高等数学第十章习题课

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高等数学(下)课件D10_习题课

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物线线例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、计y x 2 , ∫

高等数学高教版课后习题答案

4
5 x 2
ax
C4 e
4
ax
（a 0）；
（9） y (C1 C2 x) sin x (C3 C4 x) cos x ；（10） y C1 C2 x (C3 C4 x)e x 。 2．（1） y
1 7 5 （2） y e 3 x e 3 x ； sin 2 x ； 2 6 6
25．提示：微分方程的解为 y 其中 k 为常数。
1 x 26．函数 f 满足的微分方程 y 2 (2 xy x 2 y ) ，特解： y 。 3 1 x3
§ 3 二阶线性微分方程 1．（1） y C1e 3 x C2 e 2 x ；（2） y C1e 3 x C2 e 3 x ；（3） y C1 cos 2 x C2 sin 2 x ；（4） y (C1 C 2 x)e ；（5） y (C1 C2 x)e 3 x ；（6） y C1e 4 x C2 ；（7） y C1 C2 e 3 x C3 e 2 x ；（8） y C1 cos 4 a x C2 sin 4 a x C3 e
x 3 3 3 2 e ；（3） y （4） y 2e 2 x 4 xe 2 x ； cos x sin x 2 3 2
（5） y
29 x 6 6 x 1 1 e e ；（6） y e 2 x 。 7 7 2 2
3． y C1e x C2 x x 2 1 。 4． y C1e x C2 (1 2 x) 。 5． y x sin x cos x ln(cos x) C1 cos x C2 sin x 。
（3） y ( x C ) cos x ；（4） y e 2 x Ce x ；（5） y 1 Ce x ；（6） y

高等数学课后习题及参考答案(第十章)

高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。

高等数学下第十章练习题答案.ppt

33
简便方法：
M
1 3
x2 y2 dS
y2 z2 dS
z2
x2
dS
2 x2 y2 z2 dS 3
2 3
a2
dS
2 a2 4a2 8 a4 .
3
3
六、计算
xdydz x2
y
z
2
2dxdy z2
,
是由曲面
x2 y2 R2 , z R, z R (R 0) 所围的立体表面的外侧.
直接用格林公式
D
C
ydx (e y2 x)dy L
D
Q x
P y
dxdy
oA B
x
2 dxdy 212 2
D
4 ．
(e x sin y y 1)dx (e x cos y x)dy,
L
L
是以点
A(1,0), B(5,0) 为直径的两端点的下半圆周，且从 A
到 B 为正方向.
y
高等数学第十章自测题解答
一、计算下列曲线积分
1． L (3 y x)ds, L 是连接点 A(3,3) 和点 B(3,1)
的直线段.
直线方程： y 3 1 ( x 3) 3
ds 1 y2 dx 1 1 2 dx 10 dx,
3
3
原式
3
(9 ( x 3) x)
10 dx 12 10.
2 24 16
又 x2z2dxdy x2dxdy
1
1
Dxy
4
2 d
1 r 3 cos 2 dr 4 1 1 ,
0
0
22 4 4
原式 5 9 .
1 1
16 4 16

高等数学D10习题课

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其中 L为由点 O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds

高等数学课后习题答案第十章

习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解

第10章课后习题详解曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算ds y x L⎰+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。

知识点：第一类曲线积分.思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.解：如图L OA =AB +BO +则=+⎰ds y x L)(⎰+OA(⎰+AB⎰+BOds y x ))(10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，2121)0()(1021==+=+∴⎰⎰x dx x ds y x OA10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1010==⋅=+∴⎰⎰x dx ds y x AB注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(12121)0()(1021==+=+∴⎰⎰y dy y ds y x BO2121221)(+=++=+⎰ds y x L. 注：1)⎰⎰+=+BAABds y x ds y x )()(，⎰⎰+=+OBBOds y x ds y x )()(对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.★★2.计算⎰L yds ，其中L 为圆周4)2(222a a y x =-+.知识点：第一类曲线积分.思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a rθθθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(θθ2sin sin a r y ==∴22020222212212sin 2sin a a d aad a yds Lππθθθθππ=⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰.★3. 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,应于t 从0到2的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=∴原式=dt e dt e e tt t-⎰⎰=+⋅2222t 2331e 1)1(2323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分⎰Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

大一高数课件第十章10-习题

习题4
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题目：求函数y=sin(x+π/4)在[0,π]上的最大值和最小值
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解题思路：利用正弦函数的性质，将函数化为标准正弦函数形式，再利用正弦函数的单调性求解。
Байду номын сангаас
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解题步骤：将函数y=sin(x+π/4)化为标准正弦函数形式y=sin(x+π/4)=sinx*cosπ/4+cosx*sinπ/4，再利用正弦函数的单调性，当x=π/4时，y取得最大值1；当x=3π/4时，y取得最小值-1。
• 结论：函数y=sin(x+π/4)在[-π/2,π/2]上的最大值为1，最小值为-1
习题2
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题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1的单调区间
单击此处添加标题
解题思路：首先求导数，然后判断导数的正负性，从而确定函数的单调区间。
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具体步骤：对函数f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+9，解不等式f'(x)>0得到x<1或x>3，解不等式f'(x)<0得到1<x<3，所以函数f(x)在区间(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在区间(1,3) 上单调递减。
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大一高数课件第十章10-习题
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第10章)【圣才出品】

②求立体体积应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为
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该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
f (x, y)d
，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x 与 y 称为
积分变量，D 称为积分区域，
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二
在 D 上至少存在一点，使得
．
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二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

高等数学第十章习题详细解答答案

习题10.11. 写出下列级数的前五项:（1）∑∞=+12)2(n n n; （2）∑∞=⋅-⋅1)2(42)12(31n n n ; （3）∑∞=--1110)1(n n n; （4）∑∞=+1)1(!n nn n . 解（1） +++++222227564534231（2） +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+1086429753186427531642531423121 （3）-+-+-501401********* （4） +++++543216!55!44!33!22!1.2. 写出下列级数的一般项: (1)+++614121; (2)+⋅+⋅+⋅+⋅117957351132a a a ; (3) -+-+-+-36132511169974513; (4) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x (0x >). 解（1）因为21121⋅=，22141⋅=， 23161⋅=，因此一般项nu n 21= (2) 因为 )312()112(5110+⋅⋅-⋅=⋅a ，)322()122(731+⋅⋅-⋅=⋅a a )332()132(9522+⋅⋅-⋅=⋅a a 因此一般项)32)(12(1+-=-n n a u n n （3）因为11)112()1(131⋅+⋅-=-，222)122()1(45+⋅-=， 233)132()1(97+⋅-=- 因此一般项2)12()1(n n u n n +-=（4）因为21221⋅=xx ，424222⋅=⋅x x ，64264223⋅⋅=⋅⋅x x x ，因此一般项!2)321(2)2(642222n xn x n x u n n n n n n =⋅⋅=⋅⋅=.3. 判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=-+1)1(n n n ; （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ;（3）++++⋅+⋅)1(1321211n n ; （4） ++++6πsin 6π2sin6πsin n ; （5）∑∞=++-+1)122(n n n n ; （6）++++4331313131; （7）22111111()()()323232n n -+-++-+ ;（8） ++-+++++121297755331n n ; （9）)(12112-∞=+-∑n n n a a （0a >）;(10)+++++++++n n)11(1)311(1)211(1111132. 解（1）因为11)1()34()23()12(-+=-+++-+-+-=n n n S n 当∞→n 时，∞→n S ，故级数发散. （2）因为)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)12)(12(1751531311+-++⋅+⋅+⋅=n n S n )]121121()5131()311[(21+--+-+-=n n ]1211[21+-=n , 当∞→n 时，21→n S ，故级数收敛.(3) 因为111)1(1+-=+n n n n ， )1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n S n 111)111()3121()211(+-=+-+-+-=n n n当∞→n 时，1→n S ，故级数收敛.（4）因为 6sin 63sin 62sin 6sin π++π+π+π=n S n )6sin 12sin 263sin 12sin 262sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin21ππ++ππ+ππ+πππ=n )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin21π+-π-++π-π+π-ππ=n n ]12)12(cos 12[cos 12sin21π+-ππ=n由于 π+∞→1212coslim n n 不存在，所以n n S ∞→lim 不存在，因而级数发散. （5）因为)1()12(122n n n n n n n -+-+-+=++-++---+---+---=)34()45()23()34()12()23[(n S )]1()12(n n n n -+-+-++)12(121)12()12(--+++=--+-+=n n n n当∞→n 时，21-→n S ，故级数收敛. (6) 该级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u nnn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7) ∑∑∞=∞=-=-++-+-+-1133222131)2131()2131()2131()2131(n n n n n n∑∞=131n n 该级数为公比131<=q 的等比级数，该级数收敛，而∑∞=121n n该级数为公比121<=q 的等比级数，该级数也收敛，故∑∑∞=∞=-112131n n n n 也为收敛级数.(8) 该级数的一般项)(0112211212∞→≠→+-=+-=n n n n u n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9) 因为 a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=+-+121212353)()()( 当∞→n 时，a S n -→1，故该级数收敛. (10) 该级数的一般项)(01])11[()11(11∞→≠→+=+=-n e n nu n nn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散. 4. 证明下列级数收敛，并求其和：++-++⋅+⋅+⋅)13)(23(11071741411n n . 证 )13()23(11071741411+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n S n )1311(31)]131231()7141()411[(31+-=+--++-+-=n n n 当∞→n 时，31→n S ，故该级数收敛，且 31)13()23(11=+⋅-∑∞=n n n . 5．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都发散时，级数∑∞=±1)(n n nv u的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数∑∞=±1)(n n nv u收敛性又如何？解若级数分别为+-+-+-=-∞=∑11)1(111n n nu；(发散)+-++-+-=∑∞=n n nv)1(1111；（发散）则级数∑∞=+1)(n n nv u显然收敛；但是如果另外有级数∑∑∞=∞==11n n n n u w ，则级数∑∞=+1)(n n nw u显然发散。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解-第十章(圣才出品)

（1）若曲面 S 由方程 z＝f（x，y）给出，D 为积分区域，且函数 f（x，y）在 D 上具
有连续偏导数 fx（x，y）和 fy（x，y），则曲面 S 的面积公式为
A
D
1
z x
2
z y
D
顶柱体的体积；
②当 f（x，y）＜0 时， f x, y d 的绝对值等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）
D
为顶的曲顶柱体的体积；
③当 f（x，y）在 D 上有正有负时， f x, y d 等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy
D
面下方的柱体体积所得之差。
2．二重积分的性质
（1）设α与β为常数，则
sin
z z
其中ρ（0≤ρ＜＋∞），表示以 z 轴为轴的圆柱面；θ（0≤θ≤2π），表示为过 z 轴的半
平面；z（－∞＜z＜＋∞），表示为与 xOy 面平行的平面，则柱面坐标形式的三重积分为
f x, y, z dxdydz F cos , sin , z dd dz
（3）利用球面坐标计算三频学习平台
第 10 章重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质
1．二重积分的概念
（1）定义
n
D
f x, y d
lim 0 i1
f i ,i i
（2）几何意义
①当 f（x，y）≥0 时， f x, y d 等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）为顶的曲
Dxy＝{（x，y）|y1（x）≤y≤y2（x），a≤x≤b}，则
f x, y, zdv
b
dx
y2 x dy
z2x,y f x, y, z dz
a
y1 x

高数第十章习题课

熟练运用极限的四则运算法则，以及复合函数的极限运算法则。
两个重要极限
无穷小量的比较
掌握两个重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$和$lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$的应用。
理解无穷小量的概念，掌握无穷小量比较的方法，会用等价无穷小量替换求极限。
知识点回顾与总结
高数第十章核心知识点
01
02
03
04
多元函数微分学
包括多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等基本概念和性质。
多元函数微分法
包括复合函数、隐函数的求导法则，以及多元函数的极值和最值问题。
方向导数与梯度
理解方向导数的概念，掌握梯度及其几何意义，了解梯度与方向导数的关系。
多元函数的泰勒公式
忽视多元函数极限的存在性
在求解多元函数极限时，需要注意极限的存在性，不能简单地通过代入法求解。
忽视方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度在某一方向上的投影，因此方向导数与梯度密切相关。
03
典型例题解析与讨论
例题一：求解极限问题
极限概念的理解
极限的运算法则
通过具体例子加深对极限概念的理解，掌握求极限的基本方法。
理解多元函数的泰勒公式及其几何意义，掌握利用泰勒公式求多元函数的极值方法。
常见题型及解题方法
求多元函数的极限
通过消元法、等价无穷小替换等方法求解。
求多元函数的偏导数、全微分
掌握偏导数、全微分的定义及计算方法，注意复合函数、隐函数的求导法则。
判断多元函数的单调性、极值、最值
通过求一阶、二阶偏导数，判断函数的单调性，利用极值的必要条件和充分条件判断极值，通过比较法或拉格朗日乘数法求最值。

高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)

第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA，而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==．故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

高等数学课后习题答案--第十章

1 1 2 x 4 + 14 ；（2） y ( x) = + 1 + 4x − 4x 2 ； 2x 2 2 3π 1 2 y 2 − 2 xy + x 2 3 2y − x （3）通解为 ln x + ln − arctan + c = 0 ，c = − ； 2 8 x 4 2 x
13. 将下列方程化为齐次方程后求出通解：
π π
4 4
;
。
199
【答案】（1） e 2 x − 3 + 2e − y = 0 ；（2） x 2 y = 1 ；（3）
(1 + e x ) sec y = 2 2 ；（4） cos x cos y =
2 . 2
5. 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 t 0 时有镭 Q0 克，经 1600 年它的量减少了一半，求镭的衰变规律。 ln 2 − ( t −t0 ) dQ ln 2 1600 = − kQ ， k = 【解】 5．， Q(t ) = Q0 e . dt 1600
7 1 59
（2） (4 y − 3x + 1) 20 (4 y + x + 5) 8 = c( x + 1) 40 ；（3） 3 ln( x + y + 2) − 2 x − y = c .
14. 上凸曲线 y = f ( x ) 经过点 (0,0) 和 (1,1) ，且对于曲线上任一点 P ( x, y ) (0 < x < 1) ，曲线上连接 (0,0) 和 P 的弧与连接 (0,0) 和 P 的线段所围面积为 x 2 ，求该曲线的方程。【解】 y = − x 3 + 2 x ； 15. 判断下列方程中是否全微分方程，若是全微分方程则求出其通解： ⑴ (5 x 4 + 3xy 2 − y 3 )dx + (3 x 2 y − 3xy 2 + y 2 )dy = 0 ; ⑵ (4 x 2 + 2 xy + y 2 )dx + ( x + y ) 2 dy = 0 ; ⑶ e y dx + ( x e y − 2 y )dy = 0 ; dy ⑷ ( x cos y + cos x) + (sin y − y sin x) = 0 ; dx 2 2 ⑸ (3x + 6 xy )dx + (6 x 2 y + 4 y 2 )dy = 0 ; ⑹ y ( x − 2 y )dx − x 2 dy = 0 。 3 1 【答案】 (1) x 5 + x 2 y 2 − xy 3 + y 3 = c ; (2) 不是全微分方程; 2 3 4 (3) xe y − y 2 = c ; (4) x sin y + y cos x = c ; (5) x 3 + 3x 2 y 2 + y 3 = c ; 3 (6) 不是全微分方程. 16. 用观察法判断下列方程的积分因子，再求出通解： ⑴ ydx − xdy = 0 ; ⑵ y 2 ( x − 3 y )dx + (1 − 3xy 2 )dy = 0 ; ⑶ xdx + ydy = ( x 2 + y 2 )dx ; ⑷ ( x − y 2 )dx + 2 xydy = 0 ; ⑸ (2 y − 3x 2 y )dx − xdy = 0 ; ⑹ y (1 + xy )dx + x(1 − xy )dy = 0 。 1 x 【答案】（1）积分因子 2 , = c ；（2） y 2 xdx + dy − 3( ydx + xdy ) y 2 = 0 ，乘 y y

(完整版)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）
解：
。
2设某流体的流速为，求单位时间内从圆柱：（）的内部流向外侧的流量（通量）。
解：0.
3求向量场的散度。
解 v 。
4求向量场A i j k（为常数）沿有向闭曲线（从轴的正向看依逆时针方向）的环流量。
解：。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中是圆中到之间的一段劣弧；
解: ．
（2），其中是顶点为及所成三角形的边界；
解: ．
（3），其中为圆周；
解: ．
（4），其中为折线段，这里，
；
解: ．
2求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。
解。
（5），其中为从点到点的直线段；
解。
（6），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。
解: 。
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解: 。
(2)圆，（）；
解: 。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ，其中是圆，方向是逆时针方向；
。
2计算曲面积分，其中是
（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；
解。
（2）面上的直线段绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解。
3计算下列曲面积分:
(1) ，其中是抛物面在面上方的部分： , ；
解： .
(2) ，其中是上半球面 , ；
解： .
（3），其中为平面在第一卦限的部分；

高等数学课件D10_习题课共32页文档

高等数学课件D10_习题课
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚