第五组回溯算法(硬币分配问题)
动态规划之硬币组合问题
动态规划之硬币组合问题问题：如果我们有⾯值为1元、3元和5元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够11元？动态规划的本质是将原问题分解为同性质的若⼲相同⼦结构，在求解最优值的过程中将⼦结构的最优值记录到⼀个表中以避免有时会有⼤量的重复计算。
例如硬币组合问题，若求凑够11元的最少硬币数，可以先从凑够0元、1元、2元……的⼦结构开始分析。
假设d(i)为凑够i元所需最少硬币数，则d(0) = 0 理所当然d(1) = 1 要凑够1元，需要从⾯值⼩于等于1元的硬币中选择，⽬前只有⾯值为1元的硬币 此时d(1) = d(0) + 1d(2) = d(2 - 1) + 1 = 2，从⾯值⼩于等于2元的硬币中选择，符合要求的硬币⾯值为：1元。
此时d(2) = d(2-1) + 1d(3) = d(3 - 3) + 1 = 1，从⾯值⼩于等于3元的硬币中选择，符合要求的硬币⾯值为：1元，3元。
此时有有两种选择：是否选择含有⾯值3元的硬币 含有3元硬币：d(3) = d(3 - 3) + 1 = 1 不含3元硬币：d(3) = d(3 - 1) + 1 = d(2) + 1 = 3 ⾃然是选择⼆者中较⼩值依次类推...就该问题总结⼀下，随着要凑够钱数的增加：1.⾸先要知道所有不⼤于该钱数的⾯值，2.对于每种⾯值的硬币，求出当选择⼀个该⾯值的硬币时所需的硬币数当选择⼀个硬币后，所需硬币数+1，所要凑够的钱数=原所要凑的钱数-该硬币⾯值，所要凑够的钱数减少，求减少后要凑钱数最少所需硬币数，属于原问题的⼦结构，已求出解3.在上述求出的结果集中，选择最⼩值，即为要凑够该钱数所需的最少硬币数由此可以看出，每个问题的最优值都是借其⼦结构的最优值得到的。
⽽该算法的最⼩的⼦结构的最优解是已知的，即：当要凑钱数为0元时，最少需要0枚硬币。
利⽤这个最⼩的⼦结构，通过递推式便可求出所指定值凑够钱数的最优值上⾯所提到的递推式，便是状态转移⽅程。
回溯法的几种算法框架
回溯法的几种算法框架回溯法是一种经典的求解问题的算法框架，通常用于解决组合优化、搜索和排列问题。
下面将介绍回溯法的几种常见算法框架。
1. 全排列问题：全排列问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的排列方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
首先选择一个初始位置，然后从剩余的数字中选择下一个位置，依次类推，直到所有位置都被填满。
当所有位置都填满时，得到一个排列。
随后继续回溯，在上一次选择的位置后面选择下一个数字，直到得到所有的排列。
2. 子集问题：子集问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的子集。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，可以选择将其添加到当前正在构建的子集中，也可以选择跳过。
递归地遍历所有可能的选择路径，直到得到所有的子集。
3. 组合问题：组合问题是指在给定的一组数字或字符中，取出若干个元素进行组合，求解出所有不重复的组合方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，将其添加到当前正在构建的组合中，然后以当前选择元素的下一个位置为起点，递归地构建后续的组合。
如果当前组合已经满足条件或者已经遍历完所有可能的位置，则回溯到上一次选择的位置，继续尝试其他可能的选择。
4. 搜索问题：搜索问题是指在给定的搜索空间中，找到满足特定条件的解。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从初始状态开始，选择一个操作或移动方式，然后递归地探索所有可能的状态转移路径。
每次探索时，进行剪枝操作，排除一些不符合条件的状态。
当找到满足条件的解或搜索空间遍历完时，回溯到上一次选择的位置，继续探索其他可能的路径。
总结：回溯法是一种求解问题的经典算法框架，适用于组合优化、搜索和排列问题。
通过选择和回溯的方式，可以遍历所有可能的解空间，并找到满足特定条件的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的算法框架和相应的优化策略，以提高算法的效率和准确性。
典型的回溯算法问题
典型的回溯算法问题一、购票问题有2n个人排队购一件价为0.5元的商品，其中一半人拿一张1元人民币，另一半人拿一张0.5元的人民币，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，问这2n个人应该如何排队？找出所有排队的方案。
（售货员一开始就没有准备零钱）分析：（1）根据题意可以看出，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，则在排队中，应该是任何情况下，持0.5元的排在前面的人数多于持1元的人数。
（2）该问题可以用二进制数表示：用0表示持0.5元的人，用1表示持1元的人，那么2n个人排队问题化为2n个0、1的排列问题。
这里我们用数组B[1..2n ] 存放持币情况。
（3）设k是B数组下标指针，B[K]=0或B[K]=1，另用数组d[0]、d[1]记录0与1的个数，且必须满足：n >d[0]>=d[1]。
（4）算法：回溯搜索。
（a）先将B[1]、B[2]、……B[2n]置-1，从第一个元素开始搜索，每个元素先取0，再取1，即B[K]+1→B[K]，试探新的值，若符合规则，增加一个新元素；（b）若k<2n，则k+1→k，试探下一个元素，若k=2n则输出B[1]、B[2] ……，B[2n]。
（c）如果B[K]的值不符合要求，则B[K]再加1，试探新的值，若B[K]=2，表示第k 个元素的所有值都搜索过，均不符合条件，只能返回到上一个元素B[K-1]，即回溯。
（d）返回到上一个元素k：=k-1 ，并修改D[0]、D[1]。
（5）直到求出所有解。
二、骑士游历问题在n×n的国际象棋上的某一位置上放置一个马，然后采用象棋中“马走日字”的规则，要求这个马能不重复地走完 n×n个格子，试用计算机解决这个问题。
分析：本题是典型的回溯算法问题，设骑士在某一位置，设(X,Y )，按规则走，下一步可以是如图 ( n=5 ) 所示的8个位置之一。
我们将重点考虑前进的方向：如果某一步可继续走下去，就试探着走下去且考虑下一步的走法，若走不通则返回，考虑另选一个位置。
五大常用算法回溯算法
五大常用算法回溯算法一、回溯算法的概述回溯算法是一种常用的解决问题的算法，通常用于解决组合优化问题，如排列、组合、子集等问题。
回溯算法通过不断地尝试可能的解，直到找到问题的解或者确定不存在解为止。
它的核心思想是通过递归实现穷举，然后进行剪枝，以提高效率。
回溯算法主要包含以下五个步骤：1.选择：在每一步中，可以根据条件选择一个或多个可能的路径。
2.约束：根据问题的约束条件，限制可选择的路径。
3.：以递归的方式进行，尝试所有可能的解。
4.判断：在的过程中，判断当前路径是否符合问题的要求，如果符合则接受，否则进行回溯。
5.取消选择：在判断出当前路径不符合要求时，撤销当前选择，回到上一步继续尝试其他可能的选择。
回溯算法的优缺点：优点：1.简单直观：回溯算法的思路清晰，易于理解和实现。
2.灵活性高：回溯算法适用于各种问题，没有固定的限制条件，可以根据具体问题进行调整。
3.扩展性好：回溯算法可以通过剪枝策略提高效率，并且可以和其他算法结合使用。
缺点：1.效率低：回溯算法通常需要穷举所有的可能解，因此在处理大规模问题时效率较低。
2.可能的重复计算：由于回溯算法会尝试所有可能的解，所以有可能会产生重复计算的问题。
二、回溯算法的应用回溯算法在许多实际问题中都有应用，包括但不限于以下几个领域：1.组合求解：回溯算法可以用来求解排列、组合、子集等问题。
例如，在给定一组数字的情况下，找到所有可能的组合，使其和等于给定的目标值。
2.图的：回溯算法可以用来解决图的遍历问题，如深度优先、广度优先等。
例如，在给定一张无向图的情况下，找到从起点到终点的路径。
3.数独游戏：回溯算法可以用来解决数独游戏。
数独是一种逻辑类的游戏，在一个9×9的网格中填入1-9的数字，要求每行、每列、每个3×3的子网格都包含1-9的数字，且不能重复。
4.八皇后问题：回溯算法可以用来解决八皇后问题。
八皇后问题是在一个8×8的棋盘上放置八个皇后，要求每行、每列、每个对角线上都不能有两个皇后。
动态规划基础之硬币问题
动态规划基础之硬币问题 动态规划是⼀种算法思想，可以简单解释为将复杂问题分解为许多个⼦问题，在⽆后效性的前提下⼀⼀解决，最后得到原复杂问题的最优解。
1.最少硬币问题 有n种硬币，⾯值为v1,v2,....vn，数量⽆限。
输⼊⾮负整数s，选⽤硬币，使其和为s。
输出最少硬币的组合的数量。
易得其状态转移⽅程为ans[i]=min(ans[i],ans[i-v[j]]+1) (j=1,2...n)其中ans[i]表⽰硬币之和，v[j]表⽰硬币种类，此题本质为背包问题。
2.打印最少硬币的组合 把dp的代码改为：if(ans[i]>ans[i-v[i]]+1){//⽤的硬币变了ans_path[i]=v[i]; //在每个⾦额上记录路径，即某个硬币的⾯值ans[i]=ans[i-v[i]]+1; //递推式} 3.所有硬币组合 有n种硬币，⾯值为v1,v2,....vn，数量⽆限。
输⼊⾮负整数s，选⽤硬币，使其和为s。
输出所有可能的硬币组合的数量。
其状态转移⽅程为dp[i]+=dp[i-v[j]] (j=1,2,3,...n) 例题Coin ChangeTime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 34000 Accepted Submission(s): 12212Problem DescriptionSuppose there are 5 types of coins: 50-cent, 25-cent, 10-cent, 5-cent, and 1-cent. We want to make changes with these coins for a given amount of money.For example, if we have 11 cents, then we can make changes with one 10-cent coin and one 1-cent coin, or two 5-cent coins and one 1-cent coin, or one 5-cent coin and six 1-cent coins, or eleven 1-cent coins. So there are four ways of making changes for 11 cents with the above coins. Note that we count that there is one way of making change for zero cent.Write a program to find the total number of different ways of making changes for any amount of money in cents. Your program should be able to handle up to 100 coins.InputThe input file contains any number of lines, each one consisting of a number ( ≤250 ) for the amount of money in cents.OutputFor each input line, output a line containing the number of different ways of making changes with the above 5 types of coins.Sample Input11 26Sample Output4 13 此题与3的区别在于硬币的数量有限，这就需要建⽴第⼆个维度来存储硬币的数量这个状态了。
硬币问题-动态规划详解
硬币问题-动态规划详解基本动态规划之硬币问题问题描述假设有 1 元，3 元，5 元的硬币若⼲（⽆限），现在需要凑出 11 元，问如何组合才能使硬币的数量最少？问题分析乍看之下，我们简单的运⽤⼀下⼼算就能解出需要 2 个 5 元和 1 个 1 元的解。
当然这⾥只是列出了这个问题⽐较简单的情况。
当硬币的币制或者种类变化，并且需要凑出的总价值变⼤时，就很难靠简单的计算得出结论了。
贪⼼算法可以在⼀定的程度上得出较优解，但不是每次都能得出最优解。
这⾥运⽤动态规划的思路解决该问题。
按照⼀般思路，我们先从最基本的情况来⼀步⼀步地推导。
我们先假设⼀个函数d(i)来表⽰需要凑出i的总价值需要的最少硬币数量。
1. 当i = 0时，很显然我们可以知道d(0) = 0。
因为不要凑钱了嘛，当然也不需要任何硬币了。
注意这是很重要的⼀步，其后所有的结果都从这⼀步延伸开来。
2. 当i = 1时，因为我们有 1 元的硬币，所以直接在第 1 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出d(1) = 1。
3. 当i = 2时，因为我们并没有 2 元的硬币，所以只能拿 1 元的硬币来凑。
在第 2 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出d(2) = 2。
4. 当i = 3时，我们可以在第 3 步的基础上加上 1 个 1 元硬币，得到3这个结果。
但其实我们有 3 元硬币，所以这⼀步的最优结果不是建⽴在第 3 步的结果上得来的，⽽是应该建⽴在第 1 步上，加上 1 个 3 元硬币，得到d(3) = 1。
5. ...接着就不再举例了，我们来分析⼀下。
可以看出，除了第 1 步这个看似基本的公理外，其他往后的结果都是建⽴在它之前得到的某⼀步的最优解上，加上 1 个硬币得到。
得出：d(i) = d(j) + 1这⾥j < i。
通俗地讲，我们需要凑出i元，就在凑出j的结果上再加上某⼀个硬币就⾏了。
那这⾥我们加上的是哪个硬币呢。
嗯，其实很简单，把每个硬币试⼀下就⾏了：1. 假设最后加上的是 1 元硬币，那d(i) = d(j) + 1 = d(i - 1) + 1。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种通过不断尝试和回退的方式来进行问题求解的算法。
它的基本思想是在过程中，当发现当前的选择并不符合要求时，就进行回退，尝试其他的选择，直到找到符合要求的解或者遍历完所有可能的选择。
回溯算法通常用于问题求解中的和排列组合问题，比如求解八皇后问题、0-1背包问题、数独等。
下面将介绍几个常用的回溯算法实例。
1.八皇后问题：八皇后问题是指在一个8×8的国际象棋棋盘上，放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。
可以通过递归的方式依次尝试每一行的位置，并判断当前位置是否满足条件。
如果满足条件，则进入下一行尝试；否则回溯到上一行，并尝试其他的位置，直到找到解或遍历完所有的可能。
2.0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定一组物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的重量和价值，求解在不超过背包容量时，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
可以通过递归的方式依次考察每个物品，并判断是否选择当前物品放入背包。
如果放入当前物品，则背包容量减小，继续递归考察下一个物品；如果不放入当前物品，则直接递归考察下一个物品。
直到遍历完所有物品或背包容量为0时，返回当前总价值。
3.数独问题：数独是一种通过填充数字的方式使得每一行、每一列和每一个九宫格内的数字都满足一定条件的谜题。
可以通过递归的方式依次尝试填充每一个空格，并判断当前填充是否符合条件。
如果符合条件，则继续递归填充下一个空格；如果不符合条件，则回溯到上一个空格，并尝试其他的数字，直到找到解或遍历完所有的可能。
回溯算法的时间复杂度一般较高，通常为指数级别。
因此，在实际应用中，可以结合剪枝等优化策略来提高算法的效率。
此外，回溯算法也可以通过非递归的方式进行实现，使用栈来存储当前的状态，从而避免递归带来的额外开销。
总之，回溯算法是一种非常有效的问题求解方法，通过不断尝试和回退，可以在复杂的空间中找到符合要求的解。
硬币找零 状态转移方程
硬币找零状态转移方程硬币找零是一个经典的问题，常常出现在数学和算法的学习中。
其背后涉及到状态转移方程的应用，通过寻找最优解来解决问题。
本文将围绕硬币找零的状态转移方程展开讨论，从问题的背景、定义和求解方法等方面进行详细阐述。
一、问题背景硬币找零是指在购买商品时，支付的金额超过了商品的价格，需要找零。
一般情况下，我们使用的硬币有不同面值，如1元、2元、5元等。
当找零金额较大时，我们希望使用最少的硬币数量来完成找零操作，以节省时间和劳力。
二、问题定义硬币找零问题可以定义为：给定一个要找零的金额和一组硬币的面值，找出能够组合成该金额的最少硬币数量。
三、求解方法为了解决硬币找零问题，我们可以使用动态规划的方法，其中关键在于建立状态转移方程。
下面，我们将详细介绍求解硬币找零问题的步骤。
1. 确定状态我们需要确定问题的状态。
在硬币找零问题中，状态可以定义为“要找零的金额”。
例如，当要找零的金额为10元时，我们可以将其记为状态10。
2. 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态转移方程。
状态转移方程描述了状态之间的转移关系。
在硬币找零问题中，我们可以使用以下状态转移方程：dp[i] = min(dp[i - coin] + 1)，其中dp[i]表示要找零金额为i 时所需的最少硬币数量，coin表示硬币的面值。
3. 初始化状态在使用动态规划求解问题时，我们需要初始化状态。
对于硬币找零问题，我们可以将dp[0]初始化为0，表示要找零金额为0时不需要任何硬币。
4. 确定计算顺序在使用动态规划求解问题时，我们需要确定计算的顺序。
对于硬币找零问题，我们可以从小到大依次计算每个状态的最优解。
具体而言，我们可以从状态1开始，一直计算到状态n，其中n为要找零的金额。
5. 求解最优解通过以上步骤，我们可以得到要找零的金额为n时所需的最少硬币数量。
这是因为在计算每个状态的最优解时，我们已经记录了每个状态的最优解所需的硬币数量。
四、举例说明为了更好地理解硬币找零问题的求解过程，我们举一个具体的例子来说明。
【高考数学】专题28 硬币问题(解析版)
专题28硬币问题例1．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到()*n n ∈N 分的概率.【解析】（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323n n P P --=--． 于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n+-．例2．棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P 、100P 的值. 【解析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n nP P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 例3．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第n 代的遗传设想为第n 次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa 的父本来说，如果抛出正面就选择因子A ，如果抛出反面就选择因子a ，概率都是12，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 在父本和母本中以同样的比例()::1u v w u v w +++出现，则在随机杂交试验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+，遗传因子a 被选中的概率是2vq w =+，称p 、q 分别为父本和母本中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa （或aA ），aa 的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为AA ，Aa （或aA ）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，a 被选中的概率为q ，其中p 、q 为定值且1p q +=，求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占的比例1u ，1v ，1w ；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除aa 的个体.假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占的比例分别为：n u ，n v ，()1n n n n w u v w ++=，设第n 代遗传因子A 和a 的频率分别为n p 和n q ，已知有以下公式21n n n n v u p w +=-，21nnnv q w =-，1,2n =⋅⋅⋅ （ⅰ）证明1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （ⅱ）求1n u +，1n v +，1n w +的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？ 【解析】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是Aa ，故子代的遗传性状有：AA ，Aa ，aA ，aa ，共4种，故AA ，Aa （或aA ），aa 的概率分别是14，12，14. （2）由题可得，21u p =，12v pq =，21w q =； （3）由（2）知，21n n u p +=，12n n n v p q +=，21n n w q +=，∴()()1121/211111n n n n n n n n n n n nv p q p q qq w q q q q +++====---++，则1111n nq q +=+，∴1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列： ()1111n n q q =+-，其中11212111v pq q q w q q===--+， ∴11n n q q =+，1n q q nq =+，于是2211n n q w q nq +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 11n n p nq p q nq +=-=+，2211n n p nq u p nq +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，()()12221n n n p p nq v p q nq ++==⋅+， 对于211n q w nq +⎛⎫=⎪+⎝⎭，n越大，1n w +越小，所以这种实验长期进行下去，n w 越来越小，而n w 是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失. 例4．某游戏棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平. 【解析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()13319345688882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况： 由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ； 可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -. 所以，111122n n n P P P +-=+. 同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为9998971122P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009812P P =.所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.例5．甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢m (常数1m )次就获胜，而乙要再赢n (常数n m >)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行ξ次抛币，游戏结束.（1）若2m =，3n =，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()()2,3,,1P m k k m ξ=+=⋅⋅⋅+的最大值(用m 表示). 【解析】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，()()()33123311113422228P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=.（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅()2,3,,1k m =⋅⋅⋅+.设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦.而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦≥+++-⎡⎤⎣⎦(*) ()()()32221220k m k m k m m m ≤⇔-++---- ()()2220k m k k m m ≤⇔--+--.(#)因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<(显然在*1,m m >∈N 时恒成立)，所以2220k k m m -+-->.又因为k m ≤，所以(#)恒成立，从而(*)成立. 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)，所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅.例6．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量.当8Z ≥时，产品为优等品；当68Z ≤<时，产品为一等品；当26Z ≤<时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z 的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望；（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，机器人向前移动两格（从k 到2k +），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第n 格的概率为()*050,N n P n n ≤≤∈，试证明{}()*1149,N nn P P n n --≤≤∈是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品. 【解析】（1）根据条形图可知，优等品的频率为121874215002++=，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为12P =. （2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为12， 由题意()1600100080250447000X =-⨯-⨯=，或()1500100080250439000X =-⨯-⨯= ()444344115470002216P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()444012444111113900022216P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为：所以数学期望4700039000415001616EX =⨯+⨯=. （3）机器人在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率112P =.机器人移到第()249n n ≤≤格的情况只有两种：①先到第2n -格，又出现反面，其概率212n P -， ②先到第1n -格，又出现正面，其概率112n P -.所以121122n n n P P P --=+，故()11212n n n n P P P P ----=--所以149n ≤≤时，数列{}1n n P P --为首项1012P P -=-， 公比为12-的等比数列.所以1012P P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式累加，得121111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()12111121110,1,,4922232n n n P n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=--=⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以获胜概率5050492121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 失败概率49495048111111123232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦50485049492111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以获胜概率更大， 故此方案能吸引顾客购买该款产品.例7．时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式. （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件12A A 相互对立并且()()01,2i P A i >=，则对任一事件B 有112212()()()()()()()P B P B A P A P B A P A P A B P A B =+=+.设*()n P n N ∈表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用1n p -表示()2n p n ≥；②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由. 【解析】解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，666601236666111121(4)222232P C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11(4)1(4)32P P ξξ=-<=. 由已知随机变量X 的可能取值为1，2，3；1121231(1)(4)(4)32321024P X P P ξξ==⋅<=⨯=； 2121441(3)(4)(4)32321024P X P P ξξ==<⋅<=⨯=；352(2)1(1)(3)1024P X P X P X ==-=-==或21111111352(2)(4)(4)(4)(4)323232321024P X P P P P ξξξξ==<⋅+⋅=⨯+⨯=，所以随机变量X 的分布列为（2）①设1n A -表示事件“第1n -天王先生选择的是骑自行车出行方式”，n A 表示事件“第n 天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知()()()()1111()n n n n n n n n p P A P A A P A P A A P A ----==+∣∣()111511(4)1(4)1632n n n p P p P p ξξ---=⋅<+-⋅=+，即1511(2)1632n n p p n -=+. ②由①知1151,22162n n p p n -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11p =，所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为516的等比数列，所以11115151,22162162n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为1151121622n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.例8．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X ． （1）求随机变量X 的分布列；（2）若随机变量21Y X =+，求随机变量Y 均值、方差． 【解析】随机变量X 的取值可以为0，1，2．211(0)24P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()212111C 22P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；22211(2)C 24P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；．因此，随机变量X 的分布列为：（2）由（1）知1110121424EX =⨯+⨯+⨯=．()()()22211110111214242DX =-⨯+-⨯+-⨯=． ∴()()()21213E Y E X E X =+=+=， ∴()()()2142D Y D X D X =+==.例9．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列. 【解析】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12， 则4142444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C =====⨯===⨯=， 3444441111(7)(),(8)()24216P X C P X C ==⨯===⨯=.所以变量X 的分布列为：故变量X 的数学期望为11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113()224Q =+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，故3n ≥且*N n ∈时，有121122n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，211122n n n Q Q Q ++=+，所以1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111()222222n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=+-=-+=--=-， 121311424B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.例10．某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制.已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为12，否则其获胜的概率为13. （1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记X 为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【解析】（1）若甲获得发球权，则获胜的概率为111224⨯=，如果甲没有发球权， 则获胜的概率为111236⨯=，所以甲获胜的概率为1154612+=. （2）比赛结束时甲的总得分X 的可能取值为0，3，6，9.X 0=时，比赛的结果为：“乙乙乙”，∴2111(0)3226p X ==⋅⋅=3X =时，比赛的结果为：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，“乙乙甲乙”，∴1211212121125(3)33223232322318p X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 6X =时，比赛的结果为：“甲甲乙乙乙”，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙”，“乙甲甲乙乙”，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”， ∴11211121211211221121(6)33322332323322332332p X ==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+ 212122111213323233223354⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=. 9X =，∴151317(9)16185454p X ==---=.X 的分布列为15131746()036961854549E X =⋅+⋅+⋅+⋅=. 例11．有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得()x x N +∈分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为,ξη. （1）一轮游戏后，求3η>的概率；（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望17132E η=，要使得甲的数学期望17132E ξ>，求x 的最小值. 【解析】抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为12， （1）由游戏规则可知：3η≥且每次抛币得分为1分的概率均为12， 则311(3)28P η⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则17(3)1(3)188P P ηη>=-==-=；（2）记(1,2,3)i i ξ=分别表示甲乙第i 次抛币的得分， 由题意，甲第一次得分为x ， 甲第二次得分分布列：274E ξ=甲第三次得分分布列：33116E ξ=∴12373117141632E E E E x ξξξξ=++=++>，∴5332x >，∵x N +∈，∴x 的最小值为2 法二：ξ可能取值为2x +，3x +，4x +，6x +，7x +，8x +ξ的分布列为591711632E x ξ=+>，∴5332x >，∵x N +∈，∴x 的最小值为2.例12．有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为32.小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币.（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ζ表示小华抛得正面的个数，求ζ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率. 【解析】（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”， B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”， 则313221212)312121()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=A P , =）（B P 1253121212)322121(=⨯⨯+⨯⨯⨯，则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为36512531)()(=⨯==B P A P AB P ）（. （2）由题意ξ的取值为3,2,1,0，且1213121210=⨯⨯==）（ξP ； 311==）（ξP ；1252==）（ξP ；613221213=⨯⨯==）（ξP .所求随机变量ξ的分布列为数学期望.3561312523111210)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为2222)3()2()1()0(=+=+=+==ξξξξP P P P C P ）（= 7223)61()125()31()121(2222=+++ 所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为7223. 例13．甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场先掷。
第五组回溯算法(硬币分配问题)
实训一硬币分法问题的回溯算法与实现一、设计目的1）掌握硬币分法问题的回溯算法；2）进一步掌握回溯算法的基本思想和算法设计方法；二、设计内容1．任务描述1）算法简介回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有符合位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。
回溯算法说白了就是穷举法。
不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
2）硬币分法问题简介假设有5种硬币：50美分，25美分，10美分，5美分和1美分。
我们给一定数量的资金，要求这些硬币作出变化。
例如，如果我们有11美分，那么我们可以给出一个10美分的硬币和一个1美分硬币，或者2个 5美分的硬币和一个1美分硬币，或者一个5美分硬币和6个 1美分的硬币，或11个1美分硬币。
因此，有四个使上述11美分硬币的变化方式。
编写一个程序来查找，作出任何不同数额的美分方式改变的总数。
5.概率题 五个硬币 算法题
概率题：五个硬币算法题1. 背景介绍在概率论和统计学中，概率是研究随机事件发生可能性的一种数学工具。
概率题在日常生活和工作中有广泛的应用，例如在拼购物车、赌场和保险领域等。
而硬币问题是概率论中的经典问题之一，涉及到了概率计算和逻辑推理。
2. 问题描述现在有5枚硬币，其中有3枚是正面向上，2枚是反面向上。
现在随机选择一枚硬币，投掷十次，问：投掷结果为正面向上的概率是多少？3. 算法推导我们假设选中的硬币为A。
根据题目描述，选中硬币A的概率为3/5，选中硬币B的概率为2/5。
接下来，我们需要计算投掷结果为正面向上的概率。
假设选中的硬币A，那么投掷结果为正面向上的概率为1/2；假设选中的硬币B，那么投掷结果为正面向上的概率为1/2。
投掷结果为正面向上的总概率为：P(正面向上) = P(选中硬币A) * P(正面向上|A) + P(选中硬币B) *P(正面向上|B)= (3/5) * (1/2) + (2/5) * (1/2)= 3/10 + 1/5= 1/24. 结果分析经过计算，投掷结果为正面向上的概率为1/2。
这意味着，无论选中哪一枚硬币，投掷十次正面向上的概率都是50。
这与硬币的正反面比例无关，而仅仅取决于投掷的次数。
5. 总结通过以上算法推导和结果分析，我们得出了投掷结果为正面向上的概率为1/2。
这个问题展示了概率计算中的一种典型模型，通过逻辑推理和计算，我们可以得出概率的准确结果。
对于概率题和算法题，我们需要深入理解问题的背景和要求，运用相关的知识和方法进行推导和计算，才能得出正确的结果。
6. 参考资料- 《概率论与数理统计》- 《概率与统计导论》- 《概率模型与数理统计》以上是对五个硬币概率题的算法推导和结果分析，希望对您有所帮助。
在日常生活和工作中，我们可以利用概率论和统计学的知识解决各种问题，提高决策的准确性和科学性。
感谢您的阅读。
对于概率题，我们来进行更加深入的讨论和探索。
在前面的部分我们提到了投掷五个硬币，选中硬币A和硬币B的概率分别是3/5和2/5。
5.概率题 五个硬币 算法题
5.概率题五个硬币算法题摘要：1.问题背景和描述2.概率题解析：五个硬币的抛掷实验3.算法题解析：求解五个硬币问题的不同方案4.实战应用：硬币问题在现实生活中的例子5.总结与建议正文：一、问题背景和描述在日常生活中，我们常常会遇到与概率和算法相关的问题。
本文将通过一个五个硬币的例子，分别介绍概率题和算法题的求解方法，并探讨其在现实生活中的应用。
二、概率题解析：五个硬币的抛掷实验假设我们有五个硬币，分别为A、B、C、D、E。
现在进行以下实验：1.抛掷A、B、C三个硬币，求两个正面和一个反面的概率；2.抛掷D、E两个硬币，求两个正面的概率。
三、算法题解析：求解五个硬币问题的不同方案为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：1.列出所有可能的结果；2.计算每个结果出现的概率；3.根据概率值，找出满足条件的方案。
以抛掷A、B、C三个硬币为例，我们可以得到以下结果：1.甲：A正B反C反2.乙：A反B正C反3.丙：A反B反C正4.丁：A正C反B反5.戊：A反C正B反6.己：A反B正C正根据以上结果，我们可以得出两个正面和一个反面的概率为3/6，即1/2。
四、实战应用：硬币问题在现实生活中的例子硬币问题在现实生活中有许多应用，例如：1.投资理财：投资者在选择投资产品时，需要评估各种可能的结果和概率，以获得最佳收益；2.竞技比赛：选手在比赛中需要根据对手的实力和自己的实力，制定合适的策略；3.项目管理：项目经理在规划项目进度和资源分配时，需要考虑各种风险因素。
五、总结与建议通过五个硬币的概率题和算法题的解析，我们可以发现，掌握概率和算法知识对于解决实际问题非常有帮助。
在学习过程中，我们不仅要理论联系实际，还要不断提高自己的计算能力和逻辑思维能力。
智力题 硬币分组。正面数量
智力题硬币分组。
正面数量
问题,将硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。
有100枚硬币平摆在桌面上，每个都有正面和背面。
其中，10个正面朝上，其余90个背面朝上。
你不能触摸、看、以及以任何其他方式去感知它们是处于正面还是背面。
请将硬币分成两组，使每一组里正面朝上的硬币数目一致。
解答，我们分成两组，第一组10个，第二组90个。
不妨假设第一组有x个硬币正面朝上，则第二组有10-x个硬币正面朝上。
显然，第一组有10-x个硬币背面朝上。
所以，我们可以把第一组的所有硬币翻转一次，翻转后，有10-x个硬币正面朝上，x个硬币。
再假设如果有A+B枚硬币平摆在桌面上，每个都有正面和背面。
其中，A个正面朝上，其余B个背面朝上。
你不能触摸、看、以及以任何其他方式去感知它们是处于正面还是背面。
请将硬币分成两组，使每一组里正面朝上的硬币数目一致。
同理我们可再计算出答案。
排列组合 回溯法优化
排列组合回溯法优化
回溯法是一种穷举搜索的方法，它通常用于解决排列组合、图搜索、求解递归问题等。
在回溯法中，我们通过不断地尝试每一种可能的情况，然后回溯到上一步，继续尝试其他情况，直到找到解决方案或者所有可能都尝试完毕。
在排列组合问题中，回溯法的基本思路是对每个位置依次尝试可选的元素，然后递归地处理下一个位置。
具体的实现步骤如下：
1. 定义一个结果集，用于存储所有可能的解。
2. 定义一个路径，用于存储当前正在尝试的解。
3. 递归地处理每个位置，即从可选元素中选择一个，放入路径中，并继续处理下一个位置。
4. 当路径满足条件时，将其加入结果集。
5. 回溯到上一步，继续尝试其他可选元素。
在实际应用中，可以根据具体问题对回溯法进行优化。
以下是一些常用的回溯法优化方法：
1. 剪枝：在递归过程中，根据问题的特点，通过判断一些条件，提前结束无效的搜索分支，从而减少搜索的范围。
这样可以大大提高算法的效率。
2. 选择合适的数据结构：对于排列组合问题，可以使用位图、数组或者集合等数据结构来存储已经选择的元素，方便判断某个元素是否已经被选中，避免重复选择。
3. 优化递归顺序：根据问题的特点，调整递归的顺序，提前处
理可能得到解的路径，从而尽早得到结果，减少不必要的递归计算。
4. 添加限制条件：在递归过程中，通过添加一些限制条件，避免搜索到无效的解，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
以上是一些常用的回溯法优化方法，具体的优化策略可以根据具体问题进行调整和优化，以提高算法的效率和准确性。
分派问题的回溯算法（整理版）
分派问题的回溯算法（整理版）分派问题的回溯算法⼀．设计⽬的1.掌握回溯法解题的基本思想；2.掌握回溯算法的设计⽅法；3.针对分派问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。
⼆．设计内容1. 任务描述1.1.分派问题简介：给n个⼈分派n件⼯作, 把⼯作j分派给第i个⼈的成本为cost(i, j), 设计、编程、测试回溯算法, 在给每个⼈分派⼀件不同⼯作的情况下使得总成本最⼩。
1.2.阐述⽤回溯法求解的状态空间树结构：画出部分树，说明节点、边、到根节点的路径的意义，给出答案节点的定义。
1.3.阐述⽤回溯法求解的基本思想：设计并说明规范函数，扼要阐述搜索过程。
1.4.画出搜索过程的主要流程图。
1.5.说明输⼊数据的表⽰⽅法、主要的数据变量、主要的函数功能。
1.6.写出各函数的伪C语⾔代码。
2.分派问题的表⽰⽅案设计的状态空间树：图⼀图⼀是⽤静态树表⽰分派问题的状态空间树，图中x1，x2，x3，x4表⽰分派⼯作的三个⼈，结点1到2,18,34,50分别表⽰x1分别选则⼯作1,2,3,4不同的状态，同样结点2到3,8,13表⽰的是在x1选择问题1的情况下x2的三种不同选择。
阐述⽤回溯法求解的基本思想：1）先设定⼀个最⼩成本min，然后深度优先搜索，当找到⼀组解并且他们的成本总和sum ⼩于min时，⽤sum覆盖min，在搜索过程中，如果在某个结点出现sum⼤于min时，就没有必要在搜索下去了。
直接杀死该结点。
2）规范函数int place(int k) \\判断第k个⼈能否做⼯作X[k]{int i;for(i=0;iif(X[i]==X[k]) \\判断X[k] 在前⾯是否有⼈做return false;3.主要数据类型与变量int sum; /* 成本总和 */int min /* 最⼩的成本总和 */int k /* 第k个⼈*/X[k] /*d第k个⼈做第X[k]个任务*/A[i][j] /* 表⽰i个⼈做第j号任务的成本 */4.算法或程序模块int place(int k)功能: 判断第k个⼈能否做第X[k]号任务void back(int k,int sum)功能: 遍历每种情况，⽐较每种情况下的的成本，得出最⼩成本summin 各函数的伪C语⾔代码：int place(int k){int i;for(i=0;iif(X[i]==X[k])return false;return true;}void back(int sum){int k=0,i;X[k]=-1;while(k>=0){X[k]=X[k]+1;while((X[k]if(X[k]{sum=sum+C[k][X[k]];if(k{k++; // 移到下⼀个⼈else //是⼀个完整的解时{if(sum{min=sum;for(i=0;iQ[i]=X[i];}sum=sum-C[k][X[k]];}}else{k=k-1; / / 回溯sum=sum-C[k][X[k]];}}}三.测试1.⽅案测试数据4 5 6 72 3 4 56 7 8 91 2 3 42.结果四.总结与讨论图⼀⼗⽤静态树表⽰分派问题的状态空间树，图中x1到2,18,34,50分别表⽰x1选择问题1的情况下x2的三种不同选择。
动态规划--凑硬币问题
动态规划--凑硬币问题凑硬币问题题⽬详情为：有⾯值为1元、3元和5元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够11元？ 最近在学习⼀些重要算法，作为五⼤算法之⼀的动态规划法，⾃然要认真学习，这是⼀道典型的动态规划问题，这⾥使⽤动态规划法的思想来解题； 我们⽤d(i)=j来表⽰凑够i元最少需要j个硬币，通过题⽬，很容易得到：当i=0时，d(0)=0，表⽰凑够0元最⼩需要0个硬币; 当i=1时，只有⾯值为1元的硬币可⽤，因此我们拿起⼀个⾯值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，⽽这个是已经知道答案的，即d(0)=0，则有d(1) = d(1 - 1) + 1 = 1，凑够1元最少需要1个硬币，当i = 2时，d(2) = d(2 - 1) + 1= d(1) +１=2, 当i = 3时，d(3) = min{d(3 - 1) + 1 , d(3 - 3) + 1} = min(3, 1) = 1；动态规划算法通常基于⼀个递推公式及⼀个或多个初始状态。
在这⾥d(i) 就是状态，通过分析推导的过程，可以得到，针对⾯值为1，3，5的硬币，可以得到递推公式（状态转移⽅程）为： d(i) = min{ d(i - Vj) + 1} ,i >= Vj。
在动态规划中，得到了该问题的状态及其状态转移⽅程，问题已经解决了⼀⼤半了，然后，在分析的过程中，并不能⼀眼就看出递推公式，它需要更多的练习和更多的实践积累的，并不是⼀朝⼀⼣能做到的，况且动态规划的关键就是找到状态和状态转移⽅程，那么容易找到，就不是动态规划了，就不是难点了。
根据这个公式，我们可以⽐较轻易的写出实现的代码：/*@动态规划练习题如果我们有⾯值为1元、3元和5元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够11元？*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>int DP_leastcoin(const int coin[], int money){int *d = (int *)malloc(sizeof(int) * (money + 1));memset(d, 0, sizeof(int) * money);int iterx = 0, itery = 0;int MIN = 0;int result = 0;d[0] = 0;for(iterx = 1; iterx <= money; iterx++){for(itery = 0; itery < 3 && iterx >= coin[itery]; itery++){if(itery == 0){MIN = d[iterx - coin[itery]] + 1;}else if(MIN > (d[iterx - coin[itery]] + 1)){MIN = (d[iterx - coin[itery]] + 1);}}d[iterx] = MIN;}printf("要凑的钱 MIN\n");for(iterx = 0; iterx <= money; iterx++){printf("序号%-3d : %d\n", iterx, d[iterx]);}result = d[money];free(d);return result;}int main(void){const int coin[3] = {1, 3, 5};printf("\nThe result is %d \n", DP_leastcoin(coin, 112));return0;}View Code 在研究凑硬币问题的时候，我把硬币的⾯值换为2，3，5，然后依旧使⽤这个状态转移⽅程，得到的结果是错的，由此也可以知道，状态转移⽅程是针对某⼀问题分析得到的，尽管只是修改了硬币的⾯值，该⽅程就不再成⽴了，⾸先我们要找到问题所在，是什么问题导致了该⽅程不再适⽤。
找硬币算法（贪婪回溯算法）.
找硬币算法（贪婪回溯算法）.想按⾃⼰的思路重写⼀些经典算法，以提⾼编程⽔平，请⾼⼿多执教。
问题：⼀个⼩孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。
售货员希望⽤数⽬最少的硬币找给⼩孩。
假设提供了数⽬不限的⾯值为25美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。
售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加⼊⼀个硬币。
选择硬币时所采⽤的贪婪准则如下：每⼀次选择应使零钱数尽量增⼤。
为保证解法的可⾏性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过最终所需的数⽬。
假设需要找给⼩孩6 7美分，⾸先⼊选的是两枚2 5美分的硬币，第三枚⼊选的不能是2 5美分的硬币，否则硬币的选择将不可⾏（零钱总数超过6 7美分），第三枚应选择1 0美分的硬币，然后是5美分的，最后加⼊两个1美分的硬币。
贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使找出的硬币数⽬最少（⾄少是接近最少的数⽬）。
可以证明采⽤上述贪婪算法找零钱时所⽤的硬币数⽬的确最少（见练习1）。
<!--找钱(硬币)问题,要求找回的硬币最少--><%Dim sActionDim sResultString '表单提交后结果信息sAction = LCase(Trim(Request("action")))If sAction = "do" Then'获取值Dim nMoney, nKeepMoney, sCoinnMoney = Trim(Request.Form("Money"))sCoin = Trim(Request.Form("Coin"))'response.write nMoney & "<br/>"'response.write sCoin & "<br/>"nKeepMoney = nMoney'错误处理If IsNumeric(nMoney) = True ThennMoney = CLng(nMoney)ElseOutputError "[钱]必须是数字！"End IfIf sCoin = "" Then OutputError "[币值]不能为空！"Dim bFindSolution, aSolution() '是否找到找钱⽅案(boolean), ⽅案结果(⼆维数组)Dim aCoin, nCoinClass, nPayCoinCount '硬币币值(⼀维数组), 币值种类个数, 找出的硬币数量Dim i, t, sum '循环变量, 交换变量,累加变量bFindSolution = FalsenPayCoinCount = 0aCoin = Split(sCoin, ",")nCoinClass = UBound(aCoin, 1) '隔开逗号得到硬币种类个数ReDim aSolution(nCoinClass, 1) '定义结果为⼆维数组, aSolution(x,0)表⽰币值, aSolution(x,1)表⽰该币值找回的个数aCoin = QuickSort(aCoin) '将币值数组升序排序For i = 0 To nCoinClassIf IsNumeric(aCoin(i)) = False Then OutputError "币值只能是数字，[" & aCoin(i) & "]不是数字！"If aCoin(i) = 0 Then OutputError "币值不能为零！"aSolution(i,0) = aCoin(i)aSolution(i,1) = 0Next'==============================='找出找回硬币最少的⽅案'==============================='每次找回的硬币记录,存在数组中Dim aRecord(), nRecordCount, nRecordIndex '记录数组(⼀维,存放币值), 数组长度(即最多找回的硬币个数或找的次数), 当前操作的数组下标nRecordCount = nMoney / aCoin(0) '钱/最⼩币值, 取得最多找回的个数ReDim aRecord(nRecordCount)nRecordIndex = 0i = nCoinClass '取最⼤币值下标Do While Truesum = 0Do While i>=0 And nMoney-aCoin(i)>=0 '剩余的钱⽐当前的币值⼩nMoney = nMoney - aCoin(i) '扣掉拿出的币值Call InCrease(aCoin(i)) '结果中该币值的个数加1nPayCoinCount = nPayCoinCount + 1 '总的拿出的硬币个数加1If i > 0 ThenaRecord(nRecordIndex) = aCoin(i) '记录nRecordIndex = nRecordIndex + 1t = i '保留当前币值的下标, 以便下次循环从这个下标-1 开始Elsesum = sum + aCoin(i) '最⼩币值的钱累加If nMoney = 0 ThenbFindSolution = TrueExit DoEnd IfIf i > 0 Theni = i - 1 '当前币值太⼤, 进⾏下次更⼩币值的循环ElseIf CLng(aRecord(0)) = 0 Then'如果记录中不含任何币值, 表⽰全部回溯都已经试过仍没有⽅案bFindSolution = FalseExit DoEnd If'以下做回溯操作nMoney = nMoney + sumnMoney = nMoney + aRecord(nRecordIndex-1)nPayCoinCount = nPayCoinCount - 1Call DeCrease(aRecord(nRecordIndex-1))aRecord(nRecordIndex-1) = 0End IfLoop'输出⽅案If bFindSolution = True ThensResultString = "<b>条件：</b>" & "<br/>" & _"钱：" & nKeepMoney & "<br/>" & _"币值：" & sCoin & "<br/><br/>" & _"<b>找回硬币最少的⽅案：</b>" & "<br/>" & _"最少找回个数：" & nPayCoinCount & "<br/>"For i = 0 To nCoinClasssResultString = sResultString & " " & "币值：" & aSolution(i,0) & " " & "个数：" & aSolution(i,1) & "<br/>"NextElsesResultString = "<b><font color='red'>不能⽤指定的币值找回硬币！</font></b>"End IfEnd If'指定币值找回个数加1Sub InCrease(n_Coin)Dim iFor i = 0 To nCoinClassIf CLng(aSolution(i,0)) = CLng(n_Coin) ThenaSolution(i,1) = aSolution(i,1) + 1Exit SubEnd IfNextEnd Sub'指定币值找回个数加1Sub DeCrease(n_Coin)Dim iFor i = 0 To nCoinClassIf CLng(aSolution(i,0)) = CLng(n_Coin) ThenaSolution(i,1) = aSolution(i,1) - 1Exit SubEnd IfNextEnd Sub'快速排序Function QuickSort(a_Data)Dim i, jDim count, tcount = UBound(a_Data, 1)For i = 0 To count-1For j = i+1 To countIf CLng(a_Data(i)) > CLng(a_Data(j)) Thent = a_Data(i)a_Data(i) = a_Data(j)a_Data(j) = tEnd IfNextNextQuickSort = a_DataEnd Function'输出错误提⽰Sub OutputError(str)Response.Write "<script language='javascript'>alert('" & str & "');history.back();</script>"%><html><head><title>找钱(硬币)问题,要求找回的硬币最少</title></head><body><p><%=sResultString%></p><p align='center'><table border=0><form name="form1" method="post" action="?action=do"><tr><td>钱：</td><td><input type="text" name="Money" value="" size="10"></td></tr><tr><td>币值：</td><td><input type="text" name="Coin" value="" size="30"> <font color='gray'>多个以逗号隔开</font></td></tr> <tr><td colspan="2"><input type="submit" name="submit" value="找钱⽅案"></td></tr></form></table></p></body></html>。
硬币组合_精品文档
硬币组合概述硬币组合是一个常见的算法问题，其目标是找到一种方式将一定数量的硬币组合成特定的金额。
在某些情况下，算法还需要找到所有可能的组合方式。
硬币组合问题可以被视为一个组合问题（Combination Problem），它有多种解决方法，包括动态规划（Dynamic Programming）、递归、回溯等。
动态规划解决方案硬币组合问题可以使用动态规划解决。
动态规划是一种高效的算法思想，将问题划分为更小的子问题，并利用子问题的解来构建出整个问题的解。
算法思路1.创建一个长度为目标金额+1的数组dp，用于保存每种金额对应的组合个数。
2.将dp[0]赋值为1，表示凑齐金额为0的硬币组合个数为1。
3.遍历硬币面额数组coins，对于每个硬币面额coin，从coin开始遍历到目标金额amount，更新dp数组中金额为i的组合个数。
–将dp[i]的值加上dp[i - coin]，意味着使用面额为coin的硬币之后，剩余的金额为i - coin的组合个数需要加到dp[i]中。
–这样，遍历完硬币面额数组之后，dp[amount]就是所求的结果。
代码示例def coinChange(coins, amount):# 创建一个长度为amount+1的数组，初始化为0dp = [0] * (amount +1)# 初始状态，组合个数为1dp[0] =1# 遍历硬币面额数组for coin in coins:# 从coin开始遍历至目标金额amountfor i in range(coin, amount +1):# 更新组合个数dp[i] += dp[i - coin]# 返回目标金额amount的组合个数return dp[amount]分析复杂度•时间复杂度：硬币面额数量为n，目标金额为amount，遍历每个硬币面额需要O(n)时间复杂度，对于每个硬币面额从coin到amount的遍历需要O(amount)时间复杂度，所以总时间复杂度为O(n * amount)。
动态规划—硬币收集问题
动态规划—硬币收集问题例3《硬币收集问题》问题描述:在N x M格⽊板中放有⼀些硬币，每格的硬币数⽬最多为⼀个。
在⽊板左上⽅的⼀个机器⼈需要收集尽可能多的硬币并把它们带到右下⽅的单元格。
每⼀步，机器⼈可以从当前的位置向右移动⼀格或向下移动⼀格。
当机器⼈遇到⼀个有硬币的单元格时，就会将这枚硬币收集起来。
设计⼀个算法找出机器⼈能找到的最⼤硬币数。
分析：1.令F（i，j）为机器⼈截⽌到第i⾏第j列单元格（i，j）能够收集到的最⼤硬币数。
单元格（i，j）可以经由上⽅相邻单元格（i-1，j）或者左边相邻单元格（i，j-1）到达。
单元格（i-1，j）和单元格（i，j-1）中最⼤的硬币数⽬分别是F（i-1，j）和F（i，j-1）。
当然，第⼀⾏单元格没有上⽅相邻单元格，第⼀列单元格没有左边相邻单元格。
对这些单元格，我们假定F（i-1，j）或F（i，j-1）的值为0，因为其不存在相应的相邻单元格。
因此，截⽌到单元格（i，j）机器⼈能够收集到的最⼤硬币数是这两个数的较⼤值加上单元格（i，j）中可能存在的⼀枚硬币。
2.递推公式为：代码:package algorithm;public class demo_1 {//输出找到最⼤硬币数的路径public void getMaxPath(int[][] A){int rowA = A.length;int columnA = A[0].length;//在数组A最上⾯⼀⾏添加⼀⾏元素0，在最左边⼀列添加⼀列元素0int[][] changeA = new int[rowA+1][columnA+1]; //初始化，各个元素均为0int[][] maxA = new int[rowA+1][columnA+1]; //⽤于计算从A[0][0]到达各元素位置收集到的最⼤硬币数for(int i = 0;i < rowA;i++){for(int j = 0;j < columnA;j++)changeA[i+1][j+1] = A[i][j];}for(int i = 1;i <= rowA;i++){for(int j = 1; j <= columnA;j++){if(maxA[i-1][j] >= maxA[i][j-1])maxA[i][j] = maxA[i-1][j] + changeA[i][j];elsemaxA[i][j] = maxA[i][j-1] + changeA[i][j];}}//输出各个元素位置收集到的最⼤硬币数System.out.println("各个元素位置收集到的最⼤硬币数：");for(int i = 1;i <= rowA;i++){for(int j = 1;j <= columnA;j++)System.out.print(maxA[i][j]+"\t");System.out.println();}}public static void main(String[] args){demo_1 test = new demo_1();int[][] A ={{0,0,0,0,1,0},{0,1,0,1,0,0},{0,0,0,1,0,1},{0,0,1,0,0,1},{1,0,0,0,1,0}};test.getMaxPath(A);}}3.测试数据：int[][] A ={{0,0,0,0,1,0},{0,1,0,1,0,0},{0,0,0,1,0,1},{0,0,1,0,0,1},{1,0,0,0,1,0}};结果：各个元素位置收集到的最⼤硬币数：0 0 0 0 1 10 1 1 2 2 20 1 1 3 3 40 1 2 3 3 51 1234 5。
硬币兑换问题(算法设计)
这就是贪心策略！
CS-SWPU
硬币兑换的贪心算法
//需兑换钱数＝a; //可用硬币面额集合＝d;
如何知道兑换未完成？
while ( 兑换未完成 ) {
选出当前可用的最大面额 x ;
用面额 x 执行兑换：使用数量＝c、兑换金额＝e ;
累计硬币使用总量 sum = sum + c ;
CS-SWPU
兑换硬币
贪心策略
效率高
每种面额只处理一次，无需考察不同的面额组合
动态规划：系统考察所有组合
有局限！
面额：￥0.11, 0.05, 0.01，兑换： ￥ 0.15
还能使用贪心策略吗？
CS-SWPU
贪心算法的基本思想
总是作出在当前看来最好的选择
在某种意义上的局部最优选择，不从整体最优考虑
CS-SWPU
硬币兑换的动态规划算法
假定
面额数组：d[1]>d[2]>…>d[n]=1 需兑换金额 a
最优值c (i, j)
可选面额 d[i], d[i +1], ……, d[n]，需兑换金额 j 1 ≤i ≤n，0 ≤j ≤a
递归计算式
当d[i] ＞ j 时，c (i, j) = c ( i+1, j ) 当d[i] ≤ j 时，c (i, j) = min{ c(i+1, j), j / d[i] + c(i, j mod d[i]) }
} 每种面额只考察了一次，效率高！
CS-SWPU
硬币兑换的贪心算法
//需兑换钱数＝a;
面额集合如何表示？
//可用硬币面额集合＝d;
while ( 剩余金额>0 ) {
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实训一
硬币分法问题的回溯算法与实现
一、设计目的
1）掌握硬币分法问题的回溯算法；
2）进一步掌握回溯算法的基本思想和算法设计方法；
二、设计内容
1．任务描述
1）算法简介
回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有符合位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。
回溯算法说白了就是穷举法。
不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
2）硬币分法问题简介
假设有5种硬币：50美分，25美分，10美分，5美分和1美分。
我们给一定数量的资金，要求这些硬币作出变化。
例如，如果我们有11美分，那么我们可以给出一个10美分的硬币和一个1美分硬
币，或者2个 5美分的硬币和一个1美分硬币，或者一个5美分硬币和6个 1美分的硬币，或11个
1美分硬币。
因此，有四个使上述11美分硬币的变化方式。
编写一个程序来查找，作出任何不同数额的美分方式改变的总数。
你的程序最多能够处理100美分以内的。
3）设计任务简介
对于回溯类似的问题。
首先，要能理解该问题运用到的回溯的概念；其次，根据回溯相关的基本思想，找出相应的数学公式；最后，进行程序的设计和编写。
利用回溯的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。
4）问题分析
从最小面值的开始先算起,慢慢地将大面值的硬币累计进来,统计不同种硬币的分配方法。
同样的，从最大的面值先算起，慢慢加入最小面值的硬币来统计不同硬币的分配方法。
但是这种算法所用的循环次数太多，最终的结果虽然一样，单这种利用率不高，不适合。
故我们会采用先从最
小面值的先入手做循环递进。
硬币分法问题的表示方案
2．递推过程的抽象描述
本设计采用前向或后向递推公式。
用自然语言、伪程序设计语言或流程图等形式针对硬币分法问题的求解（抽象地）描述递推过程……
3．解题思路
给定一个金额总数I，求所有硬币的分配方法,利用多重FOR循环语句,层层递进。
4．主要数据类型与变量
Int i;//总金额
Int a,b,c,d,e//分别对应不同面额的硬币数
Int count//方法统计
5．算法或程序模块
for(int a=0;a<=i;a++)
for(int b=0;b*5<=i;b++)
for(int c=0;c*10<=i;c++)
for(int d=0;d*25<=i;d++)
for(int e=0;e*50<=i;e++)
if(a+b*5+c*10+d*25+e*50==i)
printf("第%d种方法:1美分要%d张;5美分要%d张;10美分要%d张;25美分要%d 张;50美分要%d张;\n",count++,a,b,c,d,e);
三、测试
1．方案
描述测试方案、测试模块、测试数据实例（文字数据、图或表等形式）……
2．结果
四、总结与讨论
通过构造函数，利用回溯思想编写代码，利用回溯的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。
附：程序模块的源代码
#include<stdio.h>
int main()
{
int count=1,i,countf=0;
printf("请输入总数:\n");
scanf("%d",&i);
for(int a=0;a<=i;a++)
for(int b=0;b*5<=i;b++)
for(int c=0;c*10<=i;c++)
for(int d=0;d*25<=i;d++)
for(int e=0;e*50<=i;e++)
{
if(a+b*5+c*10+d*25+e*50==i)
printf("第%d种方法:1美分要%d张;5美分要%d张;10美分要%d张;25美分要%d 张;50美分要%d张;\n",count++,a,b,c,d,e);
countf++;
}
printf("循环共执行了:%d次\n",countf);
}。