图的m着色问题
回溯法实验(图的m着色问题)
算法分析与设计实验报告第六次附加实验cout<<endl;}elsefor(int i=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(ok(t)) Backtrack(t+1);//回溯，继续寻找下一层x[t]=0;//回到最初状态，使x[1]继续尝试其他填色的可能解}}测试结果当输入图如下时：结果如下：12435只要输入边即可当输入的图如下时：结果如下：附录：完整代码（回溯法）//图的m着色问题回溯法求解#include<iostream>using namespace std;class Color{friend void mColoring(int,int,int **);private:bool ok(int k);void Backtrack(int t);int n, //图的顶点个数m, //可用颜色数**a, //图的邻接矩阵*x; //当前解long sum; //当前已找到的可m着色的方案数};bool Color::ok(int k) //检查颜色可用性{for(int j=1;j<=n;j++)if((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k])) //两个点之间有约束且颜色相同return false;return true;}void Color::Backtrack(int t){if(t>n) //到达叶子节点{sum++; //可行解+1cout<<"着色： ";for(int i=1;i<=n;i++) //输出可行解方案cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}elsefor(int i=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(ok(t)) Backtrack(t+1);//回溯，继续寻找下一层x[t]=0;//回到最初状态，使x[1]继续尝试其他填色的可能解 }}void mColoring(int n,int m,int **a){Color X;//初始化XX.n=n;X.m=m;X.a=a;X.sum=0;int *p=new int[n+1];for(int i=0;i<=n;i++)p[i]=0;X.x=p;cout<<"顶点： ";for(int i=1;i<=n;i++) //用于输出结果cout<<i<<" " ;cout<<endl;X.Backtrack(1); //从顶点1开始回溯delete []p;cout<<"解法个数："<<X.sum<<endl;}int main(){int n;int m;cout<<"please input number of node:";cin>>n;cout<<"please input number of color:";cin>>m;int **a=new int*[n+1];for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=new int[n+1];for(int i=0;i<=n;i++) //利用抽象图实现图的邻接矩阵for(int j=0;j<=n;j++)a[i][j]=0;int edge;cout<<"please input adjacent edge number:";cin>>edge;int v,w;cout<<"please inout adjacent edge:"<<endl; //只要输入边即可for(int i=0;i<edge;i++){cin>>v>>w; //由于是无向图，所以对应的邻接矩阵对应的边都有，即v->m,m->v都有边a[v][w]=1;a[w][v]=1;}mColoring(n,m,a);system("pause");return 0;}。
图的着色问题--C++实现(含详细注释)
图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。
用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。
求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。
二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。
在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。
如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。
具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。
2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。
3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。
4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。
此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。
5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。
6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。
2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。
三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。
图的M着色算法演示
for( j=1;j<t;j++) {
if(a[t][j]&&x[j]==i)
return 0; }
return 1; }
t=2
t=3 t=4
模拟演示
t=1
当前节 点
颜色的 种类
void Backtrace(int t，int m)
当搜索的当前节点t<=N时，m种颜色 依次试用，调用函数OK进行判断。 如果当前颜色可以，则进入下一层搜索。
当搜索到最叶子节 点时（t>N），即 可输出一种方案
for( i=1;i<=m;i++) {
if(OK(t,i)) { x[t]=i;
Backtrace(t+1,m); }
}
if(t>N) {
sum++; printf("第%d种方案：\n",sum);
for( i=1;i<=N;i++) printf("%d ",x[i]); }
我们可以把问题简化为3个点来分析，现给定如下图 ，怎样求解呢？
1
该图的色数是多少？怎样 用解空间树来表示呢？
3 2
由图可知，对于每一个顶点可选的颜色可以有3种不同的选择，所以每一个 节点有3个儿子节点，有4层。
判断条件是什么？
新加入来得节点t取某一种颜色i时，依次和上层的每一个节点j(j<t)比较。 如果a[t][j]=1并且x[t]=x[j],那么它是不可着色的。
四、程序代码
#include<stdio.h> #include<string.h> #define N 3//图中节点的个数 int a[N+1][N+1]={
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
0030算法笔记——最大团问题和图的m着色问题
3if (OK)// 进入左子树 3{ 33x[i] = 1; 33cn++; 33Backtrack(i+1); 33x[i] = 0; 33cn--; 3}
if (cn + n - i >= bestn)// 进入右子树 3{ 33x[i] = 0; 33Backtrack(i+1); 3} }
3333 如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包 含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
3333 对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。 3333 如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的 关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。
《算法设计与分析》课程实验报告 (回溯法(二))
《算法设计与分析》课程实验报告实验序号：10实验项目名称：实验十一回溯法（二）一、实验题目1.图的着色问题问题描述：给定无向连通图G和m种不同的颜色。
用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。
如果有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色，则称这个图是m可着色的。
图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色，找出所有不同的着色法。
2.旅行商问题问题描述：给出一个n个顶点的带权无向图，请寻找一条从顶点1出发，遍历其余顶点一次且仅一次、最后回到顶点1的最小成本的回路——即最短Hamilton回路。
3.拔河比赛问题描述：某公司的野餐会上将举行一次拔河比赛。
他们想把参与者们尽可能分为实力相当的两支队伍。
每个人都必须在其中一只队伍里，两队的人数差距不能超过一人，且两队的队员总体重应该尽量接近。
4.批处理作业调度问题描述：给定n个作业的集合J=(J1,J2, .. Jn)。
每个作业J都有两项任务分别在两台机器上完成。
每个作业必须先由机器1处理，再由机器2处理。
作业i需要机器j的处理时间为tji(i=1,2, ..n; j=1,2)。
对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间，则所有作业在机器2上完成处理的时间和，称为该作业调度的完成时间和。
批处理作业调度问题要求，对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。
二、实验目的（1）通过练习，理解回溯法求解问题的解状态空间树与程序表达的对应关系，熟练掌握排列树、子集树的代码实现。
（2）通过练习，体会减少搜索解空间中节点的方法，体会解的状态空间树的组织及上界函数的选取对搜索的影响。
（3）通过练习，深入理解具体问题中提高回溯算法效率的方法。
（4）（选做题）：在掌握回溯法的基本框架后，重点体会具体问题中解的状态空间搜索时的剪枝问题。
三、实验要求（1）每题都必须实现算法、设计测试数据、记录实验结果，并给出时间复杂度分析。
四、实验过程（算法设计思想、源码）1.图的着色问题(1)算法设计思想用邻接矩阵a[i][j]存储无向图，对于每一个顶点有m种颜色可以涂。
回溯算法---例题7.图的m着色问题
回溯算法---例题7.图的m着⾊问题⼀.问题描述给定⽆向连通图G和m种不同的颜⾊.⽤这些颜⾊为图G的各项点着⾊,每个项点画⼀种颜⾊.是否有⼀种着⾊法,使G中每条边的2个顶点有着不同颜⾊?⼆.解题思路图的m⾊判定问题:给定⽆向连通图G和m种颜⾊。
⽤这些颜⾊为图G的各顶点着⾊. 问是否存在着⾊⽅法, 使得G中任2邻接点有不同颜⾊。
图的m⾊优化问题:给定⽆向连通图G,为图G的各顶点着⾊, 使图中任2邻接点着不同颜⾊,问最少需要⼏种颜⾊。
所需的最少颜⾊的数⽬m称为该图的⾊数若图G是可平⾯图,则它的⾊数不超过4⾊(4⾊定理).4⾊定理的应⽤:在⼀个平⾯或球⾯上的任何地图能够只⽤4种颜⾊来着⾊使得相邻的国家在地图上着有不同颜⾊例如:[这⾥有⼀个适⽤于任意图着⾊的Welch Powell法,感兴趣的同学可以看看.](#Welch Powell)回到该问题,我们可以很清晰地看出问题的解空间树是⼀棵排列树,因为我们确定n个元素满⾜某种性质的排列,这个性质就是⼀条边的两个点颜⾊不相同.⽽不是说找到n个元素的⼀个⼦集,这是要做的第⼀步.具体的算法实现上:设图G=(V, E), |V|=n, 颜⾊数= m, ⽤邻接矩阵a表⽰G, ⽤整数1, 2…m来表⽰m种不同的颜⾊。
顶点i所着的颜⾊⽤x[i]表⽰。
问题的解向量可以表⽰为n元组x={ x[1],...,x[n] }. x[i]Î{1,2,...,m},解空间树为排序树,是⼀棵n+1层的完全m叉树.在解空间树中做深度优先搜索, 约束条件: x[i] ≠ x[j], 如果a[j].[i] = 1.代码如下:// 图的m着⾊问题#include<bits/stdc++.h>using namespace std;class Color{friend int mColoring(int, int, int **);private:bool CanDraw(int k);void Backtrack(int i);int n, //图的顶点数m, //可⽤颜⾊数**a, //图的邻接矩阵*x; //当前解long sum; //当前已经找到的可m着⾊⽅案数};bool Color::CanDraw(int i) //检查第i层填写的颜⾊x[i]是否可⽤{for(int j=1; j<i; j++){if(a[i][j]==1 && x[j]==x[i])return false;}return true;}void Color::Backtrack(int i){if(i > n){sum++;cout<<"第"<<sum<<"个解:";for(int i=1; i<=n; i++)cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;return;}for(int k=1; k<=m; k++) //依次从m种颜⾊中选择,由于每⼀个分⽀的处理⽅法⼀样,所以直接⽤⼀个循环,⽽不需要分别写{x[i] = k;if(CanDraw(i)){cout<<"颜⾊"<<k<<"可⾏,深⼊⼀层,将到达"<<i+1<<"层"<<endl;Backtrack(i+1);cout<<"回溯⼀层到达第"<<i<<"层"<<endl;}else{if(k==m) cout<<"当前层所有颜⾊选完,没有可⾏颜⾊,故将回溯⼀层到达第"<<i-1<<"层"<<endl;else cout<<"颜⾊"<<k<<"不可⾏,继续选择颜⾊"<<k+1<<endl;}x[i] = 0;}}int mColoring(int n, int m, int **a){Color X;// 初始化XX.n = n;X.m = m;X.a = a;X.sum = 0;int *p = new int[n+1];for(int i=0; i<=n; i++) p[i] = 0;X.x = p;X.Backtrack(1);delete[] p;return X.sum;}int main(){cout<<"请输⼊顶点个数和颜⾊种数:";int n, m;while(cin>>n>>m && n && m){cout<<"请输⼊邻接矩阵"<<endl;int **a = new int*[n+1];for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = new int[n+1];for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++)cin>>a[i][j];int ans = mColoring(n, m, a);cout<<"图的"<<m<<"着⾊⽅案共有"<<ans<<"种"<<endl;for(int i=0; i<=n; i++) delete[] a[i];delete[] a;cout<<"请输⼊顶点个数和颜⾊种数:";}system("pause");return 0;}运⾏结果:由此可以结合排列树看⼀看,⼗分清晰明了.参考毕⽅明⽼师《算法设计与分析》课件.欢迎⼤家访问个⼈博客⽹站---,和我⼀起加油吧!针对任意图着⾊问题,Welch Powell⽅法:将G的结点按照度数递减的次序排列⽤第⼀种颜⾊对第⼀个结点着⾊,并按照结点排列的次序对与前⾯着⾊点不邻接的每⼀点着以相同颜⾊⽤第⼆种颜⾊对尚未着⾊的点重复步骤2,⽤第三种颜⾊继续这种作法,直到所有点着⾊完为⽌例如:。
图着色问题——精选推荐
图着⾊问题⼀、图着⾊问题（1）图的m可着⾊判定问题给定⽆向连通图G和m种不同的颜⾊。
⽤这些颜⾊为图G的各顶点着⾊，每个顶点着⼀种颜⾊。
是否有⼀种着⾊法使G中每条边的2个顶点着不同颜⾊。
（2）图的m可着⾊优化问题若⼀个图最少需要m种颜⾊才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜⾊，则称这个数m为该图的⾊数。
⼆、m可着⾊判定问题的解法【算法】（1）通过回溯的⽅法，不断的为每⼀个节点着⾊，在前⾯cur-1个节点都合法的着⾊之后，开始对第cur-1个节点进⾏着⾊，（2）这时候枚举可⽤的m个颜⾊，通过和第cur-1个节点相邻的节点的颜⾊，来判断这个颜⾊是否合法（3）如果找到那么⼀种颜⾊使得第cur-1个节点能够着⾊，那么说明m种颜⾊的⽅案在当前是可⾏的。
（4）cur每次迭代加1，如果cur增加到N并通过了检测，说明m种颜⾊是可满⾜的。
（5）注意，这⾥只是要求判断m种颜⾊是否可满⾜，所以找到任何⼀种⽅案就可以了。
【代码实现】#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 105;int G[maxn][maxn];int color[maxn];bool ans;int n,m,k;void init(){ans = 0;memset(G, 0 , sizeof G);memset(color, 0 , sizeof color);}void dfs(int cur){if(cur > n) {ans = 1;return;}for(int i=1; i<=m; i++){ //对cur结点尝试使⽤每⼀种颜⾊进⾏涂⾊bool flag = 1;//cur之前的结点必被涂⾊for(int j=1; j<cur; j++){if(G[j][cur] == 1 && color[j] == i){flag = 0;//只要有⼀个冲突都不⾏break;}}//如果可以涂上i颜⾊，则考虑下⼀个结点的情况if(flag){color[cur] = i;dfs(cur + 1);}//如果到这⼀步第cur个结点⽆法着⾊，则返回探寻其他⽅案else color[cur] = 0;//回溯 ;}}int main(){while(cin>>n>>k>>m){init();for(int i=1; i<=k; i++){int x,y;cin>>x>>y;G[x][y] = G[y][x] = 1;}dfs(1);cout<<ans<<endl;}return0;}三、m可着⾊拓展【问题】在上述基础上，求出m种颜⾊能够给图G涂⾊的总总⽅案数量【算法】由于这个时候要求总⽅案数量，所以在找到⼀种可⾏⽅案后，总是进⾏回溯再搜索其他的解决⽅案，与上⾯不同，上⾯是只需要找出⼀种⽅案即可，所以如果找到了就不需要再回溯了，所以在这⾥只需要把回溯语句的位置写到dfs语句的后⾯即可。
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m着色问题 图的 图的m � 图的m着色问题 ： 为无向图的各顶点着色。要求：有边相 邻的顶点不能着同一种颜色。
2013-5-23
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m着色问题 图的 图的m � 解空间：完全m叉树 设X[i]表示第i个节点的填的颜色，1代表填 入颜色1，. . . ，m代表填入颜色m，搜索的 空间为n元一维数组（X[1],X[2],X[3],……， X[n]） mn） � 取值范围 ：（ ：（m 为（1，1，1……，1，1），（1，1，1……，1，2
种颜色 i 时，依次和上层 的每一个节点 j (j<t)比较
a[t][j]=1 && x[t]=x[j]
解空间图示
2013-5-23 7/9
m着色问题 图的 图的m
� 实例演示： 无向图有3个节点，分别相连，用 3种颜色为该 t=1 图着色。
1 2 3 t=2
t=3
t=4
2013-5-23 8/9
），（1，1，1……，2，2），……，（m，m， m……，m，m）。
2013-5-23
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m着色问题 图的 图的m � 解空间图示 ： 以3个节点,3种可用图颜色为例。
解空间图示
2013-5-23 6/9
m着色问题 图的 图的m � 颜色是否可填判断条件 ： 与已填入颜色的节点比较：有边相连 且颜色相同，则不能填入。 新加入来得节点t 取某一
m着色问题 图的 图的m
� private static void backtrack(int t) � { 到达叶节点找到一个解 � if (t>n) sum++; � else � for (int i=1;i<=m;i++) { 颜色能填入向下搜索解 � x[t]=i; � if (ok(t)) backtrack(t+1); � } 判断当前颜色能否填入 � } � private static boolean ok(int k) � {// 检查颜色可用性 � for (int j=1;j<=n;j++) � if (a[k][j] && (x[j]==x[k])) return false; � return true; � } �}
华南师范大学计算机学院 – 计算机算法
图的 m着色问题 图的m
作者：杨劲松
2013-5-23
目录
� 图的m着色问题 � 问题描述 � 实例演示
2013图的 图的m � 国王的遗嘱： 五位王子，想各自立国，可以将国土分 为五份。要求：每个小国都要与其他的四 个小国有共同的国界。 � 四色猜想： 任意一个无飞地的 地图都可以用四种颜色 填色，使得没有两个相 邻国家填的颜色相同。
2013-5-23 9/9