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高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式

高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式

考点十一： 导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b上为减函数．且导函C.数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D.【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e xf x x =-.（1）讨论()f x 的单调性.【答案】()f x 在区间(),21-∞，()21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【解析】（1）()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--， 令()0f x '=得2210x x +-=，解得121x =-，221x =， 所以()f x 在区间(),21-∞-，)21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+.①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．x()ln a -∞-， ln a -()ln a -+∞，()f x ′ -+()f x极小值综上，当0≤a 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；试题解析：（Ⅰ）()()()()()'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【解析】（Ⅰ）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数()ea xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2,e a b ==；（Ⅱ） ),(+∞-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出)(x f '，根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可； （Ⅱ）由题意判断)(x f '的符号，即判断1()1e x g x x -=-+的单调性，知g(x)>0，即)(x f '>0，由此求得f(x)的单调区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e xf x x x -=+.由21()e(1e )xx f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1ex g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 ( )A. [)1,+∞ B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1 D. 1,3⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】因()()''213131,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-'，故210{ 310x x-≥-≤，解之得13x ≤≤，应选答案D.2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数()()222xx a x af x e +-+-=， 0a ≤（e 为自然对数的底数）.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a <时，则()f x 在(][),,0,a -∞+∞上为减函数；在[],0a 上为增函数；【解析】(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=，令()1200,f x x x a =⇒=='；①0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ⇒在(),-∞+∞上为减函数； ②当0a <时，则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞⋃+∞<⇒'⇒在(][),,0,a -∞+∞上为减函数； ()()(),00x a f x f x '∈⇒>⇒在[],0a 上为增函数；4．【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数()ln f x x =，()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析：（1）()()22ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ()12g x ax b x∴=++'， 由题意得()1120g a b '=++=， 21b a ∴=--；()()()211112221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--=++=+--=>'， ①当0a =时， ()()1(0)x g x x x'--=>，当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减；当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；④当12a >时．即112a<， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>， ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增；（2）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=210x x >>， 211x x ∴>， 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，即2211ln 1x xx x <-， ②令()1ln 1(1)H x x x x =+->，则()22111(1)x H x x x x x-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数， 1x ∴>时， ()()10H x H >=， 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+->⎪⎝⎭， 即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<． 5．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数()244ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中常数0k >.（Ⅰ）讨论()f x 在()0,2上的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（1）求导数，对k 分类讨论，利用导数的正负，即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性；试题解析：（Ⅰ）由已知得， ()f x 的定义域为()0,∞+，且()()222244444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭='=-=->， ①当02k <<时，40k k >>，且42k>， 所以()0,x k ∈时， ()0f x '<； (),2x k ∈时， ()0f x '>. 所以，函数()f x 在()0,k 上是减函数，在(),2k 上是增函数； ②当2k =时，42k k==， ()0f x '<在区间()0,2内恒成立， 所以()f x 在()0,2上是减函数； ③当2k >时， 4402,k k k<， 所以40,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<； 4,2x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>所以函数在40,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在4,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数. 6．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时， 时，单调递减；当时，单调递增；当时， 时，单调递增；当时， 单调递减；【解析】试题分析：（1）求出()'f x ， 讨论两种情况分别令()'0f x >可得增区间，()'0f x <可得得减区间；7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.（Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）当12a =-时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时， ()f x 的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞，当0a<时，()()()221211212ax a xf x ax ax x+--=+--='()()()1212112a x xax x ax x⎛⎫+-⎪+-⎝⎭==，（ⅲ）若112a-<，即12a<-，1,12xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x是增函数，10,2xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'<，()f x是减函数，()1,x∈+∞时，()0f x'<，()f x是减函数；综上可得，当12a=-时，()f x的减区间是()0,+∞，无增区间，当12a-<<时，()f x的增区间是11,2a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，当12a<-时，()f x的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()11lnf x m x xm x⎛⎫=++-⎪⎝⎭，其中常数0m>.（1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性. 【答案】（1）()532ln222f=-；（2）当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件将2m =代入函数解析式可得()51ln 2f x x x x =+-，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先对函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：（2）()()()2211110,0x m x m m m f x x m x x x⎛⎫--+⎪⎝⎭=->'--=>， 当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增； 当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，若0a ≤，若0a >，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，得()()()()211'1x a x a x x a a f x x a x x x+--+-=+--==.若0a ≤，则()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a >，则由()'0f x =，得x a =.当0x a <<时， ()'0f x <；但x a >时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.10．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数()()2ln 1f x x ax =++， 0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=， 0∆>，三种情况讨论可得单调区间.试题解析：（Ⅰ） ()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++， 1x >-， 令()2221g x ax ax =++， ()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x >， ()f x 单调递增，若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x ≥， ()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>， 102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时， ()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时， ()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数()e xf x ax =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数()x f x e a '=- 通过0a ≤和0a ＞ 两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->. （1）讨论()f x 的单调性；【答案】(1) 当1a =时， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当01a <<， ()f x 的单调递增区间为(),1a ；单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；当1a >， ()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞；【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，通过1,01,1a a a =<的讨论，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；试题解析：（1）()()()()2111x a x a x a x af x a x x x x-++---+=-++-=='，()()()()11x a x af x a x x x---=++-=-'， ①当1a =时， ()()()10x a x f x x---'=≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减；②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ， 单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞.。

2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 11 word版含答案

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 11 word版含答案

考点测试11 函数的图象一、基础小题1．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A 、C 、D.2．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 y ＝lgx ＋310＝lg (x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 化简f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x －1x <0，作出图象可知选C.4．已知a >0，b >0且ab ＝1，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵ab ＝1，且a >0，b >0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，所以f (x )与g (x )的底数相同，单调性相同，且两图象关于直线y ＝x 对称，故选B.5．已知函数f (x )＝1lnx ＋1－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C ，选B.6．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )答案 A解析 由函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上是奇函数，得k ＝2，又f (x )是减函数，得0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋k )＝log a (x ＋2)，定义域是(－2，＋∞)，且单调递减，故图象是A.7．已知函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数y ＝f (|x |)(－2≤x ≤2)的图象是( )答案 B解析 解法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，所以y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12＋1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，可知选B.解法二：由函数f (x )的图象可知，函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方，函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方，而y ＝f (|x |)在x >0时的图象保持不变，因此排除C 、D ，由于y ＝f (|x |)是偶函数，函数y ＝f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称，故选B.8．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )答案 B解析 由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0<a <1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A ．43B ．73C ．4D ．133答案 D解析 由题图知，可将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133，选D.10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos x D ．x 2sin x答案 A解析 由题图知f (x )是偶函数，排除B 、D.当x ≥0时，－x ≤f (x )≤x .故选A. 11．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．答案 y ＝(x －1)2＋3解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y ＝2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式为y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.12．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．答案(2,8]f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0解析当f(x)>0时，函数g(x)＝log2的x∈(2,8]．二、高考小题13．函数y＝2x2－e|x|在的图象大致为( )答案 D解析当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x.f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0，且当0<x<x0时，f′(x)<0；当x0<x≤2时，f′(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增，又f(2)－1＝7－e2<0，所以f(2)<1.故选D.14．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.15．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c ＜0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x P >0，即c <0，排除B ；令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－b a ，又x N >0，则b a<0，所以a ，b 异号，排除A ，D.故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2答案 D解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝x －22，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74<b <2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.17．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑mi ＝1(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.18．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C 、D 选项错误．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.三、模拟小题19．已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )答案 D解析 因为函数f (x )＝4－x 2为偶函数，g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、B.又当x >0时，g (x )＝log 2x ，当x >1时，g (x )>0，当0<x <1时，g (x )<0；f (x )＝4－x 2，当x >2时，f (x )<0，当0<x <2时，f (x )>0，所以C 错误，故选D.20．已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B 解析 ∵f (x )＝ax －2>0恒成立，又f (4)g (－4)<0，所以g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．21．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.22．若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________． 答案 (3,1)解析 由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．23．设函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x ＋1对称，且f (－3)＋f (－7)＝1，则实数a 的值是________．答案 2解析 设函数y ＝f (x )的图象上任意一点的坐标为(x ，y )，其关于直线y ＝－x ＋1对称的点的坐标为(m ，n )，则点(m ，n )在函数y ＝2x ＋a的图象上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋n 2＝－x ＋m2＋1，y －nx －m ＝1，得m ＝1－y ，n ＝1－x ，代入y ＝2x ＋a得1－x ＝21－y ＋a，即y ＝－log 2(1－x )＋a ＋1，即函数y＝f (x )＝－log 2(1－x )＋a ＋1，又f (－3)＋f (－7)＝1，所以－log 24＋a ＋1－log 28＋a ＋1＝1，解得a ＝2.24．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y ＝kx －2恒过定点M (0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x >1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示． (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4，x ≥4，－x x －4，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．3．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3.作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 4．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标． 解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y .代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ，y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，b ＝0或b ＝4. ∴当b ＝0时，得交点(3,0)；当b ＝4时，得交点(5,4)．。

专题11 利用导数解决零点问题(解析版)

专题11 利用导数解决零点问题(解析版)

专题11 利用导数解决零点问题1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)2y x = (2)(,1)-∞- 【解析】 【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究 (1)()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x = (2)()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a xf x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <= 故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '> 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >= 故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意 3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增 (0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减 当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<= 当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x ∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增 1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '= 当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+< 又1(1)0eg -=> 所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '= 当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减 有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点 即()f x 在(1,0)-上有唯一零点 所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【答案】(1)(,1]e -∞+ (2)证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x =,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-， 若()0f x ≥,则e 10a +-≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e -∞+ (2)由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设121x x 要证121x x <,即证121x x < 因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭因为()()12f x f x =,即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭设11(),e e xx g x x xx =->，则11122111111()e e e 1e e 1x x x xx g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111e 1e 1e e xx x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x xx x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝所以()()1e x ϕϕ>=,而1e e x <所以1e e 0xx x->,所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞单调递增 即()(1)0g x g >=,所以1e e 0xx x x-> 令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭所以()h x 在(1,)+∞单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭；综上, 1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以121x x <. 3．（2022·全国·高考真题（文））已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)1- (2)()0,+∞ 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. (1)当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111xf x x x x-'=-=，当()0,1∈x 时，0f x ，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；(2)()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥-，所以ln x x x <<<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x=--+>--+-+则存在2312m a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；此时()110f a =->，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>-，1>ln 21x ⎛> ⎝， 此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=--+<--+-< ⎝ 存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为()0,+∞.4．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出()31af x x '=-+，然后分0a >，0a ≤可得出函数的单调性. （2）设()()ln 1sin g x x x =+-，将问题转化为函数()g x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，又当e 1x >-时，()ln 1lne 1sin x x +>=≥，所以只需证()g x 在,e 12π⎛⎤- ⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，求出其导数，由零点存在原理即可证明. (1)函数()()ln 13f x a x x =+-的定义域是()1,-+∞，()31af x x '=-+． 当0a >时，令()0f x '<，得33a x ->；令()0f x '>，得313a x --<<， 故()f x 在31,3a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在3,3a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在()1,-+∞上单调递减． (2)当1a =时，方程()sin 3f x x x =-即为()ln 13sin 3x x x x +-=-，即()ln 1sin 0x x +-=． 令()()ln 1sin g x x x =+-，则()1cos 1g x x x '=-+， 则“方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解”等价于“函数()g x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点”．当e 1x >-时，()ln 1lne 1sin x x +>=≥，所以()0g x >在()e 1,-+∞上恒成立， 所以只需证()g x 在,e 12π⎛⎤- ⎥⎝⎦上有且仅有一个零点．因为e 1π-<，所以当,e 12x π⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， 所以()0g x '>在,e 12π⎛⎤- ⎥⎝⎦上恒成立．所以()g x 在,e 12π⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()e 11sin e 1g -=--，所以()g x 在,e 12π⎛⎤- ⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()g x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．5．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知函数()e sin xf x x ax =+，其中e 是自然对数的底数.(1)若1a =时，试判断f （x ）在区间（2π-，0）的单调性，并予以证明；(2)从下面两个条件中任意选一个，试求实数a 的取值范围. ①函数()f x 在区间[0，2π]上有且只有2个零点； ①当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x ≥.【答案】(1)f （x ）在（π2-，0）上单调递增，证明见解析；(2)选择①：π22e 1πa -≤<-；选择①：1a ≥-.【解析】 【分析】（1）求导，通过判定导函数在（π2-，0）上的正负确定单调性； （2）选择①：易得()00f =，则因此f （x ）在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有且只有1个零点，求导通过讨论找出符合条件的a 的取值范围；选择①：构造函数2π()e sin ,0,2x m x x ax x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，此时()00m =，可通过端点效应或隐零点等思路求a的取值范围. (1)当1a =时，()e sin ,(,0)2xf x x ax x π=+∈-()πe sin e cos 1sin 14x x xf x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'.当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ,444x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以sin 1144x x ππ⎛⎫⎛⎫<+<-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又0e 1x <<，πsin 14xx ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，从而()0f x '>，所以，f （x ）在（π2-，0）上单调递增. (2) 选择①，由函数()e sin 0π,2xf x x ax x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，可知()00f =因此f （x ）在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有且只有1个零点.()e sin e cos x x f x x x a +'=+，令()e sin e cos x x h x x x a =++， 则()2e cos 0xh x x '=≥在[0.π2]上恒成立.即()f x '在[0，π2]上单调递增，()2ππ01e 2f a f a ⎛'⎫=+=⎪⎭'+ ⎝，，当1a ≥-时，()()00f x f '≥'≥，f （x ）在[0.π2]上单调递增.则f （x ）在（0，π2]上无零点，不合题意，舍去，当π2e a ≤-时，()0π2f x f ⎛⎫'≤'≤ ⎪⎝⎭，()f x 在[0，π2]上单调递减，则()f x 在（0，π2]上无零点，不合题意，舍去，当2e 1a π-<<-时，π2(0)10,()e 2π0f a f a '=+<'=+≥则()f x '在（0，π2）上只有1个零点，设为0x .且当0(0,)x x ∈时，()0f x <′；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >′ 所以当()00x x ∈，时，()f x 在（0，0x ）上单调递减，在（x0，π2）上单调递增，又()π200e ππ22f f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因此只需20π22πe f a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭即可，即π22e 1πa -≤<-，综上所述：2π2e 1πα-≤<-选择①，构造函数2π()e sin ,0,2x m x x ax x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦此时()2π2e π244π00x m m a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则2π()e sin e cos 2(0)π1,(e 2π)xxm x x x a x m a m a'=++-'=+'=-+，易知(1)π)(2m m '>'令()e sin e cos 2,()2e cos 2,(0)0,()2π2x x xt x x x a x t x x t t =++-'=-'='=-令2π()2e cos 2,()2e (cos sin ),(0)2,()2πe 2xxp x x p x x x p p =-=-'='=-＇， 令()2e (cos sin )x q x x x =-，则()4e sin 0x q x x '=-≤ 所以()2e (cos sin )x q x x x =-在（0，π2）上单调递减.又π20π(0)(0)20,()()2e 22πq p q p ='=>='=-<在（0，π2）上存在唯一实数1x 使得()10q x =，且满足当()10,x x ∈时，()0q x >当1π(,)2x x ∈时.()0q x <即p （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，π2）上单调递减.又()()ππ0002022p t p t ⎛⎫⎛⎫==-=-< ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以()2e cos 2x p x x =-在1π(,)2x 上存在一实数2x 使得()20p x =，且满足当2(0,)x x ∈时，()0p x >；当2π()2x x ∈⋅时，()0p x <即()()t x m x ='在（0，x2）上单调递增，在（2x ，2π）上单调递减， 当()010m a ='+≥时，即()10a m x ≥-'≥，，函数()2e sin x m x x ax x =+-在[0，π2]上单调递增，又()00m =，因此()2e sin 0x m x x ax x =+-≥恒成立，符合题意，当()010m a '=+<，即1a <-，在π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上必存在实数3x ，使得当()30,x x ∈时，()0m x '<，又()00m =，因此在()30,x x ∈上存在实数()0m x <，不合题意，舍去 综上所述1a ≥-.6．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数12()e x f x =（e 为自然对数的底数）． (1)令1()||()()g x a x f x f x =--，若不等式()0g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)令3()()x xf x m ϕ=-，若函数()ϕx 有两不同零点()1212,x x x x <． ①求实数m 的取值范围；①证明：21e e 21x x m -<+． 【答案】(1)(,1]-∞；(2)①2,03e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；①证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据()g x 为偶函数，将问题转化为0x ≥时()0g x ≤恒成立，根据(0)0g =及参变分离求0x >有1122ee x x a x--≤恒成立，求参数范围；（2）①利用导数研究()ϕx 的单调性，及区间值域情况，进而判断()0x ϕ=有两不同解时m 的范围即可；①由（1）知：0x <时1122e e x x x -≥-且120x x <<，应用放缩法有2()e e x x x ϕ≥-，构造2()e e x x F x =-研究极值并判断()F x m =的两根与12,x x 大小关系得到3214e e e e x x x x -<-即可证结论. (1)由题设，1122()||e ex x g x a x -=--，则()()g x g x =-，所以()g x 为偶函数，故只需0x ≥时，()0g x ≤恒成立，而(0)0g =满足， 所以0x >有1122ee x x a x--≤恒成立，令02t x =>，则e e 2t ta t--≤，若()e e 2t t h t t -=--，则()e e 220t t h t -'=+-≥=，仅当0=t 时等号成立， 所以()0h t '>，即()h t 在(0,)+∞上递增，则()(0)0h t h >=，即e e 2t t t -->， 所以，在(0,)+∞上e e 12t tt-->，则1a ≤， 综上：a 的范围为(,1]-∞． (2)①由题设，323()1e 2x x x ϕ⎛⎫=+ ⎪'⎝⎭，若()0x ϕ'>得：23x >-，故()ϕx 在2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调减，在2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调增，且x 趋向负无穷()ϕx 趋向于0，x 趋向正无穷()ϕx 趋向于正无穷，又2233e ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00ϕ=，则0x <时，()0x ϕ<；0x >时，()0x ϕ>，要使()0x ϕ=有两个不同解12,x x 且120x x <<，则2,03e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；①由（1）知：0x <时1122e ex x x -≥-，则1132222()e e e e e x x x x xx ϕ-⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭；记2()e e x x F x =-且0x <，则(()e e 1)2x x F x '=-，所以(,ln 2)-∞-上()0F x '<，(ln 2,0)-上()0F x '>，故()F x 在(,ln 2)-∞-上递减，(ln 2,0)-上递增，且12()(ln 2),043e F x F ⎛⎫≥-=-∈- ⎪⎝⎭，所以()F x m =也有两根，记为34x x <，又(,0)-∞上)(()x F x ϕ≥，则31240x x x x <<<<， 令e x t =，则34e ,e xx 为20t t m --=的两根，故34e e 1x x +=，34e e x x m =-，所以34e e x x -=3124e e e e x x x x <<<，所以3214(41)1e e e e 212x x x xm m ++-<-==+． 7．（2022·湖北·模拟预测）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性； (2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．【答案】(1)单调性见解析 (2)(][),22,λ∈-∞-+∞【解析】 【分析】（1）求导可得()()()21x a x f x x +-'=，再根据a -与0,1的关系分类讨论即可；（2）由题()ln g x a x x =+，，设()120,1x t x =∈根据零点关系可得21ln x x a t -=，再代入1222x x g λλ+⎛⎫' ⎪+⎝⎭化简可得()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立，设()()()21ln 2t ht t t λλ+-=++，再求导分析单调性与最值即可(1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x+--+-'=-+-== ①）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x > ①）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立 ①）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a >- 综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增 1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈ ①212112ln ln ln x x x xa x x t--==-()1a g x x'=+ ①122112122221122ln 2x x x x g a x x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，①ln 0t < ①()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++，①()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ ①）24λ≥时，204t λ-<，①()0h t '>，①()h t 在()0,1上单调递增 ①()()10h t h <=恒成立， ①(][),22,λ∈-∞-+∞合题①）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，①()0h t '>，①()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<， ①()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减①2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了双零点与恒成立问题的综合，需要根据题意消去参数a ，令()120,1x t x =∈，再化简所求式关于t 的解析式，再构造函数分析最值.属于难题 8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设a 为实数，函数()e ln 1=++x f x a x x ． (1)当1a e=-时，求函数()f x 的单调区间；(2)判断函数()f x 零点的个数．【答案】(1)减区间为()0,∞+，无增区间. (2)当0a ≥，函数()f x 在(0,)+∞上没有零点；当210e a -≤<，函数()f x 在(0,)+∞上有1个零点；当21e a <-，函数()f x 在(0,)+∞上有2个零点. 【解析】 【分析】(1)利用二次求导研究函数()f x 的单调性，进而得出结果； (2)利用分类讨论的思想，根据函数()f x 与()()f x g x x=具有相同的零点，结合导数分别研究当0a ≥、210e a -≤<、21e a <-时()g x 的单调性，利用零点的存在性定理即可判断函数()g x 的零点个数，进而得出结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a e=-时，1()e ln 1e xf x x x =-++，则1()e ln 1x f x x -'=-++，且()01f '=， 有1111e ()ex x x f x x x---''=-+=，令()01f x x ''=⇒=， 所以当(0,1)x ∈时()0f x ''>，则()'f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时()0f x ''<，则()'f x 单调递减， 所以max ()(1)0f x f ''==，即()0f x '≤，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 即函数()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； (2)由(1)知当1a e=-时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0f =，此时函数()f x 只有1个零点； 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以()f x 与()f x x具有相同的零点， 令()e 1()ln (0)x f x a g x x x x x x ==++>， 则222(1)e 11(1)(e 1)()x x a x x a g x x x x x --+'=+-=， 当0a ≥时，e 10x a +>，令()01g x x '=⇒=，则函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)e 10g x g a ==+>，此时函数()g x 无零点，即函数()f x 无零点；当0a <时，令()01g x x '=⇒=或1ln()x a=-，若10e a -<<，则11ln()a<-，列表如下：当211e ea -≤≤-时，222e 2e 222e 4222e e e (e )2e 2e e 2e 0e ea g ------=++<++=-++<， 当210e a -<<即21e a ->时，131e ()a a->-，1121111()e ln()[e ln()1]aa g a a a a a a a a---=-+--=---+3111[()(1)1]0a a a a a <-----+<，又(1)0g >，此时函数()g x 有1个零点，则函数()f x 有1个零点； 若1e <-a ，则11ln()a>-，列表如下：所以ln()min 1e 111()(ln())ln ln()ln ln()ln1011ln()ln()aa g x g a a a a a -=-=+-+=-<=--， 又(1)0g >，2(e )0g <，则此时函数()g x 有2个零点，即函数()f x 有2个零点； 综上，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上没有零点， 当210ea -≤<时，函数()f x 在(0,)+∞上有1个零点， 当21e a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上有2个零点.【点睛】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图像与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点问题．9．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()ln 12a af x x x =+-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)讨论函数()f x零点的个数．【答案】(1)当4a ≤时，函数()f x 的增区间为(0,)+∞，没有减区间；当4a >时，函数()f x 的增区间为,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，减区间为⎝⎭(2)当4a ≤，函数()f x 有且仅有一个零点；当4a >时，函数()f x 有且仅有3个零点 【解析】 【分析】（1）求导，再分0a <，04a ≤≤和4a >分类讨论即可；（2）根据单调性及零点存在性定理分析即可. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221(2)1()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+'=-=++，在一元二次方程2(2)10x a x +-+=中，22Δ(2)44(4)a a a a a =--=-=-， ①当0a <时，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，增区间为(0,)+∞，没有减区间； ①当04a ≤≤时，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，增区间为(0,)+∞，没有减区间； ①当4a >时，一元二次方程2(2)10x a x +-+=有两个不相等的根， 分别记为()1221,x x x x >，有122x x a +=-，1210x x =>，可得210x x >>， 有12x x ==可得此时函数()f x 的增区间为()()120,,,x x +∞减区间为()12,x x ， 综上可知，当4a ≤时，函数()f x 的增区间为(0,)+∞，没有减区间；当4a >时，函数()f x 的增区间为,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，减区间为⎝⎭； (2)由（1）可知：①当4a ≤时，函数()f x 单调递增，又由(1)0f =，可得此时函数只有一个零点为1x =； ①当4a >时，由122110,x x x x =>>，可得1201x x <<<，又由(1)0f =，由函数的单调性可知()()12(1)0,(1)0f x f f x f >=<=， 当01x <<且20e ax -<<时，可得2ln ln e ax -<，有ln 02ax +<， 可得()ln ln 022a af x x a x <+-=+<， 当2e ax >时，2()ln ln e 02222aa a a af x x >->-=-=可知此时函数()f x 有且仅有3个零点，由上知，当4a ≤时，函数()f x 有且仅有一个零点； 当4a >时，函数()f x 有且仅有3个零点．10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数()323.f x ax x a b =-++(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有三个零点时a 的取值范围恰好是()()()3,22,00,1,--⋃-⋃求b 的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)3b = 【解析】 【分析】(1)求函数()f x 的导函数()'f x ，讨论a ，并解不等式()0f x '>，()0f x '<可得函数的单调区间；(2)由(1)结合零点存在性定理可求b . (1)()f x 的定义域为R ，()()23632,f x ax x x ax =-=-'若0a =，则()0600f x x x '>⇒->⇒<，()00f x x <⇒>'∴ ()f x 在(),0∞-单调递增，()0,∞+单调递减，若0a >，则()00'>⇒<f x x 或2x a>， ()200f x x a>⇒<<'， ()f x ∴在(),0∞-单调递增，20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，若0a <，则()200f x x a'>⇒<< ()20f x x a>⇒<'或0x >， ()f x ∴在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，2,0a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()0,∞+单调递减.(2)可知()f x 要有三个零点，则0a ≠， 且2(0)0f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭由题意也即是()200f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集就是()()()3,22,00,1--⋃-⋃，也就是关于a 的不等式()()()32224400a b a ba a b a b a a ++-⎛⎫++-<⇒< ⎪⎝⎭的解集就是()()()3,22,00,1--⋃-⋃， 令()()()32240a b a ba h a a+++=<，时()()()()()1114130h b b b b =++-=+-=， 所以有1b =-或3b =， 当3b =时，()()()()()323222233434400a a a a a a a h a aa++-+-+-=<⇒<，()()()2231440a a a a a+-++<的解是()()()3,22,00,1--⋃-⋃，满足条件，当1b =-时，()()()322140a a a h a a---=<，当1a =-时，()1120h -=>，不满足条件， 故1b ≠-，综合上述3b =.11．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知函数()()e 12()exx xf x a a =+--∈R ． (1)若()e ()=⋅x g x f x ，讨论()g x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)()0,1. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，分为0a ≤和0a >两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；（2）函数有两个零点即()e ()=⋅x g x f x 有两个零点，根据（1）中的单调性结合零点存在定理即可得结果. (1)由题意知，()()()e ()e e 12e e 12e e x x x x x xx x g x f x a a x ⎡⎤=⋅=⋅+--=+--⎢⎥⎣⎦，()g x 的定义域为(,)-∞+∞，()e (e 1)e e 2e 1(2e 1)(e 1)x x x x x x x g x a a a '=++⋅--=+-．若0a ≤，则()0g x '<，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递减； 若0a >，令()0g x '=，解得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0g x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增． (2)因为e 0x >，所以()f x 有两个零点，即()e ()=⋅x g x f x 有两个零点． 若0a ≤，由（1）知，()g x 至多有一个零点．若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()g x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln g a a a-=-+． ①当1a =时，由于(ln )0g a -=，故()g x 只有一个零点： ①当(1,)∈+∞a 时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0g a ->，故()g x 没有零点； ①当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0g a -<． 又2222(2)e (e 1)2e 22e 20g a -----=+-+>-+>，故()g x 在(,ln )a -∞-上有一个零点．存在03ln 1,x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则0000000000()e (e 1)2e e (e 2)e 0x x x x x xg x a x a a x x =+--=+-->->．又3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()g x 在(ln ,)a -+∞上有一个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．12．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数()ln 1f x ax x =++． (1)若()f x 在(0,)+∞上仅有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的0x >，2()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0a ≥或1a =- (2)(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）求导1()f x a x'=+，0x >，分0a ≥和0a <讨论求解； （2）对任意的0x >，2()e x f x x ≤恒成立，转化为2ln 1e xx a x+≤-在(0,)+∞上恒成立求解． (1)解：1()f x a x'=+，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．又()11ee 11a af a a ----=--+()1e 10a a --=-≤，(1)10f a =+>， 所以此时()f x 在(0,)+∞上仅有一个零点，符合题意； 当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-；令()0f x '<，解得1x a>-， 所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减．要使()f x 在(0,)+∞上仅有一个零点，则必有10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．综上，当0a ≥或1a =-时，()f x 在(0,)+∞上仅有一个零点． (2)因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0x >，2()e x f x x ≤恒成立，等价于2ln 1e xx a x+≤-在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()e (0)xx m x x x+=->，则只需min ()a m x ≤即可， 则2222e ln ()+'=x x xm x x ，再令22()2e ln (0)x g x x x x =+>，则()221()4e 0'=++>xg x x x x， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为12ln 204g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，2(1)2e 0g =>，所以()g x 有唯一的零点0x ，且0114x <<， 所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>， 所以()m x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 因为022002eln 0x x x +=，所以()()()00002ln 2ln ln ln x x x x +=-+-，设()ln (0)S x x x x =+>，则1()10'=+>S x x， 所以函数()S x 在(0,)+∞上单调递增．因为()()002ln S x S x =-，所以002ln x x =-，即0201ex x =．所以()0()m x m x ≥=02000000ln 1ln 11e 2x x x x x x x +-=--=， 则有2a ≤．所以实数a 的取值范围为(,2]-∞．13．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()e sin 1x f x a x =--在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极值点1x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)π内有唯一零点2x ，且212x x <. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再讨论1a 时，函数单增不合题意，1a >时，由导数的正负确定函数单调性知符合题意； （2）先由导数确定函数()f x 在区间(0,)π上的单调性，再由零点存在定理即可确定在区间(0,)π内有唯一零点；表示出()12f x ，构造函数求导，求得()120f x >，又由()20f x =，结合()f x 在()1,x x π∈上的单调性即可求解. (1)()e cos x f x a x '=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos (0,1)x ∈，21e e x π<<，①当1a 时，()0f x '>，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；①当1a >时，显然()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，又因为(0)10f a '=-<，2e 02f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，所以()10,x x ∈，()0f x '<；1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极值点，符合题意.综上，(1,)∈+∞a .(2)由（1）知1a >，所以,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x '=->，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()10,x x ∈时，()(0)0f x f <=，则()10<f x ，又因为()e 10f ππ=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点2x ，即()f x 在(0,)π上有唯一零点2x .因为()112211112e sin 21e 2sin cos 1x x f x a x a x x =--=--，由（1）知()10f x '=，所以11e cos xa x =，则()112112e 2e sin 1x xf x x =--，构造2()e 2e sin 1,0,2t t p t t t π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以()2()2e 2e (sin cos )2e e sin cos t t t t p t t t t t '=-+=--，记()e sin cos ,0,2tt t t t πϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()e cos sin t t t t ϕ'=-+，显然()t ϕ'在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，所以()0p t '>，所以()p t 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0p t p >=，所以()()1220f x f x >=，由前面讨论可知：112x x π<<，12x x π<<，且()f x 在()1,x x π∈单调递增，所以122x x >.【点睛】本题关键点在于先表示出()12f x ，构造函数()p t 求导，令导数为新的函数再次求导，进而确定函数()p t 的单调性，从而得到()120f x >，再结合()20f x =以及()f x 在()1,x x π∈上的单调性即可证得结论. 14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数()e (sin cos )sin .x f x x x a x =+-.(1)当1a =时，求函数f （x ）在区间[0]2π，上零点的个数； (2)若函数()y f x =在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a 的取值范围 【答案】(1)2个(2)2]∞-⋃（，3222[2e ,)2e ,2e πππ⎧⎫+∞⋃⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】(1)利用导数判断函数f x （）在[0]2π，上的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数；(2)利用导数，通过分类讨论确定函数f x （）的单调性及极值，由此确定a 的取值范围.(1)因为1a =，所以()e (sin cos )sin .x f x x x x =+-()(2e 1)cos x f x x '=-，则当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，f x （）在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单词递增， 又32223(0)10,()e 10,()1e 0,(2)e 022f f f f ππππππ=>=->=-<=>，则f x （）在322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上各有一个零点，所以f x （）在区间[0]2π，上共有两个零点， (2)2()(2e )cos ,(02),22e 2e x x f x a x x ππ'=-∈<<，①当2a ≤时，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，f x （）在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单词递增， 此时f x （）在32x π=的时候取得极小值，则2a ≤时符合题意： ①当22e a π≥时，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，f x （）在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，f x （）在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单词递减， 此时f x （）在2x π=的时候取得极小值，则22a e π≥时符合题意①当222e a π<<时，0ln 22a π<<，此时f x （）在0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,22a π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3(,2)2ππ上单调递增，此时有两个极小值点，不符合题意： ①当22e a π=时，ln22a π=，此时f x （）在（0，32π）上单调递减，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，此时f x （）在32x π=的时候取得极小值，则22e a π=时符合题意；①当3222e 2e a ππ<<时，3ln 222a ππ<<，此时f x （）在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在,ln 22a π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3ln 22a π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，此时有两个极小值点，不符合题意； ①当322e a π=时，3ln22a π=，此时f x （）在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，此时f x （）在2x π=的时候取得极小值，则322e a π=时符合题意；①当322e 2e a ππ<<时，3ln 222a ππ<<，此时f x （）在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在3(,ln )22a π上单调递减，在(ln ,2)2aπ上单调递增，此时有两个极小值点，不符合题意；综上所述3222(,22e ,)2 ][e ,2e a πππ⎧⎫∈-∞+∞⎨⎬⎩⎭.【点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同． (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．15．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知函数()()2ln 0ax af x x a x -=->.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()2ag x f x x=-+有两个零点12,x x ，若212x x >，证明：3312672e x x +>． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得()2221b ax x af x a x x x -+-=--='，对导函数进行分情况讨论其正负，即可得()f x 的单调性. （2）通过函数有两个零点，转化成1212ln 2ln 2x x a x x ++==，然后根据比例，构造出221111ln 2ln()2ln 2ln 2x x tx x x x ++==++，得到122111,e t x t x t x --==，进而构造函数33313ln ()ln[(1)]ln(1)1t t h t t t t t -=+=++-，利用导数处理单调性，进而可求. (1)）()2221b ax x af x a x x x -+-=--=' 令2()F x ax x a =-+- ，则()00F a =-< ，且对称轴102x a=> 而214a ∆=-易知当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时()f x 在0⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 单调递减，在⎝⎭单调递增当)12a ∞⎡∈+⎢⎣， 时()f x 在()0+∞，单调递减. (2)()g x 有两个零点12,x x 且0x >，则1212ln 2ln 2ln 2ln 20x x x x ax a a x x x +++-+=⇒=⇒==， 设21x t x =， 212x x >，2t ∴> ∴221111ln 2ln()2ln 2ln 2x x tx x x x ++==++，∴11ln ln 2ln 2t x t x ++=+，所以12111ln ln 2e 1t t x x t t --=-⇒=-， ∴33333631121(1)e (1)t x x t x t t --+=+=+，设33313ln ()ln[(1)]ln(1)1t t h t tt t t -=+=++-，2t >，则222331(1)()[1ln ](1)1t t h t t t t t -'=--+-+， 设2231(1)()1ln 1t t t t t tϕ-=--++，则7437323223211()(441)[(1)4(1)](1)(1)t t t t t t t t t t t t t ϕ--'=+--=-+-++， 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数()t ϕ在(1,)t ∈+∞上递增，()()10t ϕϕ∴>=，则()0h t '>，()h t ∴在(1,)+∞递增，又2t >，∴()(2)ln72h t h >=，故3361272e x x -+>． 【点睛】本题考查了含参函数的单调性，最值问题，方程与函数零点的综合问题，利用导数解决单调性的问题，分情况讨论，转化，构造函数证明不等式，二阶求导等综合性的函数知识，在做题时要理清思路，是一道导数的综合题.16．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 【答案】(1)()e,+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知0a ≠，由参变量分离法可知直线1y a=与函数()ln xf x x=的图象有两个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可求得实数a 的取值范围；（2）令e 0x t x =>，其中0x >，令111e x t x =，222e xt x =，分析可知关于t 的方程ln 0t a t -=也有两个实根1t 、2t ，且12t t ≠，设120t t >>，将所求不等式等价变形为12112221ln 1t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令121t s t =>，即证()21ln 1s s s ->+，令()()21ln 1s g s s s -=-+，其中1s >，利用导数分析函数()g s 的单调性，即可证得结论成立. (1)解：函数()h x 的定义域为()0,∞+.。

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析

高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析

高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,3,7导数的几何意义2,4,5,6,9,10,12简单综合问题8,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列求导数的运算中错误的是( C )(A)(3x)′=3x ln 3(B)(x2ln x)′=2xln x+x(C)()′=(D)(sin x·cos x)′=cos 2x解析:因为()′=,C项错误.2.(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( C )(A)y=x (B)x=0(C)y=0 (D)不存在解析:函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.3.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( B )(A)a<f′(2)<f′(4) (B)f′(2)<a<f′(4)(C)f′(4)<f′(2)<a (D)f′(2)<f′(4)<a解析:由题中图象可知,在[2,4]上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a,在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,所以f′(2)<a<f′(4),故选B.4.(2018·河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为( D )(A)(B)(C)-(D)-解析:由题意,y′=3x2,当x=1时,y′|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为.解析:因为f(x)=2x2+1,所以f′(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,所以f(x0)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案:(-2,9)6.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:17.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=k x+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=x f(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)= .解析:由图形可知,f(3)=1,f′(3)=-,因为g′(x)=f(x)+xf′(x),所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0.答案:08.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为.解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为g′(x)=(ln x)′=,则1=,所以x0=1,则切点坐标为(1,0),所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为( D )(A)ln 2 (B)1 (C)1-ln 2 (D)1+ln 2解析:由y=xln x得y′=ln x+1,设切点为(x0,y0),则k=ln x0+1,因为切点(x0,y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0ln x0,所以k=ln x0+,所以ln x0+=ln x0+1,所以x0=2,所以k=ln 2+1.故选D10.(2018·广东东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,所以或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( A )(A)y=sin x (B)y=ln x(C)y=e x (D)y=x3解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.对于A:y′=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于B:y′=,若有·=-1,则x1x2=-1,因为x1>0,x2>0,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y′=e x,若有·=-1,即=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于D:y′=3x2,若有3·3=-1,即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.12.(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为.解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,所以f′(x)=x-a+(x>0).因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f′(x)存在零点,即x+-a=0有解,所以a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).答案:[2,+∞)14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于.解析:设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.答案:-1或-。

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：2-11导数在研究函数中的应用

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课后课时作业[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( )A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·郑州一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)答案 B解析 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·云南师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·湖北高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0，当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·沈阳一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3e x ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 A解析 由f (x )>3e x ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·浙江高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x －1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x －2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎨⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x， 由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a 3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.10．[2015·云南一检]已知函数f (x )＝ln x －x 1＋2x. (1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f [x (3x －2)]<－13，求实数x 的取值范围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f (x )＝ln x －x 1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x (1＋2x )2＝4x 2＋3x ＋1x (1＋2x )2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0.∴当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13. 由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎨⎧ x (3x －2)>0x (3x －2)<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1. 11．[2015·陕西一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e . (1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，求实数a 的值．解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e ，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12， 设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ln x 0＋1＝3ax 20－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e 26.12．[2016·云南检测]已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)．(1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x ，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]．∵f (x )在[－2，－1]上单调递增，∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0.又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x <0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎨⎧ f ′(－2)＝(－2)2－2(m ＋3)＋2m －2≤0，f ′(－1)＝(－1)2－(m ＋3)＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练] 1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2]答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a <1<6－a 2，得－5<a <1，不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2,1)．故选C.2．[2016·昆明调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数答案 D解析 由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x (x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e 和x ＝e分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e ，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·四川高考]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2. 现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x 是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立． ②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立．③若m ＝n ，则有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2， 即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ＝0，得2x ln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知，存在a 使对任意x ∈R 恒有2x ln 2>2x ＋a ，此时h (x )在R 上是增函数．若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2，∴③不成立．④若m ＝－n ，则有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2， f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )，则φ(x )＝2x ＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2x ln 2＋2x ＋a ＝0，即2x ln 2＝－2x －a .由y1＝2x ln 2与y2＝－2x－a的图象可知，对任意的a，存在x0，使x>x0时y1>y2，x<x0时y1<y2，故对任意的a，存在x0，使x>x0时，φ′(x)>0，x<x0时φ′(x)<0，故对任意的a，φ(x)在R上不是单调函数．故对任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使m＝－n，∴④成立．综上，①④正确．4．已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.解(1)f′(x)＝e x－1x＋m.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln (x＋1)，x∈(－1，＋∞)．函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)，故只需证当m＝2时f(x)>0.当m＝2时，f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值．故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0. 综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。

11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

导数专题知识点总结

导数专题知识点总结

导数专题知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是函数在某一点的变化率，描述了函数曲线的切线斜率。

在实际应用中，导数有着广泛的应用，如在物理学、经济学、工程学等领域中都有着重要的作用。

本文将对导数的相关知识点进行总结，包括导数的定义、性质、常见函数的导数计算、导数的应用等方面。

一、导数的定义1. 函数的变化率导数是描述函数在某一点的变化率，即函数在该点的瞬时速度。

通俗地讲，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。

2. 导数的定义设函数y=f(x)，当自变量x在x=a的某个邻域内有增量Δx时，对应的函数值的增量Δy=f(a+Δx)－f(a)，当Δx趋向于0时，相应的Δy也趋向于0，则称函数f(x)在点x=a处可导，并称导数为f'(a)，即f'(a)＝lim[Δx→0]{f(a+Δx)－f(a)}/Δx，如果该极限存在，则称f(x)在点x=a处可导。

3. 几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。

当函数在某一点可导时，该点的切线斜率就是该点的导数值。

4. 导数的算符表示导数也可以表示为算符的形式，如y＝f(x)，则y'＝dy/dx表示导数，其中dy表示y的微小增量，dx表示x的微小增量。

二、导数的性质1. 导数的加法性设函数y=f(x)和y=g(x)在点x=a处可导，则有(f(x)±g(x))'|a=f'(a)±g'(a)。

2. 导数的乘法性设函数y=f(x)和y=g(x)在点x=a处可导，则有(f(x)·g(x))'|a=f'(a)·g(a)+f(a)·g'(a)。

3. 导数的复合函数设函数y=f(g(x))和y=f(x)在点x=a处可导，则有(f(g(x)))'|a=f'(g(a))·g'(a)。

4. 导数的倒数设函数y=1/f(x)在点x=a处可导且f(a)≠0，则有(1/f(x))'|a=-f'(a)/[f(a)]^2。

高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解11--- 导数-恒成立问题(解析版)

高考数学复习考点知识与题型专题讲解11--- 导数-恒成立问题(解析版)

1 / 31高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题11导数-恒成立问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．恒成立问题的解法（1）若()f x 在区间D 上有最值，则恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）若能分离常数，即将问题转化为()a f x >（或()a f x <），则 恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.1．已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<． （1）证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值； （2）当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考试卷（全国Ⅰ卷） 【答案】（1）证明见解析；（2）1a <-．【分析】（1）对函数求导，讨论函数的单调区间，进而可证明结果．（2）构造函数()e sin 10=+-+<x h x a x x ，只需函数最大值小于0即可得出结果．【解析】（1）证明：()e cos 1x f x a x '=++， 因为[]0,x π∈，所以1cos 0x +≥， 当1a =-时，()cos 1x f x e x '=-++， 令()e cos 1,()e sin 0x x g x x g x x '=-++=--<，()g x 在区间[]0,π上单调递减；(0)121,()e 0g g ππ=-+==-<， 存在()00,π∈x ，使得()00f x '=，所以函数()f x 递增区间是[]00,x ，递减区间是[]0,x π． 所以函数()f x 存在唯一的极大值()0f x ． （2）由()21f x x <-，即令()e sin 10,0,()e cos 10'=+-+<<∴=+-<x x h x a x x a h x a x ，()h x ∴在区间[]0,π上单调减函数，()(0)1≤=+h x h a ，只要10a +<即可，即1a <-．2．已知函数()()2112f x x alnx a x =-+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()22a f x >恒成立，求正实数a 的取值范围、【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）01a <<． 【分析】（1）求出导函数()()()1x x a f x x+-'=，讨论0a ≤或0a >，利用函数的单调性与导数之间的关系即可求解．（2）令()()2 2a g x f x =-，结合（1）不等式等价于()0g a >，只需10lna a +-<，令()1h x lnx x =+-，根据函数为增函数即可求解．3 / 31【解析】()1定义域为()0,-∞， ()()()()2111x a x a x x a af x x a x x x+--+-'=-+-==当0a ≤时，在(0,)+∞上()0,f x '≥所以()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()'0f x >有,x a >令()'0f x <有0,x a << 所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．()2令()()2 2a g x f x =-，由()1及a 为正数知，()()22ag x f x =-在x a =处取最小值，所以()22a f x >恒成立等价于()0g a >，即()10alna a a -+->，整理得10lna a +-<，令()1h x lnx x =+-， 易知()h x 为增函数，且()10,h =所以10lna a +-<的a 的取值范围是01a <<.3．已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈．（1）讨论函数()f x 在区间[1,2]上的最小值；（2）当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有cos ()x e xf x x+<成立．【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数1()ln =+f x a x x的定义域是(0,)+∞， 2211()a ax f x x x x-'=-=．当0a 时，2110,0ax ax x --<<，则()0f x '<，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，即函数()f x 在区间[1,2]上单调递减， 故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+． 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<；令()0f x '>，得1x a>；故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当11a，即1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增， 故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =； 当12a，即102a <时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递减，故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+； 当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 此时函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．综上，当12a时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+；当112a <<时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． （2）当1a =时，1()ln f x x x=+， 要证cos ()x e x f x x +<，即证1cos ln x e xx x x++<，因为0x >，所以两边同时乘x ，得ln 1cos x x x e x +<+， 即证ln cos 1x x x e x <+-．当01x <时，ln 0x x ，而cos 11cos11cos10x e x +->+-=>，所以ln cos 1xx x e x <+-成立，即cos ()x e xf x x+<成立．当1x >时，令()cos ln 1(1)x h x e x x x x =+-->， 则()sin ln 1x h x e x x '=---．5 / 31设()sin ln 1(1)xg x e x x x =--->，，则因为1()cos x g x e x x'=--．因为1x >，所以1()cos 110xg x e x e x'=-->-->，所以当1x >时，()g x 单调递增，所以()sin110g x e >-->，即()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()cos110h x e >+->，即cos ()x e xf x x +<成立．综上，对任意(0,)x ∈+∞，恒有cos ()x e xf x x+<成立．【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，第2问解题的关键是把cos ()x e x f x x+<等价转化为ln cos 1x x x e x <+-，然后构造函数，利用导数证明即可，属于中档题 4．已知函数f (x )＝ax －ln x －1． （1）若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值；（2）求证：xe x-＋x ＋ln x －1≥0；（3）已知k (x e -＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）[1，＋∞)．【解析】（1）f (x )≥0等价于a ≥ln 1x x+． 令g (x )＝ln 1x x+ (x ＞0)，则g ′(x )＝2ln xx -，所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，则g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g （1）＝1，则a ≥1， 所以a 的最小值为1．（2）证明：当a ＝1时，由（1）得x ≥ln x ＋1，即t ≥ln t ＋1(t ＞0)．令x e x -＝t ，则－x －ln x ＝ln t ，所以x e x -≥－x －ln x ＋1，即x e x -＋x ＋ln x －1≥0．（3）因为k (xe -＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，即k x e x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1－ln x 恒成立， 所以k ≥1ln xx e x x--+＝－ln 1xx e x x x e x x--++-+＋1，由（2）知x e x-＋x ＋ln x －1≥0恒成立，所以－+ln 1x x ex x x ex x--+-+＋1≤1，所以k ≥1．故k 的取值范围为[1，＋∞)．【名师点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明． 5．已知函数()()1ln 2f x x mx m R =-∈，()()0ag x x a x=->． （1）求函数()f x 的单调区间． （2）若212m e=，对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测 【答案】（1）答案见解析；（2）(]0,3．【分析】（1）函数的定义域为()0,∞+，求导得()1'2f x m x=-，再分0m ≤和0m >两种情况讨论求解即可；（2）根据题意，问题转化为对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都满足()()min max g x f x ≥，再根据导数研究函数的最值即可． 【解析】（1）()()1ln ,02f x x mx m R x =-∈>，所以()1'2f x m x=-， 当0m ≤时，()0f x >′，()f x 在()0,∞+上单调递增．7 / 31当0m >时，由()0f x '=得12x m=； 由()'00f x x ⎧>⎨>⎩得102x m <<；由()'00f x x ⎧<⎨>⎩得12x m >．综上所述，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当0m >时，()f x 的单调递增区间为10,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）若212m e =，则()211ln 22f x x x e =-． 对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥成立，等价于对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都()()min max g x f x ≥，由（1）知在22,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在22,2e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()f x 的最大值为()212f e =， ()()2'100a g x a x=+>>，22,2x e ⎡⎤∈⎣⎦， 函数()g x 在22,2e ⎡⎤⎣⎦上是增函数，()()222mina g x g -==， 所以1222a -≥，解得3a ≤，又0a >，所以(]0,3a ∈．所以实数a 的取值范围是(]0,3．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，回归转化思想，分类讨论思想，是中档题．本题第二问解题的关键在于根据已知将问题转化为对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都满足()()min max g x f x ≥，再研究函数的最值求解．6．已知函数()axf x e x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线的斜率为1，求()f x 的单调区间；（2）若不等式()2ln ax f x e x ax ≥-对(]0,x e ∈恒成立，求a 的取值范围．【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考【答案】（1）单调递减区间为ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）由题设()1axf x ae '=-，根据导数的几何意义有()01f '=，可求a ，即()221x f x e '=-，进而可求()f x 的单调区间；（2）由题意，函数不等式恒成立可转化为(]0,x e ∈上ln 1ln 1ax ax xe e x --≥恒成立，构造函数()ln 1x g x x -=，应用导数研究其单调性可得ln x a x ≥在(]0,x e ∈上恒成立，即在(]0,x e ∈上max ln ()xa x≥即可求a 的取值范围． 【解析】（1）()1axf x ae '=-，则()011f a '=-=，即2a =． 所以()221xf x e '=-，令0fx ，得ln 22x =-． 当ln 22x <-时，0f x ；当ln 22x >-时，0f x ．故()f x 的单调递减区间为ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）由()2ln ax f x e x ax ≥-，即()2ln 1ax ax x e x -≥-，有1ln 1ax a x e x x --≥，故仅需ln 1ln 1ax axxe e x --≥即可． 设函数()ln 1x g x x -=，则ln 1ln 1ax axxe e x --≥等价于()()axg e g x ≥． 因为()22ln x g x x -'=， 所以当(]0,x e ∈时，0g x ，则()g x 在(]0,e 上单调递增，所以当(]0,x e ∈时，()()axg e g x ≥等价于当(]0,x e ∈时，()()ax g e g x ≥，ax e x ≥，即ln xa x≥恒成立． 设函数()ln x h x x =，(]0,x e ∈，则()21ln 0xh x x -'=≥， 即()h x 在(]0,x e ∈递增，所以()()max 1h x h e e==，则1a e ≥即可，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【名师点睛】（1）应用导数的几何意义求参数值，进而讨论对应函数的单调性确定单调9 / 31区间；（2）构造函数()ln 1x g x x-=，将不等式恒成立问题转化为利用函数()g x 单调性得ax e x ≥，应用参变分离判断(]0,x e ∈上max ln ()xa x≥，确定参数范围． 7．设函数()1()x xa a f x e -=+>． （1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值．【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln xxae a ae a==． 因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =．当1log ln aex a >时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减．因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值．（2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一， 因为ln (1)af e a'-=-．令()ln a g a a =，则()21ln 0a a g a '-==，得a e =． 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增， 所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10af ae '-=-<． 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>．又()1ln 1a ef a '=-．因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>． 当2a ≥时，()10f '>．即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立， 且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-． 所以n m -的最小值为2．【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是利用导数结合零点存在性定理得出()10f '-<，()10f '>，得出,m n 的可能值． 8．已知函数2()2ln 43()f x x ax ax a a =+-+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∈+∞，都有()0f x >成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模 【答案】（1）答案见解析；（2）01a ．【分析】（1）求出函数的导数，令2()21(0)g x ax ax x =-+>，分段讨论a 的值，判断()g x 的正负情况可得出单调性；（2）可得当01a 时，()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=成立；当0a <时，可得存在x ，使得()(1)0f x f <=，即可得出结论．【解析】（1）()22212()24(0)ax ax f x ax a x x x'-+=+-=>，令2()21(0)g x ax ax x =-+>， ①当0a =时，()10g x =>，在(0,)+∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增．②当0a <时，2444(1)0a a a a ∆=-=->，令()0g x =，得12x x ==，且120x x >>，11 / 31所以当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 单调递增； 当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减． ③当0a >时，4(1)a a ∆=-， 当01a <时，4(1)0a a ∆=-，在(0,)+∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增． 当1a >时，2444(1)0a a a a ∆=-=->，令()0g x =，得12a a x x a a==，且120x x <<， 所以当()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 单调递减．综上可得当0a <时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减； 当01a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减．（2）因为(1)0f =，根据（1）的讨论可知，当01a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=成立． 当0a <时，()f x 在()1,x +∞上单调递减，x →+∞时，()f x →-∞， 所以存在()1,x x ∈+∞使得()0f x <，故此时不成立．当1a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减，而121x x =<<=，所以当()21,x x ∈时，()f x 单调递减，此时()(1)0f x f <=，不合题意．综上可得01a ．【名师点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性问题，解题的关键是根据导数情况观察参数，对参数进行分段讨论，便于得出导数正负． 9．已知函数()e ln ax f x x x =-，其中e 是自然对数的底数，0a >．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为21e -，求a 的值； （2）对于给定的常数a ，若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，求证：b a ≤． 【试题来源】江苏省苏州市2021届高三下学期期初 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）求出()'f x ，根据导数的几何意义可得(1)21k f e '==-建立方程，求解方程即可得到答案．（2）不等式()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立，先证明1t e t ≥+恒成立，由此结论可得ln ln 1ln 1ax ax x xe x e x a x x+----=≥，从而可证明．【解析】（1）因为1()(1)axf x ax e x'=+-，所以切线斜率为(1)(1)121a k f a e e '==+-=-，即(1)20a a e e +-=．设()(1)2x h x x e e =+-， 由于()(2)0xh x x e '=+>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，由(1)()02a a e h a e +-==可得1a =． （2）设()1t u t e t =--，则()1t u t e '=-， 当0t >时，()0u t '>，当0t <时，()0u t '<，所以()u t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以min()(0)0u t u ==，即()0u t ≥，所以1(*)t e t ≥+．若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ax xe x bx --≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立．13 / 31设ln 1()ax xe x g x x--=，由（*）可知ln ln 1ln 1ln 1ln 1()ax ax x xe x e x ax x x g x a x x x+----++--==≥=，当且仅当()ln 0x ax x ϕ=+=时等号成立． 由()1()00x a x xϕ'=+>>，所以()ϕx 在()0+∞，上单调递增， 又()()1aaa eaea a e ϕ---=-=-，由0a >，所以10a e --<，即()0a e ϕ-<()10a ϕ=>，则存在唯一()0,1a x e -∈使得0()=0x ϕ即方程()ln 0x ax x ϕ=+=有唯一解()0,1ax e -∈，即()g x a ≥(对于给定的常数a ，当0x x =，()0,1ax e -∈时取等号)由ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立， 所以b a ≤．【名师点睛】本题考查根据切线的斜率求参数和利用导数证明不等式，解答本题的关键是先证明辅助不等式1te t ≥+，然后将问题转化为由ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立，由辅助不等式可得ln ln 1ln 1ln 1ln 1ax ax x xe x e x ax x x a x x x+----++--=≥=，从而使得问题得证，属于难题．10．已知函数3()2x f x e x mx =+++．（1）若x 轴为曲线()y f x =的切线，试求实数m 的值；（2）已知()()xg x f x e =-，若对任意实数x ，均有()1e ()x g g x +，求m 的取值范围．【试题来源】福建省名校联盟优质校2021届高三大联考 【答案】（1）e 3m =--；（2）[1,)m ∈-+∞ 【解析】（1）由2()e 3x f x x m '=++，设曲线()y f x =与x 轴相切于()0,0P x ，则()00f x =，()00f x '=．所以0030020e 20e 30x x x mx x m ⎧+++=⎪⎨++=⎪⎩，代入整理得()()020001e 210x x x x ⎡⎤-+++=⎣⎦， 由0e 0x >，22000131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以01x =，此时e 3m =--．经检验，当e 3m =--时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由3()()e 2x g x f x x mx =-=++，记1()e x h x x +=-，1()e 1x h x +'=-(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<；(1,)x ∈-+∞时，()0h x '>，故()y h x =在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． 所以()(1)2h x h ≥-=，不妨设1e x x t +-=(2t ≥)，则()1e ()()()x g g x g x t g x +-=+-()33()()22x t m x t x mx ⎡⎤=++++-++⎣⎦221324t t x t m ⎡⎤⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为[2,)t ∈+∞时，要满足()()g x t g x +≥恒成立，则2222121331212424t x t ⎛⎫⎛⎫++≥⨯-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2t =时，1x =-，能同时取等号)．即10m +≥即可，解得[1,)m ∈-+∞． 综上，[1,)m ∈-+∞时符合题意．【名师点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数值及根据不等式恒成立求参数的取值范围问题，难度较大，解答的主要思路如下：（1）当已知曲线的切线方程时，可先设切点的坐标为()00,x y ，然后格据导数的几何意义使()0f x '与所给切线的斜率相等，使点()00,x y 在所给切线上，列出方程组求解即可；（2）当已知不等式恒成立求解参数的取值范围时，可直接构造函数，利用导数分析函数的最值，使其最值符合条件即可；也可以15 / 31采用参数分离法，将问题转化为讨论不含参函数的最值问题求解． 11．已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当12a >时，若对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12a f x x ≥+，求a 的取值范围． 【试题来源】广西桂林、崇左市2021届高三联合调研考试（二模） 【答案】（1）极小值(0)1f =，无极大值；（2）122a <≤． 【分析】（1）由1a =，求导()1x f x e =-'，再利用极值的定义求解； （2）将()2()12a f x x ≥+，转化为2(1)2axa e x ≥+，易知0x =，1x =-时，a 的范围，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，转化为2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立，令()2ln(1)ln 2aF x x ax =+-+，用导数法由()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立求解即可．【解析】（1）当1a =时，由()10x f x e '=-=，解得0x =． 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减．∴函数()f x 在0x =取得极小值(0)1f =，无极大值． （2）由()2()12a f x x ≥+，则有2(1)2axa e x ≥+． 令0x =，得11,222a a ≥<≤．当1x =-时，不等式2(1)2ax a e x ≥+显然成立，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2a F x x ax =+-+， 即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立．由22(1)()011a x F x a x x '-+=-==++，得211x a =->-．故当21,1x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '>单调递增；当21,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '<单调递减．因此22()12ln 2ln 2ln 22a a F x F a a a a ⎛⎫≤-=-++=-- ⎪⎝⎭．令函数()2ln 2ag a a =--，其中122a <≤， 则11()10a g a a a='-=-=，得1a =， 故当1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g a g a '<单调递减；当(1,2]a ∈时，()0,()g a g a '>单调递增．又13ln 40,(2)022g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，故当122a <≤时，()0g a ≤恒成立，因此()0F x ≤恒成立， 即当122a <≤时，对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12a f x x ≥+成立． 12．已知函数()2()2ln 1f x x x =--，()()21g x k x =-．（1）当1k =时，求函数()()()F x f x g x =-的极值；（2）若存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测 【答案】（1）()0F x =极大值，()F x 无极小值；（2）(),1-∞． 【分析】（1）2()2ln 1F x x x =-+，求导得22(1)(1)()2x x F x x x x-+-'=-=，显然()0,1x ∈时，()F x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()F x 为减函数，所以()F x 在1x =处取得极大值，无极小值，然后计算()1F 即可；（2）()()f x g x >恒成立即()()0f x g x ->恒成立，也即()0F x >恒成立，结合（1）的结论对k 分类讨论，当1k 时，不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立；当1k <时，22(1)1()x k x F x x⎡⎤-+--⎣⎦'=，令()0F x '=，得211(1)40k k x ---+=<，17 /3121x =>，可证得函数()F x 在()21,x 上是增函数，所以存在021x x <≤，使得当()01,x x ∈时，()()10F x F >=．【解析】（1）当1k =时，22()2ln (1)2(1)2ln 1F x x x x x x =----=-+，()F x 的定义域为()0,∞+，22(1)(1)()2x x F x x x x-+-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0F x '>，()F x 为增函数， 当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 为减函数， 所以()()10F x F ==极大值，()F x 无极小值；（2）由（1）可知，若1k =，则当1x >时，()()10F x F <=，即()()f x g x <， 所以不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立，若1k >，则当1x >时，22()2ln (1)2(1)2ln (1)2(1)0F x x x k x x x x =----<----<， 即不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立； 若1k <，2()2ln (1)2(1)F x x x k x =----，22(1)12()222x k x F x x k x x⎡⎤-+--⎣⎦'=-+-=， 令()0F x '=，得10x =<，21x =>，所以当()20,x x ∈时，()0F x '>，()F x 为增函数， 即函数()F x 在()21,x 上是增函数，所以存在021x x <≤，使得当()01,x x ∈时，()()10F x F >=， 即()()f x g x >成立，综上，所以实数k 的取值范围是(),1-∞．13．已知函数()ln a ef x x x-=+，其中e 是自然对数的底数． （1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值；（2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围． 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）【答案】（1）0a =；（2）1m e≥-．【分析】（1）设切点坐标为()()00,x f x ，根据题意只需满足()02f x e'=，()00002ln 2a e f x x x x e-=+=-，然后求解方程组得出a 的值及0x 的值； （2）记()()ln a eg x f x ma x ma x-=+=++，求导讨论函数()g x 的单调性，确定最值，使()min 0g x ≥成立，得到关于参数m 的不等式，然后利用参数分离法求解参数m 的取值范围．【解析】（1）设切点为()()00,x f x ，其中01x >， 有()020012a e f x x x e -'=-=，且()00002ln 2a e f x x x x e-=+=- 得0021x a e x e -=-，所以004ln 30x x e+-=，易解得0x e =，则0a =； （2）记()()ln a e g x f x ma x ma x -=+=++，有()2x a eg x x -+'=， 当a e ≤，()20x a eg x x -+'=>恒成立，则函数()g x 在()0,∞+上递增，无最小值，不符合题意；当a e >时，当(),x a e ∈-+∞时，()0g x '>，当()0,x a e ∈-时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,a e -上递减，在(),a e -+∞上递增，所以()g x 在x a e =-处取得最小值，()()()min ln 10g x g a e a e ma =-=-++≥， 则有()1ln a e m a +--≤，记()()()1ln a e h a a e a+-=>，19 / 31有()()2ln ea e a e h a a ---'=， 易知()h a 在(),2e e 单调递增，在()2,e +∞单调递减，则()()max 12h a h e e ==，所以1m e-≤，得1m e ≥-．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般方法如下：（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可．14．已知函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <．（1）若()f x 在区间()2,+∞上单调递减，求m 的取值范围； （2）若不等式()f x n ≤对0x >恒成立，证明：30n m ->．【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）【答案】（1）14m ≤-；（2）证明见解析．【分析】（1）对函数求导，求出单调减区间，列不等式，即可的出结果．（2）求出函数求导，求出单调减区间，求出函数的最大值，列不等式12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，211111ln 222222⎛⎫⎛⎫⇒-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m m m m ，记102t m=->，构造函数()21ln 2g t t t t t =+-， 求出()g t 最小值()200012=--g t t t ，()0 2n g t m -≥，()()0312g t g >=-，即可得出结果． 【解析】（1）函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <，0x >，()()()211122?1mx x f x mx m x x++'=+++=． 令()0f x '<得12x m>-．令122m -≤，解得14m ≤-． （2）函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <，0x >，()()()121x mx f x x++'=．令()0f x '=得12x m=-， 当102x m<<-时，()0f x '>，()f x 是增函数： 当12x m>-时，()0f x '<，()f x 是减函数，． 所以当12x m=-时，()f x 既是极大值也是最大值，11121ln 2242m f m m m m +⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ln 124m m⎛⎫=--- ⎪⎝⎭． 令12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以211111ln 222222n m m m m m⎛⎫⎛⎫-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． 记102t m=->，()21ln 2g t t t t t =+-，()ln g t t t '=+，当0t >时，()g t '是增函数，1110g e e ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，()110g '=>，所以存在()00,1t ∈使000()ln 0g t t t '=+=． 当00t t <<时，()0g t '<，()g t 是减函数： 当0t t >时，()0g t '>，()g t 是增函数，所以当t t =0时，()g t 既是极小值也是最小值，()000001ln 2g t t t t t =+-． 又00ln t t =-，所以()200012=--g t t t ，则()0 2ng t m-≥成立， 当001t <<时，()0g t 是减函数， 所以()()0312g t g >=-，则322n m ->-，所以30n m ->． 【名师点睛】12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111ln 222222⎛⎫⎛⎫⇒-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m m m m ，记102t m=->，构造函数()21ln 2g t t t t t =+-是解题的关键．本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题．15．已知函数()()()2(ln ,)xf x x kx k Rg x x e =-∈=-．（1）若()f x 有唯一零点，求k 的取值范围；21 / 31（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围． 【试题来源】山东省菏泽市2021届高三下学期3月一模【答案】（1）1k e=或0k ≤；（2）1k ．【分析】（1）转化为ln x k x =有唯一实根，构造函数()ln x h x x=，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果；（2）转化为1ln 2xx k e x+≥-+恒成立，构造函数()1ln 2x xx e xϕ+=-+，利用导数求出其最大值，利用最大值可得解． 【解析】（1）由()ln f x x kx =-有唯一零点，可得方程ln 0x kx -=，即ln xk x=有唯一实根， 令()ln x h x x =，则()21ln ,xh x x -'=由()0h x '>，得0,x e <<由()0h x '<，得,x e >()h x ∴在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．()()1h x h e e∴≤=， 又()10,h =所以当01x <<时，()0h x <； 又当x e >时，()ln 0,xh x x=>由()ln x h x x =得图象可知，1k e=或0k ≤． （2）()2ln 1()xx e x kx ---≥恒成立，且0x >，1ln 2xx k e x+∴≥-+恒成立， 令()1ln 2xx x e xϕ+=-+，则()22221(l l n n 1)x x x x e x x x e x x ϕ--'⋅==-+-，令()2ln x x x x e μ=--，则211()(2)(2)0x x xx xe x e xe x x xμ'=--+=--+<(0)x >，()x μ∴在(0,)+∞单调递减，又()12110,10e e e e μμ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，存在唯一零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0,o x μ=即0200ln xx x e -=，两边取对数可得()000ln ln 2ln ,x x x -=+即()()0000ln ln ln ln ,x x x x -+-=+ 由函数ln y x x =+为单调增函数，可得00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0x μ>，()0x ϕ'>，当0x x >时，()0x μ<，()0x ϕ'<， 所以()x ϕ在()00,x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，()()00000001ln 11221x x x x x e x x x ϕϕ+-∴≤=-+=-+=， 所以()1,o k x ϕ≥=即k 的取值范围为1k ．16．已知函数f (x )=2e x +a ln(x +1)-2．（1）当a =-2时，讨论f (x )的单调性；（2）当x ∈[0，π]时，f (x )≥sin x 恒成立，求a 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增；（2）[)1,-+∞． 【分析】（1）将2a =-代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解．（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈，等价于()()00g x g ≥=恒成立，求出()g x '，讨论0a ≥或0a <，判断函数的单调性，其中0a <时，可得()0211g a a '=+-=+，讨论10a +≥或10+<a ，证明函数的单调性即可证明．【解析】（1）当2a =-时()(),22ln 12,1x f x e x x =-+->-．23 / 31()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '= 当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>． 所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增．（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈当[]0,x π∈时，()sin f x x ≥恒成立等价于()()00g x g ≥=恒成立．由于()()[]cos 2cos ,0,1xag x f x x e x x x π=-=+-∈+''， 所以（1）当0a ≥时，()210,xg x e '≥->函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g ≥=，在区间[]0,π恒成立，符合题意．（2）当0a <时，()2cos 1xag x e x x =+-+'在[]0,π单调递增，()0211g a a '=+-=+． ①当10a +即10a -≤<时，()()010,g x g a ≥=+≥''函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g =在[]0,π恒成立，符合题意．②当10+<a 即1a <-时()(),010,211ag a g e πππ=+<=++'+'， 若()0g π'≤，即()()121a e ππ≤-++时(),g x '在()0,π恒小于0则()g x 在()0,π单调递减，()()00g x g <=，不符合题意．若()0,g π'>即()()1211e a ππ-++<<-时，存在()00,x π∈使得()00.g x '=所以当()00,x x ∈时，()0,g x '<则()g x 在()00,x 单调递减，()()00,g x g <=不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是[)1,.∞-+【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数()()[]2ln 12sin ,0,xg x e a x x x π=++--∈，不等式等价转化为()()00g x g ≥=恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想． 17．设()()ln a f x ax x =+，()11ln xg x b e x x-=⋅+，其中,a b ∈R ，且0a ≠．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，()()ln f x xg x x -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【试题来源】广西玉林市2021届高三下学期第一次适应性测试 【答案】（1）答案见解析；（2）(],e -∞．【分析】（1）分别在0a <和0a >两种情况下，结合定义域，根据导函数的正负可确定原函数的单调性；（2）将不等式化为11ln xbxex x-≤-，利用导数和复合函数单调性可确定min 11ln 1x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而转化为x e b x≤，利用导数可求得()x em x x =的最小值，由()min b m x ≤可得结果．【解析】（1）()221a x af x x x x'-=-=， ①当0a <时，由0ax >得0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>；()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增； ②当0a >时，由0ax >得0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（2）由()()ln f x xg x x -≥得11ln ln ln x x bxe x x x -+--≥，即11ln x bxe x x -≤-， 设()ln h t t t =-，则()111t h t t t-'=-=，∴当()0,1t ∈时，()0h t '>；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<；()h t ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；25 / 31又1t x=在()0,∞+上单调递减， 11ln y x x ∴=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min 11ln 1ln11xx ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭；1xbxe -∴≤在()0,∞+上恒成立，xe b x ∴≤；设()xe m x x =，则()()21x e x m x x-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0m x '<；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>；()m x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()min 1m x m e ∴==，b e ∴≤， 即实数b 的取值范围为(],e -∞．【名师点睛】本题考查恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求解函数最值得到结果．18．已知函数()()1ln x af x x e x -=--．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）证明：当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立．【试题来源】湖北省武汉市2021届高三下学期3月质量检测 【答案】（1）0；（2）证明见解析． 【分析】（1）1a =时，1()(1)ln x f x x ex -=--，求导1)1(x xe xf x -'=-，利用导函数研究函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）要证当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立，即证(1)ln ln 0x a x e x a ----≥，构造函数()(1)ln ln x a h a x e x a -=---，即证()0h a ≥恒成立，研究该函数在(0,)+∞上单调区间，求函数()0h a ≥．【解析】（1）1a =时，1()(1)ln x f x x e x -=--，定义域为(0,)+∞，求导1)1(x xe x f x -'=-，设()()g x f x '=， 121(1)0()x g x x e x-+=+'>，()f x '∴在(0,)+∞单调递增．又()10f '=，故当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =处取得最小值()10f =． （2）设()(1)ln ln x a h a x e x a -=---，求导()(1)11(1)x a xaa x e e x e e a e h a a '⎡⎤-=-=--⎢⎥⎣⎦． 设()()1xs x x e =-，()xe t x x=，()0x s x xe '=-<，所以0x >时，()s x 单调递减，()()01s x s <=．21()xx t x e x-'=，令()0t x '=，得1x =， 当01x <<时，()0t x '<，()t x 单调递减；当1x >时，()0t x '>，()t x 单调递增，()()1t x t e ∴≥=，故0a >，0x >时，()11axe x e e a-<<≤．即()0h a '<，()h a ∴在(0,)+∞上单调递减， 则01a <≤时，()()()111ln x h a h x e x -≥=--．由（1）知，()11ln 0x x e x ---≥，故01a <≤时，()0h a ≥．即()1ln ln x ax ex a ---≥恒成立．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的最小值及利用导数证明不等式，利用导数证明不等式的方法：证明()()),,(f x g x x a b <∈，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <．19．已知函数()()22x f x xe ax ax a =--∈R ．27 / 31（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()()f x f x ≥--在(),-∞+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】（1）答案见解析；（2）(],1-∞【分析】（1）先求出()f x '，令()0f x '=，比较两根大小，结合二次函数图象，即可判断()f x 的单调性；（2）将()f x 代入化简得到()220x x x e e ax ---≥，对x 进行分类讨论，易知0x =，a R ∈，0x ≠，令x e t =，根据()()0,1g t t ≥≠恒成立，对a 进行分类讨论即可求解． 【解析】（1）()()22x f x xe ax ax a =--∈R ，()()()2212x x x f x e xe ax a x e a '∴=+--=+-，x ∈R ，当0a >时，令()0f x '=，解得ln 2x a =或1x =-， 当ln 21a <-，即102a e<<， 则当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()ln 2,1x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当ln 21a =-，即12a e=， 则()0f x '≥，等号不恒成立，()f x 在R 上单调递增； 当ln 21a >-，即12a e>， 则当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,ln 2x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增． 综上所述：当102a e<<时，()f x 在(),ln2a -∞上单调递增，在()ln 2,1a -上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；当12a e=时，()f x 在R 上单调递增； 当12a e>时，()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,ln 2a -上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增；（2）()()f x f x ≥--，即()2222x x xe ax ax xe a x ax -⎡⎤--≥----+⎣⎦， 即()220x x x e e ax ---≥，即()22x x x e e ax --≥①， 当0x =时，①式恒成立，a ∈R ； 当0x >时，x x e e ->，()0x x x e e -->， 当0x <时，x x e e -<，()0x x x e e -->， 故当0a ≤时，①式恒成立，；以下求当0x ≠时，不等式20x x e e ax ---≥恒成立时正数a 的取值范围， 令x e t =，则()()0,11,t ∈+∞，()12ln g t t a t t=--， 则()22212211a t at g t t t t -+'=+-=，令()221h t t at =-+，则244a ∆=-，当01a <≤时，0∆≤，()2210h t t at =-+≥，()0g t '≥，等号不恒成立，故()g t 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故1t >，()()10g t g >=，01t <<时，()()10g t g <=， 即当01a <≤时，①式恒成立；当1a >时，0∆>，()010h =>，()1220h a =-<， 故()h t 的两个零点，即()g t '的两个零点()10,1t ∈和()21,t ∈+∞，在区间()12,t t 上，()0h t <，()0g t '<，()g t 是减函数，。

专题11 导数的运算与导数的几何意义--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

专题11 导数的运算与导数的几何意义--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)导数几何意义的综合应用．【重点知识回眸】（一）导数的几何意义1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．2.提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（二）基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数)f ′(x)＝0f (x)＝x n(n∈Q*)f ′(x)＝nx n－1f (x)＝sin x f ′(x)＝cos xf (x)＝cos x f ′(x)＝－sin xf (x)＝a x f ′(x)＝a x ln a(a＞0)f (x)＝e x f ′(x)＝e xf (x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f ′(x)＝1x ln a(a＞0，且a≠1)f (x)＝ln x f ′(x)＝1 x(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；（3）(g (x )≠0)． （四）复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． （五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． （六）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：21y x =-13,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）.5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.【典型考题解析】热点一 求曲线的切线方程【典例1】（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+【典例2】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例4】（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 热点二 求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________. 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该10x y --π-=2210x y --π-=2210x y +-π+=10x y +-π+=0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩xOy曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【方法总结】1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．2.已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 热点三 求参数的值(范围)【典例7】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =+，则2a b +=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【典例9】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【规律方法】1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 热点四 切线的斜率与倾斜角【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12【典例11】（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【典例12】（2018·全国·高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．热点五：两曲线的公切线问题【典例13】（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【典例15】（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______． 【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.热点六：导数几何意义的综合应用【典例16】（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例18】（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B 2C 3D ．342．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+3．（2022·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算sin 0.01︒的近似值为（ ） A ．0.01B ．180πC ．1800πD ．18000π4．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1eB ．2eC ．1e或2e D ．1e或4e 5．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ） A ．1-B ．0C ．12-D ．17．（2023·全国·高三专题练习）曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．220x y ++= C ．220x y --=D ．320x y --=8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ） A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <9．（2022·全国·高三专题练习）曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ） A ．22B 32C 2D 210．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线ln 3y x x x =+-在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题12．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.15．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.16．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln f x p x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =若直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象相切于点()1,0，求p 的值；18．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -，其中e 2.718=是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值； (2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0，求实数t 的值.。

导数的11个专题PDF(243页)

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目录导数专题一、单调性问题 (2)导数专题二、极值问题 (38)导数专题三、最值问题 (53)导数专题四、零点问题 (77)导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118)导数专题六、渐近线和间断点问题 (170)导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190)导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201)导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214)导数专题十、极值点偏移问题 (219)导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出()'f x ，()f x 随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：1.最高次项系数是否为0；2.导函数是否有极值点；3.两根的大小关系；4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为()0f x '≥或()0f x '≤恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。

高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)

高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)

导数及其应用（理）（一）导数导数的基本知识点：（一）．极限的基础知识:1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.5.两个重要的极限（1）0sin lim1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).基本方法和数学思想1.数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim=∞→nn ，0lim =∞→n n q （a <1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S nn -==∞→1lim 1（0<1<q ）2.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则；3..函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4..初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→（二）导数的定义：1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.例题讲解：求极限的方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x例4、(1)1lim2n a n n a ∞++=+→，则a =例5、）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）当时） ，点在x=0处连续，则2221lim x an a n n →∞+=+ .例6、（2007湖北理）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→A ．0B ．1C ．pqD ．11p q --练习：极限及其运算1.(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ;(4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-=;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .2.设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= . 3.已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .4.下列说法正确的是 A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B若()f x 则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.5.下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩导数的几何意义应用：一、知识点：1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是________________________________.2. 若函数)(x f y =在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线上点))(,(00x f x 处的切线方程是___________________________.3.曲线423+-=x x y 在点（1,3）处的切线的倾斜角为_______.4.曲线12++=x xe y x 在点（0,1）处的切线方程是_______________________.5.曲线2-=x xy 在点1=x 处的切线方程是______________________________. 例题：1.已知函数ax x x f +=32)(与c bx x g +=2)(的图像都过点P(2,0),且在点P 处有相同的切线。

导数的基本公式14个例题

导数的基本公式14个例题

导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。

1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。

- 例如：y = 5，求y^′。

- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。

2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。

- 例如：y=x^3，求y^′。

- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。

- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。

- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。

3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。

- 例如：y=sin x，求y^′。

- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。

4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。

- 例如：y = cos x，求y^′。

- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。

5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。

- 例如：y = 2^x，求y^′。

- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。

6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。

- 例如：y=log_2x，求y^′。

- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。

- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。

- 例如：y=ln x，求y^′。

- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。

7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

- 例如：y = tan x，求y^′。

- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

11考研辅导讲稿之导数应用例题资料版

11考研辅导讲稿之导数应用例题资料版

2011 考研数学之导数应用函数的零点和符号的讨论方法1．利用闭区间上连续函数的性质主要利用两个定理：介值（零点）定理和最值定理。

【参考题】 1．证明方程 4 x = 2 x 至少有一个小于1 的正根. 22．设函数 f ( x) 在[0，1] 上连续， 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ，求证存在 ξ ∈ [0，1]，使得 f (ξ) = ξ 。

已知 f ( x) 在[0， 上非负连续， f (0) = f (1) = 0 ，则对于任意一个实数 L 0 < L < 1 ） 1] （ ， 3． x0 ∈ [0，1]，使得 f ( x0 ) = f ( x0 + L) .介值定理除了表现为零点定理以外，以下这种形式要格外重视： 若函数在一个闭区间上连续，则它可以取得介于函数在该区间上的最大值和最小值之间 的任何一个数。

例 1．010210 设 f ( x) 在 [ a, a ] 上二阶连续可导（ a > 0 ） f (0) = 0 。

1）写出 f ( x) 的 ， （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 一 阶 麦 克 劳 林 公 式 ； 2 ） 证 明 在 [ a, a ] 内 至 少 存 在 一 点 η ， 使 得 （a 3 f ′′(η) = 3∫ f ( x)dx 。

a a比较： 若 二 阶 导 数 f ′′( x) 在 [2 ， 4] 连 续 ， 且 f (3) = 0 ， 求 证 在 [2 ， 4] 必 有 一 点 ξ ， 使 得f ′′(ξ) = 3∫ f ( x)dx ．24【真题】020308 设 f ( x) ， g (x) 在 [a, b] 连续，且 g ( x) > 0 。

利用闭区间上连续函数的性质， 证明在 [a, b] 存在一点 ξ ，使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (ξ) ∫ g ( x)dx 。

b b a a-1-2011 考研数学之导数应用反证法的使用在此类问题的证明中是重要的叙述手段。

2020年高考数学复习 专题11 函数的图像 (2)

2020年高考数学复习 专题11 函数的图像 (2)

I ．题源探究·黄金母题例 1 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。

【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。

例2．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？ （3）r 取何值时，只有唯一的p值与之对应？【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．例3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当(2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．【解析】3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1.2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。

高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题

导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4. 求导数的四则运算法则：（为常数）注：①必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则：或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.（为常数）（）II.III. 求导的常见方法：①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线在点处的切线方程为（ ）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线上的点的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程求过点且与曲线相切的直线方程．练习题：　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（2009全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为2.（2010江西卷）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线在点（0,1）处的切线方程为。

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导数大题专题【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。

作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.一、常用结论1. sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. 2.1x e x >+ 3.ln(1)x x >+ 4. ln ,0x x x e x <<>.二、导数题型1.导数单调性、极值、最值的直接应用 2.交点与根的分布 3. 不等式证明（1）作差证明不等式（2）变形构造函数证明不等式（3）替换构造不等式证明不等式4. 不等式恒成立求字母范围（1）恒成立之最值的直接应用（2）恒成立之分离常数（3）恒成立之讨论字母范围5.函数与导数性质的综合运用 6. 导数应用题7. 导数结合三角函数【考点例题解析】一、导数单调性、极值、最值的直接应用例题1.（切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.例题2（天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.变式 1.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx －a x.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值.2.已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.3.已知函数()ln ,().x f x x g x e ==⑴若函数φ (x) = f (x)－11x x +-，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y=g(x)相切．二、交点与根的分布1、（2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间； ⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．2.（2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）已知a ∈R ，函数()ln 1,()(ln 1),x a f x x g x x e x x =+-=-+（其中 2.718e ≈） （I ）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（II ）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()yg x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。

变式1.已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程m ex x x f x +-=2)(ln 2的根的个数．2.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值； ⑶若过点()()2,2Mm m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．三、不等式证明1、作差证明不等式1.（2010湖南，最值、作差构造函数）已知函数x x x f -+=)1ln()(．(1)求函数)(x f 的单调递减区间；(2)若1->x ，求证：111+-x ≤)1ln(+x ≤x ．2.（2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3lng x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：当0x >时，()()f x g x ≥．3.（2009全国II 理21，字母替换，构造函数）设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <⑴求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：()212ln 24f x ->.2、变形构造函数证明不等式1.（变形构造新函数，一次）已知函数()(1)ln f x a x ax =+-．⑴试讨论()f x 在定义域内的单调性；⑵当a ＜－1时，证明：12,(0,1)x x ∀∈，1212|()()|1||f x f x x x ->-．求实数m 的取值范围．2.（2011辽宁理21，变形构造函数，二次）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f .⑴讨论函数)(x f 的单调性； ⑵设1-<a ，如果对任意),0(,21+∞∈x x ，|)()(|21x f x f -≥||421x x -，求a 的取值范围.3、替换构造不等式证明不等式1、（第3问用第2问）已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：()(2).2b a f a b f a a -+-<2、（替换构造不等式）已知函数1)(2++=x b ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵设x x g ln )(=，求证：)(x g ≥)(x f 在),1[+∞∈x 上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知b a <<0，求证：222ln ln ba a ab a b +>--.（替换构造）3、已知()22(0)b f x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：11111(21)()3521221n n n n n +++++>++∈-+12)12ln(21+++n n n （n ∈N*）四、不等式恒成立求字母范围1、恒成立之最值的直接应用1、（2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数2()()x k f x x k e =-。

⑴求()f x 的单调区间；⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围.2、恒成立之分离常数2、（分离常数） 已知函数()ln 1,.a f x x a R x =+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.2、(恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)已知函数).0()1ln(1)(>++=x xx x f （Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1)(+>x k x f 恒成立，求整数k 的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e 2n －3.3、恒成立之讨论字母范围1、（2007全国I ，利用均值，不常见）设函数()e e x x f x -=-．⑴证明：()f x 的导数()2f x '≥；⑵若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．2.已知函数1ln )1()(+-+=x x x b x f ，斜率为1的直线与)(x f 相切于(1,0)点. （Ⅰ）求()()ln h x f x x x =-的单调区间；（Ⅱ）当实数01a <<时，讨论21()()()ln 2g x f x a x x ax =-++的极值点。

（Ⅲ）证明：(1)()0x f x -≥.五、导数结合三角函数1、已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数．（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程m ex x x f x +-=2)(ln 2的根的个数．2、设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当3a >，[]10k ∈-，时，若不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值。

六、函数与导数性质的综合运用1、（综合运用）已知函数()()x f x xe x -=∈R ⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x > ⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>2、已知函数()ln(1),()1x f x x g x e =+=-，（Ⅰ）若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；（Ⅱ）对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明理由．七、导数应用题如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9m 、3m ，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9，线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m（I ）求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域；（II ）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？。

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