——线性规划与非线性规划
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在一个线性规划模型中， (1)决策变量应当完全描述要做出的决策. (2)决策者都希望由决策变量表示的目标函数最大化(通常为收入或利润)或最小化(通 常为成本).目标函数中的系数反映的是决策变量对目标函数的单位贡献. (3)主约束条件中决策变量的系数称为“技术”系数，这是因为技术系数经常影响用于 “生产”不同“产品”的技术.右端项常表示可用资源的数量.
决策人在作决策时要有“科学观”，为实现目标(“利益”最大化)应进行“科学决策”. 最优化模型正是为实现科学决策而建立的数学模型，是科学决策的科学体现.
科学决策的目的是要对为实现目标而提出的设计和操作最佳化，最终实现决策人的“利 益”最大化.
一个最优化模型包括决策变量、目标函数和约束条件，它将“说明”决策变量在满足约 束条件的前提下应使目标函数值最优化(最大或最小).
xj 0, j 1,, n.
(2.1)
这里，
约束 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i 1,, m) 是对决策变量的主要约束，称为主约束， 而约束 x j 0( j 1,, n) ( x j ( j 1,, n) 称为非负变量)是对决策变量的符号约束；
(3)如果线性规划有最优解，那么可行域的某个顶点必是最优解.
(4)求解线性规划将出现下列 4 种情况之一.
情况 1：有唯一(最优)解. 情况 2：有无穷多(最优)解. 情况 3：解无界. 情况 4：无解.
有唯一解 有无穷多解 有无界解
无解
3. 一般线性规划的解法
线性规划的解法有 Dantzig 单纯形法，大 M 法，对偶单纯形法，Karmarkar 法，列生成 法，目标规划，分解算法等.
(2.3)
xj 0, j 1,, q,
xj为为 , j q 1,, n.
这里，
约 束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi (i 1,, p) 、 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
(i p 1,,u) 和 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i u 1,, m) 是 主 约 束 ， 而 约 束
ai1 aij
x1
ain aij
xn ，
代入到目标函数和其它约束函数中便可去掉 x j .
第一种方法将增加变量的数目，导致问题的维数增大.第二种方法正好相反.
(2.7)
用(2.4)、(2.5)两式替换(2.3)式中相应的不等式约束，将(2.6)式或(2.7)式代入目标
函数和其它约束函数中，去掉目标函数与主约束中的所有自由变量，最后将
使z ( x1* ,
x2*
f (x1*, x2* ,, xn* )
,, xn* ) 为目标函数
称为最优值.
f
在可行
最优解有严格与非严格和全局与局部之分.优化模型的最优解是指全局最优解.
严格极小点
严格极小点
局部
全局
非严格极小点
非严格极小点
图 1 一维函数的最优解图示
这里指出：最优化方法解出的多是优化模型的局部最优解.由于最优化方法多为迭代法， 所以取不同的初始点一般会得到一个或多个局部最优解，然后再从这些局部最优解中找出 “全局”最优解.
si
0(i
p
1,,u) 、 ei
0(i
u
1,, m) 和
x
j
0,
x
j
0(
j
q
1,, n)
加入(2.3)
式的符号约束中，(2.3)式就此转化为标准形式的线性规划
min
(为 max)
z
c1x1
cq xq
cq为1
x q 1
x 为 q 1
c为n
运筹学
——线性规划与非线性规划
线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.
运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一 门数学学科.
有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.
数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现. 数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展. 没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要 问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模 竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力 和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生 们认真学习的推动力.
决策变量是指影响并决定目标实现的变量，其变化范围一般是可控制的. 目标函数是指根据决策变量建立的目标的函数表达式. 约束条件是指决策变量所受的限制(用等式、不等式的函数方程表示).
人们建立最优化模型的目的是，希望通过科学的计算方法(称为最优化方法)找出使目标 函数值最优(最大或最小)的决策变量的值(称为最优决策).
x1
b1
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
, c
c2
cn
,
x
x2 xn
,
b
b2
bm
.
x
(x1, x2,, xn )T
x n
xn为 ;
s.t.
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
bi ,
i 1,, p,
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
引入松弛变量 ei 0 ，将不等式约束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 改写为 ai1x1 ai2x2 ain xn ei bi ， i u 1,, m .
(ii)去除自由变量
(2.4) (2.5)
去掉自由变量 xj ( j q 1,, n) 有两种办法：
x j 0( j 1,, q) 和 x j 任意 ( j q 1,, n) 是符号约束，其中 x j ( j q 1,, n) 称为自由
变量.
一般形式可以(通过如下办法)转化为标准形式.
(i)将不等式约束转化为等式约束
引入剩余变量 si 0 ，将不等式约束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 改写为 ai1x1 ai2x2 ain xn si bi ， i p 1,, u .
解整数规划的方法主要有穷举法(对决策变量过多的问题不适用)、分枝定界法和割平面 法.分枝定界法比较常用.
解小规模 0-1 规划的常用方法——隐枚举法. 分枝定界法也适用于求解混合整数规划.
参考书目：刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001 胡运权.运筹学基础及应用.北京：高等教育出版社,2004
bj (i 1,, m) 是主约束的右端常数项(通常不妨设为非负数)； c j ( j 1,, n) 称为价
值系数.
(2.1)式可以写成如下矩阵形式
min z cT x;
(为 max)
s.t. Ax
b,
x
0.
(2.2)
其中，
a11 a12 a1n
c1
5. 特殊的线性规划问题及其解法
(1)运输问题 运输问题用“运输”单纯形法求解. (2)转运问题 转运问题可以化为运输问题，所以也用“运输”单纯形法求解. (3)指派问题 指派问题是特殊的 0-1 规划，常用匈牙利法求解.
线性规划的算法可在 Matlab“优化”工具箱中寻找.
6. 线性规划建模实例
前者称为等式约束，后者称为不等式约束.
不带约束条件的(1)式是无约束问题的模型.
由满足所有约束条件的决策向量 x (x1, x2 ,, xn )T 组成的集合称为可行域，通常记 为D.
域
求解(1)是指，寻找 x* ( D 上的最小值(或最大值).
xx1**,称x2*为,最, x优n* )解T ，Df
——决
策
向
量
，
b
(b1,, bm )T
——主
约
束
右
端
常
数
向
量
，
c (c1,, cn )T ——价值向量.
(2)一般形式
min
(为 max)
z
c1x1
c2 x2
Leabharlann Baidu
cn xn;
s.t. ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i 1,, p,
ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i p 1,, u, ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i u 1,, m,
软件中多为 Dantzig 单纯形法.
参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989 刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001
4. 特殊的线性规划
当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP). 当所有决策变量只取 0 或 1 时，称为 0-1 规划. 当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合 IP).
二、线性规划(LP)
线性规划在银行、教育、林业、石油、运输……等各种行业以及科学的各个领域中有着 广泛的应用.
1. 线性规划模型
目标函数、约束函数均为线性函数的最优化模型既是所谓的线性规划模型.
(1)标准形式
min
(为 max)
z
c1x1
c2 x2
cn xn;
s.t. ai1x1 ai2 x2 ain xn bi , i 1,, m,
实际问题的 7 步建模过程： 第 1 步：表述问题.说明目标及各种因素. 第 2 步：分析数据或采集(或收集)并分析数据. 第 3 步：建立数学模型. 第 4 步：对模型求解.即寻找最优决策. 第 5 步：检验、评价模型.如果与实际情况(或实际数据)吻合，则转到第 7 步，否则转 到第 6 步. 第 6 步：修改或矫正模型，并返回到第 1 步、第 2 步或第 3 步. 第 7 步：模型应用，提出合理化建议.
最优化数学模型的一般形式为
max z
(为 min)
f
(x1, x2,, xn );
s.t. gi (x1, x2,, xn ) 0, i 1,, p,
gi (x1, x2,, xn ) 0, i p 1,, m.
(1.1)
其中，
x j ( j 1,, n) 是决策变量； z f (x1, x2,, xn ) 是目标函数； gi (x1, x2,, xn ) 0(i 1,, p) 和 gi (x1, x2,, xn ) 0(i p 1,, m) 是约束条件，
数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变 分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行 分析、抽象及简化的能力.
数学建模既是建立实际问题的数学模型.
一、最优化模型
数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化 模型.
一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数 值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.
2. 线性规划的特点 (1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.
凸集
非凸集
凸多边形
凸多面体
(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).
si
bi ,
i p 1,,u,
，
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
ei
bi ,
i u 1,, m,
xj
0,
j
1,,
q;
x
j
0,
x j
0,
j
q 1,, n;
si 0,i p 1,,u;ei 0,i u 1,, m.
①用非负变量的差表示自由变量
设
xj
xj
x
j
，
其中
x
j
0
，
x
j
0 ，代入到目标函数和其它约束中便可去掉 x j .
(2.6)
②取一个包含 x j 的等式约束(如果有的话)，比如：
ai1x1 aij x j ain xn bi ，
由此解出
xj
bi aij
决策人在作决策时要有“科学观”，为实现目标(“利益”最大化)应进行“科学决策”. 最优化模型正是为实现科学决策而建立的数学模型，是科学决策的科学体现.
科学决策的目的是要对为实现目标而提出的设计和操作最佳化，最终实现决策人的“利 益”最大化.
一个最优化模型包括决策变量、目标函数和约束条件，它将“说明”决策变量在满足约 束条件的前提下应使目标函数值最优化(最大或最小).
xj 0, j 1,, n.
(2.1)
这里，
约束 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i 1,, m) 是对决策变量的主要约束，称为主约束， 而约束 x j 0( j 1,, n) ( x j ( j 1,, n) 称为非负变量)是对决策变量的符号约束；
(3)如果线性规划有最优解，那么可行域的某个顶点必是最优解.
(4)求解线性规划将出现下列 4 种情况之一.
情况 1：有唯一(最优)解. 情况 2：有无穷多(最优)解. 情况 3：解无界. 情况 4：无解.
有唯一解 有无穷多解 有无界解
无解
3. 一般线性规划的解法
线性规划的解法有 Dantzig 单纯形法，大 M 法，对偶单纯形法，Karmarkar 法，列生成 法，目标规划，分解算法等.
(2.3)
xj 0, j 1,, q,
xj为为 , j q 1,, n.
这里，
约 束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi (i 1,, p) 、 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
(i p 1,,u) 和 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i u 1,, m) 是 主 约 束 ， 而 约 束
ai1 aij
x1
ain aij
xn ，
代入到目标函数和其它约束函数中便可去掉 x j .
第一种方法将增加变量的数目，导致问题的维数增大.第二种方法正好相反.
(2.7)
用(2.4)、(2.5)两式替换(2.3)式中相应的不等式约束，将(2.6)式或(2.7)式代入目标
函数和其它约束函数中，去掉目标函数与主约束中的所有自由变量，最后将
使z ( x1* ,
x2*
f (x1*, x2* ,, xn* )
,, xn* ) 为目标函数
称为最优值.
f
在可行
最优解有严格与非严格和全局与局部之分.优化模型的最优解是指全局最优解.
严格极小点
严格极小点
局部
全局
非严格极小点
非严格极小点
图 1 一维函数的最优解图示
这里指出：最优化方法解出的多是优化模型的局部最优解.由于最优化方法多为迭代法， 所以取不同的初始点一般会得到一个或多个局部最优解，然后再从这些局部最优解中找出 “全局”最优解.
si
0(i
p
1,,u) 、 ei
0(i
u
1,, m) 和
x
j
0,
x
j
0(
j
q
1,, n)
加入(2.3)
式的符号约束中，(2.3)式就此转化为标准形式的线性规划
min
(为 max)
z
c1x1
cq xq
cq为1
x q 1
x 为 q 1
c为n
运筹学
——线性规划与非线性规划
线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.
运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一 门数学学科.
有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.
数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现. 数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展. 没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要 问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模 竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力 和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生 们认真学习的推动力.
决策变量是指影响并决定目标实现的变量，其变化范围一般是可控制的. 目标函数是指根据决策变量建立的目标的函数表达式. 约束条件是指决策变量所受的限制(用等式、不等式的函数方程表示).
人们建立最优化模型的目的是，希望通过科学的计算方法(称为最优化方法)找出使目标 函数值最优(最大或最小)的决策变量的值(称为最优决策).
x1
b1
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
, c
c2
cn
,
x
x2 xn
,
b
b2
bm
.
x
(x1, x2,, xn )T
x n
xn为 ;
s.t.
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
bi ,
i 1,, p,
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
引入松弛变量 ei 0 ，将不等式约束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 改写为 ai1x1 ai2x2 ain xn ei bi ， i u 1,, m .
(ii)去除自由变量
(2.4) (2.5)
去掉自由变量 xj ( j q 1,, n) 有两种办法：
x j 0( j 1,, q) 和 x j 任意 ( j q 1,, n) 是符号约束，其中 x j ( j q 1,, n) 称为自由
变量.
一般形式可以(通过如下办法)转化为标准形式.
(i)将不等式约束转化为等式约束
引入剩余变量 si 0 ，将不等式约束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 改写为 ai1x1 ai2x2 ain xn si bi ， i p 1,, u .
解整数规划的方法主要有穷举法(对决策变量过多的问题不适用)、分枝定界法和割平面 法.分枝定界法比较常用.
解小规模 0-1 规划的常用方法——隐枚举法. 分枝定界法也适用于求解混合整数规划.
参考书目：刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001 胡运权.运筹学基础及应用.北京：高等教育出版社,2004
bj (i 1,, m) 是主约束的右端常数项(通常不妨设为非负数)； c j ( j 1,, n) 称为价
值系数.
(2.1)式可以写成如下矩阵形式
min z cT x;
(为 max)
s.t. Ax
b,
x
0.
(2.2)
其中，
a11 a12 a1n
c1
5. 特殊的线性规划问题及其解法
(1)运输问题 运输问题用“运输”单纯形法求解. (2)转运问题 转运问题可以化为运输问题，所以也用“运输”单纯形法求解. (3)指派问题 指派问题是特殊的 0-1 规划，常用匈牙利法求解.
线性规划的算法可在 Matlab“优化”工具箱中寻找.
6. 线性规划建模实例
前者称为等式约束，后者称为不等式约束.
不带约束条件的(1)式是无约束问题的模型.
由满足所有约束条件的决策向量 x (x1, x2 ,, xn )T 组成的集合称为可行域，通常记 为D.
域
求解(1)是指，寻找 x* ( D 上的最小值(或最大值).
xx1**,称x2*为,最, x优n* )解T ，Df
——决
策
向
量
，
b
(b1,, bm )T
——主
约
束
右
端
常
数
向
量
，
c (c1,, cn )T ——价值向量.
(2)一般形式
min
(为 max)
z
c1x1
c2 x2
Leabharlann Baidu
cn xn;
s.t. ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i 1,, p,
ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i p 1,, u, ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i u 1,, m,
软件中多为 Dantzig 单纯形法.
参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989 刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001
4. 特殊的线性规划
当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP). 当所有决策变量只取 0 或 1 时，称为 0-1 规划. 当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合 IP).
二、线性规划(LP)
线性规划在银行、教育、林业、石油、运输……等各种行业以及科学的各个领域中有着 广泛的应用.
1. 线性规划模型
目标函数、约束函数均为线性函数的最优化模型既是所谓的线性规划模型.
(1)标准形式
min
(为 max)
z
c1x1
c2 x2
cn xn;
s.t. ai1x1 ai2 x2 ain xn bi , i 1,, m,
实际问题的 7 步建模过程： 第 1 步：表述问题.说明目标及各种因素. 第 2 步：分析数据或采集(或收集)并分析数据. 第 3 步：建立数学模型. 第 4 步：对模型求解.即寻找最优决策. 第 5 步：检验、评价模型.如果与实际情况(或实际数据)吻合，则转到第 7 步，否则转 到第 6 步. 第 6 步：修改或矫正模型，并返回到第 1 步、第 2 步或第 3 步. 第 7 步：模型应用，提出合理化建议.
最优化数学模型的一般形式为
max z
(为 min)
f
(x1, x2,, xn );
s.t. gi (x1, x2,, xn ) 0, i 1,, p,
gi (x1, x2,, xn ) 0, i p 1,, m.
(1.1)
其中，
x j ( j 1,, n) 是决策变量； z f (x1, x2,, xn ) 是目标函数； gi (x1, x2,, xn ) 0(i 1,, p) 和 gi (x1, x2,, xn ) 0(i p 1,, m) 是约束条件，
数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变 分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行 分析、抽象及简化的能力.
数学建模既是建立实际问题的数学模型.
一、最优化模型
数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化 模型.
一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数 值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.
2. 线性规划的特点 (1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.
凸集
非凸集
凸多边形
凸多面体
(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).
si
bi ,
i p 1,,u,
，
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1
x 为 q 1
a为in
x n
xn为
ei
bi ,
i u 1,, m,
xj
0,
j
1,,
q;
x
j
0,
x j
0,
j
q 1,, n;
si 0,i p 1,,u;ei 0,i u 1,, m.
①用非负变量的差表示自由变量
设
xj
xj
x
j
，
其中
x
j
0
，
x
j
0 ，代入到目标函数和其它约束中便可去掉 x j .
(2.6)
②取一个包含 x j 的等式约束(如果有的话)，比如：
ai1x1 aij x j ain xn bi ，
由此解出
xj
bi aij