2. 2 .1 综合法和分析法

§2. 2 .1 综合法和分析法
一、教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
三、教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）推进新课：
1. 综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：
已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证
明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为222,0b c bc a +≥>，
所以22()2a b c abc +≥。

因为222,0c a ac b +≥>，
所以22()2b c a abc +≥。

因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：
()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒
综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ①
因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以 A + B + C=π． ②
由①② ，得 B=3
π． ③ 由a, b ，c 成等比数列，有 2b ac =． ④
由余弦定理及③，可得
222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．
再由④，得 22a c ac ac +-=．
即 2()0a c -=，
因此 a c =．
从而 A=C ．
由②③⑤，得 A=B=C=3
π． 所以△ABC 为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥
分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0
)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a
,0,1≥-≥b a b
a .1)(≥=∴-
b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

2. 分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式 ab b a ≥+2
（a >0，b >0）的证明就用了上述方法。

要证
ab b a ≥+2
，
只需证 ab b a 2≥+，
只需证
02≥-+ab b a ，
只需证
0)(2≥-b a 由于0)(2≥-b a 显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

这种方法叫做分析法。

分析法可表示为：
()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的特点是：执果索因
例3、求证5273<+。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明
5273<+，
只需明
22)52()73(<+，
展开得 2021210<+，
只需证 521<，
因为2521<成立，所以
22)52()73(<+ 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。

但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4 、已知,()2
k k Z π
αβπ≠+∈，且 sin cos 2sin θθα+= ①
2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβαβ--=++。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角θ，因此第一步工作可以
从已知条件中消去θ。

观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，于是，由 ①2一2×② 得224sin 2sin 1αβ-=．把224sin 2sin 1αβ-=与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为
22221s sin (s sin )2
co co ααββ-=-,再与224sin 2sin 1αβ-=比较，发现只要把22221s sin (s sin )2
co co ααββ-=-中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将 ① ② 代入，可得
224sin 2sin 1αβ-=. ③
另一方面，要证
22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβ
αβ--
=++，
即证 22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)
cos cos β
αβααβαβ--=++ ，
即证
22221
s sin (s sin )2co co ααββ-=-，
即证
221
12sin (12sin )2αβ-=-，
即证 224sin 2sin 1αβ-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。

（三）课堂练习：
1、课本P89页 练习1、
2、3
2、补充练习：
1,,,)a b c R a b c +∈≥++、求证
23sin cos cos ABC b B B C
ABC ∆==∆、中，已知，且求证：为等边三角形
（四）课堂小结：
综合法和分析法的特点。

（五）布置作业：
课本P91页 1、2、3。