《综合法和分析法》参考教案
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
小学数学《常规应用题的解题思路——综合法和分析法》教案
常规应用题的解题思路——综合法和分析法教学目标：使学生学会使用综合法和分析法教学内容：综合法和分析法的应用教学重点：如何去理解分析法和综合法教学难点：分析法的介绍和应用教学方法：情境导入，然后逐步展开情境导入：同学们，有一天啊，小明的妈妈给小明5元钱去买酱油，酱油4元5毛一瓶，而小明太不小心了，在路上的时候掉了一元钱。
请问小明的钱够买一瓶酱油吗？哦，不够，为什么不够呢？哦，本来有5元钱，结果掉了一元钱，口袋里就只有4元钱了。
而酱油是4元5毛一瓶，所以小明的钱不够买一瓶酱油了。
同学们，我们回想一下，我们刚才是怎么知道小明的钱不够买一瓶酱油的啊？我们是不是根据已知的条件，来知道小明不够买一瓶酱油的啊？我们已经算出来小明口袋里只有4元钱了，所以她不够买一瓶酱油。
这样，通过已知的条件，推出未知的条件来，我们把这样的方法，叫做综合法。
好，同学们，我再给大家出一道题。
小明的妈妈给小明一些钱去买酱油，酱油4元5毛一瓶，而小明太不小心了，在路上掉了一元钱，结果呢，小明只差5毛钱就可以买一瓶酱油了，。
问小明的妈妈给了小明多少钱去买酱油呢？大家来看啊，小明的妈妈给了小明一些钱去买酱油，但是不知道有多少钱，好，大家看，她在路上掉了一元钱。
那么要求出妈妈给小明的钱，就必须先求出小明在路上钱掉了之后还剩多少钱。
大家看一下，小明在掉了一元钱之后，她口袋里有多少钱呢？她离买一瓶酱油只差5毛钱。
哦，那么是不是只要知道了酱油多少钱一瓶，就可以知道这个时候小明的口袋里有多少钱啊？哦，这样啊。
那么酱油多少钱一瓶呢？哦，酱油4元5毛钱一瓶。
那么我这道题是不是求出来了啊？（是的）哦，想这样的，从未知条件出发，来看怎么样才能得到未知条件的方法，我们就把它叫做分析法。
正课讲解：例一．两个打字员共同输入一本39500字的书稿。
甲每小时打3500字，乙每小时打3000字，两人合打5小时后，还有多少字没打？思路点拨：根据甲每小时打3500字，乙每小时打3000字，可求出两人每小时可打：3500+3000=6500（字）；根据两个人每小时打6500字，两人合打5小时，可求出两人5小时已打；6500X5=32500（字）；根据书稿是39500字，两人已打32500字，可求出还有多少字没打：39500-32500=7000（字），问题得到解决。
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.
高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. ※ 动手试试练 1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）. A ．a ，b 均为负数，则2a b ba+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n5. 已知:23)0p <, 则p 是q 的 条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法(公开课教案)第一章：综合法的介绍1.1 教学目标：了解综合法的定义和应用范围。
掌握综合法的步骤和技巧。
1.2 教学内容：综合法的定义和意义。
综合法的应用领域，如科学研究、工程设计等。
综合法的步骤，包括问题定义、信息收集、方案设计等。
综合法的技巧，如图表制作、数据分析等。
1.3 教学方法：讲授法：介绍综合法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论综合法的技巧和难点。
1.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第二章：分析法的介绍2.1 教学目标：了解分析法的定义和应用范围。
掌握分析法的步骤和技巧。
2.2 教学内容：分析法的定义和意义。
分析法的应用领域，如企业管理、市场研究等。
分析法的步骤，包括问题定义、数据收集、因素分析等。
分析法的技巧，如数据可视化、假设验证等。
2.3 教学方法：讲授法：介绍分析法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论分析法的技巧和难点。
2.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第三章：综合法和分析法在科学研究中的应用3.1 教学目标：了解综合法和分析法在科学研究中的具体应用。
掌握相应的应用技巧和注意事项。
3.2 教学内容：综合法和分析法在科学研究中的常见应用场景。
具体的应用技巧，如数据整合、信息提炼等。
应用过程中的注意事项，如数据准确性、逻辑严密性等。
3.3 教学方法：讲授法：讲解综合法和分析法在科学研究中的应用。
案例分析法：分析具体案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论应用过程中的技巧和难点。
3.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第四章：综合法和分析法在工程设计中的应用4.1 教学目标：了解综合法和分析法在工程设计中的具体应用。
3.3综合法与分析法 课件(北师大版选修1-2)
知识结构
推理
推 理 与 证 明 证明 间接证明 合情推理 演绎推理
归纳推理
类比推理
比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a+
b+
c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不 过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条 直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必 与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
2.2.1综合法与分析法
证法1:对于正数a,b, 有
（ a
2 b ） ≥0
证法2:要证 ab ≤ a b 2 只要证 2 ab ≤ a b 只要证 0 ≤ a 2 ab b
2 0 ≤ ( a b ) 只要证
a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab ab ≥ 2 ab
只需证a
而
a b b b a a b 0
a ( a b ) b( a b ) ( a b )( a b ) 2 0
a b b 2 a ， a 2 b 所以 b a
当且仅当a=b时取等号
当且仅当 a=b 成立 所以
a b a b成立 b a
(a+b)(a2 ab b2 ) ab(a b)
即 a3 b3 a2b ab2 ， 所以命题得证.
（变式练习）
1 1. 若a 0, b 0, 求证：a b 2 2. ab
ab 2. 若 a 1, b 1, 求证： 1. 1 ab
直接证明
1 概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立 2 直接证明的一般形式：
本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
引例一:证明不等式: x2 2 2 x( x R) 证法1:由 x2 2 2 x ( x 1)2 1 1 0 x2 2 2 x 2 ( x 1) 0 ( x 1)2 1 1 0 证法2:由
分析：由A，B，C成等差数列可得什么？
由a，b，C成等比数列可得什么？
怎样把边，角联系起来？ 点评：解决数学问题
文字语言
时，学会语言转换； 还要细致，找出隐含 条件。
图形语言
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
高中数学《综合法和分析法》素材1 新人教B版选修1-2
综合法和分析法教材精析在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理〔归纳、类比等〕所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑〔演绎〕推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为：其中P表示条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，12Q Q，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P∵，1Q∴；又∵，2Q∴；，nQ∴；又∵，Q∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论，1230Q Q Q Q，，，，分别表示使12nQ Q Q Q，，，，成立的充分条件，Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为：要证Q，只需证1Q，只需证2Q，，只需证Q，由于Q显然成立，所以Q成立．综合法、分析法都是直接利用条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导〔综合法〕，甚至难于寻求到使之成立的充分条件〔分析法〕的“疑难〞证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致〞，即：“P Q⇒〞⇔“Q P⌝⇒⌝〞．用反证法证题的格式一般为：假设Q不成立，假设()Q⌝，，那么p⌝，这与P〔定义、公理、定理等〕相矛盾，∴假设()Q⌝不成立，Q∴成立．1．综合法的每一步都是三段论〔或其简略形式〕，大前提一定要正确，否那么证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析〞的语气对待的，因而证明格式上应表达出“分析〞探讨性〔“要证…，只需证…〞〕，而非直接肯定结论. 例1 求证3725+<．错证：3725+<∵，22(37)(25)+<∴，1022120+<∴，215<∴，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成条件来用了. 正：只需将“∵〞改为“要证〞，“∴〞 改为“只需证〞.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明〔教科书99P 例3〕.一般是先用综合法由条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++， 只需证22222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-， 即证224sin 2sin 1αβ-=③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将中的①②代入上式， 即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例3证明〔一〕：假设成等差数列，即=，下面〔用分析法〕证明只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．证明〔二〕：假设成等差数列，即=，下面〔用综合法〕证明2125≠∵，5，10≠∴，即3720+≠，即2≠，≠不成等差数列．。
人教课标版高中数学选修4-5：《综合法与分析法》教案-新版
2.2 课时6 综合法与分析法一、教学目标（一）核心素养通过对综合法与分析法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的综合法.2.了解直接证明分析法，注意格式规范.2.了解分析法和综合法的思考过程.（三）学习重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（四）学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，思考：什么是综合法？什么是分析法？（2）想一想：两种方法有什么区别与联系？2．预习自测（1）综合法又叫顺推证法，它的特点是.【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】由因到果【思路点拨】了解综合法的原理【答案】由因到果（2）分析法的特点是.【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】执果索因.【思路点拨】了解分析法的原理【答案】执果索因（32+<，最好用什么方法？ 【知识点】分析法 【数学思想】2+<，只需证22(2<+，只需证<<，只需证1820<，显然成立，原命题成立. 【思路点拨】分析法由果寻因，证明问题很方便 【答案】分析法 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.（2）如果,0a b >，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立. （3）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. 2．问题探究探究一 综合法与分析法 ●活动① 综合法与分析法的定义综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”.以前得到的结论，可以作为证明的根据.特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式.例1 b a ,都是正数，求证：.2≥+abb a【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得.22=≥+ab b a a b b a 【思路点拨】基本不等式：一正二定三取等 【答案】见解析同类训练 证明：当1x >时, 1+31x x ≥-. 【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：因为1x >，所以11+(1)++11)+1=3111x x x x x =-≥---. 【思路点拨】配凑定值，用基本不等式可证 【答案】见解析例2 设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】【解题过程】证法一 综合法ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(，注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+，从而2233ab b a b a +≥+成立.证法二 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立，又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证. 【思路点拨】因式分解化简不等式. 【答案】见解析同类训练 求证2252(2)a b a b ++≥- 【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一 综合法因为22(2)(1)0a b -++≥,所以224250a b a b +-++≥,所以2252(2)a b a b ++≥-. 证法二 分析法要证2252(2)a b a b ++≥-，只需证22542a b a b ++≥-,只需证224250a b a b +-++≥，只需证22(2)(1)0a b -++≥，显然成立，所以原不等式成立.【思路点拨】一元二次，配方. 【答案】见解析议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 【设计意图】理解和掌握综合法与分析法. 探究二 综合法与分析法的特点 ●活动① 综合法与分析法的特点如果用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 可以推出命题Q （命题Q 可以由命题P 推出），那么采用综合法的证法一就是).1()2()3()4(⇒⇒⇒采用分析法的证法二就是).4()3()2()1(⇐⇐⇐如果命题P 可以推出命题Q ，命题Q 也可以推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么我们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔例3 证明：ca bc ab c b a ++≥++222. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证法一 因为ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++， 两边同时除以2即得ca bc ab c b a ++≥++222. 证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以ca bc ab c b a ++≥++222成立.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析同类训练 求证：222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为222222a b b c ab c +≥，222222b c c a abc +≥，222222c a a b a bc +≥ 所以三式相加得2222222222()2()a b b c c a a bc ab c abc ++≥++， 两边同时除以2即得222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析例4 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++ 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明 要证.)())((22222bd ac d c b a +≥++只需证0)())((22222≥+-++bd ac d c b a只需证0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a 只需证022222≥-+abcd d a c b 只需证 0)(2≥-ad bc ，显然成立，原不等式成立. 此时显然成立.因此.)())((22222bd ac d c b a +≥++成立. 【思路点拨】化简，配方. 【答案】见解析同类训练 已知1m n >>,求证：2m n mn m +>+. 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 要证2m n mn m +>+,只需证2()()0m m n mn -+->,只需证(1)(1)0m m n m -+->,只需证(1)()0m m n -->,因为1m n >>，所以(1)()0m m n -->.【思路点拨】化简，因式分解. 【答案】见解析【设计意图】体会综合法与分析法在证明不等式时的异同． 探究三 巩固提升 ●活动① 巩固提升例5 已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？ 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 abc c b a 3333-++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++ =].)()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++由于c b a ,,都是正数，所以.0>++c b a 而0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，可知03333≥-++abc c b a ，即abc c b a 3333≥++（等号在c b a ==时成立）【思路点拨】本题可以考虑利用因式分解公式))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++着手. 【答案】见解析同类训练 已知0,0,0a b c >>>,且1abc =,111+a b c≤+. 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 由1abc =，得111+=ab bc ac a b c +++，又由基本不等式及0,0,0a b c >>>得ab bc +≥=bc ac +≥=,ab ac +≥=,111+a b c+≤+ 【思路点拨】基本不等式. 【答案】见解析同类训练 如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc .【知识点】基本不等式；综合法 【数学思想】【解题过程】,,0)3a b c a b c ++≥>，当且仅当a b c ==时取等号. ,31,31,31333ac a c bc c b ab b a ≥++≥++≥++三式相乘的，得 127)1)(1)(1(32=>++++++）（abc a c c b b a ，所以27)1)(1)(1(≥++++++a c c b b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧======c a c b b a 111，即1===c b a 时取等号，因为c b a ,,是互不相等的正数，所以27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a .【思路点拨】注意取等三个正数的均值不等式的条件 【答案】见解析【设计意图】掌握用综合法与分析法证明不等式． 3. 课堂总结 知识梳理(1)解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。
高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法(二) 学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程一、课前准备4850复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例13526变式：求证3725小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么A.22x y x y xy +<<<B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .1. 已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。
2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维和判断能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。
3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。
2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。
3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。
教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。
2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。
4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2.2.1综合法和分析法(1)
C
因为:SA 平面ABC ABC成立 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. SC成立 所以. AF⊥SC成立
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC, ,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过 例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E, E,过 SC的垂线 的垂线, 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S F,求证 为F,求证 AF⊥SC
2 2 2
点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析 点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析
法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论P 可以推出Q 得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论 成立
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题，求证： + 7 < 2 5 3
证明：因为 3 + 7和2 5都是正数，所以要证
3+ 7 <2 5
（ （ 只需证， 3 + 7） < 2 5）
:.已 例:.已知a、b、c为不全相等的正数， b+c-a c+a-b a+b-c 求证： + + > 3. a b c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证, 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立, 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 法叫做综合法 表示已知条件、已有的定义、公理、 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. ,Q表示所要证明的结论 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: 则综合法用框图表示为:
(完整版)数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：<一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
<二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；<三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.<答案：若，且，则）2. 已知，，求证：.先完成证明→ 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG分析：运用什么知识来解决？<基本不等式）→ 板演证明过程<注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.tFAx82mkCG分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件<内角和）2. 练习：①为锐角，且，求证：. <提示：算）② 已知求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，. <教材P100 练习 1题）<两人板演→ 订正→ 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 作业：教材P102 A组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式.<讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 <注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG框图表示：要点：逆推证法；执果索因.③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面<指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .tFAx82mkCG3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析>，从“已知”推“可知”<综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意）tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.略证：正弦、余弦定理代入得：，即证：，即：，即证：<成立）.2. 作业：教材P100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？<原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？tFAx82mkCG3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与特点1.1 教学目标1. 了解综合法的定义和基本特点2. 掌握综合法在数学问题中的应用1.2 教学内容1. 综合法的定义与基本原理2. 综合法在数学问题求解中的应用案例1.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法的应用2. 讲解：详细阐述综合法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用综合法的问题1.4 教学评价1. 判断学生对综合法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法的熟练程度第二章：分析法的概念与特点2.1 教学目标1. 了解分析法的定义和基本特点2. 掌握分析法在数学问题中的应用2.2 教学内容1. 分析法的定义与基本原理2. 分析法在数学问题求解中的应用案例1. 引入：通过实例让学生感受分析法的应用2. 讲解：详细阐述分析法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用分析法的问题2.4 教学评价1. 判断学生对分析法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用分析法的熟练程度第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系2. 能够根据问题特点选择合适的方法求解3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系2. 不同类型问题中综合法与分析法的应用选择3.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法的不同应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法的区别与联系3. 练习：让学生自主尝试解决一些需要选择合适方法的问题3.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法区别与联系的理解程度2. 评估学生在实际问题中选择合适方法的熟练程度第四章：综合法与分析法在几何问题中的应用1. 掌握综合法与分析法在几何问题中的应用2. 能够解决一些常见的几何问题4.2 教学内容1. 几何问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见几何问题求解方法的探讨4.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在几何问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在几何问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些几何问题4.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在几何问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际几何问题中应用综合法与分析法的熟练程度第五章：综合法与分析法在代数问题中的应用5.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在代数问题中的应用2. 能够解决一些常见的代数问题5.2 教学内容1. 代数问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见代数问题求解方法的探讨5.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在代数问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在代数问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些代数问题5.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在代数问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际代数问题中应用综合法与分析法的熟练程度第六章：综合法与分析法在物理问题中的应用6.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在物理问题中的应用2. 能够解决一些常见的物理问题6.2 教学内容1. 物理问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见物理问题求解方法的探讨6.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在物理问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在物理问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些物理问题6.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在物理问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际物理问题中应用综合法与分析法的熟练程度第七章：综合法与分析法在化学问题中的应用7.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在化学问题中的应用2. 能够解决一些常见的化学问题7.2 教学内容1. 化学问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见化学问题求解方法的探讨7.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在化学问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在化学问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些化学问题7.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在化学问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际化学问题中应用综合法与分析法的熟练程度第八章：综合法与分析法在生物问题中的应用8.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在生物问题中的应用2. 能够解决一些常见的生物问题8.2 教学内容1. 生物问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见生物问题求解方法的探讨8.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在生物问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在生物问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些生物问题8.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在生物问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际生物问题中应用综合法与分析法的熟练程度第九章：综合法与分析法在实际生活中的应用9.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在实际生活中的应用2. 能够解决一些实际生活中的问题9.2 教学内容1. 实际生活中综合法与分析法的应用案例2. 常见实际问题求解方法的探讨9.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在实际生活中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在实际问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些实际问题9.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在实际生活中应用的理解程度2. 评估学生在实际生活中应用综合法与分析法的熟练程度第十章：总结与拓展10.1 教学目标1. 总结综合法与分析法的应用及其重要性2. 拓展学生对综合法与分析法在不同领域中应用的认识10.2 教学内容1. 回顾本节课所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 探讨综合法与分析法在不同领域的拓展应用10.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生回顾所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在不同领域的拓展应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些涉及不同领域的实际问题10.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法应用的总结理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法与分析法的熟练程度重点解析本文主要介绍了综合法和分析法的概念、特点以及在数学、几何、代数、物理、化学、生物等领域的应用。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法
§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。
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第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程．
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备：
1． 已知“若12a a +∈R ，
，且121a a +=，则12
11
4a a +≥”，试请此结论推广猜想． （答案：若12n a a a +∈R ，
，，，且121n a a a +++=，则
212
111
n
n a a a +++
≥） 2．已知a b c +∈R ，
，，1a b c ++=，求证：1
119a b c
++≥． 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1． 教学例题：
①出示例1：已知a b c ，，是不全相等的正数，求证：
222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>．
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立． 框图表示：
要点：顺推证法；由因导果．
③ 练习：已知a b c ，，是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>．
④ 例题讲解：
P37例1：△ABC 在平面α外，AB ∩α=P ，BC ∩α=Q ，AC ∩α=R ，求证：PQR 三点共线.
P37例2：在△ABC 中，设,,ABC CB a CA b S ===
△求证 P37例3：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列． 求证：△ABC 为等边三角形．
三题的共同点分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化题目中已知关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点．
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件 2． 练习：
① ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=︒．（提示：算
tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：
114
a b b c a c
+---≥
． 3． 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12Q Q ，，，直到最后的结论是Q ．运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题．
三、巩固练习：
1． 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=．（教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2． ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113
a b b c a b c
+=
++++． 3． 作业：
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程． 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备：
1． 提问：基本不等式的形式？
2． 讨论：如何证明基本不等式
(00)2
a b
ab a b +>>≥，． （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课： 1． 教学例题：
① 出示例4：求证3+75＜2．
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止． 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因．
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11
2
23
33
2
()()x y x y +>+．
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明． ④ 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2． 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2πl ，截面积为2
π2πl ⎛⎫
⎪⎝⎭
，周
长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2
2
π2π4l l ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
3． 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知
12P P ，
，，直到所有的已知P 都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已
知条件和结论的途径． （框图示意） 三、巩固练习：
1． 设a b c ，，是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥．
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos C C -≥，cos 2C C +≤，即证：π
sin()16
C +≤（成立）． 2． 作业：。