三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．

解：（Ⅰ）．

依题意：函数．

所以．

，

所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．

．

（Ⅱ）∵，∴

．．

在Rt△ABC中，∵，

∴．

∵0＜sinA＜1，∴．

2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

（I）求y=f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

【解答】解：（Ⅰ）∵

，

=，

∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴．

∵得：，

∴函数f（x）单调增区间为；

（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，

∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴，

∴．∴，

根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，

此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形．

3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，•=，且a+c=4，试求b的值．

【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1

==．

∵T=，∴ω=2．

则f（x）=2sin（2x）﹣1；

（2）由f（B）==0，得．

∴或，k∈Z．

∵B是三角形内角，∴B=．

而=ac•cosB=，∴ac=3．

又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．

4.已知函数．

（1）求f（x）单调递增区间；

（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）；

（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，

代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞，

∵A为△ABC内角，∴0＜A＜，

∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜f（A）＜，

则f（A）的范围为（﹣，）．

5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且

bsinAcosC+csinAcosB=a．

（1）求角A的大小；

（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[﹣，]上值域．

解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=a，

∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，

∵A为锐角，sinA≠0，

∴sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，∴A=．

（2）∵A=，可得：tanA=，

∴f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），

∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得：T=2×=，解得：ω=1，

∴f（x）=sin（2x﹣），

∴将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），

∵x∈[﹣，]，可得：2x+∈[，]，

∴g（x）=sin（2x+）∈[，1]．

6.已知向量，向量，函数

．

（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；

（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．

解：（Ⅰ）∵

=+1+sin2x+

=sin2x﹣cos2x+2

=sin（2x﹣）+2，…

∴，

所以：f（x）的单调递减区间为：．…

（Ⅱ）由（1）知：，

∵时，，

由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）

∴，…（8分）

由余弦定理，a 2=b 2+c 2

﹣2bccosA ，得：，

∴b=2，…（10分） ∴

．…（12分）

7.已知函数()cos sin 6f x x x π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭.

（Ⅰ）作出()f x 在一个周期内的图象；

（Ⅱ） a b c ，，分别是ABC △中角 A B C ，，的对边，若()3

3 1a f A b ===，，，求ABC △的面积.

x

()f x

利用“五点法”列表如下： 3

x π

+

0 2

π π 32π 2π x

3π

-

6

π 23

π 76

π 53

π y

0 1

0 1- 0

……………………………………………………4分 画出()f x 在5 3

3π

π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象，如图所示：