最新人教A版高中数学必修五第2章2.5.1同步训练习题(含解析)
最新人教A版高中数学必修5第二章测评试卷及答案
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199a52=a3·a8,公差d≠0,a1=2,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据可得d=189.故选C.(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1,∴S18=18a1+18×1722.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16=b92=4.3.已知在递减的等差数列{a n}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为() A.-14 B.-9C.-5D.-1{a n}的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,a42=a1·(-a6),即(a1+3d)2=a1·(-a1-5d),且{a n}为递减d=7-21=-14.数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+7×624.等差数列{a n}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=()A.8B.9C.16D.17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{a n}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.5.(2020·全国Ⅱ高考,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n=()a nA.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1{a n}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a4=q=2.a5-a3又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,∴a 1=1.∴a n =a 1·q n-1=2n-1,S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1. ∴S na n=2n -12n -1=2-12n -1=2-21-n.故选B .6.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A.5 B.72C.92D.132a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n ={-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×(-32)+10×2=72.故选B .7.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得a 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031. 故选D .8.在各项都为正数且不相等的等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a m ·a 2m+2=a 72=642(m ∈N *),且a m =8,则S 2m =( ) A.127 B.255 C.511D.1 023{a n }的公比为q ,则a 1q m-1·a 1q 2m+1=(a 1q 6)2.因为等比数列{a n }的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a 4=8.又因为a 72=642,所以a 7=64,q 3=a7a 4=8,解得q=2,所以a 1=a 423=1.故S 2m =S 8=1-281-2=255.9.已知在各项均为正数的数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),b n =1a n +an+1,记数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n =3,则n 的值是( ) A.99B.33C.48D.92a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),∴数列{a n 2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2.又a n >0,∴a n =√3n -2,∴b n =1an +a n+1=√3n -2+√3n+1=13·(√3n +1−√3n -2), 故数列{b n }的前n 项和S n =13[(√4−√1)+(√7−√4)+…+(√3n +1−√3n -2)]=13·(√3n +1-1).由S n =13(√3n +1-1)=3,解得n=33.故选B 10.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n3(n ∈N *),则a n =( ) A.13n B.13n -1C.13nD.13n+1a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n 3,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=n -13(n ≥2),② ①-②,得3n-1a n =n3−n -13=13(n ≥2),∴a n =13n (n ≥2).由①得a 1=13,经验证也满足上式,∴a n =13n (n ∈N *).故选C .11.对于正项数列{a n },定义:G n =a 1+2a 2+3a 3+…+na nn为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n=a1+2a2+3a3+…+na n,G n=n+2,∴n·G n=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+na n,∴n.故10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10·a10=21,∴a10=2110选D.12.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为+a2=n.奇数时,a n=a1;当n为偶数时,a n=2×n-22所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(2+4+ (100)=2 600.=50+50×(100+2)2二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为.,当n=1时,a1=S1=-7,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-9.而a1=2×1-9=-7.综上,a n=2n-9.,又因为n∈N*.由2n-9>0,得n>92故满足a n>0的n的最小值为5.14.已知在公差不为零的正项等差数列{a n}中,S n为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.{a n}的公差为d,则d>0.由lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,则a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×4×d=30.215.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=0,S5=10,数列{b n}满足b1=0,且b n+1=a n+1+b n,则数列{b n}的通项公式为.{a n }的公差为d ,则{a 1+d =0,5a 1+10d =10,解得{a 1=-2,d =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+216.(2020·全国Ⅰ高考,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .n 为偶数时,有a n+2+a n =3n-1,则(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92, 因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448.当n 为奇数时,有a n+2-a n =3n-1,由累加法得a n+2-a 1=3(1+3+5+…+n )-1+n2=34n 2+n+14,所以a n+2=34n 2+n+14+a 1,所以a 1+34×12+1+14+a 1+34×32+3+14+a 1+34×52+5+14+a 1+34×72+7+14+a 1+34×92+9+14+a 1+34×112+11+14+a 1+34×132+13+14+a 1=448,解得a 1=7.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,且满足a 2+a 7=23,S 7=10a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列,求k 的值.设等差数列{a n }的公差是d.根据题意有{a 1+d +a 1+6d =23,7a 1+7×62d =10(a 1+2d ), 解得{a 1=1,d =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 2=4,a k =3k-2,a k+5=3(k+5)-2, 由于a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列, 所以(3k-2)2=4[3(k+5)-2],整理得3k 2-8k-16=0,解得k=4(舍去k =-43). 故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 2=S 2+12,a 3=2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 2a n +3,数列1b n b n+1的前n 项和为T n ,求满足T n >13的正整数n 的最小值.由题意知,2a 2=S 2+12,∴2a 2=a 1+a 2+12,得a 2=a 1+12.设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 3=2,∴2q =2q 2+12,化简得q 2-4q+4=0,解得q=2, ∴a n =a 3·q n-3=2·2n-3=2n-2.(2)由(1)知,b n =log 2a n +3=log 22n-2+3=n-2+3=n+1,∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2, ∴T n =1b1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n+1=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2). 令T n >13,得n2(n+2)>13,解得n>4,∴满足T n >13的正整数n 的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *),且a 3=15,a 2=3a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .由2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *)可知数列{1a n}为等差数列.由已知得1a 3=5,1a 2=13·1a 5, 设其公差为d ,则1a 1+2d=5,1a 1+d=13(1a 1+4d),解得1a 1=1,d=2,于是1a n=1+2(n-1)=2n-1,整理得a n =12n -1.(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(2n -1)(2n+1)=32(12n -1-12n+1), 所以S n =32(1-13+13−15+…+12n -1−12n+1)=3n2n+1. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列.(3)求数列{n+12c n}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n ,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,①∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,即c n =2n ,∴cn+1c n=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n ,∴n+12c n=n+12n+1.∴数列{n+12c n}的前n 项和T n =222+323+424+…+n+12n+1,12T n =223+324+…+n 2n+1+n+12n+2,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12n+1−n+12n+2=12+123×(1-12n -1)1-12−n+12n+2=34−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2.∴T n =32−n+32n+1. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n ={1(a n -1)(a n +1),n 为奇数,4·(12)a n,n 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1,所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(n+1)(n+3),n 为奇数,(12)n ,n 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ).因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=14[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]=14(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=n 4(n+1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2n =14[1-(14)n ]1-14=13[1-(14)n],于是T 2n =n4(n+1)+13[1-(14)n].22.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3(n+1)a n =na n+1(n ∈N *),且a 1=3. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和; (3)若a nb n=2n+3n+1,求证:56≤1b 1+1b 2+…+1b n<1.3(n+1)a n =na n+1,所以an+1a n=3(n+1)n(n ∈N *), 则a2a 1=3×21,a 3a 2=3×32,a 4a 3=3×43,……a n a n -1=3×n n -1,累乘可得an a 1=3n-1×n. 又因为a 1=3,所以a n =n×3n (n ∈N *).{a n }的前n 项和为S n ,则S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n ,①3S n =1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n +n×3n+1,② ①-②,可得-2S n =3+32+33+…+3n -n×3n+1=3(1-3n )1-3-n×3n+1=32(3n -1)-n×3n+1 =(12-n)×3n+1-32. 所以S n =(n 2-14)×3n+1+34.因为an b n=2n+3n+1, 所以1b n=2n+3n+1×1n×3n =2n+3n (n+1)×13n=3(n+1)-nn (n+1)×13n =(3n -1n+1)×13n =1n ×13n -1−1n+1×13n , 则1b 1+1b 2+…+1b n=(1×13-12×131)+(12×131-13×132)+…+(1n×13n -1-1n+1×13n )=1-1n+1×13n .因为n ∈N *,所以0<1n+1×13n≤16,即56≤1-1n+1×13n <1, 于是56≤1b 1+1b 2+…+1b n <1.。
人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 课时分层练习题含答案解析
2.5.2 圆与圆的位置关系基础练习一、单选题1．已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C 关于直线l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0 B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0 C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0 D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02．过圆4x y +=上一点P 作圆:()0O x yr r +=>的两条切线，切点分别为，若2APB π∠=，则r =（ ）A ．1BC D3．圆224x y +=与圆:219C x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离A ．210x y --=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．210x y -+=【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x 2＋y 2－4＝0与x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0两式相减得：4480x y -+=，即20x y -+=.5．已知圆1C ：2220x y x ++=，圆2C ：2260x y y +-=相交于P ，Q 两点，则||PQ =（ ）A B ．5C D6．设圆1:244C x y x y +-+=，圆2:680C x y x y ++-=，则圆1，2的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，点()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则（ ）A ．曲线Ω与x 轴围成的图形的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线的方程为10x y +-C ．BA 所在圆与 CB 所在圆的公共弦所在直线的方程为0x y -=D ．CD 所在的圆截直线y x =所得弦的长为8．已知圆:211M x y -+-=，圆:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C ．20x y -=D ．20x y -=【答案】ACD9．已知圆O ：224x y +=和圆C ：231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是 A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 10．两圆22230x y y +--=与2220x y x ++=的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】2230x y ++=【分析】两圆相减，消去22,x y 即为答案.【详解】22230x y y +--=与2220x y x ++=相减得：2230x y ++=，即为公共弦所在直线的方程.故答案为：2230x y ++=11．已知圆C 1：2264120x y x y +-++=与圆C 2：22620x y x y a +--+=，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.12．圆230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点坐标为______. 【答案】()12-，和()30， 【分析】联立两圆的方程即可求解.【详解】联立22222304230x y x x y x y ⎧+--=⎨+-++=⎩，两式相减得=3x y +，将其代入22230x y x +--=中得0y =或2y =-，进而得30x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩， 所以交点坐标为()()1230，，，- 13．已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是___________.14．若圆221x y +=与圆416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.15．设两圆1与圆2的公共弦所在的直线方程为_______ 【答案】2410x y --=【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆22110C x y +-=：①，圆222240C x y x y +-+=：②，由-①②得，2410x y --=，所以两圆的公共弦所在的直线方程为2410x y --=.16．已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，则圆C 的方程是______.A B B A B 且45A ∠=，则C 的坐标为______.（坐标分量精确到0.1）45，且A 在直线AC 上，所以18．若平面上的点P 及半径为R 的圆C ，我们称2CP R -为点P 对圆C 的幂，则平面上对圆1C ：221x y +=及圆2C ：()()22234x y -++=幂相等的点P 的坐标所满足的等式是______.【答案】2x －3y －5＝0【分析】设出点P 坐标，依题意列出等式即可. 【详解】由题知：圆心1(0,0)C ，2(2,3)C -， 圆1C 的半径11R =，圆2C 的半径22R =，设点(,)Px y ，则点P 对圆1C 的幂为：()221x y +-，点P 对圆2C 的幂为：()()22234x y -++-，所以有：()()()22221234x y x y +-=-++-，化简得：2x －3y －5＝0， 故答案为：2x －3y －5＝0. 四、解答题19．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-= (0a >)的公共弦的长为a 的值．。
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第二章 2.5(二)等比数列的前n项和(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
问续 m 项的和不等于 0， 则它们仍组
成等比数列． 即 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„仍组成等比数列． 请你证明上述结论．
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证明
∵在等比数列{an}中有 am＋n＝amqn，
∴Sm＝a1＋a2＋„＋am，
§2.5（二）
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[问题情境] 一件家用电器，现价 20 000 元，实行分期付款，每期付款数相 同，每月为一期，一个月付款一次，共付 12 次，购买后一年还 清，月利率为 0.8%，按复利计算，那么每期付款多少元？要解 决上述问题，需要了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内 容之一．
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§2.5（二）
【学习目标】 1．熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题．
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【学法指导】 1．解决与等比数列前 n 项和有关问题的关键在于“基本量” 以及方程思想方法的灵活运用． 2．运用等比数列前 n 项和解题时要注意“整体思想”方法的 灵活运用． 3． 利用等比数列的知识解决实际问题， 需要从实际问题中抽象 出等比数列模型，明确首项 a1，公比 q，以及项数 n 的实际 含义，切忌含糊不清．
§2.5（二）
在分期付款问题中，贷款 a 元，分 m 个月付清，月利率为 r，
每月还 x 元，想一想，每月付款金额 x 元应如何计算？ 下面给出了两种推导方法，请你补充完整：
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方法一：每个月还款 x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记 作{an}，则有： 经过 1 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 a1＝ a(1＋r)－x ； 经过 2 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 a2＝a1(1＋r)－x＝ a(1＋r)2－(1＋r)x－x ； ____________________ 经过 3 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 a3＝a2(1＋r)－x＝
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析
选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。
人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系 A基础练(详细解析版)
人教A 版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系（A 基础练）一、选择题1．（2020全国高课二时练）圆O 1: 2220x y x +-=和圆O 2: 2240x y y +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切【正确答案】B【详细解析】试题分析:由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()20,2O ,半径12r =,又211212r r OO r r -<<+,所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交,故选B ．2．（2020山东菏泽三中高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【正确答案】C【详细解析】由题意,得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=,则两圆的圆心距523d ===+,即两圆外切,所以两圆有3条公切线;故选C ．3．（2020山西师大附中高二期中）圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．10x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y -+= 【正确答案】A【详细解析】圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ,圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -,两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ,其方程为020111y x --=---,即10x y +-=;故选A. 4.（2020山东泰安一中高二期中）已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝15D ．(x ＋5)2＋(y －7)2＝25【正确答案】A【详细解析】设动圆圆心为M ,且半径为1,又圆22(5)(7)16x y -++=的圆心为(5,7)N -,半径为4,由两圆相外切,得145MN =+=,即动圆圆心M 的轨迹是以(5,7)N -为圆心、半径为5的圆,其轨迹方程为22(5)(7)25x y -++=;故选A.5．（多选题）（2020河北正定中学高二期中）下列圆中与圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0相切的是( )A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x -2)2+(y+2)2=9C.(x -2)2+(y -2)2=25D.(x -2)2+(y+2)2=49 【正确答案】BCD【详细解析】由圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0,可知圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=2.A 项,圆心C 1(-2,-2),半径r 1=3.∵|C 1C|=√17∈(r 1-r ,r 1+r ),∴两圆相交;B 项,圆心C 2(2,-2),半径r 2=3, ∵|C 2C|=5=r+r 2,∴两圆外切,满足条件;C 项,圆心C 3(2,2),半径r 3=5,∵|C 3C|=3=r 3-r ,∴两圆内切;D 项,圆心C 4(2,-2),半径r 4=7,∵|C 4C|=5=r 4-r ,∴两圆内切.6．（多选题）若圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0没有公共点,则实数k 的取值可能是( )A.-16B.-9C.11D.12 【正确答案】AD【详细解析】化圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0为(x -3)2+(y -4)2=25+k ,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k ; 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C 1和圆C 2没有公共点,则|C 1C 2|>√25+k +1或|C 1C 2|<√25+k -1,即5>√25+k +1或5<√25+k -1,解得-25<k<-9或k>11.∴实数k 的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).满足这一范围的有A 和D.二、填空题7．（2020·辽河油田二中高二期中）已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -,若两圆圆心都在直线0x y b ++=上,则+a b 的值是 ________________ .【正确答案】1-【详细解析】由(),3A a ,()1,1B -,设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据题意,可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+,解得,1a =,2b =-,故1a b +=-.故正确答案为:1-. 8．半径长为6的圆与y 轴相切,且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切,则此圆的方程为______________ .【正确答案】(x －6)2＋(y ±4)2＝36【详细解析】设该圆的标准方程为22()()36x a y b -+-=,因为该圆与y 轴相切,且与圆22(3)1x y -+=内切,所以65a ⎧=⎪=,解得64a b =⎧⎨=±⎩,即该圆的标准方程为22(6)(4)36x y -+±=. 9．（2020全国高二课时练）若点P 在圆221x y +=上,点Q 在圆()()22344x y ++-=,则PQ 的最小值为_____________ .【正确答案】2【详细解析】由题意可知,圆221x y +=的圆心坐标为()0,0A ,半径1r =,圆()()22344x y ++-=的圆心坐标为()3,4B -,半径2R =.由512d AB R r ===>+=+,∴两圆的位置关系是外离.又点P 在圆A 上,点Q 在圆B 上,则PQ 的最小值为()()5122d R r -+=-+=10．（2020浙江嘉兴四中高二期中）已知相交两圆221:4C x y +=,圆222,(2)4C x y -+=,公共弦所在直线方程为___________,公共弦的长度为___________.【正确答案】1x =;【详细解析】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =,将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故正确答案为:1x =;三、解答题11.（2020全国高二课时练）已知两圆C 1:x 2+y 2+4x -6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x -14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切; (2)内切; (3)相交; (4)内含; (5)外离.试确定上述条件下k 的取值范围.【详细解析】将两圆的方程化为标准方程:C 1:(x+2)2+(y -3)2=1;C 2:(x -1)2+(y -7)2=50-k.则圆C 1的圆心坐标C 1(-2,3),半径r 1=1, 圆C 2的圆心坐标C 2(1,7),半径r 2=√50-k . 从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r 1+r 2,即1+√50-k =5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r 1-r 2|,即|1-√50-k |=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,即|1-√50-k |<d<1+√50-k , 解得14<k<34.(4)当两圆内含时,d<|r 1-r 2|,即|1-√50-k |>5,解得k<14.(5)当两圆外离时,d>r 1+r 2,即1+√50-k <5,解得k>34. 12．（2020·太原市第六十六中高二期中）已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2﹣6x +m =0． （1）若圆C 1与圆C 2外切,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为求实数n 的值．【详细解析】（1）由题意,圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ,半径为1r =,圆222:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ,半径为R =,因为圆1C 与2C 相外切,所以12C C r R =+,即31=解得5m =. （2）由（1）得5m =,圆2C 的方程为22(3)4x y -+=,可得圆心2(3,0)C ,半径为2R =,由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =,又由圆的弦长公式,1==,即3n +=解得3n =-或3n =-。
人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案.doc
人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题,,,ABCa,101(在中，，，，则 ( ) B,60C,45c,A( B( 103，10(31),C( D(103 10(31)，,ABC2.在中，下列关系式中一定成立的是 ( )abA,sinabA,sinA( B(abA,sinabA,sinC( D(abc，，,,ABC,a,133. 在中，已知，，则 ( ) A,60sinsinsinABC，，8323926323A( B( C( D( 33322,ABC中，已知aBbAtantan,，则此三角形是 ( ) 4. 在A(锐角三角形 B(直角三角形C(钝角三角形 D(直角或等腰三角形,,,,,,,,,,,,,,,,,,AC,1AB,4,ABCABAC 5. 在锐角中，已知，，，则的值为( ) S,3,ABC,2,4,22A( B( C( D(,ABCbCa,4bc，,5AB6. 在中，，，分别为角,,的对边，且，， ac,ABCtantan33tantanBCBC，，, ，则的面积为 ( )333333A( B( C( D( 444二、填空题2π,ABCb,1c,37(在中，若，，C,，则a,________( 38(已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边(若a,1，b,3，A，C,2B，则sinC,________(三、解答题,ABC9(根据下列条件，解.,b,4c,8 (1)已知，，，解此三角形; B,30,,b,2 (2)已知，，，解此三角形. B,45C,75,B25,ABCbCa,210. 在中，，，分别为内角A,B,的对边，若，,，，Caccos,425,ABCS求的面积.1.1.1正弦定理一、选择题D 3.B 4.D 5.B 6.C 1.B 2.二、填空题7(8. 11三、解答题,cBsin8sin309. 解:(1)由正弦定理得 sin1C,,,b4,,,cb,由知，得 30150,,CC,9022,从而， A,60acb,,,43,,(2)由ABC，+=180 得 A,60,abbAsin2sin60, ??a,,,6 ,sinsinABsinsin45B,bCsin2sin75 c,,,，31同理,sinsin45BB432cos2cos1B,,10. 解:由知 cos21B,，,,255420,,B,sin1cosBB,,, 又，得 5,,，,，sinsin[()]sin()ABCBC,72 ,，,sincoscossinBCBC10acaCsin10,ABC,c,,在中，由知 sinsinACsin7A111048？,,，，，,SacBsin2. 227571.1.2 余弦定理一、选择题,ABC,ABC1(在中，已知，则的最小角为 ( ) a,8,b,43,c,13,,,,A( B( C( D(12344,ABC2(在中，如果,则角等于 ( ) A(a，b，c)(b，c,a),3bc0000A( B( C( D(3060120150,ABC3(在中，若，则其面积等于 ( ) a,7,b,3,c,82128A(12 B( C( D(63 2,ABCsin2sincosABC,,ABC4(在中，若，并有,那么(a，b，c)(b，c,a),3bc 是 ( )A(直角三角形 B(等边三角形C(等腰三角形 D(等腰直角三角形abc，，,,ABCb,1,5.在中，A,60，，，则 ( ) S,3,ABCsinsinsinABC，，8323926339A( B( C( D( 326336(某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰,三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 ( )2sin2cos2,,,，sin3cos3,,,，A( B(2sincos1,,,，3sin3cos1,,,，C( D(二、填空题,ABC7(在中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .,ABCbCAB8. 在中，a，，c分别为角,,的对边，若，(3)coscosbcAaC,,cosA,则 .三、解答题0a、B、CS9(在?ABC中，已知，求及面积. b,5,c,53,A,30310(在?ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边(已知:b,2，c,4，cosA,. 4(1)求边a的值;(2)求cos(A,B)的值(1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A二、填空题37( 238.3三、解答题9. 解由余弦定理，知220222,5，(53),2，5，53sin30,25a,b，c,2bccosA0a,5a,bB,A,30? 又??00C,180,A,B,120?112530sin5(53)sin30S,bcA,，，,22422210. 解:(1)a,b，c,2bccosA322,2，4,2×2×4×,8～?a,22. 437ab(2)?cosA,～?sinA,～,～ 44sinAsinB22214即,.?sinB,. sinB87452又?b<c～?B为锐角(?cosB,. 8?cos(A,B),cosAcosB，sinAsinB 352714112,×，×,. 4848161.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题,ABCsin:sin:sin5:7:8ABC,1(在中，若，则的大小是 ( ) ，B,5,,2,A( B( C( D(6363 ,,ABCbCC2(在中，，，分别为角,,的对边，如果，，那么角ca,3ABB,30ac等于 ( ),,,,A( B( C( D(12010590751,ABC3(的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( ) 3 929292A( B( C( D( 9224813,ABCa,7,b,8,cosC,4(在中，若，则最大角的余弦是 ( ) 141111A(, B(, C(, D(, 5867,ABC,ABC，A5( 在中，满足条件，3sinA，cosA,1,AB,2cm,BC,23cm的面积等于( )33323A( B( C( D( 2Acb,2,ABCbC,ABCsin,AB6(在中， (，，分别为角,,的对边)，则的形状ac22c 为 ( ) A(正三角形 B(直角三角形C(等腰直角三角形 D(等腰三角形二、填空题02,ABC3x,27x，32,0A,607(已知在中，，最大边和最小边的长是方程的BC两实根，那么边长等于________.222,ABCbCAB8(已知锐角的三边a，，c分别为角,,的对边，且()tanbcaA，,,3bc，则角A的大小_________.三、解答题,ABCbCABac9((2)coscosacBbC,,在中，，，分别为角,,的对边，且满足.B(1)求角的大小;ac，,4,ABC(2)若，，求的面积( b,71,ABCbC10(在中，，，分别为角A,B,的对边，已知. cos2C,,ac4sinC(1)求的值;a,22sinsinAC,b(2)当，时，求及的长( c1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题A 3.C 4.C 5.C 6.B 1.C 2.二、填空题,7( 78.60三、解答题9. 解:(1)由正弦定理得a,2RsinA～b,2RsinB～c,2RsinC～代入(2a,c)cosB,bcosC～整理，得2sinAcosB,sinBcosC，sinCcosB～即2sinAcosB,sin(B，C),sinA. 又sinA>0～?2cosB,1～π由B?(0～π)～得B,. 3(2)由余弦定理得222b,a，c,2ac?cosB2,(a，c),2ac,2accosB.π将b,7～a，c,4～B,代入整理～得ac,3. 31333??ABC的面积为S,acsinB,sin60?,. 2241210. 解:(1)因为cos2C,1,2sinC,,～ 410所以sinC,?～ 410又0<C<π～所以sinC,. 4ac(2)当a,2,2sinA,sinC时，由正弦定理,～得c,4. sinAsinC162由cos2C,2cosC,1,,～且0<C<π得cosC,?. 442222由余弦定理c,a，b,2abcosC～得b?6b,12,0～解得b,6或26～,,b,6～b,26～所以,或, ,c,4～,c,4.1.2应用举例(二)一、选择题,,1. 在某测量中，设在的南偏东，则在的 ( ) ABBA3427,,,,,,A.北偏西 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 南偏西342755335533,, 55332(台风中心从地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的A 地区为危险区，城市在的正东40 km处，城市处于危险区内的时间为( ) BABA.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 hCDCa,C3(已知、、三点在地面同一直线上，，从、两点测得的点DBDA仰角分别为、，则A点离地面的高AB等于 ,,,,(),( ),,,,,,,,acoscosacoscosasinsinasinsinA( B( C( D( sin(,,,)cos(,,,)sin( ,,,)cos(,,,)4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20?，现要将倾斜角改为10?，则坡底要伸长( )A(1公里 B(sin10?公里 C(cos10?公里 D(cos20?公里,BAEABE5. 如右图，在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进30 CAD米至处测得顶端的仰角为2θ，再继续前进103米至处，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A(15? B(10?C(5? D(20?6(一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60?，另一灯塔在船的南偏西75?西，则这只船的速度是每小时( )33A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里? 二、填空题,,12nmile AB5010(我舰在敌岛7南偏西相距的处，发现敌舰正由岛沿北偏西的10nmile h2方向以/的速度航行，我舰要用小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .北 20m8(在一座高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为,,6045，塔底俯角为，那么这座塔的高为___ ____. A45? 三、解答题B15?C,9nmile 9(如图，甲船在处，乙船在处的南偏东方向，距A有并以AA45,20nmile h28nmile h/的速度沿南偏西方向航行，若甲船以/的速度航行用多15少小时能尽快追上乙船,10.在海岸AA处发现北偏东45?方向，距处(3,BA1)海里的处有一艘走私船，在处北偏西75?方向，CA距处2海里的处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海B里/小时的速度，从处向北偏东30?方向逃窜(问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船,并求出所需时间(1.2应用举例(二) 一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C二、填空题7(14nmile/h8. 20(1+3)m三、解答题9. 解:设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
高中数学必修5第2章2.2.2同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选C.由等差数列性质得a 2＋a 8＝2a 5＝12，所以a 5＝6.2．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( )A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对答案：B3．在等差数列{a n }中，a 10＝10，a 20＝20，则a 30＝________.解析：法一：d ＝a 20－a 1020－10＝20－1020－10＝1，a 30＝a 20＋10d ＝20＋10＝30. 法二：由题意可知，a 10、a 20、a 30成等差数列，所以a 30＝2a 20－a 10＝2×20－10＝30. 答案：304．已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数． 解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，(a －d )(a ＋d )＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9；当d ＝－4时，这三个数为9,5,1.一、选择题1．下列命题中，为真命题的是( )A ．若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列B ．若{|a n |}是等差数列，则{a n }也是等差数列C ．若存在自然数n 使2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则{a n }是等差数列D ．若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2答案：D2．等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323C ．24D ．823解析：选D.∵53x ＝1x ＋1x ＋1，∴x ＝2. ∴首项a 1＝1x ＋1＝13，d ＝12(12－13)＝112. ∴a 101＝823，故选D.3．若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33解析：选D.经观察发现(a 2＋a 5)－(a 1＋a 4)＝(a 3＋a 6)－(a 2＋a 5)＝2d ＝39－45＝－6，所以a 3＋a 6＝a 2＋a 5－6＝39－6＝33.4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15C ．16D ．17解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，则由等差数列的性质得5a 8＝120，∴a 8＝24，a 9－13a 11＝3a 9－a 113＝2a 9＋(a 9－a 11)3＝2(a 9－d )3＝2a 83＝2×243＝16. 5．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：选C.设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2.∴{a n ＋b n }为等差数列．又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.6．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞83B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 解析：选D.设等差数列为{a n }，首项a 1＝－24，则a 9≤0⇒a 1＋8d ≤0⇒－24＋8d ≤0⇒d ≤3，a 10＞0⇒a 1＋9d ＞0⇒－24＋9d ＞0⇒d ＞83. ∴83＜d ≤3. 二、填空题7．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.解析：由于{a n }为等差数列，故a 3＋a 8＝a 5＋a 6，故a 5＝a 3＋a 8－a 6＝22－7＝15.答案：158．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________.解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，a 21＝2a 14－a 7＝2n －m .答案：2n －m9．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.解析：法一：因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为其第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4.所以a 75＝a 60＋d ⇒a 75＝24.法二：因为a 15＝a 1＋14d ，a 60＝a 1＋59d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋14d ＝8a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 答案：24三、解答题10．已知正数a ，b ，c 组成等差数列，且公差不为零，那么由它们的倒数所组成的数列1a ，1b ，1c能否成为等差数列？ 解：由已知，得a ≠b 且b ≠c 且c ≠a ，且2b ＝a ＋c ，a >0，b >0，c >0.因为2b －(1a ＋1c )＝2b－a ＋c ac ＝2ac －2b 2abc ＝2ac －(a ＋c )22abc ＝－(a －c )22abc <0，所以2b ≠1a ＋1c. 所以1a ，1b ，1c不能成为等差数列． 11．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式．解：(1)∵a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝4，∵a 8＝a 2＋(8－2)d ，∴16＝4＋6d ，∴d ＝2，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×2＝2n .(2)a 2＝4，a 4＝8，a 8＝16，…，a 2n ＝2×2n ＝4n .当n ＞1时，a 2n －a 2(n －1)＝4n －4(n －1)＝4.∴{b n }是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝4＋4(n －1)＝4n .12．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？解：购买时先付150万元，还欠款1000万元．依题意知20次可付清．设每次交付的欠款依次为a 1，a 2，a 3，…，a 20，构成数列{a n }，则a 1＝50＋1000×0.01＝60；a 2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5；a 3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59；…a n ＝50＋[1000－50(n －1)]×0.01＝60－12(n －1)(1≤n ≤20)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列． 则a 10＝60－9×12＝55.5， a 20＝60－19×12＝50.5， 故第10个月应付55.5万元，最后一次应付50.5万元．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
最新高中数学：必修5人教A第2章2.5.1同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．在等比数列{a n }中a 1＝8，q ＝12，a n ＝12，则S n 等于( )A ．31 B.312C ．8D ．15答案：B2．数列12，14，18，…的前10项和等于( )A.11024B.511512C.10231024 D.1512答案：C3．在等比数列{a n }中，q ＝12，S 5＝2，则a 1等于________．答案：32314．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，求数列{a n }的前4项之和．解：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9a 5＝243，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝9a 1q 4＝243，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3q ＝3.所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.一、选择题 1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于() A.218 B ．－218C.178 D ．－178解析：选A.设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 4＝－2，a 1q 7＝16，解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝218.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选A.S 5＝a 1(1－q 5)1－q ，∴44＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)，∴a 1＝4，故选A.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( ) A ．11 B ．5C ．－8D ．－11解析：选D.由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 4．1＋2＋2＋22＋…＋128的值是( )A ．128＋64 2B ．128－64 2C ．255＋127 2D ．255－127 2答案：C5．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n ＋m (n ∈N *)，则实数m 的取值为( ) A ．－32B ．－1C ．－3D ．一切实数解析：选C.a 1＝S 1＝32＋m ，又a 1＋a 2＝34＋m ， 所以a 2＝－34. 又a 1＋a 2＋a 3＝38＋m ， 所以a 3＝－38.所以a 22＝a 1a 3， 即916＝(32＋m )(－38)，解得m ＝－3. 6．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C.若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2. 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116. 二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________. 解析：设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1.∴S 6＝1－q 61－q ＝4(1－q 3)1－q.∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3. 答案：38．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．解析：S 8－S 4＝q 4·S 4＝24·10＝160，S 8＝170.答案：1709．等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.解析：∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0.又∵q >0，∴q ＝2.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝12(1－24)1－2＝152. 答案：152三、解答题10．在等比数列{a n }中，a 3＝－12，前3项和S 3＝－9，求公比q .解：法一：由已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1·q 2＝－12， ①S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝－9. ② ②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝34，即q 2＋4q ＋4＝0. 所以q ＝－2.法二：a 3，a 2，a 1成等比数列且公比为1q. 所以S 3＝a 3＋a 2＋a 1＝a 3[1－(1q )3]1－1q＝－12(q 3－1)q 2(q －1)＝－9. 所以q 2＋4q ＋4＝0，即(q ＋2)2＝0.所以q ＝－2.11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4[1－(－12)n ]1－(－12)＝83[1－(－12)n ]． 12．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设该等比数列有2n 项，则奇数项有n 项，偶数项有n 项，设公比为q ，由等比数列性质可得S 偶S 奇＝17085＝2＝q . 又∵S 奇＋S 偶＝a 1(1－q 2n )1－q＝255，a 1＝1， ∴2n ＝8.∴此数列的公比为2，项数为8.。
高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ， 又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ， 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)． 又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3， 于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组 能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)． 答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。
人教版A高中必修5数学试题第2章2.2.1同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( )A ．5B ．6C ．7D ．9答案：C2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2nD ．2(n －1)答案：B3．△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列，则B ＝__________.解析：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C .又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°.答案：60°4．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(5－1)d ＝－1，a 1＋(8－1)d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝1. (2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋(6－1)d ＝12，a 1＋(4－1)d ＝7. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.∴a 9＝a 1＋(9－1)d ＝1＋8×2＝17.一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( )A.12B.13C ．－12D ．－13解析：选C.∵a 7＝a 1＋(7－1)d ＝21＋6d ＝18，∴d ＝－12. 2．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( )A ．45B ．41C ．39D ．37解析：选B.a 6＝a 2＋(6－2)d ＝5＋4d ＝17，解得d ＝3.所以a 14＝a 2＋(14－2)d ＝5＋12×3＝41.3．已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A.a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝82m ＋n ＝10，∴m ＋n ＝6， ∴m 、n 的等差中项为3.5．下面数列中，是等差数列的有( )①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．6．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n 得3n －1＝4n －6，∴n ＝5.二、填空题7．已知等差数列{a n }，a n ＝4n －3，则首项a 1为__________，公差d 为__________． 解析：由a n ＝4n －3，知a 1＝4×1－3＝1，d ＝a 2－a 1＝(4×2－3)－1＝4，所以等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝4.答案：1 48．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________.解析：设等差数列的公差为d ，首项为a 1，则a 3＝a 1＋2d ＝7；a 5－a 2＝3d ＝6.∴d ＝2，a 1＝3.∴a 6＝a 1＋5d ＝13.答案：139．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________.解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4， ∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，∴a 2n ＝a 21＋(n －1)·4＝4n －3. ∵a n ＞0，∴a n ＝4n －3.答案：4n －3三、解答题10．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求它的通项公式．解：由a n ＝a 1＋(n －1)d 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝a 1＋4d 31＝a 1＋11d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3.∴等差数列的通项公式为a n ＝3n －5.11．已知等差数列{a n }中，a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 且a 3，a 6为方程x 2－10x ＋16＝0的两个实根．(1)求此数列{a n }的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 解：(1)由已知条件得a 3＝2，a 6＝8.又∵{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝2. ∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －4(n ∈N *)．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －4.(2)令268＝2n －4(n ∈N *)，解得n ＝136.∴268是此数列的第136项．12．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{a n }图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{a n }图象上的两点，所以a 1＝1，a 3＝5，由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝5，解得d ＝2，于是a n ＝2n －1.(2)图象是直线y ＝2x －1上一些等间隔的点(如图)．(3)因为一次函数y ＝2x －1是增函数，所以数列{a n }是递增数列．。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
人教版高中数学必修5第二章单元测试(一)-Word版含答案
2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .在数列'a n*中，a1=2 ,A• 8 B• -8C. _8 D .以上都不对7.若;.aj是等比数列，其公比是q，且- 35 , a4,成等差数列，则q等于（）A• 1 或2 B • 1 或—2 C. -1 或2 D • -1 或—2&设等比数列的前n项和为S n，若00於5=1：2，则务：寻等于（）A• 3: 4 B • 2:3 C. 1:2 D • 1:39.已知等差数列：的公差d = 0且a1, a3, a9成等比数列，则-31_33_39等于a? + 34 * 3丄01514B .工13C.兰16D .兰1610 .已知：a^1为等差数列，q • a3• a5 = 105 , a2a4 a^ 99，以S n表示7 a^/ 的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（A. 21 B . 20 C. 19 D . 18号证考准名姓级班A.49 B .50 C . 51 D .52 Z ,则下列等式中恒成立的是（)2.已知等差数列:a n ［中,a7 *9=16 ,% =1，贝Ua12的值是（) A .X Z = 2Y B.Y(Y - X) = Z(Z - X)A.15 B .30 C . 31 D.64 C .Y=XZ D.Y(Y- X) = X(Z- X)3.等比数列江？中,a2 -9 , a5 二243,则'a n f的前4项和为（)12.1已知数列1,2 1 23 1 23 4 5,3, 4，…，贝y 5是数列中的2 13 2 14 3 2 1 6A.81 B .120 C . 168 D.192()4.等差数列"Gn 冲，a1 a2a3 ^-24 ,a18 a19 ' a20 -78，则此数列前20项和第50项 D .第51项A .第48项B .第49项C.等于（A.160 B .180 C . 200 D.220_、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横5 .数列Sn f中a n=3 n—7n N .），数列b*满足 1b1飞，线上）设订/是任意等比数列，它的前前2n项和与前3n项和分别为X，丫 ,n项和,11.，若a n log k b n为常数，则满足条件的b n—1=27b n(n _2且n N .)k值（)13. 72-1与J2+1的等比中项是_____________ .2an +1 =2a n +1，则a101 的值为( )1A .唯一存在，且为§B.唯一存在，且为14•已知在等差数列中，首项为23,公差是整数，从第七项开始为负项,则公差为C.存在且不唯一6 .等比数列“Gn '中,a?,D .不一定存在2a6是方程x -34x '64=0的两根，则a4等于（15.嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载神六”的长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是秒.116 •等比数列:a n /的公比为q，其前n项的积为T n ,并且满足条件a! 1 ,a gg aw o -1 0 , a" <0 •给出下列结论：① 0 ：：：q ：：：1 :② a99a,01—1 ：：：0 :③ T100a ioo —1的值是T n中最大的；④使T n 1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是_______ .（填写所有正确的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）已知^n /为等差数列，且a3- -6 ,氏=0 .（1 ）求入1的通项公式；（2）若等比数列：b n f满足t h - -8 , b^ a1a2a3，求1b n』的前n项和公式.18. （12分）已知等差数列：a nf中，玄3玄7 = -16 , a4 = 0，求的前n项和S n •219. (12分)已知数列Jog2(a n-1p (N )为等差数列，且a^3 , a? =9 .(1)求数列(a n /的通项公式;(2)证明:1a? - a〔1a3 - a2+111+：：：1 .20. (12 分)在数列临？中，印=1 , a*+1 二2a n - 2n.(〔)设bn% •证明：数列b n ?是等差数列；2(2)求数列的前n项和.321. (12分)已知数列厲？的前n项和为S.，且印=1 , a n.i r】S n( n=1,2,3,H|).2(1 )求数列江!的通项公式；(2)当b n=log33a” 时，求证：数列—的前n项和T n—.2 JbA*”1+n22 .( 12分)已知数列订話的各项均为正数，对任意n N，它的前n项和S n满足15 (a n- 1)(a n2)，并且a2，，比成等比数列.6(1)求数列的通项公式；(2)设b n =(-1)n1a n a n.1，T 为数列的前n 项和，求T2n .46. 【答案】A【解析】T a 2 a 6 = 34 , a 2 a 6 = 64 , • a 42 = 64 ,T a 2>0, a 6>0, • a 4= a 2q >0, • a 4= 8 .故选 A .7. ［答案】C【解析】 依题意有2印=比- a 5，即2a 4 = a 4q 2 - a 4q ，而a 4 = 0 , • q -q - 2=0 , (q -2)(q 1) = 0 . • q - -1 或 q = 2 .故选 C . & ［答案】A［解析】显然等比数列：a n !的公比q = 1，则由=丄= 1 q 5=」=q 5= -」,S 5 1 —q 52 2故鱼二上笛二上g 二——23.故选A .S 5 1-q 5 1-q 5. _J 4一厂丿9. ［答案】C［解析】因为 a 32 = a 1 ・a 9,所以(a< 2d)2 = a 1 (a 1 8d).所以a-^ = d .所以 a 1 a 3 % 二 3a 1 10d / .故选 C . a 2 + a 4+a 10 3^+134 1610. ［答案】B【解析】•(a 2 - aj ■ @4 - a 3) ■ (a 6 - a 5)= 3d ,• 99-105 = 3d . • d = -2 .又 T a 1 a 3 a 5 =3a 1 6d =105 , • a^ = 39 . • S n = na^i +_= -n 2 + 40n = 一( n 一 20)2 + 400 .•当n=20时，S n 有最大值.故选B . 11. ［答案】D［解析】由题意知S n = X , S 2n 二丫 , &n = Z .又T :an/ 是等比数列，• S n , S 2n — S n , S sn " S ?n 为等比数列， 即X , Y-X , Z-Y 为等比数列， • (Y - X)2 =X (Z - Y),2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答案一、选择题 1. 【答案】D1【解析】 由2a! d =2a n 1得a n +勺-a n =,2Sn f 是等差数列首项a 1 = 2，公差d =,2••• a n =2 -（n 一1）3 ,••• q°1=52 .故选 D .2 2 2 2. 【答案】A【解析】在等差数列:a n ［中，a 7 a 9 = *4+812 , • q 2 -16 -1 =15 .故选 A . 3.【答案】B【解析】由a 5 =a 2q 3得q =3 .44• a-^ = —2 - 3 , S 4= a 11 q 3 1—3120 .故选 B .q 1_q 1 _3 4 .【答案】B【解析】••• （a 1 a 2 a 3）（弧• - a ?。
人教版新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析).doc
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】第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数． 答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析 由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q ， 则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教版A高中必修5数学试题第2章2.3同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A ．360B ．370C ．380D ．390答案：C2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( )A ．25B ．26C ．27D ．28答案：D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝123a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n . 答案：2n4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5.解：d ＝a 7－a 57－5＝20－142＝3， a 1＝a 5－4d ＝14－12＝2，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(2＋14)2＝40. 一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：选C.d ＝a 3－a 2＝2，a 1＝－1，S 4＝4a 1＋4×32×2＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( )A ．24B ．27C ．29D ．48 解析：选C.由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29. 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B.S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 2＋a 9)＝120.∴a 2＋a 9＝24. 4．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( )A ．99B ．66C ．33D ．0解析：选B.由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99. ∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46. 又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列．∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3 ＝33(48－46)＝66.5．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选A.∵a 1＋a 2＋a 3＝34，①a n ＋a n －1＋a n －2＝146，②又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.③S n ＝(a 1＋a n )·n 2＝390.④ 将③代入④中得n ＝13.6．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B.由等差数列前n 项和的性质知S 偶S 奇＝n n ＋1，即150165＝n n ＋1，∴n ＝10. 二、填空题7．设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162×2＝153. 答案：1538．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝__________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6.①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10.② 由①②得a 1＝1，d ＝12. 答案：129．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：由等差数列的性质知S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1.又∵a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9，∴S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝－72. 答案：－72三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n －2(n ∈N *)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．解：(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时，a 1＝S 1＝－24，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－24，n ＝1，2n －24，n ≥2， 由题设得2n －24＝74(n ≥2)，解得n ＝49.∴74在该数列中．11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n .解：(1)由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.所以a 1＋a n ＝884＝22. 因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，所以n ＝26. (2)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.。
最新高中数学：必修5人教A第2章2.5.2同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．设数列{(－1)n －1·n }的前n 项和为S n ，则S 2011等于( )A ．－2011B ．－1006C ．2011D ．1006答案：D2．已知数列{1n (n ＋1)}的前n 项和为S n ，则S 9等于( ) A.910 B.710C.109D.107答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n 为__________． 答案：1204．求数列112，314，518，…，[(2n －1)＋12n ]的前n 项和． 解：S n ＝112＋314＋518＋…＋[(2n －1)＋12n ] ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(12＋14＋18＋…＋12n ) ＝(1＋2n －1)·n 2＋12[1－(12)n ]1－12＝n 2＋1－12n .一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则前9项和S 9＝( )A ．45B ．52C ．108D ．54答案：D2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＝( )A ．－29B ．29C ．30D ．－30解析：选B.S 15＝1－5＋9－13＋…＋57＝－4×7＋57＝29.3．数列9,99,999,9999，…，的前n 项和等于( )A ．10n －1 B.10(10n －1)9－n C.109(10n －1) D.109(10n －1)＋n 解析：选B.a n ＝10n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)＝(10＋102＋…＋10n )－n ＝10(10n －1)9－n . 4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33C ．31D ．29解析：选C.设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16[1－(12)5]1－12＝31. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A.设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值，故选A. 6．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n 项的和为( )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1) C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1 解析：选A.∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)． ∴S n ＝4(1－1n ＋1)． 二、填空题7．已知a n ＝n ＋13n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 解析：S n ＝(1＋2＋…＋n )＋(13＋132＋…＋13n ) ＝12(n 2＋n ＋1－13n )． 答案：12(n 2＋n ＋1－13n ) 8．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n 2＋3n ＋2，则数列的前n 项和S n ＝__________.解析：a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， S n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2) ＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 答案：n 2n ＋49．已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 (n 为正奇数)，2n －1 (n 为正偶数)，则a 9＝________(用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________(用数字作答)．解析：a 9＝29－1＝256.S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝1－451－4＋4×(3＋15)2＝377. 答案：256 377三、解答题10．已知数列{a n }的通项a n ＝2·3n ，求由其奇数项所组成的数列的前n 项和S n .解：由a n ＝2·3n 得a n ＋1a n ＝2·3n ＋12·3n＝3，又a 1＝6， ∴{a n }是等比数列，其公比为q ＝3，首项a 1＝6，∴{a n }的奇数项也成等比数列，公比为q 2＝9，首项为a 1＝6，∴S n ＝6(1－9n )1－9＝34(9n －1)． 11．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由a n ＋1＝2a n ＋2n ，两边同除以2n ，得a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1.∴a n ＋12n －a n 2n －1＝1，即b n ＋1－b n ＝1， ∴{b n }为等差数列．(2)由第(1)问得，a n 2n －1＝120＋(n －1)×1＝n . ∴a n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1.① ∴2S n ＝21＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n .② ∴①－②得－S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1. ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
人教A版高中数学必修五第2章2.1同步训练习题(含解析)
人教A 高中数学必修5同步训练 1．数列1，12，14，…，12n ，…是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案：B2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是() A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1，0，12，0 D ．2,0,2,0答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝cn ＋d n ，又知a 2＝32，a 4＝154，则a 10＝__________.答案：99104．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2＋n .(1)求a 8、a 10.(2)问：110是不是它的项若是，为第几项解：(1)a 8＝282＋8＝136，a 10＝2102＋10＝155.(2)令a n ＝2n 2＋n ＝110，∴n 2＋n ＝20.解得n ＝4.∴110是数列的第4项．一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋n ，则a 3等于( )A ．3B ．9C ．12D ．20答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－(12)n －1，它是无穷递增数列． 3．下列说法不正确的是( )A ．根据通项公式可以求出数列的任何一项B ．任何数列都有通项公式C ．一个数列可能有几个不同形式的通项公式D ．有些数列可能不存在最大项解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )解析：选C.由题意知数列的通项公式是a n ＝2n 2n ＋1， ∴a 10＝2×102×10＋1＝2021.故选C. 5．已知非零数列{a n }的递推公式为a n ＝n n －1·a n －1(n ＞1)，则a 4＝( ) A ．3a 1B ．2a 1C ．4a 1D ．1解析：选C.依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2a 1；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3a 1；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4a 1.6．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 解析：选B.由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则a n >0.又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n . 因此数列{a n }为递减数列．二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192，∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：98．已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝5，a 3＝23，且a n ＋1＝αa n ＋β，则α、β的值分别为________、________. 解析：由题意a n ＋1＝αa n ＋β，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝αa 1＋βa 3＝αa 2＋β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝2α＋β23＝5α＋β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ α＝6，β＝－7.答案：6 －79．已知{a n }满足a n ＝－1na n －1＋1(n ≥2)，a 7＝47，则a 5＝________. 解析：a 7＝－1a 6＋1，a 6＝1a 5＋1，∴a 5＝34. 答案：34三、解答题10．写出数列1，23，35，47，…的一个通项公式，并判断它的增减性． 解：数列的一个通项公式a n ＝n 2n －1. 又∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－12n ＋12n －1＜0， ∴a n ＋1＜a n .∴{a n }是递减数列．11．在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2011；(3)2011是否为数列{a n }中的项若是，为第几项解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，17k ＋b ＝67，解得k ＝4，b ＝－1.∴a n ＝4n －1.(2)a 2011＝4×2011－1＝8043.(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，∴2011是数列{a n}的第503项．12．数列{a n}的通项公式为a n＝30＋n－n2.(1)问－60是否是{a n}中的一项？(2)当n分别取何值时，a n＝0，a n＞0，a n＜0?解：(1)假设－60是{a n}中的一项，则－60＝30＋n－n2.解得n＝10或n＝－9(舍去)．∴－60是{a n}的第10项．(2)分别令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，即n＝6时，a n＝0；0＜n＜6时，a n＞0；n＞6时，a n＜0.。
2020_2021学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和同步作业含解析新人教A版必修52
等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{a n}的前10项和为30,a6=8,则a100=( )A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{a n}的前4项的和S4的值为( ) A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·某某高二检测)已知等差数列的前n项和S n,且S3=S5=15,则S7=() A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为S n,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·某某高一检测)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=() A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列{a n}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差数列{a n}的前n项和为S n,若=,则下列结论中正确的是( )A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知S n=a n,S n-1=a n-1(n≥2),两式相减可得a n=a n-a n-1(n≥2),化简得=(n≥2),当n=3时,=.6.数列{a n}的前n项和S n=2n2+n(n∈N*),则a n=( )A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上a n=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S4=12,则S6=________.【解析】方法一:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为{a n}为等差数列,可设前n项和S n=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即S n=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列{a n}中,已知公差d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由a n a n+1=λS n-1知,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,又因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于( )A.1B.3C.-3D.n【解析】选C.因为a n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=255,a10=20,则数列{a n}的公差为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,S n是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=( )A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.4.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于( ) A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以a n=a1+(n-1)d=3n,故b n=a2n=6n,则因此{b n}的前5项和为S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一检测)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S13=91,则S11=( ) A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13==13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n>1时,由S n=n2-8n得:S n-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:a n=2n-9,n=1也符合,由a n=2n-9>0,得:n>4.5,所以,满足a n>0的n的最小值为5.答案:58.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+3,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2,a n=S n-S n-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故a n=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以a n=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n.(2)令S n=242,求n.【解析】(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+·d,S n=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值X围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7. 综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值X围为d≤-2或d≥2.12.(2017·某某高考)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n),④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′), 即a1=a2-d′,所以数列{a n}是等差数列.。
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第二章 习题课(一) 求数列的通项公式
∴an=
2.
2������ -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
������ (������ -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
������������ +1 ������������
=
������(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简 单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】 已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…
;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新
第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。
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人教A高中数学必修5同步训练
1．在等比数列{a n}中a1＝8，q＝1
2
，a n＝
1
2
，则
S n等于( )
A．31 B.31 2
C．8 D．15 答案：B
2．数列1
2，
1
4
，
1
8
，…地前10项和等于( )
A.
1
1024
B.
511
512
C.1023
1024
D.
1
512
答案：C
3．在等比数列{a n }中，q ＝1
2，S 5＝2，则a 1等于
________．
答案：32
31
4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，求数列{a n }地前4项之和．
解：⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝9a 5＝243，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝9
a 1q 4
＝243
，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝3
q ＝3
.
所以S 4＝a 1(1－q 4
)1－q ＝3(1－34
)
1－3
＝120.
一、选择题
1．已知S n 是等比数列{a n }地前n 项和，a 5＝－2，
a 8＝16，则S 6等于( )
A.218 B ．－218
C.178
D ．－178
解析：选 A.设公比为q ，由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 4
＝－2，a 1q 7＝16，
解得q ＝－2，a 1＝－1
8
.
所以S 6＝a 1(1－q 6
)1－q ＝21
8
.
2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，
则a1地值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A.S5＝a1(1－q5) 1－q
，
∴44＝a1[1－(－2)5]
1－(－2)
，
∴a1＝4，故选A.
3．设S n为等比数列{a n}地前n项和，8a2＋a5＝
0，则S5
S2
＝( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D.由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，
所以q＝－2，则S5
S2＝
a1(1＋25)
a1(1－22)＝－11.
4．1＋2＋2＋22＋…＋128地值是( ) A．128＋64 2 B．128－64 2
C．255＋127 2 D．255－127 2
答案：C
5．若等比数列{a n}地前n项和为S n＝3
2n
＋m(n∈
N*)，则实数m地取值为( )
A．－3
2
B．－1
C．－3 D．一切实数
解析：选C.a1＝S1＝3
2
＋m，又a1＋a2＝
3
4
＋m，
所以a2＝－3
4 .
又a1＋a2＋a3＝3
8
＋m，
所以a3＝－3
8
.所以a22＝a1a3，
即
9
16
＝(
3
2
＋m)(－
3
8
)，解得m＝－3.
6．已知{a n}是首项为1地等比数列，S n是{a n}
地前n项和，且9S3＝S6，则数列{1
a n
}地前5项和为( )
A.15
8
或5 B.
31
16
或5
C.31
16
D.
15
8
解析：选C.若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.
由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6
)
1－q
，解得q ＝
2.
故a n ＝a 1q
n －1
＝2
n －1
，1
a n ＝(12
)n －1. 所以数列{1
a n }是以1为首项，1
2为公比地等比数
列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5
]
1－
12
＝31
16.
二、填空题
7．设等比数列{a n }地前n 项和为S n .若a 1＝1，
S 6＝4S 3，则a 4＝__________.
解析：设等比数列地公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.
∴S6＝1－q6
1－q
＝
4(1－q3)
1－q
.∴q3＝3.∴a1q3＝3.
答案：3
8．等比数列地公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．
解析：S8－S4＝q4·S4＝24·10＝160，S8＝170.
答案：170
9．等比数列{a n}地公比q>0.已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}地前4项和S4＝__________.
解析：∵{a n}是等比数列，
∴a n＋2＋a n＋1＝6a n可化为a1q n＋1＋a1q n＝6a1q n－1，
∴q 2
＋q －6＝0.又∵q >0，∴q ＝2. ∴S 4＝a 1(1－q 4
)1－q ＝12(1－24)1－2＝152.
答案：15
2
三、解答题
10．在等比数列{a n }中，a 3＝－12，前3项和S 3
＝－9，求公比q .
解：法一：由已知可得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
a 3＝a 1·q 2
＝－12， ①S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝－9. ②
②÷①得
1＋q ＋q
2
q
2
＝34
，即q 2
＋4q ＋4＝0. 所以q ＝－2.
法二：a3，a2，a1成等比数列且公比为1
q .
所以S3＝a3＋a2＋a1＝a3[1－(
1
q
)3]
1－
1
q
＝－12(q3－1)
q2(q－1)＝－9.
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0.
所以q＝－2.
11．等比数列{a n}地前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{a n}地公比q；
(2)若a1－a3＝3，求S n.
解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋
a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－
1
2
.
(2)由已知可得a1－a1(－1
2
)2＝3，故a1＝4.
从而S n＝4[1－(－
1
2
)n]
1－(－
1
2
)
＝
8
3
[1－(－
1
2
)n]．
12．一个等比数列地首项为1，项数是偶数，其奇数项地和为85，偶数项地和为170，求此数列地公比和项数．
解：设该等比数列有2n项，则奇数项有n项，
偶数项有n项，设公比为q，由等比数列性质可得S偶S奇
＝170
85
＝2＝q.
又∵S奇＋S偶＝
a1(1－q2n)
1－q
＝255，a1＝1，∴2n＝8.
∴此数列地公比为2，项数为8.。