第二章《轴对称图形》提高练习题

第二章《轴对称图形》提高练习题

1．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．

2．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：

（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．

3．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线．

（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．

①求证：△ABE≌△ACF；②求证：△AEF是等边三角形．

（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．

4．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．

5．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

6．如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．

（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长．

7．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①△AEM的周长=cm；②求证：EP=AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

8．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

10．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

参考答案

1．考点：等腰三角形的性质．专题：压轴题；开放型．解答：当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE。证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠2=∠CDE+∠C，

∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C，∴∠1=x+∠C=∠2，∴AD=AE．

题1 题2 题3

2．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=AD/2；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DHF和△ECF中，△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF；（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，∴AG=GH，∴S△ADG=S△HDG，∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF=S△ECF，

∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF．

3．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：压轴题；开放型．（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ACB=∠ACF，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF，∵BE=CF，∴△ABE≌△ACF；

②由△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠CAF+∠CAE=60°，即

∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．

（2）答：存在。证明：在CD延长线上取点F，使CF=BE，与（1）①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE，∴∠EAF=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形．注：若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可．

4．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．

证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵AE=BD，△ABC为等边三角形，∴BE=BF，∠B=60°，

∴△BEF为等边三角形，∴∠F=60°，在△ECB和△EDF中，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC=ED．

题4 题5 题6

5．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；动点型．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC/2，即6﹣x=（6+x）/2，解得x=2，∴AP=2；

（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：