国际教育学院2013-2014学年第二学期工程电磁场期中考试试题及答案

华北电力大学 2013-2014学年第二学期期中考试参考答案
一、简答题（每题5分、共50分）
1、镜像法作为求解静电场边值问题的一种方法，其理论依据是？求解某一区域的场分布时，能否在该区域内放入镜像电荷？确定镜像电荷位置和电荷量的思路是？
解：镜像法理论依据是静电场边值问题唯一性定理。

不能，否则破坏了惟一性定理所要求的求解区域场源不变的前提条件。

思路是镜像电荷与求解区域内原分布的电荷共同产生的电场在边界上满足原来的边界条件。

2、什么是静电场的边值问题？静电场边值问题的方程采用电位函数来描述有何优点？解：已知求解区域内自由电荷分布、媒质和边界条件求解区域内的电位和电场分布。

优点：电位是标量，其方程形式相对简单，便于求解，且在实际中也容易得到电位的边界条件。

3、简述静电场边值问题唯一性定理的基本内容，它对我们求解边值问题有什么指导意义？
解：只要求解区域电介质和电荷分布不变，边界条件确定，则求解区域中静电场的解答就是唯一的。

指导意义在于，求解位场时，不论采用哪一种解法，只要所求的解答在场域内场源分布不变的前提下，满足给定的边界条件，就可确信该解答是正确的。

4、直接积分法、镜像法、分离变量法、有限差分法等都是求解静电场边值问题的方法。

请问什么是直接积分法？分离变量法的核心思想是什么？
解：直接积分法，将泛定方程直接积分两次，得到通解，再通过边界条件求定解；直接积分法使用的前提通常是电位分布是一维的，即只与一个坐标量有关。

分离变量法核心思想，设待求位函数由两个或两个以上各自仅含一个坐标变量的函数的乘积所组成，并把这假设的函数代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，原来的偏微分方程就可相应地转换为两个或两个以上的常微分方程。

5、在课本中经常出现法向单位矢量en，请对以下公式中en的约定方向进行具体说明。

1) σp=P.en ; 2) (D2- D1) .en=σ ;
解：（1）中e n的约定方向是由介质表面的法线方向，且从媒质内部指向介质外部；
（2）中e n的约定方向是分界面法线方向，从媒质1指向媒质2
6、描述媒质电磁性能的三个参数是？它们的单位分别是？请写出反映媒质电磁特性的三个构成方程。

解： 介电常数ε，单位F/m ；磁导率μ，单位H/m ；电导率σ，单位S/m ；,,εσμ===D E J E B H
7、写出Maxwell 方程组的微分形式，并解释各方程的物理意义。

在Maxwell 方程的积分形式和微分形式之间转换的两个数学定理（积分恒等式）是？
解：0t t ρ∂∇⨯=-
∂∂∇⨯=+∂∇⋅=∇⋅=，法拉第电磁感应定律，全电流定律，高斯通量定理，磁通连续性定理
B
E D H J D B S V
l S
d dV d d ⋅=∇⋅⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰散度定理斯托克斯定理A S A A l A S
8、散度和旋度都为处处零的矢量一定是零矢量或常矢量吗？为何？在圆柱坐标系中，坐标单位矢量eρ是常矢量吗？
解：不一定，例如调和场。

e ρ不是常矢量，大小恒定为1，但方向与位置有关。

9、如右图所示，一个对地电位为100V 的导体球位于大地上方。

S1代表球面，S2（虚线）代表过球心与地面垂直的中垂线。

结合该模型的对称性，可选择图中虚线右
侧面积区域为电场边值问题求解区域，那么在边界S1上电位的边界条件为？在边界S2上电位的边界条件为？
解：1|100S ϕ= V ；
2
|0S n ϕ
∂=∂
10、电场能量密度的计算公式为？点电荷的自有电场能为？什么是电荷系统之间的互有电场能？ 解：2
12
e w E ε=
；无穷大；将两个电荷系统从相距无穷远处移动到给定相对位置的过程中，为例克服二者之间的电场力而施加的外力所做的功。

或者，电荷体系共存时空间所储存的电场能量依次减去各个电荷体系独立存在时的电场能量，
计算题（共50分）
1、右图所示矩形区域为某无限长矩形薄壁导体管的横截面。

宽度为a,高度为b 。

右侧边界的电位为U0sin(πy/b)，其余三个边界的电位为0。

矩形区域内部为真空。

试：
1）写出电位函数边值问题的泛定方程和边界条件。

（5分）
解：（1）()222
22,0x y x y
ϕϕ
ϕ∂∂∇=+=∂∂
边界条件：0,00,0,0,00|0|0|0
|sin x a y x a y b x y b x a y b U y b ϕϕϕπϕ<<=<<==<<=<<=⎧
⎪=⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
（2）1
0U sinh sin cosh a y x x b b b b ϕππππ-∂⎛
⎫= ⎪
∂⎝
⎭ ； 1
2202U sinh sin ()sinh a y x x b b b b ϕππππ-∂⎛
⎫= ⎪
∂⎝⎭ ； 1
0U sinh sinh cos a x y y b b b b ϕππππ-∂⎛
⎫= ⎪
∂⎝⎭； 1
2202U sinh sinh ()sin a x y y b b b b ϕππππ-∂⎛
⎫=- ⎪
∂⎝⎭； 满足()222
22,0x y x y
ϕϕ
ϕ∂∂∇=+=∂∂；
当0y =时，0ϕ=，满足0,0|0x a y ϕ<<==；当y b =时，0ϕ=，满足0,|0x a y b ϕ<<==； 当0x =时，0ϕ=，满足0,0|0x y b ϕ=<<=； 当x a =
时，0U sin y b
πϕ=，满足,0|0x a y b ϕ=<<=；
b y
b π
ϕ=0
ϕ=
2、如右图所示，某导体球壳半径为a ，带电荷量Q 。

在球壳外距球心距离d 处，有一电荷量为q 的点电荷。

试回答：
1）球壳内部区域的电场强度？（5分）
2）以球壳外部空间为求解区域时，标出所有镜像电荷的位置和大小？（5分）
3）假设Q 和q 同性，那么球壳对点电荷q 的电场力有可能是吸引力吗？为何？（5分）
解：（1）球壳内部电场强度为0.
（2）球心与电荷q 连线上距球心b 处设置镜像电荷q '-，球心处设置镜像电荷q ''。

则2
a b d
=，
a q q d '=，a
q Q q Q q d
'''=+=+
； （3）有，由镜像电荷可知，q '-与q 的距离更近，当Q 较小时，它们之间的吸引力会大于q ''与q 之间的排斥力，整体表现为吸引力。

3、某平板电容器，极板面积0.1m2，间距1cm ，中间填充相对介质常数为2的介质，承受电压1kV 。

试计算：1）电容（4分）；2）储存的电场能量（4分）；3）极板受到的电场力（4分）；4）正极板-介质分界面上的自由电荷面密度和极化电荷面密度（4分）。

解：（1）极板上面电荷密度为σ，极板间电场强度大小0
r E σ
εε=
，极板上的电荷q S σ=； 1210028.85100.1 1.77100.01
r S q C F U d εε--⨯⨯⨯====⨯；
（2）22
5018.851022r e SU W CU J d
εε-==
=⨯ ； （3）26
302428.850.110|8.85102210
e r U const W SU F N d d εε--=-∂⨯⨯⨯==-==⨯∂⨯ ； （4）
510/U
E V m d
=
=； 自由电荷面密度-720=8.8510/E C m ε⨯；极化电荷面密度-720--8.8510/E C m χε=⨯ 。

4、一圆柱形电容器，外导体半径6cm ，内外导体间介质的击穿强度为100kV/cm ，内导体半径a 可以自由选定，试问a 为何值时，该电容器在不击穿情况下能承受的最大电压并求此电压值？（9分） 解：设电容器表面每单位长度的电荷量为τ，则电容器内半径为()a b ρρ<<处的电场为
()2a b ρτ
ρπερ
=
<<E e 当a ρ=时，场强最大为max 2E a
τ
πε=
电容器的电压为ln 22b
b a
a
b U d d a ττρπερπε⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭
⎰⎰
E ρ； 2=
ln U b a πετ ，则max ln U
E b a a
=； max 2ln 10ln dE U b da a b a a ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭⎛
⎫ ⎪
⎝⎭，得6= 2.207b a cm e e ==； 当b a e =
时，max eU E b =； 则max 6100
220.73bE U kV e e
⨯==
= 。