2012全国各省高考数学大题几何归纳

25.【2012高考广东理18】（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力. 【解析】（1）P C ⊥平面BD E ，BD ⊂面BD E B D P C ⇒⊥ P A ⊥平面A B C D ，BD ⊂面A B C D B D P A ⇒⊥ 又PA PC P BD =⇒⊥ 面PAC（2）AC BD O = 由（1）得：B DA C AB ⊥⇒=，1,22PA AD AB ==⇒=，P C ⊥平面,B D E B F P C O F P C ⇒⊥⊥B F O ⇒∠是二面角B P C A--的平面角在P B C ∆中，2,3903BP BC PB BC PC PBC BE PC ο⨯===⇒∠=⇒==在R t B O F∆中，tan 33BOBO O E BFO O F===⇒∠==得：二面角B P C A --的正切值为326.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：M N ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠︒三棱柱-'''A B C A B C 为直三棱柱，所以M 为'A B 中点.又因为N 为''B C 中点 所以//'M N A C ，又M N ⊄平面''A A C C'A C ⊂平面''A A C C ，因此//''MN A ACC 平面 ……6分（2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示设'=1,AA 则==AB AC λ，于是()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ，所以1,0,,,,12222M N λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111=,,m x y z 是平面'A M N 的法向量，由'=0,=0m A M m M N ⎧⎪⎨⎪⎩ 得11111-=0221+=022x z y z λλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=1,-1,m λ 设()222=,,n x y z是平面M N C 的法向量，由=0,=0n N C n M N ⎧⎪⎨⎪⎩ 得22222-+-=0221+=022x y z y z λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=-3,-1,n λ 因为'--A M N C 为直二面角，所以()()2=0,-3+-1-1+=0m n λ⨯即，解得λ……12分 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。

27.【2012高考湖北理19】（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠= ，3B C =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠= （如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BC D -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BC D -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，A C 的中点，试在 棱C D 上确定一点N ，使得E N ⊥B M ，并求E N 与平面B M N 所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3C D x =-．由A D B C ⊥，45ACB ∠= 知，△A D C 为等腰直角三角形，所以3A D C D x ==-.由折起前A D B C ⊥知，折起后（如图2），A D D C ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D = ，D ABCACDB图2图1ME. ·所以AD ⊥平面BC D ．又90BDC ∠= ，所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-．于是1111(3)(3)2(3)(3)33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BC D -的体积最大． 解法2：同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时, 三棱锥A BC D -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．由（Ⅰ）知，当三棱锥A BC D -的体积最大时，1BD =，2AD C D ==．于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ，且(1,1,1)BM =-．设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--. 因为E N B M ⊥等价于0EN BM ⋅=，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .所以当12DN =（即N 是C D 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．设平面BM N 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =- ， 得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ．设E N 与平面BM N 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得1|1|sin cos(90)2||||EN EN θθ--⋅=-===⋅ n n 60θ= ．故E N 与平面BM N 所成角的大小为60.解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BC D -的体积最大时，1BD =，2AD C D ==． 如图b ，取C D 的中点F ，连结M F ，B F ，E F ，则M F ∥AD . 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BC D ，所以M F ⊥平面BC D .如图c ，延长F E 至P 点使得FP DB =，连BP ，D P ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP BF ⊥. 取D F 的中点N ，连结E N ，又E 为FP 的中点，则E N ∥D P ， 所以E N B F ⊥. 因为M F ⊥平面BC D ，又E N ⊂面BC D ，所以M F EN ⊥. 又M F BF F = ，所以E N ⊥面BM F . 又BM ⊂面BM F ，所以E N B M ⊥. 因为E N B M ⊥当且仅当E N B F ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12DN =（即N 是C D 的靠近点D 的一个四等分点），EN BM ⊥．连接M N ，M E，由计算得2N B N M EB EM ====所以△N M B 与△EM B 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d 所示，取B M 的中点G ，连接E G ，N G ，则B M ⊥平面E G N ．在平面E G N 中，过点E 作EH G N ⊥于H ， 则EH ⊥平面BM N ．故EN H ∠是E N 与平面BM N 所成的角． 在△E G N中，易得2EG G N N E ===，所以△E G N 是正三角形，故60ENH ∠= ，即E N 与平面BM N 所成角的大小为60. 28.【2012高考新课标理19】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A C B C A A ==，图a图bC AD BE FMN图cBDPCF NEGMN EH图d第19题解答图D 是棱1AA 的中点，BDDC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【答案】（1）在R t D A C ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A D C C D C ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作O H BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 111111A CBC C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A B D 1O H B D C H B D ⊥⇒⊥得：点H 与点D 重合且1C D O ∠是二面角11C BD A --的平面角设A C a =，则12C O =，111230CD C O C DO ︒==⇒∠=既二面角11C BD A --的大小为30︒29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面AD E ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面A B C 。