第四章 三角函数、解三角形(文数) 第1讲

圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是
________ cm2.
解析 设扇形圆心角为 α，半径为 r，则 2r＋|α|r＝4， 4 1 ∴|α|＝ r －2.∴S 扇形＝2|α|· r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴当 r＝1 时，(S 扇形)max＝1，此时|α|＝2.
(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2· cos 3· tan 4＜0.Biblioteka 答案 (1)二 (2)小于
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考点二 三角函数的定义
2 【例 2】已知角 θ 的终边经过点 P(－ 3， m)(m≠0)且 sin θ＝ m, 4 试判断角 θ 所在的象限，并求 cos θ 和 tan θ 的值.
9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ (k∈Z)，但 4 4 是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.
答案 ③
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3.( 苏教版必修 4P15T6 改编 ) 若 tan α ＞ 0 ， sin α ＜ 0 ，则 α 在第 ________象限. 解析 由tan α＞0，得α在第一或第三象限，又sin α＜0，得α
答案 (1)一或三 (2)三
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规律方法
(1)已知 θ 所在的象限， 求 n 或 nθ(n∈N*)所在的象
θ
限的方法是：将 θ 的范围用不等式(含有 k)表示，然后两边同 除以 n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到 n 或 nθ(n∈N*)所在 的象限.(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据 是终边相同的角的思想； 二是先将此角化为 k· 360°＋α(0°≤ α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角 α，再 由角 α 终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(3)由角的终 边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的 符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互 化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义， B级要求.
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知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位
.
置旋转到另一个位置所成的图形.
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y －3t 3 当 t<0 时，r＝－5t，sin α＝r ＝ ＝ ， －5t 5 4t 4 3 x y －3t cos α＝ r＝ ＝－ ，tan α＝x＝ ＝－ . 5 4t 4 －5t 3 4 3 综上可知，sin α＝－5，cos α＝5，tan α＝－4 3 4 3 或 sin α＝5，cos α＝－5，tan α＝－4.
π α∈0，2，则
tan α＞α＞sin α. ( √ )
(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等. ( × )
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9π 2.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是________(填 4 序号). 9 ①2kπ ＋45°(k∈Z)；②k· 360°＋4π (k∈Z)； 5π ③k· 360°－315°(k∈Z)；④kπ ＋ 4 (k∈Z).
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5.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为______弧度.
π 答案 3
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考点一 象限角与三角函数值的符号
α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角，则 2 是第________象限角.
cos α (2)若 sin α ·tan α ＜0，且 tan α ＜0，则角 α 是第________ 象限角.
π 解析 (1)∵α 是第二象限角， ∴ ＋2kπ＜α＜π＋2kπ， k∈Z， 2 π α π α ∴ 4 ＋kπ＜ 2 ＜ 2 ＋kπ，k∈Z.当 k 为偶数时， 2 是第一象限角； α 当 k 为奇数时，2是第三象限角.
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(2)由 sin α·tan α＜0 可知 sin α，tan α异号，从而 α 为第二 cos α 或第三象限的角，由 ＜0，可知 cos α，tan α异号.从而 α tan α 为第三或第四象限角.综上，α为第三象限角.
tan α的值.
解 ∵角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，
∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)， 则 x＝4t，y＝－3t， r＝ x2＋y2＝ （4t）2＋（－3t）2＝5|t|，当 t>0 时，r＝5t， 3 y －3t x 4t 4 sin α＝r ＝ 5t ＝－5，cos α＝r ＝5t＝5， 3 y －3t tan α＝x＝ ＝－ ； 4t 4
C (2)扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝ ， 2＋α
2 2 2 C 1 2 1 C α 1 C 1 C 2 ∴S 扇＝2α· R ＝2α· ＝ · 2＋α ＝ 2 · 4≤16. 4＋4α＋α2 2 4＋α＋α 2 C 当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值16.
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解
(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 π π 10π α＝60° ＝3，R＝10，l＝3×10＝ 3 (cm)， 1 10π 1 π 2 S 弓＝S 扇－S△＝2× 3 ×10－2×10 ×sin 3
π 50 50 3 3 ＝ 3 π－ 2 ＝50 － (cm2). 2 3
定义
Ⅰ 各象 Ⅱ 限符 Ⅲ 号 Ⅳ
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三角函 数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT 为正弦线 为余弦线 为正切线
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诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于 90° 的角是锐角.( × ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然. ( × ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30° .(×) (4)若
(2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|＝r(弧长用 l 表示)
180 π ° ①1° ＝ rad；②1 rad＝ π 180
半径长
的弧所对的圆心角叫做 1 弧度
弧长 l＝ S＝
| α| r
1 lr 2
1 ＝ |α|r2 2
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θ
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【训练 1】 (1)设 θ
是第三象限角，且cos
θ θ θ ＝－cos ，则 是 2 2 2
第________象限角.
(2)sin 2· cos 3· tan 4的值________0(填“大于、小于”).
解析
∵cos
θ (1)由 θ 是第三象限角，知2为第二或第四象限角， θ θ θ θ ＝－cos ，∴cos ≤0，综上知 为第二象限角. 2 2 2 2
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规律方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，
需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐
标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边
在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况( 点 所在象限不同).
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【训练2】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，
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考点三 扇形弧长、面积公式的应用
【例3】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形
的面积；
(2) 若扇形的周长是一定值 C (C>0) ，当 α 为多少弧度时，该 扇形有最大面积？
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解 2 m 由题意得，r＝ 3＋m ，∴sin θ＝ 2＝ 4 m. 3＋m
2
∵m≠0，∴m＝± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m＝ 5时，r＝2 2，点 P 的坐标为(－ 3， 5)，
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6 5 15 x － 3 y ∴cos θ＝r ＝ ＝－ ，tan θ＝x＝ ＝－ . 4 3 2 2 － 3 当 m＝－ 5时，r＝2 2，点 P 的坐标为(－ 3，－ 5). 6 15 x － 3 y － 5 ∴cos θ＝r ＝ ＝－ 4 ，tan θ＝x＝ ＝ 3 . 2 2 － 3 6 15 6 综上可知，cos θ ＝－ 4 ，tan θ＝－ 3 或 cos θ＝－ 4 ，tan θ 15 ＝ 3 .
按旋转方向不同分为 (2)分类 按终边位置不同分为
正角 、 负角 、 零角 象限角 和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可 构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k· 360°，k∈Z}.
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2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的角，弧度记作rad.
3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小
技巧.
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[易错防范] 1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不
同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中， 采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标 轴上的情况.