——线性规划与非线性规划

软件中多为 Dantzig 单纯形法.
参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989 刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001
4. 特殊的线性规划
当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP). 当所有决策变量只取 0 或 1 时，称为 0-1 规划. 当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合 IP).
数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变 分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行 分析、抽象及简化的能力.
数学建模既是建立实际问题的数学模型.
一、最优化模型
数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化 模型.
一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数 值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.
2. 线性规划的特点 (1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.
凸集
非凸集
凸多边形
凸多面体
(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).
运筹学
——线性规划与非线性规划
线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.
运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一 门数学学科.
有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.
数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现. 数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展. 没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要 问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模 竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力 和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生 们认真学习的推动力.
二、线性规划(LP)
线性规划在银行、教育、林业、石油、运输……等各种行业以及科学的各个领域中有着 广泛的应用.
1. 线性规划模型
目标函数、约束函数均为线性函数的最优化模型既是所谓的线性规划模型.
(1)标准形式
min
(为 max)
z

c1x1

c2 x2

cn xn;
s.t. ai1x1 ai2 x2 ain xn bi , i 1,, m,
5. 特殊的线性规划问题及其解法
(1)运输问题 运输问题用“运输”单纯形法求解. (2)转运问题 转运问题可以化为运输问题，所以也用“运输”单纯形法求解. (3)指派问题 指派问题是特殊的 0-1 规划，常用匈牙利法求解.
线性规划的算法可在 Matlab“优化”工具箱中寻找.
6. 线性规划建模实例
(2.3)
xj 0, j 1,, q,
xj为为 , j q 1,, n.
这里，
约 束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi (i 1,, p) 、 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
(i p 1,,u) 和 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i u 1,, m) 是 主 约 束 ， 而 约 束
xj 0, j 1,, n.
(2.1)
这里，
约束 ai1x1 ai2x2 ain xn bi (i 1,, m) 是对决策变量的主要约束，称为主约束， 而约束 x j 0( j 1,, n) ( x j ( j 1,, n) 称为非负变量)是对决策变量的符号约束；
x n

xn为 ;
s.t.
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1

x 为 q 1

a为in
x n

xn为

bi ,
i 1,, p,
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1

x 为 q 1

a为in
x n

xn为
bj (i 1,, m) 是主约束的右端常数项(通常不妨设为非负数)； c j ( j 1,, n) 称为价
值系数.
(2.1)式可以写成如下矩阵形式
min z cT x;
(为 max)
s.t. Ax

b,
x

0.
(2.2)
其中，
a11 a12 a1n
c1
①用非负变量的差表示自由变量
设
xj

xj

x
j
，
其中
x
j

0
，
x
j
0 ，代入到目标函数和其它约束中便可去掉 x j .
(2.6)
②取一个包含 x j 的等式约束(如果有的话)，比如：
ai1x1 aij x j ain xn bi ，
由此解出
xj

bi aij

si

bi ,
i p 1,,u,
，
ai1x1 aiq xq a 为iq1
x q 1

x 为 q 1

a为in
x n

xn为

ei

bi ,
i u 1,, m,
xj
0,
j

1,,
q;
x
j
0,
x j
0,
j
q 1,, n;
si 0,i p 1,,u;ei 0,i u 1,, m.
——决
策
向
量
，
b
(b1,, bm )T
——主
约
束
右
端
常
数
向
量
，
c (c1,, cn )T ——价值向量.
(2)一般形式
min
(为 max)
z

c1x1

c2 x2

cn xn;
s.t. ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i 1,, p,
ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i p 1,, u, ai1x1 ai2x2 ain xn bi , i u 1,, m,
前者称为等式约束，后者称为不等式约束.
不带约束条件的(1)式是无约束问题的模型.
由满足所有约束条件的决策向量 x (x1, x2 ,, xn )T 组成的集合称为可行域，通常记 为D.
域
求解(1)是指，寻找 x* ( D 上的最小值(或最大值).
xx1**,称x2*为,最, x优n* )解T ，Df
解整数规划的方法主要有穷举法(对决策变量过多的问题不适用)、分枝定界法和割平面 法.分枝定界法比较常用.
解小规模 0-1 规划的常用方法——隐枚举法. 分枝定界法也适用于求解混合整数规划.
参考书目：刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001 胡运权.运筹学基础及应用.北京：高等教育出版社,2004
x1
b1
A


a21 am1
a22 am2

a2n amn
, c

c2

cn
,
x


x2 xn
,
b


b2

bm

.
x
(x1, x2,, xn )T
(3)如果线性规划有最优解，那么可行域的某个顶点必是最优解.
(4)求解线性规划将出现下列 4 种情况之一.
情况 1：有唯一(最优)解. 情况 2：有无穷多(最优)解. 情况 3：解无界. 情况 4：无解.
有唯一解 有无穷多解 有无界解
无解
3. 一般线性规划的解法
线性规划的解法有 Dantzig 单纯形法，大 M 法，对偶单纯形法，Karmarkar 法，列生成 法，目标规划，分解算法等.
最优化数学模型的一般形式为
max z
(为 min)

f
(x1, x2,, xn );
s.t. gi (x1, x2,, xn ) 0, i 1,, p,
gi (x1, x2,, xn ) 0, i p 1,, m.
(1.1)
其中，
x j ( j 1,, n) 是决策变量； z f (x1, x2,, xn ) 是目标函数； gi (x1, x2,, xn ) 0(i 1,, p) 和 gi (x1, x2,, xn ) 0(i p 1,, m) 是约束条件，
x j 0( j 1,, q) 和 x j 任意 ( j q 1,, n) 是符号约束，其中 x j ( j q 1,, n) 称为自由
变量.
一般形式可以(通过如下办法)转化为标准形式.
(i)将不等式约束转化为等式约束
引入剩余变量 si 0 ，将不等式约束 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 改写为 ai1x1 ai2x2 ain xn si bi ， i p 1,, u .

ai1 aij
x1

ain aij
xn ，
代入到目标函数和其它约束函数中便可去掉 x j .
第一种方法将增加变量的数目，导致问题的维数增大.第二种方法正好相反.
(2.7)
用(2.4)、(2.5)两式替换(2.3)式中相应的不等式约束，将(2.6)式或(2.7)式代入目标