第二章轴对称图形

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八年级上册数学第二单元

第二章轴对称一、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

二、轴对称的性质1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。

三、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

四、角的角平分线1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。

3、拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。

五、等腰三角形1、性质定理：（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。

2、判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

（等角对等边）。

六、等边三角形1、性质定理：（1）等边三角形的三条边都相等。

（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°。

2、拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。

3、判断定理：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

七、直角三角形推论1、直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

3、拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。

苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形等腰三角形的轴对称性课件(共20张)

(1).等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴。
(2).对称性
重合的线段
重合的角
＝
＝
＝
＝ห้องสมุดไป่ตู้
＝
＝
ＡＢＡＣ
ＢＤＣＤ
ＡＤＡＤ
∠B ∠Ｃ
∠BＡＤ ∠CＡＤ
∠ＡＤB ∠ＡＤC
(3).根据上面的操作，你有什么发现呢？
80°, 20°
（3）.如果等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角为 _____________________ .
80°, 20°或 50°, 50°
比一比，看谁做得快
14或16
（4）.已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是________.
（5）.已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是________ .
3
1
2
4
︶
︵
︶
︶
解： DE∥AF 在△ABC中 ∵ AB=AC ，AF⊥BC ∴ ∠BAF = ∠ CAF (三线合一) ∵ AD＝AE ∴ ∠ADE = ∠AED ∵∠BAC是△ADE的外角， ∴ ∠ BAC = ∠ADE +∠AED =2∠AED . ∵ ∠ BAC = ∠BAF + ∠ CAF = 2∠CAF ∴ ∠AED = ∠CAF ∴ DE∥AF
选做题：已知：如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
谢谢
勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。
＝
＝
＝
ＡＢＡＣ
ＢＤＣＤ
ＡＤＡＤ
∠B ∠Ｃ
∠BＡＤ ∠CＡＤ
∠ＡＤB ∠ＡＤC

第2章+轴对称图形+综合提优练习2024-2025学年苏科版八年级数学上册+

第2章《轴对称图形》综合提优练习一、选择题1．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE ＝4，则AD+AE的值为（）A．6B．14C．6或14D．8或122．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE 折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．43．如图，AD∥BC，点E是线段AB的中点，DE平分∠ADC，BC＝AD+2，CD＝7，则BC2﹣AD2的值等于（）A．14B．9C．8D．54．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝BD，若∠ABD＝∠BAC＝α，则∠BDC的度数为（）A．2αB．45°+αC．90°﹣αD．180°﹣3α5．如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为（）A．3B．6C．3D．96．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．以下四个结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG＝∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④BG＝AF+FG；恒成立的结论有（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②④二、填空题7．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED ＝°．8．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D 在CB延长线上运动时，AD﹣BD的最小值为．9．如图，线段OM⊥ON，O为垂足，一把角尺的直角顶点A在线段OM上，端点B在线段ON上，已知ON＝AB＝4，AC＝2，当点B在从点O运动到点N的过程中，点C也随着运动，当线段OC最长时，∠BAO的度数为．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD 沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF 翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为．11．如图，∠ABC＝60°，AB＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是．12．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在点E的位置上，连接BE，则BE的长是．13．如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线m、n相交于点D，连接CD，若∠1＝39°，则∠BCD的大小是度．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，S△ABC＝14，BC＝4，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三、解答题15．如图，已知线段a、b，请用无刻度的直尺和圆规作出特定的三角形：（1）求作一个等腰三角形，使得它的腰长为b，底边上的高为a．（2）求作一个三角形，使得它的两边长分别为a、b，第三边上的中线为c．16．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．17．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（不用写作法）（1）如图①，在l上求作一点M，使得AM+BM最小；（2）如图②，在l上求作一点M，使得|AM﹣BM|最小；（3）如图②，在l上求作一点M，使得|AM﹣BM|最大．18．如图钢架中，∠A＝20°，焊上等长的钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2，问这样的钢条至多需要多少根？（1）请补充完整如下解答：解：由题意可知，P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5＝…∵∠A＝20°，AP1＝P1P2，∴∠AP2P1＝．∴∠P2P1P3＝∠P1P3P2＝40°，同理可得，∠P3P2P4＝∠P2P4P3＝60°，∠P4P3P5＝∠P4P5P3＝．∴∠P5P4B＝100°＞90°，∴对于直线P4B上任意一点P6（点P4除外），P4P5＜P5P6，∴这样的钢条至多需要根．（2）继续探究：当∠A＝15°时，这样的钢条至多需要多少根？19．在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段a，b，且长度为b的边所对的角为n°（0＜n＜90°）小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中AB＝a，BD＝BC＝b，发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：（1）当n＝45时（如图2），小明测得∠ABC＝65°，请根据小明的测量结果，求∠ABD 的大小；（2）当n≠45时，将△ABD沿AB翻折，得到△ABD′（如图3），小明和小亮发现∠D′BC的大小与角度n有关，请找出它们的关系，并说明理由；（3）如图4，在（2）问的基础上，过点B作AD′的垂线，垂足为点E，延长AE到点F，使得EF＝（AD+AC），连接BF，请判断△ABF的形状，并说明理由．20．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．（1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是．（3）如图3，△ABC中，∠C＝∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）。

浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ［图形轴对称的性质］①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线]（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2。

2等腰三角形+2。

3等腰三角形性质定理＋2。

4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。

★2。

在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。

(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．(4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形］三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1）三条边都相等的三角形是等边三角形；★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；★(３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.２。

234简单的轴对称图形课件

第二章轴对称
2.3.4 简单的轴对称图形
复习回顾
上节课我们学习了等腰三角形和等边三角形的哪些性质？
等腰三角形的性质： 1.等腰三角形是轴对称图形。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也称“三线合一”）。
3.等腰三角形的两个底角相等。
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线互相重合（“三线合一”）。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10，则AC是多少？
反思小结
本节课的知识点是什么？这节课学到了哪些知识？最大的收获是什么？
习题2.6
本课目标
1.掌握等腰三角形的判定方法。 2.掌握等边三角形的判定方法。 3.认识和探索30°直角三角形的性质。
1、议一议
探究新知
A
如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角也相等。
B
反过来：
C D
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
这句话对吗？
证一证：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的高，
那么边AB和AC相等吗？
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=AD=AD，
B
C D
∠ADB=∠ADC
∴△ABD≌△ACD（AAS），AB=AC.
结论：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
归纳：
探究新知
A
如果一个三角形有两边相等，那么这两边
是
解：∵ BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD= ∠CBD

第2章《轴对称图形》知识讲练(学生版)

2023-2024学年苏科版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做，这条直线就是它的 .轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小，是；②如果两个图形关于，则对称轴是任何一对对应点所连线段的；③两个图形关于，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的．（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由组成的图形，只要作出图形中的一些的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于原点对称的点的坐标为知识点02：线段、角的轴对称性（1）线段是形，线段的垂直平分线是它的 .（2）线段垂直平分线的性质定理；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（1）角是图形，是它的对称轴.（2）角平分线上的相等.（3）角的内部到 .知识点03：等腰三角形x y x x y y x y（1）定义：有两边相等的三角形，叫做 .（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“”；②等腰三角形线互相重合（简称“”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 .（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“”）.（1）定义：的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角，并且每个角都等 .（3）等边三角形的判定：①是等边三角形；②是等边三角形；③是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2．（2分）（2023春•仪征市期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）3．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（）A．118°B．108°C．120°D．116°4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（）A．60°B．65°C．80°D．130°5．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2分）（2022秋•如东县期末）如图，∠BAC＝90°，△ABC面积为12，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD 交AD的延长线于E，连接CE，则△AEC的面积为（）7．（2分）（2022秋•丹徒区期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（）A．120°B．108°C．72°D．36°9．（2分）（2022秋•邳州市期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．910．（2分）（2022秋•锡山区期中）如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（）A．190°B．195°C．200°D．210°二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•沭阳县期末）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是．12．（2分）（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为．13．（2分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为．14．（2分）（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝3，则AB ＝．15．（2分）（2023春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝126°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为°．16．（2分）（2022秋•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为cm．17．（2分）（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为．18．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝40°，则∠CBD的度数是．19．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等腰三角形．20．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B 落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022秋•如东县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．22．（8分）（2022秋•兴化市校级期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．23．（8分）（2023春•高邮市期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．（1）判断EF与BD的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝2AD，CE＝2BE，CF＝2DF，且△ABC的面积为27，求△DEF的面积．24．（8分）（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．（1）求证：DF＝EF；（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②＝．25．（8分）（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．26．（10分）（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．27．（10分）（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？。

第二章轴对称图形(知识归纳+题型突破)(解析版)

第二章轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。

2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。

【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上区别验证沿某条直线折叠后，两个图形能够沿某条直线折叠后，直线两旁的部重合分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于点D ，且AD = BD ），∴CA = CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：【例2】如果正三角形有n条对称轴，那么n=．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（）A．圆B．长方形C．正方形D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（）A．4:00B．8:00C．12:20D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【答案】3265巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）A．B．．D ．【答案】C “”题型三轴对称的性质【例6】如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，下列结论①AB A B ¢¢=；②OB OB ¢=；③AA BB ¢¢∥中，正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A 【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，∴AB A B ¢¢=，OB OB ¢=，AA BB ¢¢∥，综上，三个选项都正确，故选：A ．【例7】如图，已知点A 、B 是直线MN 同侧两点，点A ¢、A 关于直线MN 对称．连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．若5cm A B ¢=，则AP BP +的长为（）A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．无法确定【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到A P AP ¢=，由AP BP A P BP A B ¢¢+=+=即可得到答案．【详解】解：∵点A ¢、A 关于直线MN 对称，连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．∴A P AP ¢=，∴5cm AP BP A P BP A B ¢¢+=+==，即AP BP +的长为5cm ．故选：C【例8】如图，P 在AOB Ð内，点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点．如果PMN V 的周长为12，则CD 的长为（）A ．6B ．12C ．15D ．18【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得到CM PM DN PN ==，，再根据三角形周长公式得到12PM MN PN ++=，则12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=．【详解】解：∵点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，∴CM PM DN PN ==，，∵PMN V 的周长为12，∴12PM MN PN ++=，∴12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=，故选B ．巩固训练：∴PMN V 的周长为121215PM PN MN MN PM P N PP ++++==＝．故答案为：15．8．如图，ABC V 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D Ð=°．求B Ð的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B Ð=°，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC QV 和ADE V 关于直线l 对称，AB AD \=，BC DE =，B D Ð=Ð，又15AB =Q ，10DE =，70D Ð=°．70B \Ð=°，10BC =，15AD =，题型四折叠问题【答案】90°【分析】根据折叠的性质得到Ð求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，A．17B．10【答案】A【分析】由折叠的性质可得AD=V沿直线DE 【详解】解：∵将ABC巩固训练：A ．角平分线B ．高线【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得：【详解】解：∵将ABC V 折叠，使点∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC V 的中线；【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片∴90,E B EAC Ð=Ð=°Ð∴180EAB EFC Ð=Ð=°-【答案】55°/55度【详解】解：如图，由翻折不变性可知：2ÐÐ=∵宽度相等的纸条边缘平行，∴13Ð=Ð，12\Ð=Ð，题型五垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于ABC V 的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在ABC V 三边的垂直平分线上，故选A ．【例13】如图，在ABC V 中，AB AC ^，3AB =，5BC =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则ABP V 周长的最小值是（）A．7B．6C．12D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC FB最小，最小值等于AB，即可求得BCF D 的周长的最小值．【详解】解：DE Q 是线段AC 的垂直平分线，A \，C 关于直线DE 为对称，F \和D 重合时，FC FB +最小，即BCF D 的周长的最小值，DE Q 是线段AC 的垂直平分线，DC DA \=，FC FB \+的最小值7DC DB AB =+==，BCF \D 的最小周长7512FC FB BC =++=+=，故选：B ．【例15】已知ABC V 中120BAC Ð=°，26BC =，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB AC ，分别交于点D 、G ．求：(1)EAF Ð的度数．(2)求AEF △的周长．【答案】(1)60°(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，这样就将AEF △的周长转化为线段BC 的长．【详解】（1）AB Q 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、FAE BE \=、CF AF =，B EAB \Ð=Ð，C FACÐ=Ð()180B C BAC\Ð+Ð=°-Ð180120=°-°60=°EAF BAC EAB FAC\Ð=Ð-Ð-Ð120()B C =°-Ð+Ð12060=°-°60=°60EAF \Ð=°（2）AE BE =Q 、CF AF=AEF \V 的周长EA EF AF=++BE EF FC=++BC=26=AEF \V 的周长26=巩固训练：12．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．A Ð，B Ð两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∵MN ，PQ 是AC ，BC 两边垂直平分线，∴OA OB OC ==，∴点O 是到三个小区的距离相等的点，即点O 是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，故选：C ．13．如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ______；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出FMN FNM Ð+Ð，根据对顶角相等求出AMD BNE Ð+Ð，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，∴MA MC =，NB NC =，∴CMN V 的周长5MC MN NC MA MN NB AB =++=++==，∴CMN V 的周长5=，故答案为：5；（2）∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°，∴110AMD BNE FMN FNM Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()18070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，∵MA MC =，NB NC =，∴A MCA Ð=Ð，B NCB Ð=Ð，∴()18040MCN A B MCA NCB Ð=°-Ð+Ð+Ð+Ð=°．14．如图，在ABC V 中DE ，是AC 的垂直平分线，4cm AE =，ABC V 的周长为23cm ，求ABD △的周长．【答案】ABD △的周长为15cm ．【分析】根据垂直平分线的性质可得AD CD =，28cm AC AE ==，即可得出15cm AB AC +=，则ABD △的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，()28cm AC AE ==．∵ABC V 的周长()23cm AB BC AC AB BD DC AC =++=+++=，∴()23815cm AB AC +=-=，∴ABD △的周长()23815cm AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+=-=．即ABD △的周长为15cm ．【答案】13【分析】根据垂直平分线的性质，可得【详解】解：∵AB 的垂直平分线∴BE AE =，∵BCE V 的周长为BE BC EC ++题型六角平分线的性质【答案】6【分析】过O 点作OH BA ^于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ^于H 点，如图，BO Q 平分ABC OD BC OH BA Ð^^，，6OH OD \＝＝，∵点E 为射线BA 上一动点，∴OE 的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，若BE CF =，探索+AB AC 与AE 的数量关系，并证明之．【答案】2AB AC AE +=，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出DE DF =，再证明Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，得出AE AF =，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF V 中，AD AD DE DF =ìí=î，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∵BE AE AB =-，CF AC AF =-，∴AE AB AC AF -=-，∴2AB AC AE +=．Ð的度数；(1)求BOCÐ的周长．(2)求AMN【答案】(1)130°(2)12巩固训练：16．如图，四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD Ð．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)求证：AB CD AD +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E 作EF AD ^于F ，根据角平分线的性质得出BE EF =，再根据BE CE =，得出CE EF =，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出BE EF =，CE EF =，再证明V V ≌ABE AFE ，CED FED V V ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF AD ^于F ，∵90B Ð=°，AE 平分BAD Ð，∴BE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =，又∵90C Ð=°，EF AD ^，∴DE 是ADC Ð的平分线．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)若3AD =，7CD =，278ABE S =V ，求ADC S △【答案】(1)见解析∵BE 平分ABC Ð，EF AB ^，∴EF EN =，∵AE 平分DAF Ð，A．110°B．120°【答案】C【分析】根据题意可得，点O数，再根据三角形的内角和等于V三边【详解】解：∵O到ABC．．．．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；Ð内，且到两条公路的距离相等．②在MON你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析Ð的平分线OC，则FG与OC的交点F就是仓【分析】连接DE，作线段DE的垂直平分线FG，作角MON库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路AO与BO相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求．【分析】只要作出AOB【详解】解：如图所示：点P 即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带ABC V 内部有两个喷水臂P 、Q ，现欲在ABC V 内部建一个水泵O ，使得水泵O 到BA ，BC 的距离相等，且到两个喷水管P 、Q 的距离也相等，请你在图中标出水泵O 的位置．【答案】作图见解析【分析】作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O 即可．【详解】解：如图，作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O ，∵BM 平分ABC Ð，点O 在射线BM 上，∴点O 到BA ，BC 的距离相等，∵EF 垂直平分线段PQ ，点O 在直线EF 上，∴点O 到P 、Q 的距离相等，∴O 到BA ，BC 的距离相等，且到点P 、Q 的距离也相等，则点O 即为所作．巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段AB的垂直平分线，与CODÐ的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线，它们的交点即为点P．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和AOB【详解】解；如图，点P为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB 内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【分析】根据题意，作AOBS，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【详解】根据题意，作AOBS，如下图：∵OK 是AOB Ð的角平分线∴OK 上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ 是MN 的垂直平分线∴RQ 上的点，到两所大学的距离相等∵OK 和RQ 相交于点S ，∴仓库P 应该建在点S 的位置．题型八等腰三角形三线合一【例24】如图，AD 、CE 分别是ABC V 的中线和角平分线，若AB AC =，26CAD Ð=°，则ACE Ð的度数为（）A ．26°B ．32°C ．38°D ．48°【答案】B 【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到90ADC Ð=°，再利用直角三角形的性质，得到64ACD Ð=°，结合CE 是ABC V 的角平分线，计算即可．【详解】∵AD 是ABC V 的中线，AB AC =，∴90ADC Ð=°，A．2.5【答案】B【分析】根据已知可得答．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．腰上的中线所在的直线(1)求证：OBC △为等腰三角形；(2)若25ACF Ð=°，求ÐBOE 【答案】(1)见解析．(2)15°题型九等腰三角形度数巩固训练：∵AB AC =，∴(11802ABC C Ð=Ð=°-②如图，当顶角为钝角三角形时：∵50ABD Ð=°，90D Ð=∴9050140BAC Ð=°+°=∵AB AC =，∴()1180140202C ABC Ð=Ð=°-°=°．故答案为：70°或20°．题型十等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个1A BC V 中，130B A B CB Ð°＝，＝；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到A 2，使121A A A D ＝，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到A 3，使232A A A E ＝，得到第3个23A A E △；……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（）巩固训练：27．如图，30MON Ð=°，点123,,,A A A L 在射线ON 上，点123,,,B B B L 在射线OM 上，112A B A △，223334,A B A A B A L △△均为等边三角形．若11OA =，则1n n n A B A +△的边长为（）A ．2nB ．12n -C ．12n +D ．22n +【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，111130A OB A B O Ð=Ð=° ，01112112OA A B A B ====，利用同样的方法，122222A O A B ===，23332242A B A O A O ====，由此规律可得12n n n A B -=．【详解】112A B A QV 为等边三角形，30MON Ð=°111130A OB A B O \Ð=Ð=°1112112OA A B A B ====同理：122222A O AB ===23332242A B A O A O ====L由此类推可得1n n n A B A +△的边长12n n n A B -=．故选B ．28．如图，已知ABC V 是等边三角形，点B ，C ，D ，F 在同一条直线上，CD CE =，DF DG =，求F Ð的度数．【答案】15°【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∵CD CE =，∴CDE CED Ð=Ð，∵260ACB CDE CED CDE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴30Ð=°CDE ，∵DF DG =，∴DFG DGF Ð=Ð，∵230CDE DFG DGF F Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴15F Ð=°．题型十一等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P ，使ABP V 为等腰三角形，则点P 有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以AB 为腰，点A 为顶角顶点；以AB 为腰，点B 为顶角顶点；以AB 为底．【详解】解：如图：如图，以AB 为腰，点A 为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB 为腰，点B 为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB 为底的等腰ABP V ，所以合计8个．故选：C ．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A 、B 、C 三点均在格点上，且ABC V 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】分A Ð为顶角和B Ð为顶角判定即可．【详解】当A Ð为顶角时，符合的点有一个6C ；当B Ð为顶角时，符合的点有五个12345,,,,,C C C C C ；一共有6个．故选C ．【例30】如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BD 是ABC V 的角平分线，可得272ABC ABD Ð=Ð=°，又可求72ABC C Ð=Ð=°，所以ABC V 是等腰三角形；又180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，故A ABD Ð=Ð，所以ABD V 是等腰三角形；由36DBC ABD Ð=Ð=°，得72C Ð=°，可求72BDC Ð=°，故BDC C Ð=Ð，所以BDC V 是等腰三角形．【详解】解：BD Q 是ABC V 的角平分线，272ABC ABD \Ð=Ð=°，72ABC C \Ð=Ð=°，ABC V \是等腰三角形①．180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，A ABD \Ð=Ð，ABD \V 是等腰三角形②．36DBC ABD Ð=Ð=°Q ，72C Ð=°，72BDC \Ð=°，BDC C \Ð=Ð，BDC \V 是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C ．巩固训练：29．如图，线段AC 、BD 互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB AD DC BC ===，继而根据等腰三角形判定定理即可求解．【详解】解：∵线段AC 、BD 互相垂直平分，∴,AB AD CB CD ==,,DA DC BA BC ==，∴有等腰三角形,,,ABD CBD DAC BAC △△△△共4个，故选：C ．30．如图，BD 是ABC V 的平分线，3672A ABC Ð=Ð=°°，， DE BC ∥交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定ABC V 为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在ABC V 中，=36°=72°A ABC ÐÐ，，∴°=C=72ABC ÐÐ，【答案】D【分析】逐个画出图形，即可得到答案．【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；图③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，过A作AE⊥BC于E，如图：则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，故②不符合题意；故选：D．题型十十二直角三角形性质问题A．6B．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【答案】6△是直角三角形，可求【分析】可证ADCV中，【详解】解：Q在ABC\V是直角三角形，ADCQ是AC的中点，E巩固训练：33．在Rt ABC △中，Ð【答案】16【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解．【详解】解：∵90C Ð=。

第二章轴对称图形(角平分线+将军饮马模型拓展)(解析版)

第二章轴对称图形（角平分线+将军饮马模型）一、角平分线模型①②③④辅助线做法：①垂两边：②截两边：③角平分线﹢平行→等腰三角形④角平分线﹢垂线→等腰三角形（三线合一）典例1如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为（）A．12B．6C．7D．8【答案】B【分析】解析：如图，过点D作DH⊥AC于H∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB∴DF=DH在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，⎩⎨⎧==DHDF DG DE ∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）∴S △EDF=S △GDH ，设面积为S ，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH （HL ）∴S △ADF=S △ADH即28﹢S=40﹣S ，解得S=6典例2如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BD 的延长线于E ．求证：BD=2CE ．【答案】见解析【分析】解析：延长CE 、BA 交于F 点，如图，∵BE ⊥EC ，∴∠BEF=∠CEB=90°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠F=∠BCF ，∴BF=BC ，∵BE ⊥CF ，跟踪训练1如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，与AC 交于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（）A ．21B ．1C ．2D ．5∵BC=5∴DF=2∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC∴DE=DF=2跟踪训练2已知点P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC >AB ，求证：PC －PB ＜AC －AB.【答案】见解析【分析】解析：如图，在AC 上截取AE ，使AE=AB ，连接PE ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ，在△AEP 和△ABP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP BAD CAD AB AE ，∴△AEP ≌△ABP （SAS ），∴PE=PB ，在△PCE 中，PC ﹣PE<CE ，∴PC﹣PE<AC﹣AE，∴PC﹣PB<AC﹣AB．二、将军饮马（求两线段和最小值）1、两定一动思想：化折为直方法：先对称，再连接2、两动一定思想：化折为直方法：先对称，再垂直，面积法求垂线段3、邮差送信（求三折线段和最小值）思想：化折为直方法：作两次对称再连接典例3按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图1：已知直线m及直线m外两点A、B，在直线m上求作点P，使点P到A、B两点的距离相等．（2）如图2：已知直线m及直线m外两点A、B，在直线m上求作点P，使点P到A、B两点的距离之和为最小．【答案】见解析【分析】解析：如图，点P即为所求典例4如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F 点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ C ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】解析：连接AD、MA∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，典例5如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF﹢EF的最小值为．如图，A是锐角MON内部一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，组成三角形ABC，使三角形ABC周长最小.【答案】见解析【分析】解析：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接ABC 即为所求三角形.∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.典例7若在∠MON内部有A、B两个定点，在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小【答案】见解析【分析】解析：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求跟踪训练3如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN﹢∠ANM的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【分析】解析：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，∴∠A′﹢∠A″=180°﹣∠110°=70°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN﹢∠ANM=2（∠A′﹢∠A″）=2×70°=140°．1、如图，△ABC的面积为1 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为___．2、如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB﹢EF的最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】解析：连接CF，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB=EC，当B、F、E三点共线时，EF﹢EC=EF﹢BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，∴EF﹢BE的最小值为63、如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD﹢PE的最小值是多少（ C ）A．6cm B．8cm C．10cm D．5cm【答案】C【分析】解析：连接BP．∵正方形ABCD的边长是10cm，△ABE为等边三角形∴BE=AB=10cm∵ABCD为正方形，P是AC上的一个动点∴PB=PD∴PE﹢PD=PB﹢PE∵PB﹢PE≥BE∴当点E、P、B在一条直线上，PD﹢PE有最小值，最小值=BE=10cm4、如图，直线l旁有两点A，B，在直线上找一点C使到A，B两点的距离之和最小．在直线上找一点D 使到A，B两点的距离相等．【答案】见解析【分析】解析：如图所示，点C，D为求作的点．5、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是____．。

八年级数学上册第2章知识归纳：轴对称和轴对称图形(青岛版)

知识归纳：轴对称和轴对称图形
轴对称
1、一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两侧的图形能够重合，就说这一个图形是轴对称图形。

这条直线叫做图形的对称轴。

2、轴对称图形一定有对称轴，而且至少有1条对称轴，常见的例如：等腰三角形、等腰梯形、线段、角；有两条对称轴的常见图形有长方形；有三条对称轴的常见图形有等边三角形；正方形有4条对称轴；五角星和正五边形有5条对称轴；圆有无数条对称轴。

轴对称图形的画法
1、轴对称图形的性质：
（1）对称轴两边的图形一定完全相同
（2）对应点也关于对称轴对称
（3）对应点的连线垂直于对称轴
（4）对应点到对称轴的距离相等
2、轴对称图形的画法：
（1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置
（2）找出已知图形的关键点
（3）一次过每个点作垂直于对称轴的虚线
（4）在对称轴另一侧确定各对应点位置
（5）标明各点对应名称，顺次连接各对应点得到轴对称图形。

确定轴对称图形的对称轴
沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是
图形的对称轴。

轴对称和成轴对称。

小学数学五年级上册(西师大版)2.2 轴对称图形课件

C
B A
仔细观察上图，你能在方格纸上画出它的另一半吗？
1、小组合作交流。 2、小组汇报。
根据对称轴，先找到B点的对应点D,然后把各点连起来，就得到了一个轴对称图形。
C
.
B
D
A
试一试
在方格纸上画出下面图形的另一半，使它成为轴对称图形。
找一找生活中的轴对称图形。
生活中的轴对称
生活中的轴对称
西师大版小学数学五年级上册多媒体教学课件第二章第三节《轴对称图形》
图片欣赏
蝴蝶
蜻蜓
秋天落叶
例1、下面哪些图形是轴对称图形？
这些图形有什么共同特点？把这些图形左右对折，两边都能完全重合。
折一折
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
76、一人生日生命无贵太书相过，知短百，暂事何，荒用今废金天。与放钱弃20。了.7.明2104天.270.不1.74一.210定4.27能0.1.得74.21到04.。7.1824时0。22028年0分2780月时年12748月日分1星144期日-J二星ul二期-2〇二07二.14〇.2年二02七〇0月年十七四月日十四日
亲爱的读者： 2、仁千世者里上见之没仁行有，绝智始望者于的见足处智下境。，二只20〇有20二对年〇处7月年境1七绝4日月望星十的期四人二日。二20〇20二年〇7月年1七4日月星十期四二日2020年7月14日星期二春亲去爱春的又读回者，：新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、为少成中年功华易都之学永崛老远起难不而成会读，言书一弃。寸，光放20阴弃:28不者7可永.14轻远.2。不02。会02成0功:28。7.14.202020:28270.1:248.2:300270.2104:.22802200:208:23807.14.202020:287.14.2020

五年级数学上册二图案美__对称平移与旋转知识总结青岛版六三制

五年级数学上册二图案美__对称平移与旋转知识总结青岛版六三制
第二章：对称、平移、与旋转
1,轴对称图形：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做它的对称轴。

2，画轴对称图形另一半的方法：一，找出所给图形的关键点；二，数出或量出图形关键点到对称轴的距离；三，在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;四，参照所给图形顺次连接各点。

3，平移:物体在同一平面内沿直线的运动叫做平移。

特点：物体或图形平移后，它们的形状、大小、方向都不改变。

4，画平移图形的方法：一：找出图形的关键点或关键线段作参照点或参照线段。

二:按指定方向和格数把参照点或参照线段平移到新位置,描出各点或画出线段。

三：把各点按照原图顺序连接起来.
5,旋转：物体绕着某一点运动叫做旋转。

旋转有三要素：旋转中心，旋转方向（顺时针、逆时针)、旋转角度.特点：图形旋转后,图形的的形状、大小都没有发生变化，只是方向和位置变了。

6，旋转画图的方法：一：确定好旋转中心，也就是围着哪个点旋转；二：确定好旋转角度，一般是90度。

三：确定旋转方向。

四：依次画好旋转后的基本图形(注意检查图形各部分的位置关系不变）.
1。

苏科新版八年级上册数学《第2章轴对称图形》单元测试卷【含答案】

苏科新版八年级上册数学《第2章轴对称图形》单元测试卷一．选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或123．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条4．下列判断错误的是（）A．等腰三角形是轴对称图形B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合5．△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（）A．2B．C．D．87．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（）A．8B．11C．16D．178．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．69．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（）A．4B．5C．5.5D．610．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里二．填空题11．如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长 cm．12．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．13．已知等边三角形的边长是2，则这个三角形的面积是．（保留准确值）14．右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．15．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为．16．如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于．17．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．18．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．19．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝ cm．20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．三．解答题21．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．22．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠EDC的度数．23．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．24．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．26．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝4cm，∴点D到AB的距离DE是4cm．故选：B．2．解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．3．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．4．解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；故选：D．5．因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，又因为D，E，F为各边中点，所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA；又因为DE，DF，EF分别为中位线，所以DE＝BC，EF＝AC，DF＝AB，即DE＝EF＝DF．所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA＝DE＝EF＝FD．所以此图中所有的三角形均为等边三角形．因此应选择5个，故选：D．6．解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8．故选：D．7．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11，故选：B．8．解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故选：C．9．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3，∴AB＝AC＝6，故选：D．10．解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠CBA＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．二．填空题11．解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成直角三角形；当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝4+9+9＝22cm．故答案为22．12．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．13．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵等边三角形的边长是2，∴BD＝BC＝×2＝1，在Rt△ABD中，AD＝＝，所以，三角形的面积＝×2×＝．故答案为：．14．解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．15．解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB．由EF∥BC，得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝BE，OF＝FC．C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9．故答案为：9．16．解：过D作DM⊥AC，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DEC＝30°，AE＝DE，∵AE＝10，∴DE＝10，∴DM＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠DAC，∵DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM＝5．故答案为：5．17．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+x2＝（2﹣x）2，解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．故答案为：6﹣4．18．解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．③三个角都相等的三角形是等边三角形④三边都相等的三角形是等边三角形，故答案为①②③④．19．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3cm．∴BC＝6cm．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝6cm．故答案为：6．20．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案为：6cm．三．解答题21．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．22．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．23．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．24．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，∵△ABE的周长为16cm，∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．25．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，∴△ABE≌△DBE（SAS），∴AB＝BD，∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；∵∠C＝45°，ED⊥DC，∴△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；（2）AD与BE垂直．证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），∴BA＝BD，EA＝EC，∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB＝BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．26．证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，27．证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝CE．。

轴对称图形：轴对称的性质含答案

第2章《轴对称图形》：轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长=8厘米，则CD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：．专题：．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：．专题：．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：；．专题：．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：；．专题：．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：；．专题：．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°；∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．7．故填55．考点：；．专题：．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得．解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的，∴∠ABC的内错角=∠ABC=110°；∵是折叠得到的∠1，∴∠1=×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．故填65．考点：；．专题：．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：；．专题：．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°，∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°， ∴∠2=180°-70°=110°．点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 10．故填115°．考点：；．专题：．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答．11．故答案为：40°．考点：；．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．解答：解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴80°+2（180°-∠B）=360°，∴∠B=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm2．考点：．专题：．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：．专题：；．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：．专题：．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：．专题：．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：．专题：．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：．专题：．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC 边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P 与B 重合时，BA′取最大值是3，当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC 边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm ．考点：．专题：．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC 的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE ，=BC+AB+AC ，=3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：．专题：．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角． 22．故答案为：2 3 3．考点：．专题：．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB 是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 3 3．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，∴∠DBE=∠CDB，∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点∵BD=ADsin30°=4∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 3 3．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：．专题：．分析：由折叠的性质知，∠DA 1E=∠A=90°；DA 1=AD=2CD ，易证∠CDA 1=60°．再证∠EA 1B=∠CDA 1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D -∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：．分析：先判定三角形BDE 是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：；．专题：；．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：．专题：．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：．专题：．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：．专题：．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

第2章轴对称图形单元测试原卷版

班级________ 姓名________ 学号________ 分数________第2章轴对称图形（时间：120分，满分：120分）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 2．（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）下列说法正确的是（）A ．能够完全重合的两个图形成轴对称B ．全等的两个图形成轴对称C ．形状一样的两个图形成轴对称D ．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称3．（2023春·江苏无锡·八年级文林中学校联考阶段练习）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD 折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE 折叠，使点B 落在AD 上的点B ¢处，EAD Ð即为所求．乙：如图2，将纸片沿折痕,AE AF 折叠，使B ，D 两点分别落在点,B D ¢¢处，且AB ¢与AD ¢在同一直线上，EAF Ð即为所求．A ．甲和乙的折法都正确B ．只有甲的折法正确C ．只有乙的折法正确D ．甲和乙的折法都不正确4．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB =8，AC =12，BC =5，则△ABD 的周长为（）A ．20B ．17C ．13D ．255．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，兔子的三个洞口A 、B 、C 构成△ABC ，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC ( )A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三个角的角平分线的交点6．（2023春·江苏·八年级期末）如图，a∥b ，Rt △ABC 的顶点C 在直线a 上，∠ACB =90°，AB 交直线a 于点D ，点B 在直线b 上，∠1=23°，若点D 恰好为AB 的中点，则∠ACD 的度数为（）A ．44°B ．46°C ．56°D ．67°7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC 的三边AC 、BC 、AB 的长分别是8、12、16，点O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S △OAB :S △OBC :S △OAC 的值为（）A ．4:3:2B ．5:3:2C ．2:3:4D ．3:4:58．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连接AD ．下列结论： ∠B =∠C ；②AD ⊥BC ；③∠BAD =∠CAD ；④AB =2BC ，其中，一定正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE 于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有个．12．（2023春·江苏盐城·八年级统考开学考试）如图，地块△ABC 中，边AB ＝40 m ，AC ＝30 m ，其中绿化带AD 是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD 的面积为320 m 2，则地块△ACD 的面积为 m 2．13．（2023秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，△ABC 中，60B Ð=°，56C Ð=°，点D 为BC 边上一动点，分别作点D 关于AB ，AC 的对称点E ，F ，连接AE ，AF ．则∠EAF 的度数等于 °．15．（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）若等腰三角形的一个内角为17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的腰三角形有个．18．（2023春·江苏∠AON＝30°，当∠三．详解题（共8小题，总分66分）19．（6分）（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．20．（6分）（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．（8分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，A、B两点分别在射线OM,ON上，点C在∠MON的内部，且AC=BC，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD=BE．(1)求证：OC平分∠MON；(2)若AD=3,BO=4，求AO的长．22．（8分）（2023秋·江苏交AB于点E．(1)求证：△ADE是等边三角形．AB．(2)求证：AE=1223．（8分）（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．24．（10分）（2023春·江苏·八年级开学考试）已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是AB、CD的中点．求证：MD=MC，MN⊥CD．25．（10分）（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图1，△ABC中，作∠ABC,∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB,AC于E、F．(1)①求证：OE=BE；②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长．(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式．26．（10分）（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．(1)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？。

第二章轴对称图形(压轴题专练)(解析版)

第二章轴对称图形（压轴题专练）一、三角形综合应用（选择压轴）H Q 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC \^，即90GHB Ð=°，又BE Q 平分ABC Ð，GM BD ^，GM GH \=，又BD BH >Q ，BDG BGH S S \>V V ，又ABE CBE≌QV V ABE CBE S S \=V V ，ABE BDG ADGE S S S \=-V V 四边形，CBE BGH GHCE S S S =-V V 四边形，ADGE GHCE S S \<四边形四边形，故④错误；⑤18090HBG BGH GHB Ð+Ð=°-Ð=°，18090DBF DFG BDF Ð+Ð=°-Ð=°，HBG DBF Ð=Ð，BGH DFG \Ð=Ð，又BGH DGF Ð=ÐQ ，DGF DFG \Ð=Ð，DGF \V 为等腰三角形，故⑤正确．\正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C ．2．如图，已知ABC V 中高AD 恰好平分边BC ，30B Ð=°，点P 是BA 延长线上一动点，点O 是线段AD 上一动点，且OP OC =，下面的结论：AB AC=Q，AD BC^，BD CD \=，12 BADÐ=ÐOB OC\=，90ABCÐ=18060PAE BAC Ð=°-Ð=°Q ，AE PA =，APE \V 是等边三角形，60PEA APE \Ð=Ð=°，PE PA =，60APO OPE \Ð+Ð=°，60OPE CPE CPO Ð+Ð=Ð=°Q ，APO CPE \Ð=Ð，在OPA D 和CPE D 中，PA PE APO CPE OP CP =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OPA CPE \V V ≌，AO CE \=，AB AC AE CE AO AP \==+=+；故①正确；OPC Q △是等边三角形，OP OC PC \==，∴2OP OC PC +=，∴当CP AB ^时，OP OC +的值最小，此时CP AB ≠；故②错误；OPC Q △是等边三角形，60OCP \Ð=°，30APO DCO Ð+Ð=°Q ，\90APO PCB Ð+Ð=°，故③正确；过点C 作CH AB ^于H ，60PAC DAC Ð=Ð=°Q ，AD BC ^，CH CD \=，∴BD CE =，AEF ADF Ð=Ð，故①②符合题意；设BD 与AC 交于点G ，∵BAD CAE ≌△△，∴ABF ACF Ð=Ð，∵90ABF BGA Ð+Ð=°，BGA CGF Ð=Ð，∴90ACF CGF Ð+Ð=°，∴90CFG Ð=°，即BD CE ^，故③符合题意；分别过A 作AM BD ^，AN CE ^垂足分别为M 、N ，∵BAD CAE ≌△△，∴AM AN =，∴FA 平分BFE Ð，∴BFA EFA Ð=Ð，若AF 平分CAD Ð，∴CAF DAF Ð=Ð，∴BAF EAF Ð=Ð，而FA FA =，∴BAF EAF V V ≌，∴AB AE =，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；∵FA 平分BFE Ð，BF CF ^，∴45AFE Ð=°，故⑤符合题意．综上，正确的是①②③⑤，故选：D ．4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点P 是CA 的延长线上一点，点O 在AD 的延长线上，OP OB =，下面的结论：①30APO OBD Ð-Ð=°；②BPO △是正三角形；③AB AP AO -=；④2BOC AOBP S S =四边形△其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A 【分析】如图，设AB 交OP 于点J ．由OB OP OC ==，推出APO ABO Ð=Ð，推出60PAB POB Ð=Ð=°，可证①②正确，延长AO 到T ，使得AT AB =，证明(SAS)PBA OBT △≌△，推出PA OT =，可得③正确，推出四边形AOBP 的面积是定值，可得④错误．【详解】解：设AB 交OP 于点J ，如图所示：AB AC =Q ，AD BC ^，BD DC \=，OB OC \=，OP OB =Q ，OP OB OC \==，OPC OCP ACB OCB \Ð=Ð=Ð+Ð，OCB OBC Ð=Ð，AB AC =Q ，120BAC Ð=°，30ABC ACB \Ð=Ð=°，3030OPC OCB OBC ABO \Ð=°+Ð=°+Ð=Ð，30APO OBD \Ð-Ð=°，故①正确；AJP BJO Ð=ÐQ ，60POB PAJ \Ð=Ð=°，OP OB =Q ，BPO \△是正三角形，故②正确；延长AO 到T ，使得AT AB =，连接BT ，如图所示：60BAT Ð=°Q ，AT AB =，ABT \V 是等边三角形，60ABT PBO Ð=Ð=°Q ，PBA OBT \Ð=Ð，在PBA △和OBT △中，BP BO PBA OBT BA BT =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)PBA OBT \△≌△，PA OT \=，AB AT AO OT AO PA \==+=+，AB AP AO \-=，故③正确；PBA OBT Q △≌△，PBA OBT S S \=△△，ABT AOBP S S \=△四边形，且ABT S △为定值，BOC QV 是变化的，2BOC AOBP S S \=V 四边形是错误（与上面定值矛盾），故④错误；综上所述：正确的是①②③，故选：A ．二、探究线段之间的数量关系【答案】2BM NC=【分析】作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，先证MAN HAN V V ≌，推导得NH MC ^；再证BAM CAH V V ≌，推导得30NHC AHC AHN Ð=Ð-Ð=°，最后得到2BM NC =．【详解】解：如图，作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，在MAN △中，∵7560AMN MAN Ð=°Ð=°，，∴180180756045ANM AMN MAN Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．在MAN △与HAN △中，∵AM AH MAN HAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，∴()MAN HAN SAS V V ≌，∴ANM ANH Ð=Ð，AMN AHN Ð=Ð，∵45ANM Ð=°，75AMN Ð=°，∴45ANH Ð=°，75AHN Ð=°，∵45ANM Ð=°，45ANH Ð=°，∴90ANM ANH Ð+Ð=°，即NH MC ^．∵75AMN Ð=°，30B Ð=°，∴=753045BAM AMN B ÐÐ-Ð=°-°=°，∵ABC V 中，30AB AC B =Ð=°，，∴30C B Ð=Ð=°，∴180120BAC C B Ð=°-Ð-Ð=°，∵45BAM Ð=°，60MAN Ð=°，120BAC Ð=°∴120456015NAC BAC BAM MAN Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°，∵60HAN Ð=°，15NAC Ð=°，故答案为：2BM NC=6．（1）已知，如图1，若ABC V 是直角三角形，（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】（1）见解析；（2）①QE QF =；②QE QF=【分析】（1）延长CD 至E ，使DE CD =，连接AE ，证明(SAS ADE BDC ≌△△()Rt Rt SAS CAE ACB ≌△△，可得CE AB =，从而可得结论；（2）①Q 是AB 的中点，过Q 分别过点A 、B 向直线CP 作垂线垂足分别为E∵在ADE V 和BDC V 中AD BD ADE BDCCD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴(SAS ADE BDC ≌△△②延长EQ 交BF 于G∵AE CP ^，BF CP ^，∴90AEP BFP Ð=Ð=°，∴AE BF ∥，∴QAE QBG Ð=Ð，BC=，则CE=；(1)如图1，连接EC，若4(2)如图2，点M是线段CA延长线上的一点(不与点A重合)，以BM为一边，在BM的下方作MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH DM=．①求证：DMB HMG△≌△；②请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段AC延长线上的某个位置时，以BM为一边．在BM的左侧作，与DE之间的数量关系．交DE于点G．请直接写出MD DG求解；（2）①证明DMH △是等边三角形，进而得出DMB HMG Ð=Ð，证明DMB HMG △≌△()ASA ；②由①可知DMB HMG △≌△，得出HG DB =，DMH △是等边三角形．则DH MD =，即可得证．（3）在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，先证DMN V 是等边三角形，可得60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，由“ASA ”可证MNG MDB V V ≌，可得NG BD =，即可求解．【详解】（1）解：∵DE AB ^，90ACB Ð=°，∴90BCD BED Ð=Ð=°，∵BD 是ABC V 的角平分线，∴CBD EBD Ð=Ð，又∵BD BD =，∴()AAS CBD EBD V V ≌，∴CB EB =，∵90ACB Ð=°，30A Ð=°，∴60ABD Ð=°，∴ECB V 是等边三角形，∴4==CE BC ；故答案为：4；（2）①证明：∵30CBD DBA CAB Ð=Ð=Ð=°，DE AB ^，∴60ADE BDE Ð=Ð=°，2DB DE=又∵DH DM =，∴DMH △是等边三角形．∴DM DH MH ==，60DMH DHM Ð=Ð=°∴DMH BMG Ð=Ð，120MHG ADB Ð=Ð=°．∴DMB HMG Ð=Ð．在DMB V 和HMG △中，DMB HMG DM MH MDB MHG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴DMB HMG △≌△()ASA ；②2DG MD DE =+，由①可知DMB HMG △≌△，则HG DB =．∴2HG DE =，∵DMH △是等边三角形．则DH MD =，∴2DG DH HG MD DE =+=+；（3）解：结论：2DM DG DE+=，理由：如图，在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，∵60ADE NDM DN DM Ð=Ð=°=，，∴DMN V 是等边三角形，∴60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，∴60NMD GMB Ð=Ð=°，∴NMG DMB Ð=Ð，在MNG V 和MDB △中，60N BDM MN DM NMG DMB Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA MNG MDB V V ≌，∴NG BD =，∴2NG DE =，∴2DG DN DM DG DE +=+=．三、探究角之间的数量关系【答案】120°+α【分析】延长CB 到E ，使CE ＝＝∠EDC ，再证明△EDA 为等边三角形，得到的计算即可求解．【详解】解：如图，延长CB 到∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD 12ACB a =Ð=，在△ADC 与△EDC 中，AC EC ACD ECD =ìïÐ=Ðí，。