数学广角——抽屉原理(23)
三年级奥数之抽屉原理
抽屉原理是在集合中对元素分配的原则和方法之一，它在数学中有着重要的应用。
下面将从什么是抽屉原理、抽屉原理的应用以及抽屉原理的实例等方面进行介绍。
一、什么是抽屉原理抽屉原理（也称为鸽巢原理）是指当把若干个物品放入若干个抽屉中时，无论如何放，总有一个抽屉中要放至少两个物品。
这是因为如果有n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里面放了两个物品。
抽屉原理的数学概念是一种常用的思考方法，它的核心是基于“物品数大于抽屉数”。
二、抽屉原理的应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，特别是在组合数学、概率论和数论等领域。
它常常用来解决组合问题、分配问题以及概率问题等。
1.解决组合问题：例如，若有n+1个元素放入n个抽屉中，那么必然存在至少一个抽屉中有至少两个元素，这对于解决组合问题非常有用。
2.解决分配问题：例如，如果有n+1个待分配的任务和n个人来分配任务，那么必然存在至少一个人分配到了两个任务。
这对于资源的合理分配具有指导意义。
3.解决概率问题：例如，当从一个有限的集合中随机选择元素时，当元素的数目大于选择次数时，抽屉原理可以帮助我们理解为什么在多次实验中，一些结果出现的概率较高。
三、抽屉原理的实例以下是一些经典的抽屉原理的实例，以帮助大家更好地理解抽屉原理的应用。
1.生日原理：假设一个教室里有365个学生，那么他们中间有至少两个人的生日相同的概率是多少？根据抽屉原理，我们可以知道只要有366个学生，那么必然存在至少两个人的生日是相同的。
2.快乐数：快乐数是指一个正整数，将该数的每个数位上的数字的平方相加，再对得到的结果重复进行相同的操作，最终结果为1、根据抽屉原理，如果不是快乐数，那么一定存在循环的结果。
3.鸽巢原理：在一群鸽子和若干个鸽巢之间进行配对，如果鸽子的个数大于鸽巢的个数，那么至少有一个鸽巢中有两只以上的鸽子。
这个例子非常形象地展示了抽屉原理。
总之，抽屉原理作为一种思考方法和解决问题的原则，可以在数学问题中发挥重要的作用。
六年级数学数学广角抽屉原理
六年级数学数学广角抽屉原理抽屉原理是数学中的一条重要原理，它在解决计数问题中起到了至关重要的作用。
在数学广角中，抽屉原理被广泛应用于解决各种排列组合、鸽巢原理等问题。
本文将详细介绍六年级数学中的抽屉原理以及其应用。
一、抽屉原理的概述抽屉原理，又称鸽巢原理或箱子原理，是由数学家约翰·拉默尔（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪末提出的。
它基本思想是：如果有n+1个物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放置多于一个物体。
这条原理旨在说明当物体数量超过容器数量时，必然存在容器里有多个物体的情况。
二、六年级数学中的抽屉原理应用1. 排列组合问题在六年级数学中，有很多排列组合问题可以通过抽屉原理来解决。
例如，考虑如下问题：将8个苹果放入3个篮子里，每个篮子至少要放2个苹果，问有多少种放置方式？通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将8-2×3=2个苹果放入3个篮子里的问题，即将2个相同的苹果和3个篮子进行排列组合，解得答案。
这个问题的解题思路正是基于抽屉原理的应用。
2. 数字盒子问题在六年级数学中，常常会涉及到将数字放入盒子的问题。
例如，有一组数字{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，我们需要从中选取至少5个数字，使得选取的数字之和能够被3整除。
这个问题可以通过抽屉原理来解决。
我们将这组数字中的每个数字除以3得到的余数作为抽屉，将数字放入对应的抽屉中，根据抽屉原理，至少存在一个抽屉里放置了至少5个数字。
将这些数字相加即可得到满足条件的数字之和。
3. 奇偶数问题六年级数学中，奇偶数问题也是抽屉原理的常见应用之一。
例如，考虑以下问题：将六个不同的奇数放入三个盒子里，使得每个盒子里的数字之和都是偶数，问有多少种放置方式。
通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将三个偶数和六个奇数放入三个盒子里，并满足每个盒子里的数字之和都是偶数的问题。
然后通过排列组合的思路，得到问题的解答。
抽屉原理问题知识点总结
抽屉原理问题知识点总结抽屉原理的基本形式是：如果n个物品被放置到m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中有超过一个物品。
抽屉原理的应用非常广泛，它不仅出现在数学领域，还涉及到计算机科学、逻辑学、统计学、概率论等方面。
总结抽屉原理的知识点，可以从以下几个方面来展开。
一、基本概念1. 抽屉原理的概念抽屉原理是由德国数学家穆勒（Dirichlet）在1834年提出的。
它的基本概念是指如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n > m，那么至少有一个抽屉里面有至少两个物品。
2. 抽屉原理的表述抽屉原理还可以用集合的交并运算来表述，即如果n个单个的数的和大于(n-1)倍的抽屉数，则必定存在多个数分配到同一个抽屉里。
3. 抽屉原理的思维方法抽屉原理是一种常见的数学论证方法，它的核心思想是通过将物品放入抽屉的过程，然后证明必然会有至少一个抽屉中包含多个物品。
这种思维方法在解决相关问题时非常重要。
二、抽屉原理的应用1. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理经常用来解决散列冲突问题。
当散列表的大小是有限的时候，存储的数据项的数量可能会比散列表的大小大，这时就可能会出现散列冲突。
抽屉原理可以帮助我们理解为什么散列冲突总是不可避免的。
2. 统计学在统计学中，抽屉原理可以用来解释生日悖论。
生日悖论是指在一个小的群体中，其中两人有相同生日的概率实际上要比我们直觉上想象的要高得多。
这一现象可以通过抽屉原理来很好地解释。
3. 概率论在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些排列组合的问题。
例如，如果有n+1个物品要放到n个抽屉中，那么必然有一个抽屉中至少有两个物品。
这对于解决某些赌博游戏中的概率问题很有帮助。
4. 逻辑学在逻辑学中，抽屉原理可以用来解释一些谬误和伪命题。
例如，当有大于两个的命题时，就一定会出现至少两个命题具有相同的逻辑值。
三、抽屉原理的证明1. 直接证明法抽屉原理最简单的证明方法是使用直接证明法。
假设放置的物品数大于抽屉的数量，通过逻辑推理可以得出至少有一个抽屉至少有两个物品。
数学广角—抽屉原理
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本课件中部分所用素材来源于网络，仅供教学使用
前提：如果任何一个抽屉都没有2个或以上的苹果(即有1个或0个) ，那9个抽屉中的苹 果数量就不超过9个；而9个抽屉共放进了10个苹果(苹果数量超过9个) 。
结论：总有一个抽屉至少放了2苹果。
四、抽屉原理的历史
狄利克雷 （1805～1859）
抽屉原理最早由德国数学家狄里克雷( Dirichlet)提出 并运用于解决数论中的问题，在一些学术著作中抽屉原理 又称“狄里克雷原理”，更严谨的表述为：把多于n个元 素分成n类，不管怎么分，总有一类中有2个或2个以上的 元素，它是组合数学中的一个重要原理。
利用“抽屉原理”可以做出许多有趣的推理和判断， 解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
学校有两人 同一天生日
吗？
五、抽屉原理的实际应用
（案例1）有一次开家长会，爸爸问小亮
问：你们学校每个年级几个班？ 答：2个班。
一定有！
问：每个班大约多少学生？
答：40人。
问：你们学校一共有多少人？
答：480人左右。
教材利用完全归纳推理规则,使用“完全枚举” 的方法得到结论。所谓的完全枚举法就是考虑到 各种组合的可能性,对每一组合检查它是否符合给 定的条件。
三、小学教材中的抽屉原理
6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。说一说其中的道理。
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六数数学广角《抽屉原理》
我国宋代学者费衮在《梁溪漫志》一书中就运用抽屉 原理来批驳“算命”。书中写到：民间用一个人的出生年、 月、日、时辰作算命根据，你的命将由你的出生时辰决定， 这可真是荒谬绝伦！费衮认为，把人出生的时辰看作“抽 屉”，把世上的所有的人看作物体，物体数远远大于抽屉 数。根据抽屉原理，一定有很多人会进入同一个“抽屉”。 如果“算命”是可信的，那么这些进入同一个抽屉的人应 该具有完全相同的“命”，但事实并非如此。看来“算命” 完全是无稽之谈。在我国其他的古代文献中也有很多利用” 抽屉原理”来分析问题的例子,令人遗憾的是,在文献中并 没有概括性文字,没有把这个原理抽象成普遍原理。 “直 到19世纪德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利 克雷原理”，抽屉原理”又称“鸽笼原理”。
(3,2)
不管怎么放,总有 一个抽屉里至少 放进3本书.
课堂检测1：7只鸽子飞回5 个鸽舍，至 少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什 么？
如果每个鸽舍飞进1只,最多飞了5只. 剩下的2只还要分别飞进两个鸽舍里.所 以至少有2只要飞进同一个鸽舍里。
课堂检测2：8只鸽子飞回3个鸽舍里，至少 有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
例 把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么 放，总有一个笔筒里至少放进几支枝笔， 这是为什么？
我们从最不利的原则去考虑： 如果我们先让每个笔筒里放 1枝笔，最多放3枝。 剩下的1枝还要放进其中的一 个笔筒。所以不管怎么放， 总有一个笔筒里至少放进2枝 笔。
把5本书放进Biblioteka 个抽屉中.(5,0)0
(4,1)
什么是抽屉原理和鸽巢原理呢？
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无 论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹 果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原 理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一 个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1 个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里 有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理 （“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当 鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。 它是组合数学中一个重要的原理。
《数学广角-抽屉原理》
定义
在数学中，有限归纳法常用于证明一些有限集合的性质，例如一个有限数列的和。
应用
有限归纳法虽然简单，但在证明过程中需要注意每个归纳步骤的正确性。
注意事项
有限归纳法
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它通过归纳步骤来证明一个命题对所有自然数成立。
定义
数学归纳法广泛应用于证明一些与自然数有关的数学命题，例如求和公式、不等式等。
抽屉原理的表述通常如下
如果n个物体要放到m个抽屉中，其中n > m，那么至少有一个抽屉中包含两个或以上的物体。
另一种表述是
如果把多于n个物体放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中包含两个或以上
抽屉原理在数学和计算机科学中有着广泛的应用，它可以用来解决许多问题，例如约瑟夫环问题、背包问题、排列组合问题等。
抽屉原理提供了一种有效的策略，可以帮助我们快速地找到问题的解决方案，从而提高了解决问题的效率。
抽屉原理的应用
02
组合数学中的应用
鸽巢原理
在组合数学中，鸽巢原理是一个重要的应用，它表明如果 n 个物体放入 m 个容器中（n > m），则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
排列与组合问题
抽屉原理可以应用于排列与组合问题的证明，例如在证明某些排列或组合的存在性时，可以通过构造“抽屉”来应用抽屉原理。
证明方法三：数学归纳法
抽屉原理的扩展
04
超限归纳法是一种数学归纳法的扩展，它允许归纳变量是无限的。
定义
应用
注意事项
在数学中，超限归纳法常用于证明一些无限集合的性质，例如实数集的连续性。
使用超限归纳法时，需要特别注意归纳步骤的逻辑严密性，以避免出现逻辑错误。
03
02
《数学广角——抽屉原理》课件制作综述
盒 子里 至少 有２ 支铅笔。 在设 计时只将
摆 放的结 果用 图片形式 做 了简 单的展 示， 还可以利用Ｐ ｗｅＰ ｉｔ “ 定义 ｏ ｒ ｏｎ 中的 自
Ｐ４ Ａ． ￣学习／组为单位， ｊ 、 利用组 内 的铅笔
和文具盒动手放一放 ， 发现其 中蕴含的 抽屉原理 。 结合课件的演示使学生初步 体会把３ 支铅笔放入２ 个盒子里总有１ 个
选择 菜单栏 中的 “ 视图” 按钮 ， 选择 “ 工 具栏 ” 里的 “ 控件 工具箱 ” 并选择 “ ， 其
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链接“ 二桃 杀三士” 的动画视 频来实现 的， 或也 可以把视 频 利用格 式工 具 （ 格
式工厂） 换成Ｆａｈ 式的动 画影片， 转 ｌ 格 ｓ 利用菜单栏 “ 视图” 中的 “ 控件 ” 插入 动
画， 具体做法是 ： 首先将 Ｆａｈ ｌｓ 文件和幻 灯 片放在 同一目录下 或同一 个 文件 夹 中， 然后选择 要插入Ｆ ａｈ ｌｓ 的位置 ， 接着
立意是借 助 “ 分放铅 笔” 操作实验环 节 中的简单数 据— — 铅笔支 数和文具 盒 数 逐数 递 增， 课件 在 制作 时把 相应 需 要改 变的数 值 设置 成 自 定义 动 画中的 “ ” “ 出现 和 消失” 即可。 个环 节 主要 这 意 图是借 助 课件 启发学 生由形 象思维 转 化为抽象 思考 ， 通过 变化 ， 找到规 律 性的现象 ， 然后总结 概括出抽屉原理 的
数学活动中来 ， 在掌握 知识的同时， 也习 得了 方法， 培养了 能力， 学习便不再是一件 枯燥无味的事情， 而是一件与陕乐联 系在
课件数学广角抽屉原理
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六年级数学下册《数学广角》抽屉原理
3、把7本书进2个抽屉中，不管怎么放， 总有一个抽屉至少放进多少本书？为什 么？
7÷2=3……1
3、把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有 一个抽屉至少放进多少本书？为什么？
9÷2=4……1
抽屉原理
在有些问题中,“抽屉”和“苹果”不 是很明显, 需要我们制造出“抽屉”和 “苹果”. 制造出“抽屉”和“苹果” 是比较困难的,这一方面需要同学们去分 析题目中的
如果要取出颜色相同的两双筷子，问至 少要取多少根才能保证达到要求？
把5枝笔放 进3个盒子中。
• 把6枝笔放进4个盒子呢？ 把5枝笔放进2个盒子呢？
“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是 由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的， 所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解 决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理” 的应用是千变万化的，用它可以解决许多有 趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的 结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3、如果把100个苹果放入99个抽屉中， 至少有几个放到同一个抽屉里呢？（2个）
1、如果把6个苹果放入4个抽屉中，
至少有几个苹果被放到同一个抽
屉里呢？
（2个）
2、如果把8个苹果放入5个抽屉中，
至少有几个苹果被放到同一个抽
屉里呢？
（2个）
你发现了什么规律？
只要物体数量是抽屉数 量的1倍多，总有一个抽屉 里 至少放进2个的物体。
枝铅笔？至少：只有一个文具盒有 4 枝，
其余都是（4-1）枝
3+1
3
3
3
3×(4-1)+1=10（枝）
求总数=抽屉×（至少-1）+1
要分的份数 其中一个多1
抽屉原理(二)
抽屉原理
4、任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和 或差是10的倍数.
“连续”问题
1、有50名运动员进行某个项目的单循环赛， 如果没有平局，也没有全胜。试证明：一 定有两个运动员积分相同。
2、某学生用11个星期做完数学复习题，他每 天至少做一道题，每星期至多做12道题. 证明： 一定存在连续的若干天，他恰好做了21道题.
抽屉,年龄最大的 是13岁,最小的是11岁,那么其中必有（ ） 名学生是同年同月出生的.
• 从一副张扑克牌（去掉大小王）中，至少 取出几张牌，才能保证一定有2张牌的点数 和颜色相同？ • 至少取出几张牌，才能保证必定有相邻的3 张牌出现？
完成对应练习
染色问题
假设法最核心的思维是： 把物体尽量多的平均分给各个抽屉
这个核心思路是用“有余数的除法”这一数学形式表示出来的。
解题方法：
• 用物品数除以抽屉数，若除数不为零，则“至少数”为商 加1； • 若除数为零，则“至少数”为商。
抽屉原理解题的关键：
（1）找准抽屉和物品个数；
（2）营造“最不利情况”。
• • • • •
前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况。
4、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有 10个。最少取出多少个球，才能保证其中 一定有3个球的颜色一样？
5、从一副完整的扑克牌中，至少抽出（23） 张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同。
最不利状况： 各个花色都取了5张花色相同的牌，一共是5*4=20 然后取了大、小王共2张牌然后任取一张，就可以保证至 少有6张牌的花色相同了。
设此学生前i天做xi道题（i=1，2，…，77），则x1<x2<…<x77≤12×11=132， 令yi=xi+21，则y1<y2<…<y77≤132+21=153，于是x1，x2，…，x77，y1， y2，…，y77这154个数都≤153，其中必有两数相同，设xi=yj，则xi=xj+21， xi−xj=21，即从第j+1天到第i天，他恰好做了21道题.
数学广角 抽屉原理
在计算几何中，抽屉原理可以帮助我们解决一些几何问题， 例如在计算多边形的最小面积或最小周长时，可以利用抽屉 原理来推导其结果。
04 抽屉原理的扩展
超限归纳法
定义
超限归纳法是一种数学归纳法的 扩展，它不仅适用于自然数，还 适用于实数、复数等更广泛的数
域。
应用
超限归纳法在数学分析、实变函数、 复变函数等领域有着广泛的应用， 用于证明一些关于数列、函数等性 质的命题。
03 抽屉原理的应用
组合数学中的应用
鸽笼原理
在组合数学中，鸽笼原理 （Pigeonhole Principle）是抽 屉原理的一种应用，它表明如果 n+1个元素被放入n个容器中， 至少有一个容器包含两个或以上
的元素。
整数划分问题
抽屉原理可以应用于整数划分问 题，例如将n个整数划分为若干 组，使得每组的最大值不超过给 定的限制，证明至少有一组包含
概率分布的性质
在研究概率分布的性质时，抽屉原理可以帮助我们证明一些重要的不等式和性 质，例如在研究随机变量的期望和方差时，可以利用抽屉原理来推导其性质。
计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于数据结构和算法设计 ，例如在设计和分析优先队列、堆等数据结构时，可以利用 抽屉原理来证明其正确性和效率。
证明方法三：数学归纳法
总结词
数学归纳法是通过归纳推理来证明结论的正确性。
详细描述
首先，我们证明当n=1时，结论成立。然后，我们假 设当n=k时结论成立，即存在k+1个物品可以放入k个 抽屉中。接着，我们考虑当n=k+1时的情况，如果第 k+1个物品与前k个物品中的任何一个都不相同，那么 它可以放入相应的抽屉中。但如果它与前k个物品中的 某个物品相同，那么根据归纳假设，这个物品只能放 入之前已经放入的抽屉中。因此，无论哪种情况，第 k+1个物品都可以放入某个抽屉中，证明了结论的正 确性。
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数学广角
——抽屉原理
教学内容
《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级下册第70页。
教学目标
1.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解
决简单的实际问题。
2.通过操作发展类推水平，培养数学思维。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的价值。
教学准备
多媒体课件、铅笔、文具盒等。
教学过程
一、谈话引入
1.生活引入
师：同学们，大家在一起学习六年了，你对你的同学是几月出生的了解吗？
有谁知道全班同学各是几月出生的吗？
老师知道全班的同学的生日月份的情况，你们相信吗？
师：你们全班45位同学，我敢肯定，总有一个月至少有4人过生日。
同学们相信吗？
学生有的相信，有的不相信。
2.讨论验证
师：有相信的也有不信的，那怎么来验证呢？
师：如果是这个月生日的呢？
符合的学生站起来。
师：请5月份生日的同学起立。
师：（挑一个都没有过生日的月份来说说）一个都没有啊！那我的这个结论对吗?
学生思考并回答
师：说说理由。
根据学生的回答，板书：总有一个月
师：谁来解释一下，什么叫“总有一个月”？
师：他用了非常好的一个词语，“某一个月”，是这个意思吗？大家都同意吗？
师：我们注意到了“总有”这个词，非常不简单！
师：选一个多于4个同学过生日的月份来说说。
如：7位同学。
师：我的结论准确吗？
师：奇怪，我刚刚说的是4个人，这里却站了7名同学，明显多了啊？
根据学生的回答板书：至少。
师：真了不起，你们还发现了这个词语！“至少”又怎么解释呢？
学生思考并回答。
师：再选一个多于4人过生日的月份来说说，如：5位同学。
师：怎么有超过4人啦！我刚刚明明说一个月呀，怎么还有超过4人的呢》我的结论还准确吗？
引导学生说明一年里“总有”可能是一个月，也可能是几个月。
师：真聪明！让我们在一次理解了“总有”的意思。
3.得出结论
师：看来，我的结论是存有的。
它并不研究在哪个月，反正有一个月，也不关心具体有多少人，反正至少有4个人总在同一个月过生日。
在数学中，有时就是研究一种结论的存有，但不去管它到底在哪里发生。
今天，我们就通过放铅笔来看看这里面有什么结论一定存有。
（揭示课题：抽屉原理）
二、探究规律
（一）初步体验。
1.提出问题
（课件出示）这里有3支铅笔放进2个文具盒中。
师：我肯定：不管怎么放，总有一个文具盒里至少有3支铅笔。
（课件出示）你们相信吗？
投影演示：教师把3支铅笔都放在了同一个文具盒里。
学生观察思考。
学生交流。
（这是最多的。
如果你在第一个文具盒里放1个，第二个文具盒里放2个，就不是这样子了。
）
师：你们说了另一种放法，大家想想看，他肯定是观察到了这个结论当中的那几个字啊！
引导学生明确：“不管怎么放”。
师：哦！真不简单！注意到了这些以后，我这种放法其实仅仅很多种放法中的一种。
谁能来聚聚反例呢？
投影演示：学生的放法。
师：刚才同学举了一个反例，就推翻了结论。
看来，这次老师预测有误了。
课件演示：擦去“3”，那么，至少会放进几支铅笔呢？
2.合作研究
师：用事实说话！请小组同学合作，将3支铅笔放进2个文具盒，看看有哪些放法，并记录结果。
学生分工合作，边说边放，边记录。
学生汇报：（0,3）（1,2）（2,1）（3,0）。
课件出示，四种不同放法。
师：还有不同的放法吗？请大家观察这四种放法，我们在研究这类问题时（0,3）和（3,0）视为同一种放法，同样（1,2）和（2,1）也视为同一种放法。
师：再观察（0,3）和（1,2）这两种放法，你们发现了什么？
引导学生明确：不管怎么放，总有一个文具盒里至少有2支铅笔。
师：你们到底看了那个文具盒，得到了这个结论的？
3.得出结论
师：大家发现了吗？我们每次观察的抽屉都是放的铅笔数较多的，我们自要观察放的较多的那个抽屉就能够了。
（二）二次探究
1. 提出问题
师：刚才大家用了据反例的方法，推翻了我前面的结论。
又用了列举法，证明了这位同学的推测。
现在，增加点难度，如果把4支铅笔放入3个文具盒呢？
预设：不管怎么放，总有一个文具盒里面至少有2支铅笔。
师：他认为也是2支铅笔。
我们还要实行验证！需要用学具的同学能够再拿出铅笔和文具盒。
大家也能够用其他的办法来证明。
2. 自主探究
部分学生同桌合作，部分学生自己证明。
学生交流汇报。
列举法：（2，1，1）（2，2，0）（3，1，0）（4，0，0）
师：同学们的列举法正好证明了刚才的猜测：4支铅笔放入3个文具盒，不管怎么放，总有一个文具盒里至少有2支铅笔。
师：4支铅笔放入3个文具盒就有4种情况，如果铅笔数和文具盒数再增加呢？
师：还有什么更好的办法，证明这个结论的存有性？
引导学生用假设法或其他方法证明这个结论的存有
学生议一议、说一说。
师：如果把5支铅笔放入4个文具盒，结果是否一样呢？怎样解释这个现象？
师：如果把6支铅笔放入5个文具盒，结果会怎么样呢？如果把10支铅笔放入9个文具盒呢？如果把100支铅笔放入99个文具盒呢？
学生依次说出结论。
师：通过前面的探究你发现了什么结论？
引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多1，不论怎么放，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。
请学生继续思考：只要放的铅笔数比文具盒的数量多2呢？多3呢？多4呢？
3.归纳小结
你发现了什么？
引导学生发现：只要铅笔数比文具盒数量多，这个结论都是成立的。
4.数学文化
知识介绍：
课件出示：“狄利克雷原理”，又叫“抽屉原理”，还成为“鸽巢原理”。
三、拓展应用
1.P70页做一做
师：与我们刚才的放铅笔有联系吗?
2.P73页第一题。