第1章 1.5.2 综合法和分析法

1.5.2 综合法和分析法
1.了解综合法与分析法证明不等式的思维过程与特点. 2.会用综合法、分析法证明简单的不等式.
[基础·初探] 教材整理1 综合法 从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而 最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法.
已知a＜0，－1＜b＜0，则( ) A.a＞ab＞ab2 C.ab＞a＞ab2
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∵a>b>0，∴<1<成立，∴原不等式成立.
[探究共研型]
综合法与分析法的特
点
探究1 综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的？
【提示】 综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).
分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A
(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).
1.通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从 而使原不等式易于证明.体现了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互 转化的辩证关系.
2.函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用.
[再练一题] 3.已知x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)＞(x3＋y3). 【证明】 要证明(x2＋y2)＞(x3＋y3)， 只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2， 即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. ∵x＞0，y＞0， ∴x2y2＞0， 即证3x2＋3y2＞2xy. ∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， ∴3x2＋3y2＞2xy成立. ∴(x2＋y2)＞(x3＋y3).
角不等式以及含绝对值符号的不等式，采用分析法证明较方便.
设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：
loga(ax＋by)＜＋loga2.
【精彩点拨】 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析
法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明.
【自主解答】 由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数. 欲证loga(ax＋ay)＜＋loga2， 只需证ax＋ay＞2a.
(2)＋＋≥＋＋.
【证明】 (1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)≥2· 2＝4，
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∴＋≥. (2)由(1)知＋≥. 同时，＋≥，＋≥， 三式相加得：2≥＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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在较复杂的不等式的证明中，往往需要把综合法与分析法结合起来使用.
探究2 如何理解分析法寻找的是充分条件？
【提示】 用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只
要有B成立，就一定有A成立.因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立
的充分条件.分析法体现了数学思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充
已知a＞0，－＞1，求证：＞ . 【证明】 要证明＞， 只需证＞1， 即(1＋a)(1－b)＞1， 只要证a－b－ab＞0成立.
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∵a＞0，－＞1， ∴a＞0，b＞0，＞0， ∴a－b－ab＞0成立. 故＞成立.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
【答案】 D
3.设a＞0，b＞0，且ab－(a＋b)≥1，则( )
A.a＋b≥2(＋1)
B.a＋b≤＋1
C.a－b≤(＋1)2
D.a＋b＞2(＋1)
【解析】 因为≤，所以ab≤(a＋b)2，
∴(a＋b)2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2成立(当且仅当a＝b＝＋1时取等号).
[小组合作型] 用综合法证明不等 式
已知a，b，c是正数，求证： ≥abc. 【精彩点拨】 由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2 ≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证.或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后， 再进行证明. 【自主解答】 法一：∵a，b，c是正数， ∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)， 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c). 又a＋b＋c＞0， ∴≥abc. 法二：∵a，b，c是正数， ∴＋≥2＝2c.
【答案】 A
4.已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋＋与8的大小关系是________.
【导学号：38000021】
【解析】 ∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2＞0，进而得≥2，于是
得≥4.
又∵＋＋＝＝＝2· ≥8.
故＋＋≥8.
【答案】 ＋＋≥8
5.设a＞0，b＞0，c＞0.证明：
(1)＋≥；
2.综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质，(2)基本不等式及 其变形，(3)三个正数的算术——几何平均不等式等.
[再练一题] 1.已知a，b，c为△ABC的三条边，求证：ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc ＋2ac. 【证明】 先证ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2. ∵a>0，b>0，c>0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号. b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号， a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 再证a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac. 法一：在△ABC中，a<b＋c，b<a＋c，c<b＋a，则a2<a(b＋c)，b2<b(a ＋c)，c2<c(b＋a). ∴a2＋b2＋c2<a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)， 即a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac. 法二：在△ABC中，设a>b>c， ∴0<a－b<c,0<b－c<a,0<a－c<b， ∴(a－b)2<c2，(b－c)2<a2，(a－c)2<b2， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2<c2＋a2＋b2， 即a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac. 综上，得ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac.
[构建·体系] 综合法与分析法——
1.若a，b，c是常数，则“a＞0，且 b2－4ac＜0”是“对任意的x∈R，有ax2
＋bx＋c＞0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
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C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
【解析】 当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2＋bx＋c＞0.反之，ax2＋bx＋c＞0对
∵y＋x2＝0,0＜a＜1，
∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.
当且仅当x＝时，(x＋y)max＝.
∴ax＋y≥a，≥a.
①
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又ax＋ay≥2(当且仅当x＝y取等号). ②
又a立，
∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a成立.
故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立.
B.ab2＞ab＞a D.ab＞ab2＞a
【解析】 ∵－1＜b＜0，∴1＞b2＞0＞b.
又a＜0，∴ab＞ab2＞a.
【答案】 D
教材整理2 分析法
从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一
些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一
个明显的事实)，这种证明方法称为分析法.
任意的x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0.反例：a＝b＝0，c＝2.
【答案】 A
2.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )
A.2ab－1－a2b2≤0
B.a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D.(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 a2＋b2－1－a2b2
＝－(a2－1)(b2－1)≤0.
分条件.
探究3 综合法与分析法证明不等式的一般思路是什么？
【提示】 综合法的思路是“由因导果”，也就是从已知的不等式出发，
不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出欲证的不等式；分析法的思
路是“执果索因”，在表述中经常用符号“⇐”，这里注意箭头的方向，用分析
法时，一般用“⇐”，用综合法时，一般用“⇒”，一般来说，无理不等式、三
1.本题的关键是在不等式两边非负的条件下，寻找结论成立时不带根号(平 方)的充分条件，采用分析法是常用方法.证明时要注意表达的严密、准确，不可 颠倒因果关系，否则要犯逻辑错误.
2.当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结 论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径.
[再练一题] 2.若将例题中条件改为“a>b>0”，求证：<－<. 【证明】 要证原不等式成立， 只需证<a＋b－2<， 即证<(－)2<. 因为a>b>0，所以只需证<－<， 即<1<，即<1<. 只需证<1<.
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用分析法证明不等 式
设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证： (1)b2－ac＞0；(2)＜a. 【精彩点拨】 根据题目特点，利用分析法寻找结论成立的充分条件. 【自主解答】 (1)∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0， ∴a＞0，c＜0，ac＜0，故b2－ac＞0. (2)欲证＜a， 只需证b2－ac＜3a2. 因为c＝－(a＋b)， 只要证明b2＋a(a＋b)＜3a2成立， 也就是(a－b)(2a＋b)＞0， 即证(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c， ∴(a－b)(a－c)＞0成立， 从而＜a成立.