三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．解：（Ⅰ）．依题意：函数．所以．，所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．．（Ⅱ）∵，∴．．在Rt△ABC中，∵，∴．∵0＜sinA＜1，∴．2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵，=，∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，∴，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f（x）单调增区间为；（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴，∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形．3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，•=，且a+c=4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1==．∵T=，∴ω=2．则f（x）=2sin（2x）﹣1；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．4.已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）；（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞，∵A为△ABC内角，∴0＜A＜，∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜f（A）＜，则f（A）的范围为（﹣，）．5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[﹣，]上值域．解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=a，∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，∵A为锐角，sinA≠0，∴sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，∴A=．（2）∵A=，可得：tanA=，∴f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得：T=2×=，解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∵x∈[﹣，]，可得：2x+∈[，]，∴g（x）=sin（2x+）∈[，1]．6.已知向量，向量，函数．（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．解：（Ⅰ）∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，…∴，所以：f（x）的单调递减区间为：．…（Ⅱ）由（1）知：，∵时，，由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）∴，…（8分）由余弦定理，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，得：，∴b=2，…（10分） ∴．…（12分）7.已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）作出()f x 在一个周期内的图象；（Ⅱ） a b c ，，分别是ABC △中角 A B C ，，的对边，若()33 1a f A b ===，，，求ABC △的面积.x()f x利用“五点法”列表如下： 3x π+0 2π π 32π 2π x3π-6π 23π 76π 53π y0 10 1- 0……………………………………………………4分 画出()f x 在5 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象，如图所示：（Ⅱ）由（Ⅰ）()3sin 3f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，在ABC △中，0A π<<，所以3A π=.由正弦定理可知sin sin a bA B =，即31sin sin 3B π=，所以1sin 2B =，………………9分 又203B π<<，∴6B π=，∴2C π=，∴1133122S ab ==⨯⨯=.因此ABC △的面积是3.…………………………12分 8.已知函数f （x ）=（m+2cos 2x ）•cos （2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中m ∈R ，θ∈（0，π）（Ⅰ）求函数f （x ）的图象的对称中心和单调递增区间 （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f （+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）f （）=﹣（m+1）sin θ=0，∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴m+1=0，即m=﹣1，∵f （x ）为奇函数，∴f （0）=（m+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=． 故f （x ）=（﹣1+2cos 2x ）cos （2x+）=cos2x•（﹣sin2x ）=﹣sin4x ，由4x=k π，k ∈Z 得：x=k π，k ∈Z ，故函数f （x ）的图象的对称中心坐标为：（k π，0），k ∈Z ，由4x ∈[+2k π，+2k π]，k ∈Z 得：x ∈[+k π，+kπ]，k ∈Z ，即函数f （x ）的单调递增区间为[+k π，+k π]，k ∈Z ，（Ⅱ）∵f （+）=﹣sin （2C+）﹣，C 为三角形内角，故C=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC==，∵c=1，ab=2，∴a+b=2+，∴a+b+c=3+，即△ABC的周长为3+．9.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．10.已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．【解答】解：（1）向量，函数f（x）==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期为=π，x∈，即有2x+∈（﹣，]，可得sin（2x+）∈（﹣，1]，则在上的值域为（2，5]；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，可得3+2sin（2A+）=4，即sin（2A+）=，由0＜A＜π，可得＜2A+＜，可得2A+=，即A=，由=bcsinA=•4c•sin=c，解得c=1，则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13，即a=．11.已知函数f（x）=2sin（x+）•cosx．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）•cosx=（sinx+cosx）•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…由得，，∴，…∴，即函数f（x）的值域为；…（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，解得；…由正弦定理，得，…∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．…12..已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；已升级到最新版（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=．13.23()sin sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12A f =，ABC ∆的面积为33，求a 的最小值.试题解析:（1）1131()cos 2sin 2sin(2)22262f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.14.已知f （x ）=•，其中=（2cosx ，﹣sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．（1）求f （x ）的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=﹣1，a=，且向量=【解答】解：（1）由题意知．3分∵y=cosx 在a 2上单调递减，∴令，得∴f （x ）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC ，由正弦定理得2b=3c ．∴b=3，c=2.12 分．15.已知函数f（x）=2sin（x+）•cosx．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）•cosx=（sinx+cosx）•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…由得，，∴，…∴，即函数f（x）的值域为；…（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，解得；…由正弦定理，得，…∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．…16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）=2（sinxcosA﹣cosxsinA）cosx+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（﹣A）=0，由0＜A＜π，则A=，则f（x）=sin（2x﹣），由于x∈（0，），则2x﹣∈（﹣，），即有﹣＜sin（2x﹣）≤1．则值域为（﹣，1]；（Ⅱ）由正弦定理可得===，则sinB=b，sinC=c，sinB+sinC=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即49=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，即有bc=40，则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．17.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=218.设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，当2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+，kπ+]，k∈Z；（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，∴cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，变形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1 当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为119.已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，且c=3，f （C ）=0，若sin （A+C ）=2sinA ，求a ，b 的值． 【解答】解：（1）…．（3分）∵，∴，∴f （x ）的最大值为0，最小正周期是…（6分）（2）由，可得∵0＜C ＜π，∴0＜2C ＜2π，∴ ∴，∴∵sin （A+C ）=2sinA ，∴由正弦定理得①…（9分） 由余弦定理得∵c=3∴9=a 2+b 2﹣ab ②由①②解得，…（12分）20..已知向量()()3sin 22,cos ,1,2cos m x x n x =+=，设函数()f x m n =⋅.（1）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，ABC ∆的面积为3，求a 的值.()()min max 4,5f x f x ∴==；（2）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭13sin 22ABC S bc A ∆==2c ∴= 2222cos 33a b c bc A a ∴=+-=∴=.21.已知函数f （x ）=sin 2x+sin2x ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=，△ABC 的面积为3，求a 的最小值．【解答】解：（1）∵f （x ）=sin 2x+sin2x=+sin2x=sin （2x ﹣）+，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，解得：k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递减区间为：[k π+，k π+]，k ∈Z ．（2）∵f （）=，即：sin （2×﹣）+=，化简可得：sin （A ﹣）=，又∵A ∈（0，π），可得：A ﹣∈（﹣，），∴A ﹣=，解得：A=， ∵S △ABC =bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c 时等号成立）．故a 的最小值为2．22.已知函数f （x ）=2sinxcosx+2，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若f （A ）=1，，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）f （x ）=2sinxcosx+=sin2x+=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），得，∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），（2）由已知，f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜，∴，∴2A+=，从而A=，又∵=，∴，∴△ABC的面积S===．23.已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．【解答】解：（1）∵向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣）+2，∵x ∈[0，]，∴﹣≤2x ﹣≤，∴当2x ﹣=时，f （x ）取得最大值3，此时x=，∴由f （A ）=3得：A=，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴12=b 2+16﹣4b ，即（b ﹣2）2=0，∴b=2． 24.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且满足CBc b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）设函数23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f ，求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域.25.已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2a b f A ===角C .试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C .（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=.26.已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值；（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A ==，2sin b A =，求ABC ∆的面积.答案及解析：26.(1)min ()1f x =，max ()1f x =；.试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函数性质可求函数的最值.(2)由32sin a b A =及正弦定理可求得3sin B =，从而是求出解B 的值，由()31f A =-可求出角4A π=及角51246C πππ==+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积. 27.已知函数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知，a=2，，求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos +cos2xsin +cos2x =sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x ）=sin （2x+）．令 2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈z ，求得 k π﹣≤x ≤k π+，函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ． （Ⅱ）由已知，可得 sin （2A+）=， 因为A 为△ABC 内角，由题意知0＜A ＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=． 由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得 sinC=，… ∴S=ab•sinC==．28.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜，x ∈R ），且函数f （x ）的最大值为2，最小正周期为，并且函数f （x ）的图象过点（，0）．（1）求函数f （x ）解析式；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （）=2，c=，求a+2b的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：A=2，ω=4，即f（x）=2sin（4x+φ），把（，0）代入得：2sin（+φ）=0，即sin（+φ）=0，∴+φ=0，即φ=﹣，则f（x）=2sin（4x﹣）；（2）由f（）=2sin（C﹣）=2，即sin（C﹣）=1，∴C﹣=，即C=，由正弦定理得： ==2R，即=2R=1，∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（﹣A）=sinA+2sin cosA﹣2cos sinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA，∵＜cosA＜1，即＜cosA＜，∴a+2b的范围为（，）．29.已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+）．（1）若f（α）=+1，0＜a＜，求sin2α的值；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f（A）=﹣，c=3，△ABC的面积S△ABC=3，求a的值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+cos（2x+）=1+cos2x+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，∴f（α）=cos（2α+）+1=+1，∴cos（2α+）=，∵0＜α＜，∴0＜2α+＜，∴sin （2α+）==，∴（2）∵f （x ）=cos （2x+）+1，∴f （A ）=cos （2A+）+1=﹣， ∴cos （2A+）=﹣，又∵A ∈（0，），∴2A+∈（，），∴2A+=，解得A=又∵c=3，S △ABC =bcsinA=3，∴b=4由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13， ∴a=30.已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．【参考答案】（1）π()3cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分 又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分 所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分 （2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分 而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=，所以，3=ac ， …………………………11分 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，7=a ． …………………………………14分31.已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12f A =，且△ABC 外接圆的半径为3，求a 的值. 试题解析：（Ⅰ）∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ)得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ) 5分∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ) (7)（Ⅱ）∵21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ∵ABC ∆外接圆的半径为3， 由正弦定理2sin aR A=，得 32sin 2332a R A ==⨯=， 32.在中，分别是角A ，B ，C 的对边，已知，且（1）求的大小；（2）设且的最小正周期为，求在的最大值。