第五讲_巧求表面积详解

• 一共锯了：2＋3＋4＝9（次）
• 共增加了1×2×9＝18（平方米）的表面。
• 因此，这大大小小的60块的小长方体的表 面积的和是
•
6＋18＝24（平方米）
• 答：这60块长方体的表面积的和为24平方 米。
如果被锯的不是正方体而是长方体又会 怎么样？我们看下面的问题
应用举例（三）简单立体图形的 拆分后的表面积变化
• 3、竖直、平行于左右面
1、增加了两 个上下面
2、增加了两 个前后面
3、增加了两 个左右面
写出解答过程
• 解：原来长方体的表面积是 • (10×8＋10×5＋8×5) ×2＝340（平方厘米） • 1、沿水平方向锯成两块后的表面积的和是 • 340＋10×8×2340＋160＝500（平方厘米） • 2、沿竖直平行于前后面锯成两块后的表面积的和
例2 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在 正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正 中向下挖一个棱长为0.5厘米的正方体小洞， 第三个正方体小洞的挖法与前两个相同， 棱长为0.25厘米。那么最后得到的立体图 形的表面积是多少平方厘米？
上下方向： 2个边长为2厘米的正方形的面积；
侧面： 边长为2厘米的4个正方形的面积和 边长为1厘米的4个正方形的面积和 边长为0. 5厘米的4个正方形的面积和 边长为0.25厘米的4个正方形的面积和
解：平行于上下表面的各面面积之和： 2×2×2=8（平方厘米）
侧面： 2×2×4=16（平方厘米） 1×1×4=4（平方厘米）
0.5×0.5×4=1（平方厘米）
• 例4 如图，一个正方体的木 块，棱长为1米，沿着水平方 向将它锯成3片，每片又按任 意尺寸锯成4条，每条又按任 意尺寸锯成5小块，共得到大 大小小的长方体60块，如下 图。问这60块长方体表面积 的和是多少平方米？
• 解：这个正方体的每个表面面积都是1平方 米，每锯一次，就增加两个1平方米的表面，
是 340＋10×5×2＝440（平方厘米） • 3、沿竖直平行于左右面锯成两块后的表面积的和
是 340＋8×5×2＝420（平方厘米）
应用举例（四）简单立体图形 组合后的表面积变化
• 例6 将两个边长为1的正方体拼接组合成一个长 方体后，表面积是多少？
• 如果是3个小正方体拼合呢？4个、8个呢？
我们还从上下、
左右和前后六个 方向观察这个立 体图形
上下面
左右面
前后面
• 解：上下面的面积都是9平方厘米， • 左右面的面积都是8平方厘米， • 前后面的面积都是10平方厘米。 • 因此，这个立体图形的表面积是 (9＋8＋10)×2＝54 (平方厘米)
应用举例（三）简单立体图形的 拆分后的表面积变化
应用举例（一）简单组合
• 例1、如图，在一 个棱长为5分米的 正方体上放一个棱 长为4分米的小正 方体，求这个立体 图形的表面积。
• 解法（一）将棱长为4分米的小正 方体放上后，
• 总的表面积减少了小正方体的两 个面，
• 所以，这个立体图形的表面积是 • 5×5×6＋4×4×6－4×4×2 • ＝150＋96－32 • ＝214 （平方分米）
第五讲 巧求表面积
我们在小学里遇到的立体图形主要是 长方体和正方体，他们的特点都是可以 从六个方向去看，表面积是上下、左右 和前后六个面的平面图形面积的总和。 所以，我们在解决此类问题时常常利用 这种方法和思路。
回顾基本知识
• 长方体的表面积＝(ab+ah+bh) ×2 • 即 （长×宽＋长×高＋宽×高）×2 • 正方体的表面积＝6a2 • 即 棱长×棱长×6
0.25×0.25×4=0.25（平方厘米）
这个立体图形的表面积为： 8＋16＋4＋1＋0.25 =29.25 （平方厘米）
答：这个立体图形的表面积为29.25平方厘米。
Βιβλιοθήκη Baidu用举例（二）不规则组合
• 例3、把19个棱长为 1厘米的正方体重叠 咋一起，按右图的 方式拼成一个立体 图形，求这个立体 图形的表面积
这时长方体的表面积为： （10×9＋10×8＋9×8）×2=484（平方厘米） 答：码放后得到的这个长方体的表面积为484 平方厘米。
例5 如图，长方体的长为10厘米，宽为8厘米， 高为5厘米，
• 1、如果沿水平方向将它锯成两块，两块的 表面积一共是多少平方厘米？
• 2、如果沿竖直方向锯成两块又会是多少？
我们看看三种锯法的结果
长10厘米宽8厘米高5厘米
• 1、水平
也就是每切割一次，
•
2、竖直、平行于前后面
就会增加与切割面平 行的两个表面
对于8个小正方体，你认为拼成怎样的立 体图形的表面积最小
我们发现：
1、拼合后表面积会减少；
2、拼合成正方体时，表面 积最少。
例7 有一些棱长是1厘米的正方体，共 1993个，要拼成一个大长方体，问表面 积最小是多少？
解：因为1993是一个质数，所以这1993个 正方体只能摆成长1993厘米、宽1厘米、高 1厘米的长方体，
因此这个长方体的表面积为： 1993×1×4＋1×1×2=7974（平方厘米） 答：摆成的大长方体表面积最小是7974 平方厘米。
例8 用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的 长方体码放成一个表面积最小的长方体，码 放后得到的这个长方体的表面积是多少？
解：12=22×3，长、宽、高应尽量接近，则 是720立方厘米=8（厘米）×9（厘米） ×10（厘米），并且有5×2=10（厘米）， 4×2=8（厘米），3×3=9（厘米）。
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简单应用
1、一个长方体的长、宽、高分别是6、5、4 厘米，它的表面积是 148 平方厘米； • 2、如果一个正方体的棱长是5厘米，那么它 的表面积是 150 平方厘米； • 3、一个长方体的长为10厘米，宽为8厘米， 表面积是376平方厘米，它的高是 6 厘米； • 4、一个正方体的表面积是294平方厘米，它 的棱长是 7 厘米。
• 解法（二）我们从上下、左右和前后六个 方向看这个立体图形可知：
• 上下方向：是大正方体的两个底面； • 侧面：大小正方体的四个侧面。 • 解：上下方向：5×5×2＝50 • 侧面：5×5×4＋4×4×4＝100＋64＝164 • 所以，这个立体图形的表面积是 • 50＋164＝214
上面 下面 左面 右面 前面 后面