2018届湖南师大附中高三月考试卷(六) 数学(理)(word版)
2020届湖南师大附中高三第六次月考数学(理)试题Word版含解析
2020届湖南师大附中高三第六次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合xA {y |y 2,x R}==∈，B {x |y x R}==∈，则A B (⋂= )A ．{}1B ．()0,∞+C ．()0,1D ．(]0,1 【答案】D【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义计算A B ⋂． 【详解】因为集合{}()|2,0,xA y y x R ==∈=+∞，化简{}(]|1B x y x R ，==∈=-∞， 所以(]0,1A B ⋂=，故选D ． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】 解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.4．已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞⋃+∞ C ．(-1,1)D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可． 【详解】∵f （x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数， ∴f （-x ）=f （x ），则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b ， 即-（b-a ）=b-a ，得b-a=0，得b=a ， 则f （x ）=ax 2-a=a （x 2-1）， 若f （x ）在（0，+∞）单调递减， 则a ＜0，由f （3-x ）＜0得a[（3-x ）2-1）]＜0，即（3-x ）2-1＞0， 得x ＞4或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b 的关系是解决本题的关键． 5．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A B C += B ．2B AC =C ．()2A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和， 第三个n 项和仍然构成等比数列， 则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.6．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由24,32x k k Z πππ+=+∈， 得1,424x k k Z ππ=-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.7．如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A ．B ．C ．D ．【解析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-【答案】D【解析】先设出圆O的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O的面积，最后利用几何概型公式求出概率.设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．44B ．34C ．24D ．【答案】D【解析】设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率． 【详解】解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()f x =，则在P 处的切线斜率'()4k f m m ===+， 即42m m +=，得4m =则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，则)221a PF PA =-==，即1a =，4c =Q ∴双曲线的离心率14c e a ==． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论．10．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C【解析】由题意可得022A π<<且32A ππ<<,解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求得由正弦定理可求得12cos 2b b A a ==,根据cos A 的范围确定出b 范围即可. 【详解】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A ∴<<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题.解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角A 的取值范围.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ）A ．1BC D ．3【答案】D【解析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值. 【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==，在直角梯形11MM N N 中，222211)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 故本题选D. 【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．()5212x x +-展开式中的6x 的系数为_______【答案】30【解析】利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即3235(2)C x - .第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，即2222253(2)C x C x -，第三种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即124454(2)C x C x -，合并同类项，系数为80+1201030--=，故填30. 【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.14．现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法（用数字作答）. 【答案】240【解析】先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可． 【详解】甲、乙分得的门票连号，共有2255210A =⨯=种情况，其余四人没人分得1张门票，共有4424A =种情况，所以共有1024240⨯=种． 故答案为240． 【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．15．考虑函数xy e =与函数y lnx =的图象关系，计算：2e 1lnxdx =⎰______．【答案】21e +.【解析】分析：根函数xy e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以两部分阴影面积相等，利用21ln e xdx =⎰()2xe e dx -⎰求解即可.详解：Q 函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称， 所以两部分阴影面积相等，又Q 函数x y e =直线2y e =的交点坐标为()22,e，21ln e xdx =⎰()()2222200|1x x ee dx e x e e -=-=+⎰，故答案为21e +.点睛：本题主要考查反函数的性质、定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16．已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()()10050511i i f i f i ==-=∑∑_________.【答案】1656【解析】根据()f n 的定义求出()f i ，1,2,,100i =L ，然后再求值． 【详解】解析：()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，()()2f n f n ∴=，且n 为奇数时，()f n n =，其中[]1,100n ∈；()()()()()()()()()max min 9999,6424816321f n f f n f f f f f f =========那么()()()()10051()515253...100i f i f f f f ==++++∑51135327557572959156131=+++++++++++6316533671769357197337++++++++++++ 75197739795814183218543++++++++++++ 87118945912393479539749++++++++++++ ()5019999251357911 (9925002)⨯+++=+++++++==那么()5011131537195113i f i ==++++++++++++∑1371511791952111++++++++++2332513277291531133++++++++++17359371939541214311+++++++++++ 45234734925++++++()()135...2931...495121514182213151719212325=++++++++++++++++++++()251492198442⨯+=+=∴那么10050511()()25008441656i i f i f i ==-=-=∑∑．故答案为：1656． 【点睛】本题考查新函数的定义，理解新函数的定义是解题关键．解题时按新函数定义计算即可．三、解答题17．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足sin 4a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角B ；（2sin A C -的取值范围.【答案】（1）4B π=；（2）2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cos B sin C ＝sin C sin B ，结合sin C ≠0，可求cos B ＝sin B ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值；（2）由B 4π=，利用三角函数恒等变换的sin A ﹣sin C ＝cos C ，由范围0＜C 34＜π，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ 因为：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 故cos sin sin B C CsinB = 因为sin 0C ≠，所以cos sin B B = 因为0B π<<，所以4B π=（2）因为4B π=，所以sin y A C =-=3sin cos 4C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭又因为304C π<<，且cos y C =在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以sin y A C =-的取值范围是2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==o ．()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2)5. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD . 可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()1,0AD =-u u u v，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ，∴()1,0AD =-u u u v，(AF =u u u v，()AB u u u v =. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =v，则·0·0AF n AB n y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u v vu u u v v， 取1x =，得()n =v.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则·sin cos ,·AD n AD n AD nθ===u u u v v u u u v v u u u v v .【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B（自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线可得1216y y m +=，1264y y =-，结合抛物线定义可得112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+,故12||||AC BD x x ⋅=化为纵坐标即可证出.（2）根据12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，1216x x =,化211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++，利用导数求最小值即可. 【详解】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=.所以||||AB AF 的最小值为108. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.20．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知A 、B 、C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元. （1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 方案2．【解析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望； （2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论． 【详解】解：（1）设工种A 、B 、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 的分布列为：∴E （X ）＝25×（15110-）+（25﹣100×104）5110⨯=15， E （Y ）＝25×（152110--）+（25﹣100×104）5210⨯=5， E （Z ）＝40×（14110-）+（40﹣50×104）4110⨯=-10，保险公司的利润的期望值为12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000， ∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为： 12000×100×1045110⨯+6000×100×1045210⨯+2000×50×1044110⨯+12×104＝46×104， 方案2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为： （12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104， 46×104＞37.1×104， 建议企业选择方案2．21．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】（Ⅰ）运用零点法，把函数()f x 的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.这样222222ln 2ln 3ln 23n n +++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L ，注意到211(2,)(1)n n N n n n *>≥∈+，最后可以得出： 222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++⋯+<+. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a--≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n +++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L 11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭L 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.【答案】（1）2216x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π（2）5【解析】（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】（1）由,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216xy +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+直线l 的倾斜角为4π（2）在曲线C 上任取一点),sin Mαα，直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案． 【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； 不等式的解集为[]2,4-；（2）由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈．故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点Q 当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。
【数学】湖南师大附中2018届高三(上)11月月考试卷(理)(解析版)
月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣（1+i）2的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1﹣3i D．﹣1+3i2．（5分）已知集合A={x|y=log2（5﹣x）}，B={y|y=2x﹣1}，则A∪B=（）A．[0，5）B．（0，5）C．R D．（0，+∞）3．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日4．（5分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）的图象与直线x=e、x轴围成的区域为E，直线x=e、y=1与x轴、y轴围成的区域为F，在区域F内任取一点，则该点落在区域E内的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1 B．C．D．56．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A．n＜98？B．n＜99？C．n＜100？D．n≤100？7．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣58．（5分）已知函数y=f（x）满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）都是偶函数，且f（1）=1，则f（﹣1）+f（7）=（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A．7+B．5+C．D．7+210．（5分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，＞0；P3：∃（x，y）∈D，x+y＜1；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2；其中真命题是（）A．P1，P2B．P2，P3 C．P2，P4 D．P3，P411．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2B．C．2 D．12．（5分）已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2C．ln 2 D．﹣ln 2二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知||=，||=1，且⊥（+2），则向量与向量的夹角是．14．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．15．（5分）如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面P AC所成角的余弦值为．16．（5分）设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=a1，则a1=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，满足a cos B+b cos A=2c cos C．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（其中e为自然对数的底数），g（x）=4ln（x+1）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）记h（x）=f（x）+g（x），请证明下列结论：①若a≤4，则对任意x＞0，有h（x）＞1；②若a≥5，则存在实数x＞0，使h（x）＜1．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|P A|•|PB|=|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R）（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵﹣（1+i）2=，∴复数﹣（1+i）2的共轭复数是1+3i．故选：B．2．C【解析】集合A={x|y=log2（5﹣x）}={x|5﹣x＞0}={x|x＜5}，B={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则A∪B=R．故选：C．3．C【解析】设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选：C．4．A【解析】y=f（x）的图象与x=e以及x轴所围成图形如图，则区域E的面积为=，区域F得面积为1×e=e，则该点落在区域E内的概率为故选：A．【解析】根据题意，分2种情况讨论：①双曲线的焦点在x轴上，有4﹣m＞0，m﹣2＜0，则m＜2，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；②双曲线的焦点在y轴上，有4﹣m＜0，m﹣2＞0，则有m＞4，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；舍去；故m=；故选：B．6．B【解析】根据程序框图，运行结果如下：第1次循环n=1，S=lg2，不满足条件，第2次循环n=2，S=lg3，不满足条件，第3次循环n=3，S=lg4，不满足条件，第n次循环n=n，S=lg（n+1），不满足条件，…第98次循环n=98，S=lg99，不满足条件，第99次循环n=99，S=lg100=2，满足条件，故条件为n＜99？，故选：B7．D【解析】（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣5．故选：D．8．C【解析】∵y=f（﹣x）和y=f（x+2）都是偶函数，由题意得：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），∵f（1）=1，∴f（﹣1）=f（7）=f（1）=1，∴f（﹣1）+f（7）=2，故选：C．9．A【解析】此三视图的几何体如图，该几何体为三棱锥，DC⊥底面ABC，底面三角形是AB=AC的等腰三角形，由题意有，BC=CD=2，AB=AC=，BD=2，AD=3，S△ABC=S△BCD=2，S△ACD=，cos∠ABD==，sin∠ABD=，∴S△ABD=××2×=3，∴该几何体的表面积S=7+．故选：A．10．D【解析】不等式组D=的可行域如图，由A（﹣2，0）点，可得：﹣2+0+1=﹣1，故P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；P3：∃（x，y）∈D，x+y＜1为真命题；由A（﹣2，0）点，可得=0，故P2：∀（x，y）∈D，＞0错误；由（﹣1，1）点，x2+y2=2故p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p3，p4正确．故选：D．11．B【解析】由已知得F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，并与y2=4x联立得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），y1+y2=4m，则y0==2m，x0=2m2+1，所以E（2m2+1，2m），又|AB|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m2+4=6，解得m2=，线段AB的垂直平分线为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2﹣1），令y=0，得M（2m2+3，0），从而|ME|==．故选：B．12．D【解析】f（x）﹣g（x）=x﹣ln（2x+1）+e x﹣a+4e a﹣x，令h（x）=x﹣ln（2x+1），则h′（x）=1﹣，∴h（x）在（﹣，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=0，又e x﹣a+4e a﹣x≥2=4，∴f（x）﹣g（x）≥4，当且仅当时，取等号．解得x=0，a=﹣ln 2，故选：D．二、填空题13．【解析】∵⊥（+2），∴•（+2）=+2=0，∴=﹣=﹣1，∴cos＜＞==﹣，∴＜＞=．故答案为：π．14．【解析】∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．15．【解析】设点O到平面P AC的距离为d，设直线OC和平面P AC所成角为α，则由等体积法有：V O﹣P AC=V P﹣OAC，即S△P AC•d=•PO•S△OAC，在△AOC中，求得AC=，在△POD中，求得PD=，∴d==，∴sin α==，于是cos α==，故答案为．16．e【解析】若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=x ln x，=﹣x ln x，故f（x）+f（）=0对任意x＞0成立．又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，所以a6=1．故a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=a6=1；故f（a2）+f（a3）+…+f（a10）=f（a2）+f（a10）+f（a3）+f（a9）+…+f（a5）+f（a7）+f（a6）=0，所以f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=f（a1）=a1，若a1＞1，则a1ln a1=a1，则a1=e；若0＜a1＜1，则＜0，无解；故答案为：e．三、解答题17．解：（Ⅰ）因为a cos B+b cos A=2c cos C⇔sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos C，即sin（A+B）=2sin C cos C，而sin（A+B）=sin C＞0，则cos C=，又C∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）令△ABC的内切圆半径为R，有ab sin=•3R，则R=ab，由余弦定理得a2+b2﹣ab=（3﹣a﹣b）2，化简得3+ab=2（a+b），而a+b≥2，故3+ab≥4，解得≥3或≤1．若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；若≤1，则当a=b=1=c时，R取最大值．综上，知△ABC的内切圆最大面积值为S max=π（）2=．18．（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面P AD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，z）为平面P AC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．19．解：（Ⅰ）设事件A表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，这2个球为异色球”，则P（A）=1﹣=；注：也可直接求概率P（A）==；（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为1，2，3；计算P（ξ=3）==，P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，则随机变量ξ的分布列为于是数学期望为Eξ=1×+2×+3×=．20．解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，则有a=2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab=4，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y=（x+2）代入椭圆方程+=1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108=0，由x A•x P=，x A=﹣2得x P=﹣，则y P=．再将直线BM的方程y=（x﹣2）代入椭圆方程+=1得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12=0，由x B•x Q=，x B=2得x Q=，则y Q=．故四边形APBQ的面积为S=|AB||y P﹣y Q|=2|y P﹣y Q|=2（+）===．由于λ=≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S=≤6．当且仅当λ=6，即t=3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ的面积取最大值6．21．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e x﹣x．则f′（x）=e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．故f（x）min=f（0）=1．（Ⅱ）h（x）=e x﹣ax+4ln（x+1），则h′（x）=e x+﹣a．①若a≤4，由（1）知f（x）=e x﹣x≥1，即e x≥x+1，于是h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥4﹣a≥0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，则对任意x＞0，有h（x）＞h（0）=1；②若a≥5，令φ（x）=h′（x）=e x+﹣a．则φ′（x）=e x﹣在（0，+∞）上单调递增，且φ′（0）=﹣3＜0，φ′（1）=e﹣1＞0，故存在唯一的x0∈（0，1），使φ′（x0）=0，则当x∈（0，x0）时，φ′（x）＜0，即φ（x）=h′（x）在（0，x0）上单调递减，故h′（x）＜h′（0）=5﹣a≤0，从而h（x）在（0，x0）上单调递减，则h（x）＜h（0）=1，即存在实数x∈（0，x0），使h（x）＜1．22．解：（I）由ρsin2θ=2a cosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）直线l的普通方程为y=x﹣2（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）∵|P A|⋅|PB|=|AB|2∴|t1t2|=（t1﹣t2）2，即（t1+t2）2=5t1t2∴[2（4+a）]2=40（4+a）化简得，a2+3a﹣4=0解之得：a=1或a=﹣4（舍去）∴a的值为1.23．解：（1）当m=3时，f（x）≥5即|x+6|﹣|x﹣3|≥5，①当x＜﹣6时，得﹣9≥5，所以x∈ϕ；②当﹣6≤x≤3时，得x+6+x﹣3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3；故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）因为|x+6|﹣|m﹣x|≤|x+6+m﹣x|=|m+6|，由题意得|m+6|≤7，则﹣7≤m+6≤7，解得﹣13≤m≤1．。
2018年高三最新 高考数学湖南师大附中高三第六次月考试卷 精品
湖南师大附中高三第六次月考试卷数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分，考试时量120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是（ ）A ．βαsin sin =B ．βαcos cos =C ．βαtan tan =D ．βαcot cot =3．设全集U=R ，(},7log 7log |{},4|{32 A x B x x A x 则>=>= B ）是（ ）A ．}2|{-<x xB ．}32|{≥-<x x x 或C ．}3|{≥x xD ．}32|{<≤-x x4．函数x x x f ln 3)(⋅+=的单调递增区间是（ ）A ．)1,0(eB ．),(+∞eC ．),1(+∞eD ．),1(e e5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:36．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ，则-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件8．把)(x f 的反函数)(1x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C ，函数)(x g 的图象与曲线C 关于x y =成轴对称，那么)(x g 等于（ ）A ．2)()(+=x f x gB ．2)()(-=x f x gC ．)2()(+=x f x gD ．)2()(-=x f x g9．已知点A 为双曲线122=-y x 的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B在y 轴的异侧，则正△ABC 的面积是 （ ）A ．33 B ．332 C ．33D ．3610．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于两点A 、B ，则⋅等于（ ）A ．43 B ．43-C ．－3D ．311．记函数x x x f sin 3)(2+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的 值为 （ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．812．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100人上学，平均每人每月94.50元。
湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)(教师版)+理科综合+Word版含解析【KS5U+高考】
湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)理科综合能力测试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于细胞的物质转运，下列叙述中错误的是 ( )A ．当人和动物细胞的线粒体受损伤时，K ＋外流将由主动运输转变为被动运输 B ．植物细胞质壁分离过程中，水分子外流将导致细胞内渗透压升高 C ．海水中的海藻细胞可通过积累溶质防止细胞过度脱水 D ．蛋白质可通过核孔进入细胞核2．促红细胞生成素(EPO)是一种糖蛋白类激素，主要由肾脏合成，被国际奥委会确定为兴奋剂，注射EPO 可以促进造血干细胞分化为红细胞，但会抑制自身EPO 的产生。
下列有关叙述错误的是( ) A ．造血干细胞分化的实质是基因的选择性表达 B ．红细胞的相对表面积越大，其物质运输效率越高C ．参与肾脏细胞合成并分泌EPO 的具膜细胞器有核糖体、内质网等4种D ．长期使用超剂量EPO 的运动员，在停用后更容易出现贫血症状3．下表列出了某一家庭五个成员的简化DNA 指纹，其中“－”表示有相应的标记基因。
不考虑基因突变，下列相关叙述错误的是 ( )A.基因Ⅲ和Ⅴ可能位于同一条X 染色体上 B ．基因Ⅱ和Ⅳ可能位于同一条染色体上 C ．基因Ⅰ、Ⅱ和Ⅳ可能位于常染色体上 D ．基因Ⅲ和Ⅴ不可能位于Y 染色体上4．下列关于果蝇的叙述正确的是 ( )A ．果蝇易饲养、繁殖快、相对性状明显，可作为遗传学研究的经典实验材料B ．摩尔根运用类比推理的方法将果蝇的眼色基因与X 染色体联系到了一起C ．果蝇经正常减数分裂形成的配子中，染色体数目为2对D ．性染色体异常XXY 的果蝇，其体细胞中有3个染色体组5．下列关于植物激素的叙述中，正确的是 ( )A ．植物体内不同的腺体能够分泌不同的激素，脱落酸能促进叶片和果实的脱落B ．生长素具有极性运输的特点，缺乏氧气会影响植物体内生长素的极性运输C ．乙烯可以促进苹果和香蕉等果实的生长发育和成熟D ．植物激素能够直接参与细胞代谢并传达一种调节代谢的信息6．下列关于实验的说法或做法错误的是 ( )A ．若某地蒲公英种群的个体数量减少，调查其密度时，应适当扩大样方的面积B ．设计和制作生态缸实验时，生态缸一般是封闭且透明的，这样既可防止外界干扰又便于观察C ．在探究某种土壤中小动物类群丰富度的实验中，取样后可利用土壤动物趋光、避高温、趋湿的习性使用诱虫器采集D ．格里菲思实验中肺炎双球菌R 型转化为S 型是基因重组的结果29．(12分，每空2分)某科研人员将小麦植株放在温度适宜的密闭容器内，在不同的光照条件下，测定该容器内氧气量的变化，实验结果如图所示。
(优辅资源)湖南师大附中高三月考试卷(六)(教师版)数学(理)Word版含解析
湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)数 学(理科)命题人：吴锦坤 张汝波 审题人：黄祖军本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }，B ＝{a ，1}，A ∩B ＝B ，则实数a 等于(D) (A)－2 (B)－1 (C)－1或0 (D)－2或－1或0(2)设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，12 (B)⎝⎛⎭⎫0，12 (C)(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (D)(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】由p 得： 12<x ≤1 ，由q 得：a ≤x ≤a ＋1，又q 是p 的必要而不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. (3)某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为(A)(A)20 (B)10 (C)14 (D)21【解析】由题意知，P (ξ＞110)＝1－2P （90≤ξ≤100）2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20.(4)某几何体的三视图如图所示，则其体积为(C) (A)83 (B)2 (C)43 (D)23【解析】该几何体是：在棱长为2的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的一个正八面体．可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为2，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13(2)2×1＝43.(5)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝2.5 (单位：升)，则输入k 的值为(D)(A)4.5 (B)6 (C)7.5 (D)10【解析】模拟程序的运行，可得n ＝1，S ＝k ， 满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －k 2＝k2，满足条件n <4，执行循环体， n ＝3，S ＝k 2－k 23＝k3，满足条件n <4，执行循环体， n ＝4，S ＝k 3－k 34＝k4，此时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为k4，根据题意可得：k4＝2.5，计算得出：k ＝10.所以D 选项是正确的．(6)将函数f ()x ＝cosωx 2⎝⎛⎭⎫2sin ωx 2－23cos ωx 2＋3，()ω>0的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g ()x 的图像，若y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由题意，f ()x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3()ω>0，先利用图像变换求出g ()x 的解析式：g ()x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3，即g ()x ＝2sin ωx ，其图像可视为y ＝sin x 仅仅通过放缩而得到的图像．若ω最大，则要求周期T 取最小，由⎣⎡⎦⎤0，π4为增函数可得：x ＝π4应恰好为g ()x 的第一个正的最大值点，∴π4ω＝π2ω＝2.(7)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，若ax ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为(C)(A)12或－1 (B)2或12(C)－2或1 (D)2或－1【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示：令z ＝ax ＋y ，化为y ＝－ax ＋z ，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距取得最大值时的最优解不唯一．当－a >2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点A (－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝2时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝2x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－1<－a <2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点B (0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝－1时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝－x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－a <－1时，直线y ＝－ax ＋z 经过点C (2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意．综上，当a ＝－2或a ＝1时最优解不唯一，符合题意．故本题正确答案为C.(8)若直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －2y ＝2的周长，则12a ＋1b 的最小值为(D)(A)3－224 (B)3－222(C)3＋222 (D)3＋224【解析】直线平分圆周，则直线过圆心f (1，1)，所以有a ＋b ＝2，12a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋1b＝12⎝⎛⎭⎫32＋b 2a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫32＋2b 2a ·a b ＝3＋224(当且仅当b ＝2a 时取“＝”)，故选D. (9)把7个字符a ，a ，a ，b ，b ，α，β排成一排，要求三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，则这样的排法共有(B)(A)144种 (B)96种 (C)30种 (D)12种【解析】先排列b ，b ，α，β，若α，β不相邻，有A 22C 23种，若α，β相邻，有A 33种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空中选3个插入a ，a ，a ，共有12C 35＝120种，若b ，b 相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a ，a ，a ，共有6C 34＝24，故三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种．(10)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A →·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤22，53 (B)⎣⎡⎭⎫53，1 (C)⎣⎡⎦⎤22，3－1 (D)[3－1，1) 【解析】作出椭圆左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又F A →·FB →＝0，即F A ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设AF ′＝n ，AF ＝m ，则在直角三角形ABF 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2 ①，得mn ＝2b 2 ②，①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2b2.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n ＝t ∈[1，2]，∴t ＋1t ＝2c 2b2∈⎣⎡⎦⎤2，52，故离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，53.(11)在△ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2n ，BC ＝210，AB ＋AC ＝8，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 三边中点，将△BEF ，△AEG ，△GCF 分别沿EF 、EG 、GF 向上折起，使A 、B 、C 重合，记为S ，则三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为(D)(A)292π (B)233π (C)14π (D)9π【解析】根据题意，三棱锥S －EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S －EFG 补充成长方体， 则对角线长分别为m ，n ，10， 设长方体的长宽高分别为x ，y ，z,则x 2＋y 2＝m ，y 2＋z 2＝10，x 2＋z 2＝n ，∴x 2＋y 2＋z 2＝5＋m ＋n2，∴三棱锥S －EFG 的外接球直径的平方为5＋m ＋n2，而m ＋n ＝4，m ＋n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，∴5＋m ＋n2≥9， ∴三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为4π·94＝9π，所以D 选项是正确的．(12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0，若x 1<x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则x 2－x 1的取值范围是(B)(A)⎝⎛⎦⎤23，ln 2 (B)⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13 (C)⎣⎡⎦⎤ln 2，ln 32＋13 (D)⎝⎛⎭⎫ln 2，ln 32＋13【解答】作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0的图像如右，由x 1<x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得0≤x 2<23，－32x 2＋1＝e －x 1－1，即为－x 1＝ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2， 可得x 2－x 1＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，令g (x 2)＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，0≤x 2<23， g ′(x 2)＝1＋－32－32x 2＋2＝3x 2－13x 2－4.当0≤x 2<13时，g ′(x 2)>0，g (x 2)递增；当13<x 2<23时，g ′(x 2)<0，g (x 2)递减．则g (x 2)在x 2＝13处取得极大值，也为最大值ln 32＋13，g (0)＝ln 2，g ⎝⎛⎭⎫23＝23，由23＜ln 2，可得x 2－x 1的范围是⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13.故选B. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)将八进制数705(8)化为三进制的数是__121210(3)__．【解析】705(8)＝7×82＋0×8＋5×80＝453, 根据除k 取余法可得453＝121210(3)．(14)计算：2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝．(15)已知P 是双曲线x 216－y 28＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点M ，N 满足F 1P →＝λPM →()λ>0，PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，PN →·F 2N →＝0.若|PF 2→|＝3，则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为__49π__．【解析】由PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|知PN 是∠MPF 2的角平分线，又PN →·F 2N →＝0，故延长F 2N 交PM 于K ，则PN 是△PF 2K 的角平分线又是高线，故△PF 2K 是等腰三角形，|PK |＝|PF 2|＝3，因为|PF 2→|＝3，故|PF 1→|＝11，故|F 1K →|＝14，注意到N 还是F 2K 的中点，所以ON 是△F 1F 2K 的中位线，|ON →|＝12|F 1K →|＝7，所以以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为49π.(16)如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，sin ∠ABE ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD →＝2DC →，BD ＝433，则BE ＝56__．【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6 ②，联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. S △ABC ＝12·AC ·AB sin A ＝12×3×2×223＝22，S △ABE ＝12·BE ·BA sin ∠EBA ＝12×2×BE ×33＝33BE .S △BCE ＝12·BE ·BC sin ∠EBC ＝12×3×BE ×33＝32BE .由S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ，得22＝33BE ＋32BE ，∴BE ＝456.70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 2n ＝a n ＋1a n －1＋λ(a 2－a 1)2，其中n ≥2，且n ∈N ，λ为常数．(Ⅰ)若{a n }是等差数列，且公差d ≠0，求λ的值；(Ⅱ)若a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，且数列{b n }满足a n ·b n ＝n －7对任意的n ∈N *都成立． ①求数列{}b n 的前n 项之和S n ；②若m ·a n ≥n －7对任意的n ∈N *都成立，求m 的最小值．【解析】(Ⅰ)由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，(2分)化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(3分)(Ⅱ)①将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，(4分) 所以a 2n ＝a n ＋1a n －1，则数列{}a n 是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1，从而b n ＝n －72n －1，(6分)所以S n ＝－620＋－521＋－422＋…＋n －72n －1，12S n ＝－621＋－522＋－423＋…＋n －72n ， 两式相减得：12S n ＝－620＋121＋122＋…＋12n －1－n －72n ＝－5＋5－n 2n ；所以S n ＝－10＋5－n2n －1.(8分)②m ·2n －1≥n －7，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立．由b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n >8时，b n ＋1<b n ； 当n ＝8时，b 9＝b 8； 当n <8时，b n ＋1>b n . 所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.(12分) (18)(本小题满分12分)阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发．其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜．围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平．为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：(Ⅰ)根据上面的统计数据，试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；(Ⅲ)从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率． 【解析】(Ⅰ)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为：430＋630＝13，(2分)即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为13.(3分)(Ⅱ)由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13. P (x ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫233－k(k ＝0，1，2，3)，(5分)所以X 的分布列为：(6分)则E (x )＝3×13＝1，所求期望值为1.(7分)(Ⅲ)设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于1分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ， 则基本事件的总数为C 230，不妨设m >n ，当m ＝5时，n ＝3，2，1，基本事件的个数为C 14(C 110＋C 17＋C 13)； 当m ＝4时，n ＝2，1，基本事件的个数为C 16(C 17＋C 13)； 当m ＝3时，m ＝1，基本事件的个数为C 110C 13；P (M )＝3487.(12分)(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥A －EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(Ⅰ)求二面角F －AE －B 的余弦值；(Ⅱ)若点M 为线段AC 上异于点A 的一点，BE ⊥OM ，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF ， 又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ， AO平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ，取BC 的中点G ，连结OG ，由题设知四边形EFCB 是等腰梯形，所以OG ⊥EF ， 由AO ⊥平面EFCB ，又GO平面EFCB ，所以AO ⊥GO ，建立如图所示空间直角坐标系，则E ()a ，0，0，A ()0，0，3a ，B ()2，3()2－a ，0，EA →＝()－a ，0，3a ， BE →＝()a －2，3()a －2，0，设平面AEB 的法向量为n ＝()x ，y ，z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－ax ＋3az ＝0，()a －2x ＋3()a －2y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1，于是n ＝()3，－1，1，又平面AEF 的一个法向量为p ＝()0，1，0，设二面角F －AE －B 为θ，所以cos θ＝cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－55.(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知AO ⊥平面EFCB ，又BE 平面EFCB ，所以AO ⊥BE ，又OM ⊥BE ，AO ∩OM ＝O ，所以BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即BE →·OC →＝0，因为BE →＝()a －2，3()a －2，0，OC →＝()－2，3()2－a ，0， 所以BE →·OC →＝－2()a －2－3()a －22， 由BE →·OC →＝0及0<a <2，解得a ＝43.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，OP →＝3OQ →.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；(Ⅱ)不过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列．①求k 的值；②是否存在直线l 使得满足OD →＝λOM →＋μON →(λ2＋μ2＝1，λ·μ≠0)的点D 在椭圆C 上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ， 则AT ⊥PQ ，∵AP →·AQ →＝0， 即AP ⊥AQ ， 则|AT |＝12|PQ |，又OP →＝3OQ →，则|OT |＝|PQ |， ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12， 由已知c ＝3，则a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2分)又|AT |2＋|OT |2＝4，则|AT |2＋4|AT |2＝4|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105， 故圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.(4分)(Ⅱ)①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋m (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，(5分) 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2，(6分)由已知k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2＋km （x 1＋x 2）＋m2x 1x 2，(7分)则km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0k 2＝14k ＝±12.(8分)②假设存在直线l 满足题设条件，且设D (x 0，y 0)， 由OD →＝λOM →＋μON →，得x 0＝λx 1＋μx 2，y 0＝λy 1＋μy 2， 代入椭圆方程得：（λx 1＋μx 2）24＋(λy 1＋μy 2)2＝1，即：λ2⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋μ2⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＋λμx 1x 22＋2λμy 1y 2＝1，则x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即x 1x 2＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 则(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0， 所以(1＋4k 2)·4（m 2－1）1＋4k 2－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0， 化简得：2m 2＝1＋4k 2，而k 2＝14，则m ＝±1，(11分)此时，点M ，N 中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与k 1，k ，k 2成等比数列相矛盾， 故这样的直线不存在．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 为自然对数的底数)，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，(1分) 当a >1时，ln a >0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(2分) 当0<a <1时，ln a <0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(3分)综上：x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减．(4分)(Ⅱ)不等式等价于：|f (x 1)－f (x 2)|max ≥e －1， 即f (x )max －f (x )min ≥e －1，(5分)由(Ⅰ)知，函数的最小值为f (0)＝1，f (x )max ＝max {}f （－1），f （1）， 而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 设g (a )＝a －1a －2ln a ，则g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2>0，所以g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)单调递增，而g (1)＝0，故a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)；(7分) 0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．(8分) 所以当a >1时，原不等式即为：f (1)－f (0)≥e －1a －ln a ≥e －1，设h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a ＝a －1a >0，故函数h (a )单调递增，又h (e)＝e －1，则a ≥e ；(10分)当0<a <1时，原不等式即为：f (－1)－f (0)≥e －11a＋ln a ≥e －1， 设m (a )＝1a ＋ln a (0<a <1)，m ′(a )＝－1a 2＋1a ＝a －1a 2<0，故函数m (a )单调递减，又m ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1，则0<a ≤1e.(11分) 综上，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B, Q 是曲线上的动点，求△ABQ 面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8.所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过定点P (3，2)，P 在圆内，将直线的参数方程代入圆的普通方程，得2t 2－2t －7＝0，t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝－72.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝15，又因为圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，故△ABQ 面积的最大值为S △ABQ ＝12×15×⎝⎛⎭⎫22＋22＝5304.(10分)(23)(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|. (Ⅰ)求f (x )的值域；(Ⅱ)若对任意实数a 和b ，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0，求实数x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x ≤－12，2，－12<x <12，4x ，x ≥12，∴f (x )≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(5分)(Ⅱ)当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |f (x )≥0可化为2|b |－0·f (x )≥0，即2|b |≥0恒成立，∴x ∈R .当a ＋b ≠0时，∵|2a ＋b |＋|a |＝|2a ＋b |＋|－a |≥|(2a ＋b )－a |＝|a ＋b |， 当且仅当(2a ＋b )(－a )≥0，即(2a ＋b )a ≤0时，等号成立， 即当(2a ＋b )a ≤0时，|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |＝1.∴|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |的最小值等于1.∵|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |≥12f (x )，∴12f (x )≤1，即f (x )≤2. 由(Ⅰ)知f (x )≥2，∴f (x )＝2.当且仅当－12≤x ≤12时，f (x )＝2.综上所述，实数x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.(10分)。
2018年湖南师大附中高考数学二模试卷(理科)(最新整理)
（ⅰ）证明：{bn﹣1}是等比数列； （ⅱ）求数列{anbn}的前 n 项和 Tn． 18．（12 分）某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折 算，选出前 n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80， 85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直 方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等 差数列．且第四组的学生人数为 60，第五组对应的小长方形的高为 0.02． （Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图； （Ⅱ）若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试，并且在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，设 第三组有 ξ 名学生被考官 B 面试，求 ξ 的分布列和数学期望．
师范大学附属中学2018届高三数学4月月考试题理(含解析)
江西师大附中高三年级数学(理)月考试卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个正确选项。
1. 设集合A＝{x∈R｜｜x－i｜＜2},B＝｛y∈R|y＝｝，则∁R(A∩B)＝( ）A。
{x｜0≤x≤3} B. {x｜x＜0或x≥} C。
{x｜x＜或x≥｝D。
｛x|x＜0或x≥｝【答案】B【解析】由集合得，由集合得，或，故选B。
2。
已知随机变量X服从二项分布B(n,p）,若E(X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）A。
n=45，p=B。
n=45,p=C。
n=90，p= D. n=90，p=【答案】C【解析】随机变量服从二项分布，若，根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得,，解得，故选C．3. 已知定义域为R的函数f(x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A。
B.C。
D。
【答案】C【解析】定义域为的函数不是偶函数，为假命题，为真命题,故选C.4。
数列｛a n｝的通项a n是关于x的不等式x2﹣x＜nx（n∈N＊）的解集中的整数个数，则数列｛a n｝的前n项和S n=( ）A。
n2B。
n（n+1) C。
D。
（n+1）（n+2)【答案】C【解析】不等式的解集为，∵通项是解集中的整数个数,∴，∵（常数），∴数列是首先为1,公差为1的等差数列,∴前项和，故选C。
5. 函数y=x+cosx的大致图象是( ）A。
B。
C. D.【答案】B【解析】由于,,且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为,排除, 故选B．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题。
这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除6。
湖南师大附中2018届高三月考试卷
湖南师大附中2018届高三月考试卷(一)数 学(理科)命题人：黄祖军 徐凡训 审题：高三备课组(考试范围：高考全部内容(除选考部分))得分：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1〈x 〈4}，集合B ＝{x |2≤x 〈5}，则A ∩( U B )＝(B) (A){x |1≤x 〈2} (B){x |1〈x 〈2} (C){x |x 〈2} (D){x |x ≥5}【解析】A UB ＝{x |x 〈2或x ≥5}，故A ∩(（A U B )＝{x |1〈x 〈2}，故选B. (2)若a 〉b 〉0，c ＜d ＜0，则一定有(B) (A)a d 〉b c (B)a d 〈b c (C)a c 〉b d (D)a c 〈b d【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d ＜bc，故选B. (3)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(C)(A)48 cm 2 (B)144 cm 2 (C)80 cm 2 (D)64 cm 2【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5 cm ，底面边长是8 cm ，侧面积为12×4×8×5＝80(cm 2).故选C.(4)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题(D)(A)与原命题同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题 (C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题.故选D.(5)函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是(D)【解析】由已知，函数为偶函数，所以C 错；函数的定义域为R ，所以B 错；令x ＝0，f (0)＝ln 2≠0，所以A 错；故选D.(6)设函数f (x )＝错误!则满足f (x )≤2的x 的取值范围是(C) (A)[－1,2] (B)[0,2] (C)[0，＋∞) (D)[1，＋∞)【解析】当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x 〉1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x 〉1，所以x 〉1.故x 的取值范围是[0，＋∞).故选C.(7)m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当m 〈－2时，m －5〈0，m 2－m －6＝(m －3)(m ＋2)〉0，所以此方程表示焦点在y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则m 〈－2不成立.如m ＝4也表示双曲线.所以m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件.(8)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为(C) (A)n ＋12(n ＋2)(B)34－n ＋12(n ＋2)(C)34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 (D)32－1n ＋1＋1n ＋2 【解析】∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. (9)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0〈θ〈π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是(A)(A)2＋534 (B)1＋534 (C)3 (D)2＋52【解析】由已知得sin(A ＋B )＝sin A sin C＝sin A c ＝a ，又b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534，选A. (10)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P 、Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝(A)(A)13 (B)23 (C)43(D)2 【解析】以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴的正方向，AC 为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ ＝(－2,1－λ)，CP ＝(2λ，－1)，∵BQ ·CP ＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.(11)已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则有|AB |·|CD |(A)(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4(D)最大值是4【解析】设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据线定义得|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.(12)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是(D)(A)⎣⎡⎭⎫0，12 (B)⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (C)⎣⎡⎭⎫0，13 (D)⎝⎛⎦⎤0，12【解析】方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的根 f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的根 y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个不同的交点，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，∴f (x )＝1x ＋1－1， 所以f (x )＝错误!在同一坐标系内作出y ＝f (x )，x ∈(－1,1]与y ＝m (x ＋1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)设{a n }是由正数．．组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则其公比q 等于 12.【解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q 〉0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴q ＝12.(14)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处.【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x .费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立.(15)已知函数f (x )＝x 2－x ，x ，y 满足条件错误!若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则a 的取值范围是 (－1,1) .【解析】由已知得错误!即错误!目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，即y ＝－ax ＋z 在过点⎝⎛⎭⎫12，12时在y 轴的截距最大，如图，知所求a 的取值范围是(－1,1). (16)给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i 〈j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示. ①若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；②若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .【解析】①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1〈a 2〈a 3〈…〈a m ，则a 1＋a 2〈a 1＋a 3〈…〈a 1＋a m 〈a 2＋a m 〈…〈a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j 〉m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第(17)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分. (17)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，f (x )的最大值是2. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值. 【解析】(Ⅰ)由已知有：错误!解之得：错误!3分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，5分 因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，7分 由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分 cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－1213×12＋513×32＝53－1226.12分(18)(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，M 为CD 边的中点，沿BM 将△CBM 折起使得平面BMC ⊥平面ABMD .(Ⅰ)求证：平面AMC ⊥平面BMC ；(Ⅱ)求四棱锥C －ADMB 的体积；(Ⅲ)求折后直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC ⊥平面ABMD ，平面BMC ∩平面ABMD ＝MB ， 由题易知AM ⊥MB ，且AM 平面ABMD ， ∴ AM ⊥平面BMC ， 而AM 平面AMC ， ∴平面AMC ⊥平面BMC . 3分(Ⅱ)由已知有△CMB 是正三角形，取MB 的中点O ， 则CO ⊥MB . 又平面BMC ⊥平面ABMD 于MB ， 则CO ⊥平面ABMD ，且CO ＝32，5分 易求得S 梯形ABMD ＝334， ∴V C －ABDM ＝13×334×32＝38.7分(Ⅲ)作Mz ∥CO ，由(Ⅰ)知可如图建系，则A (3，0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫0，12，32，AB ＝(－3，1,0).又MD ＝12BA 得D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，CA ＝⎝⎛⎭⎫3，－12，－32，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－1，－32.9分设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则错误!得n ＝(1，－错误!，3). 设折后直线AB 与平面ADC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB ||n ||AB |＝3913.12分 (19)(本小题满分12分)一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付2 000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利14 000元.从两名棋手以往的比赛中得知： 甲每局获胜的概率为35，乙每局获胜的概率为25，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5 000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2 500元.(Ⅰ)求下完五局且甲获胜的概率是多少？(Ⅱ)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？ 【解析】(Ⅰ)设下完五局且甲获胜为事件A ，则5局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P (A )＝⎝⎛⎭⎫353·⎝⎛⎭⎫252＝1083 125.4分(Ⅱ) 设ξ表示比赛的局数，η表示商家相应的的收益. 则η＝(14 000－2×2 000)ξ－5 000＝10 000ξ－5 000， 根据题意ξ可取2,3,4,5. P (ξ＝2)＝⎝⎛⎫352＋⎝⎛⎭⎫252＝1325； P (ξ＝3)＝25×⎝⎛⎭⎫352＋35×⎝⎛⎭⎫252＝625；P (ξ＝4)＝25×⎝⎛⎭⎫353＋35×⎝⎛⎭⎫253＝78625；P (ξ＝5)＝2×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝72625或P (ξ＝5)＝1－[P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)]＝72625.10分 ∴Eξ＝2×1325＋3×625＋4×78625＋5×72625＝1 772625，Eη＝10 000Eξ－5 000＝28 352－5 000＝23 352.商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是23 352元. 12分或单设ξ为收益，可取15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再求Eξ. (20)(本小题满分12分)已知抛物线的方程x 2＝2y ，F 是其焦点，O 是坐标原点，由点P (m ，－3)(m 可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(Ⅰ)求证：OA ·OB ＝3；(Ⅱ)证明直线AB 过定点并求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值.【解析】(Ⅰ)由y ＝x 22得y ′＝x ，设由点P (m ，－3)向抛物线作切线的切点的坐标是⎝⎛⎭⎫x ，x 22， 则切线的斜率等于点P 与切点连线的斜率，即：x ＝x 22－(－3)x －m ，2分得x 2－2mx －6＝0，设切点A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－6， 故OA ·OB ＝x 1x 2＋x 212·x 222＝－6＋(－6)24＝3.5分另法：设切线方程：y ＋3＝k (x －m )与x 2＝2y 联立得：x 2－kx ＋mk ＋3＝0，其判别式k 2－4(mk ＋3)＝0，得两条切线的斜率之积k 1k 2＝－12，切点横坐标x ＝k 2，两切点的横坐标之积x 1x 2＝k 12·k 22＝－6，再后同上.(Ⅱ)设直线AB 的方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 2＝2y 整理得：x 2－2kx －2b ＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－2b ＝－6，即b ＝3， 即直线AB ：y ＝kx ＋3过定点D (0,3).8分 因为x 1x 2＝－6＜0，不妨设x 1〈0〈x 2， S △ABO ＋S △AFO ＝12|OD |(|x 1|＋|x 2|)＋12|OF ||x 1|＝32(x 2－x 1)－14x 1＝32x 2＋212x 2≥232x 2·212x 2＝37， 当且仅当32x 2＝212x 2即x 2＝7时取等号.此时面积之和取最小值37.12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)已知函数f (x )＝x (1－x 2)x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，求f (x )的最大值； (Ⅱ)已知函数g (x )＝ax ＋b x 2＋c 是定义在R 上的奇函数，且当x ＝1时取得极大值1.(ⅰ)求g (x )的表达式；(ⅱ)若x 1＝12，x n ＋1＝g (x n )，n ∈N ＋，求证：(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310. 【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝(1－3x 2)(x 2＋1)－2x (x －x 3)(x 2＋1)2＝1－4x 2－x 4(x 2＋1)2＝5－(x 2＋2)2(x 2＋1)2.易知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，恒有f ′(x )〈0，∴f max (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12＝310.3分 (Ⅱ)(ⅰ)由已知有g (0)＝0 b ＝0，则g (x )＝axx 2＋c ，g ′(x )＝a (x 2＋c )－2ax 2(x 2＋c )2＝ac －ax 2(x 2＋c )2，∵当x ＝1时g (x )取得极大值1，则g ′(1)＝0 a (c －1)＝0， 又a ≠0(否则有g (x )＝0，不合题意，则c ＝1. 而g (1)＝a 1＋1＝1 a ＝2，则g (x )＝2xx 2＋1.7分 (ⅱ)由x 1＝12及x n ＋1＝g (x n )＝2x n x 2n ＋1易知x n 〉0 x n ＋1＝2x nx 2n ＋1＝2x n ＋1x n≤1x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≥0{x n }是满足x n ＋1≥x n 且x n ∈⎣⎡⎦⎤12，1，n ∈N ＋，则由(Ⅰ)知 x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≤310，9分∴(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1＝(x n ＋1－x n )(x n ＋1－x n )x n x n ＋1≤310·(x n ＋1－x n )x n x n ＋1＝310⎝⎛⎭⎫1x n －1x n ＋1，∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＋1x 2－1x 3＋…＋1x n －1x n ＋1 ＝310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1， 而x 1＝12且x n ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，1，则1x 1－1x n ＋1∈[0,1]， ∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1≤310 得证.12分(二)选做题：共10分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：错误!(α为参数，a ∈R 且a 〉1)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3. (Ⅰ)若曲线C 上存在点P 其极坐标(ρ，θ)满足2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3，求a 的取值范围； (Ⅱ)设M 是曲线C 上的动点，当a ＝3时，求点M 到直线l 的的距离的最小值. 【解析】(Ⅰ)曲线C 的方程可化为：x 2a 2＋y 2＝1(a 〉1)，直线l 的方程化为直角坐标方程是：x －y ＋3＝0，2分 据题意直线l 与曲线C 有公共点，联立它们的方程并代入整理得：(a 2＋1)x 2＋6a 2x ＋8a 2＝0， 则其判别式Δ＝36a 4－32a 2(a 2＋1)≥0，解之得：a ≥22，即a ∈[22，＋∞).5分(Ⅱ)设M (3cos α，sin α)，点M 到直线l 的的距离为d ， 则d ＝|3cos α－sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋32， d min ＝12＝22.10分 (23)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |，x ∈R ，a ≥1. (Ⅰ)求证：f (x )≥2；(Ⅱ)若f (3)≤5，求a 的取值范围.【解析】(1)f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|x ＋a －1－x ＋2a |＝|3a －1|， 又a ≥1，所以f (x )≥2；5分 (2)f (3)≤5即|a ＋2|＋|2a －3|≤5，解之得：0≤a ≤2，又a ≥1，故所求的a 的取值范围是[1,2].10分。
2018年最新 湖南师大附中2018学年度高三年级月考试题
湖 南 师 大 附 中2018—2018学年度高三年级月考试题数学（理科）说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1．若复数i a a a a z )2()2(22--+-=的纯虚数，则（ ）A ．12≠≠a a 或B ．12≠≠a a 且C ．a =0D ．a =2或a =0 2．若|)|1)(1(,x x R x -+∈那么是正数的充要条件是（ ）A ．1||<xB ．1<xC ．1||>xD ．111<<--<x x 或3．设全集I=R ，.}0)(|{},0)(|{R Q P x g x Q x f x P ≠≠≠⊂⊂⊂>=<=φ且满足则集合}0)(0)(|{≤≥=x g x f x M 且等于 （ ）A ．C I PB ．C I QC ．φD ．（C I P ）∪（C I Q ）4．已知随机变量p n D E p n B 与则且,4.2,12),,(~==ξξξ的值分别是 （ ）A ．15与0 8B ．16与0 8C ．20与0 4D ．12与0 65．在等差数列{a n }中，若a 2+ a 6+ a 16为一个确定的常数，则下列各个和中也为确定的常数的是 （ ） A ．S 8 B ．S 10 C ．S 15 D ．S 176．已知实数),(,2|1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，)(,0),1()(x f x x x x f 时那么当<+=的解析式是（ ）A ．)1(x x --B ．)1(x x -C ．)1(x x +-D ．)1(x x +8．设函数f (x )是可导函数，并且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（ ）A ．21B ．－2C ．0D ．－19．设函数)12(),()(1-==-x f y x f x f y 现将函数的反函数为的图象向左平移2个单位，再关于x 轴对称后，所对应的函数的反函数是（ ）A ．2)(31x f y --=B ．2)(31x f y ---=C ．2)(31x f y -+-=D ．2)(31x f y -+=10．给出下列4个命题： ①若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形； ②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形； ③若cosAcosBcosC<0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 是等边三角形其中正确的命题是 （ ）A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11．函数21)|lg(|xx x y --=的定义域为12．已知,)1(x e f x =+则函数)(x f 的解析式是)(x f =13．已知函数-+-++≠>+=)41()21()41()21(),10(11)(f f f f a a a x f x 则且14．设向量||3||),sin ,(cos ),sin ,(cos a b y y b x x a -=+==若，则-)c o s (y x15．求值： 2222三 解答题：本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤16．（12分）已知βα,为锐角，且试求,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα)23c o s (βαπ++的值17．（12分）已知双曲线2112222+>=-e by a x 的离心率，左 右焦点分别为F 1 F 2，左准线为l ，试推断在双曲线上的左支上是否存在点P ，使得|PF 1|是点P 到l 的距离d与|PF 2|的等比中项？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由18．（14分）一袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球（Ⅰ）求至少摸到一个红球的概率；（Ⅱ）求摸到黑球个数ξ的概率分布和数学期望 19．（14分）在三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近C 点，AC=4，14 PA ，PB 和底面所成角为45°（Ⅰ）求点P 到底面ABC 的距离 （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的正切值20．（14分）已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x +1（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围21．（14分）已知数列{a n }满足：*).(02,2,81241N n a a a a a n n n ∈=+-==++且 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和2221224232221n n a a a a a a -++-+-- ；（Ⅲ）设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=21*),()12(1，若存在整数m ，使对任意n∈N*，均有32mT n >成立，求m 的最大值高三数学（文）参考答案一 选择题：1 C2 D3 B4 A5 C6 A7 B8 D9 C 10 B 二 填空题11．（－1，0） 12．)1ln(-x 13．2 14．823 15．2 三 解答题：16．解：由⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32∵.02sin ,02sin ,2,20,2,0≠≠∴<<∴<<βαπβαπβα①÷② .2c o t t a nβα= 即 .2cot )2cot(βαπ=- …………6分 又∵220παπ<-<，∴.0)2cot(2cot >-=απβ∴2,22,220βαβαππβ=+∴=-∴<< …………10分∴.23)32cos()23cos(-=+=++ππβαπ…………12分 17．设在左支上存在P 点使|PF 1|2=|PF 2|·d ，则,||||||121PF PF d PF = 又||||,||121PF e PF e dPF =∴= ① …………4分 又|PF 2|－|PF 1|=2a ②① ②由① ②得.12||,12||21-=-=e aePF e a PF …………8分 因在△PF 1F 2中有 |PF 1|+|PF 2|≥2c ，∴c e aee a 21212≥-+- ③ …………10分 利用,ace =代入③得.2121,0122+≤≤-∴≤--e e e212111+>+≤<∴>e e e 与 矛盾∴符合条件的点P 不存在 …………12分18．（1）至少摸到一个红球的概率 56551383505=-=C C C P …………4分 （2）ξ表示摸到黑球个数，则2815)1(;285)0(382513383503======C C C P C C C P ξξ； …………6分 56)3(;5615)2(38535381523======C C C P C C C P ξξ …………8分∴E ξ=.8…………14分19．（1）∵P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上，过P 作PH ⊥底面ABC ，则H 在AC上且靠近C 点，∴面PAC ⊥面ABC …………2分 在等腰Rt △ABC 中，连结BH 取AC 中点O ，连BO设PH=h ，由已知∠PBH=45°，则BH=h …………4分在△OHB 中BO ⊥AC ，OB=222,221-==h OH AC 在Rt △PAH 中，PA 2=HA 2+PH∴5,14)24(222=∴=+-+h h h∴P 到底面ABC 之距离为5 ………7分 （2）在H h OH h ∴=-==,12,522时是CO 中点 ……9分在△ABC 中，过点H 作HM ⊥AB 于垂足为M ，连PM则∠PMH 为二面角P —AB —C …………12分 ∵.3102235tan ,223224343==∠∴=⋅==PMH BC HM …………14分20．（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 …………2分而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a =2，b=－4，c=5∴.542)(23+-+=x x x x f ………………5分 （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 …………8分 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13 …………9分（3）y=f (x )在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a +b=0依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ……10分①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；①②③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 …………13分 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ …………14分 21．（1）∵n n n n n n n a a a a a a a -=-=-=+++++1121202即∴数列{a n }成等差数列 ………………2分 由n a a a d a a n 210,232,81441-=∴-=-===得公差 ……4分 （2）2221224232221n n a a a a a a -++-+--)())(())(())((212432121221243432121n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a ++++++-=-++++-++-=---).29(42)(2221n n a a n n -=+⋅= …………9分（3）∵).111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n …………10分∴n n b b b T +++= 21 ]1113121211[21+-++-+-=n n =.)1(2)111(21+=+-n n n …………11分 ∴0)1)(2(21)111(21)211(211>++=+--+-=-+n n n n T T n n ∴{T n }是递增数列 ∴411=T 是T n 的最小值 …………13分 由83241<⇒>m m ∴满足条件的最大整数m=7 …………14分。
2018-2019学年湖南师大附中高三(下)月考化学试卷(六)(3月份)
2018-2019学年湖南师大附中高三（下）月考化学试卷（六）（3月份）一、单选题（本大题共7小题，共42.0分）1.下列延长食品保质期的方法中，其原理与其它几种不同的是()A. 加食盐腌制B. 抽真空C. 充氮气D. 使用吸氧剂2.《天工开物》中的《燔石》篇载有：“百里内外，土中必生可燔石……掘取受燔……火力到后，烧酥石性，置于风中久自吹化成粉。
急用者以水沃之，亦自解散……用以砌墙石，则筛去石块，水调粘合。
”其中不涉及的物质是()A. 石膏B. 石灰石C. 熟石灰D. 生石灰3.下列实验操作或实验事故处理正确的是()A. 实验室制备溴苯时，将苯与液溴混合后加到有铁丝的反应容器中B. 实验室手指不小心沾上苯酚，立即用70℃以上的热水清洗C. 实验室制硝基苯时，将硝酸与苯混合后再滴加浓硫酸D. 实验室制乙酸乙酯时，用水浴加热4.下列有关有机物的说法正确的是()A. C2H5COOC2H5中混有C4H9COOH时可以加入饱和Na2CO3溶液后分液除去B. C3H7COOCH3(m)、C2H5COOC2H5(e)、C4H9COOH(p)的分子式均为C5H10O2，且满足(m)的同分异构体比(p)的多C. 分子式为C5H12O且能与金属钠反应产生气体的有机物，其同分异构体共有9种D. 含有属于芳香化合物的同分异构体5.某同学向SO2和Cl2的混合气体中加入品红溶液，振荡，溶液褪色，将此无色溶液分序号①②③实验操作实验现象溶液不变红，试纸不变蓝溶液不变红，试纸褪色生成白色沉淀A. 实验①说明Cl2被完全消耗B. 实验②中试纸褪色的原因是SO2+I2+2H2O=H2SO4+2HIC. 实验③中对SO42−的检验不可用Ba(NO3)2溶液代替BaCl2溶液D. 实验条件下，只有SO2被Cl2氧化6.短周期元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加。
A、B、C、D分别是这些元素形成的单质，甲、乙、丙、丁、戊是由这些元素形成的二元化合物。
2018-2019年湖南师大附中高三理科月考试卷答案解析(语文+数学+英语)
)$给那名男子"因为我知道那个车位对他来
'+'$!由上文中的 !(()).5(0+(5- *=2.32;5,)8%转向指示灯&)./)8,0+(D),以及A@.+-,02( -5(.F,328+;,+35,*+可知"这名男子之所以有这种表现是因为他错过了一个车位"感到很失望!
'%'"!3+(D528%绝望&相当于前文提到的32(5DD)2.,*+.,%失望&! ($'!!由上文中的A38)9+58)6.3,0+(*5::D58@2.<:),/)8"$*2.6,+('''5(D),可知"'我(能感受到
他的'绝望%3+(D528&("因为'我(也在这个地方'绕了%;28;:2.<&(许久才找到一个车位! ("'#!由下文中的A,68.+3)//*= '''5.338)9+(,852<0,D5(,'可知"我做 了 一 件 让 自 己 都 感 到 惊 讶
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高三下学期第六次月考数学(理)试题(附答案解析)
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高三下学期第六次月考数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2{4,2,1},0,2,1A a B a =-=-+，若{2}A B =I ，则实数a 满足的集合为( ) A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．∅2．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．43i - D ．43i + 3．下列说法正确的是( )A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -„” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v v ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，745．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。
湖南省湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期第六次月考理数试题 Word版含解析
湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷（六）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 【答案】C考点：复数及其运算.2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1-D ．[]7,1-【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或，{}Q 41x x =-<<．因为p 是q 的必要不充分条件，则Q 是P 的真子集，所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，选B ． 考点：1、充要条件；2、二次不等式.3.已知sin cos αα+=，且()0,απ∈，则cos 2α的值为（ ）A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】A 【解析】试题分析：由已知，()23sin cos 4αα+=，即31s i n 24α+=，则1s i n 24α=-．因为()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则cos sin 2αα-=-，所以()()cos 2cos sin cos sin 4ααααα=-+=-，选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题. 本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于1为工具，以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于（ ）A ．60B ．240C ．300D ．360【答案】D考点：程序框图.5.用1，2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有（ ）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2，4，6，8中各选一个数，连同5组成三位数，有113443C C 96A =个；第二类，从2，4，6，8中任选两个数，连同5组成三位数，有2343C 36A =个，所以符合条件的三位数共有9636132+=个，选B ． 考点：排列组合.6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．43π B C D ．3π【答案】C考点：1、三视图；2、正方体的外接球.7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示， 则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-【答案】A考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象．【易错点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由,T π=可排除A 、C ，再由()06f π-=可排除B ，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解）；2、排除法（抓住部分特征进行排除）.8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）A ．45万件B ．48万件C ．50万件D ．55万件参考公式：在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．【答案】C考点：回归直线的方程. 9.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：令()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦．设()f x t =，则()1f t =-．由图知，方程()1f t =-有两解1t ，2t ，且11t k=-，201t <<．从而方程()1f x t =有两解，方程()2f x t =也有两解．所以方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个解，选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点.10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D考点：1、向量及其运算；2、函数的最值.11.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F关于直线1l 的对称点P 在2l 上，在双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD【答案】A 【解析】试题分析：不妨设1:l b y x a =-，2:l b y x a =，点()F ,0c -，00,b x x a ⎛⎫P ⎪⎝⎭．因为1F l P ⊥，则001bx b a x c a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()2200b x a x c =+．因为F P 的中点00,22x c bx a -⎛⎫M ⎪⎝⎭在1l 上，则0022bx x c b a a -=-⋅，即02c x =．所以2222c c b a c ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，即223b a =．所以2e ==，选A ．12.对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0baf x f x dx =⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“积分 点”为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π【答案】B考点：1、定积分；2、三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查定积分、三角函数的性质，题型较新，属于较难题型.解决本题时，要求考生细读题干，弄清“积分点”这个概念，再计算220011cos 2sin 26262x dx x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，然后令()001cos 262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，结合072,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦可得02263x ππ+=，即04x π=．解此类题型关键是紧扣新概念，作为解题的突破口.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A =B，且a b +，则角C 的大小为 ． 【答案】60考点：1、正弦定理；2、余弦定理.14.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大 值为1，则113a b+的最小值为 ． 【答案】9 【解析】试题分析：作可行域，得当3x =，4y =时，目标函数z ax by =+取得最大值．由已知，341a b +=，则()11114334559333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当19a =，16b =时取等号，所以min 1193a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．考点：1、线性规划；2、重要不等式.15.设直线:l 20x y m --=与椭圆C :2214x y +=相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点，若∆ABM 的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是 ．【答案】(2,考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数x 得到228440y my m ++-=，降低计算量，再由()22163240m m ∆=-->⇒ 28m <⇒m -<122my y +=-⇒()121222x x y y m m +=++=．又由∆ABM 的重心在y 轴右侧⇒1220x x +->⇒2m >⇒m 的取值范围是(2,．16.如图，记棱长为1的正方体为1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，⋅⋅⋅，以此类推．则正方体9C 的 棱长为 ．【答案】18考点：1、空间几何体的结构特征；2、等比数列及其通项公式.【方法点晴】本题主要考查空间几何体的结构特征、等比数列及其通项公式，涉及合情推理思想，属于较难题型.先计算2122a a ==，在计算3222113233a a =⋅==，同理得4a =，519a =，⋅⋅⋅．由此猜想，数列1a ，3a ，5a ，⋅⋅⋅，21n a -是首项为1，公比为13的等比数列，所以4911381a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，本题的关键是观察出奇次项数列的规律.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N都有2nnS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】(1)是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-. 【解析】试题分析：（1）已知可得121242n n n a --=⋅= 2log 21n a n ⇒=- ()21212n n S n n +-⇒=⋅= 24nnS S ⇒=；（2）由已知可得前n 项和()122n n n n d -T =+()()()()222148*********n n n n n d n d p n n n d n d-++-T ⇒===-T +-+恒成立 ()()()4240p dn p d ⇒-+--=恒成立()()()40240p d p d -=⎧⎪⇒⎨--=⎪⎩4p ⇒=，4d = ()24142n b n n ⇒=+-=-．（2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d-++-T ==-T +-+．…………………（8分）因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n dp n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．…………………（10分） 所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩．因为0d ≠，则4p =，4d =．所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-．…………………（12分） 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和公式；3、对数的基本运算. 18.（本小题满分12分）某工厂有120名工人，其年龄都在2060岁之间，各年龄段人数按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1) 应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）均年龄约为37岁；（3）分布列见解析，期望()712E X =．试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15．…………………（1分）因为400.312⨯=，400.3514⨯=，400.28⨯=，400.156⨯=，所以年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60应抽取的人数分别为12，14，8，6．…………………（3分） （2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=．由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁…………………（6分）由题设，X 的可能取值为0，1，2．其中()111011342⎛⎫⎛⎫P X ==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11115111343412⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11123412P X ==⨯=．…………………（10分）所以X 的分布列是…………………（11分） 期望()151701212121212E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分） 考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，1A A ⊥底面CD AB ，各侧棱长和底边长都为2，D 60∠BA =，E 为侧棱1BB 的延长线上一点，且11B E =． （1）求二面角1D C -A -E 的大小；（2）设点F 在线段1D E 上，若1F//A 面C A E ，求1D F:F E 的值．【答案】(1)45；(2)1D F:F 3:2E =．试题解析：（1）取C A 的中点O ，连结1D O ，OE ．因为1D D D ⊥A ，1D D CD ⊥，D CD A =，则11D CD A =，所以1D C O ⊥A ． 同理C OE ⊥A ，所以1D ∠OE 为二面角1D C -A -E 的平面角．…………………（2分） 由已知，D ∆AB 是边长为2的正三角形，则D 1OB =O =．在1Rt DD ∆O 中，1DD 2=，则1D O ==3分）在Rt ∆OBE 中，3BE =，则OE ==4分）连结11D B ，在11Rt D ∆B E 中，11D 2B =，11B E =，则1D E ==……………（5分）显然，22211D D O +E =OE ，则1D ∆O E 为等腰直角三角形，所以1D 45∠OE =，故二面角1D C -A -E 的大小为45．…………………（6分）（2）分别以OA ，OB 为x 轴，y 轴，过点O 与平面CD AB 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0OA =，()0,1,3OE =，()D 0,1,0O =-，()1D 0,1,2O =-．…………………（8分）设(),,n x y z =为平面C A E 的法向量，则00n n ⎧⋅OA =⎪⎨⋅OE =⎪⎩，即030y z =+=⎪⎩．取1z =，则()0,3,1n =-．…………………（9分）设11D F D λ=E ，则()()111111F D D F D D D D λλA =A +=A +E =O -OA +OE -O()()()1,00,2,11,λλλ=-+=-．…………………（10分）因为1F//A 面C A E ，则1F n A ⊥，即1F 0n A ⋅=，所以()3210λλ--+=，解得35λ=．………（11分）所以113D F D 5=E ，故1D F:F 3:2E =．…………………（12分）考点：1、二面角的平面角；2、线面平行.20.（本小题满分12分）如图1，已知抛物线E 的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上，准线与y 轴的交点为T ．过点T 作圆C :()2221x y +-=的两条切线，两切点分别为D ，G ，且DG =．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）如图2，过抛物线E 的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别交抛物线E 于P ，Q 两点和M ，N 两点，A ，B 分别为线段Q P 和MN 的中点，求∆AOB 面积的最小值．【答案】(1) 24x y =；(2)6.试题解析：（1）由对称性知，DG y ⊥轴，设DG 与y 轴的交点为H ，则D H =．连CD ，则R t C D ∆H 中， CD 1=，则1C 3H ==．…………………（1分） 因为D T 为圆C 的切线，则CD D ⊥T ．由射影定理，得2C C CD H T =，则C 3T =．…………（3分）因为圆心C 的坐标为()0,2，则C 2O =，所以1OT =，即12p=，得2p =． 所以抛物线E 的标准方程为24x y =．…………………（5分）（2）设直线1l 的斜率为k ，因为1l 过焦点()F 0,1，则直线1l 的方程为1y kx =+．代入24x y =，得2440x kx --=．设点()11,x y P ，()22Q ,x y ，则124x x k +=．因为A 为线段Q P 的中点，则点()22,21k k A +…………………（7分）因为12l l ⊥，则直线2l 的方程为11y x k =-+．同理可得点222,1k k ⎛⎫B -+ ⎪⎝⎭．…………………（8分）直线AB 的方程为2222122222y k x k k k k k---=---，即13y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然过定点()D 0,3．…………（10分）设∆AOB 的面积为S ，AB 与y 轴的交点为K ，则11332S S S x x k k∆AOK ∆BOK A B =+=⨯⨯-=+36≥⨯=，当且仅当1k =±时取等号．所以∆AOB 的面积的最小值为6．…………………（12分考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆；3、射影定理；4、直线与抛物线；5、三角形的面积；6、重要不等式.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题.本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型.21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--，其中a 为常数且0a >．（1）若曲线()y f x =与直线2ay =相切，求a 的值； （2）设1x ，2x 为两个不相等的正数，若()()12f x f x =，证明：12x x a +>．【答案】(1) 2a =；（2）证明见解析.（2）不妨设120x x <<，由()()12f x f x =⇒ ()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒ ()2222112211ln ln 22a x x x x x x x x +--=+--⇒ 222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为22221112221122ln ln x x x x x x x x x x +--+>⇒+--()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+-- ()()()122121ln ln 2x x x x x x ⇒+->-⇒()2121122ln ln x x x x x x -->+ 21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒>+．令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．设()()21ln 01t g t t t -=->⇒+()()()()22211411t g t t t t t -'=-=⇒++当1t >时，()0g t '>⇒()g t 在()1,+∞内单调递增()()10g t g ⇒>=⇒原不等式成立．试题解析：（1）()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==（0x >）．………（1分） 因为0a >，由()0f x '>，得2a x >．则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以2ax =为()f x 的唯一极值点．…………………（2分） 因为曲线()y f x =与直线2ay =相切，则22a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()22ln 4222a a a a a a -+-=．因为0a >，则1ln 0422a a-+=．…………………（3分） 设()1ln 422a a h a =-+，则()1104h a a'=+>，所以()h a 在()0,+∞内单调递增．因为()20h =，所以2a =．…………………（5分）因为()()22112121ln ln ln ln 0x x x x x x x x +--=-+->，则不等式再化为()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+--，即()()()122121ln ln 2x x x x x x +->-，即()2121122ln ln x x x x x x -->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．…………………（9分）令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．…………………（10分）设()()21ln 01t g t t t -=->+，则()()()()22211411t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>， 则()g t 在()1,+∞内单调递增，所以()()10g t g >=，故原不等式成立．…………………（12分）考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、函数的单调性；4、导数的综合运用.【方法点晴】本题主要考查函数的极值、函数的最值、函数的单调性和导数的综合运用，综合程度高，属于难题. 第一小题要懂得利用22a af ⎛⎫=⎪⎝⎭建立方程进行求解；第二小题由()()12f x f x =⇒()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．再用换元法进一步化为()21ln 1t t t ->+，再利用导数工具进行求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在O 的内接四边形CD AB 中，D C A =B ，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ．（1）证明：C C D ∠BE =∠A ；（2）若4AB =，C 3A =，CD 1=，求C E 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）C E =试题解析：（1）因为D C A =B ，则劣弧D C A =B ， 所以CD C ∠A =∠BA ．因为C E 是O 的切线，则C C ∠B E =∠BA ，从而C CD ∠BE =∠A ．…（3分）因为C ∠BE 是四边形CD AB 的一个外角，则C DC ∠BE =∠A ． 所以()()C 180C C 180CD DC C D ∠BE =-∠B E+∠BE =-∠A +∠A =∠A ．…………………（5分）（2）由（1）知，C CD ∠EA =∠A ，C C D ∠AE =∠A ，则C ∆A E CD ∆A ，所以CC CDAE A =A ． 因为C 3A =，CD 1=，则2C CD 9AE =A ÷=．…………………（8分）因为4AB =，则5BE =A E -A B =．由切割线定理，2C 45E =AE⨯BE =，所以C E =…………………（10分）考点：1、三角形的相似；2、切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 所截得的线段长． 【答案】(1)22123sin ρθ=+；(2)165．【解析】试题分析：（1）由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩⇒得22143x y +=⇒2222cos sin 143ρθρθ+=，即22223cos 4sin 12ρθρθ+=⇒()223sin 12ρθ+=⇒22123sin ρθ=+；（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒cos sin θρθ-=⇒直线l的直角坐标方程为y -=⇒)1y x =-⇒其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=，得22314122t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒254120t t +-=⇒1245t t +=-，12125t t =-⇒12165t t -===．（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θρθ-= 所以直线ly -)1y x =-．…………………（6分）显然，直线l 过点()1,0，倾斜角为60，则其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．…………………（7分）代入22143x y +=，得22314122t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即254120t t +-=．设方程的两根为1t ，2t ，则1245t t +=-，12125t t =-，12165t t -===． 故直线l 被曲线C 所截得的线段长为165．…………………（10分） 考点：1、参数方程；2、极坐标方程；3、弦长公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =-++-，其中m 为常数． （1）当7m =时，求不等式()0f x >的解集；（2）设实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，若函数()f x 的最小值为2-，证明：222210a b c ++≥．【答案】（1）()(),43,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由7m =⇒()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．再由()0f x >⇒1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩⇒3x >或4x <-⇒解集为()(),43,-∞-+∞；（2）由()()12123x x x x -++≥--+=⇒当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时取等号，⇒()min 3f x m =-⇒32m -=-，则5m =．解法一：由题设5a b c ++=⇒5a c b +=-⇒()()2222522a cb ac +-+≥=⇒()()222222255120251052210222b b b b a bc b --+-+++≥+==≥．解法二：由题设，5a b c ++=，⇒()()222212112a b c a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭⇒即()22252252a b c ++≥，⇒222210a b c ++≥．试题解析：（1）当7m =时，()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．…………………（3分） 由()0f x >，得1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩，即3x >或4x <-．所以不等式()0f x >的解集为()(),43,-∞-+∞．…………………（5分）考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.。
《首发》湖南师大附中2018届高三上学期摸底考试(7月)(教师版)数学(理)Word版含解析
高三摸底考试(附中版)理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三摸底考试数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |0<x<2，B ＝{}x |1－x 2>0，则A ∩()∁R B ＝(B) (A){x |0≤x ≤1} (B){x |1≤x ＜2} (C){x |－1＜x ≤0} (D){x |0≤x ＜1}(2)在复平面内，复数z 所对应的点为()1，1，则⎪⎪⎪⎪z1－2i ＝(D)(A)1 (B)25 5 (C)25 (D)105(3)记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 5＝20，a 8＝19，则S 10＝(C) (A)23 (B)105 (C)115 (D)230(4)如图，在边长为1的正方形OABC 中随机取一点 ，则此点恰好取自阴影部分的概率为(A)(A)16 (B)14 (C)13 (D)12(5)对于下列四个命题P 1：∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0；P 2：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＜⎝⎛⎭⎫13x 0； P 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞log 12x ；P 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x＜log 13x. 其中的真命题是(B ) (A )P 1，P 3 (B )P 1，P 4 (C )P 2，P 3 (D )P 2，P 4(6)函数f(x)＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位得到函数y ＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为(C )(A )1 (B )32(C )2 (D )10(7)某几何体的三视图如下图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为(D )(A )(19＋π) cm 2 (B )(22＋4π) cm 2(C )(13＋62＋4π) cm 2 (D )(10＋62＋4π) cm 2(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为(D )(A )210－1 (B )210(C )310－210 (D )310(9)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线相交于M ，N 两点，若PF →＝3MF →，则|MN|＝(A )(A )323 (B )212(C )11 (D )10(10)设等比数列{}a n 的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 9a 10－1>0，a 9－1a 10－1<0，则使T n >1成立的最大自然数n 的值为(C ) (A )9 (B )10 (C )18 (D )19(11)已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 为自然对数的底数，若不等式f(3a 2)＋f(－2a－1)≤f(0)恒成立，则实数a 的取值范围为(B )(A )⎣⎡⎦⎤－12，1 (B )⎣⎡⎦⎤－13，1 (C )⎣⎡⎦⎤－1，13 (D )⎣⎡⎦⎤13，1 【解析】易知函数f(x)为奇函数，又因为f′(x)＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2≥0，所以函数f(x)为增函数，原不等式转化为：f(3a 2)≤f(2a ＋1)⇒3a 2－2a －1≤0，解得：－13≤a ≤1，所以答案选B .(12)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧DB︵上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的取值范围为(C )(A )[]－1，5(B )⎣⎡⎦⎤12，2(C )⎣⎡⎦⎤12，5(D )⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】以A 为原点，AB →为x 轴正方向，AD →为y 轴正方向，建立直角坐标系．设AB ＝1，P(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则AC →＝(1，1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，AP →＝(cos θ，sin θ)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μcos θ，1＝－λ＋μsin θ，解得μ＝32cos θ＋sin θ.又λ＝μsin θ－1，所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝3（1＋sin θ）2cos θ＋sin θ－1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.设y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ，则y′＝2＋2sin θ－cos θ（2cos θ＋sin θ）2>0.所以y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增．所以：λ＋μ∈⎣⎡⎦⎤12，5，选C . 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若(ax ＋x)5的展开式中x 4项的系数为80，则实数a ＝__2__．(14)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y －3≤0，x －y －3≤0，x ≥0，则2x －y 的取值范围为__[－1，6]__．(15)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝120°，则双曲线的离心率为．【解析】由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝120°，可得∠F 1PF 2＝120°，在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得 4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a·2a·cos 120°，即有4c 2＝20a 2＋8a 2，即c 2＝7a 2， 可得c ＝7a ，即e ＝7.(16)已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，且AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，若G 为△ABC 的重心，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为__634π9__．【解析】由题意可知，AG ＝2，AD ＝1，cos ∠BAC ＝25＋25－642×5×5＝－725，∴sin ∠BAC＝2425， ∴△ABC 外接圆的直径为2r ＝82425＝253，设球O 的半径为R ，∴R ＝62536＋14＝63436.∴球O 的表面积为634π9，故答案为634π9.三、解答题：本题共6个小题，满分70分．(17)(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos B ＝2a ＋bc. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积为S ＝38c ，求ab 的最小值．【解析】(Ⅰ)由2cos B ＝2a ＋b c 得，2·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ＋bc，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，故C ＝2π3.(Ⅱ)由△ABC 的面积为S ＝38c ＝12ab sin C ＝34ab ，得c ＝2ab ，将其代入a 2＋b 2－c 2＝－ab 得，a 2＋b 2－4a 2b 2＝－ab ，则4a 2b 2－ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≥34，当且仅当a ＝b ＝32，c ＝32时，ab 取最小值34.(18)(本小题满分12分)如图，几何体P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，侧面PAD 为等边三角形，且CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝13AB ＝1，PB ＝10.(Ⅰ)求证：面PAD ⊥面ABCD ；(Ⅱ)求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值． 【解析】(Ⅰ)由于PA ＝1，AB ＝3，PB ＝10， 则PB 2＝PA 2＋AB 2，则BA ⊥PA ，又∠DAB ＝90°，则BA ⊥DA ，故BA ⊥面PAD ， 又BA ⊂面ABCD ，则面PAD ⊥面ABCD.(Ⅱ)取O 为AD 中点，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz.取E 为PA 中点，易知ED →＝⎝⎛⎭⎫－34，0，－34为面PAB 的法向量；再令n ＝(x ，y ，1)为面PBC 的法向量，由于CB →＝(1，2，0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－3，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－12x －3y ＋32＝0，解得x ＝－32，y ＝34， 则n ＝⎝⎛⎭⎫－32，34，1，而显然二面角A －PB －C 为锐二面角(直接由CH 与DE 平行且相等知点H 在△P AB 的内部)，故所求余弦值为||cos 〈n ，ED →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·ED →||n ·||ED →＝3131. (19)(本小题满分12分)近几年来我国电子商务行业发展迅猛，2016年元旦期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(Ⅰ)完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X .(i)求对商品和服务全好评的次数X 的分布列(概率用组合数算式表示)； (ii)求X 的数学期望和方差．(K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )【解析】(得K 2＝200（80×10－40×70）150×50×120×80≈11.111＞10.828，可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(Ⅱ)(i)每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5，X ～B (5，0.4)．P (X ＝0)＝0.65；P (X ＝1)＝C 15·0.4·0.64；P (X ＝2)＝C 25·0.42·0.63；P (X ＝3)＝C 35·0.43·0.62； P (X ＝4)＝C 45·0.44·0.6；P (X ＝5)＝0.45，(ii)由于X ～B ⎝⎭⎫5，25，则EX ＝5×0.4＝2，DX ＝5×0.4×0.6＝1.2. (20)(本小题满分12分)已知等差数列{}a n 满足：a 2＝4，a 5－2a 3＋2＝0. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}b n 满足：b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)，求{}b n 的前n 项和S n . 【解析】(Ⅰ)令等差数列{}a n 的公差为d ，由a 2＝4，a 5－2a 3＋2＝0，得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋4d ）－2（a 1＋2d ）＋2＝0，解得a 1＝2，d ＝2， 故{}a n 的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)． (Ⅱ)由于b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)， ①若n 为偶数，结合a n －a n －1＝2，得S n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a n －1＋a n )＋(1＋2＋…＋n )＝2·n 2＋n （n ＋1）2＝n 2＋3n 2；②若n 为奇数，则S n ＝S n －1＋b n ＝（n －1）2＋3（n －1）2－2n ＋n ＝n 2－n －22.(21)(本小题满分12分)已知A (－2，0)，B (2，0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为2 3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，F (c ，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12·2a ·b ＝23，a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，离心率为12.(Ⅱ)证明：由题意可设直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)． 则点D 坐标为(2, 4k )，BD 中点E 的坐标为(2, 2k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则－2x 0＝16k 2－123＋4k 2.所以x 0＝6－8k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝12k3＋4k 2. 因为点F 坐标为(1，0)，当k ＝±12时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1， ±32，直线PF ⊥x 轴，点D 的坐标为(2，±2)． 此时以BD 为直径的圆(x －2)2＋(y ∓1)2＝1与直线PF 相切．当k ≠±12时，则直线PF 的斜率k PF ＝y 0x 0－1＝4k1－4k 2.所以直线PF 的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)．点E 到直线PF 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8k 1－4k2－2k －4k 1－4k 216k 2（1－4k 2）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋8k 31－4k 21＋4k 2|1－4k 2|＝2|k |.又因为|BD |＝4|k |，所以d ＝12|BD |.故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 在椭圆上运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切． (22)(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ln x ＋(a －1)x .(Ⅰ)若f (x )存在最大值M ，且M >0，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)令a ＝12，g (x )＝xf (x )＋b ＋24x 2－x ＋12，求证：对任意的0<b <1，g (x )总存在最小值m ，且m <0.【解析】(Ⅰ)由于f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋a －1＝（a －1）x ＋a x，当a ∈(－∞，0]∪[1，＋∞)时，f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，此时f (x )无最大值；当a ∈(0，1)时，由f ′(x )＝0得x ＝a1－a，知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 1－a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞上单调递减，故x ＝a1－a 为f (x )的极大值点．所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a －a >0，解得：ee ＋1<a <1.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫ee ＋1，1时，f (x )有最大值M >0.(Ⅱ)当a ＝12时，g (x )＝xf (x )＋b ＋24x 2－x ＋12＝12x ln x ＋b 4x 2－x ＋12.g ′(x )＝12(ln x ＋bx －1)，由于0<b <1，则g ′(1)＝b －12<0，g ′(e)＝b e2>0，并且g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，故存在唯一的x 0∈(1，e)，使得g ′(x 0)＝0， 从而，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，x 0)上单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，即g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增． 故函数g (x )存在最小值m ＝g (x 0)，结合g ′(x 0)＝0即ln x 0＝1－bx 0，得m ＝g (x 0)＝12x 0(1－bx 0)＋b 4x 20－x 0＋12＝－b 4x 20－12x 0＋12<12(1－x 0)<0. 综上得，对任意的0<b <1，g (x )总存在最小值m ，且m <0.。
师范大学附属中学2018届高三数学下学期测试(三模)试题理(含解析)
江西师大附中2018届高三年级测试（三模)理科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合，则（)A。
B. C。
D.【答案】A【解析】分析:先化简集合M和N，再求.详解：由题得所以。
由题得所以.故答案为:A点睛:(1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。
（2)解答本题的关键是求,由于集合中含有k，所以要给k赋值,再求。
2。
已知复数满足，则（)A。
B. C。
D。
【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求。
详解：由题得所以故答案为:B点睛：（1)本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2）复数的共轭复数3。
设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（)A。
若，则 B. 若，则C。
若，则 D. 若,则【答案】D【解析】分析:利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题。
对于选项B, 若,则或a与相交。
所以选项B是假命题。
对于选项C，若,则或与相交。
所以选项C是假命题。
对于选项D, 若，则，是真命题。
故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力。
(2）对于空间线面位置关系的判断,一般利用举反例和直接证明法。
4。
执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的,那么判断框中应填入的条件为( ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:直接按照程序运行即可找到答案。
详解:依次执行程序框图中的程序,可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件,继续运行；③,不满足条件,停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题，直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若,则( )A。
2018年最新 湖南师大附中2018年高三年级第六次月考数学试卷-人教版[全套] 精品
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湖南师大附中2018年高三年级第六次月考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},2|||{2 （ ）A ．}22|{<<-x xB ．}31|{<<-x xC ．}32|{<<x xD ．}21|{<<-x x 2．在△ABC 中，C=2B ，则B Bsin 3sin 等于（ ）A ．ba B ．abC ．ca D ．ac 3．已知命题p ：公差不为0的等差数列}{n a 中的任何两项不相等；命题q ：公比不为1的等 比数列}{n b 中的任何两项不相等，则下列命题为真的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．┐p 或qD ．┐p 且q4．把函数x y 2cos =的图象按向量a 平移，得到x y 2sin =的图象，则 （ ）A ．)0,2(π=B ．)0,2(π-= C ．)0,4(π= D ．)0,4(π-=5．（理）圆122=+y x 上的点到直线t t y tx (3443⎩⎨⎧+=-=为参数）的距离的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．1（文）直线过点（0，2），且被圆422=+y x 截得的弦长为2，则此直线的斜率是（ ） A ．23±B ．33±C ．2±D ．3±6．在四边形ABCD 中，==⋅且,0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 7．如图，点E 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则 过点E 且与直线AB 、B 1C 1都相交的直线的条数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数条 8．若),,0(,+∞∈b a 则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”成立 的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 9．如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的 数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，……，记 其第n 项为a n ，则a 19等于 （ ） A ．11 B ．12 C ．55 D ．7810．将一张画了两轴的长度单位相同的平面直角坐标系的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3） 与点（m ，n ）重合，则m+n 的值为 （ ）A ．3B ．7C ．10D ．4 11．如图，在△ABCD 中，︒=∠=∠30CBA CAB ，AC 、BC边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ） A ．1 B ．2C ．32D ．312．已知x 、y 满足12,00033-+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+x y z y x y x 则的取值范围是（ ）A ．[－2，1]B ．),1[]2,(+∞--∞C ．[－1，2]D ．),2[]1,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上. 13．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 14．函数),(132a x x y -∞+--=在区间上是增函数，则a 的取值范围是 . 15．在等式“][9][11+=”右边两个分灵敏的分母处，各填上一个自然数，使这两个自然数的和最小. 16．定义一种运算“*”，对于正整数n 满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3（n*1）则n*1用含n 的代数式表示是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在圆422=+y x 上有一定点)3,1(--A 和两动点P 和Q ，PA PAQ ,30︒=∠与 x 轴交成的倾斜角为)65,0(,πθθ∈ （1）把线段PA 的长表示成θ的函数并求该函数的值域； （2）当线段PA 最长时求△PAQ 面积.18．（本小题满分12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为)0(>k k ，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.（1）若存款的利率为)048.0,0(,∈x x ，试写出存款量)(x g 及银行应支付给储户的利息 )(x h ；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？19．（12分）已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2.（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值.20．（本小题满分12分）有)4(2≥n n 个正数，排成n n ⨯矩阵（n 行n 列的数表，如图）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：163,81,1434224===a a a ，（1）求公比q ； （2）用k 表示k a 4；（3）（文科生不做．．．．．）求nn a a a a ++++ 332211的值.… ………21．（本小题满分12分）（理科生做．．．．）已知OPQ ∆的面积为S ，且1=⋅PQ OP ； （1）若θ的夹角与求向量PQ OP S ),23,21(∈的取值范围； （2）设m S m OP 43,||==，以O 为中心，P 为焦点的椭圆经过点Q ，当),2[+∞在m 上 变动时，求||的最小值，并建立适当的直角坐标系求出此时的椭圆方程.（文科生做）在△ABC 中，已知B （－3，0），C （3，0），D 为线段BC 上一点，H BC AD ,0=⋅是△ABC 的垂心，且.3= （1）求点H 的轨迹M 的方程； （2）若过C 点且斜率为21-的直线与轨迹M 交于点P ，点Q （t ，0）是x 轴上任意一点， 求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围.22．（本小题满分14分）（理科生做．．．．）对于在区间[m ，n]上有意义的两个函数)()(x g x f 与，如果对任意],[n m x ∈ 均有],[)()(,1|)()(|n m x g x f x g x f 在与则称≤-上是非接近的，否则称)()(x g x f 与在],[n m 上是非接近的，现有两个函数)1,0(1log )()3(log )(21≠>-=-=a a ax x f a x x f a a 与，给定区间]3,2[++a a .（1）若)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上都有意义，求a 的取值范围. （2）讨论)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上是否接近的？（文科生做）已知函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象上有两点))(,(11m f m A 、))(,(22m f m B ，满足.0)()()]()([0)1(21212=⋅+⋅++=m f m f a m f m f a f 且（1）求证：0≥b ；（2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[；（3）问能否得出)3(1+m f 、)3(2+m f 中至少有一个为正数？请证明你的结论.数学参考答案一、选择题：D ，A ，A ，C （理）A ，（文）B ，C ，B ，A ，C ，C ，D ，B 二、填空题：13．12+=n a n 14．1-≤a 15．4，12 16．13-n 提示：1213]1)1[(31,,3)12(313,3)11(312,111-=*-=*∴=*=*=*=*=*n n n三、解答题17．（1）解法1：设P 点的坐标为l PA y x =||),,(，于是3sin ,1cos -=-=θθl y l x .因为4),(22=+y x y x P 在圆上，所以4)3sin ()1cos (22=-+-θθl l ， 化简得).6sin(4)sin 3(cos 20,0)sin 3(cos 22πθθθθθ+=+=>=+-l l l l 得由].4,0()6sin(4),65,0(∈+=∴∈πθπθl ………………8分 解法2：直线PA 的方程为03tan tan ),1(tan 3=-+-+=+θθθy x x y 即 ∵圆心O 到直线PA 的距离为2222||2,tan 1|3tan |d R PA R d -=∴=+-=θθθθθθθθ222222cos )1tan 3(2tan 1)1tan 3(2tan 1)3(tan 42+=++=+--= ]4,0()6sin(4||),65,0(.|)6sin(|4|cos sin 3|2∈+=∴∈+=+=πθπθπθθθPA ……………………8分（2）由（1）得或者由几何性质得：当3πθ=即AP 过圆心时PA 最长为4，此时PA 为圆的直径. 所以PAQ ∆为直角三角形. 因为|PA|=4，所以2,32==PQ AQ .32||||21==∆PQ AQ S PAQ ……………………12分 18．解：（1）由题意，存款量2)(kx x g =，银行应支付的利息3)()(kx x g x x h =⋅=……4分（2）设银行可获收益为y ，则 32048.0kx kx y -⋅=………………6分03096.003096.022=-⨯='-⋅='kx x k y kx x k y 即令解得032.00==x x 或………………9分又当)032.0,0(,0,)048.0,032.0(,0,)032.0,0(在时时y y x y x ∴<'∈>'∈内单调递增， 在（0.182，0.188）单调递减. 故当032.0=x 时，y 在（0，0.188）内取得极大值，亦即最大值.答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.………………12分 19．解法一：（1）过D 作DQ ⊥AC 于点Q ，⊥PA 平面ABCD ，DQ PA ⊥∴.………………（1分） ⊥∴DQ 平面PAC.………………（2分）∴又由DQ AC AB AD S ACD ⋅=⋅=∆2121， 522=+=BC AB AC ……………（4分） 556523=⋅=⋅=∴AC AB AD DQ ………（5分） ∴D 到平面PAC 的距离为.556…………（6分） （2）过A 作AK ⊥DC 于K 点，连MK. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴MK ⊥CD. ∴∠MKA 为M —CD —A 的平面角.……………………（9分）ACD MA PM MAPMAD PA ∆==∴===在又.1,2,2,3 中，由面积相等， 得22,=⋅=⋅CD AK CD AB AD 又，.32tan ,223==∠∴=⋅=∴AK MA MKA CD AB AD AK ………………（12分）解法二：以A 为坐标原点，分别以,,所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系. ……………………………………（1分）（1）过D 作DQ PAC DQ DQ PA Q AC DQ ∴⊥∴⊥⊥,,,平面于 就是D 到平面PAC 的距离.………………（2分）设),0,1,2()(m BC AB m AC m AQ =+==),0,3,2()0,1,2()0,3,0(-=+-=+=∴m m m AQ DA DQ …………（4分）由53,0)3(4,2=∴=-+=⋅⊥m m m m 得…………（5分） .556)512()56(||22=+=……………………（6分）（2）过A 作).0,2,2(,-==⊥λλK DC AK 设点于………………（7分） 则,43,0,).0,23,2(=∴=⋅∴⊥-=+=λλλDK AK AD AK DK AD AK .2230)23()23(||22=++=∴………………（9分）MKA CD MK ABCD MA ∠∴⊥∴⊥.,平面 就是M —CD —A 的平面角.……（11分）.32||tan ==∠∴AK MKA ………………………………（12分） 20．解：（1）∵每一行的数列成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列，41,244444243=+=∴a a a a ；又每一列的数成等比数列，故1,2422444=⋅=a q a a ， 21,0,412=∴>=∴q a q n 且………………（文6分，理4分）（2）.16))(2(81)2(4243424ka a k d k a a k =--+=-+=……（文12分，理8分） （3）∵第k 列的数成等比数列 ).,,2,1()21()21(16444n k k k q a a k k k k kk =⋅=⋅=⋅=∴-- 记n nn S a a a a =++++ 332211，由错位相消法，可得.222nn n S +-=……（理12分）21．（理科）解：（1）,,θπθ-∴夹角为与夹角为与,sin ||||21)sin(||||21θθπPQ OP PQ OP S ⋅=-⋅=∴ 又,tan 21sin cos 121,1cos ||||θθθθ=⋅=∴=⋅=⋅S )23,21(∈S ，).3,4()3,1(tan ππθθ∈∴∈∴………………（5分）（2）以O 为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系，,43||21),,(),0,(000m y m S y x Q m P OPQ =⋅⋅=∴∆则设 ),23,(),0,(,2300±-==∴±=∴m x m y由,1,1)(00mm x m x m +=∴=-=⋅.49)1(||),23,1(2++=∴±+∴m m m m Q ……………………（8分） 令1)(,1)(>+=x x f x x x f 在上是增函数，),2(1)(+∞+=∴在mm m f 上为增函数， ||,2m 时当=∴的最小值为;23449)25(2=+………………（10分） 此时P （2，0），椭圆另一焦点为)0,2(-'P ，则椭圆长轴长,102)23()225()23()225(||||22222=++++-='+=P O a6410,102=-==b a ，故椭圆方程为.161022=+y x ………………（12分） （文科）解：（1）设),(),,(00y x A y x H ，则由0=⋅BC AD 知，AD 是△ABC 的高， .4,3.00y y x x ===∴得由 ).,3(),4,3().4,(y x y x y x A +=--=∴∴…（2分） ABC H ∆是 的垂心，0),3()4,3(,0=+⋅--∴=⋅y x y x即).0(9422≠=+y y x …………（6分）（2）直线CP 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--=94)3(21).3(2122y x x y x y 由解得点P 的坐标为).23,0(…（7分） （i ）PCQ k CP ∠∴-=当,21是锐角时，点Q 只能在点C 的左侧，此时.3<t …（8分）（ii ）当PQC ∠为锐角时，0,0<>t k PQ 此时；…………（9分） （iii ）当QPC ∠为锐角时，.43,0)23,3()23,(,0->>-⋅->⋅t t 即.043<<-∴t ………………（12分） 22．（理科）（14分）（1）要使)()(21x f x f 与有意义，则有：.31003a x a a a x a x >⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使)()(21x f x f 与在给定区间[a +2，a +3]上有意义。
2019届湖南师大附中高三月考试卷(六) 数学(理)(word版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)审题：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D )A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D ) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，745．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．2438．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤12，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎝⎛⎦⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3210．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.2312．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分 当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分 当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.4分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.6分(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4.因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，12.12分19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.4分(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，6分又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，10分同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值.12分 20．(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率； ②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】(1)列联表如下：2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分 (2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0， 设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.10分23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3； 当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4， 所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。
湖南省师大附中2018届高三月考试卷(六)英语试卷(含答案)
湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)英语本试题卷分为听力、阅读理解、英语知识运用和写作四个部分，共14页。
时量120分钟。
满分150分。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A．￡19.15. B．￡9.18. C．￡9.15.答案是C。
(C)1. What do we know about the woman?A. She didn't sleep well last night.B. She went to see a doctor.C. She slept very well last night.(C)2. How does the man usually go to school?A. By bus.B. By subway.C. On foot.(B)3. What does the man find difficult?A. Understanding the instructions.B. Putting together the folding table.C. Fixing a toy train.(A)4. Why is the girl upset?A. Her family is about to move.B. Her mother is out of work.C. She has no friends now.(A)5. What does the man mean?A. Most readers don't agree with him.B. The woman can't convince him.C. Few people read his article.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
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湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分． 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }，B ＝{a ，1}，A ∩B ＝B ，则实数a 等于(D)(A)－2 (B)－1 (C)－1或0 (D)－2或－1或0(2)设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，12 (B)⎝⎛⎭⎫0，12 (C)(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (D)(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】由p 得： 12<x ≤1 ，由q 得：a ≤x ≤a ＋1，又q 是p 的必要而不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.(3)某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为(A)(A)20 (B)10 (C)14 (D)21【解析】由题意知，P (ξ＞110)＝1－2P （90≤ξ≤100）2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20.(4)某几何体的三视图如图所示，则其体积为(C) (A)83 (B)2 (C)43 (D)23【解析】该几何体是：在棱长为2的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的一个正八面体．可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为2，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13(2)2×1＝43.(5)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝2.5 (单位：升)，则输入k 的值为(D)(A)4.5 (B)6 (C)7.5 (D)10【解析】模拟程序的运行，可得n ＝1，S ＝k ，满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －k 2＝k2，满足条件n <4，执行循环体， n ＝3，S ＝k 2－k 23＝k3，满足条件n <4，执行循环体， n ＝4，S ＝k 3－k 34＝k4，此时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为k4，根据题意可得：k4＝2.5，计算得出：k ＝10.所以D 选项是正确的．(6)将函数f ()x ＝cos ωx2⎝⎛⎭⎫2sin ωx 2－23cos ωx 2＋3，()ω>0的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g ()x 的图像，若y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由题意，f ()x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3()ω>0，先利用图像变换求出g ()x 的解析式：g ()x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3，即g ()x ＝2sin ωx ，其图像可视为y ＝sin x 仅仅通过放缩而得到的图像．若ω最大，则要求周期T 取最小，由⎣⎡⎦⎤0，π4为增函数可得：x ＝π4应恰好为g ()x 的第一个正的最大值点，∴π4ω＝π2ω＝2.(7)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，若ax ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为(C)(A)12或－1 (B)2或12(C)－2或1 (D)2或－1【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示：令z ＝ax ＋y ，化为y ＝－ax ＋z ，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距取得最大值时的最优解不唯一．当－a >2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点A (－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝2时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝2x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意； 当－1<－a <2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点B (0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝－1时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝－x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意； 当－a <－1时，直线y ＝－ax ＋z 经过点C (2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意． 综上，当a ＝－2或a ＝1时最优解不唯一，符合题意．故本题正确答案为C.(8)若直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －2y ＝2的周长，则12a ＋1b 的最小值为(D)(A)3－224 (B)3－222(C)3＋222 (D)3＋224【解析】直线平分圆周，则直线过圆心f (1，1)，所以有a ＋b ＝2，12a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫32＋b 2a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫32＋2b 2a ·a b ＝3＋224(当且仅当b ＝2a 时取“＝”)，故选D. (9)把7个字符a ，a ，a ，b ，b ，α，β排成一排，要求三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，则这样的排法共有(B)(A)144种 (B)96种 (C)30种 (D)12种【解析】先排列b ，b ，α，β，若α，β不相邻，有A 22C 23种，若α，β相邻，有A 33种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空中选3个插入a ，a ，a ，共有12C 35＝120种，若b ，b 相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a ，a ，a ，共有6C 34＝24，故三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种．(10)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A →·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤22，53 (B)⎣⎡⎭⎫53，1 (C)⎣⎡⎦⎤22，3－1 (D)[3－1，1) 【解析】作出椭圆左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又F A →·FB →＝0，即F A ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设AF ′＝n ，AF ＝m ，则在直角三角形ABF 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2 ①，得mn ＝2b 2 ②，①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2b2.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n ＝t ∈[1，2]，∴t ＋1t ＝2c 2b 2∈⎣⎡⎦⎤2，52，故离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，53.(11)在△ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2n ，BC ＝210，AB ＋AC ＝8，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 三边中点，将△BEF ，△AEG ，△GCF 分别沿EF 、EG 、GF 向上折起，使A 、B 、C 重合，记为S ，则三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为(D)(A)292π (B)233π (C)14π (D)9π【解析】根据题意，三棱锥S －EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S －EFG 补充成长方体， 则对角线长分别为m ，n ，10， 设长方体的长宽高分别为x ，y ，z, 则x 2＋y 2＝m ，y 2＋z 2＝10，x 2＋z 2＝n ，∴x 2＋y 2＋z 2＝5＋m ＋n2，∴三棱锥S －EFG 的外接球直径的平方为5＋m ＋n2，而m ＋n ＝4，m ＋n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，∴5＋m ＋n2≥9， ∴三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为4π·94＝9π，所以D 选项是正确的．(12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0，若x 1<x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则x 2－x 1的取值范围是(B)(A)⎝⎛⎦⎤23，ln 2 (B)⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13 (C)⎣⎡⎦⎤ln 2，ln 32＋13 (D)⎝⎛⎭⎫ln 2，ln 32＋13【解答】作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0的图像如右，由x 1<x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得0≤x 2<23，－32x 2＋1＝e －x 1－1，即为－x 1＝ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2， 可得x 2－x 1＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，令g (x 2)＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，0≤x 2<23，g ′(x 2)＝1＋－32－32x 2＋2＝3x 2－13x 2－4.当0≤x 2<13时，g ′(x 2)>0，g (x 2)递增；当13<x 2<23时，g ′(x 2)<0，g (x 2)递减．则g (x 2)在x 2＝13处取得极大值，也为最大值ln 32＋13，g (0)＝ln 2，g ⎝⎛⎭⎫23＝23，由23＜ln 2， 可得x 2－x 1的范围是⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13.故选B. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)将八进制数705(8)化为三进制的数是__121210(3)__．【解析】705(8)＝7×82＋0×8＋5×80＝453, 根据除k 取余法可得453＝121210(3)．(14)计算：2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝．(15)已知P 是双曲线x 216－y 28＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点M ，N 满足F 1P →＝λPM →()λ>0，PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，PN →·F 2N →＝0.若|PF 2→|＝3，则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为__49π__．【解析】由PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|知PN 是∠MPF 2的角平分线，又PN →·F 2N →＝0，故延长F 2N 交PM 于K ，则PN 是△PF 2K 的角平分线又是高线，故△PF 2K 是等腰三角形，|PK |＝|PF 2|＝3，因为|PF 2→|＝3，故|PF 1→|＝11，故|F 1K →|＝14，注意到N 还是F 2K 的中点，所以ON 是△F 1F 2K 的中位线，|ON →|＝12|F 1K →|＝7，所以以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为49π.(16)如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，sin ∠ABE ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD →＝2DC →，BD ＝433，则BE ＝5．【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6 ②，联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. S △ABC ＝12·AC ·AB sin A ＝12×3×2×223＝22，S △ABE ＝12·BE ·BA sin ∠EBA ＝12×2×BE ×33＝33BE .S △BCE ＝12·BE ·BC sin ∠EBC ＝12×3×BE ×33＝32BE .由S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ，得22＝33BE ＋32BE ，∴BE ＝456. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 2n ＝a n ＋1a n －1＋λ(a 2－a 1)2，其中n ≥2，且n ∈N ，λ为常数． (Ⅰ)若{a n }是等差数列，且公差d ≠0，求λ的值；(Ⅱ)若a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，且数列{b n }满足a n ·b n ＝n －7对任意的n ∈N *都成立． ①求数列{}b n 的前n 项之和S n ； ②若m ·a n ≥n －7对任意的n ∈N *都成立，求m 的最小值．【解析】(Ⅰ)由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，(2分) 化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(3分)(Ⅱ)①将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，(4分) 所以a 2n ＝a n ＋1a n －1，则数列{}a n 是首项为1，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＝2n －1，从而b n ＝n －72n －1，(6分)所以S n ＝－620＋－521＋－422＋…＋n －72n －1，12S n ＝－621＋－522＋－423＋…＋n －72n ， 两式相减得：12S n ＝－620＋121＋122＋…＋12n －1－n －72n ＝－5＋5－n 2n ；所以S n ＝－10＋5－n2n －1.(8分)②m ·2n －1≥n －7，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立． 由b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n >8时，b n ＋1<b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8； 当n <8时，b n ＋1>b n . 所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.(12分) (18)(本小题满分12分)阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发．其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜．围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平．为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：(Ⅰ)根据上面的统计数据，其成绩等级为“A 或B ”的概率；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；(Ⅲ)从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率． 【解析】(Ⅰ)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为：430＋630＝13，(2分)即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为13.(3分)(Ⅱ)由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13. P (x ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫233－k(k ＝0，1，2，3)，(5分)所以X 的分布列为：(6分)则E (x )＝3×13＝1，所求期望值为1.(7分)(Ⅲ)设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于1分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ， 则基本事件的总数为C 230，不妨设m >n ，当m ＝5时，n ＝3，2，1，基本事件的个数为C 14(C 110＋C 17＋C 13)；当m ＝4时，n ＝2，1，基本事件的个数为C 16(C 17＋C 13)；当m ＝3时，m ＝1，基本事件的个数为C 110C 13； P (M )＝3487.(12分)(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥A －EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(Ⅰ)求二面角F －AE －B 的余弦值；(Ⅱ)若点M 为线段AC 上异于点A 的一点，BE ⊥OM ，求a 的值．【解析】(Ⅰ)因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF ， 又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ， AO 平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ， 取BC 的中点G ，连结OG ，由题设知四边形EFCB 是等腰梯形，所以OG ⊥EF ，由AO ⊥平面EFCB ，又GO 平面EFCB ，所以AO ⊥GO ，建立如图所示空间直角坐标系，则E ()a ，0，0，A ()0，0，3a ，B ()2，3()2－a ，0，EA →＝()－a ，0，3a ， BE →＝()a －2，3()a －2，0，设平面AEB 的法向量为n ＝()x ，y ，z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－ax ＋3az ＝0，()a －2x ＋3()a －2y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1，于是n ＝()3，－1，1，又平面AEF 的一个法向量为p ＝()0，1，0，设二面角F －AE －B 为θ， 所以cos θ＝cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－55.(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知AO ⊥平面EFCB ，又BE 平面EFCB ，所以AO ⊥BE ，又OM ⊥BE ，AO ∩OM ＝O ，所以BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即BE →·OC →＝0，因为BE →＝()a －2，3()a －2，0，OC →＝()－2，3()2－a ，0， 所以BE →·OC →＝－2()a －2－3()a －22， 由BE →·OC →＝0及0<a <2，解得a ＝43.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，OP →＝3OQ →. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；(Ⅱ)不过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列．①求k 的值；②是否存在直线l 使得满足OD →＝λOM →＋μON →(λ2＋μ2＝1，λ·μ≠0)的点D 在椭圆C 上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ， 则AT ⊥PQ ，∵AP →·AQ →＝0， 即AP ⊥AQ ， 则|AT |＝12|PQ |，又OP →＝3OQ →，则|OT |＝|PQ |， ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12， 由已知c ＝3，则a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2分)又|AT |2＋|OT |2＝4，则|AT |2＋4|AT |2＝4 |AT |＝255，r ＝|AP |＝2105， 故圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.(4分)(Ⅱ)①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋m (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，(5分) 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2，(6分)由已知k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2＋km （x 1＋x 2）＋m2x 1x 2，(7分)则km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0 k 2＝14 k ＝±12.(8分) ②假设存在直线l 满足题设条件，且设D (x 0，y 0)， 由OD →＝λOM →＋μON →，得x 0＝λx 1＋μx 2，y 0＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程得：（λx 1＋μx 2）24＋(λy 1＋μy 2)2＝1，即：λ2⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋μ2⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＋λμx 1x 22＋2λμy 1y 2＝1，则x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即x 1x 2＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 则(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0， 所以(1＋4k 2)·4（m 2－1）1＋4k 2－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0， 化简得：2m 2＝1＋4k 2，而k 2＝14，则m ＝±1，(11分)此时，点M ，N 中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与k 1，k ，k 2成等比数列相矛盾， 故这样的直线不存在．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 为自然对数的底数)，求a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，(1分) 当a >1时，ln a >0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(2分) 当0<a <1时，ln a <0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(3分)综上：x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减．(4分) (Ⅱ)不等式等价于：|f (x 1)－f (x 2)|max ≥e －1， 即f (x )max －f (x )min ≥e －1，(5分)由(Ⅰ)知，函数的最小值为f (0)＝1，f (x )max ＝max {}f （－1），f （1）， 而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 设g (a )＝a －1a －2ln a ，则g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2>0，所以g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)单调递增，而g (1)＝0，故a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)；(7分) 0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．(8分)所以当a >1时，原不等式即为：f (1)－f (0)≥e －1 a －ln a ≥e －1， 设h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a ＝a －1a >0，故函数h (a )单调递增，又h (e)＝e －1，则a ≥e ；(10分)当0<a <1时，原不等式即为：f (－1)－f (0)≥e －1 1a＋ln a ≥e －1，设m (a )＝1a ＋ln a (0<a <1)，m ′(a )＝－1a 2＋1a ＝a －1a 2<0，故函数m (a )单调递减，又m ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1，则0<a ≤1e.(11分)综上，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B, Q 是曲线上的动点，求△ABQ 面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0. 由ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ. 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8. 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过定点P (3，2)，P 在圆内，将直线的参数方程代入圆的普通方程，得2t 2－2t －7＝0，t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝－72. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝15，又因为圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22， 故△ABQ 面积的最大值为S △ABQ ＝12×15×⎝⎛⎭⎫22＋22＝5304.(10分) (23)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|.(Ⅰ)求f (x )的值域；(Ⅱ)若对任意实数a 和b ，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0，求实数x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x ≤－12，2，－12<x <12，4x ，x ≥12，∴f (x )≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(5分) (Ⅱ)当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |f (x )≥0可化为2|b |－0·f (x )≥0， 即2|b |≥0恒成立，∴x ∈R .当a ＋b ≠0时，∵|2a ＋b |＋|a |＝|2a ＋b |＋|－a |≥|(2a ＋b )－a |＝|a ＋b |，当且仅当(2a ＋b )(－a )≥0，即(2a ＋b )a ≤0时，等号成立，即当(2a ＋b )a ≤0时，|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |＝1.∴|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |的最小值等于1. ∵|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0 |2a ＋b |＋|a ||a ＋b |≥12f (x )，∴12f (x )≤1，即f (x )≤2.由(Ⅰ)知f (x )≥2，∴f (x )＝2.当且仅当－12≤x ≤12时，f (x )＝2. 综上所述，实数x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.(10分)。