正弦余弦的诱导公式
正弦、余弦的诱导公式3
探究： 探究：
π − α 与α
的终边有何关系
y
P(x,y)
sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α
将
P(-x,y)
α看成第一象限角，
π −α 是第二象限
负 带 负 带
o
x 则
sin(π − α ) cos(π − α ) tan(π − α )
sin( −α) = −sin α cos(−α) = cosα tan( −α) = − tan α
判断
(1) cos(π − α ) = cos α
(2) cos(−α) = cosα (3) cos(π +α) = cosα
(4) tan(π +α) = − tan α
(5) sin(π − α ) = − sin α
31π (3) sin 36
(4) sin 324 32
(6) cos100 21
0
0 '
0
'
3π (5) cos 5
31π (7) cos 36
(8) cos 324 32
'
利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225
0
11π (2) sin 3
16π (3) sin( − ) 3
(4) cos(−2040 )
郑州市12中 郑州市 中
sin(α + 2kπ ) = sin α cos(α + 2kπ ) = cos α tan(α + 2kπ ) = tan α
（其中
k ∈Z
）
诱导公式一: sin(α + k ⋅ 360°) = sin α cos(α + k ⋅ 360°) = cos α tan(α + k ⋅ 360°) = tan α
正弦余弦的诱导公式
正弦余弦的诱导公式正弦和余弦的诱导公式是三角函数中非常重要的两个公式，它们描述了两个角的正弦和余弦之间的关系。
通过这些公式，我们可以使用已知角的正弦或余弦来求解其他角度的正弦和余弦值，从而在三角函数中起到了非常关键的作用。
首先，我们先来看正弦的诱导公式。
对于一个角度为θ的三角形，假设角θ的对边长度为b，斜边长度为c。
根据三角形的定义可以知道：sin(θ) = b/c接下来我们使用勾股定理，即c²=a²+b²，其中a表示角度为θ的三角形的邻边长度。
将c²=a²+b²代入上式，可以得到：sin(θ)= b/√(a² + b²)我们知道，正弦函数是一个周期性函数，且满足-sin(θ) = sin(180° + θ)。
因此，对于角度大于90°的情况，可以通过此公式来计算正弦值。
根据逆三角函数的定义，我们还可以推导出：sin(180° - θ) = sin(θ)这就是正弦的诱导公式，它描述了正弦函数的周期性和对称性。
接下来，我们来看余弦的诱导公式。
同样考虑一个角度为θ的三角形，对于角度大于90°的情况，我们可以使用余弦函数来表示。
余弦函数定义为：cos(θ) = a/c假设角θ的邻边长度为a，斜边长度为c。
利用勾股定理可以得到：cos(θ) = a/√(a² + b²)由余弦函数的周期性和对称性，我们可以推导出：cos(-θ) = cos(θ)cos(180° - θ) = -cos(θ)cos(180° + θ) = -cos(θ)这些公式描述了余弦函数的周期性和对称性。
通过正弦和余弦的诱导公式，我们可以求解其他角度的正弦和余弦值。
例如，对于sin(30°)，我们可以使用sin(90° - 30°) = sin(60°) = √3/2来求解。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全1.正弦函数诱导公式：正弦函数的诱导公式是通过余弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：sin(-A) = -sinAsin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBsin2A = 2sinAcosAsin3A = 3sinA - 4sin^3A2.余弦函数诱导公式：余弦函数的诱导公式是通过正弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：cos(-A) = cosAcos(A ± B) = cosA cosB - sinA sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Acos3A = 4cos^3A - 3cosA3.正切函数诱导公式：正切函数的诱导公式是通过正弦函数和余弦函数诱导公式得到的。
tanA = sinA / cosA根据正弦函数和余弦函数诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：tan(-A) = -tanAta n(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tan3A = (3tanA - tan^3A) / (1 - 3tan^2A)4.余切函数诱导公式：余切函数的诱导公式是通过正切函数的诱导公式得到的。
cotA = 1 / tanA根据正切函数的诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：cot(-A) = -cotAcot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)cot2A = (1 - tan^2A) / 2tanAcot3A = (3cotA - cot^3A) / (cot^2A - 3)5.正割函数诱导公式：正割函数的诱导公式是通过余弦函数的诱导公式得到的。
正弦余弦诱导公式
角
函数
sin
cos
小结：
奇变偶不变； 符号看象限。
五组诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五
的奇数倍，如： 2
1 3 7 2， 2 ，2
…
BACK
函数名发生改变： sin( ) cos 2 cos( ) sin
注：因为是 的奇数倍 2
BACK
返回诱导公式
卫浴网 http://www.wyw.so/ 中国洁具卫浴网 0 坱罔牁
sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
BACK
sin( ) sin
cos( ) cos
§4.5 正弦、余弦的诱导公式
图一：
y
180
P(x,y)
N
o P’ (-x,-y)
M (1,0) x
图二：
P(x,y) M
y
o
(1,0) x
P’ (x,-y)
2k sin cos 2k sin cos
sin cos sin cos sin cos
BACK
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin( ) sin
cos( ) cos
BACK
sin( ) sin
cos( ) cos
BACK
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
BACK
END
2
BACK
的偶数倍，如： 2
2 4 ( ) (2 ) ，2 … 2
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们之间存在一个非常重要的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正弦函数，得到的结果是对应角的余弦函数。
通过这个公式，我们可以推导出一些其他的三角函数的诱导公式。
2.正切函数的诱导公式：正切函数是正弦函数和余弦函数的商：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正切函数，得到的结果是对应角的余切函数的倒数。
3.余切函数的诱导公式：余切函数是正切函数的倒数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到余切函数的诱导公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 1 / [cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)] = sin(π/2 - θ) / cos(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入余切函数，得到的结果是对应角的正切函数的倒数。
4.正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin(θ ± ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) ± cos(θ)sin(ϕ)cos(θ ± ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) ∓ sin(θ)sin(ϕ)这两个公式称为正弦函数和余弦函数的平方和差公式，它们揭示了正弦函数和余弦函数的和角和差角的关系。
通过这两个公式，我们可以将任意两个角的和、差转化为正弦函数和余弦函数的乘积，从而进行更复杂的运算。
这里的正弦函数和余弦函数的平方和差公式可以通过三角函数的诱导公式和欧拉公式来证明。
正弦余弦公式总结
1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2π-a)=cos(a)cos(2π-a)=sin(a)sin(2π+a)=cos(a)cos(2π+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinAcosA2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了)sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)6.半角公式2sin2(a/2)=1-cos(a)2cos2(a/2)=1+cos(a)tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)]tan2(a/2)=[1-cos(a)]/[1+cos(a)]7.万能公式sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)]cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)]tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)]8.其它公式(推导出来的)a*sin(a)+b*cos(a)=sin(a+c)其中tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=cos(a-c)其中tan(c)=a/b1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))2sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))2三、正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中R是三角形外接圆半径正弦定理可以解决下列三角问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
正弦和余弦的诱导公式
①sin(180°+α)=sinαcos(180°+α)=cosα②sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x2,诱导公式一及其用途sin(α+k·360°) = sinαcos(α+k·360°) = cosαtan(α+k·360°) = tanα 其中k ∈Z任意角的三角函数值公式一的用途0 °~ 360 °角的三角函数值本单元的内容0 °~ 90 °角的三角函数值（1）0 °~ 90 °角的正弦值、余弦值用何法可求得？（2）90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系？设0°≤α≤90 °，那么，对于90°~ 180 °间的角，可表示成：180 °-α;180°~ 270 °间的角，可表示成：180 °+α;270°~ 360 °间的角，可表示成：360 °-α;（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，位置关系如何？（2）任意角α与180 °+α呢？yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．α180 °+α的终边180 °+α的终边．P’．P’由分析可得：角α180 °+α终边关系关于原点对称点的关系P(x,y)P’(-x,-y)函数关系sinα= ycosα= xsin(180 °+α)= -ycos(180 °+α)= -x因此，可得：sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二2，同理可研究-α与α的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．-α的终边．P’角α-α终边关系关于X 轴对称点的关系P(x,y)P’(x,-y)函数关系sinα= y cosα= xsin(-α) = -y cos(-α) = x因此，可得：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosα公式三sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二：公式二与公式三的成立条件，以及它们的特点，用途。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
三角函数的8个诱导公式(汇总)
三角函数的8个诱导公式（汇总）三角函数的8个诱导公式1. 正弦函数的诱导公式sin(-x) = -sin(x)这个公式表明，正弦函数的值在x轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的正弦值为a，那么它的相反数的正弦值就是-a。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算负角度的正弦值。
2. 余弦函数的诱导公式cos(-x) = cos(x)这个公式表明，余弦函数的值在y轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的余弦值为a，那么它的相反数的余弦值也是a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余弦值。
3. 正切函数的诱导公式tan(-x) = -tan(x)这个公式表明，正切函数的值在原点上是关于y轴对称的。
也就是说，如果一个角的正切值为a，那么它的相反数的正切值就是-a。
这个公式在计算负角的正切值时非常有用。
4. 余切函数的诱导公式cot(-x) = -cot(x)这个公式表明，余切函数的值在原点上是关于x轴对称的。
也就是说，如果一个角的余切值为a，那么它的相反数的余切值就是-a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余切值。
5. 正弦函数的平方的诱导公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个公式是三角函数中最著名的公式之一，它表明正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
6. 正切函数的平方的诱导公式tan^2(x) + 1 = sec^2(x)这个公式表明，正切函数的平方加1等于其对应的正割函数的平方。
这个公式在计算三角形中的未知边长时非常有用。
7. 余切函数的平方的诱导公式cot^2(x) + 1 = csc^2(x)这个公式表明，余切函数的平方加1等于其对应的余割函数的平方。
这个公式同样也可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
8. 正弦函数和余弦函数的诱导公式sin(x + π/2) = cos(x)cos(x + π/2) = -sin(x)这两个公式表明，正弦函数和余弦函数之间存在一种特殊的关系，即它们的相位差为π/2。
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。
2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。
根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。
正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。
根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。
余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。
正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinα cos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinα cos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosα cos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosα cos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.例2、设的值为（）A．B． C．－1 D．1（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
例5、证明：.练习1．若，则的值为（）．A． B． C． D．2．和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．3．的值等于（）．A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．D．5．在△中，下列各表达式为常数的是（）．A．B．C． D．6．如果，那么是（）A． B． C． D．7．的值为（）A．B．C．D．8．已知且是第四象限角，则 =（）A ．B ．C ．D ．9．如果 ，且，则 可以是（ ）． A ．B ．C ．D ．10．已知 是方程 的根，那么 的值等于（ ）．A ．B ．C ．D ．11． 为整数，化简 所得结果是（ ） A ． B ．C ．D ．12．，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．13．若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．14、已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15-B ．35-C ．15D ．3515、0203sin 702cos 10--=（ ）A. 12B. 2C. 2D.2。
三角函数的诱导公式与应用
三角函数的诱导公式与应用三角函数是数学中非常重要的概念，广泛应用于物理、工程等领域。
为了推导和简化三角函数之间的关系，人们发现了许多有用的公式，称之为三角函数的诱导公式。
本文将介绍三角函数的诱导公式以及其应用。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是通过将一个角的正弦函数表示成另一个角的正弦函数来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：sin(A) = sin(π/2 - B) = cos(B)通过正弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的正弦函数转化为另一个角的余弦函数。
这在计算中十分有用。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是通过将一个角的余弦函数表示成另一个角的余弦函数来简化计算。
同样假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：cos(A) = cos(π/2 - B) = sin(B)通过余弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的余弦函数转化为另一个角的正弦函数。
这在解决问题时非常有用。
二、正切函数的诱导公式与倒数公式1. 正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是通过将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：tan(A) = tan(π/2 - B) = 1/tan(B)通过正切函数的诱导公式，我们可以将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商。
这在解决实际问题时非常有用。
2. 正切函数的倒数公式正切函数的倒数公式是通过将一个角的正切函数的倒数表示成该角的余切函数来简化计算。
假设有一个角A，那么有以下倒数公式：1/tan(A) = cot(A)通过正切函数的倒数公式，我们可以将正切函数的倒数转化为余切函数，进一步简化计算。
三、三角函数的应用三角函数的诱导公式在物理、工程等领域有着广泛的应用。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数在数学中是一类基础重要的函数，其中正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。
在学习三角函数时，我们经常会遇到需要化简和推导三角函数的表达式的情况。
而三角函数的诱导公式则是帮助我们简化和推导这些表达式的重要工具。
一、正弦和余弦的诱导公式正弦函数和余弦函数是最为基础的三角函数之一，在数学中具有广泛的应用。
它们之间通过诱导公式可以相互转化和推导出一些简化的表达式。
1. 正弦的诱导公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB这个诱导公式是我们最常用的，通过它我们可以将两个正弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
2. 余弦的诱导公式：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB与正弦的诱导公式类似，余弦的诱导公式可以将两个余弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
二、正切的诱导公式正切函数是另一个常见的三角函数，它表示一个角的正弦值与余弦值的商。
正切函数的化简和推导也可以借助诱导公式来完成。
正切的诱导公式可以表示为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)该诱导公式可以将正切函数的和差转换为两个正切函数的商或差商，帮助我们简化三角函数的表达式。
三、其他除了正弦、余弦和正切之外，还有一些其他的三角函数，如余割、正割和余切等。
这些三角函数同样可以通过诱导公式进行化简和推导。
具体的诱导公式可以表述如下：1. 余割的诱导公式：csc(A ± B) = 1 / (sinA·cosB ± cosA·sinB)2. 正割的诱导公式：sec(A ± B) = 1 / (cosA·cosB ∓ sinA·sinB)3. 余切的诱导公式：cot(A ± B) = (cotA·cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)以上是几个常见三角函数的诱导公式，它们对于化简和推导三角函数表达式时起着至关重要的作用。
三角函数的诱导公式与正弦定理
三角函数的诱导公式与正弦定理三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将重点介绍三角函数的诱导公式和正弦定理。
一、三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是将一个三角函数表示为不同角度三角函数的关系式。
其中最常用的诱导公式有以下几个：1. 正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ2. 余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ3. 正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)这些诱导公式非常有用，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而方便计算和分析。
二、正弦定理正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了一个三角形的边长和角度之间的关系。
对于任意三角形ABC，其三边长度分别为a、b和c，对应的内角为A、B和C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a/sinA表示边长a与角A对应的正弦比的比值，b/sinB和c/sinC同理。
正弦定理可以用来求解各种三角形问题，如已知三边长度求角度，已知两边和夹角求第三边长度等。
通过正弦定理，我们可以推导出许多有用的三角形性质和公式，从而在实际问题中应用。
结语三角函数的诱导公式和正弦定理是数学中不可或缺的重要内容。
它们的应用不仅仅局限于纯粹的数学领域，还涉及到物理、工程、地理等各个领域。
掌握了这些定理和公式，我们能更好地理解和解决与三角函数有关的问题。
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4.5正弦、余弦的诱导公式(一)
2 2
ssiinn(212s85i0no240o22）222532os4in0osin270o270os1in3(03s0i36on10s(i5no30） 0） o
2 3
2
sin5
sin
cos(180 ） cos
cos135o cos150o
cos120o 120o
1 2
2
2 135o
3 150o
例5．求值：
郑州市12中
sin 31 －cos 10 －sin 5
6
3
3
20
例6．求值： sin(-1200º)·cos1290º+ sin(-120º)+ cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º
新疆 王新敞
奎屯
21
例7．化简：
sin(3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) sin( )
cos(） cos tan(） tan
y
1D P
-1
BB
O
郑郑州州市市1122中中
x
1
P
-1
9
公式四：
用弧度制可表示如下：
sin(180 ） sin
cos(180 ） -cos tan(180 ） tan
sin( ） sin
cos( ） -cos
tan( ） tan
公式五：
sin(360 ） sin
左边 = 右边 ∴等式成立
32
例13求 cos2 ( ) cos2 ( )的值。
4
4
解：原式 cos2[ (
)] cos2 (
)
24
4
sin2 (
) cos2 (
cos和sin转换公式诱导公式
cos和sin转换公式诱导公式
cos和sin转换公式诱导公式：sinx=±√(1-cosx∧2)cosx=±√(1-sinx∧2)。
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。
诱导公式有六组，共54个。
奇变偶不变，符号看象限。
注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k ∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”。
三角函数诱导公式
三角函数诱导公式三角函数的诱导公式是指由基本三角函数sin(x)和cos(x)表示其他所有三角函数的关系式。
这些关系式可以通过一系列代数推导和几何推理得到，对于展开三角函数的各种复杂运算，诱导公式提供了一种简洁而有效的方法。
为了方便讨论，我们首先定义一个数θ，表示角度的大小。
对于角θ的正弦函数sin(θ)和余弦函数cos(θ)，可以在单位圆上定义。
首先，我们考虑正弦函数sin(θ)。
假设在单位圆上，以原点O为中心，并向右延长y轴上的线段OA，使得该线段的长度等于弧度θ。
那么点A的坐标可以表示为(Acos(θ), Asin(θ))。
沿着单位圆逆时针旋转弧长θ，我们可以得到下一个点B的坐标(Bcos(θ+π/2), Bsin(θ+π/2))。
同时，相邻两个点的连线AB的斜率为sin(θ)和cos(θ)。
现在我们来求解点B的坐标。
根据三角函数的诱导公式，我们有：sin(θ+π/2) = cos(θ)cos(θ+π/2) = -sin(θ)将sin(θ+π/2)代入点B的x坐标，我们可以得到：Bcos(θ+π/2) = B*(-sin(θ)) = -Bsin(θ)同样地，将cos(θ+π/2)代入点B的y坐标，我们可以得到：Bsin(θ+π/2) = B*cos(θ)所以，点B的坐标可以表示为(-Bsin(θ), Bcos(θ))。
我们可以进一步扩展这个推导过程，得到更多的诱导公式。
例如，如果我们在单位圆上逆时针旋转弧长θ的2倍，得到点C。
那么点C的坐标可以表示为(Ccos(2θ), Csin(2θ))。
根据三角函数的诱导公式，我们有：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)1.余弦函数的诱导公式cos(θ+π) = -cos(θ)2.正弦函数的诱导公式sin(θ+π) = -sin(θ)3.正切函数的诱导公式tan(θ+π) = tan(θ)4.余切函数的诱导公式cot(θ+π) = cot(θ)5.积分函数的诱导公式sec(θ+π) = -sec(θ)csc(θ+π) = -csc(θ)这些诱导公式通过将θ增加π个单位来得到，以此达到改变角度的目的。
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正、余弦函数的图象和性质检测题 总分１５０分
一、选择题（每小题5分，共50分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)3
2sin(2π
+=x y 的图象
（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于点（－6
π，0）对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x =6
π对称
2．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
（ ）
A ．]3,0[π
B ．]
127,12[ππ C ．]6
5,3[ππ
D ．],65[ππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ）
A ．12+a
B ．12-a
C ．12--a
D ．2
a
4．函数)2
5
2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）
A ．2
π-=x
B ．4
π-=x
C ．8
π
=
x
D ．π4
5=x
5．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是
（ ）
A ．3,1πϕω==
B ．3
,1π
ϕω-==
C ．6,21πϕω==
D ．6
,21π
ϕω-==
6．下列函数中，以π为周期的偶函数是
（ ）
A ．|sin |x y =
B ．||sin x y =
C ．)32sin(π
+
=x y D ．)2
sin(π
+=x y 7．如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=－8
π
对称，那么α的值为 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1 8．函数y=2cos 2x +1(x ∈R )的最小正周期为
（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 9．已知函数1)2
sin()(--=π
πx x f ，则下列命题正确的是
（ ）
A ．)(x f 是周期为1的奇函数
B ．)(x f 是周期为2的偶函数
C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数
D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数
10．函数x x y cot cos +-=的定义域是
（ ）
A ．]23,[ππππ+
+k k
B ．]2
3
2,2[ππππ++k k
C ．2
2]232,2(π
πππππ+=++k x k k 或 D ．]232,2(ππππ++k k
二、填空题（每小题5分，共25分，答案填在横线上） 11．已知函数)0(sin 21>+=A A
x y π
的最小正周期为3π，则A= . 12．在0≤x ≤
2
π
条件下，则y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值为 13．已知方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 14．函数y ＝
2
cos 1
cos 3++x x 的值域是__________ ______________.
15．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]
2
,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(
π
f 的值为 三、解答题（本大题共75分，16—19题每题12分，20题13分，21题14分）
16．已知函数)(32
5
cos 35cos sin 5)(2
R x x x x x f ∈+
-⋅= （1）求)(x f 的最小正周期;（2）求)(x f 的单调区间; （3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心.
1
0 y
x 3
π
- 3
2π
17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω． （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
18．已知函数y ＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x. x ∈R ． (1)求函数的最小正周期．
(2)函数的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象经过怎样的变换得出？
19．已知函数y ＝a －b sin （4x －3
π
）（b >0）的最大值是5，最小值是1，求a ，b 的值.
20．函数f(x)＝1―2acosx ―2a ―2sin 2x 的最小值为g(a)，(a ∈R)．求： (1)g(a)；
(2)若g(a)＝1
2，求a 及此时f(x)的最大值．
21．已知函数f （x ）=2a sin （2x －
3π）+b 的定义域为［0，2
π］，值域为［－5,1］，求a 和b 的值．
答案
一、选择题
1．B 2．C3．B 4．C 5．C6．A7．D 8．B 9．B10．C 二、填空题
11．2
312．23 13．43 14．)4,4[- 15．－2≤y ≤3
4
三、解答题
16．解析： （1）T=π；
（2）)(]125
,12[x f k k 为πππ
π+
-
的单增区间，
)(]12
11
,125[x f k k 为ππππ++的单减区间；
（3）对称轴为,.26
k x k Z ππ
=+∈
17． 解析：（Ⅰ）由图示知，这段时间的最大温差是
201030=-（C
）………2分
（Ⅱ）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴
614221-=⋅ωπ，解得8
π
ω=………5分 由图示，10
)1030(2
1
=-=
A
20)1030(2
1
=+=b ………7分
这时20)8
sin(
10++=ϕπ
x y
将6=x ，10=y 代入上式，可取4
3π
ϕ=………10分 综上，所求的解析式为
20)4
38sin(10++=π
πx y ，]14,6[∈x ．………12分
18．y ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2sin(2x ＋π
4)＋2．
(1)T ＝π，
(2)将y ＝2sin2x 的图象向左平移π
8
个长度单位，再向上平移2个单位长度即得．
19．解析： 由y ＝a －b sin （4x －
3
π
）的最大值是5，最小值是1及b >0知： ⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧=+=-23
51b a b a b a 解得 20．解：f(x)＝2cos 2
x ―2acosx ―2a ―1＝2(cosx ―a 2)2―a 2
2
―2a ―1．
(1)当a
2
＜－1即a ＜－2时．g(a)＝1 . (此时cosx ＝－1)．
当－1≤a 2≤1即－2≤a ≤2时．g(a)＝―a 22―2a ―1． (此时cosx ＝a
2)．
当a ＞2时，g(a)＝2―2a ―2a ―1＝1－4a ． (此时cosx ＝1)． ∴g(a)＝⎩
⎨⎧1．(a ＜－2)
―a 2
2―2a ―1 (―2≤a ≤2)1－4a (a ＞2)．
．
(2)∵g(a)＝1．显然a ＜－2和a ＞2不成立．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧―a 2
2―2a ―1＝12．
－2≤a ≤2． ⇒a ＝－1或－3(舍)．
∴f(x)＝2cos 2x ＋2cosx ＋1＝2(cosx ＋12)2＋12．
∴当cosx ＝1时，f(x)max ＝5．
21．解析： ∵0≤x ≤
2
π, ∴－
3π≤2x －3π≤π－3π=32π. ∴－23≤sin （2x －3
π）≤1.
当a >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.5312b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.312233612b a
当a <0时，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,135
2b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.
312193612b a。