(福建专用)2018年高考数学总复习 课时规范练34 直接证明与间接证明 文 新人教A版

课时规范练34 直接证明与间接证明
基础巩固组
1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”,应假设()
A.三个内角至多有一个大于60°
B.三个内角都不大于60°
C.三个内角都大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
3.(2017河南郑州模拟)设x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则()
A.P>Q
B.P<Q
C.P≤Q
D.P≥Q
4.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+()
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
5.(2017山东烟台模拟)设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是.
6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ac≤.
7.(2017河北唐山模拟)已知a>0,>1,求证:.
〚导学号24190925〛
综合提升组
8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()
A.恒为负值
B.恒等于零
C.恒为正值
D.无法确定正负
9.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
10.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.
11.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤g(x).
〚导学号24190926〛
创新应用组
12.(2017贵州安顺调研)已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有
≥f.
13.在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1),
且b2+S2=12,q=.
(1)求a n与b n;
(2)证明:+…+.
答案：
1.D在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.
2.C“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”,其否定为“三角形内角都大于60°”.故选C.
3.A因为2x+2-x≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2;又(sin x+cos
x)2=1+sin 2x,而sin 2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.
4.D∵a>0,b>0,c>0,
∴≥6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
5.m<n 方法一(取特殊值法):取a=2,b=1,得m<n.
方法二(分析法):⇐a<b+2+a-b⇐2>0,显然成立.
6.证明由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
7.证明由已知>1及a>0可知0<b<1,要证,
只需证>1,
只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即>1,
即>1,这是已知条件,所以原不等式得证.
8.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.
9.D由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,
则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.
由
得
则A2+B2+C2=,
这与三角形内角和为180°相矛盾.
因此假设不成立,
故△A2B2C2是钝角三角形.
10.x<y (a≠b)⇒a+b>2⇒2(a+b)>a+b+2⇒a+b>,即x<y.
11.(1)解f'(x)=,g'(x)=b-x+x2,
由题意得
解得a=0,b=1.
(2)证明令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1).
∵h'(x)=-x2+x-1=,
∴h(x)在(-1,0)内为增函数,在(0,+∞)内为减函数.
∴h(x)max=h(0)=0,即h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
12.证明要证≥f,即证-2·,因此只要证-(x1+x2)≥-(x1+x2),
即证,因此只要证, 由于x1,x2∈R时,>0,>0,
因此由基本不等式知显然成立.
故原结论成立.
13.(1)解设等差数列{a n}的公差为d.
因为
所以
解得(q=-4舍去)
故a n=3+3(n-1)=3n,b n=3n-1.
(2)证明因为S n=,所以.
所以+…+
=
=.
因为n≥1,
所以0<,
所以≤1-<1,
所以.
所以+…+.
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