五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
五年级奥数：数阵图(一)
数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
奥数：有趣的数阵图
有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。
再分别填入。
2、教学例2：把1～6形式尝试，练习。
解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。
3、教学例3：把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。
解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。
答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。
余数的妙用（二）教学要求：1、使学生掌握正确计算有余数的除法。
2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。
教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。
二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。
A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。
奥数有趣的数阵图
有趣的数阵图一教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法;2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力,以及联想、试探归纳等思维能力;教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里,那么这种图形,我们就称它为数阵图;它是一种趣味性很强的游戏,它的形式很多,大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵;二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中,使横行、竖列三个数的和相等,填在中间的公关位置,;再分别填入;2,所以我们先假设,顶点,再推出,其它的点3、教学例3：把1～9这九个数,填入到方格中,解题思路：先观察数,1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填;方法有多种;4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表,使每行三个数和相等,竖列二数也相等;解题思路：有2行3列,而1＋2＋3＋5＋6＋7＝24,所以每行为12,这样分成1、5、6；2、3、7两组;每列和是24÷3＝8,所以：1、7；2、6；3、5;答案多种;1、填上合适的数,2、用1～5填空;使每一边和为3、填上数,使横、竖、斜和为4、使横、竖、斜和相等;教学要求：12、培养学生活跃的思维能力教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法,其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识,所以我们运用它还可以解决不少的数学难题;今天,我们将继续学习余数的妙用二;二、探索新知：1、教学例4：体育课排队,老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数,最后一个人报2,这一排有人;A、26B、27C、28D、32吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题解题思路：答案必须是5的倍数还要加2,所以我们经过计算发现可以选BD;2、教学例5:……共一百个数字;问：这100个数字中,8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看,我们发现每6个数重复一次,所以周期数是6,总数是：100,我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位,所以8出现的次数是6＋1＝7次第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关,开始第2、4、6盏灯亮着,一个小朋友从第1到第7,再从第1到第7,拉了2000次,问这时那些灯亮着湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次;列式：2000÷7＝285……5那么：灯号：1234567次数：85285原来：关开关开关开关现在：关开关开关关开双数时,不变；单数时,就变;三、全课小结：我们,要合理利用有余数除法的余数,还有它的变化公式;余数＝被除数－商×除数商＝被除数－余数÷除数除数＝被除数－余数÷商被除数＝商×除数＋余数四、课堂练习：1、老师把50张卡片依次发给甲、乙、丙、丁,第45章发给谁2、方方和明明用同一个数做除法,方方用12去除,明明用15去除,方方除得的商是32还余6,明明的计算结果你知道了吗安徽省马鞍山市三年级数学竞赛试题3、写1～100这100个数中,数字“6”写了多少次．．．．奇思巧解1．、．要把．．7．棵小树种成．．．．．6．行．,．每行有．．．3．棵．,．应当怎么样种．．．．．． 2．、．有．9．颗外形完全相同的珠子．．．．．．．．．．,．其中．．8．颗是珍珠．．．．,．另一颗是假珠．．．．．．,．且假．．珠比珍珠重．．．．．,．问用天平称．．．．．,．至少称几次可把假珠找出来．．．．．．．．．．．．3．、．有．100．．．个零件．．．,．分装成．．．10．．袋．,．每袋装．．．10．．个．,．其中．．9．袋里面装的都是．．．．．．．50．．克．,．另．1．袋里面的零件每个都是．．．．．．．．．．49．．千克．．,．这．10．．袋混在一起．．．．．,．你能用．．．秤称一次．．．．,,．．就把装．．．49．．千克重的那一袋零件找出来吗．．．．．．．．．．．．．4．、．老两口带着儿子．．．．．．．,．女儿．．,．和一条狗外外出旅游．．．．．．．．．,．途中过一条河．．．．．．,．渡．口有一条空船．．．．．．,．最多能载．．．．50．．千克．．,．而老两口各重．．．．．．50．．千克．．,．儿子和．．．女儿各重．．．．25．．千克．．,．狗重．．10．．千克．．,．请问他们怎么样才能渡过河去．．．．．．．．．．．．． 5．、．在一个街心花园．．．．．．．,．把．10．．棵树载成五行．．．．．．,．每行．．4．棵．,．应当怎么样栽种．．．．．．． 6．、．有．12．．只形状大小完全一样的零件．．．．．．．．．．．．,,．．其中有一只重量较轻的不是．．．．．．．．．．．．合格品．．．,．你能用天平只称三次就打出这只不合格的产品吗．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7．、．有．A ．、．B ．、．C ．三个金属球．．．．．,A ．．最重．．,C ．．最轻．．,A>B>C,．．．．．．．另外有一个球．．．．．．D,．．试用无法码的天平称两次．．．．．．．．．．．,．确定．．D ．依照重量排顺序排在每几位．．．．．．．．．．．． 8．、．有一个人带着一只狼．．．．．．．．．,．一只羊．．．,．和一筐菜过河去．．．．．．．,．当这个人在时．．．．．．,．狼不吃羊．．．．,．羊不敢吃菜．．．．．,．渡过河时只有一条船．．．．．．．．．,．能承载人及一件东．．．．．．．．西．,．问怎么样渡能使人、狼、羊、菜．．．．．．．．．．．．．．,．安全渡过河去．．．．．．9．、．有一只旧天平．．．．．．,．只剩下二个砝码．．．．．．．,．一只是．．．5．克．,．另一个是．．．．30．．克．,．如．果使用这台天平．．．．．．．,．把．300．．．克的药粉分成三份．．．．．．．．,．一份是．．．50．．克．,．一份是．．．100．．．克．,．一份是．．．150．．．克．,．最少得称几次．．．．．．10．．、．21．．只桶装饲料．．．．．,．有．7．桶装的满满的．．．．．．,．有．7．桶每桶只装了一半．．．．．．．．,．有．7．桶空的．．．,．如果不允许把饲料倒来倒去．．．．．．．．．．．．,．要求连桶带饲料平均分给三位．．．．．．．．．．．．．饲养员．．．,．问你怎么办．．．．．鸡兔同笼问题1.鸡兔同笼,上有三十五头、下有九十四足,问鸡兔各有几只2.鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有几只,兔有几只3.30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有和5分的各有几个4.小明花了6角4分钱买8分和4分的邮票共10张,其中8分和4分的邮票各有多少张5.有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔和铅笔各有多少盒6.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,有雨的天每天只能采12个,它连着8天共采松籽112个,这几天当中有几天在下雨7.某中学利用,暑假进行军训活动,晴天每日行35里,雨天每日行22里,13天共行403里,这期间雨天有几天8.44名学生去划船,一共乘坐10只船,其中大船可以坐6人,小船坐4人,问大船和小船各有几只9.学校开展植树活动,辅导员带领15名同学去种56棵树苗,男同学每人种4棵,女同学每人种3棵,这样刚好把树苗种完,这15名同学中有男女同学各几名10.三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款,共捐了89元,这些同学有捐2元的,有捐5元,求捐2元和捐5元的同学各有多少名1.有28位小朋友排成一行.从左边开始数第10位是爱华,从右边开始数他是第几位2.纽约时间是香港时间减13小时.你与一位在纽约的朋友约定,纽约时间4月1日晚上8时与他通电话,那么在香港你应几月几日几时给他打电话3.名工人5小时加工零件90件,要在10小时完成540个零件的加工,需要工人多少人4.大于100的整数中,被13除后商与余数相同的数有多少个5.四个房间,每个房间里不少于2人,任何三个房间里的人数不少8人,这四个房间至少有多少人6.在1998的约数或因数中有两位数,其中最大的是哪个数7.英文测验,小明前三次平均分是88分,要想平均分达到90分,他第四次最少要得几分8.一个月最多有5个星期日,在一年的12个月中,有5个星期日的月份最多有几个月9.将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中,选出六个填在下面方框中,使算式成立,一个方框填一个数字,各个方框数字不相同.□+□□=□□□问算式中的三位数最大是什么数10.有一个号码是六位数,前四位是2857,后两位记不清,即2857□□但是我记得,它能被11和13整除,请你算出后两位数.11.某学校有学生518人,如果男生增加4％,女生减少3人,总人数就增加8人,那么原来男生比女生多几人12.陈敏要购物三次,为了使每次都不产生10元以下的找赎,5元、2元、1元的硬币最少总共要带几个硬币只有5元、2元、1元三种.13.右图是三个半圆构成的图形,其中小圆直径为8,中圆直径为12,14.幼儿园的老师把一些画片分给A,B,C三个班,每人都能分到6张.如果只分给B班,每人能得15张,如果只分给C班,每人能得14张,问只分给A班,每人能得几张15.两人做一种游戏：轮流报数,报出的数只能是1,2,3,4,5,6,7,8.把两人报出的数连加起来,谁报数后,加起来的数是123,谁就获胜,让你先报,就一定会赢,那么你第一个数报几16.一本小说的页码,在印刷时必须用1989个铅字,在这一本书的页码中数字1出现多少次17.把23个数：3,33,333,…,33…323个3相加,则所得的和的末四位数是多少18.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字,两个2之间有二个数字,两个3之间有三个数字,两个4之间有四个数字,那么这样的八位数中最小的是19.从1,2,3,…,2004,2005这些自然数中,最多可以取几个数,才能使其中每两个数的差不等于420.有一个电话号码是六位数,其中左边三个数字相同,右边三个数字是三个连续的自然数,六个数字之和恰好等于末尾的两位数,这个电话号码是多少21.若a为自然数,证明10│a2005－a1949．22.给出12个彼此不同的两位数,证明：由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数．23.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数．24.设2n＋1是质数,证明：12,22,…,n2被2n＋1除所得的余数各不相同．25.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．26.有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是%的糖水100克,问每种应取多少克27.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是28.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成%的盐水,问最初的盐水是多少千克29.已知盐水若干克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为3％,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为2％;求第三次加入同样多的水后盐水的浓度;30.有A、B、C三种盐水,按A与B的数量之比为2：1混合,得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合,得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合,得到浓度为％的盐水,问盐水C的浓度是多少答案1.从右边开始数,他是第19位.2.4 月2日上午9时.名工人.4.有5个.13×7+7=98＜100,商数从8开始.但余数小于13,最大是12,有13×8＋8＝112,13×9＋9＝126,13×10＋10=140,13×11＋11=154,13×12＋12＝168,共5个数.5.至少有11人.人数最多的房间至少有3人,其余三个房间至少有8人,总共至少有11人.6.最大的两位约数是74.1998＝2×3×3×3×377.第四次最少要得96分.88＋90-88×4=96分8.最多有5个月有5个星期日.1月1日是星期日,全年就有53个星期日.每月至少有4个星期日,53-4×12=5,多出5个星期日,在5个月中. .和的前两位是1和0,两位数的十位是9.因此加数的个位最大是7和8.10.后两位数是14.285700÷11×13=1997余129余数129再加14就能被143整除.11.男生比女生多32人.男生4％是3＋8=11人,男生有11÷4％=275人,女生有518-275=243人,275-243=32人.12.最少5元、2元、1元的硬币共11个.购物3次,必须备有3个5元、3个2元、3个1元.为了应付3次都是4元,至少还要2个硬币,例如2元和1元各一个,因此,总数11个是不能少的.准备5元3个,2元5个,1元3个,或者5元3个,2元4个,1元4个就能三次支付1元至9元任何钱数.班每人能得35张.设三班总人数是1,则B班人数是6/15,C班人数是6/14,因此A班人数是：15.第一个数报6.对方至少要报数1,至多报数8,不论对方报什么数,你总是可以做到两人所报数之和为9.123÷9＝13……6.你第一次报数6.以后,对方报数后,你再报数,使一轮中两人报的数和为9,你就能在13轮后达到123. 17.甲26又2/3天,乙40天又1/321.甲、乙两地相距540千米,原来火车的速度为每小时90千米;25.一班48人,二班42人29.最少5个,最多7个。
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定,从每一个单个数上无法进行判断,所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法,即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜,从内容上可以分为加减乘除4种数字谜,横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口,突破口你的寻找是需要一定得技巧性,一般来说,首先是观察题目中给出数字的位置,同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算,然后根据各种分析法进行突破,突破的顺序一般是三位分析法（个位分析,高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位,奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手,然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图、数字谜数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现,属于各大杯赛的高频考点,因为这类题是正确率很高的题目,所以要想取得好成绩,必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内,使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】首先求出数阵图中关键位置的数,在数阵图的中间位置,是：（22×5-66）÷4=11,剩下的数从下到大排列,首尾配对即可：1配10,2配9,,3配8,4配7,5配6。
在下图中填9个数,使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b处应该填入的数是（）。
【解析】这是一个三阶幻方,每行、每列、每条对角线上三个数的和相等,我们称这个相等的和是幻和,幻和是中央的数的3倍,幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b,进而得到2b=2.8,b=1.4。
在右边的算式中,相同的符号代表相同的数字,不同的符号代表不同的数字,根据这个算式,可以推算出：例3例2例1△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
奥数有趣的数阵图.doc
有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程:一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1:将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相等。
解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置,再剩下的数中，找一对和相等的数。
再分别填入。
2、教学例2：把1〜6这六个数填入。
中，使三角形每边上的三个数和相等。
形式尝试，练习。
解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。
3、教学例3：、一、一把1〜9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。
解题思路：先观察数，1+9=2+8=3+7=4+6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1+2+3+5+6+7=24,所以每行为12,这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24+3=8,所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）o答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数，使所以的边和等于18。
2、用1〜5填空。
使每一边和为8。
I I < ）（I、，\ E ,、/ V 、/3、填上数，使横、竖、斜和为21。
4、使横、竖、斜和相等。
151418625老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2, ）人。
C 、 28 D 、 32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》答案必须是5的倍数所以我们经过计算发现可以选B DoA 、26B 、27 余数的妙用（二）教学要求：1、 使学生掌握正确计算有余数的除法。
2、 培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。
小学奥数 5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
奥数有趣的数阵图
奥数有趣的数阵图文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相23、教学例3：把1～9解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。
答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～53、填上数，使横、竖、斜和为4、使横、竖、斜和相等。
教学要求：12教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。
二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。
A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选BD。
2、教学例5:……共一百个数字。
问：这100个数字中，8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看，我们发现每6个数重复一次，所以周期数是6，总数是：100，我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位，所以8出现的次数是6＋1＝7（次）第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关，开始第2、4、6盏灯亮着，一个小朋友从第1到第7，再从第1到第7，拉了2000次，问这时那些灯亮着（湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题）解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次。
五年级下册数学奥数课件有趣的数阵图人教版共25张
解答数阵图的关键是重叠数，所以 填数阵时，一般优先考虑重叠数。可 以把这个数用括号或字母表示，列出 等式，再根据条件解答出来。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
4
36+a+b=42
5
7
8
a+b=6
1+5=6或2+4=6
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
不论这5个数填在哪里，从整体来 看，5个数都加了1次，其中有1 个数还多加了一次，得到了2个和， 也就是6个数相加等于2×9=18。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
假设重叠数是a 1+2+3+4+5+a=9×2
15+a=18 a=3
将1～9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于17。
1+2+…+8+9=45
17×3-45=6 三个顶点重叠一次，即三个 顶点数之和为6
6=1+2+3
1
89
6
4
2573
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
按照前面学习的方法， 先列出一个等式，再考虑三 个未知的数吧。
小学奥数 5-1-3-2 数阵图(二).教师版
1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=． 例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因为56+A 为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
一起学奥数--有趣的数阵图
擦掉1、5、9（留意这三个数的位置），剩下的数首尾相加，
和相等。
4
8
2
随便挑选一组，填到左图圆圈内。
分析例4、5，图形特征与数字特征相同的情况下，填数的方式雷同。
例6、把1~11这十一个数分别填入下图中的各个○内，使每条线段上 三个○内的数的和都等于22。
1
10 5 6 11 9 2
78
4
3
【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用五次。 数字特征：1-11为11个连续自然数，呈等差数列。与
4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在 三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为： 4×6=24种。
本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再 分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。
例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个 ○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
因为1-12是一个等差数列，确定1-4为四个顶角，且按逆时针方向排列后，可以把剩下 的分成5-8，9-12两组，分别填在直线上对应的位置。
最后一步的规律必须让学生领会。可以把和都为22的条件去掉做讲解
例4、把1~7这七个数分别填入下图中的各个圆圈内，使每条线段上三个 ○内的数的和相等。
7
2
1
4 5
例：将1~16分别填入下图中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中 间正方形的四个数之和都是34，图中已填好八个数，请将其余的数填完。
9 15 5
10
【分析】图形特征：左图中有16个圆圈，要填的数字为16个，且16 个圆圈可以在大圆上组成4个扇形，4个扇形上的数字之和都为34
小学奥数 5-1-3-1 数阵图(一).教师版
1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
奥数题 巧数图形 有趣的数阵图
巧数图形、有趣的数阵图
【基础再现】
1.要想准确地数出图形中所包含的某种图形的个数，就要掌握数图形的规律和方法，最常用的方法有按顺序数和分类数两种。
2.数阵图就是把数按一定的规则填在某一特定图形的规定位置上的一种图形，数阵图一般分为辐射（开放）型和封闭型两种。
【重难考点】
1.掌握数图形最常用的两种方法：按顺序数和分类数。
2.数阵图的类型。
【典型例题】
例1、如图所示，线段AB上有CD两点，在图中共有多少条线段？
A C D B
例2、求图中三角形的个数。
例3、图中共有多少个三角形？
B D E F G C
例4、图中有多少个正方形？
例5、数出图中长方形共有多少个？
A D
B C
例6、下图是一个立方体，将它的每个面都划分成9个等面积的正方形。
这个立方体共有多少个长方体？多少个正方体？
例7、把1~7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。
○
○○
○
○○
○
例8、把1~6六个数字分别填入图中的六个“○”内，使每条边上三个“○”内数字之和相等。
○
○○
○○○
例9、将1到16这16个数填入图中的16个方格内，使每行、每列、每条对角线上四个
数的和都相等。
【即时训练】
1、图中各有多少条线段？
2、图中各有多少个三角形？
（1）
（2）
3、把1~7这七个数填入图中，使每条直线的三个数的和都等于14。
○
○
○
○○
○○。
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图、数字谜数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】 首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6。
在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b 处应该填入的数是（ ）。
【解析】 这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b ，进而得到2b=2.8， b=1.4。
在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
人教版五年级奥数精讲精练(十七)有趣的树阵图
人教版五年级奥数精讲精练（十七）有趣的树阵图姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、填空题1 . 把1～14 分别填入下图中的方格内，使“十一” 三笔中每五个方格内的数的和相等。
2 . 在下图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
______23______57__3 . 每个方格中的字母表示一个数，并且每行每列每斜三个数的和都相等．a=11，f=12，i=5，那么e= ．4 . 把1～8 分别填入下图的圆圈内，使每个大圆的五个数的和相等，并且最大。
5 . 将1～10 这十个数分别填入图中的十个○内，使每条线段上的四个○内的和相等。
6 . 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.7 . 观察三角形数阵:那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是______________。
8 . 把 1～9 分别填入下图的圆圈中，使七个三角形（四个小三角形、三个大三角形）中每个三角形的三个顶点圆圈内的数的和相等。
9 . 把 3～10 分别填在下图中正方体的八个顶点上的圆圈里，使每个面四个顶点上圆圈中的数的和相等。
10 . 把 1～9 分别填入下图的圆圈中，使两条线段上的五个数的和相等，两个四边形顶点上数的和也相等。
11 . 把1~9这9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.12 . 在下图（1）中，每边上的数加起来之和都是 5，所有数的和是 12，现用任何数字重新排列填入图（2）、（3）中，使每边的数字之和仍为5，但全部数的和是13、14。
13 . 如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．那么Χ=________．22Χ26二、解答题14 . 把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里，在横行、竖行、斜行上的三个数的和是45。
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例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
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1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
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39×2-64=14
7
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中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
4
36+a+b=42
5
7
8
a+b=6
1+5=6或2+4=6
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
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2
3
例2：将1～10填入○中，使每条线上四个数之和相等。你 有几种填法？
我发现一条直线上四个数相加时，中间的 数加了三次，其他的三个数只加一次。而 且，和前面不一样的地方是：没有告诉我 们直线上的和是多少。
例2：将1～10填入○中，使每条线上四个数之和相等。你 有几种填法？
假设重叠数是a 1+2+3+…+9+10+a+a =55+a+a 55+a+a是3的倍数 a= 1 或4 或7 或10
假设重叠数是a 1+2+3+…+9+a+a+a =45+a+a+a 45+a+a+a是4的倍数 a= 1 或5或9
答：有3种填法。
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条 直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？
将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上 五个数之和相等（至少找出两种本质上不同的填法）。
1 2 34
5
解答数阵图的关键是重叠数，所以 填数阵时，一般优先考虑重叠数。可 以把这个数用括号或字母表示，列出 等式，再根据条件解答出来。
把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三 个圆圈内各数之和都是12。
1
1+2+…+6+7=28
7
12×3-28=8
最中间的圆圈数重叠两次， 所以它是8÷2=4
答：有4种填法。
例2：将1～10填入○中，使每条线上四个数之和相等。你 有几种填法？
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条 直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条 直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条 直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？
两数之和为14
解答数阵图的关键是重叠数，所以 填数阵时，一般优先考虑重叠数。可 以把这个数用括号或字母表示，列出 等式，再根据条件解答出来。
将1～9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于17。
1+2+…+8+9=45
17×3-45=6 三个顶点重叠一次，即三个 顶点数之和为6
6=1+2+3
1
89
6
4
2573
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
问题情境
第9讲
有趣的数阵图
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
我发现一条直线上三个数相加时， 端点四个数只加了一次，中间的 数加了两次。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
不论这5个数填在哪里，从整体来 看，5个数都加了1次，其中有1 个数还多加了一次，得到了2个和， 也就是6个数相加等于2×9=18。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
假设重叠数是a 1+2+3+4+5+a=9×2
15+a=18 a=3