重庆市中考26题新题集锦

二次函数综合题专项训练一．解答题（共17小题）1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点B的坐标为（4，0），将直线y=kx沿y轴向上平移4个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）将直线BC沿y轴向上平移5个单位长度后与抛物线交于D，E两点，若点P是抛物线位于直线BC下方的一个动点，连接PD，交直线BC于点Q，连接PE 和PQ，设△PEQ的面积为S，当S取得最大值时，求出此时点P的坐标及S的最大值．（3）如图2，记（2）问中直线DE与y轴交于M点，现有一点N从M点出发，先沿y轴到达K点，再沿KB到达B点，已知N点在y轴上运动的速度是每秒2个单位长度，它在直线KB上运动速度是1个单位长度，现要使N点按照上述要求到达B点所用的时间最短，请简述确定K点位置的过程，求出点K的坐标，不要求证明．2．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D 与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，点B，点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，）（（1）求抛物线解析式及D点坐标；（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK 与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q 的坐标及CQ+QN最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，将△ODN沿射线DN平移，平移后的对应三角形为△O′D′N′，将△AOC绕点O逆时针旋转到A1OC1的位置，且点C1恰好落在AC上，△A1D′N′是否能为等腰三角形，若能求出N′的坐标，若不能，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）判断△ABC形状，并说明理由．（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；（3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE 至点F，使得EF=，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）求出点A，B，D的坐标；（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，当四边形O′B′DC的周长有最小值时，在第四象限找一点P，使得△PB′D的面积最大？并求出此时P点的坐标．（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN 是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．6．如图1，二次函数y=x 2﹣2x +1的图象与一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象与x 轴的交点，过点B 作轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ：S 四边形AONB =1：48．（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD ∥x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ．当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH +BH 的值最小，求点H 的坐标和GH +BH 的最小值； （3）如图2，直线AB 上有一点K （3，4），将二次函数y=x 2﹣2x +1沿直线BC 平移，平移的距离是t （t ≥0），平移后抛物线上点A ，点C 的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K 是直角三角形时，求t 的值．7．如图1，抛物线y=ax 2+x +3（a ≠0）与x 轴的负半轴交于点A （﹣2，0），顶点为C ，点B 在抛物线上，且点B 的横坐标为10，连接AB 、BC 、CA ，BC 与x 轴交于点D ．（1）求点D的坐标；（2）动点P在线段BC上，过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点Q，过点Q 作QH⊥BC于H，求△PQH的周长的最大值，并直接写出此时点H的坐标；（3）如图2，以AC为对角线作正方形AMCN，将正方形AMCN在平面内平移得正方形A′M′C′N′，当正方形A′M′C′N′有顶点在△ABC的边AC上（不含端点）时，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形？如果能，求出此时重叠部分的面积S的值，或重叠部分面积S的取值范围；若不能，说明理由．8．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值及顶点D的坐标；（2）如图1，点E是线段BC上的一点，且BC=3BE，点F（0，m）是y轴正半轴上一点，连接BF，EF与线段OB交于点G，OF：OG=2：，求△FEB的面积；（3）如图2，P为线段BC上一动点，连接DP，将△DBP绕点D顺时针旋转60°得△DB′P′（点B的对应点是点B′，点P的对应点是点P′），DP′交y轴于点M，N 为MP′的中点，连接PP′，NO，延长NO交BC于点Q，连接QP，若△PP′Q的面积是△BOC面积的，求线段BP的长．9．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM 对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．10．已知抛物线y=﹣x2++4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．11．如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．12．如图1，抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线交y轴于点D，且tan∠DAO=．（1）求直线AD的解析式；（2）若点P是抛物线上第四象限得到一个动点，过点P作直线PF⊥x轴于点P，直线PF交AD于E；过点P作PG⊥AD于G，PG交x轴于点H，当△PGE的周长取得最大值时，求点P的坐标及四边形GEFH的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PGE的周长取得最大值时P停止运动，连接PA交直线CB于Q，将直线AD绕点Q旋转，旋转后的直线l与直线AD相交于点M，与直线CB相交于点N，当四边形QDMN为平行四边形时，求点M的坐标．13．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A、B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为﹣5，且点D（﹣2，﹣3）在此抛物线的对称轴上．（1）求a、b的值；（2）若在直线AC上方的抛物线上存在点M，使点M到x轴的距离与M到直线AC的距离之比为，试求出点M的坐标；（3）如图（2），过点B做BK⊥x轴交直线AC于点K，连接DK、AD，点H是DK 的中点，点G是线段AK上任意一点，将△DGH沿边GH翻折得△D′GH，当KG 为何值时，△D′GH与△KGH重叠部分的面积是△DGK面积的，请直接写出你的答案．14．如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内抛物线上一点，过点P作PD∥y轴交AB于D，点E 为线段DB上一点，且DE=2，过E做EF∥PD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为y轴负半轴上一点且GO=2，沿x轴向右平移直线AG，记平移过程直线为A′G′，直线A′G′交x轴于点M，交直线AB为N，当△FMN为等腰三角形时，求平移后M点的坐标．16．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A 在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．17．如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H（1）求线段DE的长；（2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值；（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．二次函数综合题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2017•沙坪坝区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点B的坐标为（4，0），将直线y=kx沿y轴向上平移4个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）将直线BC沿y轴向上平移5个单位长度后与抛物线交于D，E两点，若点P是抛物线位于直线BC下方的一个动点，连接PD，交直线BC于点Q，连接PE 和PQ，设△PEQ的面积为S，当S取得最大值时，求出此时点P的坐标及S的最大值．（3）如图2，记（2）问中直线DE与y轴交于M点，现有一点N从M点出发，先沿y轴到达K点，再沿KB到达B点，已知N点在y轴上运动的速度是每秒2个单位长度，它在直线KB上运动速度是1个单位长度，现要使N点按照上述要求到达B点所用的时间最短，请简述确定K点位置的过程，求出点K的坐标，不要求证明．【解答】解：（1）由题意C（0，4），B（4，0），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，把C（0，4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4．（2）∵直线DE的解析式为y=﹣x+9，设P（m，m2﹣5m+4），作PK∥y轴交DE于K，连接CE．则K（m，﹣m+9），PK=﹣m2+4m+5，由解得或，∴D（﹣1，10），E（5，4），∵S△PQE =S△PDE﹣S△DEQ，△DEQ的面积为定值，∴△PDE的面积最大时，△PQE的面积最大，∵S△PDE=•PK•（E x﹣D x）=•（﹣m2+4m+5）•6=﹣3（m﹣2）2+27，∵﹣3＜0，∴m=2时，△PDE的面积最大，最大值为27．∵△DEQ的面积=△DEC的面积=•5•6=15，∴△PQE的面积最大值为12．（3）在x轴的负半轴上取一点L，使得∠LMO=30°．作NH⊥LM于H，BG⊥LM 于G交OM于K．∵点N的运动时间=+NB，NH=MN，∴点N的运动时间=NH+BN，∴当点N与点K重合时，点N的运动时间最短=BG，在Rt△ALM中，∵OM=9，∠LMO=30°，∴OL=3，BL=4+3，在Rt△LBG中，∵∠BLG=60°，∴BG=BL•sin60°=（4+3）•=2+．2．（2017•开江县一模）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，点B，点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=2，即C点坐标为（0，2）；当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，即A（﹣1，0），B（4，0）；（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴D（0，﹣2），设直线BD的解析式为y=kx+b，将B、D点坐标代入解析式，得，解得，直线BD的解析式为y=x﹣2；（3）存在，∵点P的坐标为（m，0），PQ⊥x轴交抛物线于点Q，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，①当∠QBD=90°时，由勾股定理，得BQ2+BD2=DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+202=m2+（﹣x2+x+2+2）2，解得m1=3，m2=4（不符合题意，舍），∴Q（3，2）；②当∠QDB=90°时，由勾股定理，得BQ2=BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2=20+m2+（﹣x2+x+2+2）2，解得m1=8，m2=﹣1，∴Q（8，﹣18）；Q（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．3．（2017春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，）（（1）求抛物线解析式及D点坐标；（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK 与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q 的坐标及CQ+QN最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，将△ODN沿射线DN平移，平移后的对应三角形为△O′D′N′，将△AOC绕点O逆时针旋转到A1OC1的位置，且点C1恰好落在AC上，△A1D′N′是否能为等腰三角形，若能求出N′的坐标，若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐标代入y=﹣x2+bx+c，得到，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣x+，顶点D的坐标为（﹣1，）．（2）如图1中，设P（m，0）则N（m，=﹣m2﹣m+）．∵A（0，），B（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y=x+，AB用PN的交点M（m，m+），∵∠NMK=∠BMP，∠NKM=∠MPB=90°，∴△NMK∽△BMN，∵△MNK与△MPB的面积相等，∴△NMK≌△BMN，∴MN=BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴BM=2PM=MN，∴﹣m2﹣m+﹣m+=2（m+），解得m=﹣2或﹣3（舍弃），∴N（﹣2，），在y轴上取一点F，使得∠OCF=30°，作QH⊥CF于H，∵QH=CQ，∴NQ+CQ=NQ+QH，根据垂线段最短可知，当N、Q、H共线，且NH⊥CF时，NQ+CQ=NQ+QH的值最小．∵直线CF的解析式为y=x﹣，直线NH的解析式为y=﹣x﹣，∴Q（﹣1，0），由，解得，∴H（﹣，﹣），∴NH==3，∴NQ+CQ=NQ+QH的最小值为3．（3）如图2中，在Rt△AOC中，∵OA=，OC=1，AC=2，∴tan∠ACO=，∴∠ACO=60°，∵OC′=OC，∴△COC′是等边三角形，∴∠A′C′C=∠C′OC=60°，∴A′C′∥OC，∴A′（﹣，），∵N（﹣2，），D（﹣1，），∴直线DN的解析式为y=x+，直线AN的解析式y=﹣x﹣，∵×（﹣）=﹣1，∴AN⊥DN，设直线DN交x轴于G，则G（﹣5，0），对称轴与x轴的交点为E （﹣1，0），在Rt△DGE中，tan∠DGE=，∴∠DGE=30°．①如图3中，当A′D′=A′N′时，易知ND′=NN′，N′（﹣，）．②如图4中，当N′D′=N′A′时，∵A′N=1，DN=，在Rt△A′N′N中，A′N′=N′D′=，A′N=1，NN′=，∴N′（﹣，）．③如图5中，延长C′A′交DG于N′，此时△D′N′A′是等腰三角形．理由：作D′K⊥C′N′于K，易知N′（﹣，），∴A′N′=2，在Rt△D′N′K中，∵∠D′N′K=30°，D′N′=，∴D′K=，KN′=1，∴KA′=A′N′﹣N′K=2﹣1=1，在Rt△A′D′K中，A′D′==，∴D′N′=D′A′，∴△A′D′N′是等腰三角形，综上所述，当点N′的坐标为（﹣，）或（﹣，）时，△A′D′N′是等腰三角形．4．（2017春•九龙坡区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）判断△ABC形状，并说明理由．（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；（3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF=，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由如下，对于抛物线y=x2﹣x﹣，令y=0得x2﹣x﹣=0，解得x=﹣或3；令x=0得y=﹣，∴A（﹣，0），C（0，﹣），B（3，0），∴OA=，OC=，OB=3，∴==，∵∠AOC=∠BOC，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠OBC，∵∠OBC+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∴∠ACB=90°．（也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理证明）．（2）如图1中，设第四象限抛物线上一点N（m，m2﹣m﹣），点N关于x轴的对称点P（m，﹣m2+m+），作过B、C分别作y轴，x轴的平行线交于点G，连接PG．∵G（3，﹣），∴S△PBC =S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××（﹣m2+m+2）+ו（3﹣m）﹣××=﹣（m﹣）2+．∵﹣＜0，∴当m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），如图2中，作ME⊥CG于M．∵CG∥OB，∴∠OBC=∠ECM，∵∠BOC=∠CEM，∴△CEM∽△BOC，∵OC：OB：BC=1：3：，∴EM：CE：CM=1：3：，∴EM=CM，∴PM+CM=PM+ME，∴根据垂线段最短可知，当PE⊥CG时，PM+ME最短，∴PM+MC的最小值为+=．（3）存在．理由如下，①如图3中，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴．作CG⊥HK于G，PH∥x轴，EP⊥PH于P．∵FH∥CK，K（，﹣），易知CG：GK：CK=3：4：5，由△EPH∽△KGC，得PH：PE：EH=3：4：5，设E（（n，n2﹣n﹣），则HE=（n﹣），PE=（n﹣），∵DH=HF，∴+[﹣n2+n+﹣（n﹣）]=（n﹣）+，解得n=或（舍弃）．②如图4中，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴．同法可得[n2﹣n﹣+（n﹣）]﹣=（n﹣）+，解得n=+或﹣（舍弃）．③如图5中，当DH=DF，DQ平分∠HDF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴．设DQ交HF于M．由△DHM∽△CKG，可知HM：DH=4：5，[（n﹣）+]：[n2﹣n﹣+（n﹣）﹣]=4：5，解得n=+或=﹣（舍弃），综上所，满足条件的点E的横坐标为或+或+．5．（2017春•沙坪坝区校级月考）如图1，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）求出点A，B，D的坐标；（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，当四边形O′B′DC的周长有最小值时，在第四象限找一点P，使得△PB′D的面积最大？并求出此时P点的坐标．（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN 是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）令y=x2﹣x﹣3中y=0，则x2﹣x﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵y=x2﹣x﹣3=（x2﹣2x）﹣3=（x﹣1）2﹣，∴D（1，﹣）．（2）令y=x2﹣x﹣3中x=0，则y=﹣3，∴C（0，﹣3）．D（1，﹣），O′B′=OB=4．如图1，作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC 周长取最小值．此时C=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″．四边形O′B′DC∵O′B′=4，CD==，C″D==，∴四边形O′B′DC的周长最小值为4++．设P（m，m2﹣m﹣3），作DH⊥x轴于H，连接PH．易知H（1，0），B′（，0）S△PDB′=S△PDH+S△PHB′﹣S△DHB′=•（m﹣1）+••（﹣m2+m+3）﹣••=（﹣3m2+23m﹣20），∴m=时，△PDB′的面积最大，此时P（，﹣）．（3）△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图2）：①过点C作直线y=x﹣3交抛物线于点M，联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或，∴M （ ，）．∵△CMN 为等腰直角三角形，C （0，﹣3）， ∴点N 的坐标为（0，）或（0，）；②过点C 作直线y=﹣x ﹣3交抛物线于点M ，联立直线CM 和抛物线的解析式得：，解得：或 ，∴M （﹣，﹣）．∵△CMN 为等腰直角三角形，C （0，﹣3）， ∴点N 的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．综上可知：当△CMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，点N 的坐标为（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．6．（2018•重庆）如图1，二次函数y=x 2﹣2x +1的图象与一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象与x 轴的交点，过点B 作轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ：S 四边形AONB =1：48． （1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD ∥x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ．当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH +BH 的值最小，求点H 的坐标和GH +BH 的最小值；（3）如图2，直线AB 上有一点K （3，4），将二次函数y=x 2﹣2x +1沿直线BC 平移，平移的距离是t （t ≥0），平移后抛物线上点A ，点C 的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K 是直角三角形时，求t 的值．【解答】解：（1）∵点C 是二次函数y=x 2﹣2x +1图象的顶点， ∴C （2，﹣1）， ∵PE ⊥x 轴，BN ⊥x 轴， ∴△MAO ∽△MBN ， ∵S △AMO ：S 四边形AONB =1：48， ∴S △AMO ：S △BMN =1：49， ∴OA ：BN=1：7， ∵OA=1 ∴BN=7，把y=7代入二次函数解析式y=x 2﹣2x +1中，可得7=x 2﹣2x +1， ∴x 1=﹣2（舍），x 2=6 ∴B （6，7），∵A 的坐标为（0，1）， ∴直线AB 解析式为y=x +1， ∵C （2，﹣1），B （6，7）， ∴直线BC 解析式为y=2x ﹣5． （2）如图1，设点P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不变，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴当x0=时，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此时G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，∴BH=B1H，GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7﹣=（3）令直线BC与x轴交于点I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此时t=m=2±；当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t=m=4；当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0．7．（2018•重庆模拟）如图1，抛物线y=ax2+x+3（a≠0）与x轴的负半轴交于点A（﹣2，0），顶点为C，点B在抛物线上，且点B的横坐标为10，连接AB、BC、CA，BC与x轴交于点D．（1）求点D的坐标；（2）动点P在线段BC上，过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点Q，过点Q 作QH⊥BC于H，求△PQH的周长的最大值，并直接写出此时点H的坐标；（3）如图2，以AC为对角线作正方形AMCN，将正方形AMCN在平面内平移得正方形A′M′C′N′，当正方形A′M′C′N′有顶点在△ABC的边AC上（不含端点）时，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形？如果能，求出此时重叠部分的面积S的值，或重叠部分面积S的取值范围；若不能，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+3经过点A（﹣2，0），∴4a﹣2+3=0，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，∵y=﹣x2+x+3=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点C的坐标（2，4），在y=﹣x2+x+3中，∵x=10，y=﹣12，∴点B坐标为（10，﹣12），设直线BC解析式y+kx+b（k≠0），∵B、C在直线上，∴解得，∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，在y=﹣2x+8中，当y=0时，x=4，∴点D坐标为（4，0）．（2）过C作CE⊥AD垂足为E，如图1，则E（2，0），∴DE=2，CE=4，∴CD==2，∴DE：CE：CD=1：2：，∵CE⊥x轴，PQ⊥x轴，∴CE∥PQ，∴∠ECD=∠QPE，∵∠CED=∠QHP=90°，∴△CDE∽△PQH，∴QH：PH：PQ=DE：CE：CD=1：2：，∴QH=PQ，PH=PQ，∴△PQH的周长=QH+PH+PQ=（1+）PQ，设P点坐标为（x，﹣2x+8），则点Q坐标（x，﹣x2+x+3），∴PQ=﹣x2+x+3﹣（﹣2x+8）=﹣+3x﹣5=﹣（x﹣6）2+4，∴x=6时，PQ最大值=4，∴△PQH周长最大值=4+，此时点H坐标（，﹣）．（3）能，理由如下：①当A′在边AC上时（如图2）重叠得到的四边形或三角形不是轴对称图形．②当点M′在AC上时（如图3）重叠部分不构成多边形．③当C′在AC边上时，（ⅰ）点M′在△ABC外或AB边上，重叠得到的等腰直角三角形是轴对称图形（如图4）．点C′与点A重合时，s=0；点M′在AB边上时，s=C′M′•C′M′=4，∴0＜s≤4．（ⅱ）点M′在△ABC内，仅当AC′=C′M′时重叠部分的四边形是轴对称图形（如图5）．∵点A′必在CA的延长线上，∴AA′=A′C′﹣AC′=4，∴s=A′M′2﹣A′A2=16﹣16．④当点N′在AC边上时，仅当C′在△ABC内或BC边上时，重叠部分得到的五边形是轴对称图形（如图6）．当点N′与A重合时，s=A′M′2=8．当点C′在BC边上时（如图7），作CE⊥OD垂足为E，交C′N′于F，A′N′交AB于G，∵N′C′∥AD，∴△CN′C′∽△CAD，∴，∵CE=4，N′C′=4，AD=6，∴CF=，EF=CE﹣CF=，GA′=N′A′﹣2EF=，∴s=A′N′2﹣A′G2=，∴8＜s≤，综上所述，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能为轴对称图形，此时，0＜s≤4或s=16﹣16或8＜s≤．8．（2018•重庆模拟）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值及顶点D的坐标；（2）如图1，点E是线段BC上的一点，且BC=3BE，点F（0，m）是y轴正半轴上一点，连接BF，EF与线段OB交于点G，OF：OG=2：，求△FEB的面积；（3）如图2，P为线段BC上一动点，连接DP，将△DBP绕点D顺时针旋转60°得△DB′P′（点B的对应点是点B′，点P的对应点是点P′），DP′交y轴于点M，N 为MP′的中点，连接PP′，NO，延长NO交BC于点Q，连接QP，若△PP′Q的面积是△BOC面积的，求线段BP的长．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是y=﹣x2+4x﹣3，y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x2﹣4x）﹣3=﹣（x2﹣4x+4﹣4）﹣3=﹣（x﹣2）2+，则顶点D的坐标是（2，）；（2）在y=﹣x2+4x﹣3中令y=0，则﹣x2+4x﹣3=0，解得：x=1或3，则B的坐标是（3，0），令x=0，则y=﹣3，则C的坐标是（0，﹣3），BC=3BE，易得E的坐标是（2，﹣）．作EH∥x轴交y轴于点H．△DFG∽△HFE，故=，HE=2．解得：HF=，OH=，OF=，OG=×=．S△FEB=S△FGB+S△GEB=×（3﹣）×+×（3﹣）=××=．即△FEB的面积是．（3）∵由题意得△ADB是等边三角形，∠OBC=60°，∴旋转后B′与A重合，B′P′在x轴上，设线段BP长为d，0＜d＜6．P′（1﹣d，0），B′（1，0），D（2，）．过D作BP'的垂线，垂足为K，过Q作OB的垂线，垂足为L，由于QOB=NOP'=NP'O，则有△P'DK∽△OQL，从而得，设Q（a，），则：；解得a=，|y Q|=又P（3﹣，﹣），|y P|=则S△PP'Q =S△PP'B﹣S△BP'Q=BP'（|y P|﹣|y Q|）=×（d+2）×（﹣）=﹣（d2﹣4d﹣6）而易求S△BOC==由S△BOC =9S△PP'Q得：化简得：d2﹣4d﹣6=﹣2；即d2﹣4d﹣4=0，解得d=2+2或d=（舍去）；故BP的长d=2+2．9．（2018•沙坪坝区校级三模）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM 对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQ M=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．10．（2018•重庆校级一模）已知抛物线y=﹣x2++4交x轴于点A、B，交y 轴于点C，连接AC、BC．（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2++4=0，解得x=4或﹣3，∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（4，0），设直线BC解析式为y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+4．（2）如图1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，∴∠MPB=∠MKN=90°，∵∠PMB=∠NMK，∴△MNK∽△MPB，∵△MNK与△MPB的面积比为1：2，∴BM=MN，∵OB=OC，∴∠PBM=45°，∴BM=PB，∴MN=PB，设P（a，0），则MN=﹣a2+a+4+a﹣4=﹣a2+a，BP=4﹣a，∴﹣a2+a=4﹣a，解得a=3或4（舍弃），∴PB=1，t=．（3）如图2中，当轴对称图形为筝型时，PF=PG，GM=FM，∵BP=PG=AQ，PQ=PF，∴AQ=PQ=5t，过点Q作QN⊥AP，则AN=NP，由△AQN∽△ACQ，∴=，∴=，∴AN=3t，∴AP=2AN=6t，∵AP+BP=AB，∴5t+6t=7，∴t=，∴PB=PF=，由△ACO∽△FPR∽△MFT，∴=，∴FR=，TF=，∴=，∴FM=，∴S=2××PF×FM=．②如图3中，当轴对称图形是正方形时，3t+5t=7，∴t=，∴S=．11．（2018•九龙坡区模拟）如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．。