综合法和分析法

《综合法和分析法（1）》导学案

编写人：马培文 审核人：杜运铎 编写时间：2016-02-24

【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。

【重点难点】

1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

【学法指导】

① 课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究

问题，并提出你的观点。

【知识链接】

复习1 两类基本的证明方法: 和 。

复习2 直接证明的两中方法: 和 。

知识点一 综合法的应用

问题 已知,0a b >,

求证 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

新知 一般地,利用 ,经过一系列的推理论

证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。

反思 框图表示

要点 顺推证法；由因导果。

【典型例题】

例1

已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c

++≥

变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111(1)(1)(1)8a b c

---≥。

小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应

用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。

例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等

差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形。

变式 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.

求证 PD 垂直于ABC ∆所在的平面。

小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或

把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明

确表示出来。

【基础达标】

A1. 求证 对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=。

B2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，

求证 60A B += . （提示：算tan()A B +）。

【归纳小结】

综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用

综合

法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。

【知识拓展】

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法。

【当堂检测】

1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）

A ．5481a a a a >

B ．5481a a a a <

C ．5481a a a a +>+

D ．5481a a a a =

3. . 设23451111log 11log 11log 11log 11

P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<

C ．23P <<

D ．34P <<

4. 若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2

+∞，则k 的范围是。

5. 已知b a ,

是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是____。

【能力提升】

1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证 3b c a a c b a b c a b c

+-+-+-++>。

2. 在△ABC 中，证明 2

222112c o s 2c o s b a b B a A -=-。

【学习反思】

① 基础知识

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

② 学习方法

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

③ 情感认知

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

高二数学选修2-2