《线性代数复习资料》第一章习题答案与提示教学文案

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线性代数第一章习题答案

线性代数第一章习题答案第一章：行列式答案第一节A 类题1 –42 3333c b a abc ---3 404 1 第二节A 类题 1 .(1) 7 (2) 4 (3)11 (4) (1)2n n -2.(1) i=8,j=3 (2) i=6,j=8B 类题1. (1)2n n -2. (1)n n -3.(1)2n n T --第三节A 类题1 （1）-3 （ 2）4433211244322311a a a a a a a a -- （3）45x （4）!)1(n n -2 （1）1123344255112335425414233142551423354251152331425 41523344251;;;;;a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---（2）5244312513a a a a a ；5441322513a a a a a ；5142342513a a a a a （3）负号“—” 3 0==b a 4 -2第五节A 类题1 （1）0 （2）-312（3）22x y （4）[]1(1)()n a n b a b -+-- (5) 2--n n a a(6) ∏∑==???? ?-ni i ni i a a a 1101 (7) 12 ()2'6x x F =3 δ33-=-ihgf e dc b aB 类题1把第n-1列的-1倍加到第n 列，第n-2列的-1倍加到第n-1列，----第一列的-1倍加到第二列，直接化为三角形行列式n 22)n 1-n 1+-）（（）（2. ()∏∑==-??? ??+ni i ni i a x a x 113. 12122111)2(2122112121110)2(2--≥--=--+--≥-∑n n j ji n n c c i r r D .第六节A 类题1（1）1（2）44a b -（3）()()()()a b c b a c a c b ++---（4）按第一列展开()n n n y x 11+-+2 34M ，()61122112=-=+M A3．0B 类题1 31234()a a a a x x ++++2 按第n 行展开，即可，n n n n n n x x a x a x a x a a ++++++----11222213 ∏≥≥≥++-11121j i n j j i i n n n na b a b a a a第七节A 类题1()313,4,32;2=-==++=c b a c bx ax x f 2满足01113111121111=-=ba a D 的4)1+=a b （ 3 利用范德蒙德行列式计算，解是 4 -6 4 -1B 类题111112222333344440a b c d a b c d a b c d a b c d =章节测试题一选择题1D 2D 3A 4C 5c 二填空121D D D --= 2 –5 3 –3 4 2d 5 ()()n n n a a 1211--三计算1-∑=ni i n a a a a 10112()()()121+---n x x x3、将前n 列加到最后一列，再按最后一列展开得 n n n a a a n D 211)1)(1(-+=+.4 122123112154314321321------=n n n n n n n n nn D n =12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（各列加到第一列提取公因子=12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（从第n 行开始减去他的前一行）= 111111111111131111200012)1(nn n n n n n n -----+（按第一列展开）11111111111111112)1( nn n n n n ----+=21)1(12)1(+---n n n n n 四．解方程组（每题10分，共20分）1. 1,1,1;2,2,2,021531211113211321==-====-=≠=-=x x DDx D D D D2.21λ=或。

线性代数第一章习题解答

2
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；

《线性代数复习资料》第一章习题答案与提

详细描述：本题主要考察学生对矩阵运算的掌握程度，包括矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算。
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况，并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
在此添加您的文本16字
详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
THANK YOU
感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算总结词：矩阵的秩总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。

线性代数第一章习题参考答案

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ，然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

线性代数第一章课后习题答案

习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）}8,7,6,5,4{ =Ω（2）}1).{(22<+=Ωy x y x（3）}18,,10,9,8,7,6,5,4,3{ =Ω2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件AB-，BC，CB .解：)}6.6(),5.5(),4.4(),3.3(),2.2(),1.1{(=-A B{(=2.2(),1.1BC3.3(),)}4.4(),2.2(),1.13.3(),{(CB4.4(),=5.5(),6.6(),)}6.5(),5.6(),6.4(),4.6(),3、设某人向靶子射击3次，用i A表示“第i次射击击中靶子”（3,2,1=i），试用语言描述下列事件.（1）21A A （2）321)(A A A （3）2121A A A A解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i =1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；（4）“三次全部击中靶子”可表示为；（5）“三次均未击中靶子”可表示为；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）321A A A ; (2) 321321321A A A A A A A A A ;(3)323121A A A A A A ; (4) 321A A A ; (5) 321A A A (6) 321A A A5.证明下列各题（1）B A B A =- （2）)()()(A B AB B A B A --=证明：（1）右边=AB A B A -=-Ω）（={A ∈ωω且}B A B -=∉ω=左边（2）右边=）（A B AB B A ()() ={}B A B A =∈∈ωωω或习题1.21.设A 、B 、C 三事件，41)()()(===C P B P A P , 0)(,81)()(===AB P BC P AC P ，求A 、B 、C 至少有一个发生的概率.解：0)(0)(=∴=ABC P AB P).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =21812413=⨯-⨯2.已知5.0)(=A p ，2.0)(=B A P ， 4.0)(=B P ，求（1）)(AB P ，(2))(B A P -， (3))(B A P ， (4))(B A P .解：（1）1.0)()(,==∴=∴⊂A P AB P AAB B A（2）5.0)()(,==∴=∴⊂B P B A P BB A B A3.设)(A P =0.2 )(B A P =0.6 A .B 互斥，求)(B P .解：B A , 互斥，)()()(B P A P B A P +=故4.02.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P4.设A 、B 是两事件且)(A P =0.4,8.0)(=B P（1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式)()()()(B A P B P A P AB P -+==)(2.1B A P -（1）由于当B A ⊂时B B A = ，)(B A P 达到最小，即8.0)()(==B P B A P ，则此时)(AB P 取到最大值，最大值为0.4（2）当)(B A P 达到最大，即1)()(=Ω=P B A P ，则此时)(AB P 取到最小值，最小值为0.25.设,1615)(,81)()()(,41)()()(=======C B A P AC P BC P AB P C P B P A P 求).(C B A P 解：)(1)(ABC P ABC P -=,16116151)(1=-=-=C B A P ).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =167161813413=+⨯-⨯ 习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A ={3张中至少有2张花色相同} 则A ={3张中花色各不相同}602.01)(1)(35211311311334≈-=-=C C C C C A P A P 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有350C 种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有33C 这一种取法，其概率为19600135033=C C ，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为196011960010101===∑=i i p p 解法二样本空间的样本点的总数为350C ，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有33110C C 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为1960135033110==C C C p 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A 表示“取出的3个数之积能被10整除”，1A 表示“取出的3个数中含有数字5”， 2A 表示“取出的3个数中含有数字偶数”， 214.0786.019495981)(()(1)(1)(1)()(3332121212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=-=-==A A P A P A P A A P A A P A A P A P ）解法二设”次取得数字为“第5k A k ，3,2,1=k k B k 次取得偶数”，为“第。

线性代数第1章复习题解答

《线性代数》第一章复习题解答求1-6题中行列式的值：1.75423)1(125410022321412022311110214012002231111021412112405322222344142-=-⨯==--=--=-=++--展开按展开按r c c c r r r r D . 2.2233441122334411223344114433221140000000000000000000004242a b b a a b b a a b b a a b b a b a a b a b b a a b a b b a b a D c c r r ⋅==-==↔↔))((32324141b b a a b b a a --=. （先按第一行、第四行、第一列、第四列展开也都可以）3.yxy x y xy y xx y x y x x xyy x x y x y x D n c n 00000000)1(0000000000000000000000011+-+==展开按n n ny x 1)1(+-+=4.1111100000000001111100000000022122111+--=---=+n x x x x x x x x x x x D n n n n n 各列加到第一列n n nn x x x n x x x x x x n21332211)1()1)(1(0000000)1)(1(-+=---+=++各列加到第一列.5. )0(,10010001000100011112112101≠=-+n nn n a a a a a a a a D. 也是一种爪形行列式。

000000000001111111121210111 11211111nn nc a c c a c c a c n a a a a a a a a D n n n n nn ----+---=-+++n nn n a a a a a a a 212102)1()111()1(----=+. 6. )!2(220300001000012203000012222200001222221222223222222222221223212--=---=---=-=---n n n n n nn D c r r r r r r nn展开按. 7. 已知行列式32510711020214214=D ，求44434141A A A A +++.解：612211014617110202110014111171102021421433134244434241---=---==+++--展开按c r r r r A A A A 3682141)1(018211414136313-=--=-=++展开按r c c .8. 求函数xx x x xx f 111123111212)(-=的表达式中4x 的系数及3x 的系数.解：（1）由定义知，当且仅当取自行列式不同行、不同列的元素均含有x 时，函数表达式中4x 才会出现。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

(C)0, 2
(D)0,1
解按三阶行列式的对角线法则得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ，则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （）．
分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，

线性代数第一章习题解答

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

线性代数第一章习题及解答

T
n(n−1) 2
D. a11 . . . a1n ··· ··· ··· D an1 . . . ann
因为 D = D , 而 D =
T
对 DT 作上述行交换得, 于是
D2 = (−1)
n(n−1) 2
D = (−1)
T
n(n−1) 2
5
对 D2 依次进行相邻列交换，然后转置得
D2 = (−1)
4
a+b 1 Dk = 0 ··· 0 0
ab a+b 1 ··· 0 0 1
0 ab a+b ··· 0 0 a+b 0 ··· 0 0 a+b 1 0 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ab a+b 1 ··· 0 0 ab a+b 1 ··· 0 0
0 0 0 ··· a+b 1 0 ab a+b ··· 0 0 0 ab a+b ··· 0 0
··· ··· ··· ···
(a − n)n (a − n)n−1 . . . a−n
1 1 ··· 1 解：将 Dn 一次进相邻行交换，然后进行相邻列交换得 1 1 ··· 1 a−n a−n+1 ··· a 2 2 (a − n + 1) · · · a2 (xj = a − j, j = 0, 1, . . . , n) Dn = ( a − n ) . . . . . . . . ··· . (a − n)n (a − n + 1)n ∏ = (xj − xi ) 0≤i<j ≤n ∏ = (i − j )
a a . . . x ··· a 0 . . . x−a (rj − r1 , j = 1, 2, . . . , n)

《线性代数》第1章习题详解

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253；（2）3712456；（3）57681234；（4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列（4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－（2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－（3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？解因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解（1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明（1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

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线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次的？并求出此吋的最大公因式.解显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数第一章习题答案

线性代数第一章习题答案习题1：向量空间的定义向量空间是一个集合V，配合两个运算：向量加法和标量乘法，满足以下公理：1. 向量加法的封闭性：对于任意的u, v ∈ V，有u + v ∈ V。

2. 向量加法的结合律：对于任意的u, v, w ∈ V，有(u + v) + w = u + (v + w)。

3. 向量加法的交换律：对于任意的u, v ∈ V，有u + v = v + u。

4. 存在零向量：存在一个向量0 ∈ V，使得对于任意的v ∈ V，有v + 0 = v。

5. 每个向量都有一个加法逆元：对于任意的v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得v + w = 0。

6. 标量乘法的封闭性：对于任意的实数k和向量v ∈ V，有k * v∈ V。

7. 标量乘法的结合律：对于任意的实数k, l和向量v ∈ V，有(k * l) * v = k * (l * v)。

8. 标量乘法与向量加法的分配律：对于任意的实数k和向量u, v ∈ V，有k * (u + v) = k * u + k * v。

9. 单位标量乘法：对于任意的向量v ∈ V，有1 * v = v。

习题2：线性组合与线性无关线性组合是指由向量空间中的向量，通过加法和标量乘法组合而成的向量。

如果一组向量\{v_1, v_2, ..., v_n\}的任何非平凡线性组合（即不是所有标量系数都是零的组合）都不能得到零向量，那么这组向量就是线性无关的。

习题3：基与维数基是向量空间中的一组线性无关的向量，任何该空间中的向量都可以唯一地表示为这组向量的线性组合。

向量空间的维数是其基中向量的数量。

习题4：线性映射的定义与性质线性映射是一个函数T: V → W，它将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，并且满足以下性质：1. 对于任意的u, v ∈ V，有T(u + v) = T(u) + T(v)。

2. 对于任意的实数k和向量v ∈ V，有T(k * v) = k * T(v)。

《线性代数》课后习题答案

第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
(C) 10 (D) 9
解在排列 14536287 中，1 排在首位，逆序数为 0；4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和，故共有 n！项． 1.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等； 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0．同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0

《线性代数复习资料》第一章习题答案与提示

值为 ( A ).
A.3 B.－3 C. 6 D.－6
2 x ky c1 11.若 kx 2 y c (c1 c2 0) 有唯一解，则k满足( D ). 2
A.k=0 C.k≠－2或k≠2
B.k=－2或k=2 D.k≠－2且k≠2
系数行列式不为零
2 x1 x2 x3 0 12.若齐次线性方程组 x1 kx2 x3 0 有非零解，则 kx x x 0 2 3 1
a13 a23 0 0
0 0 a34 a44
a14 a24 0 0
a11
a12 0 0 0
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
C.
0 0 0
a1
0 a3 a5 0
0 a4 a6 0
a2 0 0 a8
8.行列式
0 0 a7
中元素a7 的代数余子式为 ( B ).
B. a2a4a5 a2a3a6 D. a3a6a8 a4a5a8
7.设n阶行列式D=a，D的每行元素之和为b(b≠0)，
则行列式D的第1列元素的代数余子式之和为
D为行等和行列式
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
1
a . b
b b b
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
b
1 1 1
( n 1)( n 2) 2
(1)21
不断按第一行展开
法二：用行列式逆序定义计算|A| 法三：对n取特殊值，用排除法
7.下列行列式恒等于零的是( C )
0 0 A. 0 a41
a11

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a11 a12 a13 a14
C. 0
0
0 a23 a24 0 a33 a34
0 0 a43 a44
0 0 a13 a14
0
D. a 3 1
0 a32
a 23 0
a 24 0
a41 a42 0 0
法一：按多零的行展开判断
法二：按行列式定义，找非零项
0 0 a13 0
A. 0 a 2 2 0 0
0 0 0 a34 a41 0 0 0
a11 a12 0 0
B.
a 21 0
0 0
00 a33 a34
0 0 a43 a44
0 0 a13 a14
0
D. a 3 1
0 a32
a 23 0
a 24 0
a41 a42 0 0
a1 0 0 a2
8.行列式
0 0
a3 a4 a5 a6
0 0
中元素a 7 的代数余子式为 ( B
).
a7 0 0 a8
(n1)(n2)
(1) 2
法二：用行列式逆序定义计算|A|
法三：对n取特殊值，用排除法
7.下列行列式恒等于零的是( C )
0 0 a13 0
0
A. 0
a 22 0
0 0
0 a 34
a41 0 0 0
a11 a12 0 0 a21 0 0 0
B. 0 0 a 3 3 a 3 4
0 0 a43 a44
A. a2a3a6a2a4a5
B. a2a4a5a2a3a6
C. a1a3a6a2a4a5
D. a3a6a8a4a5a8
a1 a2 a3
a1 3a1 2a2 5a3 4a1
9. 设 b1 b 2 b 3 d ，则 b1 3b1 2b2 5b3 4b1 的值为
c1 c2 c3
c1 3c1 2c2 5c3 4c1
b1n 的值有 bnn
什么关系吗？（课本17页例7 ） DD1D2
法三：用以上结论
0 0 a13 0
A. 0 a 2 2 0 0
0 0 0 a34 a41 0 0 0
有一项 a13a22a34a41
a11 a12 a13 a14
C. 0
0
0 a23 a24 0 a33 a34
0 0 a43 a44
01
D.反例 1
1 0
0001
5.若 0 0 a 0 1 ，则a= ( B ).
0200 100a
A. 1
B. 1
C.－1
D.1
2
2
0 0
计算 0
0 0 2
0 a 0
1
按公式
0 有多种方法按定义
0
按多零行展开
100a
化为三角行列式
或者:
0001 00a0 0200 100a
100a
0a00
1 0 0L 0 0
0 0L 0 1
0 0 0L 0 1
0 0L 1 0
0 | A |
0
0LL
LLLLLL
0 1L 0 0
0 0 1L 0 0
1 0L 0 0
0 1 0L 0 0
n 1 阶
(1)(n1)1 (1)(n2)1 L ( 1) 2 1 不断按第一行展开
14.若 a11 a1，2 则1
a21 a22
aa2111xx11
的a1解2x2是b1(
a22x2 b2
0).
0
B
A.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
B.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
注意系数行列式为
a11 a12 1 a21 a22
C.
x1
D. a 3 1
0 a32
a 23 0
a 24 0
a41 a42 0 0
第一列取 a 1 1 ，第二列必取0
我们学过的结论
a11
思考： D
ak1 c11
cn1
a1k
0
a kk c1k b11
cnk bn1
的值与
b1n bnn
a11 D1
ak1
a1k
b11
, D2
akk
bn1
有一项 a13a22a34a41
a11 a12 0 0
B.
a 21 0
0 0
00 a33 a34
0 0 a43 a44
有两项 a12a21a33a44
a12a21a34a43
a11 a12 a13 a14
0 0 a13 a14
C. 0
0 0
0 a23 a24 0 a33 a34 0 a43 a44
0
3a1
3a2
3a3
a3 b3 c3
值为 ( A ).
A.3
B.－3 C. 6
D.－6
11.若 k2xx2kyycc12 (有c1唯c2 一0解) ，则k满足( ).
D
A.k=0
B.k=－2或k=2
C.k≠－2或k≠2 D.k≠－2且k≠2
系数行列式不为零
12.若齐次线性方程组
2 x1 x2 x3 0
x1 kx2 有x3非 0零解，则
kx1 x2 x3 0
k满足( D).
系数行列
A.k=4
B.k=－1
式为零
C.k≠－1且k≠4
D.k=－1或k=4
13.若12题中的齐次线性方程组仅有零解，则k满足
( C).
A.k=4 C.k≠－1且k≠4
B.k=－1 D.k≠－1或k≠4
系数行列式不为零
(1)(1)
2a
0020
0001
6. 设n阶行列式
1 0 0L 0 0
0 0 0L 0 1
0 0 0L 1 0
| A |
,
LLLLLL
0 0 1L 0 0
0 1 0L 0 0
则|A|= ( B ). A.1 C.(－1)n－1
( n 1)( n 2 )
B. (1) 2
D.(－1)n－2
法一：
( A ).
A.10d B.15d
C.－10d D.－15d
D 1 第一列乘３加到第二列，乘４加到第三列
a1 2a2 5a3
a1 a2 a3
D1 b1 2b2 5b3 1(2)5 b1 b2 b3 10d
c1 2c2 5c3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
a1 b1 c1
10. 若 2b1a1 2b2 a2 2b3 a3 18，则 a 2 b 2 c 2 的
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提示
4.下列关于n阶行列式D的说法错误的是( D ). A.若D中至少有 n2 n1个零元素，则其值为0 B.若D中某行元素均为0，则其值为0 C.若D中每列元素之和均为0，则其值为0
A. 零元素最多为 n 1 个，即必有一行元全为零。
C. 列等和行列式，把各行加到第一行，则第一行全为零。
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
D. x1bb12
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
常数列为
b b
1 2
二、填空题
1 1 1
1. | A | 1 1 x ，则|A|中x的一次项系数是 2 .
1 1 1
1 1
等同于求元素a23的代数余子式 1
2 1
2. 4阶行列式D aij 的展开式中带负号，且含因子 a 1 2 和 a 2 1 的项是 a12a21a33a44 .