人教版七年级数学上册第一章 有理数教案

人教版七年级数学第一章 有理数 1．1 正数和负数01 教学目标1．掌握正、负数的概念和表示方法，理解数0表示的量的意义． 2．理解具有相反意义的量的含义． 02 预习反馈阅读教材P2～4，完成下列内容．1．大于0的数叫做正数，在正数前加上符号“－”(负)的数叫做负数． 2．0既不是正数，也不是负数．3．把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量． 4．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？7，－9.24，－301，31.25，0.解：正数：7，31.25；负数：－9.24，－301.5．在知识竞赛中，如果用＋10表示加10分，那么扣20分怎样表示？ 解：扣20分表示为－20.6．在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？ 解：－0.03克表示低于标准质量0.03克．03 名校讲坛例1 (教材P4练习T1变式)读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数． －2，＋313，0，45，204，－0.02，＋3.65，－537.解：正数：＋313，45，204，＋3.65；负数：－2，－0.02，－537.【点拨】 熟悉正负数的定义，零的认识．【跟踪训练1】 读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数？ －2，0.6，＋6，0，－3.141 5，200，－754 200.解：正数：0.6，＋6，200；负数：－2，－3.141 5，－754 200.例2 (教材P3例题)(1)一个月内，小明体重增加2 kg ，小华体重减少1 kg ，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是： 美国减少6.4%，德国增长1.3%， 法国减少2.4%，英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%.写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率．解：(1)这个月小明体重增长2 kg ，小华体重增长－1 kg ，小强体重增长0 kg. (2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是： 美国 －6.4%， 德国 1.3%， 法国 －2.4%， 英国 －3.5%， 意大利 0.2%， 中国 7.5%.【跟踪训练2】 (《名校课堂》1.1习题)说明下列语句的实际意义： (1)水位上升了－20米； (2)收入－2 000元． 解：(1)水位下降了20米．(2)支出2 000元． 04 巩固训练1．下列结论中正确的是(D)A ．0既是正数，又是负数B ．0是最小的正数C ．0是最大的负数D ．0既不是正数，也不是负数 2．在－7，0，－3，78，＋9 100，－0.27中，负数有(D)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如果上升8 m 记作＋8 m ，那么下降5 m 记作－5m.如果－22元表示亏损22元，那么＋45元表示盈利45元．4．一种零件的直径尺寸在图纸上是30＋0.03－0.02(单位： mm)，表示这种零件的标准尺寸是30 mm ，加工要求最大不超过30.03mm ，最小不小于29.98mm.5．七(1)班某次数学测验的平均成绩是85分，老师以平均成绩为基准，记为0，超过85分的记为正，那么92分、78分各记作什么？若老师把某3名同学的成绩简记为：－5，0，＋8，则这3名同学的实际成绩分别为多少分？ 解：＋7，－7；80，85，93.【点拨】 正、负数表示相反意义的量．05 课堂小结1．正数和负数的概念．2．正数和负数表示具有相反意义的量．1．2 有理数 1．2.1 有理数 01 教学目标1．理解有理数的概念．2．会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数． 3．了解有理数的两种分类方法． 02 预习反馈阅读教材P6，完成下列内容．1．正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数． 2．整数和分数统称为有理数．3. 在有理数－5，23，0，－0.24，7，4 076，－59，－2中，正数有23，7，4__076，负数有－5，－0.24，－59，－2，整数有－5，0，7，4__076，－2，分数有23，－0.24，－59，有理数有－5，23，0，－0.24，7，4__076，－59，－2．03 名校讲坛例1 有理数：－7，3.5，－12，112，0，π，1317中，正分数有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【跟踪训练1】 在14，－2，0，－3.14这四个数中，属于负分数的是(D)A.14B ．－2C ．0D ．－3.14 例2 (教材P6练习T1变式)把下列各有理数填入相应的集合里．－5，10，－4.5，0，＋235，－2.15，0.01，＋66，－35，15%，227，2 018，－16.整数集合：{－5，10，0，＋66，2 018，－16，…}； 正数集合：{10，＋235，0.01，＋66，15%，227，2 018，…}；负数集合：{－5，－4.5，－2.15，－35，－16，…}；正整数集合：{10，＋66，2 018，…}； 负整数集合：{－5，－16，…}；正分数集合：{＋235，0.01，15%，227，…}；负分数集合：{－4.5，－2.15，－35，…}．【跟踪训练2】 (《名校课堂》1.2.1习题)把下列各数填在相应的集合里： 2 018，1，－1，－2 017，0.5，110，－13，－0.75，0，20%.(1)整数集合：{2 018，1，－1，－2 017，0，…}； (2)正分数集合：{0.5，110，20%，…}；(3)负分数集合：{－13，－0.75，…}；(4)正数集合：{2 018，1，0.5，110，20%，…}；(5)负数集合：{－1，－2 017，－13，－0.75，…}．04 巩固训练1．下列说法正确的是(D)A ．一个有理数不是正数就是负数B ．正有理数和负有理数组成有理数C ．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数D ．负整数和负分数统称为负有理数2．下面各数中，既是分数，又是正数的是(D)A ．5B ．－2.25C ．0D ．8.33．下列各数：－8，－113，2.03，0.5，67，－44，－0.99，其中整数有－8，－44，负分数有－113，－0.99．4．如图，两个圈分别表示负数集和整数集，请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里． －20%，－2 018，0，18.3，－1，－94，15，－0.52，－30.－20%，－94，－0.52 －2 018，－1，－30 0，155．把下列各数填入它所属的集合内：－0.56，＋11，35，－125，＋2.5，8.41，－136，0.(1)整数集合：{＋11，－125，0，… }；(2)正整数集合：{＋11，… }； (3)负整数集合：{－125，… }； (4)正分数集合：{35，＋2.5，8.41，… }；(5)负分数集合：{－0.56，－136，… }．05 课堂小结归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数．1．2.2 数轴 01 教学目标1．了解数轴的概念，会画数轴，并在数轴上表示有理数．2．能说出数轴上的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一点与之对应. 02 预习反馈阅读教材P7～9，完成下列内容．1．(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； (2)数轴是一条直线，它可以向两端无限延伸； (3)数轴上原点左侧是负数，正数在原点的右侧． 2．指出图中所画数轴的错误：,(1)),(2)),(3)),(4))解：(1)错误，数轴是直线；(2)错误，没有原点； (3)错误，单位长度不统一；(4)正确．3．如图，数轴上点A ，B 表示的数分别是－2.5，2．4．画出数轴并表示下列有理数：1.5，－2，2，－2.5，412，0.解：如图所示．03 名校讲坛例 (1)画一条数轴，并表示出如下各点：±0.5，±0.1，±0.75； (2)画一条数轴，并表示出如下各点：1 000，5 000，－2 000； (3)画一条数轴，并表示出到原点的距离小于3的整数； (4)画一条数轴，并表示出－5和＋5之间的所有整数． 解：(1)如图1所示. (2)如图2所示． (3)如图3所示． (4)如图4所示．,图1),图2),图3),图4)【点拨】 数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置．【跟踪训练】 如图所示：(1)数轴上点A ，B ，C ，D 分别表示什么数？ (2)在数轴上表示下列各数：1.5，－72，－5，3.解：(1)点A 表示－2.5，点B 表示－1，点C 表示0，点D 表示5. (2) 如图．04 巩固训练1．在数轴上表示－1.2的点在(B)A ．－1与0之间B ．－2与－1之间C ．1与2之间D ．－1与1之间2．在数轴上点A 表示的数是－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A 表示的数是(C)A ．－512B ．－4C ．－212D ．2123．在数轴上，表示数－3，2.6，－35，0，413，－223，－1的点中，在原点左边的点有4个．4．数轴上表示－8的点在原点的左侧，距离原点8个单位长度；数轴上点P 距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P 表示的数是－5．5．如图，写出数轴上点A ，B ，C ，D ，E 所表示的数．解：点A ，B ，C ，D ，E 所表示的数分别是0，－2，1，2.5，－3.6．一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左边移动3个单位长度，然后再向右边移动6个单位长度，这时它表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？ 解：－2，－1.【点拨】 利用数轴，数形结合解题．05 课堂小结1．什么是数轴？如何画数轴？如何在数轴上表示有理数？ 2．利用数轴，很多数学问题都可以借助图直观地表示．1．2.3 相反数 01 教学目标1．理解相反数的意义．2．掌握求一个已知数的相反数的方法． 02 预习反馈阅读教材P9～10，完成下列内容．1．(1)在数轴上，到原点的距离等于3的点有两个，这两个点表示的数是－3和3，像这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．也就是说：3是－3的相反数，－3是3的相反数．(2)数a 的相反数记作－a ，5的相反数记作－5，－5的相反数记作－(－5)，而－5的相反数是5，因此－(－5)＝5． (3)我们规定：0的相反数是0．2．－2.3的相反数是2.3；0.01是－0.01的相反数． 3．表示下列各数的相反数，并求出相反数的值：(1)7；(2)＋6.3；(3)－334；(4)＋(－23)；(5)－(＋356)；(6)－(－2.6)．解：(1)－7.(2)－(＋6.3)＝－6.3.(3)－(－334)＝334.(4)－[＋(－23)]＝23.(5)－[－(＋356)]＝356.(6)－[－(－2.6)]＝－2.6.03 名校讲坛例1 化简下列各数：(1)－(－13)＝13； (2)＋(＋10)＝10；(3)＋(－412)＝－412； (4)－{＋[－(－2)]}＝－2．【跟踪训练1】 化简下列各数，你能发现什么规律？(1)－[－(－3)]＝－3； (2)－[＋(－3.5)]＝3.5； (3)＋[－(－6)]＝6； (4)－[－(＋7)]＝7．规律：负号个数为奇数时，化简得到的结果为负数；负号个数为偶数时，化简得到的结果为正数． 例2 写出下列各数的相反数，并把所有的数(包括相反数)在数轴上表示出来． 4，－12，－(－23)，＋(－4.5)，0，－(＋3)．解：它们的相反数分别是－4，12，－23，4.5，0，3.在数轴上表示如图所示．【跟踪训练2】 数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4，则这两个数是±4.2． 【点拨】 相反数的特点和定义：到原点的距离相等，符号相反．04 巩固训练1．如图，点O 为数轴原点，则数轴上表示互为相反数的点是(B)A ．点A 和点CB ．点C 和点D C ．点A 和点DD ．点B 和点D2．－74的相反数是74；13的相反数是－13；0的相反数是0．3．负数的相反数比它本身大，正数的相反数比它本身小，0的相反数和它本身相等． 4．一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是1． 5．(《名校课堂》1.2.3习题)写出下列各数的相反数： 10，－12，－4.8，53，－313，12 018，0.解：它们的相反数分别是－10，12，4.8，－53，313，－12 018，0.05 课堂小结1．相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．2．这两个特殊数的和为零，在数轴上表示时，离原点的距离相等等性质均有广泛的应用．1．2.4 绝对值第1课时 绝对值01 教学目标1．理解绝对值的几何意义和代数意义． 2．会求一个有理数的绝对值．02 预习反馈阅读教材P11，完成下列内容．1．一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．2．一个正数的绝对值是它本身，即：若a>0，则|a|＝a ；一个负数的绝对值是它的相反数，即：若a<0，则|a|＝－a ；0的绝对值是0．3．数轴上有一点到原点的距离为6.03，那么这个点表示的数是±6.03．所以|6.03|＝6.03，|－6.03|＝6.03． 4．计算：(1)|＋13|＝13；(2)|－8|＝8；(3)|＋315|＝315；(4)|－8.22|＝8.22．5．－213的绝对值是213，绝对值等于213的数是±213，它们是一对相反数．03 名校讲坛例1 |－2|的相反数是(B)A ．2B ．－2C ．0.5D ．－0.5【跟踪训练1】 在|－7|，|5|，－(＋3)，－|0|中，负数共有(A) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2 下列说法正确的是(B)A ．一个数的绝对值的相反数一定不是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值一定是正数D ．一个数的绝对值一定是非正数【跟踪训练2】 下列说法正确的是(B) A ．一个数的绝对值一定比0大B ．任何一个有理数的绝对值都不是负数C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 例3 指出下列各式中a 的取值． (1)若|a|＝－a ，则a 为非正数； (2)若|－a|＝a ，则a 为非负数； (3)若|a －1|＝0，则a 为1．【跟踪训练3】 已知|a|＝3，|b|＝5，a 与b 异号，求a ，b 两数在数轴上所表示的点之间的距离． 解：因为|a|＝3，|b|＝5，所以a ＝3或－3，b ＝5或－5. 又因为a 与b 异号，所以a ＝3，b ＝－5或a ＝－3，b ＝5. 所以a ，b 两数在数轴上所表示的点之间的距离是8. 04 巩固训练1．下列四组数中不相等的是(C)A ．－(＋3)和＋(－3)B ．＋(－5)和－5C ．＋(－7)和－(－7)D ．－(－1)和|－1| 2．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是(D)A ．1B ．＋1，－1，0C ．1或－1D ．非负数【点拨】 非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 3．绝对值小于2的整数有3个，它们分别是±1，0． 4．若|x －3|＋|y －2|＝0，则x ＝3，y ＝2． 【点拨】 注意绝对值的非负性．5．(《名校课堂》1.2.4第1课时习题)求下列各数的绝对值： (1)＋813；(2)－7.2；(3)0；(4)－813.解：(1)|＋813|＝813.(2)|－7.2|＝－(－7.2)＝7.2. (3)|0|＝0.(4)|－813|＝－(－813)＝813.6．计算：(1)|－18|＋|－6|; (2)|－313|×|－34|.解：(1)原式＝24. (2)原式＝52.05 课堂小结1．绝对值的定义：有理数到原点的距离．2．化简绝对值：|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.第2课时 比较大小01 教学目标1．理解比较有理数大小的规则的合理性． 2．会比较有理数的大小． 02 预习反馈阅读教材P12～13，完成下列内容．1．(1)在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． (2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 2．以下四个选项分别表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是(C) A ．－3 ℃ B ．15 ℃ C ．－10 ℃ D ．－1 ℃ 3．有理数a ，b 在数轴上的位置如图，那么下列关系中正确的是(A)A ．b ＞0>aB ．b>a>0C ．a>b>0D ．a>0>b4．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)： (1)－0.01＜0；(2)－17＞－16；(3)－π＜－|－3.14|; (4)－(－0.3)＜|－13|.03 名校讲坛例1 (教材P13例题)比较下列各对数的大小： (1)－(－1)和－(＋2)；(2)－821和－37；(3)－(－0.3)和|－13|.解：(1)先化简，－(－1)＝1，－(＋2)＝－2.因为正数大于负数，所以1＞－2，即－(－1)＞－(＋2)． (2)这两个负数比较大小，先求它们的绝对值． |－821|＝821，|－37|＝37＝921. 因为821＜921，即|－821|＜|－37|，所以－821＞－37.(3)先化简，－(－0.3)＝0.3，|－13|＝13.因为0.3＜13，所以－(－0.3)＜|－13|.【点拨】 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值． 【跟踪训练1】 比较－78和－67；－|－(＋5)|和－[－(＋5)]的大小，并写出比较过程．解：－78<－67，－|－(＋5)|<－[－(＋5)]．【点拨】 先化简，再比较．例2 有理数x ，y 在数轴上的位置如图所示：(1)在数轴上表示－x ，－y ；(2)试把x ，y ，0，－x ，－y 这五个数用“>”连接起来． 解：(1)如图所示． (2)x>－y>0>y>－x.【点拨】 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．【跟踪训练2】 画一条数轴表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．13，2，－4.5，0，52，－0.5，－14. 解：在数轴上表示如图所示，用“<”把这些数连接起来为： －4.5<－0.5<－14<0< 13<2<52.04 巩固训练1．下面四个结论中，正确的是(D)A ．|－2|>|－3|B ．|2|>|3|C ．2>|－3|D ．|－2|<|－3| 2．比较大小(填“>”或“<”)．(1)－23>－34；(2)－2 0172 018>－2 0182 019；(3)－(－19)>－|－110|.3．在数轴上表示下列各数：＋223，－12，－(－6)，－7，－(＋3)，1，0，－1.5.并用“<”将它们连接起来．解：在数轴上表示略，用“<”把这些数连接起来为： －7<－(＋3)<－1.5<－12<0<1<＋223<－(－6)．4．将有理数：－(－4)，0，－│－312│，－│＋2│，－│－(＋1.5)│，－(－3)，│－(＋212)│表示到数轴上，并用“＜”把它们连接起来．解：在数轴上表示略，用“<”把这些数连接起来为：－│－312│<－│＋2│<－│－(＋1.5)│<0<│－(＋212)│<－(－3)<－(－4)．05课堂小结1．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．正数大于零，零大于负数，正数大于负数．3．用数轴如何比较两个数的大小？1．3有理数的加减法1．3.1有理数的加法第1课时有理数的加法法则01教学目标1．了解有理数加法的意义．2．理解有理数加法法则的合理性．3．能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算．02情景导入)思考一：小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加．引入负数后，加法有哪几种情况？结论：共三种类型，即：(1)同号两个数相加；(2)异号两个数相加；(3)一个数与0相加．一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正．向右运动5 m记作5 m，向左运动5 m记作－5 m. 思考二：(1)如果物体先向右运动5 m，再向右运动3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后物体从起点向右运动了8__m，写成算式就是(＋5)＋(＋3)＝8．(2)如果物体先向左运动5 m，再向左运动3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后物体从起点向左运动了8__m，写成算式就是(－5)＋(－3)＝－8．注意关注以上两个算式中加数的符号和绝对值．根据以上两个算式能否总结同号两数相加的法则？结论：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．探究一：(1)如果物体先向左运动3 m，再向右运动5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？两次运动后物体从起点向右运动了2__m，写成算式就是(－3)＋(＋5)＝2．(2)如果物体先向右运动3 m，再向左运动5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？两次运动后物体从起点向左运动了2__m，写成算式就是(－5)＋(＋3)＝－2．(3)如果物体先向右运动5 m，再向左运动5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？两次运动后物体仍在起点处，写成算式就是5＋(－5)＝0． 注意关注以上三个算式中加数的符号和绝对值． 根据以上三个算式能否总结异号两数相加的法则？结论：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.探究二：(1)如果物体第1 s 向右运动5 m ，第2 s 原地不动，那么2 s 后运动的最后结果怎样？如何用算式表示？2 s 后物体从起点向右运动了5__m ，写成算式就是5＋0＝5．(2)如果物体第1 s 向左运动5 m ，第2 s 原地不动，那么2 s 后运动的最后结果怎样？如何用算式表示？2 s 后物体从起点向左运动了5__m ，写成算式就是(－5)＋0＝－5． 根据以上两个算式能得到什么结论？ 结论：一个数同0相加，仍得这个数． 03 名校讲坛例 (教材P18例1)计算： (1)(―3)＋(―9)； (2)(―4.7)＋3.9. 解：(1)(―3)＋(―9)＝―(3＋9)＝―12. (2)(―4.7)＋3.9＝―(4.7―3.9)＝―0.8. 方法归纳：有理数加法的运算步骤： (1)先判断类型(同号、异号等)； (2)再确定和的符号；(3)后进行绝对值的加减运算． 【跟踪训练】 1．计算：(1)16＋(－8)＝8；(2)(－8)＋3＝－5;__ (3)(＋312)＋(－72)＝0；(4)(－12)＋(－13)＝－56；(5)0＋(－9.7)＝－9.7．2．某地某天的最低气温是－10 ℃，最高气温比最低气温高12 ℃，那么最高气温是多少摄氏度？ 解：(－10)＋12＝＋(12－10)＝2(℃)． 答：最高气温是2 ℃. 04 巩固训练1．两个数的和为负数，则下列说法中正确的是(D)A ．两个均是负数B ．两个数一正一负C ．至少有一个正数D ．至少有一个负数 2．一个正数与一个负数的和是(D)A ．正数B ．负数C ．0D ．不能确定符号 3．计算：(1)(＋3)＋(＋8)；(2)(＋14)＋(－12)；(3)(－312)＋(－3.5)；(4)－3.4＋4；(5)(－2.8)＋2.8； (6)|(－19)＋8.3|. 解：(1)(＋3)＋(＋8)＝＋(3＋8)＝11. (2)(＋14)＋(－12)＝－(12－14)＝－14.(3)(－312)＋(－3.5)＝－(3.5＋3.5)＝－7.(4)－3.4＋4＝＋(4－3.4)＝0.6. (5)(－2.8)＋2.8＝0.(6)|(－19)＋8.3|＝|－(19－8.3)|＝|－10.7|＝10.7.4．一只蜗牛爬树，白天向上爬了1.5 m ，夜间向下爬了0.3 m ，白天和夜间一共向上爬了多少米？ 解：规定向上为正，向下为负．1．5＋(－0.3)＝＋(1.5－0.3)＝1.2(m)． 答：蜗牛一共向上爬了1.2 m. 05 课堂小结 有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.3．一个数同0相加，仍得这个数．第2课时 有理数的加法运算律01 教学目标1．掌握有理数的加法运算律，理解小学中的加法运算律在有理数中仍然成立． 2．能用有理数的运算律对有理数加法进行简便运算．3．能根据有理数加法算式的特点选择适当的简便运算方法． 02 情景导入探究一：计算：(1)30＋(－20)； (2)(－20)＋30； 解：(1)30＋(－20)＝＋(30－20)＝10. (2)(－20)＋30＝＋(30－20)＝10.两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试． (3)(－30)＋20； (4)20＋(－30)． 解：(3)(－30)＋20＝－(30－20)＝－10. (4)20＋(－30)＝－(30－20)＝－10. 从上述计算中，你能得出什么结论？结论：当数由非负数扩大到有理数范围时，加法交换律仍然适用． 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：a ＋b ＝b ＋a探究二：计算：(1)[8＋(－5)]＋(－4)； (2)8＋[(－5)＋(－4)]；解：(1)[8＋(－5)]＋(－4)＝＋(8－5)＋(－4)＝3＋(－4)＝－(4－3)＝－1. (2)8＋[(－5)＋(－4)]＝8＋[－(5＋4)]＝8＋(－9)＝－(9－8)＝－1； 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试． (3)[5＋(－8)]＋4； (4)5＋[(－8)＋4]．解：(3)[5＋(－8)]＋4＝[－(8－5)]＋4＝(－3)＋4＝＋(4－3)＝1. (4)5＋[(－8)＋4]＝5＋[－(8－4)]＝5＋(－4)＝＋(5－4)＝1. 从上述计算中，你能得出什么结论？结论：当数由非负数扩大到有理数范围时，加法结合律仍然适用．有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）03 名校讲坛知识点1 有理数加法的简便运算例1 (教材P19例2)计算：16＋(－25)＋24＋(－35)． 解：16＋(－25)＋24＋(－35) ＝16＋24＋[(－25)＋(－35)] ＝40＋(－60)＝－20.思考：例1中的计算是怎样简化的？根据是什么？例1中的计算是把正数和正数放在一起相加，负数和负数放在一起相加，这样可以简化运算； 根据是有理数加法的交换律和结合律．方法归纳：在运用加法运算律进行简便运算时有以下常用方法：1．相反数结合法：互为相反数的两数，可先加；如：2＋(－5)＋(－2)＝2＋(－2)＋(－5)＝0＋(－5)＝－5. 2．同号结合法：符号相同的数，可先加；如：例1. 3．同形结合法：分母相同的分数，可先加；如：215＋(－29)＋815＋(－49)＝215＋815＋(－29)＋(－49)＝(215＋815)＋[(－29)＋(－49)]＝23＋(－23)＝0. 4．凑整法：几个数相加能得到整数的，可先加；如：3．37＋(－2.46)＋(－5.37)＋(－7.54)＝[3.37＋(－5.37)]＋[ (－2.46)＋(－7.54)]＝(－2)＋(－10)＝－12.5．拆项结合法：带分数相加时，可先拆成整数和分数，再利用加法运算律相加；如：512＋(－213)＋(－116) ＝(5＋12)＋[(－2)＋(－13)]＋[(－1)＋(－16)]＝[5＋(－2)＋(－1)]＋[12＋(－13)＋(－16)]＝2＋0＝2.【跟踪训练1】 计算：(1)(－83)＋(＋26)＋(－17)＋(－26)； (2)15＋(－37)＋(－35)＋(＋47)； (3)4.1＋(＋34)＋(－14)＋(－10.1)；(4)(－1256)＋(＋2713)．解：(1)(－83)＋(＋26)＋(－17)＋(－26)＝[(－83)＋(－17)]＋[ (＋26)＋(－26)] ＝－100＋0＝－100. (2)15＋(－37)＋(－35)＋(＋47) ＝[15＋(－35)]＋[(－37)＋(＋47)]＝(－25)＋(＋17)＝－935.(3)4.1＋(＋34)＋(－14)＋(－10.1)＝[4.1＋(－10.1)]＋[(＋34)＋(－14)]＝(－6)＋(＋12)＝－5.5.(4)(－1256)＋(＋2713)＝[(－12)＋(－56)]＋[27＋(＋13)]＝[(－12)＋27]＋[(－56)＋(＋13)]＝15＋(－12)＝14.5.知识点2 有理数加法的应用例2 (教材P20例3)10袋小麦称后记录如图所示(单位：kg).10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90 kg 为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：91＋91＋91.5＋89＋91.2＋91.3＋88.7＋88.8＋91.8＋91.1＝905.4. 再计算总计超过多少千克： 905．4－90×10＝5.4.解法2：每袋小麦超过90 kg 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为＋1，＋1，＋1.5，－1，＋1.2，＋1.3，－1.3，－1.2，＋1.8，＋1.1. 1＋1＋1.5＋(－1)＋1.2＋1.3＋(－1.3)＋(－1.2)＋1.8＋1.1＝[1＋(－1)]＋[1.2＋(－1.2)]＋[1.3＋(－1.3)]＋(1＋1.5＋1.8＋1.1) ＝5.4.90×10＋5.4＝905.4.答：10袋小麦一共905.4 kg ，总计超过5.4 kg. 思考：比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？【跟踪训练2】 有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下(单位：千克)：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．(1)你认为选取的一个恰当的基准数为25； (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写上表； (3)这8筐水果的总质量是多少？ 解：这8筐水果的总质量为25×8＋[(＋2)＋(－1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋(＋1)＋(－3)＋(＋2)] ＝200＋(－2) ＝198(kg)． 04 巩固训练1．计算(－35)＋14＋(－34)＋(＋35)时，下列所运用的运算律恰当的是(B)A ．[(－35)＋14]＋[(－34)＋(＋35) ]B ．[14＋(－34)]＋[(－35)＋(＋35)]C ．(－35)＋[14＋(－34)]＋(＋35)D ．以上都不对2．(《名校课堂》1.3.1第2课时习题)绝对值小于2 018的所有整数的和为0． 3．用简便方法计算：(1)23＋(－17)＋6＋(－22)； (2)1＋(－12)＋13＋(－16)；(3)1.125＋(－325)＋(－18)＋(－0.6)；(4)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33)．解：(1)23＋(－17)＋6＋(－22) ＝(23＋6)＋[(－17)＋(－22)] ＝29＋(－39)＝－10. (2)1＋(－12)＋13＋(－16)＝(1＋13)＋[(－12)＋(－16)]＝43＋(－23)＝23. (3)1.125＋(－325)＋(－18)＋(－0.6)＝[1.125＋(－18)]＋[(－325)＋(－0.6)]＝1＋(－4)＝－3.(4)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33) ＝[(－2.48)＋(－7.52)]＋[ (＋4.33)＋(－4.33)] ＝－10＋0＝－10.4．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下(单位：千米)：＋15，＋14，－3，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.(1)将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？解：(1)15＋14＋(－3)＋(－11)＋10＋(－12)＋4＋(－15)＋16＋(－18) ＝(15＋14＋10＋4＋16)＋[(－3)＋(－11)＋(－12)＋(－15)＋(－18)] ＝59＋(－59)＝0.答：司机距出发点0千米．(2)|＋15|＋|＋14|＋|－3|＋|－11|＋|＋10|＋|－12|＋|＋4|＋|－15|＋|＋16|＋|－18|. ＝15＋14＋3＋11＋10＋12＋4＋15＋16＋18＝118(千米)． 118×0.1＝11.8(升)． 答：这天下午共耗油11.8升． 05 课堂小结1．加法交换律：a ＋b ＝b ＋a.2．加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)． 3．有理数加法的常用简便计算方法：①相反数结合法：互为相反数的两数，可先加； ②同号结合法：符号相同的数，可先加；③同形结合法：分母相同的分数，可先加；④凑整法：几个数相加能得到整数的，可先加；⑤拆项结合法：带分数相加时，可先拆成整数和分数，再利用加法运算律相加．1．3.2有理数的减法第1课时有理数的减法法则01教学目标1．掌握有理数的减法法则．2．熟练地进行有理数的减法运算．3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想．02情景导入问题一：北京某天的气温是－3 ℃～3 ℃，这天的温差(最高气温减最低气温，单位：℃)是多少？这天的温差列式就是3－(－3)，由温度计图可以看出这天的温差是6℃，所以3－(－3)＝6．问题二：要如何计算3－(－3)呢？减法是加法的逆运算，计算3－(－3)，就是要求出一个数x，使得x与－3相加得3．因为6与－3相加得3，所以x应该是6，即3－(－3)＝6①.另一方面，我们知道3＋(＋3)＝6②.由①②，有3－(－3)＝3＋(＋3)．③探究一：从③式能看出减－3相当于加哪个数呢？把3换成0，－1，－5，用上面的方法试试看．(1)因为0－(－3)＝3，0＋(＋3)＝3，所以0－(－3)＝0＋(＋3)．(2)因为(－1)－(－3)＝2，(－1)＋(＋3)＝2，所以(－1)－(－3)＝(－1)＋(＋3)．(3)因为(－5)－(－3)＝－2，(－5)＋(＋3)＝－2，所以(－5)－(－3)＝(－5)＋(＋3)．由此，我们得到：减去一个负数，等于加上这个负数的相反数．探究二：计算下面几对式子看看．(1)因为9－8＝1，9＋(－8)＝1，所以9－8＝9＋(－8)．(2)因为15－7＝8，15＋(－7)＝8，所以15－7＝15＋(－7)．从中有什么发现？减去一个正数，等于加上这个正数的相反数．探究三：再计算下面几对式子看看．(1)因为3－0＝3，3＋0＝3，所以3－0＝3＋0．(2)因为(－5)－0＝－5，(－5)＋0＝－5，所以(－5)－0＝(－5)＋0．从中又有什么发现？减去0等于加上0.由以上探究可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 也可以表示成a －b ＝a ＋（－b ）注意：减法在运算时有2个要素要发生变化： (1)减号变为加号；(2)减数变为它的相反数．03 名校讲坛例 (教材P22例4)计算： (1)(－3)－(－5)； (2)0－7； (3)7.2－(－4.8)；(4)(－312)－514.解：(1)(－3)－(－5)＝(－3)＋5＝2.(2)0－7＝0＋(－7)＝－7.(3)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12. (4)(－312)－514＝(－312)＋(－514)＝－834.思考一：在小学，只有当a 大于或等于b 时，我们才会做a －b.现在，当a 小于b 时，你会做a －b 吗？ 答：会，先根据有理数的减法法则将a －b 化为a ＋(－b)，再根据有理数的加法法则进行运算．思考二：一般地，较大的数减去较小的数，所得的差的符号是什么？较小的数减去较大的数，所得的差的符号是什么？答：较大的数减去较小的数，所得的差是正数；较小的数减去较大的数，所得的差是负数． 【跟踪训练】 1. 计算：(1)(＋4)－(－7)＝11； (2)0－(－5)＝5； (3)(－5.9)－(－2.5)＝－3.4；(4)(－212)－116＝－323；(5)－10－0＝－10．2．已知一个数与3的和是－10，求这个数． 解：(－10)－3＝(－10)＋(－3)＝－13. 答：这个数是－13. 04 巩固训练1．下列说法正确的是(C)A ．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数B ．两个负数的差一定是负数C ．正数减去负数的差是正数D ．两个正数的差一定是正数 2．比－18小－5的数是－23． 3．计算： (1)(－38)－(－36)；(2)0－(－711)；(3)1.7－(－3.5)； (4)(－234)－(－112)；(5)323－(－234)；(6)(－334)－(＋1.75)．解：(1)(－38)－(－36)＝(－38)＋36＝－2.(2)0－(－711)＝0＋711＝711.(3)1.7－(－3.5)＝1.7＋3.5＝5.2. (4)(－234)－(－112)＝(－234)＋112＝－114.(5)323－(－234)＝323＋234＝6512.(6)(－334)－(＋1.75)＝(－334)＋(－1.75)＝－5.5.4．全班学生分成五个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：(1)(2)第一名超出第五名多少分？解：从上表可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分，第五名得了－400分． (1)350－150＝200(分)； (2)350－(－400)＝750(分)．答：第一名超出第二名200分，第一名超出第五名750分． 05 课堂小结1．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a －b ＝a ＋(－b)．2．有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法来解决减法问题．3．运算中出现了小数减大数的情形，这就说明不只是大数才能减小数，在有理数范围内，任何两个数都可以相减．第2课时 有理数的加减混合运算01 教学目标1．会把有理数的加减混合运算统一为加法运算．2．熟悉有理数加减运算的运算律，提高运算的速度和准确度． 3．能把有理数加法运算省略加号和括号，理解有理数的和． 4．形成解决有理数加减混合运算问题的一些基本策略． 02 情景导入思考：我们已经学习了如何计算(－20)＋(＋3)和(－5)－(＋7)，如果把这两个式子用“－”连接，得到(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)，这个式子要如何计算呢？【例】 (教材P23例5)计算：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)．分析：这个算式中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)，使问题转化为几个有理数的加法．解：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) ＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) ＝[(－20)＋(－7)]＋[(＋5)＋(＋3)] ＝(－27)＋(＋8) ＝－19.思考：这里使用了哪些运算律？ 答：加法交换律和加法结合律．归纳：引入相反数，加减混合运算可以统一为加法运算． a ＋b －c ＝a ＋b ＋(－c)．算式(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)是－20，3，5，－7这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为－20＋3＋5－7.思考：算式－20＋3＋5－7如何读呢？方法1：按性质符号读，可以读作“负20、正3、正5、负7的和”； 方法2：按运算符号读，可以读作“负20加3加5减7”． 思考：你能把例题中的运算过程简写吗？ (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) ＝－20＋3＋5－7 ＝－20－7＋3＋5 ＝－27＋8 ＝－19.归纳：有理数加减混合运算的步骤： (1)将减法转化为加法； (2)省略括号和加号；(3)运用加法交换律和加法结合律，将同号两数相加； (4)按有理数加法法则计算．探究：在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，b.利用有理数减法，分别计算下列情况下点A ，B 之间的距离： (1)a ＝2，b ＝6； (2)a ＝0，b ＝6； (3)a ＝2，b ＝－6； (4)a ＝－2，b ＝－6.解：(1)当a ＝2，b ＝6，点A ，B 之间的距离是6－2＝4； (2)当a ＝0，b ＝6，点A ，B 之间的距离是6－0＝6；(3)当a ＝2，b ＝－6，点A ，B 之间的距离是2－(－6)＝8；(4)当a ＝－2，b ＝－6，点A ，B 之间的距离是(－2)－(－6)＝4． 思考：你能发现点A ，B 之间的距离与数a ，b 之间的关系吗？数轴上两点间的距离：在数轴上，设A ，B 两点表示的数分别为a ，b(a ＞b)，则点A ，B 之间的距离等于 a －b . 03 名校讲坛例 某银行储蓄所办理了8项现款储蓄业务：取出950元，存入500元，取出800元，存入1 200元，存入2 500元，取出1 025元，取出200元，存入400元．这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？ 解：记存入为正，由题意，可得－950＋500－800＋1 200＋2 500－1 025－200＋400＝(500＋1 200＋2 500＋400)＋(－950－800－1 025－200) ＝4 600＋(－2 975) ＝1 625(元)．答：银行现款增加了，增加了1 625元． 【跟踪训练】 1．计算：(1)7.8＋(－1.2)－(－0.2)；(2)－5.3－(－6.1)－(－3.4)＋7； (3)－23＋14－16－12.解：(1)7.8＋(－1.2)－(－0.2) ＝7.8－1.2＋0.2 ＝7.8－1 ＝6.8.(2)－5.3－(－6.1)－(－3.4)＋7 ＝－5.3＋6.1＋3.4＋7 ＝－5.3＋16.5 ＝11.2. (3)－23＋14－16－12。