胜出几率

胜出几率Yutaka Nishiyama，Steve Humble关键词：策略, 胜算率, 几率, 玩家, 击败某天本文第二作者发电邮告诉第一作者，说一位名叫Derren Brown的魔术师正在电视上介绍一个有趣的游戏。

我们听到“魔术师”这个词时有点怀疑，但细察之后发现该游戏确有数学背景，也是概率中的有趣练习。

掷硬币这个名为Penney赌注的游戏涉及掷硬币，可假设硬币的正面或反面出现的概率相等。

游戏由A和B两个人来玩，每人一次选三次掷硬币结果。

比如说，假设玩家A选了“正面正面正面”（HHH），玩家B选了“反面正面正面”（THH）。

然后连续抛掷硬币，结果可能是像HTHTHHHHTHHHTTTTHTHH这样的一个随机序列。

这里H是英文Head的第一个字母，而Head表示硬币正面的意思，T是Tail的第一个字母，表示硬币反面的意思。

游戏规则是：自己选定序列第一次出现的那个玩家（玩家A是HHH，玩家B是THH），就成为赢家了。

赢的策略这个概率问题已经有一段时间了，但并不广为人知。

Walter Penney于1969年在《趣味数学杂志》(Journal of Recreational Mathematics)上的一篇文章中提到它。

美国著名数学科普作家马丁•加德纳(Martin Gardner)随后在《科学美国人》杂志 (Scientific American)1974年10月刊号的“数学游戏”专栏里以及在后来的书《时间旅行和其他数学困惑》(Time Travel and Other Mathematical Bewilderments)中给了它更详细的描述。

当游戏比赛使用长度为3的模式时，不管玩家A选什么序列，玩家B总可选个能赢的序列。

下面是对应于玩家A的8个可能选取时，玩家B在平均意义上能取胜的策略。

（等一下我们将显示怎样计算玩家B的胜算几率）：表1：玩家A、B的选择和胜率依据此表，对应于玩家A的HHH选取，玩家B选THH的胜算率为7/8，或87.5%；对应于HHT选取THH的胜算率为3/4，或75%；而对应于HTH选择HHT的胜算率为2/3，或66%，等等。

无论玩家A选八种方案中的哪一个，玩家B总能选取一个三元序列以较大机会赢之。

（你可以自己试一下这个策略，用自己的硬币或在网上玩这个游戏。

）石头–剪刀–布从数学上讲，下述的东西被称作为一个传递关系：若A隐含B，且B隐含C，则A隐含C。

用表1中游戏的话来说，则我们有若玩家A打败玩家B，且玩家B打败玩家C，则玩家A打败玩家C。

但这是Penney赌注游戏的真实命题吗？加德纳提出，这种传递关系在游戏中不成立。

图1中的循环，说明里面有四个三元序列之间具有非传递关系。

我们从表1所示的可能性中知道THH强于HHH，TTH强于THH，HTT强于TTH,HHT 强于HTT,THH强于HHT。

下图中的四个三元序列THH，HHT，HTT和TTH中没有最强者。

图1：八个三元之间的关系。

无论A选择哪一个三元，B总可以选择一个更好的三元，使自己获胜的机会大于A。

石头剪刀布这些循环关系可能乍看起来不熟悉，但我们都知道一个例子：石头-剪刀-布的老游戏。

在那个游戏中，并不因为石头击败剪刀，剪刀击败布，就有石头击败布的结果。

相反，石头败给布，因此传递关系失效。

同样，传递关系在Penney赌注游戏中不成立；如在石头-剪刀-布中那样没有必胜选手；任何一家先出招，另一家必有制胜的方法。

作出最强选择现在让我们回到制胜战略。

一旦玩家A已作出了选择，玩家B可以使用以下规则来选择三元序列，使得它更容易在玩家A的三元序列之前出现：∙玩家B三元序列的第一元取为玩家A的三元中的第二元之不同者。

假设玩家A 选择了HHH。

在这种情况下，玩家A的第二个元是H，其不同者显然是T，将它作为玩家B三元序列的第一元。

∙其次，把玩家A的三元序列的前两元取作玩家B的三元序列的后两元。

在HHH 的例子中用此法就得到玩家B的THH选取，这样在平均意义下可以7对1的比率打败玩家A。

∙玩家A的第三元不用被考虑。

我们可以验证表1中玩家B的每一个选择都遵循这个规则。

但它仅对长度为3的序列有效———相同的算法不一定适用于其他长度。

但我们能在马丁•加德纳的好书《时间旅行和其他数学困惑》中读到关于三元序列的这个策略，以及更长序列策略。

而Daniel Felix更技术性的论文可以把这个制胜策略推广到任意长度的序列。

为了理解这个方法为何工作，让我们首先考虑当玩家A选取HHH时的策略。

假设玩家A的三元序列不出现在抛掷硬币序列的最开始，而是在后来出现，例如在位置5,6和7处，即抛掷第5,6和7次时。

我们要根据玩家A的三元序列的第一次出现时间给玩家B制定出位置4的符号，是H或是T。

在我们的例子中，位置4必须是T，否则的话HHH最早就在位置4,5和6处出现，这和HHH最早出现在5,6,7处的假设矛盾。

因此，在这种情况下，根据上述规则玩家B选取的三元序列THH将在玩家A的三元序列之前出现，即出现在位置4,5和6处。

这个法则失灵的唯一可能情形是当玩家A的三元序列HHH出现在最开始的时候———这就是为什么玩家B没有获胜的绝对保证；而A能获胜的唯一可能也就是HHH出现在最开始的时候。

什么是胜算率？假设玩家A选HHH而玩家B按策略选THH。

如果HHH出现在前三次抛掷，玩家A赢。

在任何其他情形玩家B必赢。

（正如我们上面所看到的，一个T必须在HHH首次亮相前出现，否则HHH就不是首次亮相！）前三次抛掷结果为HHH的概率为这样P(THH在HHH前出现)这里P表示概率的意思。

因此，翻译成胜算率的说法就是玩家B的胜算率是7比1.当玩家A选HHT时可以类似计算胜算率。

这时，根据之前谈过的战略，玩家B应该选择THH（因为玩家A的第三元选取不影响玩家B的选择）。

一旦抛了一个T，则下面的序列中THH一定在HHT前出现。

因此抛出HHT,或HHHT，或HHHHT，让HHT赢的概率为P(前三抛是HHT)+P(前四抛是HHHT)+P(前五抛是HHHHT)+.这给出一个无穷和运用几何级数求和可以得到这个计算给出HHT赢的概率。

因此THH赢的概率为用胜算率的说法就是玩家B以3比1机会赢。

继续以这种方式，可以计算出表1中的每个选取的胜算率。

康威的算法但是有一个更容易的方法可用来算出胜算率。

著名数学家康威(John Conway)提出了一个作此事的漂亮算法。

他引进了领先数的概念，用来作为表示图案重叠程度的指数。

领先数也是关于给定模式在前一模式内重复程度的一个指标。

下面描述如何用康威算法来计算两个三元序列的领先数。

首先，将一个三元序列放在另一个的上方，符号对齐，如我们下面对三元序列HHH和THH所做的那样。

现在比较这两个三元序列：如果他们相同，则在第一个三元序列的上方放1，若不相同则放0：T H HH H H第二步，去掉上方那个三元序列的第一元，将剩下的两元向左平移一个位置，和下方的领先元对齐。

然后比较上方序列的两元与下方序列的前两元：如果它们相同，则在第一个序列的上方放1，若不相同则放0：1H HH H H重复这个过程直到上方序列的最后一元：1HH H H最后的汇总结果如下：011T H HH H H这样形成011三元数组是这两个三元序列之间的重叠指标，它能被读成二进制数。

在我们的例子中，这个二进制数011等于十进制数3.给定两个三元序列A和B，领先数可以给出玩家B计算胜算率的一个方式。

用AA表示把三元序列A排在上方及排在下方位置上所对应的领先数，用AB 表示把三元序列A放在上方而把B放在下方所对应的领先数，同样可定义BB 和BA。

那么，计算玩家B的胜算率的公式为：在我们的例子中，A为三元序列HHH，B为三元序列THH。

我们有111 A:H H H A:H H H000 A:H H H B:T H H100 B:T H H B:T H H011 B:T H H A:H H H将这四个值转换成十进制数（二进制数111等于7；000等于0；100等于4；而011等于3）并代入到表达式中，有所以玩家B的胜算率为7，即指7对1的机会。

这和表1中的第一项相符。

进一步地，把玩家A的赢的概率记为p，玩家B记为q，则有玩家A和玩家B都有八种可能选择，而且它们独立选取，而每个胜算率均可由康威算法自动产生，如表2所示。

康威算法是非常强大的：它不仅可以给出序列长度为3的概率，而且对任何长度都可以，甚至对相异长度的序列也行。

表2：玩家A和B（序列的长度为3）获胜的概率。

把制胜策略用于玩牌在前面几节我们察看了抛硬币正反面的Penney赌注游戏。

我们一直在讨论如何将这些结果用到一个更为熟悉的场所，例如纸牌游戏。

一副扑克牌有52张牌，其中的26张黑色（黑桃和草花）和26张红色（红桃和方块）可以用来代替掷硬币正面或反面的结果。

设B代表黑牌，R代表红牌，故抛硬币时的HHH对THH代之以玩牌时的BBB对RBB。

游戏的玩法如下：一次翻一张牌，放在一条线上，直到所选的三元序列出现。

赢的玩家拿走所有已翻的牌，并赢得一个点。

比赛用还未使用的牌继续进行，玩家拿回因自己的三元序列先出现而获得的已翻牌，这一过程直到所有的牌都用过。

比赛优胜者是赢得点数最多的那个玩家。

随机纸牌使用扑克牌的优点在于易于操作和不需要保持跟踪结果。

它们也可以是随机的。

如果使用所有26张红牌和26张黑牌，则52张牌中恰恰有1/2的机会抽取其中某一颜色。

当牌从打乱的扑克中移走时，选哪一种颜色的牌的概率将在1/2旁摇摆，且对大多数游戏而言绝不会偏离太远。

作为一个例子，让我们考虑BBB和RBB。

作为硬币游戏的一个等价版本，BBB和RBB的概率分布为1/8和7/8，从而在单个对招中，RBB相对于BBB具有压倒性的胜算率7:1。

然而，如果序列是RBR对应RRB，则RRB的几率只是2:1，这样的几率意味着不能保证在单一对阵中取胜。

幸运的是，用一套扑克玩这个游戏通常会导致7到9次对阵，因为出现一次胜家一般不可能用尽52张牌，这将增加RRB的胜算率。

例如，玩七次对阵RRB 赢的概率是其中是二项式系数，它给出从7次对阵中取次对阵赢的个数。

同样，玩一次有0.667胜率的玩家，对阵7次会有更明显的优势。

玩7到9次对阵的纸牌游戏，单次有2/3胜率的玩家可以得到一个非常高的取胜概率。

我们相信，Penney 游戏用来玩牌比掷硬币更合适。

我们权且把本节中这个基于扑克牌的新游戏称作Humble-Nishiyama 随机游戏，并希望我们的读者在家里拿一副牌试一试。