平面与立体相交
空间几何体的相交与平行
空间几何体的相交与平行在几何学中，空间几何体的相交与平行是一个重要的概念，它关系着几何体之间的位置关系和相互作用。
本文将探讨空间几何体之间的相交与平行关系，并对其进行详细阐述。
一、平面与立体的相交平面与立体之间的相交是几何学中最基础的情况之一。
当一个平面与一个立体相交时，可能会出现以下几种情况：1. 平面与立体相交于一条线段：当一个平面与一个立体只有一个交点时，交点所在的线段称为平面与立体的交线段。
2. 平面与立体相交于一条线：当一个平面与一个立体有多个交点，并这些交点都在同一条直线上时，这条直线即为平面与立体的交线。
3. 平面与立体相交于点集：当一个平面与一个立体有多个交点，并且这些交点不在一条直线上时，这些交点组成的集合即为平面与立体的交点集。
二、平面与平面的相交平面与平面之间的相交有多种情况，下面列举了其中几种常见的情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面相交于一条直线时，这条直线即为平面与平面的交线。
2. 平面与平面相交于一点：当两个平面相交于一个点时，这个点即为平面与平面的交点。
3. 平面与平面相交于一条线段：当两个平面相交于一条线段时，这条线段即为平面与平面的交线段。
三、立体与立体的相交立体与立体之间的相交情况相对复杂，下面列举了几种常见的情况：1. 立体与立体相交于一条线：当两个立体相交于一条线时，这条线即为立体与立体的交线。
2. 立体与立体相交于点集：当两个立体相交于多个点，并且这些点不在一条直线上时，这些点组成的集合即为立体与立体的交点集。
3. 立体与立体相互包含：当一个立体完全包含另一个立体时，这两个立体相互包含。
四、平行关系除了相交关系，空间几何体还存在着平行关系。
平行是指在同一平面或不同平面上的两条线或两个面之间的位置关系。
1. 平面与平面的平行：当两个平面之间的交线与它们本身都平行时，这两个平面就是平行的。
2. 直线与直线的平行：当两条直线在同一平面内，且它们的方向完全相同或者不存在交点时，这两条直线就是平行的。
第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
§平面与立体相交求截交线
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
6 平面与立体相交
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °
工程制图平面与立体相交
返回
•工程制图平面与立体相交
返回
整理棱线投影
•工程制图平面与立体相交
浏览三维动画
二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
•工程制图平面与立体相交
二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交 线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作 出抛物线顶点和底端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
•工程制图平面与立体相交
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根 直线段，两截平面间有 一条交线。截交线的正 面投影落在截平面的正 面积聚性投影上，求作 截交线的水平投影和侧 面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
•工程制图平面与立体相交
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
8 平面与立体相交-截交线
截切立体
二、截交线的性质： 截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有 线，线上的任意一点都是截平面与立 体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状， 以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法： 截交线的求法： 画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的 形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要 画出立体轮廓线的投影。
[例题 例题1] 求圆锥截交线。 例题
1.分析 1.分析 截平面为正垂面 截交线为椭圆； ，截交线为椭圆；截交线 的水平投影和侧面投影均 为椭圆； 为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作 光滑顺次连接各点 出截交线，判别可见性； 出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。 例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相 连,被两个平面截切而成，轴线 为侧垂线，截平面分别为侧平 面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，与 圆柱的截交线为圆弧，正面投 影积聚为直线，侧面投影为圆 弧的实形。 水平面平行于回转轴，与 圆柱的截交线为开口矩形，与 圆锥的截交线为双曲线，其正 面和侧面投影均为直线 。
大学工程制图第八章平面与立体直线与立体相交
03
例题3
已知一平面与一直线同时与一球体相交，求 交线方程和交点坐标。
05
02
解法
首先确定平面与长方体表面的交线方程，然 后根据交线方程求解交线。
04
解法
首先确定直线与圆柱体表面的交点坐 标，然后根据交点坐标求解交点。
06
解法
首先分别确定平面和直线与球体表面的交线方 程和交点坐标，然后根据交线方程和交点坐标 求解交线和交点。
05
平面、直线与立体相交在 工程制图中的应用
工程图中平面、直线与立体相交表示方法
交点法
通过求解平面与立体、直线与立 体的交点，将交点在工程图中表 示出来，以此表达平面、直线与 立体的相交关系。
截交线法
当平面与立体相交时，其交线称 为截交线。通过绘制截交线的形 状和位置，可以清晰地表达平面 与立体的相交情况。
03
的形状和特性。
实验内容和步骤
01 • 分析截交线的形成原理，理解其与立体形状的 关系。
02
2. 直线与立体相交
03
• 选择一条直线和一个立体图形。
实验内容和步骤
• 确定直线与立体的相对位置，观察并记录相交点（贯穿点）的位置和特 性。
• 分析贯穿点的形成原理，理解其与立体形状的关系。 3. 实验记录与报告
学会运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系
通过学习和实践，能够熟练运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系，并能够正确绘制相 应的投影图。
培养空间想象能力和分析能力
通过学习和实践，逐渐培养空间想象能力和分析能力，为后续学习和工作打下基础。
教学内容与安排
平面与立体相交的基本概念和性质
第4章 立体及平面与立体相交
外表面和内表面相交
a
84 返回
两回转体表面相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表 面的共有线。求相贯线的实质就是求两曲面立体表面的共 有点。
作图方法
利用投影的积聚性直接表取点。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
擦除多余作图线后的结果
例 已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影
上一级
[例二]:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。 QV
PV
擦除多余作图线后的结果
平面与球面相交
[例题] 切割平面为水平面时,圆球的截交线
[例题] 求圆球的截交线
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。
第4章 立体及平面与立体相交
4.1 平面立体的投影 4.2 曲面立体的投影 4.3 平面与平面立体相交 4.4 平面与曲面立体相交
空间几何中的平面与立体形的相交关系
空间几何中的平面与立体形的相交关系概述：在空间几何中，平面与立体形的相交关系是一个重要的研究方向。
平面与立体形的相交关系不仅涉及到数学本身，也与物理、工程等领域密切相关。
本文将探讨平面与立体形的不同相交情况，并深入研究其几何性质和应用。
一、平面与平面相交：平面与平面相交是最简单的一种情况，可以分为平行和非平行两种情况。
当两个平面平行时，它们永远不会相交；当两个平面不平行时，它们会相交于一条直线。
这一性质在工程测量、建筑设计等领域具有广泛的应用。
二、平面与直线相交：平面与直线相交是平面几何中常见的情况。
当平面与直线相交时，它们的交点为一点。
通过求解平面与直线的方程，可以得到交点的坐标。
这一性质在数学中被广泛运用于解析几何的推导和证明。
三、平面与球体相交：平面与球体相交是空间几何中的一个重要问题。
当一个平面与一个球体相交时，可能存在以下三种情况：平面与球体相切于一点、相切于一个圆或者相交于两个交点。
根据不同情况，可以进一步讨论平面和球体的切线、交点等几何性质。
四、平面与圆柱相交：平面与圆柱相交也是几何学中的常见问题。
当一个平面与一个圆柱相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
这一性质在建筑设计、机械工程等领域具有广泛的应用。
五、平面与圆锥相交：平面与圆锥相交是空间几何中的一个有趣问题。
当一个平面与一个圆锥相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
通过研究平面和圆锥的相交性质，可以深入理解圆锥几何学中的一些基本概念和定理。
六、平面与多面体相交：平面与多面体相交是几何学中的一个复杂问题。
多面体包括了诸如立方体、正四面体、正六面体等形状，它们与平面的相交关系具有一定的规律性。
通过研究平面和多面体的相交性质，可以在计算机图形学、空间分析等领域中得到广泛应用。
七、应用领域：平面与立体形的相交关系在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计中，平面与立体形的相交关系决定了建筑物的外观和结构；在工程测量中，平面与立体形的相交关系决定了各种测量数据的获取方式；在计算机图形学中，平面与立体形的相交关系决定了虚拟场景的呈现效果。
第八章 平面与立体相交 直线与立体相交
第八章 平面与立体相交•直线与立体相交¤ 8-1 平面与立体相交平面与立体相交，可看作是立体被平面所截，这个平面称为截平面．．．，截平面与立体表面的交线称为截交线．．．（图8-1）。
为了正确地画出截交线的投影，应掌握截交线的基本性质：（1）截交线是截平面和立体表面交点的集合，截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面和立体表面的共有线。
（2）立体是由其表面围成的，所以截交线必然是一个或多个由直线或平面曲线围成的封闭平面图形。
图8-1 平面与立体相交求截交线的实质就是求出截平面和立体表面的共有点。
为此，可以根据立体表面的性质，在其上选取一系列适当的线（棱线、直素线或圆），求这些线与截平面的交点，然后按其可见或不可见用实线或虚线依次连成多边形或平面曲线。
一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线的形状是由直线围成的多边形。
多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。
[例8-1] 三棱锥与一正垂面P相交，求截交线的投影（图8-2）。
分析：正垂面P的正面投影有积聚性，即P v，可直接求出平面P与棱线SA、SB、SC的交点Ⅰ（1，1′）、Ⅱ（2，2′）及Ⅲ（3，3′）。
顺次连接各顶点，得截交线为△ⅠⅡⅢ（△123，1′2′3′）。
103关于截交线可见性的判别，在假定截平面透明的前提下，可根据各段交线所在表面的可见与否而定。
可见表面上的交线为可见，用实线画出；不可见表面上的交线为不可见，用虚线画出。
在本例中，三棱锥的三个棱面的水平投影都为可见，故截交线的水平投影△123为可见，用实线画出；正面投影1′2′3′积聚在P V 线上，不再判别。
(a) (b)图8-2 三棱锥的截交线二、平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，其截交线形状一般为封闭的平面曲线。
曲线上的任何一点，都可当作是曲面上某一条线（直素线或圆）与截平面的交点。
求截交线时必须根据曲面的性质，在其 上选取一系列的直素线或圆，求出它们与截平面的交点。
C5情境01平面与立体相交
例5-6： 已知带切口的圆锥体的正面投影，完成它的水平投影及侧面投影。
(a)
(b)
分析： 圆锥体的轴线垂直于水平投影面。切口由一个过锥顶的 正垂面P、一个垂直于轴线的水平面Q和一个过圆锥顶的正垂 面R共同切割而形成的(图a )。过圆锥体锥顶的正垂面P与圆 锥面的截交线是两条素线；水平面Q与圆锥面的截交线是圆 弧；正垂面R与圆锥面的截交线是抛物线。三个截切平面都 垂直于正立投影面，截平面之间的两条交线都是正垂线。
作图： 1.作水平截切面Q与半圆球体的截交线，其中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、 Ⅳ是圆弧段。(图b) 2.作两个侧平截切面P1、P2与半圆球体的截交线，Ⅰ、Ⅳ和 Ⅱ、Ⅲ是圆弧段在侧面投影重合。(图b) 3.完成投影图；注意交线的可见性，Ⅰ、Ⅳ和Ⅱ、Ⅲ两条交 线侧面投影不可见；补全圆球侧面投影仍存在轮廓圆。(图c)
四、平面与圆锥体相交
截平面的 垂直于轴线 截平面通过 与轴线倾斜θ 平行于一条素 平行于轴线θ=0
位置 截交线
θ=90° 圆
锥顶 两条素线
＞α 椭圆
线θ=α 抛物线
或θ＜α 双曲线
立体图
投影图
平面与圆锥面相交的各种情况
例5-5：已知被切割圆锥体的正面投影，补画水平投影和侧面投影(图a)。
作图： 分析： 因圆锥体轴线垂直于水平投 影面，截平面P是一个正垂面， 与圆锥体轴线斜交并且与圆锥面 上所有的素线相交，所以截交线 为一椭圆。椭圆的正面投影与截 1.求截交线上特殊点的投影。Ⅰ和Ⅳ
为正面轮廓线上的点，也是椭圆轴端点；
Ⅲ和Ⅴ为侧面轮廓线上的点；Ⅱ和Ⅵ为椭 圆另一轴的端点，用纬圆法求出。
2.作一般位置点的投影。在椭圆正面
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一、截 交 线 概 述
二、平面与平面体相交
三、平面与回转体相交
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交 线。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的 交线，称为平面立体的截交线。
2、投影作图
截交线圆弧的水平 投影反映圆弧的实形。
3、整理轮廓线
【例题4】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。 1、空间与投影分析
截交线为圆弧、椭 圆弧和直线段组成的空 间曲线，三条截平面间 的交线。截交线的正面 投影落在截平面的正面 积聚性投影上。
2、投影作图
分别求解各个截平 面的截交线，截交线上 的点可运用锥面取点方 法获得。
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。 ㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。 2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平 面与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
【例题1】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 1、空间分析
——截交线为平面五边形
3′ 4′ 2′ 1′ 5′ 3〞 2〞 4〞 5〞 1〞
2、投影分析
截平面为正垂面，截 交线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要求 的是截交线的水平投影和 侧面投影。
1、圆柱体的截交线 依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交 线的形状有以下三种：
圆
矩形
椭圆
【例题1】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。 2、投影分析
1′3′ 2′4′ 3〞4〞 1〞2〞
分析截平面与投影面 的相对位置。
——截交线的正面投影落
3
4
在水平截平面和侧平截平 面的积聚性投影上；
㈡ 回转体截交线的求解方法与步骤
1、空间分析 分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线 的相对位置，确定回转体截交线的形状。
2、投影分析 分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确 定截交线的投影特性。 3、投影作图 若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表 面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的 地方补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。 4、整理回转体轮廓线 检查回转体被截切后的轮廓素线。
立体表面交线的形状？ ——空间10边形
2、投影分析
截交线的正面投影落 在截平面的积聚性投影上；
——水平截平面截切的交
线平行于四棱锥对应底边；
9 8 4
3
7
6 1 5 2
——侧平截平面截切的交
线平行于四棱锥前后棱线。
3、投影作图 4、整理图线
采用的是哪种解题方法？
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【例题4】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影
㈠ 平面体截交线的性质： ⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。 ⒉平面体截交线的形状是由直线 段围成的平面多边形。 ⒊平面多边形的顶点是平面立体 棱线与截平面的交点，边是截 平面与平面立体各表面的交线。
㈡ 平面立体截交线的求法
1、线面交点法
将平面立体上参与相交 的各条棱线与截平面求交点， 并将位于立体同一棱面上的 两交点依次连接起来，即为 所求平面立体的截交线。
截交线为椭圆，截 交线的正面投影落在截 平面的积聚性投影上， 要作出椭圆的水平投影 和侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方 法作出椭圆长短轴端 点、转向轮廓线上点 和一般点，用曲线光 滑连接各点。
3、整理轮廓线
【例题2】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线形状为抛物 线。抛物线的正面投影 落在截平面的积聚性投 影上，求作抛物线的水 平投影和侧面投影。
S
4
P 3 D
1 A
2
C
2、面面交线法
B
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线， 这些交线即围成所求的平面立体截交线。
㈢ 求截交线的作图步骤： 1) 空间分析及投影分析
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
1′2′ 5′6′
2〞6〞 1〞5〞
空间分析
水平截平面与 四棱台四各棱面相 交，交于四条边； 两个侧平截平 面均与四棱台三个 面相交，分别交于 三条边； 截平面之间有 二条交线；
9′10′
10〞 3〞8〞
4′3′
7′8′
9〞 4〞7〞
10 3 2 8 6
1 4 9
5 7
整交
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出抛物线顶点和底端 点、转向轮廓线上点和 一般点，用曲线光滑连 接各点。
3、整理轮廓线
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两 根直线段，两截平面间 有一条交线。截交线的 正面投影落在截平面的 正面积聚性投影上，求 作截交线的水平投影和 侧面投影。
3、整理轮廓线
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3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
【例题1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
【例题2】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。
2 1
3 4
3、投影作图 4、整理图线
5
采用的是哪种解题方法？
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【例题2】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
6′7′ 4′5′ 7″ 6″ 4″
1、空间分析：
截交线为平面几边形？ ——平面七边形
5″
2、投影分析：
2′3′ 1′ 3″ 1″ 2″ 截交线的正面投影？ ——落在截平面的积聚性投
【例题2】完成组合回转体截切后的正面投影。
圆环体
圆球体
圆柱体
【例题3】完成组合回转体截切后的正面投影。
球1
圆柱2 圆柱3
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返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
【例题5】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【例题6】 完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
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【例题7】 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。
45°
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2、圆锥体的截交线 依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交 线的形状有以下五种：
【例题1】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1、空间与投影分析
【例题3】完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。
4、组合回转体的截交线
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，
求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是
由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然
后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其
连接。
【例题1】完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析 组合回转体 是由同轴半球、 圆柱体和圆台组 合而成。截平面 为侧平面，组合 回转体截交线由 半园、直线段和 双曲线组成，其 正面投影落在截 平面的正面积聚 性投影上，
影上；
截交线的水平投影？ ——其中六条边落在六棱柱
3
5
7
1 6
棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面交 于一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
2
4
采用的是哪种解题方法？
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【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。 1、空间分析
6′ 5′7′ 4′8′ 1′ 3′9′ 2′10′ 10 10″ 9″ 6″ 7″ 8″ 4″ 2″ 1″ 3″ 5″
【例题3】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性
＜45°
＞45° ＝45°
1、当＜45°截交线椭圆的长轴投影后， 仍为投影椭圆的长轴； 2、当＞45°截交线椭圆的长轴投影后， 成为投影椭圆的短轴； 3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后， 与短轴相等，椭圆的投影成为圆；
【例题4】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
——截交线的侧面投影落
1
2
在圆柱面和水平截平面的 积聚性投影上；
3、投影作图
1、空间分析
4、整理轮廓素线 分析截平面与立体的相对位置 ——水平面截切，截交线为矩形； ——侧平面截切为圆弧。 浏览三维动画
【例题2】作出圆柱体被截切后的水平投影。
b′ b〞
c′d′
d〞
c〞
a′
d
a〞
a
b
c
1、空间分析 分析截平面与 圆柱体轴线的相对 位置，确定截交线 的形状——椭圆。 2、投影分析 截交线的正面 投影和侧面投影分 别落在截平面和圆 柱面的积聚性投影 上，要求的是截交 线水平投影。 3、投影作图 4、整理轮廓线