2. 2 .1 综合法和分析法

§2. 2 .1 综合法和分析法

一、教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合

法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法:

培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：

了解分析法和综合法的思考过程、特点

三、教学难点：

分析法和综合法的思考过程、特点

四、教学过程:

（一）导入新课：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）推进新课：

1. 综合法

在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证

明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为222,0b c bc a +≥>，

所以22()2a b c abc +≥。

因为222,0c a ac b +≥>，

所以22()2b c a abc +≥。

因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：

()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.

分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以 A + B + C=π． ②

由①② ，得 B=3

π． ③ 由a, b ，c 成等比数列，有 2b ac =． ④

由余弦定理及③，可得

222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．

再由④，得 22a c ac ac +-=．

即 2()0a c -=，

因此 a c =．

从而 A=C ．

由②③⑤，得 A=B=C=3

π． 所以△ABC 为等边三角形．

注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0

)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0>≥b a

,0,1≥-≥b a b

a .1)(≥=∴-

b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

2. 分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式 ab b a ≥+2

（a >0，b >0）的证明就用了上述方法。 要证

ab b a ≥+2

，

只需证 ab b a 2≥+，

只需证

02≥-+ab b a ，

只需证

0)(2≥-b a 由于0)(2≥-b a 显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

分析法可表示为：

()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的特点是：执果索因

例3、求证5273<+。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。 证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明

5273<+，

只需明

22)52()73(<+，

展开得 2021210<+，

只需证 521<，

因为2521<成立，所以

22)52()73(<+ 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 、已知,()2

k k Z π

αβπ≠+∈，且 sin cos 2sin θθα+= ①

2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβαβ--=++。 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角θ，因此第一步工作可以