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平面向量的基本定理及坐标表示及数量积(第二次考试)

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高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

平面向量基本定理和坐标表示 【知识清单】1．两个向量的夹角（1）已知两个____向量a,b ，在平面内任取一点O ,作OA ＝a ，OB ＝b，则AOB θ∠=()0θπ≤≤叫做向量a 与b 的夹角（2）向量夹角θ的范围是__________，当θ=________时，两向量共线，当θ=____________时，两向量垂直，记作a ⊥b2．平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数1λ，2λ使a ＝______________．其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组________．（2）平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解． （3）平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使x y a =i +j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对________叫做向量a 的坐标，记作a ＝__________，其中______叫做a 在x 轴上的坐标，______叫做a 在y 轴上的坐标．②OA x y =+i j ，则向量OA 的坐标(),x y 就是________的坐标，即若(),OA x y =， 则A 点坐标为__________，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3．平面向量的坐标运算 向量加法和减法若()()1222,,,,x x x y ==a b 则_____________,+=a b_____________,-=a b实数与向量的乘积 若(),,,x y R λ=∈a 则________λ=a 向量的坐标若起点()11,,A x y 终点()22,,B x y则 ___________,________AB AB ==4．平面向量共线的坐标表示设()()1122,,,x y x y ==a b ，其中≠0b ，a //b ⇔__________________________．1.已知平面向量，且，则（ ）ABC ．D ．2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ） A.B.C.D.3.已知，则与平行的单位向量为( ).A. B.C. D.4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（）A． B． C． D．5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A2 B. C. D.6.已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（）A、 B、C、 D、7.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A. B .C. D.8.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围．9.,若，则 ;若,则10.向量，若向量与向量共线，则.11.P是△ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.12.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.13.已知，且，求M、N及的坐标.14.i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值15.已知向量，向量.（1）若向量与向量垂直，求实数的值；（2）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向.16.在中，分别是内角的对边，且，,若.（1）求的大小；（2）设为的面积，求的最大值及此时的值.平面向量基本定理及坐标表示答案BBBABCB8.9..，10.211又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线而，为不共线向量故：12.设又…①又而………………②比较①②，由平面向量基本定理得：解得：或（舍），把代入得：. 13.：设，则同理可求，因此14，∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-∵A、B 、D 三点共线, ∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ,即3i+2j=μ［-3i+(1-λ)j ］=-3μi+μ(1-λ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得故当A 、B 、D 三点共线时,λ15.解：，.（1）由向量与向量垂直，得， 解得.（2），得，解得.此时，所以方向相反.略16。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。

专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版

专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版

专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（ ） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（ ） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（ ）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（ ）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确； 在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（ ）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系， 根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=， 故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-， 所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域． 【答案】（1（2） 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。

平面向量的基本定理及坐标运算(7类必考点)(人教A版2019必修第二册)(解析版)

平面向量的基本定理及坐标运算(7类必考点)(人教A版2019必修第二册)(解析版)

专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算【考点1：平面向量的基本定理】 ........................................................................................................................... 1 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 ................................................................................................................... 4 【考点3：向量模的坐标表示】 ............................................................................................................................... 7 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 ............................................................................................................. 10 【考点5：向量平行的坐标表示】 ......................................................................................................................... 13 【考点6：向量垂直的坐标表示】 ......................................................................................................................... 16 【考点7：向量夹角的坐标表示】 . (18)【考点1：平面向量的基本定理】 【知识点：平面向量的基本定理】如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ11e ＋λ22e .其中，不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在△ABC 中，若AD 为BC 边上的中线，点E 在AD 上，且AE =2ED ，则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．23AC⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．76AB⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．76AC⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量. 【详解】如图所示，在△ABC 中，因为AD 为BC 边上的中线， 所以D 为BC 的中点， 所以由平行四边形法则有：AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又点E 在AD 上，且AE =2ED 所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A.2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在△ABC 中，D 为AB 边的中点，记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．m ⃗⃗ −2n ⃗ B ．m ⃗⃗ +2n ⃗ C ．2m ⃗⃗ +n ⃗ D ．−m ⃗⃗ +2n ⃗【答案】D【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为D 为AB 边的中点，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −m ⃗⃗ =−m ⃗⃗ +2n ⃗ ． 故选：D3．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．65AF⃗⃗⃗⃗⃗ −95CE ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．25AF⃗⃗⃗⃗⃗ −35CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．65AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +95CE ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．25AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +35CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C【分析】设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，将BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用a ，b⃗ 表示，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解出m ，n . 【详解】设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ， 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −23b ⃗ ， 因为CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +23a ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则−a =m(b ⃗ +23a )+n(−a −23b ⃗ )， {23m −n =−1m −23n =0，解得m =65，n =95，即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =65AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +95CE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：C.4．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）． A ．2e 1−e 2和2e 2−4e 1 B ．e 1+e 2和e 1−2e 2 C ．e 1−2e 2和e 1 D ．e 1+e 2和2e 2+e 1【答案】A【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断.【详解】对于A 选项，因为2e 2⃗⃗⃗ −4e 1⃗⃗⃗ =−2(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )，则2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 和2e 2⃗⃗⃗ −4e 1⃗⃗⃗ 共线，A 选项不满足条件； 对于B 选项，设e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ =λ(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )=λe 1⃗⃗⃗ −2λe 2⃗⃗⃗ ，则{λ=1−2λ=1 ，无解，故e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 和e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ 不共线，B 选项能作为基底；同理可知e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ 和e 1⃗⃗⃗ 不共线，e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 和2e 2⃗⃗⃗ +e 1⃗⃗⃗ 也不共线，CD 选项均能作为基底． 故选：A ．5．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且BC =3BF ，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOE ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m ，n ∈R ，则m +n 的值为______． 【答案】75【分析】先以{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底向量求OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，联立求解可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =65OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −35OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =65OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −25OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再结合OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 联立{OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =65OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −35OF ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =65OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −25OE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(65OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −35OF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(65OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −25OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +35OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m =45,n =35， 故m +n =75. 故答案为：75.6．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 为线段BD 上的一个三等分点,且DF >FB ,若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =xAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +yDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0),则x +y =______.【答案】56【分析】根据题意可知DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,根据平面向量基本定理,将AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示,根据两个向量相等即可得x,y 的值,进而得出结果.【详解】解:由题知点F 为线段BD 上的一个三等分点,所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −16DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +yDC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以x =13,y =12,故x +y =56. 故答案为:56【考点2：向量线性运算的坐标表示】 【知识点：向量线性运算的坐标表示】(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．（2023·河北·高三学业考试）已知点A (1,2)，B (−1,−2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（ ） A ．(2,4) B ．(0,0) C ．(−1,−1) D ．(−2,−4)【答案】D【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案.【详解】已知点A (1,2)，B (−1,−2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4). 故选：D.2．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知a =(2,1),a +b ⃗ =0⃗ ，则b ⃗ =（ ） A ．(−1,−2) B ．(−1,2) C ．(−2,1) D ．(−2,−1)【答案】D【分析】根据b ⃗ =−a 求解即可.【详解】解：因为a =(2,1),a +b ⃗ =0⃗ ，所以b ⃗ =−a =(−2,−1). 故选：D3．（2023·河北·高三学业考试）已知向量a =(−1,2)，b ⃗ =(0,1)，则a −2b ⃗ 的坐标为（ ） A ．（－1，1） B ．（－2，3） C ．（－1，4） D ．（－1，0）【答案】D【分析】根据向量的坐标运算可得结果.【详解】a −2b ⃗ =（−1，2）−2（0，1）=（−1，0）， 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a =（1，1），b ⃗ =（﹣1，1），c =（4，2），若c →=λa →+μb →，λ、μ∵R ，则λ+μ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2【答案】D【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.【详解】由c ⃑=λa ⃑+μb⃗⃑，则(4,2)=λ(1,1)+μ(−1,1)，即{4=λ−μ2=λ+μ ，解得{λ=3μ=−1 ， 故λ+μ=2， 故选：D.5．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知点A (1,0)，B (0,2)，C (−1,−2)，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（ ） A ．(0,−4) B ．(2,4) C ．(−2,0) D ．(2,1)【答案】ABC【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点D 的坐标为(x,y )， 由于平行四边形的四个顶点为A,B,C,D ， 所以可能有以下三种情形：当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，即(−1,2)=(−1−x,−2−y )，解得{x =0y =−4 ，即D 的坐标为(0,−4)； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ 时，即(−1,2)=(x +1,y +2)，解得{x =−2y =0 ，即D 的坐标为(−2,0)； 当AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(−2,−2)=(−x,2−y )，解得{x =2y =4 ，即D 的坐标为(2,4)； 故选：ABC.6．（2023·高一课时练习）在△ABC 中，顶点A 的坐标为(3,1)，边BC 的中点D 的坐标为(−3,1)，则△ABC 的重心坐标为______． 【答案】(−1,1)【分析】设△ABC 的重心为G (x,y )，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：设△ABC 的重心为G (x,y )，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A (3,1)，D (−3,1)，所以(x −3,y −1)=23(−6,0)，即{x −3=23×(−6)y −1=0，解得{x =−1y =1 ，即G (−1,1)，即△ABC 的重心坐标为(−1,1).故答案为：(−1,1)7．（2023·高一课时练习）已知点A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2b ⃗ ， (1)求3a +b ⃗ −3c ；(2)求满足a =mb ⃗ +nc 的实数m,n 的值． 【答案】(1)(6,−42) (2)m =−1,n =−1【分析】（1）根据平面向量的坐标运算解决即可；（2）根据相等向量对应坐标相等列方程组解决即可. 【详解】（1）由题得，a =(5,−5),b ⃗ =(−6,−3),c =(1,8),所以3a +b ⃗ −3c =3(5,−5)+(−6,−3)−3(1,8)=(15−6−3,−15−3−24)=(6,−42) （2）由（1）得，a =(5,−5),b ⃗ =(−6,−3),c =(1,8), 所以a =mb ⃗ +nc =(−6m +n,−3m +8n)=(5,−5)， 所以{−6m +n =5−3m +8n =−5，解得{m =−1n =−1，所以满足a =mb ⃗ +nc 的实数m,n 的值为m =−1,n =−1.【考点3：向量模的坐标表示】 【知识点：向量模的坐标表示】模|a |＝a a|a |＝x 21＋y 21[求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．1．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量a =(m,2),b ⃗ =(1,1)．若|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则实数m =（ ） A ．2 B ．-2C ．12D ．−12【答案】A【分析】利用向量的坐标运算和模的计算即可求解.【详解】解析：根据题意，向量a =(m,2),b ⃗ =(1,1)，则a +b ⃗ =(m +1,3)， 则|a +b ⃗ |=√m 2+2m +10,|a |=√m 2+4,|b ⃗ |=√2． 若|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则有√m 2+2m +10=√m 2+4+√2， 两边平方得到m +2=√2⋅√4+m 2，再平方得到m 2−4m +4=0， 解得m =2． 故选：A ．2．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4n ,p),F (4,0)，|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m +1,|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=p +1，，则m +p 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出m +p 的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.【详解】由题意知，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−n,−m),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−4n,−p)， 又|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=m +1,|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=p +1可得，{(4−n)2+m 2=m 2+2m +1(4−4n )2+p 2=p 2+2p +1整理得2(m +p)=n 2+16n 2−8(n +4n )+30， 令t =n +4n ，则n 2+16n 2=t 2−8， 且t ∈(−∞,−4]∪[4,+∞)，∵2(m +p )=t 2−8t +22=(t −4)2+6≥6， ∵m +p ≥3，即m +p 的最小值是3. 故选：C3．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy 中，点A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____ 【答案】√17【分析】根据A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(2,−3)，然后利用向量的加法和减法运算法则求解.【详解】解：因为A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(2,−3)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(3,−2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,4)， 则|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=√32+(−2)2=√13,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=√(−1)2+42=√17， 所以 以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为√17， 故答案为：√174．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC ，AD =1,BC =2,P 是线段AB 上的动点，则|PC⃗⃗⃗⃗⃗ +4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为__________.【答案】6【分析】以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB =a,BP =x(0⩽x ⩽a ），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.【详解】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB =a,BP =x(0⩽x ⩽a ）， 因为AD =1,BC =2，所以P (0,x ),C (2,0),D (1,a )， 所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−x ),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a −x ),4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4a −4x )， 所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ +4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,4a −5x )，所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36+(4a −5x)2⩾6， 所以当4a −5x =0，即x =45a 时，|PC⃗⃗⃗⃗⃗ +4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6.故答案为：65．（2022·高一课时练习）已知O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,8)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−4,1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,3)．求证：△ABC 是等腰直角三角形． 【答案】证明见解析.【分析】分别求出|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑|,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|，根据边之间的关系即可判断选项.【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,8)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−4,1)，OC⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,3)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−3,−7)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(2,−5)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(5,2)， 所以|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=√32+72=√58,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=√22+52=√29,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=√52+22=√29， 所以|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑|2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|2，且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|，所以△ABC 是等腰直角三角形． 6．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）设向量a ⃑=(−1,2),b ⃗⃑=(1,−1),c ⃑=(4,−5). (1)求|a ⃑+2b⃗⃑|； (2)若c ⃑=λa ⃑+μb ⃗⃑，λ,μ∈R ，求λ+μ的值； 【答案】(1)1；(2)2【分析】（1）先求得a ⃑+2b ⃗⃑，然后求得|a ⃑+2b⃗⃑|. （2）根据c ⃑=λa ⃑+μb ⃗⃑列方程组，化简求得λ,μ，进而求得λ+μ. (1)a ⃑+2b ⃗⃑=(−1,2)+(2,−2)=(1,0)，|a ⃑+2b ⃗⃑|=√1+0=1； (2)(4,−5)=λ(−1,2)+μ(1,−1)=(−λ+μ,2λ−μ)， 所以{−λ+μ=42λ−μ=−5 ，解得：{λ=−1μ=3，所以λ+μ=2.【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 【知识点：向量数量积运算的坐标表示】（1）向量数量积的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（2）a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为b ⃗|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b⃗|b ⃗|=|a |cos⟨a ,b ⃗ ⟩⋅b⃗ |b⃗ |. 1．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）已知()0A 1，，()21B ，，()43C ，，则（ ） A ．6AB BC ⋅= B ．2BC AB = C ．4AB CB ⋅= D ．2BC BA =【答案】B【分析】根据平面向量数量积及线性运算的坐标表示计算即可.【详解】因为()0A 1，，()21B ，，()43C ，， 所以()11AB =，，()22BC =，， 所以2BC AB =，2BC BA =-，4AB BC ⋅=，4AB CB ⋅=-，则ACD 错误，B 正确. 故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）已知向量()2,1a =，()0,1b =，若向量c 满足8a c ⋅=，2b c ⋅=，则c =（ ） A ．13 B ．12C 13D ．23【答案】C【分析】根据向量的数量积坐标运算求解即可. 【详解】设向量(),c x y =， 因为8a c ⋅=，2b c ⋅=，所以282x y y +=⎧⎨=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以()3,2c =，故223213c =+=故选：C.3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）平面向量,a b 满足()()3,2,1,a b a b x +=--=，且0a b ⋅=，则x 的值为（ ） A ．32B ．23C ．3±D ．22±【答案】C【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为()()3,2,1,a b a b x +=--=， 所以222,,1,22x x a b -+--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ⋅=， 所以222102322x x x -+--⨯+⨯=⇒=± 故选：C4．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量()()3,1,1,3,a b c ta b ==-=+，若c 在a 方向上的投影向量模长为1，则实数t 的值为（ ） A ．1± B ．12±C ．1-D ．12-【答案】B【分析】先求出c 的坐标，再求出,||c a a ⋅，即得解. 【详解】解：由题得()(3,11,3=(313)c tt t =+-+，，所以223(31)34,||312c a t t t a ⋅=++-==+=，所以c 在a 方向上的投影向量模长为21c a t a ⋅==，解得12t =±. 故选：B5．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知向量()1,3a =，()1,2a b +=-，则a b ⋅=_________． 【答案】5-【分析】求出向量b 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得a b ⋅的值. 【详解】因为()1,3a =，()1,2a b +=-，则()2,1b =--，因此，235a b ⋅=--=-. 故答案为：5-.6．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()1,0a =，()1,1b =，则a 在b 上的投影向量为________． 【答案】11(,)22【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，a 在b 上的投影向量为(1,1)11(,)22||||22b a b b b ⋅⋅=⋅=.故答案为：11(,)227．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一点，且25AP AC =，则DP BP ⋅=__________，若点M 为线段BD （含端点）上的动点，则MP MB ⋅的最小值为__________．【答案】 1225- 18-【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得22(,)55P ，可得,DP BP 的坐标，根据数量积的坐标运算，求得DP BP ⋅；设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤，表示出(,1)M λλ-，可得,MP MB 坐标，继而求得MP MB ⋅的表达式，结合二次函数性质求得MP MB ⋅的最小值.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,),(0,0),00(),,,11(1)A B D C ， ∵(1,1)AC =，∵P 是对角线AC 上一点，且2225(,)55AP AC ==，可得22(,)55P ， ∵3(2,)55DP =-，2(,)553BP =-，∵33212()()5555225DP BP ⋅=⨯-+-⨯=-；因为点M 为线段BD （含端点）上的动点，则设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤, 故(,1)M λλ-，所以23=(,)55MP λλ--，=(1,1)MB λλ--，故222331(,)(1,1)2312)5548MP MB λλλλλλλ⋅=--⋅--=-+=--（， 由于01λ≤≤，所以34λ=时，2312)48λ--（取到最小值18-， 即MP MB ⋅的最小值为18-，故答案为：1225-；18-【考点5：向量平行的坐标表示】 【知识点：向量平行的坐标表示】设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．（四川省成都市2020-2021学年高一下学期期中数学文科试题）已知向量a =(2,3)，b ⃗ =(4,n )，a ∥b ⃗ ，则实数n 的值为（ ）． A ．-3 B ．3 C ．-6 D ．6【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】∵a ∥b ⃗ ，∴2n −12=0，解得n =6. 故选：D2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知m >0，平面向量a =(m 2+2,m )，b ⃗ =(λ,1)．若a //b ⃗ ，则实数λ的取值范围是______． 【答案】[2√2,+∞)【分析】利用向量平行的坐标表示以及基本不等式即可求解 【详解】由a =(m 2+2,m )，b ⃗ =(λ,1)，a //b ⃗ ，得mλ=m 2+2， 因为m >0，所以λ=m 2+2m=m +2m ≥2√2，当且仅当m =√2时取等号，所以实数λ的取值范围是[2√2,+∞)． 故答案为：[2√2,+∞)．3．（2023·江西上饶·统考一模）已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,m −3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，若A,B,C 三点共线，则m =______. 【答案】9【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案． 【详解】∵A,B,C 三点共线， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴3×4=2(m −3)，解得m =9． 故答案为：9．4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知向量a =(1,3),b ⃗ =(3,4)，若(ma −b ⃗ )//(a +2b⃗ )，则m =______ 【答案】−12【分析】求出向量ma −b ⃗ ,a +2b ⃗ 的坐标，然后利用向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】由已知ma −b ⃗ =(m −3,3m −4),a +2b ⃗ =(7,11)， 又(ma −b ⃗ )//(a +2b ⃗ )， ∴11(m −3)=7(3m −4)， 解得m =−12.故答案为：−12.5．（2022秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试）已知a =(1,0),b ⃗ =(2,1). (1)当k 为何值时，ka −b ⃗ 与a +2b⃗ 共线? (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +mb ⃗ 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值. 【答案】(1)k =−12 (2)32【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求. 【详解】（1）ka −b⃗ =k(1,0)−(2,1)=(k −2,−1), a +2b⃗ =(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为ka −b ⃗ 与a +2b⃗ 共线， 所以2(k −2)−(−1)×5=0,解得k =−12.故当k =−12时，ka −b ⃗ 与a +2b⃗ 共线. （2）因为A ，B ，C 三点共线，a 与b ⃗ 不共线， 所以存在实数λ，使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 即2a +3b ⃗ =λ(a +mb ⃗ )， 整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ),所以{λ+2mλ=8mλ=3，解得m =32.故m 的值为32.【考点6：向量垂直的坐标表示】【知识点：向量垂直的坐标表示】a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[提醒]注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知向量a=(−4,m),b⃗=(1,−2)，且(a−2b⃗)⊥b⃗，则m=（）A．−7B．7C．12D．−5【答案】A【分析】根据平面向量垂直的数量积为0求解即可.【详解】由题意，a−2b⃗=(−6,m+4)，又(a−2b⃗)⊥b⃗，故(a−2b⃗)⋅b⃗=0，即(−6,m+4)⋅(1,−2)=0，−6−2(m+4)=0，解得m=−7.故选：A2．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设向量a=(1,cosθ)，b⃗=(sin2θ,−cosθ)，则“a⊥b⃗”是“tanθ=1”的（）条件2A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示结合充分必要条件的定义判断.【详解】a⊥b⃗⇔sin2θ−cos2θ=0⇔2sinθcosθ−cos2θ=0⇔2sinθ=cosθ或cosθ=0⇔tanθ=1或2 cosθ=0，故选：B．，(a−3b⃗)⊥(a+ 3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量a ,b⃗的夹角的余弦值为233b ⃗ )，|b ⃗ |=1，则(a −b ⃗ )·b ⃗ =（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4【答案】C【分析】可由题意设出a =(x,y )，b ⃗ =(1,0)，由(a −3b ⃗ )⊥(a +3b ⃗ )，根据向量垂直的性质得(a −3b ⃗ )·(a +3b ⃗ )=x 2+y 2−9=0，再由向量a ,b ⃗ 的夹角的余弦值为23，可解得x =2，再代入求解即可. 【详解】由题意不妨设a =(x,y )，b ⃗ =(1,0)， 则a +3b ⃗ =(x +3,y )，a −3b⃗ =(x −3,y )， 由(a −3b ⃗ )⊥(a +3b ⃗ )，可得(a −3b ⃗ )·(a +3b ⃗ )=x 2+y 2−9=0，即x 2+y 2=9， 又由23=√x 2+y 2·1=x3，解得x =2，所以(a −b ⃗ )·b ⃗ =a ·b ⃗ −|b ⃗ |2=2−1=1. 故选：C.4．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,m )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=___________. 【答案】52【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得m ，再利用平面向量线性运算和模的坐标表示求得结果. 【详解】向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,m )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，有1×3+2m =0，m =−32，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−32)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+13(3,−32)=(2,32)， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+(32)2=52. 故答案为：525．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量a =(−1,3)，b ⃗ =(1,2)． (1)求a ⋅b⃗ ； (2)求|2a −b ⃗ |及a 在b ⃗ 上的投影向量的坐标； (3)(a −mb ⃗ )⊥a ，求m 的值． 【答案】(1)5(2)|2a −b ⃗ |=5，a 在b ⃗ 上的投影向量的坐标为(1,2) (3)m =2【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；（2）根据向量坐标的线性运算求解2a −b ⃗ 的坐标，即可得|2a −b ⃗ |；按照投影向量的定义列式求解即可； （3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m 的值．【详解】（1）已知向量a =(−1,3)，b ⃗ =(1,2)，所以a ⋅b ⃗ =−1×1+3×2=5； （2）|2a −b ⃗ |=|2(−1,3)−(1,2)|=|(−3,4)|=√(−3)2+42=5， 又a 在b ⃗ 上的投影向量的坐标为|a |cos⟨a ,b⃗ ⟩⋅b⃗ |b⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |b⃗ |2⋅b⃗ =√52(1,2)=(1,2)（3）因为(a −mb ⃗ )⊥a ，所以(a −mb ⃗ )⋅a =a 2−ma ⋅b⃗ =(−1)2+32−5m =0，解得m =2. 6．（2023·高三课时练习）已知平面向量a =(√3,−1)，b ⃗ =(12,√32)，若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2−3)b ⃗ ，y =−ka +tb ⃗ ，且x ⊥y ． (1)试求函数关系式k =f (t )； (2)求使f (t )>0的t 的取值范围． 【答案】(1)f (t )=14t (t 2−3)(2)−√3<t <0或t >√3．【分析】（1）根据x ⋅y =0列方程即可得出k 关于t 的函数f(t)； （2）解不等式得出t 的范围.【详解】（1）由a =(√3,−1)，b ⃗ =(12,√32)，得a ⋅b ⃗ =0，|a |=2，|b⃗ |=1． 因为x ⊥y ，所以x ⋅y =[a +(t 2−3)b ⃗ ]⋅(−ka +tb ⃗ )=−ka 2+[t −k (t 2−3)]a ⋅b ⃗ +t (t 2−3)b ⃗ 2 =−4k +t 3−3t =0，于是k =14t (t 2−3)，即f (t )=14t (t 2−3)．（2）由f (t )>0，得14t (t 2−3)>0，即t(t +√3)(t −√3)>0，解得−√3<t <0或t >√3．【考点7：向量夹角的坐标表示】 【知识点：向量夹角的坐标表示】夹角c os θ＝a b a bc os θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22[答案] (1)D (2)223[方法技巧] 求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式c os θ＝a ba b＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量a=(−1,0)，b⃗=(x,1−x)，则x>0是向量a，b⃗夹角为钝角的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件【答案】C【分析】若向量a，b⃗夹角为钝角，则满足{a⋅b⃗<0a≠λb⃗(b⃗≠0⃗ )，求出x的范围，然后验证充分性与必要性.【详解】∵b⃗=(x,1−x),∴b⃗≠0⃗ 又因为向量a，b⃗夹角为钝角所以满足{a⋅b⃗<0a≠λb⃗(b⃗≠0⃗ )⇒{−x<00⋅x≠−1×(1−x)所以x>0且x≠1因为x>0推不出x>0且x≠1，所以充分性不成立又因为x>0且x≠1能推出x>0，所以必要性成立所以x>0是向量a，b⃗夹角为钝角的必要不充分条件故选：C2．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知平面向量a=(1,3)，b⃗=(−3,4)，c=(7,2)，则下列结论正确的是（）A．a⋅b⃗=−15B．|a+b⃗+c|=5√5C．a+b⃗与a的夹角为钝角D．a+b⃗与c垂直【答案】D【分析】对于A直接利用数量积的坐标运算计算判断；对于B利用向量模的公式来计算判断；对于C通过计算(a+b⃗)⋅a的正负来判断；对于D通过计算(a+b⃗)⋅c的值来判断.【详解】对于A：a⋅b⃗=−3+12=9，A错误；对于B：|a+b⃗+c|=|(5,9)|=√25+81=√106，B错误；对于C ：(a +b ⃗ )⋅a =(−2,7)⋅(1,3)=−2+21=19，则cos⟨a +b ⃗ ,a ⟩=(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗|a ⃗ +b ⃗ |⋅|a ⃗ |>0，故a +b ⃗ 与a 的夹角不为钝角，C 错误；对于D ：(a +b ⃗ )⋅c =(−2,7)⋅(7,2)=−14+14=0，则(a +b ⃗ )⊥c ，D 正确； 故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）已知a =(x,1)，b ⃗ =(2,2x +3)，若a ,b ⃗ 的夹角为钝角，则x 的取值范围为（ ） A ．(−34,+∞)B ．(−∞,−2)∪(−2,−34)C ．(−∞,−34) D ．(−2,−34)∪(−34,+∞)【答案】B【分析】根据cos <a ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b⃗ |a⃗ |⋅|b⃗ |<0和a ,b ⃗ 不共线可构造不等式组求得结果. 【详解】∵a ,b ⃗ 夹角为钝角，∴cos <a ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b⃗|a ⃗ |⋅|b⃗ |<0且a ,b ⃗ 不共线， 即a ⋅b ⃗ =4x +3<0且x (2x +3)≠2，解得：x <−34且x ≠−2， ∴x 的取值范围为(−∞,−2)∪(−2,−34).故选：B.4．（2023·四川·校联考一模）已知向量a =(−3,1)，b ⃗ =(4,2)，则a 与b ⃗ 的夹角为______． 【答案】3π4【分析】利用向量夹角公式的坐标表示计算即可. 【详解】设向量a 与b ⃗ 的夹角为α，则cosα=√(−3)2+12⋅√42+22=√10⋅2√5=−√22， 又0≤α≤π，所以α=3π4．故答案为：3π4．5．（2023·全国·模拟预测）已知向量a =(3,−1)，b ⃗ =(t,1)，⟨a ,b ⃗ ⟩=45∘，则t =______． 【答案】2【分析】利用向量坐标夹角运用求参数. 【详解】因为⟨a ,b⃗ ⟩=45°， 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b⃗ |a⃗ ||b⃗ |=√10⋅√t 2+1=√22， 且3t −1>0⇒t >13，整理得2t2−3t−2=0(t>13)，解得：t=2或t=−12（舍去），故答案为：2.6．（2022秋·广西梧州·高二校考开学考试）已知向量a=(3,2)，b⃗=(1,−1)．(1)求a+b⃗与2a−3b⃗的坐标；(2)求向量a，b⃗的夹角的余弦值．【答案】(1)a+b⃗=(4,1)，2a−3b⃗=(3,7)．(2)√2626【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.【详解】（1）a+b⃗=(4,1)，2a−3b⃗=2(3,2)−3(1,−1)=(3,7)．（2）a⋅b⃗=3−2=1，|a|=√9+4=√13，|b⃗|=√1+1=√2，∴cos<a,b⃗>=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√13⋅√2=√2626．7．（2023·高一课时练习）已知向量a=(1,1)，b⃗=(2,m)，m∈R．(1)若a //b⃗，求m的值；(2)若a⊥b⃗，求m的值；(3)若a与b⃗夹角为锐角，求m的取值范围．【答案】(1)m=2(2)m=−2(3)(−2,2)∪(2,+∞)【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；（2）由向量垂直坐标表示即可；（3）由向量夹角为锐角可知a⋅b⃗>0且a ,b⃗不同向，由此可构造不等式组求得m的范围【详解】（1）因为向量a=(1,1)，b⃗=(2,m)，a //b⃗，所以1×m=2×1，解得m=2；（2）因为向量a=(1,1)，b⃗=(2,m)，a⊥b⃗，所以1×2+1×m=0，解得m=−2；（3）∵a ,b ⃗ 夹角为锐角，∴a ⋅b ⃗ >0且a ,b ⃗ 不同向，∴{1×2+1×m >0m ≠2， 解得：m >−2且m ≠2，∴m 的取值范围为(−2,2)∪(2,+∞).8．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：a 、b ⃗ 是同一平面内的两个向量，其中a =(1,2)．(1)若|b ⃗ |=√52且a +b ⃗ 与b ⃗ 垂直，求a 与b ⃗ 的夹角θ ； (2)若b ⃗ =(1,1)且a 与a +λb⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)θ=2π3 (2)λ∈(−53,0)∪(0,+∞)【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得a ⋅b ⃗ ，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.【详解】（1）解：由(a +b ⃗ )⊥b ⃗ 得(a +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=0 ，所以a ⋅b ⃗ =−|b ⃗ |2=−54， 得cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=−54√5×√52=−12，又θ∈[0,π]，所以θ=2π3；（2）解：因为a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb⃗ =(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ) 所以a ⋅(a +λb ⃗ )>0，则λ+1+2λ+4>0⇒λ>−53， 由a →//(a →+λb →)得λ=0，由与a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，所以λ∈(−53,0)∪(0,+∞)。

平面向量的基本定理及坐标运算讲义加题目解析

平面向量的基本定理及坐标运算讲义加题目解析

平面向量的基本定理及坐标运算知识讲解一、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e u r和2e u u r是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a r ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =r1122a e a e +u r u u r ．2.基底：我们把不共线向量1e u r ，2e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e u r u u r ．1122a e a e +u r u u r 叫做向量a r关于基底{}12,e e u r u u r 的分解式．注：①定理中1e u r ，2e u u r是两个不共线向量；②a r是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．3.平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r ，OA a =u u u r r ．由于1e u r 与2e u u r不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =u u u u r u r ，22ON a e =u u u r u u r ，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+u u u r u r u u r ，则112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r ，E 2E 1e 2e 1O ANM即1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r ，由于1e u r 与2e u u r不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--u u r u r ， 由平行向量基本定理，得1e u r 与2e u u r平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP u u u r关于基底{},OA OB u u u r u u u r 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ……①，并且满足①式的点P一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =u u u r u u u r()t OB OA =-u u u r u u u r ，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ，则AP t AB =u u u r u u u r，即P 在l 上．其中①式可称为直线l 的向量参数方程式5.向量AB u u u r的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e u r ，2e u u r 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA u u u r所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=u u u r u r u u r，即点A 的位置向量OA u u u r的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA u u u r的坐标．3.设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则①1122(,)a b a b a b +=++r r ；②1122(,)a b a b a b -=--r r ；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．5.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b r不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）A ．34AB →﹣14AC → B ．14AB →﹣34AC → C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ．2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，则（ ）A ．x =13，y =23B ．x =14，y =34C ．x =23，y =13D ．x =34，y =14【解答】解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(BA →+AC →)=14AB →+34AC →，所以x=14，y=34．故选：B ．3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →=λAM →+μBD →，则λ+μ=（ ）A ．94B ．2C ．158 D ．53【解答】解：∵AC →=AB →+AD →，AM →=AB →+BM →=AB →+12AD →BD →=AD →−AB →．∴AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+12AD →)+μ(AD →−AB →)，∴{λ−μ=1λ2+μ=1⇒{λ=43μ=13则λ+μ=53．故选：D ．4．（2018•黄浦区一模）已知向量a →=(−3，4)，则下列能使a →=λe 1→+μe 2→(λ、μ∈R)成立的一组向量e 1→，e 2→是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2) B ．e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)C ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)D ．e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)【解答】解：作为基底不共线即可， e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2)共线， e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)共线， e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)不共线，e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)共线， 故选：C ．5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，−2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，5)，e 2→=(6，10)D ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(5，7)【解答】解：选项A ，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×（﹣34）﹣（﹣3）×12=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10﹣5×6=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故e 1→，e 2→不平行，故可作基底，故正确． 故选：D ．6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BD →=3DC →，用a →、b →表示AD →，则AD →等于（ ）A ．a →+34b →B ．34a →+14b →C ．14a →+14b →D ．14a →+34b →【解答】解：AD →=AB →+BD →=a →+34BC → =a →+34(AC →−AB →)=a →+34(b →−a →) =14a →+34b →； 故选：D ．7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC 中，BD=2CD ，若AB →=a →，AC →=b →，则AD →=（ ）A ．23a →+13b →B ．23a →−13b →C ．13a →+23b →D ．23a →−23b →【解答】解：AD →=AC →+CD →=AC →+13CB →=AC →+13（AB →﹣AC →）=13AB →+23AC →=13a →+23b →，故选：C ．8．（2018•三明二模）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则|a →+b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．3√5D ．4√5【解答】解：平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →， 可得m=﹣4，|a →+b →|=|（﹣1，﹣2）|=√5． 故选：A ．9．（2018•梅河口市校级二模）若向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，则|AC →|=（ ） A ．2√5 B ．5C ．20D ．25【解答】解：向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，AC →=（﹣3，4） 则|AC →|=√(−3)2+42=5． 故选：B ．10．（2018•咸阳二模）设向量a →和b →满足：|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解：∵|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2；∴a →2+2a →⋅b →+b →2=12，a →2−2a →⋅b →+b →2=4，两式相减得：4a →⋅b →=8； ∴a →⋅b →=2． 故选：C ．11．（2018•东莞市模拟）已知AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3），则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，3）D ．（5，9）【解答】解：AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3）， 设A （x ，y ），∴（2﹣x ，3﹣y ）=（3，6）， 即2﹣x=3，3﹣y=6， 解得x=﹣1，y=﹣3， ∴A （﹣1，﹣3）， 故选：A ．二．解答题（共9小题）12．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ．使得BD →=13BC →+23BE →，若存在，说明D 点位置：若不存在，说明理由．【解答】解：∵E 是AC 的中点，∴BE →=12（BA →+BC →），则BD →=13BC →+23BE →=13BC →+23•12（BA →+BC →） =23BC →+13BA →；又∵AD →=BD →﹣BA →=23BC →+13BA →﹣BA →=23BC →﹣23BA → =23（BC →﹣BA →） =23AC →， ∴A ，C ，D 三点共线，且D 是线段AC 的三等分点（靠近C 的那个）．13．已知△ABC 中，对于任意实数t ，CP →=t （CA→|CA →|+CB→|CB →|），证明：点P 始终在∠ACB 的平分线上．【解答】证明：CA→|CA →|，CB→|CB|→都是单位向量，即长度为1，并且CA→|CA →|与CA →同向，CB→|CB →|与CB →同向，如图，在AC 上取|CD |=1，CB 上取|CE |=1，作平行四边形CDFE ； 则该平行四边形为菱形，∴对角线CF 为∠ACB 的平分线，且CF →=CA →|CA →|+CB→|CB →|，t(CA→|CA →|+CB→|CB →|)与CF →共线；∴点P 始终在∠ACB 的平分线上．14．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）． （1）当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=a →，AD →=b →，用a →，b →表示OD →=12(b →−a →) ；用a →，b →表示AE →= 34a →+14b → ；（2）设点MN 分别为边DC ，BC 中点． ①当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=c →，AD →=d →，用c →，d →表示AN →，则AN →= c →+12d →．②当以{AM →，AN →}为基底时，设AM →=m →，AN →=n →，用m →，n →表示：AB →= 43n →−23m → ，AC →= 23n →+23m → ，OE = 12n →+12m →．【解答】解：（1）OD →=12BD →=12(AD →−AB →)=12(b →−a →)；AE →=12(AO →+AB →)，AO →=12(AB →+AD →)，∴AE →=34a →+14b →； （2）①依题意AN →=AB →+BN →=c →+12d →；②2AM →=AD →+AC →=2AD →+AB →，2AN →=AB →+AC →=AD →+2AB →；⇒AB →=43AN →−23AM →=43n →−23m →，AD →=43AM →−23AN →=43m →−23n →，AC →=AB →+AD →=23m →+23n →；OE →=14DB →=14(AB →−AD →)=12n →−12m →．15．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ，AC 于点D 、E ，设AB →=a →，AC →=b →． （1）用a →，b →表示向量AG →；（2）若AD →=x AB →，AE →=y AC →，且xy ≠0，求1x +1y的值．【解答】解：（1）G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AM →=13(AB →+AC →)=13(a →+b →)；（2）根据条件，AB →=1x AD →，AC →=1y AE →； ∴AG →=13(AB →+AC →) =13(1x AD →+1y AE →) =13x AD →+13y AE →； 又D ，G ，E 三点共线； ∴13x +13y =1； ∴1x +1y =3．16．如图，△ABC 中，点E 、F 、G 分别在边BC 、AC 、AB 上，且AG GB =BE EC =CF FA =12，设AB →=a →，BC →=b →．（1）用a →、b →表示向量AF →； （2）证明：AE →+BF →+CG →=0．【解答】解：（1）∵AG GB =BE EC =CF FA =12，∴AF →=23AC →=23（AB →+BC →）=23a →+23b →．（2）AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=a →+13b →，BF →=BC →+CF →=BC →+13CA →=BC →﹣13（AB →+BC →）=﹣13AB →+23BC →=﹣13a →+23b →，CG →=CB →+BG →=﹣BC →﹣23AB →=﹣23a →﹣b →．∴AE →+BF →+CG →=a →+13b →﹣13a →+23b →﹣23a →﹣b →=0→．17．若AD 与BE 分别为△ABC 的边，BC 与AC 上的中线AD 交BE 于点O ，AD →=a →，BE →=b →，试用a →，b →表示OC →．【解答】解：如图，B ，D ，C 三点共线，所以向量BC →∥BD →，∴存在实数λ，使BC →=λBD →；∴OC →−OB →=λ(OD →−OB →)；∴OC →=(1−λ)OB →+λOD →=λ3AD →+2(λ−1)3BE →=λ3a →+2(λ−1)3b →；同理，A ，E ，C 三点共线，所以存在实数μ，使OC →=2(μ−1)3a →+μ3b →；∴{λ3=2(μ−1)32(λ−1)3=μ3，解得λ=μ=2； ∴OC →=23a →+23b →．18．已知A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）． （1）求AD →+2BD →﹣3BC →；（2）设CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，求MN →及M 、N 点的坐标．【解答】解：（1）∵A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）， ∴AD →=（﹣3，5），BD →=（﹣4，2），BC →=（1，1），∴AD →+2BD →﹣3BC →=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6）， （2）设M 、N 点的坐标为（x ，y ），（m ，n ），∴CM →=（x ﹣3，y ﹣2），CN →=（m ﹣3，n ﹣2），CA →=（﹣2，﹣4）， ∵CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，∴{x −3=−6y −2=−12，或{m −3=−1n −2=−1，解得{x =−3y =−10，或{m =2n =1，∴M 、N 点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1）， ∴MN →=（5，11）．19．已知向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0），求下列向量的坐标：（1）a →+b →；（2）12a →﹣3b →．【解答】解：（1）∵向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0）， ∴a →+b →=（4，﹣3）．（2）12a →﹣3b →=（12，﹣32）﹣（9，0）=（﹣172，﹣32）．20．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），OP →=t 1OA →+t 2AB →． （1）证明：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线；（2）试求当t 1、t 2满足什么条件时，O 、A 、B 、P 能组成一个平行四边形． 【解答】证明：（1）由题意知，t 1=1，代入OP →=t 1OA →+t 2AB →得， OP →=OA →+t 2AB →，则OP →﹣OA →=t 2AB →，即AP →=t 2AB →，所以当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线； （2）设P 的坐标是（x ，y ），由O （0，0），A （1，2），B （4，5）得，OA →=（1，2），AB →=（3，3），因为OP→=t1OA→+t2AB→，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，若四边形OABP能成为平行四边形，如图所得，OA→=PB→，即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），所以{1=4−t1−3t22=5−2t1−3t2，得{t1+3t2=32t1+3t2=3，解得{t1=0t2=1，所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−1,1)，c ⃗=(4,2)，则 c ⃗= ( )A. 3a ⃗+b⃗⃗ B. 3a ⃗−b⃗⃗ C. −a ⃗+3b⃗⃗ D. a ⃗+3b⃗⃗ 2. 若向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (−2,−4)B. (3,4)C. (6,10)D.(−6,−10)3. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (4,6)B. (−4,−6)C. (−2,−2)D. (2,2)4. 若向量 a ⃗=(x +1,2) 和向量 b ⃗⃗=(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗+b⃗⃗∣=( )A. √10B.√102C. √2D.√225. 平行四边形 ABCD 的对称中心为 O ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，则 CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. (−12,5)B. (−12,−5)C. (12,−5)D. (12,5)6. 若向量 a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(−3,4)，则 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b⃗⃗) 等于 ( )A. 20B. (−10,30)C. 54D.(−8,24)7. 已知向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(2,x )，若 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则实数 x 的值是 ( )A. −2B. 0C. 1D. 28. 已知点 A (0,1)，B (3,2)，向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)9. 设向量 a ⃗=(1,−2)，向量 b ⃗⃗=(−3,4)，向量 c ⃗=(3,2)，则 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗= ( )A. (−15,12)B. 0C. −3D. −1110. 已知向量 a ⃗=(5,2)，b ⃗⃗=(−4,−3)，c ⃗=(x,y )，若 3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗，则 c ⃗= ( )A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)11. 已知 M (3,−2) ， N (−5,−1) 且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 的坐标为 ( ) A. (−8,1)B. (1,32)C. (−1,−32)D. (8,−1)12. 已知向量 a ⃗=(4,2)，向量 b ⃗⃗=(x,3)，且 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x 等于 ( ) A. 9 B. 6 C. 5 D. 3二、填空题（共5小题；共25分）13. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,6)（ab ≠0）共线，则 1a +1b 的值等于 ． 14. 设平面向量 a ⃗=(3,5)，b ⃗⃗=(−2,1)，则 a ⃗−2b ⃗⃗= ． 15. 已知向量 a ⃗=(−2,1)，b ⃗⃗=(1,0)，则 ∣2a ⃗+b⃗⃗∣= ．16. 已知向量 a ⃗=(1,3)，b ⃗⃗=(−2,1)，c ⃗=(3,2)．若向量 c ⃗ 与向量 ka ⃗+b⃗⃗ 共线，则实数 k = ．17. 已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(−2,3)，c ⃗=(x,1)，若 c ⃗ 与 a ⃗+b⃗⃗ 平行，则 x = ．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 在 △ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (−4,7)，求 ∠A 的平分线所在直线的方程．19. 已知 A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，且 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求点 M ，N 的坐标及向量 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．20. 已知向量 a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)． （1）求 2a ⃗+3b ⃗⃗，a ⃗−2b ⃗⃗； （2）若向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行，求 k 的值．21. 已知 a ⃗=(cosα,sinα)，b⃗⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√2，求证：a ⃗⊥b ⃗⃗； （2）设 c ⃗=(0,1)，若 a ⃗+b ⃗⃗=c ⃗，求 α,β 的值．22. （1）已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(x,1)，u ⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，v ⃗=2a ⃗−b ⃗⃗，且 u ⃗⃗∥v ⃗，求 x 的值．（2）在直角三角形 ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,k )，求实数 k 的值．答案第一部分 1. B【解析】点拨：设 c =xa +yb ，则 (4,2)=x (1,1)+y (−1,1)．所以 4=x −y ，2=x +y ．所以 x =3， y =−1．故 c =3a −b ． 2. A 【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−4)． 3. A 【解析】AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,6)． 4. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗+b ⃗⃗=(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)， 所以 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√2． 5. B【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,10)，则 CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−5)． 6. B【解析】a ⃗⋅b ⃗⃗=−3+8=5，a ⃗+b ⃗⃗=(−2,6)， 所以 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b ⃗⃗)=5×(−2,6)=(−10,30)． 7. D【解析】解法一：因为 a ⃗=(1,1)，b⃗⃗=(2,x )， 所以 a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1)，4b ⃗⃗−2a ⃗=(6,4x −2)，由于 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，得 6(x +1)−3(4x −2)=0，解得 x =2． 解法二：因为 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则存在常数 λ，使 a ⃗+b ⃗⃗=λ(4b ⃗⃗−2a ⃗)，即 (2λ+1)a ⃗=(4λ−1)b ⃗⃗， 根据向量共线的条件知，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，故 x =2． 8. A9. C【解析】因为 a ⃗=(1,−2)，b⃗⃗=(−3,4)， 所以 a ⃗+2b ⃗⃗=(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)． 因为 c ⃗=(3,2)，所以 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−5×3+6×2=−3． 10. A11. C 【解析】设 P (x,y )，由 (x −3,y +2)=12⋅(−8,1)，所以 x =−1 ， y =−32． 12. B 第二部分 13. 1214. (7,3) 15. √13 16. −1 17. x =−15【解析】a ⃗+b ⃗⃗=(−1,5)，又 c ⃗∥(a ⃗+b⃗⃗)，则 x =−15． 第三部分18. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=(35,45)+(−45,35)=(−15,75)=−15(1,−7)， 所以 ∠A 的平分线所在直线的斜率为 −7， 因为 ∠A 的平分线过点 A ．所以所求直线方程为 y −1=−7(x −4)． 整理得：7x +y −29=0．19. ∵A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,8)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(1,8)=(3,24)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(6,3)=(12,6)． 设 M (x,y )，则 CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x +3,y +4)， ∴{x +3=3,y +4=24, 得 {x =0,y =20,∴ 点 M 坐标为 M (0,20)． 同理可得 N (9,2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−0,2−20)=(9,−18)． 20. （1） ∵a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)， ∴2a ⃗+3b ⃗⃗=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12)， a ⃗−2b⃗⃗=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8)． （2） 依题意得 ka ⃗+b ⃗⃗=(2k,0)+(1,4)=(2k +1,4)， a ⃗+2b⃗⃗=(2,0)+(2,8)=(4,8)． ∵ 向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行， ∴8(2k +1)−4×4=0，解得 k =12． 21. （1） 由题意得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣2=2，即(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=2. 又因为 a ⃗2=b ⃗⃗2=∣a ⃗∣2=∣∣b ⃗⃗∣∣2=1，所以2−2a ⃗⋅b⃗⃗=2, 即 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，故 a ⃗⊥b⃗⃗． （2） 因为 a ⃗+b⃗⃗=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π,β=π.22. （1） u ⃗⃗=(2x +1,4)，v ⃗=(2−x,3)．因为 u ⃗⃗∥v ⃗，所以 3(2x +1)−4(2−x )=0，解得 x =12．（2） 若 ∠A =90∘，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 2+3k =0，所以 k =−23． 若 ∠B =90∘，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，而 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,k −3)，所以 2×(−1)+3(k −3)=0，所以 k =113．若 ∠C =90∘，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以 1×(−1)+(k −3)k =0，即 k 2−3k −1=0，所以 k =3±√132． 因此，k =−23 或 113或 3±√132．。

考点18 高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-考点总结及练习题

考点18 高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-考点总结及练习题

考点18平面向量的基本定理及坐标表示【命题趋势】平面向量的基本定理的利用要灵活掌握，用坐标表示平面向量并进行运算是考查的重点，具体要求是：（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重要考向】一、平面向量基本定理的应用二、平面向量的坐标运算三、向量共线（平行）的坐标表示平面向量基本定理的应用如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．【巧学妙记】1.如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝a －53b因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，－λ＝2x，1＝－53x，＝35，＝45.故λ＝45.2.在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________．【答案】34【解析】∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＝AC→＋13AB又AB→，AC→不共线，＝t3，1＝－t，解得t＝34.3.如图所示，在ABO△中，14OC OA=，12OD OB=，AD与BC相交于点M，设OA = a ，OB = b.（1）试用向量a ，b 表示OM；（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE λ= a ，OF μ=b ，求证：13λμ+为定值.【解析】（1）由A ，M ，D 三点共线，可设()1OM mOA m OD =+- 12m m -=+a b ，由B ，M ，C 三点共线，可设()1OM nOC n OB =+- ()14nn =+-a b ，∴14112m n m n⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =，∴1377OM =+ a b .（2）由E ，M ，F 三点共线，设()1OM kOE k OF =+-()1k k λμ=+-a b ，由（1）知17k λ=，()317k μ-=，∴17k λ=，377k μ=-，∴137λμ+=，为定值.平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB=（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a |，|a ＋b |.3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .【巧学妙记】4.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)【答案】A【解析】设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.5.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →－x ＝6，4＝2－2y ，＝－5，＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →－x ＝－6，4＝－2＋2y ，＝7，＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.6.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为()A．(－8,1)1D．(8，－1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y=a，22(,)x y=b，则∥a b的充要条件是1221x y x y=”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.【巧学妙记】7.已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114【答案】B【解析】因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.8.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．【答案】－23【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.9.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．【答案】2【解析】∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.一、单选题1．已知点(0,1)(3,2)A B ，，则向量AB =uu u r（）A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(3,1)-D ．(3,1)-2．设x ∈R ，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），且a →∥b →，则|a →+b →|＝（）A 5B ．102C 5D ．53．ABC 中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则 λμ-的值是（）A ．13B ．12C ．1D ．234．地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a = ，OB b = ，则AF =（）A ．5122a b-- B ．33232a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．33233a b⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．33233a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭ 5．如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则（）A ．2313x =+，233y =B ．233x =，2313y =+C ．2x =+，y =D ．312x =+，32y =二、多选题6．己知向量()()2,1,3,1a b ==-，则（）A ．()a b a+⊥ B ．25a b +=C ．向量a在向量b方向上的投影是2-D ．与向量a方向相同的单位向量是255,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ，向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，关于向量a的分解，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；B ．给定向量b 和c，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+ ；C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；D ．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ .三、填空题8．已知向量(a b t ==，若a 和b共线，则实数t =___________．9．已知向量()()2,4,1,12a b λ=-=-- ，若//a b ，则λ=___________.10．已知向量()2,1a =-r，()1,2b = ，()//2a a kb + ，则k =______．11．已知向量()2,1a =- ，()4,b x = ，且//a b，则2a b += ___________.一、单选题1．（2015·四川高考真题（文））设向量a ＝（2，4）与向量b＝（x ，6）共线，则实数x ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．62．（2013·陕西高考真题（文））已知向量a =（1，m ），b =（m ，2），若a ∥b ，则实数m等于（）A ．2-B 2C ．0D ．2-23．（2008·广东高考真题（文））已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=A ．(5,10)--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--4．（2014·北京高考真题（文））已知向量()2,4a = ，()1,1b =- ，则2a b -=A ．()5,7B ．()5,9C ．()3,7D ．()3,95．（2014·广东高考真题（文））已知向量()1,2a =，()3,1b = ，则b a -=A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()4,36．（2012·广东高考真题（文））若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC=A ．（4,6）B ．(-4，-6)C ．(-2，-2)D ．(2,2)7．（2009·重庆高考真题（文））已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b + 与42b a -平行，则实数x 的值是（）A ．-2B ．0C ．1D ．28．（2015·全国高考真题（文））（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)9．（2012·天津高考真题（文））ABC ∆中，90A ∠=︒,2,3,AB AC ==设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ AC λλ==- .R λ∈若1BQ CP ⋅=,则λ=（）A ．13B ．23C ．43D ．210．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2017·山东高考真题（文））已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ=____________.12．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.13．（2009·辽宁高考真题（文））在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边//AB DC ，//AD BC ，已知点()20A -，，()68B ，，()8,6C 则D 点的坐标为___________.14．（2014·天津高考真题（文））已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为__________15．（2015·天津高考真题（文））在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为________．一、单选题1．（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知向量(2,3)a =，(1,)b λ=-，若向量2a b-与向量a共线，则λ=（）A ．32-B ．132C 13D ．1342．（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））设向量(1,1)=-a x ，(3,1)b x =+，则a与b一定不是（）A ．平行向量B ．垂直向量C ．相等向量D ．相反向量3．（2021·山东泰安市·高一期中）如果用,i j分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．2i j- B ．42i j+ C ．23i j + D ．2i j-+ 4．（2021·浙江高一期末）设12,e e为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e - B ．1224e e + 和2124e e -C ．122e e + 和12e e +D ．122e e -和2142e e - 5．（2021·全国高三其他模拟）已知ABC 中，9AB =，12AC =，15BC =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点O ，则BO =（）A ．1243AB AC-+B ．2134AB AC-+C ．3143AB AC-+D ．1334AB AC-+6．（2021·浙江高一期末）如图Rt ABC 中，,22,2ABC AC AB BAC π∠===∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，则AD BC ⋅=（）A ．32B ．32C ．32-D ．327．（2021·上海高一专题练习）已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若2AB =，60BAD ∠=︒，则AB DE ⋅=（）A ．2-B ．12-C ．72-D ．12二、填空题8．（2021·安徽黄山市·高三二模（文））已知()3,a x = ，()1,2b =-r ，若//a b r r，则23a b +=______．9．（2021·全国高一课时练习）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM ＝3CA ，CN＝2CB ，则MN的坐标为________．10．（2021·北京市育英学校高三其他模拟）已知平面向量(,3)a m = ，(1,6)= b ，若//a b r r ，则m =________．11．（2021·定远县私立启明民族中学高三月考（理））设向量()1,2a =- ，(),1b m =r ，如果向量2a b + 与2a b - 平行，则a b +=___________.12．（2021·上海高一单元测试）已知向量(4,3)a =-，点(1,1)A ，(2,1)B -，记A B '' 为AB在向量a 上的投影向量，若A B λa =''，则λ=_________．三、解答题13．（2021·浙江高一期末）已知,,a b c →→→是同一平面的三个向量，其中(3,33)a →=．（1）若2b →=，且//a b →→，求b →的坐标；（2）若c →与a →的夹角θ的余弦值为2，且3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c →．14．（2021·浙江高一期末）在直角梯形ABCD 中，已知//,90,4,2AB CD DAB AB AD CD ∠=︒===，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥．（1）以,AB AD →→为基底分别表示向量,BD AO →→；（2）求AM BD →→⋅的值．参考答案跟踪训练1．A 【分析】利用平面向量的坐标运算直接得解.【详解】(0,1)A ，(3,2)B ，(3,1)AB ∴=故选：A 2．A 【分析】由向量共线求得未知数x ，根据模长的坐标表示求得即可.【详解】解：根据题意，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），若a →∥b →，则﹣2x ＝1，解可得x ＝﹣12，则a →＝（﹣12，1），故a →+b →＝（12，﹣1），则|a →+b →|，故选：A ．3．A 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．【详解】因为2MC AM =，所以13AM AC = ，1121()3333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ，若BM BA BC λμ=+，则23λ=，13μ=，13λμ-=．故选：A ．4．D 【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(O ，()1,0A -，()10B ,，(1,2F +，所以(1,OA =-，(1,OB =，(2,2AF =+ ．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪=+，解得2333λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA ⎛=-+- ⎝⎭ ，即23AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】方法点睛：用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.5．D 【分析】以以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则有(,)D x y ，因此求出D 点坐标即可，易知sin sin135y BD DAB BD =∠=︒，从而得cos 45x AB BD =+︒，故得结论．【详解】如图，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则(0,1)C ，(,)AD x AB y AC x y =+=，即(,)D x y，BC DF ==36sin 6022DB DF =︒==，又135ABD ∠=︒，ABD △中，设BAD θ∠=，则sin sin135BD ADθ=︒，所以623sin sin135222AD BD θ=︒=⨯=，所以2y =，cos 4511222x AB BD =+︒=+⨯=+．故选：D．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性运算，解题方法是建立平面直角坐标系,设1AB =，则(,)x y 是D 点坐标，求得BD 长即可得．6．ABCD 【分析】根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.【详解】()(23,11)(2,1)(1,2)(2,1)0a b a →→→+⋅=-+⋅=-⋅=，则()a b a →→→+⊥，故A 正确；2(2,1)(6,2)(4,3)5a b →→+=+-=-=，故B 正确；向量a →在向量b →上的投影是102a bb→→→⋅==-，故C 正确；与a →方向相同的单位向量为255(,55a a→→==，故D 正确；故选：ABCD 7．AB 【分析】由平面向量的加减法可判断A ，由平面向量基本定理可判断B ，举出反例可判断C 、D.【详解】对于A ，给定向量b ，总存在向量c a b =- ，使a b c =+，故A 正确；对于B ，因为向量a ，b ，c在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+，故B 正确；对于C ，设()0,4a = ，给定()1,0,1b μ== ，则不存在单位向量c和实数λ，使a b c λμ=+ ，故C 错误；对于D,设()0,4a = ，给定1,1λμ==，则不存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ ，故D 错误.故选：AB.8．2【分析】由向量共线，结合向量共线的坐标表示可得0=，即可求参数t .【详解】由a 和b共线，知：0=，解得2t =，故答案为：29．12【分析】利用向量平行的充要条件得到方程求解.【详解】解： 向量()()2,4,1,12,//a b a b λ=-=--，∴()21241λ---=⨯，解得12λ=.故答案为：1.2【点睛】平面向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的的充分必要条件1221x y x y =.10．0【分析】首先求出2a kb +，再根据向量平行的坐标表示计算可得；【详解】解：因为()2,1a =-r，()1,2b = ，所以()()()222,11,24,22a kb k k k +=-+=-++ 因为()//2a a kb +，所以444k k --=-+，则0k =．故答案为：011．【分析】本题首先可根据//a b求出2x =-以及()4,2b =- ，然后求出()210,5a b +=- ，最后根据向量的模的相关性质即可得出结果.【详解】因为()2,1a =- ，()4,b x = ，//a b ，所以24x =-，2x =-，()4,2b =-，则()210,5a b +=- ，2a b +==，故答案为：.真题再现1．B 【详解】由向量平行的性质，有2∶4＝x ∶6，解得x ＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2．D 【分析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．【详解】向量a=（1，m ），b=（m ，2），若a∥b，则m 2=2，解得或故选D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．3．B 【详解】试题分析：因为(1,2)a =，(2,)b m =- ，且//a b，所以40,4m m +==-，()()2321,232,4a b +=+--=(4,8)--，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.4．A 【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.5．B 【详解】试题分析：由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=- ，故选B.考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.6．A【详解】()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.7．D【详解】因为(1,1),(2,)a b x == ，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b + 与42b a - 平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.8．A【解析】试题分析：(31)(43)(74)BC BA AC =+=--+--=-- ，，，,选A.考点：向量运算9．D【详解】试题分析：以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,3)C ，则(2,0)AP λ= ，(0,3(1))AQ λ=- ，(2,3(1))BQ AQ AB λ=-=-- ，CP AP AC =- ＝(2,3)λ-，所以223(1)(3)1BQ CP λλ⋅=-⨯+-⨯-=，2λ=．故选D ．考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积．10．B【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒=== .以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(222133||4x y BM +++∴= ，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max 149333144BM ⎫∴=+=⎪⎭ ，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC === ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++= ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．11．-3【详解】由a b ∥可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a b ∥的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C三点共线等价于与共线.12．[2,3]【详解】故答案为[2,3].13．()0,2-【分析】根据平行四边形的性质易得OB OD OA OC +=+ ，将向量用坐标表示，进行坐标运算即可得结果.【详解】平行四边形ABCD 中，OB OD OA OC +=+，∴()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----= ，即D 点坐标为()0,2-，故答案为()0,2-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.14．.【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，∴13BE BC = ，1DF DC λ= ，1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+ ，11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，∴|AB |＝|AD |＝2，AB •AD = 2×2×cos120°＝﹣2，∵AE •AF =1，∴（13AB AD + ）•（1AD AB λ+ ）22113AD AB λ=++ （113λ+）AB •AD = 1，即13⨯41λ+⨯4﹣2（113λ+）＝1，整理得10533λ=，解得λ＝2，故答案为2．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．15．2918【详解】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 得12AD BC ⋅= ,1AB AD ⋅= ,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.模拟检测1．A【分析】有题意可得2=(4,32)a b λ-- ，根据向量平行可得其坐标间关系，即可求得答案.【详解】由题意得：2=(4,32)a b λ-- ，因为向量2a b - 与向量a 共线，所以43=2(32)λ⨯⨯-，解得32λ=-.故选：A2．C【分析】根据已知向量的坐标，结合//a b 、a b ⊥ 、a b = 、a b =- 的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.【详解】假设//a b ，即(1)(1)30x x -+-=，2x =±，假设a b ⊥ ，即3(1)(1)0x x -++=，12x =，假设a b = ，即1311x x -=⎧⎨=+⎩，无解，假设a b =- ，即131(1)x x -=-⎧⎨=-+⎩，2x =-，故选：C ．3．A【分析】由已知点坐标写出AB 的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出,i j 表示AB的代数形式.【详解】由题意知：(4,2)(2,3)(2,1)AB =-=- ，∴2AB i j =-uu u r r r.故选：A.4．D【分析】根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求解．【详解】解：由题意可知，12,e e 是不共线的两个向量，可以判断选项A ，B ，C 都可以做基底，选项D ，122112(42)2e e e e -=-- ，故选项D 不能做基底．故选：D ．5．B【分析】根据222AB AC BC +=，以A 为原点建立平面直角坐标系，由AB AC r AB AC BC ⨯=++求得内切圆的半径，进而得到O ，B ，C 的坐标，再利用平面向量的基本定理求解.【详解】由已知得222AB AC BC +=，则90BAC ∠=︒．以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC 内切圆半径912391215AB AC r AB AC BC ⨯⨯===++++，所以()3,3O ，()9,0B ，()0,12C ．设BO mAB nAC =+ ，则()()()6,39,00,12m n -=+，解得23m =-，14n =，故2134BO AB AC =-+ ，故选：B ．6．D【分析】连接BO 、DO 、BD ，根据题意，可得四边形ABDO 为菱形，即可求得各个边长可角度，又,AD AO OD BC OC OB =+=- ，根据数量积公式，即可求得答案.【详解】连接BO 、DO 、BD ，如图所示：由题意得：,222ABC AC AB π∠===，AD 为BAC ∠的平分线，所以四边形ABDO 为菱形，即1AO OD AB BD ====，又1cos 2AB BAC AC ∠==，所以60BAC ∠=︒，所以60BOA BOD DOC ∠=∠=∠=︒，又,AD AO OD BC OC OB =+=-，所以()()AD BC AO OD OC OB AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅ =cos 0cos120cos 60cos 60AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅-⋅︒+⋅︒-⋅︒=111312222⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭.故选：D7．B【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,x y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点O 为坐标原点，,OD OA 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，由2AB =，60BAD ∠=︒，所以(A ，()1,0B -，()1,0D，0,2E ⎛⎝⎭，所以(31,,1,2AB DE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31122AB DE ⋅=-=- .故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.8．()3,6-【分析】由向量平行的坐标表示求得x ，再由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】因为()3,a x = ，()1,2b =-r，所以由//a b r r，有()321x ⨯=-⨯，解得6x =-，所以()()()236,123,63,6a b +=-+-=- ，故答案为：()3,6-．9．(9，－18)【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量的加法的运算性质进行计算即可.【详解】因为CM ＝33(1,8)(3,24)CA == ，CN ＝22(6,3)(12,6)CB ==，所以(3,24)(12,6)(9,18)MN MC CN CM CN =+=-+=-+=- ，故答案为：(9，－18)10．12【分析】由向量共线的坐标表示计算．【详解】由题意630m -=，12m =．故答案为：12．11．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量2a b + 与2a b -的坐标，根据向量平行求出参数m 的值，从而得出答案.【详解】()221,4a b m +=- ，()22,3a b m -=-- ，由向量2a b + 与2a b - 平行，()()423210m m ∴----=，解得12m =-，则3,32a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故答案为：3,32⎛⎫-⎪⎝⎭.12．25-【分析】先求得AB 在向量a 上的投影，再根据A B '' 为AB 在向量a 上的投影，求得A B '' 的坐标，然后由A B λa ='' 求解.【详解】因为点(1,1)A ，(2,1)B -，所以(1,2)AB =- ，又向量(4,3)a =-，所以AB 在向量a 上的投影1025AB a a=⋅-=- ，所以862,55a A B a ⎛⎫''=-⨯=- ⎪⎝⎭ 因为A B λa =''，所以λ=25-，故答案为：25-13．（1）(或(1,-；（2）【分析】（1）根据题意得()3b a λλ→→==，再结合2b →=得13λ=±，进而得答案；（2）根据题意得223340a c a c a c c →→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合6a →=可得23360c →-+=，解方程即可得答案.【详解】解：（1）∵//a b →→，∴存在实数λ使得(()3b a λλλ→→===，∵2b →=，∴62b λ→===，解得13λ=±，∴(b →=或(1,b →=-.（2）∵3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c →与a →的夹角θ的余弦值为32∴2222334340a c a c a c a c a c c →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⋅=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵a →=，∴6a →==，∴23360c →-+=，解得c →=【点睛】本题考查向量的共线与垂直的坐标表示，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握向量共线与垂直定义与坐标表示，进而求解.14．（1）BD AD AB →→→=-；2133AO AD AB →→→=+；（2）83-.【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解即可；（2）根据//AB CD ，2AB CD =，得到2AO OC =；再把AM BD →→⋅转化为23AC BD →→⋅进一步整理即可得到结论.【详解】（1）BD AD AB →→→=-；11121()33333AO AD DO AD DB AD BD AD AD AB →→→→→→→→→→→→=+=+=-=--=+.（2）在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，2AB CD =，所以2AO OC =，∴()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD→→→→→→→→→→→⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD →→=⋅222()())33AD DC AD AB AD DC AB →→→→→→→=+⋅-=-⋅28(424)33=-⨯=-.【点睛】方法点睛：平面向量问题的求解常用的方法有：（1）基底法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.。

高考理科数学复习题解析 平面向量的基本定理及坐标表示

高考理科数学复习题解析 平面向量的基本定理及坐标表示

高考数学复习 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( ) (3)相等向量的坐标相同．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( ) A ．5 B.13C.17 D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A.12a ＋12bB.12a ＋13bC.14a ＋12bD.12a ＋14b D [AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12(AE →－AB →)＝12AB →＋12AE →＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b ，故选D.] 4．(教材改编)已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.－4 [AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，t －4)，由AB →∥CD →得4(t －4)＝－32，解得t ＝－4.] 5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．(1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.]平面向量基本定理及其应用1A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) B [当e 1与e 2不共线时，可表示a .当e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)时，(－1)×(－2)≠5×2， 因此e 1与e 2不共线，故选B.]2．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13bA [由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .故选A.]3．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [根据向量的减法和加法的三角形法则知a －b ＝e 1－3e 2，故选C.] [规律方法] 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.平面向量的坐标运算【例1】 (1)0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43(2)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．(3)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．(1)D (2)－3 (3)3－1 [(1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.(2)由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9.m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.(3)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c ＞0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.][规律方法] 平面向量坐标运算的技巧1利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.2解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程组进行求解.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．平面向量共线的坐标表示【例2】 (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0， ∴m ＝32.[规律方法] 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，则a∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便.2利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λaλ∈R ，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.则实数m 的值为( )A.13 B ．－13C.23 D ．－23(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)B (2)k ≠1 [(1)2a ＋b ＝(－1,2m ＋1)，由题意知 －3(2m ＋1)＝－1，解得m ＝－13，故选B.(2)若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0， 解得k ≠1.]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.12 [由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.] 自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)

平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)

归纳与技巧：平面向量的基本定理及坐标表示基础知识归纳一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设OA ＝x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.基础题必做1． 若向量AB＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)解析：选A ∵AC ＝AB ＋BC，∴AC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1)D ．(－3,1)解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．3．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫45，－35 解析：选A ∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB＝(3，－4)，∴与AB 同向的单位向量为AB|AB |＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD＝________.解析：AD ＝BC ＝AC －AB＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， BD ＝AD －AB＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．答案：(1,2) (0，－1)5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝m a ＋n b ，则nm＝________.解析：∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm ＝－4.答案：－4解题方法归纳1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯 一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．平面向量基本定理及其应用典题导入[例1] 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB＝2DC ，则AO ＝________(用向量a和b 表示)．[自主解答] ∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . [答案] 23a ＋13b解题方法归纳用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1． 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设CM ＝m CB ＝m (AB －AC )(0≤m ≤1)，则AM ＝AC＋CM ＝(1－m ) AC ＋m AB ，AN ＝12AM ＝m 2AB ＋1－m 2AC ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12.平面向量的坐标运算典题导入[例2] (1) 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1, 3)(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[自主解答] (1)∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. [答案] (1)D本例中第(2)题增加条件CM ＝3c ，ON ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN的坐标．解：∵CM ＝OM －OC＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC＝－2b ， ∴ON ＝－2b ＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN＝(9，－18)．解题方法归纳1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． [注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2． 已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32平面向量共线的坐标表示典题导入[例3] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2[自主解答] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案] B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a ＋λb 和a －λc 平行？若平行， 是同向还是反向？解：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，a －λc ＝(1－3λ，2－4λ)， 若(a ＋λb )∥(a －λc )，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0. ∴λ＝1.∴a ＋λb ＝(2,2)与a －λc ＝(－2，－2)反向． 即存在λ＝1使a ＋λb 与a －λc 平行且反向．解题方法归纳a ∥b 的充要条件有两种表达方式 (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1) 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2) 已知a ，b 是不共线的向量，AB＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC 等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ－3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3. 如图所示，向量OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC ＝－3CB，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC ＝－3CB ，∴OC －OA ＝－3(OB －OC)． ∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b .4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA.其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵OC ＝(－2,1)，BA ＝(2，－1)，∴OC ∥BA，又A ，B ，C ，O 不共线，∴OC ∥AB .①正确；∵AB ＋BC＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB，∴③正确； ∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．5． 已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：选B 由已知得DE ＝13EB ，又∵△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD .∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a . ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .7． 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________. 解析：a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案：48． P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)9．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC不共线．∵AB ＝OB－OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠110．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)当t 1＝1时，由(1)知OM＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB－OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．1.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误．．的是( ) A ．AC ＝AB ＋ADB ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12ADD ．AE ＝53AB ＋AD解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD，排除A 、C.2． 在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB＋(1－x ) AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 3． 已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB＝a ，AC ＝b ，用a ，b 表示向量AP ，AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP (t ∈R )，则AD ＝13t a ＋512t b ．①又设BD＝k BC (k ∈R )， 由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②，得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43. 代入①，有AD ＝49a ＋59b .1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－3 解析：选A ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0.∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3≥－2. 2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 3.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE ＝2EC ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标．解：(1)设点D (x ，y )，因为AD ＝BC ，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，72，由于 DE ＝2EC ，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝⎛⎭⎫143，233，由于BF ＝⎝⎛⎭⎫－3，52， BI ＝(x －4，y －1)，BF ∥BI ⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE ∥AI ⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238， 则点I 的坐标为⎝⎛⎭⎫74，238.。

平面向量的基本定理及坐标表示知识点及例题

平面向量的基本定理及坐标表示知识点及例题

知识点总结：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosθ叫与的数量积，记作⋅，即⋅ = ||||cosθ，并规定与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积⋅等于的长度与在方向上投影||c osθ的乘积.3．两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1︒⋅ = ⋅ =||cosθ； 2︒⊥⇔⋅ = 03︒当与同向时，⋅ = ||||；当与反向时，⋅ = -||||,特别地⋅ = ||24︒cosθ =； 5︒|⋅| ≤ ||||4.平面向量数量积的运算律①交换律：⋅ = ⋅②数乘结合律：()⋅ =(⋅) = ⋅()③分配律：( + )⋅ = ⋅ + ⋅5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量，,则.②设，则.③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么.④向量垂直的判定两个非零向量，，则.⑤两向量夹角的余弦co sθ =（）.1．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有，∴两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.3.平面向量数量积的坐标表示的性质⑴向量的模设，则有或⑵平面内两点间的距离公式设，，则，⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件设，，则⑷两向量的夹角的坐标表示公式设非零向量，，为与的夹角，则二．例题讲解1.平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题:①; ②; ③; ④其中正确命题序号是②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.解(1)当时, =或=.(2)当时, =.(3)当的夹角为时, =.变式训练:已知,求解:=点评:熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 若,且,则向量与向量的夹角为 ( )A. B. C. D.解:依题意故选C 学生训练: ①已知,求向量与向量的夹角.②已知,夹角为,则 .解: ①,故夹角为.②依题意得.变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.法一解:将两边平方得,则, 故的夹角.为.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.解: ,且的夹角为;变式训练 :①已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )A. B. C. D.②已知的夹角为,, ,则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: ①,故选C②, ,解得,故选B 点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.3．已知，，求，，，与的夹角.解：∵∴4．已知，，，试判断的形状，并给出证明. 解：是直角三角形. 证明如下：∵，∴∴∴是直角三角形例题引伸：在直角中，，，求实数的值；解：①若，则∴∴②若，则而∴∴③若，则而∴∴4.平面向量数量积的综合应用例题5 已知向量.(1) 若 ; (2)求的最大值 .解:(1)若,则,.(2) ==,的最大值为.。

必修四平面向量的基本定理及坐标表示、数量积题型归纳总结

必修四平面向量的基本定理及坐标表示、数量积题型归纳总结

专题平面向量的基本定理及坐标表示、数量积一、学法指导与考点梳理知识点一平面向量的坐标运算考点二向量的夹角考点三平面向量的数量积考点四向量数量积的运算律考点五 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22二、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的坐标运算例1．（1）（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（文））已知点()1,1A -，()0,2B ，若向量()2,3AC =-，则向量BC =（ ） A ．()3,2-B ．()2,2-C ．()3,2--D ．()3,2-【详解】设点(,)C x y ，因为点()1,1A -，且()2,3AC =-，可得(1,1)(2,3)AC x y =+-=-，所以1213x y +=-⎧⎨-=⎩，解得3,4=-=x y ，即(3,4)C -，所以(30,42)(3,2)BC =---=-.故选：D.（2）（2018·四川遂宁市·高一期末）若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于A ．1322a b -+ B ．3122a b -+ C ．3122a b - D ．1322a b - 【解析】因为(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=-，设c a b λμ=+，则有(1,2)(,)λμλμ-=+-，即12λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，解得1232λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1322c a b =-，故选D.【变式训练2-1】、（2019·四川雅安市·高一期末）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量BA ＝( )A ．(3,1)--B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)【详解】(0,1),(3,2)(03,12)(3,1)A B BA ∴=--=--，故本题选A.【变式训练2-2】、（2020·四川省绵阳南山中学高一期中）已知向量()2,1AB =，()1,4AC =，则BC =（ ）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,5D ．()3,5--【详解】()2,1AB =，()1,4AC =，则()()()1,42,11,3BC AC AB =-=-=-，故选：A重难点题型突破3 平面向量的数量积运算例3.（1）（2020·四川资阳市·高三一模（文））已知()1,2A ，()3,4B ，()2,2C -，()3,5D -，则向量AB CD ⋅=（ ）.A ．4-B ．2-C ．4D ．6【详解】()2,2AB =，()1,3CD =-，所有()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=.故选：C（2）（2019·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））若向量a＝1,22⎛- ⎝⎭，|b |＝2，若a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π【详解】由已知可得：22a b a ⋅-= ，得3a b ⋅= ，设向量a 与b 的夹角为θ ，则3cos .a b a bθ⋅==⨯ 所以向量a 与b 的夹角为6π，故选：A. （3）（2020·四川雅安市·雅安中学高一月考）已知(1,1),(2,3)a b =-=，则b 在a 方向上的投影为_________．【详解】由数量积定义||||cos ,a b a b a b ⋅=〈〉可知b 在a 方向上的投影为||cos,b a b 〈〉，则||cos ,||||2||||a b a b b a b b a a b ⋅⋅〈〉=⋅===，故答案为2 （4）（2019·四川高三一模）已如向量(1,1),(2,)a b t == ，若||a b a b -=⋅ ，则t =_____【解析】()1,1a b t -=--，2ab t ⋅=+，(||11a b -=+||a b a b -=⋅可得2t =+，解得13t =-，答案为：13t =-【变式训练3-1】、（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）若向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ）A ．4π-B ．6π C ．4π D．34π 【详解】由题意得：()23,3a b +=，()0,3a b -=()()2cos 2,992a b a b a b a b a b a b+⋅-∴<+->===++⋅- 又[]2,0,a b a b π<+->∈ 2,4a b a b π∴<+->=，本题正确选项：C【变式训练3-2】、已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【解析】222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b|2|+==a b .【变式训练3-3】、已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为（ ）A ．1B C ．12D ．2【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ，所以向量a 在b 方向上的投影的数量为cos ,2⋅===a b a a b b ，故选D. 【变式训练3-4】、（2020·四川遂宁市·射洪中学高三月考（文））设向量()1,1a =，()1,1b =-，则()a b a -⋅=______.【详解】因为()0,2a b -=，所以()10122a b a -⋅=⨯+⨯=，故答案为：2. 重难点题型突破4 平面向量的平行与垂直例4．（1）（2020·眉山市·高一期末）已知()4,2a =-，(),5b k =，且//a b ，那么k =（ ）A ．10B ．5C ．52-D ．-10【详解】由于两个向量平行，所以452k ⨯=-⨯，解得10k =-.故答案为：D（2）（2019·四川宜宾市·高三月考（文））已知向量a =()1m ，，()2,1b =-且()a b b -⊥，则实数m ＝（ ）A ．3B ．12C ．12-D ．﹣3【解析】解:由(1,),(2,1)a m b ==-,得(1,1)a b m -=-+,因为()a b b -⊥,所以()0a b b -=,所以121(1)0m -⨯-⨯+=,所以3m =-.故选:D . 【变式训练4-1】、（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-2【详解】⇔向量()5,=a m ，()2,2b =-，⇔()3,2a b m -=+，又()a b b -⊥ ⇔()0a b b -⋅=，即()6220m -+=，解得1m =，故选：B【变式训练4-2】、（2020·四川高三月考）已知m R ∈，向量()1,a m =，()2,1b m =-+，若a b +与b 共线，则m =______.【详解】()1,21a b m +=-+，因为a b +与b 共线，()()12210m m -+++=，得13m =-.重难点题型突破5 平面向量的综合运算例5．（1）（2019·四川宜宾市·高三期末（理））已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ）A ．23πB ．34π C ．3π D ．4π 【解析】⇔()12a =-，，()1b λ=，，a ⇔b ，⇔120λ-+=，解得12λ=． ⇔2(1,3)a b +=．⇔(2)5a b a +⋅=，又210,5a b a +==．设向量2a b +与a 的夹角为θ，则(2)cos 102a b a a b aθ+⋅===⨯+⋅． 又0θπ≤≤，⇔4πθ=．选D ．（2）（2020·成都市·中和中学高一期中）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则||a b +=（ ）A B C ．D ．5【详解】⇔a //b ，⇔12(2)0m ⨯-⨯-=，4m =-，⇔(1,2)(2,4)(1,2)a b +=+--=--，⇔(1)a b +=-=．故选：B ．（3）（2020·四川内江市·高一期末（理））已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．6【详解】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．（4）（2020·四川南充市·阆中中学高三开学考试（理））已知向量((,a x b x →→==，若2a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则a →=（ ）A ．1B C D ．2【详解】因为((,a x b x →→==，所以(23a b x →→+=，又2a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，所以20a b b →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即2330x -=，所以21x =，因此2a →==.故选：D.【变式训练5-1】、（2017·四川成都市·高一期末）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +（ ）A B ．CD ．10【解析】向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，2402x x ∴-=⇒=，1(4)202y y ⨯--=⇒=-，从而(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，因此23(a b +=+=C ．【变式训练5-2】、（2020·四川遂宁市·射洪中学高一期中）已知向量(,2)a x =，(1,3)b =-.且(2)a b b +⊥，则a 与b 的夹角是（ ）A ．4πB ．23π C ．34π D ．56π 【详解】由向量(,2)a x =，(1,3)b =-，可得()221,1a b x +=+ 又(2)a b b +⊥，可得()()211310x +⨯+-⨯=，解得1x =则(1,2)a =，(1,3)b =-，所以5a =，10=b ，165a b ⋅=-=-所以cos ,25a b a b a b⋅===-⨯⋅由a 与b 的夹角的范围是[]0π，，所以 a 与b 的夹角是34π.故选：C【变式训练5-3】、（2020·四川省内江市第六中学高二开学考试（理））已知向量a ，b 满足5a =，()1,3b =-，且()2+⊥a b b ．（1）求向量a 的坐标；（2）求向量a 与b 的夹角．【详解】（1）设(),a x y =，因为||5a =，则=①又因为()1,3b =-，且(2)a b b +⊥，22(,)(1,3)(21,23)a b x y x y +=+-=+-，所以(21,23)(1,3)21(23)(3)0x y x y +-⋅-=++-⨯-=，即350x y -+=，②，由①②解得12x y =⎧⎨=⎩，或21x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,2)a =或(2,1)a =-．（2）设向量a 与b 的夹角为θ，所以cos 2||||12a b a b θ⋅⋅===-+或cos 2||||12a b a b θ⋅===-+， 因为0θπ≤≤，所以向量a 与b 的夹角34πθ=． 三、课堂定时训练（45分钟）1．已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b .故选A. 2．（2018·四川省眉山第一中学高二期末）设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（ ）A B C ．D ．10【解析】由a b ⊥知，则，可得．故本题答案应选B ．3．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）若()1,2a →=，()3,4b →=-，则a →在b →方向上的投影为______．【详解】a 在b 方向上的投影21||3a b b ⋅===-+．故答案为：1-．4．若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，2-a b ，则=bA ．12B ．2C ．1D ．2【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ，又,120=︒a b ，1=a ，2-=a b ，所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b .故选C. 5．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．6．已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________． 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ，设4+a b 与a 的夹角为θ，则cos θ===，[]0,π∈θ，故π4=θ 7.（2020·四川省宜宾市第四中学校高三开学考试（理））已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ）A ．56πB ．23πC ．3π D ．6π 【详解】2cos 1b α==，222(2)4412a b a a b b +=++=，即44412a b ++=，解得1a b =.设a 与b 夹角为θ，则1cos 2a ba b θ==， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.8．（2020·四川省绵阳南山中学高三开学考试（理））已知向量()1,0a =，()1,1b =，则向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为（）A ．35 B． CD ． 【详解】()1,0a =，()1,1b =,()()()31,131,02,1b a ∴-=-=-， ()232b a ∴-=-=，1a =，()32ba a -⋅=-， ()33,co 513s 5b a a b a a b a a -⋅->===-⨯-<⋅∴.故选：B. 9.（2020·四川省新津中学高三月考（理））已知向量(4,2)a →=，(2,1)b k k →=--若||||a b a b →→→→+=-，则k 的值为__________.【详解】(4,2)a →=，(2,1)b k k →=--,∴(6,1)a b k k →→+=-+,(2,3)a b k k →→-=+-,||||a b a b →→→→+=-,=化简得：824k =， 解得3k =，故答案为：310.（2020·广元市·高一期中）已知向量()3,2a =-，()1,b m =，且b a -与()2,1c =共线. （1）求m 的值；（2）若a b λ-与2a b -垂直，求实数λ的值.【详解】（1）()4,2b a m -=-，因为b a -与c 共线，所以()41220m ⨯--=， 解得4m =.（2）由（1）知()1,4b =，所以13,17,31245a b a b ==⋅=-⨯+⨯= 由a b λ-与2a b -垂直，得()()()2222120a b a b a a b b λλλ-⋅-=-+⋅+=， 所以()26512170λλ-++=，解得3λ=-.11.（2019·四川眉山市·仁寿一中高一月考）已知平面向量()1,a x =，()()23,b x x x R =+-∈． （1）若a b ⊥，求x 的值；（2）若//a b ，求a b -.【详解】（1）()1,a x =，()23,b x x =+-，且a b ⊥，则2230a b x x ⋅=+-=， 整理得2230x x --=，解得1x =-或3x =；（2）()1,a x =，()23,b x x =+-，且//a b ，()23x x x ∴-=+，即2240x x +=，解得0x =或2x =-.若0x =，则()1,0a =，()3,0b =，则()2,0a b -=-，此时2a b -=； 若2x =-，则()1,2a =-，()1,2b =-，则()2,4a b -=-，此时22a b -=+=综上所述，2a b -=或。

压轴14 平面向量基本定理及坐标表示 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)

压轴14 平面向量基本定理及坐标表示 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)

压轴14 平面向量基本定理及坐标表示一、单选题1. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√2【答案】A【解析】解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x ) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．故选A ．2. 在△ABC 中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N.若，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，(λ>0,μ>0)，则λ+μ的最小值为A.B.C. 32D. 52【答案】B【解析】解：如图所示，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ， ∴−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ =14λAM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34μAN ⃗⃗⃗⃗⃗ ；又P 、M 、N 三点共线， ∴14λ+34μ=1， ∴λ+μ=(λ+μ)⋅(14λ+34μ) =(14+34)+(μ4λ+3λ4μ)≥1+2√μ4λ⋅3λ4μ=1+√32， 当且仅当μ4λ=3λ4μ，即λ=√3+14,μ=√3+34时取“=”， ∴λ+μ的最小值为1+√32． 故选B ．3. 在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S ▵BCD S ▵ACD= A. 16B. 12C. 13D. 23【答案】B【解析】解：设直线AD ，BC 交于点E ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，B ，C 三点共线，得x3+x2=1，∴x =65， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =65AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +35AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴25(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=35(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗ ，设S △CED =2y ，则S △BDE =3y ， 又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5DE⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴S △ACD =10y ，∴S △BCD S △ACD=2y+3y 10y=12．故选B ．4. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2+|PB|2|PC|等于A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】D【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ， ∴|PA⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ，∴|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2CP ⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CP ⃗⃗⃗⃗ 2．又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16CP ⃗⃗⃗⃗ 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CP ⃗⃗⃗⃗ ， 代入上式整理得|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=10|CP ⃗⃗⃗⃗ |2， 故所求值为|PA|2+|PB|2|PC|2=10．故选D5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(4,0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24−y 2=1上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±32B. ± √52C. ±1D. ± √32【答案】B【解析】解：由题意，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线AB 的方程为y =k(x −4)， 与双曲线C ：x 24−y 2=1联立，消去x 得，(1k 2−4)y 2+8k y +12=0， ∴y 1+y 2=−8k1k 2−4，y 1y 2=121k 2−4，又由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1=−3y 2，结合上式解得k =±√52． 故选B ．6. 已知P ，Q 是△ABC 所在平面内任意两个不同的点，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗+bCB ⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c，则点Q 是△ABC 的 A. 外心B. 重心C. 垂心D. 内心【答案】D【解析】解：由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c 得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c， 所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c =ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗ b +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ a )=ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗|CA ⃗⃗⃗⃗⃗|+CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |)， 因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量， 所以点Q 在∠ACB 的角平分线上， 同理可得点Q 在∠ABC 的角平分线上， 故点Q 是△ABC 的内心． 故选D7. 过点Q(−2,√21)作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4.设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为 A. 3√2B. 6C. 6√2D. 9【答案】B【解析】解：由题意，圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心为O(0,0)，∵过点Q(−2,√21) 作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4， ∴r =OD =√QO 2−QD 2=√4+21−16=3，设直线l 的方程为xa +yb =1(a >0,b >0)，即bx +ay −ab =0， 则A(a,0)，B(0,b)， ∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b 2， ∵直线l 与圆O 相切， ∴√a 2+b 2=3，∵(a −b )2=a 2−2ab +b 2⩾0，当a =b 时等号成立， ∴a 2+b 2⩾2ab ， ∴3√a 2+b 2=ab ≤a 2+b 22，∴a 2+b 2≥36， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥6， |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6． 故选B ．8. 若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m >0，n >0，则m +2n 的最小值是A. 2√23−1 B. 2√23+1 C. 2 D. 2√3【答案】B【解析】解：设BC 的中点为D ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M ，G ，N 三点共线， 故13m +13n =1．∴m +2n =(m +2n)(13m +13n )=1+2n3m +m3n ≥1+2√2n3m ·m3n =1+2√23． 当且仅当2n3m =m3n 时取等号． 所以m +2n 的最小值是1+2√23， 故选B．9. 在▵ABC 中，E 为AC 上一点，AC ⇀=3AE ⇀，P 为BE 上任一点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则3m+1n 的最小值是 A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以m =1−t,n =13t ，得m +3n =1， 所以3m +1n =(m +3n)(3m +1n)=6+9n m+m n⩾6+2√9n m ·mn=12，等号当且仅当m =3n 时取得等号， 故选D ．10. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在▵ABC 中，若三个内角均小于120∘，当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120∘时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a ⃗ 为平面内任意一个向量，b ⃗ 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |的最小值是A. 2−√3B. 2+√3C. √3−1D. √3+1【答案】D【解析】解：设a ⃗ =(x,y)，b ⃗ =(1,0)，c=(0,1)， 则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |=√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2+√x 2+(y −1)2， 即为点P(x,y)到A(1,0)，B(−1,0)和C(0,1)三个点的距离之和， 则△ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质可得，当点P 的坐标为(0,√33)时，距离之和最小为2√33+2√33+(1−√33)=1+√3，故选D ． 二、填空题11. 如图，在圆的内接四边形ABCD 中，已知对角线BD 为圆的直径，AB =AC =2√2，AD =1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_______．【答案】−409【解析】解：以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，如图： 则A(0,0)B(2√2,0)，D(0,1)， 设C(x,y)则AC 2=x 2+y 2=8①BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2√2)x +y (y −1)=0② 联立①②得2√2x +y =8③ 将③代入①得x =14√29或x =2√2(舍)，所以C (14√29,169)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,1)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14√29×(−2√2)+169×1=−409． 故答案为−409．12. 如图，在△ABC 中，已知AB =10，AC =5，，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为 ．【答案】√21【解析】【解答】解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−x 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则{x =y 21−x 3=1−y ⇒{x =25y =45, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=125(4|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =125×(4×102+4×10×5×12+52)=21， 所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21， 故答案为√21．13. 在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，当AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x −y =______ ． 【答案】−2【解析】解：如图所示，△ABC 中，，， ，即；；又，，y =32，．故答案为−2．14. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为______．【答案】6【解析】解：由题意得：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λBN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=11+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2+2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPC ⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μ(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13+3μAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴11+λ=13+3μ，λ2+2λ=μ1+μ，解得μ=23，λ=4， ∴λμ=6 故答案为6． 三、解答题15. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD交于点G ．(1)设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【答案】解：(1)设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 是BC 的中点， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2a ⃗ +λ2b ⃗ ，①设BG⃗⃗⃗⃗⃗ =t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<t <1， 故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t ⋅23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3a ⃗ +(1−t)b ⃗ ，② 联立①②，据平面向量基本定理，得{λ2=23t ,λ2=1−t ,解得λ=45，t =35， 所以实数λ的值为45． (2)因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(25a ⃗ +25b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−25(a ⃗ 2−b ⃗ 2)=−25×(32−22)=−2．16. 在△ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ． (1)用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示AF⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设G 是线段BC 上一点，且使EG//AF ，求|CG⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．【答案】解：(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =215AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ; (2)因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得CG⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0⩽λ⩽1)， 而E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，因此EC ⃗⃗⃗⃗=34AC ⃗⃗⃗⃗⃗所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(34−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ， 因为EG//AF ，所以存在实数μ，使AF⃗⃗⃗⃗⃗ =μEG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而由(1)知：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ， 因此13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ =μ[34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ]， 而m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，因此{34μ=13μ(34−λ)=15，解得λ=310， 所以|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=310． 17. 如图所示，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且DC =3EC ，AE 的延长线与BC 的交点为F ．(1)用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量a ⃗ ，b⃗ 表示AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出AE ︰EF 和BF ︰FC 的值． 【答案】解：(1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12×AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +23b ⃗ ； (2)设AE:EF =λ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλ(16a ⃗ +23b ⃗ )=1+λ6λa ⃗ +2(1+λ)3λb ⃗ ， 设BF ：FC =μ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μa ⃗ +μ1+μb ⃗ ， 所以{1+λ6λ=11+μ2(1+λ)3λ=μ1+μ，解得λ=5，μ=4，因此AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ +45b ⃗ ，AE ：EF =5，BF ：FC =4．18. 如图在矩形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a⃗ |=2,|b ⃗ |=1。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.如图，设向量=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且μ≥λ≥1，则用阴影表示C点的位置区域正确的是（）【答案】C【解析】特殊值法，取λ=1，μ=2，通过图象可知答案选C.【考点】向量的线性运算及几何意思2.设两个非零向量和不共线．(1) 如果=+，=，=，求证：、、三点共线；(2) 若=2，=3，与的夹角为，是否存在实数，使得与垂直？并说明理由．【答案】(1) 证明见解析; (2) 存在实数，使得与垂直．【解析】(1)证明三点共线，只需证明三点构成的向量中任意两向量共线即可，由向量的运算++，所以向量共线，那么三点共线；(2)假设存在实数，使与垂直，那么（）（）=，又=2，=3，与的夹角为，将等式展可代入可得关于m的方程，得．证明：（1）++=（+）+（）+（）=6（+）=6 , 且与有共同起点．、、三点共线（2）假设存在实数，使得与垂直，则（）（）==2，=3，与的夹角为，，故存在实数，使得与垂直．【考点】1．平面向量的基本定理；2．平面向量的数量积．3.设是四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为 .【答案】【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.4.以下四组向量：①,；②,；③,；④,其中互相平行的是.A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】因为若∥，则；①②③④都满足，所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.5.已知，，若，则 .【答案】1【解析】由可得即，解得.【考点】空间向量垂直的判定及空间向量的坐标运算.6.与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为()A．(1,3,2)B．(-1，-3,2)C．(-1,3，-2)D．(1，-3，-2)【答案】C【解析】∵（-1,3，-2）=-∴由向量共线的充要条件可知答案C【考点】向量共线的充要条件.7.若，定义一种向量积：，已知，且点在函数的图象上运动，点在函数的图象上运动，且点和点满足：（其中O为坐标原点），则函数的最大值及最小正周期分别为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知=（x，sinx），，根据新定义可知=（2x，）+(，0)=（2x+，）而点Q在y=f（x）的图象上运动∴f（2x+）=则f（x）=∴y=f（x）的最大值、周期分别为，故选D．【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数的图象和性质。

高中 平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识点+例题

高中 平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识点+例题

辅导讲义――平面向量的基本定理及向量坐标运算教学内容1．平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1、e 2所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.[例1] 若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（ C ）A ．b a 2-与b a 2+-B ．b a 53-与b a 106-C ．b a 2-与b a 75+D ．b a 32-与b a 4321- [巩固] 已知向量a ，b 非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（ A ）A ．b a +，b a -B ．b a -，a b -C ．b a 21+，b a +2 D ．b a 22-，b a - [例2] 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若AC n AB m BE +=，则n m +的值是__________.21-[巩固1] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD μλ+=，则μλ的值为_________.21[巩固2] 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AB AD 41=，BC BE 32=，若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ，则21λλ+的值为_________.43[巩固3] 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OB y OA x OP +=，且PA BP 3=，则x=_______；y=______.43，41知识模块1平面向量的基本定理 精典例题透析[巩固4] 非零向量a ，b ，m a =，n b =，若向量b a c 21λλ+=，则c 的最大值为___________.n m 21λλ+[例3] 如图，已知Rt △BCD 的一条直角边BC 与等腰Rt △ABC 的斜边BC 重合，若AB=2，∠CBD=︒30，AC n AB m AD +=，n m -=_______.-1[巩固] 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为_________.答案 23解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝231．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y 使得：a =x i +y j .（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 2．平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)， |a |＝2121y x +.知识模块2平面向量的坐标表示[巩固] 已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2-与c 共线，则k 的值为________.1题型一：平面向量基本定理的应用[例]（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于_______. （2）如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1) 45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.[巩固]已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________.答案 0解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，题型二：平面向量的坐标运算[例]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，知识模块3经典题型且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝124．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则x ＝_______，y ＝________.解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于____________. 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可． 由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.14．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为_________． 答案3＋222解析 由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立) 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A (1,0)， B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，11。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
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答案：A
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平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
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[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
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平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
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考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)

23 平面向量的基本定理及其坐标表示(考点+解析)

23 平面向量的基本定理及其坐标表示(考点+解析)

一．平面向量的基本定理如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e aλλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二．平面向量的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB→＝2121()x x y y －，－， |AB →|＝222121()()x x y y -+- 2.平面向量的坐标运算：①若()()1122,,,a x y b x y ==， 则()1212,a b x x y y ±=±±； ②若()()2211,,,y x B y x A ， 则()2121,AB x x y y =--； ③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)； ④若()()1122,,,a x y b x y ==， 则1221//0a b x y x y ⇔-=。

三．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a 与a ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角；说明：（1）当θ＝0时，a 与b 同向； （2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

2）数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。

规定00a ⋅=；向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)解析版

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)解析版

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底； 对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．与B ．与121(,0),(3,0)2e e ==A 114220,e ⨯-⨯=∴2e B ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2e C ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2e D 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -1246e e --C ．与D ．与 【答案】C 【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底. 故选：C ．（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--()121462e e =---ABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 34-AC H ABCD 12BH BD ==ABC ∆r 22r -=设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：D【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋＝.故本题答案为.【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有： ，因此，故本题选D.ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD =+=-+2x=12y =-11222xy ⎛=-= ⎝⎭14NC AC =12BM MC =MN =12,e e MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC 214e ABC ∆3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC E AD 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以,解得: ,.所以.故选D.（2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】C【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.230a b c -+=c 8(1,)3(,)c x y =230a b c -+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=43y =-134(,)33c =--()0,1A -()1,2a =()3,2b =-（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线. 【答案】（1）（2） 【解析】（1） （2），∵与共线，∴∴ 【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标．【答案】(1) ，；（2）. 【解析】 （1）,.（2）,与同向的单位向量.2a b -k ka b +2a b -12k =-kab +2a b -12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =2,1010OCn OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-22OC ==OC 21010OCn OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为.（2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( )A ．BC ．2D ．3【答案】B 【解析】()3,4a =2a b +=a c =()21,8a b +=2218a b +=+=a c AB AC 211BC ==3t =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-32设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以，此时.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0 【解析】∵， ∴，∵， ∴，解得．故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .c θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=max =cos 1θ=0a b λμ+=λμ0a b λμ+=0,0λμ==ABC O ()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， 得即故【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；【答案】（1；（2）.【解析】 由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.2213,22AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ72a b +b θ(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在b 方向上的投影为C ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ ()2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m4=0,所以m=4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =//a b 2||=2+b =（)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ0cos sin <+θθ14。

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平面向量的基本定理及坐标表示及数量积
姓名_____ _班级______
一.选择题(每题5分)
1.如图,平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若21OP b OP a OP +=,且点P 落在第Ⅲ部分,则实数b a 、满足( )
(A ) 0,0>>b a .(B ) 0,0<>b a . (C ) 0,0><b a .(D ) 0,0<<b a .
2.若平面向量a =(1,-2)与b 的夹角是180º,且|b 5则b 等于( ).
A .(-3,6)
B .(3,-6)
C .(6,-3)
D .(-6,3) 3.已知a ,b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ,(b －2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( )
(A )6π (B )3π (C )32π (D )65π
4.已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O (0,0)和A (1,－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′
,
则λ=''A O e ,其中λ=( )
(A )511
(B )5
11- (C )2 (D )－2
5.若1=a ,2=b ,b a c +=,且a c ⊥,则向量a 与b 的夹角为( )A.6π B.3π C.32π D.65
π
6.若平面四边形ABCD 满足()AB AD AC 0,∙=- +CD 0,AB = 则该四边形一定是( )
A ．正方形
B ．矩
形C ．菱形D ．直角梯形 7.平面向量a ,b 的夹角为60°,a =(2,0),|b
|=1, 则|a +2b |=( ) A.3 B.32 C.4 D.12
8.已知非零向量AB 与AC 满足,则△ABC 为( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．三边均不相等的三角形
9.P 是△ABC 所在平面上一点,若,则P 是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
10.如图是函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的部分图像,则
⋅=( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
二.填空题(每题3分)
11.若向量a ,b 的夹角为 30,|a|= |b|2= ,则=a b ∙ ______;|a+b|= ______. 12.若a (4,2)= ,则与a 垂直的单位向量的坐标是______ 13.与向量a 2 i j =- 共线,且满足方程a x 10∙=- 的向量=______． 14.设向量a ,b 的夹角为θ,a =(2,1),a +3b =(5,4),则sin θ=______
15.下列四个命题: ①若0=⋅b a ,则0 =a 或0 =b ; ②若e 为单位向量,则e a a ⋅=||; ③3||a a a a =⋅⋅; ④若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线．
其中错误命题的序号是______． 16.已知向量a =)0,1(,b =)1,(x ,若a b 2∙= ,则x =______;a+b = ______.
17.已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5,AB BC CA === 则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙ 的值等于______.
18.设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uuu r ,则ABC V 的内角A =______
三.解答题（共54分)
19.求证:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.（8分）
20. 已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a 与b 之间有关系式:,0ka b kb k +=-> 其中（10分）
（1） 用k 表示a b ； （2） 求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.
21.已知向量a = ( 3 sin ωx ,cos ωx ), b =(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数()f x =a ·b ,已知)(x f 的最小
正周期为π． (Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)当0＜x ≤π3 时,试求f (x )的值域．（10分）
22.已知向量)1,3(=,向量)cos ,(sin ααm -=,(10分)
(Ⅰ)若//,且)2,0[πα∈,求实数m 最小值及相应的α.
(Ⅱ)若b a ⊥,且0=m ,求)cos()
2sin()2cos(απαπαπ
-+⋅-
23.已知)sin 3,cos 2(ααA ,)sin 3,cos 2(ββB ),)0,1(-C 是平面上三个不同的点,若存在λ,使得BC CA λ=,试求λ的取值范围.（10分）
2.3-2.4平面向量基本定理、坐标表示、数量积检测题参考答案B 1-7 一.选择题(每题5分)
1.B
2.A
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.D 解
:
10.B
二.填空题(每题5分)
11.3
12.()5,3=
13.2sin +-=x y 14.⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-552,55或⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
552,55
15.)2,4(-; 16.1010
17.①②③④
18.2
19.-25
20.45o
三.解答题(每题10分)
21.证明:设在OACB 中,b =OB ,对角线m =OC ,n =BA ,则b a m +=,b a n -=, ∴()()()222222b a 2b a b a n m +=-++=+,即()2222b a 2n m +=+.
22.解:函数452++=x x y 与x 轴的交点为)0,1(-A 和)0,4(-B 故依题意有两种情形:
(1)将函数452++=x x y 的图象沿x 轴平移,使)0,1(-A 与原点重合,这时
)0,1()00),1(0(),(=---==n m ;
设),(y x P 是452++=x x y 图象上任一点,平移后对应点的坐标为),(y x P ''',则
⎩⎨⎧'=-'=y y x x 1代入
452++=x x y 中得4)1(5)1(2+-'+-'='x x y ,即
x x y '+'='32.即x x y 32+=
(2):依(1)可求使函数452++=x x y 的图象平移,使点)0,4(-B 与原点重合时的解析式为x
x y 32-= 23.解:(Ⅰ)()f x = 3 sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx
sin2ωx ＋12 (1+cos2ωx ) =sin (2ωx+π6 )+12
∵ω>0,∴T=π=2π
2ω ,∴ω=1．
(Ⅱ)由(1),得()f x =sin (2x+π6 )+12 ,
∴0＜x ≤π3 ,∴π6 ＜2x+π6 ≤5π6 ．
∴()f x ∈[1,32 ]．
24.解:(1)∵a ∥b ,∴)(sin 1cos 3m -⨯-αα=0． ∴)3sin(2cos 3sin π
ααα-=-=m ,
又∵α∈R ,∴1)3sin(-=-π
α时,m mi n =–2.又)2,0[πα∈,∴πα611
=
(2)∵b a ⊥,且0=m ,∴0cos sin 3=+αα
33
tan -=⇒α
)cos()2sin()2cos(απαπαπ
-+⋅-αααcos )
2
sin (sin --⋅=
ααα2tan 1tan 2tan +⋅=21
=
25.解:由已知BC CA λ=,可得
(2cos α+1,αsin 3)=λ(-1-2cos β,-βsin 3), ⎩⎨⎧-=--=+βλαβλλαsin 3sin 3cos 21cos 2,
⎪⎩⎪⎨⎧-=---=β
λαβ
λλαsin sin 2cos 21cos ,
由αα22cos sin +=1,得()()14cos 21sin 2
2=---+-βλλβλ,
即()()()411cos 12
2λλβλλ+--=+,
若λ=-1,则-=,得=,这与A ,B 两点不重合矛盾, 因此,≠λ-1,于是453cos λ
βλ-=,可知≠λ0,
λλβ453cos -=,得14531≤-≤-λλ
,解得≤≤λ31
3.。

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