可知[2,8]⊆[k ，＋∞)或[2,8]⊆(－∞，k ]，所以k ≤2或k ≥8.11．C 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝800k ＋b ，2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000. ∴y ＝－10x ＋9 000，当y ＝400时，得x ＝860.12．B 当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ＋n ＝12，故对应的元素为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，…，(10,2)，(11,1)，共11个；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn ＝12，故对应的元素为(1,12)，(3,4)，(4,3)，(12,1)，共4个．故集合M 中的元素共15个．13．{x |x ≥－1，且x ≠0}解析：求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，本小题涉及分式，要注意分母不能等于0，偶次根式被开方数是非负数．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0得函数的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}．14．2解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2. 15．－3或38解析：f (x )的对称轴为x ＝－1，当a >0时， f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3.———————————————————————————— 16．若函数f (x )同时满足①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x .(2)f (x )＝x 2.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号)．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝3－x2，x∈R，且x≠0}，集合B是函数y＝x－2＋25－x的定义域，集合C＝{x|5－a<x<a}．(1)求集合A∪(∁U B)(结果用区间表示)；(2)若C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性和单调区间(不要求证明)．答案16.(3)解析：①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数，(1)是奇函数但不是定义域上的减函数，(2)是偶函数而且也不是定义域上的减函数，只有(3)既是奇函数又是定义域上的减函数．17．解：(1)由已知得 A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2≤x <5}， ∴∁U B ＝{x |x <2，或x ≥5}，∴A ∪(∁U B )＝{x |x <3，或x ≥5}＝(－∞，3)∪[5，＋∞)． (2)由(1)知A ∩B ＝{x |2≤x <3}，当C ＝∅时，满足C ⊆(A ∩B )，此时5－a ≥a ，解得a ≤52；当C ≠∅时，要满足C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧5－a <a ，5－a ≥2，a ≤3，解得52<a ≤3.综上可得a ≤3.18．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.(2)图象如图所示：(3)函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，它既不是奇函数也不是偶函数，单调减区间为(－∞，1)，单调增区间为[1，＋∞)．————————————————————————————19．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1，(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. (12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．答案19.解：(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.20．解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2)结合f (x )的图象(图略)可知，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围为(1,3]．————————————————————————————21．(12分)设f(x)是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)＝1，且f(2a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．22. (12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．答案21.解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)⇒f(0)＝0.(2)证明：令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．(3)令x＝y＝1，则f(1＋1)＝f(2)＝f(1)＋f(1)＝2，∴f(2a)>f(a－1)＋2⇔f(2a)>f(a－1)＋f(2)⇒f(2a)>f(a＋1)．又因为f(x)是R上的增函数，所以2a>a＋1⇒a>1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．22．解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，代入(2,3)得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.(2)对称轴为x ＝1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立，所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝－1，所以m <－1.。

(完整word版)人教版高中数学必修一第一章单元测试(含

第3题图高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷一、选择题(将选择题的答案填入下面的表格.本大题共10小题,每小题5分,共50分。

）题号12345678910答案1、下列各组对象中不能构成集合的是( )A、佛冈中学高一（20)班的全体男生B、佛冈中学全校学生家长的全体C、李明的所有家人D、王明的所有好朋友（）Ａ．｛１,２,３，４，５｝Ｂ．{２,３，４，５｝Ｃ．｛２,３，４｝，则图中的阴影部分表示的集合为（）的值是（）A、3B、1 C. 0 D。

-18、下列四个图像中，不可能是函数图像的是（ )9、设f(x)是R上的偶函数,且在［0，+∞)上单调递增，则f(—2）,f题号一二151617181920总分得分10、在集合{a,b，c，d}上定义两种运算和如下：A．a B．b C．c D．d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）的定义域为在区间［0，4]的最大值是B是 .16上是减函数。

其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上)。

三、解答题（本大题6小题，共80分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15、（本题满分12分)已知集合a的取值范围．16、(本题满分1217、（本题满分1418、 (本题满分14分）已知函（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3)写出该函数的值域.19、（本题满分1420、（本题满分14高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷参考答案一、选择题题号12345678910答案D D B C C A A B A C二、填空题12、-1 13、 14、①②三、解答题15、解：(1）A∪B=｛x∣2<x<10}……………..4分（2)(C R A）∩B=｛ x∣2〈x〈3或7≤x<10}...。

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8分(3）a≥7.。

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12分16.解：.2分证明:的定义域是,定义域关于原点对称…………….4分内任取一个x，则有。

人教A版高中数学必修一全册作业与测评含答案综合质量评估

综合质量评估(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·大庆高一检测)设集合U=,集合M=,N=,则M ∩(ðN)等于( )UA. B.C. D.【解析】选B.因为ðN=,M=,所以M∩(UðN)=.U【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)U= ( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}【解析】选C.由题意知U={1,2,3,4,5},又A∪B={1,3,5},所以ð(A∪B)={2,4}.U2.(2015·淮南高一检测)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.要使函数y=有意义,必须解得,故函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).【补偿训练】函数y=+的定义域是( )A.[-1,2)B.[-1,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.[-1,+∞)【解析】选B.要使函数y=+有意义,必须,解得x≥-1且x ≠2,故函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).3.下列图形中,不是函数图象的是( )【解析】选B.由函数的定义可知:选项B中存在给定某一实数,有两个值与之对应.【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是( )A.y=与y=1B.y=|x-1|与y=C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1D.y=与y=x【解析】选D.A定义域不同,故不是同一函数.B定义域不同,故不是同一函数.C对应法则不同,故不是同一函数.D定义域与对应法则均相同,所以是同一函数.4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A.y=B.y=3xC.y=lg|x|D.y=x3【解析】选D.选项A中函数的定义域为x≥0,故不具备奇偶性;选项B是增函数但不是奇函数;选项C是偶函数;而选项D在R上是奇函数并且单调递增.5.已知函数f(x)=,则有( )A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)B.f(x)是奇函数,且f=f(x)C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)D.f(x)是偶函数,且f=f(x)【解析】选C.因为f(x)=,{x|x≠±1},所以f====-=-f(x),又因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.【误区警示】解答本题在推导f与f(x)的关系时容易出现分式变形或符号变换错误.6.(2015·绍兴高一检测)函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是( ) A. B.± C.0或1 D.【解析】选A.当x+2=2时,解得x=0,不满足x≤-1;当x2=2时,解得x=±,只有x=时才符合-1<x<2;当2x=2时,解得x=1,不符合x≥2.故x=.7.已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a【解析】选A.由于a=log20.3<log21=0,0<0.30.2<0.30=1,20.3>20=1,故log20.3<0.30.2<20.3,即a<c<b.【补偿训练】已知函数f(x)=lo|x+2|,若a=f(lo3),b=f,c=f(ln3),则( )A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c【解题指南】作出函数f(x)=lo|x+2|的图象判断此函数的单调性,利用中间量0,1比较lo3,,ln3的大小,最后利用函数单调性比较a,b,c的大小. 【解析】选A.函数y=lo|x|的图象如图(1),把y=lo|x|的图象向左平移2个单位得到y=lo|x+2|的图象如图(2),由图象可知函数y=lo|x+2|在(-2,+∞)上是减函数,因为lo3=-log 23<-log22=-1,0<<=1,ln3>lne=1.所以-2<lo3<<ln3,所以f(lo3)>f>f(ln3),即c<b<a.8.(2015·鹰潭高一检测)函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.利用根的存在性定理进行判断,由于f(2)=2+2-5=-1,f(3)=4+3-5=2,所以f(2)·f(3)<0,又f(x)为单调递增函数,所以函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为(2,3).【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.由题意知x>0,且f(x)在其定义域内为增函数,f(1)=ln1+13-9=-8<0,f(2)=ln2+23-9=ln2-1<0,f(3)=ln3+33-9=ln3+18>0,f(4)=ln4+43-9>0,所以f(2)f(3)<0,说明函数在区间(2,3)内有零点.9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100B.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.10.(2015·临川高一检测)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的范围是( )A. B.(0,1)C. D.(0,3)【解析】选A.由于x1≠x2,都有<0成立,即函数在定义域内任意两点的连线的斜率都小于零,故函数在定义域内为减函数,所以有解得0<a≤.【补偿训练】若函数f(x)=log m(m-x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1,则实数m=( )A.3-B.3+C.2-D.2+【解析】选 B.由题意知m>5,所以f(x)=log m(m-x)在[3,5]上为减函数,所以log m(m-3)-log m(m-5)=1,log m=1,即=m,m2-6m+3=0,解得m=3+或m=3-(舍去).所以m=3+.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )A.f(x)=(1-x)B.f(x)=-(1-x)C.f(x)=(1+x)D.f(x)=-(1+x)【解题指南】当x<0时,-x>0,由题意可知f(-x),再利用f(-x)=-f(x),可求f(x). 【解析】选A.设x<0,则-x>0,f(-x)=(1-x)=-(1-x),又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-(1-x),所以f(x)=(1-x).12.(2015·鄂州高一检测)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”的个数等于( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.当y=2x2-1=1时,解得x=±1,当y=2x2-1=7时,解得x=±2,由题意可知是“孪生函数”的函数的定义域应为,,,, ,,,,共9个.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·温州高一检测)函数y=a x-1+1a>0,且a≠1一定过定点. 【解析】当x-1=0时,y=a x-1+1=a0+1=2,由此解得x=1,即函数恒过定点(1,2).答案:(1,2)14.= .【解析】===1.答案:115.(2015·常德高一检测)如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,则实数a的值是.【解析】由于函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,即方程x2-ax+1=0仅有一个根,故Δ=a2-4=0,解得a=±2.答案:±2【延伸探究】若将函数改为f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,则实数a的取值范围是.【解析】由于函数f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,且f(0)=-4<0,函数f(x)的图象开口向上,则必有f(1)>0,即1+a-4>0,所以a>3.答案:a>316.对于定义在R上的函数f(x),有如下命题:①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数;②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数;③若f(0)<f(4),则函数f(x)是R上的增函数;④若f(0)<f(4),则函数f(x)不是R上的减函数.其中正确的有(写出你认为正确的所有的序号).【解析】例如函数f(x)=x2,f(0)=0,但此函数不是奇函数,故①错误;若函数为偶函数,则在其定义域内的所有的x,都有f(-x)=f(x),若f(-4)≠f(4),则该函数一定不是偶函数,故②正确;对于函数f(x)=x2,f(0)<f(4),但该函数不是R上的增函数,故③错误;由于f(0)<f(4),则该函数一定不是减函数,故④正确.答案:②④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)化简:÷×(式中字母都是正数). 【解析】原式=÷×=××=×a×=a2.18.(12分)(2015·郑州高一检测)已知集合A=,B=.(1)分别求R (A B)∩ð,(R Bð)∪A.(2)已知C=,若C⊆B,求实数a的取值集合. 【解析】(1)因为A∩B=,所以R (A B)∩ð=或,因为R Bð=,所以(R Bð)∪A=x<6或.(2)因为C⊆B,所以解之得3≤a≤8,所以a∈.19.(12分)(2015·海口高一检测)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求定义域.(2)判断函数的奇偶性.【解析】(1)由已知得所以可得-1<x<1,故函数的定义域为.(2)f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-lg(1+x)+lg(1-x)=-=-f(x).所以f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)为奇函数.20.(12分)(2015·梅州高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x ≤0时f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)画出函数的大致图象,并求出函数的值域.【解析】(1)当x>0时,-x<0,因为函数是偶函数,故f(-x)=f(x),所以f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x,所以f(x)=(2)图象如图所示:函数的值域为[-4,+∞).【补偿训练】(2014·临沂高一检测)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2).(1)求函数f(x)的解析式及定义域.(2)求f(14)÷f的值.【解析】(1)因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),所以即所以解得所以f(x)=log3(2x-1),定义域为.(2)f(14)÷f=log327÷log 3=3÷=6.21.(12分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:运输工具途中速度(km/h)途中费用(元/km)装卸时间(h)装卸费用(元)汽车50 8 2 1 000火车100 4 4 2 000若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设A,B两地距离为xkm.(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x),求f(x)与g(x).(2)试根据A,B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小).(注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)【解析】(1)由题意可知,用汽车运输的总费用为:f(x)=8x+1000+·300=14x+1600(x>0),用火车运输的总费用为:g(x)=4x+2000+·300=7x+3200(x>0).(2)由f(x)<g(x)得x<.由f(x)=g(x)得x=.由f(x)>g(x)得x>.所以,当A,B两地距离小于km时,采用汽车运输好;当A,B两地距离等于km时,采用汽车或火车都一样;当A,B两地距离大于km时,采用火车运输好.【拓展延伸】选择数学模型分析解决实际问题(1)特点:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题.(2)三种常用方法:①直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;②列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;③描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.22.(12分)(2015·成都高一检测)已知函数f(x)=a+b x(b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16).(1)求f(x)的表达式.(2)解不等式f(x)>.(3)当x∈(-3,4]时,求函数g(x)=log2f(x)+x2-6的值域.【解析】(1)由题知所以或(舍去),所以f(x)=4x.(2)因为4x>,所以22x>,所以2x>x2-3,所以x2-2x-3<0,所以-1<x<3,所以不等式的解集为(-1,3).(3)g(x)=log24x+x2-6=log222x+x2-6=2x+x2-6=(x+1)2-7,因为-1∈(-3,4],所以g(x)min=-7,当x=4时,g(x)max=18,所以值域为[-7,18].关闭Word文档返回原板块。

高中数学单元素养评价(一)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

单元素养评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若ab≠0且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.>B.a2<b2C.a2>b2D.-a>-b【解析】选D.A.a=-3,b=2排除;B.a=-2,b=1排除;C.a=,b=1排除;D正确.2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1【解析】选C.利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.4.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(R P)∩Q等于( )A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤2}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x≤2}【解析】选C.因为P={x|x≥2或x≤0},R P={x|0<x<2},所以(R P)∩Q={x|1<x<2}.5.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值X围是 ( )A.a<-或a>1B.-<a<1C.-<a≤1或a=-1D.-<a≤1【解析】选D.a=1显然满足题意,若该不等式为一元二次不等式,则必有a2<1,由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-<a<1.综上可知-<a≤1.6.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元,而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元,3枝丁香的价格为B元,则A,B的大小关系为( )A.A>BB.A=BC.A<BD.不确定【解析】选 A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元,由已知,得即不等式①两边同乘以4,不等式②两边同乘以11,得所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y, 即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵,即A>B.7. 一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1,且n<1 B.mn<0C.m>0且n<0D.m<0且n<0【解析】选B.因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0.8.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值时,实数对(a,b)是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)【解析】选A.因为a,b为正实数,所以+=(4a+b)=≥×(5+2)=,当且仅当时取“=”.即a=5,b=10.9.已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值X围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选A.由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q 的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,所以{x|x>a}⊆{x|x<-3或x>1},所以a ≥1.10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9,所以≥2或≤-4(舍去),所以正实数a的最小值为4.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0},则( )A.A∩B={-2,-1,0,1}B.A∪B={-2,-1,0,1}C.A∩B={-1,0,1}D.A∪B={x|-2≤x≤1}【解析】选A、D.由A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},得A∩B={-2,-1,0,1},A∪B={x|-2≤x≤1}.12.下列四个命题,其中假命题为( )A.∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立B.∃x∈Q,x2=2C.∃x∈R,x2+1=0D.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2【解析】选A、B、C、D.因为在x2-3x+2=0中,Δ=(-3)2-4×2>0,所以当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,所以A为假命题.当且仅当x=±时,x2=2,所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以B为假命题.对∀x∈R,x2+1≠0,所以C为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时, 4x2=2x-1+3x2成立,所以D为假命题.13.若0<a<b,且a+b=1,则在a,a2+b2,2ab,b四个数中( )A.a2+b2>2abB.a<C.b<D.b>a2+b2【解析】选A、B、D.由于0<a<b,则a2+b2>2ab,又a+b=1则0<a<<b<1,又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0则b>a2+b2.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.命题“∀x∈R,x2+2x+5≠0”是________命题(填“真”或“假”),它的否定是________. 【解析】x2+2x+5=(x+1)2+4>0,故该命题为真命题,又因为全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题的否定为“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”.答案:真∃x∈R,使得x2+2x+5=015.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),则a的值为________. 【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),所以1,a是方程tx2-6x+t2=0的两根,由根与系数的关系可得1+a=,a=t,所以a=-3,a=2(舍去).答案:-316.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值X围是________.【解析】因为1∉{x|x2-2x+a>0},所以1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,所以a≤1.答案:{a|a≤1}17.设正数a,b,c满足++≤,则=________.【解析】由++≤得:(a+b+c)≤36.即1+++4+++9++≤36,即+++++≤22,因为+++++=++≥22,所以b=2a,c=3a时取等号,所以==.答案:四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}且A∩B=(-1,n),求m,n.【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n)可知m<1,则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.19.(14分)已知p:(a-1)2≤1,q:∀x∈R,ax2-ax+1≥0,判断p是q成立的什么条件.【解析】由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,所以p:0≤a≤2.当a=0时,ax2-ax+1≥0对∀x∈R恒成立;当a≠0时,由得0<a≤4,所以q:0≤a≤4.所以p是q成立的充分不必要条件.20.(14分)设x∈R,比较与1-x的大小.【解析】作差:-(1-x)=,①当x=0时,因为=0,所以=1-x;②当1+x<0,即x<-1时,因为<0,所以<1-x;③当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,因为>0,所以>1-x.21.(14分) 已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值.(2)若不等式的解集为R,求k的取值X围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根,所以-==-3-2,所以k=-.(2)若不等式的解集为R,即x∈R,kx2-2x+6k<0恒成立,则满足所以k<-.22.(14分) 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>0且a>0由根与系数的关系得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时不等式(x-2)(x-c) <0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.23.(14分)玩具所需成本费用为P元,且P与生产套数x的关系为P=1 000+5x+ x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+(a,b∈R),(1)问:该玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)【解析】(1)每套玩具所需成本费用为==x++5≥2+5=25,当x=,即x=100时等号成立,故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P=x-=x2+(a-5)x-1 000,由题意得解得a=25,b=30.。

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高中数学（必修一）单元检测与评估第四单元函数与方程（A 卷）
一、选择题(3/×12=36/)
1．设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有（）（A ）12a >
(B) 1
2
a < (C) 21≥a (D) 21≤a
2．函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈［-2,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,-2］时是减函数，则f (1)等于
（ B ）
（A ）-3 （B ）13 （C ）7 （D ）由m 而定的常数
3．若方程a x
-x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（） (A) （1，+∞） (B) （0，1） (C) （0，+∞） (D) φ
4．已知f （x ）是一次函数，且2f （2）－3f （1）=5，2f （0）－f （－1） =1 ，则f （x ）的解析式为（）
（A ）3x －2 （B ）3x +2 （C ）2x +3 （D ）2x －3
5．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是（）（A ）（0，10）（B ）（1，10）（C ）（0，1）（D ）(0,1)(1,10)
6．若方程0422
=+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（）（A ）(
25，+∞) (B) (-∞，−25) (C) (−∞，−2)∪(2，+∞) (D) [2
5
，+∞) 7．方程2log (4)2x x +=的根的情况是( )
（A ）仅有一根 (B) 有两个正根 (C) 有一正根和一负根 (D) 有两个负根
8. 已知函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）
（A ） 3≥a （B ） 3-≤a （C ） 3-≥a （D ）5≤a
9．设)1](,1[>=b b A ，)(1)1(2
1
)(2A x x x f ∈+-=，若)(x f 的值域也是A ，则b 的值是（）（A ） 23=b （B ）2 （C ）3 （D ）2
7
10．方程)10(2|
|<<=a x a
x 的解的个数为（）
(A) 0个 (B) 1个 (C) 0个或1个 (D) 2个
11．下列方程在区间（0，1）内存在实数解的是（）
（A ） 2
3ln 0x x -= （B ）ln 0x x +=（C ）3
2
3340x x x -+-= （D ）1
2x x
+= 12．方程lg 3x x +=根的情况是 ( )
(A) 有两个正根 (B) 有一正根一负根 (C) 仅有一正根 (D) 没有实根
二、填空题(4/×4=16/)
13．方程2
4610x x --=位于区间（-1，2）内的解有 ____个。

14．一次函数f （x ）=mx+1-m 在区间[0，1]上无零点，则m 的取值范围是 __________ 15. 已知函数()2x f x a =-过点（1，0），则方程f(x)=x 的解为_________
16．已知函数()()()2()f x x a x b a b =---<，它的两个零点是,()αβαβ<，则实数,,,a b αβ的大小关系是____________
三、解答题(12/×4=48/)
17．如果二次方程2*0(,)x px q p q N --=∈的正根小于3，试讨论这样的二次方程个数。

18．若对于函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠，存在常数m 、n ，使得对一切实数x ，总有 f （m+x ）=f （n-x ），求证：b
m n a
-=+
19．已知关于x 的方程2
lg()lg()4ax ax ⋅=有两个大于1的根，求a 的取值范围。

20．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。

（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

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第四单元函数与方程（A 卷）
一、选择题(3/×12=36/)
二、填空题(4/×4=16/) 13、2 14、m<1
15、2
16、a b αβ<<< 三、解答题(12/×4=48/)
17．解：由240,0p q q ∆=+>-<，知方程的根为一正一负。

设2()f x x px q =--，则(3)930,39f p q p q =-->+<即
由于*,p q N ∈，所以1,52,2p q q =≤=≤或p 。

于是共有七组（p ，q ）符合题意。

18．解：在f （m+x ）=f （n-x ）中令x=n 得：f （m+n ）=f （0），则方程f （x ）-f （0）
=0有两解12,0x m n x =+=，即方程
20ax bx +=有两解12,0x m n x =+=，因此必有b
m n a -
=+
19．解：2lg()lg()4ax ax ⋅=
22(lg lg )(lg 2lg )2(lg )3lg lg (lg )4a x a x x a x a ∴+⋅+=+⋅+=
令lgx=t ，则有题意t>0，原方程为：2223lg (lg )40t a t a +⋅+-=…….（1），且（1）式有两个大于0的根。

若设22()23lg (lg )4f t t a t a =+⋅+-（t>0），则
解之得：1
0100
a <<
20. 解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为
>+x x f ()2(1)(3),0.f x x a x x a +=--<且因而 .3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，
即 .5
1
1.
01452-===--a a a a 或解得由于5
1
.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式
.5
3
5651)(2---=x x x f
（Ⅱ）由a
a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222
++-+-=++-= 及.1
4)(,02a
a a x f a ++-
<的最大值为可得
由⎪⎩
⎪⎨⎧<>++-
,0,01
42a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞。