综合法和分析法

即
sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，∴csoins
α sin α·cos
ββ＝16，
∴tan αtan β＝16，即结论正确．
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以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当
成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合
法书写证明过程更简洁．
[正解] (分析法)：要证明 a∥b，而 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，
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利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)， 分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公 式、结论，确定恰当的解题方法． (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的 语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程 时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行 调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选 取．
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题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
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想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推 理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的， 不同于合情推理中的“猜想”．
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名师点睛 1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，
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3．综合法与分析法的优点 综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从 已知的知识中进一步获得新的知识．
分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然， 在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能 把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没 有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立 的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据 分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法， 有时甚至交错使用．
(综合法)：∵tan
αtan
β＝16，∴csoins
α sin α·cos
ββ＝16，
即 sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即 a＝(4cos α，sin α)与 b＝(sin β，4cos β)共线，∴a∥b.
分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，
从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证 的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证 的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)
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2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分 条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述 为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的 书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……， 即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结 论成立”． 分 析 法 的 证 明 步 骤 用 符 号 表 示 是 ： P0( 已 知 )⇐…⇐Pn － 2⇐Pn － 1⇐Pn(结论) 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．
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【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
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自学导引 1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
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2．综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理 、公理 等， 经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
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证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0，
∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下：
要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，
只需证( a2＋b2)2≥ 22a＋b2， 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
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用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不 等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3) 用 分 析 法 证 明 数 学 命 题 时 ， 一 定 要 恰 当 地 用 好 “ 要 证 明 ” 、 “只需证明”、“即证明”等词语．
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【变式 3】 已知 α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ.
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证明 因为(sin θ＋cos θ )2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可
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3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
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【课标要求】 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法． 2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法
证明数学问题． 【核心扫描】 1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)
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[规范解答] 要证明： logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc， 只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c<logx(abc)．(2 分) 由已知 0<x<1，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc.(4 分) 由公式a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，a＋2 c≥ ac>0.(8 分) 又∵a，b，c 是不全相等的正数，
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∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
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得 4sin2α－2sin2β＝1
③
另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ，
即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
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即证 cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)， 即证 1－2sin2α＝12(1－2sin2β)， 即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
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【变式 2】
已知 a，b 是正实数，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋ b.
证明
要证 a ＋ b ≥ ba
a＋
b，
只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)．
即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)，
因为 a，b 是正实数，
即证 a＋b－ ab≥ ab，
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[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证 明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键． 证明 (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3 得 (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)， ∴aan＋n 1＝m2＋m3，∴{an}是等比数列．
也就是要证 a＋b≥2 ab，
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
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题型三 综合法和分析法的综合应用 【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
求证：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc
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误区警示 因逻辑混乱而出错
【示例】 设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若 tan αtan
β＝16，求证：a∥b.
[错解] ∵a∥b，且 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，
故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．
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(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝m2＋m3，∴n∈N*，n≥2 时， bn＝32f(bn－1)＝32·b2n－b1n＋－13⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒b1n－bn1－1＝13. ∴数列b1n为首项为 1，公差为13的等差数列．
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4cos β)；
∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证 sin αsin β＝16cos
αcos β，
即要证csoins
α sin α·cos
ββ＝16，即要证
tan
αtan
β＝16，
而 tan αtan β＝16 已知，所以结论正确．
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法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
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题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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【题后反思】 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手， 易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结 合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构 特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条 件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
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