2007年高中总复习第一轮数学 第三章 3.4 等差数列与等比数列的综合问题

3.4 等差数列与等比数列的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.等差数列的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则a m =a k +(m-k)d,数列{λa n +b}(λ、b 为常数)是公差为λd 的等差数列.(2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.(3)若{a n }是等差数列,A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…+a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等差数列,公差为n 2d.(4)若等差数列{a n }的项数为2n(n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd,若等差数列{a n }的项数为2n-1(n ∈N *),则奇偶S S =n n 1 . 2.等比数列的性质(1)若数列{a n }是等比数列,则数列{λ1a n }(λ1为常数)是公比为λ1q 的等比数列.(2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…组成的数列仍为等比数列,公比为q m .(3)若{a n }是等比数列,设A=a 1+a 2+a 3+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…+a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列,公比为q n .设M=a 1·a 2·a 3·…·a n ,N=a n+1a n+2·…·a 2n ,P=a 2n+1a 2n+2·…·a 3n ,则M 、N 、P 仍为等比数列,公比为(q n )n .二、点击双基1.等比数列{a n }的公比为q,则“q>1”是“对于任意自然数n ，都有a n+1>a n ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:当a 1<0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案:D2.已知数列{a n }满足a n+2=-a n (n ∈N *)，且a 1=1,a 2=2，则该数列前2 002项的和为( )A.0B.-3C.3D.1解析:由题意，我们发现:a 1=1,a 2=2,a 3=-a 1=-1,a 4=-a 2=-2,a 5=-a 3=1,a 6=-a 4=2,…,a 2 001=-a 1 999=1,a 2 002=-a 2 000=2,a 1+a 2 +a 3+a 4=0.∴a 1+a 2+a 3+…+a 2 002=a 2001+a 2 002=a 1+a 2=1+2=3.答案:C3.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0(a ≠b)的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是( ) A.83 B.2411 C.2413 D.7231 解析:依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4,公差为d,其中a 1=41,即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3,所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43,d=61,于是a 2=125,a 3=127.故a+b=a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231. 答案:D4.(2004上海春季高考)在等差数列{a n }中，当a r =a s (r ≠s)时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s(r ≠s),当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是_____________.解析:只需选取首项不为0，公比为-1的等比数列即可.答案:a,-a,a,-a,…(a ≠0)5.(2005全国高考卷Ⅱ)在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____________.解析：等比数列中,若m+n=p+q=2k,则a m a n =a p a q =a k 2,设插入的三个数为a 1,a 2,a 3,则a 1a 3=38·227=a 22且a 2与38同号. ∴a 1a 2a 3=38·227·22738∙=216. 答案:216诱思·实例点拨【例1】 (2005北京春季高考)已知{a n }是等比数列,a 1=2,a 3=18;{b n }是等差数列,b 1=2,b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3>20.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和S n 的公式;(3)设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n-2,Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8,其中n=1,2,…,试比较P n 与Q n 的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:(1)设{a n }的公比为q,由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9,q=±3. 当q=-3时,a 1+a 2+a 3=2-6+18=14<20,这与a 1+a 2+a 3>20矛盾,故舍去.当q=3时,a 1+a 2+a 3=2+6+18=26>20,故符合题意.设数列{b n }的公差为d,由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d=26. 又b 1=2,解得d=3,所以b n =3n-1.(2)S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n. (3)b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列, 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d=29n 2-25n; b 10,b 12,b 14,…,b 2n+8组成以2d 为公差的等差数列,b 10=29, 所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d=3n 2+26n.P n -Q n =(29n 2-25n)-(3n 2+26n)=23n(n-19). 所以,对于正整数n,当n ≥20时,P n >Q n ;当n=19时,P n =Q n ;当n ≤18时,P n <Q n .讲评:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 在公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中,已知a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 8=b 3.(1)求d 、q 的值;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n,都有a n =log a b n +b 成立?若存在,求出a 和b;若不存在,请说明理由.解:(1)∵a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 8=b 3,∴⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d∴⎩⎨⎧==5,6d q 或⎩⎨⎧==0,1d q (舍去). (2)假设存在a 、b 使得a n =log a b n +b 对一切n ∈N *恒成立,则有1+5(n-1)=log a 6n-1+b,即(5-log a 6)n-(4+b-log a 6)=0.∵上式对任意n ∈N *恒成立,∴⎩⎨⎧=-+=-.06log 4,06log 5a a d解得a=516,b=1.讲评:在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,解答此类问题,一般先假设要求(或证)的结论是存在的,然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去,如果畅通无阻,则存在,如果推理过程中,有问题或前后矛盾,则说明不存在.【例3】 (2005北京海淀模拟)在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1,公比q>0.设b n =log 2a n ,且b 1+b 3+b 5=6,b 1b 3b 5=0.(1)求证:数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(3)试比较a n 与S n 的大小.剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.(1)证明:∵b n =log 2a n ,∴b n+1-b n =log 2nn a a 1+=log 2q 为常数. ∴数列{b n }为等差数列且公差d=log 2q.(2)解:∵b 1+b 3+b 5=6,∴b 3=2.∵a 1>1,∴b 1=log 2a 1>0.∵b 1b 3b 5=0,∴b 5=0.∴⎩⎨⎧=+=+.04,2211d b d b 解得⎩⎨⎧-==.1,41d b ∴S n =4n+2)1(-n n ×(-1)=292n n -. ∵⎩⎨⎧=-=,4log ,1log 122a q ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.16,211a q∴a n =25-n (n ∈N *).(3)解:显然a n =25-n >0,当n ≥9时，S n =2)9(n n -≤0. ∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1=16,a 2=8,a 3=4,a 4=2,a 5=1,a 6=21,a 7=41,a 8=81,S 1=4,S 2=7,S 3=9,S 4=10,S 5=10,S 6=9,S 7=7,S 8=4, ∴当n=3,4,5,6,7,8时，a n <S n ;当n=1,2或n ≥9时，a n >S n .评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.链接·聚焦在解决等差数列和等比数列的问题时,恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度和准确度,但等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和的公式仍是我们学习的基础和重点,否则,弄巧成拙.。