第二章《轴对称图形》提高练习题
初二数学轴对称总结练习题
初二数学轴对称总结练习题轴对称是初中数学中的一个重要概念，也是几何中常见的一种性质。
轴对称指的是图形关于某条直线对称成立，对称轴是图形中的某条直线，使得图形关于该直线对称，即该直线上的任意一点经过对称后，都能与原图形上对应的点重合。
那么在学习轴对称的过程中，总结练习题是很有必要的。
本文将为大家总结初二数学轴对称相关的练习题，以便巩固和提高对轴对称的理解与运用。
一、关于轴对称的基础练习题1. 在一个平面直角坐标系中，图形A关于y轴对称得到图形A'，如果A'的坐标是(-3,-2)，则A的坐标是多少？2. 图形B关于y轴对称，若图形B的坐标是(5,7)，则B'的坐标是多少？3. 在平面直角坐标系中，图形C关于y轴对称后，得到了图形C'，若点C(1,2)在图形C'上，求C'的坐标。
4. 在平面直角坐标系中，图形D关于y轴对称后，得到了图形D'，如果D'的坐标是(-2,4)，则D的坐标是多少？5. 在平面直角坐标系中，图形E关于x轴对称的图形是图形E'，若图形E'的坐标是(3,-5)，则E的坐标是多少？二、关于轴对称图形的性质练习题1. 若平面图形F关于直线y=4对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形F的对称轴是直线y=4；b) 图形F任意两点关于y=4对称的点的连线垂直于y=4。
2. 判断以下命题是否正确：a) 关于过点P(-3,5)的垂直线的轴对称图形关于y轴对称；b) 关于过点Q(2,-3)的水平线的轴对称图形关于x轴对称。
3. 若图形G关于y=-x对称，并且G关于原点O对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形G的对称轴是y=-x；b) 图形G的对称轴是原点O；c) 图形G关于y=x对称。
三、综合运用轴对称的练习题1. 在平面直角坐标系中，图形H关于y轴对称的图形是图形I，图形J关于x轴对称的图形是图形K。
如果图形H、I、J、K的坐标分别为：H：(3,-4)，I：(-3,-4)J：(1,-5)，K：(1,5)则求图形H、I、J、K的对称轴方程。
苏科版八年级上册第二章《轴对称图形》(难题)单元测试(含答案)
苏科版八年级上册第二章《轴对称图形》（难题）单元测试一、选择题1.如图，A，B，C三幢居民楼的位置成三角形，现决定在三幢楼之间修建一个禁毒宣传栏，使宣传栏到三个小区的距离相等，则宣传栏应建在()A.AC，BC两边中线的交点处B. AC，BC两边高线的交点处C. AC，BC两边垂直平分线的交点处D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处2.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A.c>a>bB. b>a>cC. c>b>aD. b>c>a4.如图，等腰△ABC的底边长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A. 6B. 18C. 7D. 95.如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°.若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为()A. 75°B. 65°C. 63°D. 61°6.如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2=130°，则∠B+∠C=()A. 115°B. 130°C. 135°D. 150°7.如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A=48°，则∠BQC的度数为()A. 138∘B. 114∘C. 102∘D. 100∘8.如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG//AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP②S△PAC:S△PAB=AC:AB③BP垂直平分CE④FP=FC其中正确的判断有()A.只有①②B. 只有③④C. 只有①③④D. ①②③④二、填空题9.把一张长方形纸条按图的方式折叠后，量得∠AOB′=110°，则∠B′OC=__________°．10.如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP=PQ=QC=BC.则∠A=__________．11.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=6，CD=2，则△ABD的面积是_____．12.已知等腰三角形的周长为10，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形的周长为两部分，其中一部分比另一部分长2，则腰长_________．13.如图，把△ABC分别沿AB边和AC边翻折得到△ABE和△ADC，BE的延长线与DC的延长线交于点F，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，则∠EFC的度数为_____．14.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是_________________．15.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接ED，则图中等腰三角形共有____个16.如图，在ΔABC中，AB=6，∠CAB=15°，M、N分别是直线AC、AB上的动点，则BM+MN的最小值是______________．三、解答题17.如图，和均为等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，，连结BD、EC交于点P．(1)求证：≌；(2)试判断线段BD、EC的关系，并且加以证明；(3)连结PA，求的度数．18.如图，点M、N分别是∠AOB两点OA、OB上的点．(1)尺规作图：在∠AOB内作一点P，使得点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，且满足PM=PN(保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若∠AOB=40°，求∠MPN的度数．19.已知：如图，▵ABC中，∠ABC=45∘，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；BF；(2)求证：CE=12(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．20.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于______A.90°B.135°C.270°D.315°(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=______(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．21.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．(1)直接写出∠AFC的度数：______；(2)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．22.(1)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；(2)如果把第(1)题中“AB=AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；(3)如果把(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC>90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC的数量关系式，试证明．答案和解析1.C解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则宣传栏应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．2.B解：在网格中作出与△ABC成轴对称的格点三角形如下图所示：∴在此网格中与△ABC成对称的格点三角形一共有3个．3.D解：第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE=EC=12AC=12×4=2，DE⊥AC，∵∠ACB=90°，∴DE//BC，∴a=DE=12BC=12×3=32；第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN=NC=12BC=12×3=32，MN⊥BC，∵∠ACB=90°，∴MN//AC，∴b=MN=12AC=12×4=2；第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB =√32+42=5， 由折叠得：AG =BG =12AB =12×5=52，GH ⊥AB ，∴∠AGH =90°，∵∠A =∠A ，∠AGH =∠ACB ，∴△ACB∽△AGH ， ∴AC AG =BC GH， ∴452=3GH ， ∴GH =158，即c =158．∵2>158>32， ∴b >c >a ．4. D解：连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， ∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×6×AD =18，解得AD =6，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA =MC ，∴MC +DM =MA +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值， ∴△CDM 的周长最短=(CM +MD)+CD =AD +12BC =6+12×6=6+3=9．5. B解：∵点A ，C 分别在线段BE ，BD 的中垂线上，∴AE =AB ，BC =DC ．∵∠A =58°，∠C =100°， ∴∠ABE =180°−58°2=61°，∠CBD =180°−100°2=40°．∵∠EBD =36°，∴∠ABC =∠ABE +∠EBD +∠CBD =61°+36°+40°=137°，∴∠ADC =360°−∠A −∠C −∠ABC =360°−58°−100°−137°=65°． 故答案为：65°．6.A解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN+∠DNM=360°−130°2=115°．∵∠A+∠D+(∠AMN+∠DNM)=360°，∠A+∠D+(∠B+∠C)=360°，∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°．7.C解：∵∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，∴∠DCM=12∠ACD，∠DBM=12∠ABC，∴∠M=∠DCM−∠DBM =12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=24°，由折叠可得，∠N=∠M=24°，又∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠CBQ=12∠CBN，∠BCQ=12∠BCN，∴△BCQ中，∠Q=180°−(∠CBQ+∠BCQ) =180°−12(∠CBN+∠BCN)=180°−12×(180°−∠N)=90°+12∠N=102°．8.D解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP，∵PG//AD，∴∠APG=∠CAP，∴∠APG=∠BAP，∴GA=GP；②∵AP平分∠BAC，∴P到AC，AB的距离相等，∴S△PAC：S△PAB=AC：AB；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE(三线合一)；④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP =∠BCP ，又PG//AD ，∴∠FPC =∠DCP ，∴FP =FC ．故①②③④都正确．9. 35解：∵沿OC 折叠，B 和B′重合，∴△BOC≌△B′OC ，∴∠BOC =∠B′OC ，∵∠AOB′=110°，∴∠BOB′=180°−110°=70°， ∴∠B′OC =12×70°=35°，10. (1807)°解：∵AB =AC ，AP =PQ =QC =BC ， ∴ABC =∠ACB ，∠A =∠AQP ，∠QPC =∠QCP ，∠BQC =∠B ， 设∠A =x°，则∠AQP =x°，∴∠BQC =∠ACQ +∠A ，∴∠BQC =3x°，∴∠B =3x°，∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴x°+3x°+3x°=180°， 解得：x =1807．∴∠A =(1807)°．11. 6解：∵AD 平分∠BAC ，CD ⊥AC ，∴D 点到AB 的距离等于CD 长度2． 所以△ABD 面积=12×6×2=6．12. 4或83解：设腰长为x ，底长为y ，当腰比底长时有 {x −y =22x +y =10 解得{x =4y =2； 当底比腰长时有{y −x =22x +y =10解得{x=83y=143．∵0<2<4+4=8，0<143<83+83=163∴这两种情况都能构成三角形．13.30°解：在△ABC中，∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，则28x+5x+3x=180°，解得：x=5°，则∠BCA=140°，∠ABC=25°，∠BAC=15°，由折叠的性质可得：∠D=25°，∠DAE=3∠BAC=45°，∠BEA=140°，在△AOD中，∠AOD=180°−∠DAE−∠D=110°，∴∠EOF=∠AOD=110°，∴∠EFC=∠BEA−∠EOF=140°−110°=30°．14.4解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴AP+BP的值最小值为4．15.5解：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形；∠ABC=∠ACB=1800−3602=72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∠ABD=∠A=36º，∴△ABD是等腰三角形；∴∠BDC=180º−36º−72º=72º=∠C，∴△BDC是等腰三角形，∴BD=BC，∵BE=BC，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，∴∠ADE=∠BED−∠A=72º−36º=36º=∠A，∴△AED是等腰三角形；16.3解：作B关于AC的对称点E，过E作EN⊥AB于N，交AC于M，连接AE，BM，则此时BM+MN的值最小，∵B关于AC的对称点为E，∴AE=AB=6，BM=EM，∠EAC=∠CAB=15°，∴∠EAB=30°，BM+MN=EM+MN=EN，在Rt△ENA中，∠ENA=90°，∠EAB=30°，AE=6，∴EN=12AE=3，BM+MN=EN=3，17.(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)；(2)解：BD=EC，BD⊥EC，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠ACE+∠5=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥EC；(3)解：作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD=S△ACE，又∵BD=EC，∴AM=AN，∵AM⊥BD，AN⊥EC，∴PA平分∠BPE，又∵BD⊥EC，∴∠BPE=90°，∴∠APB=45°．18.解：(1)如图所示；(2)过P作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则∠PCO=∠PDB=90°，由(1)知，OP是∠AOB的平分线，∴PC=PD，由题可知PM=PN，∴△PCM≌△PDN(HL)，∴∠CPM=∠DPN，∴∠MPN=∠MPD+∠CPN=∠MPD+∠DPN=∠CPD，∵∠CPD=360°−∠AOB−∠PCO−∠PDO=140°∴∠MPN=140°．19.(1)证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．∵∠DBF=90°−∠BFD，∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵{∠DBF=∠DCA BD=CD∠BDF=∠ADC，∴Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA)．∴BF=AC；(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中{∠ABE=∠CBE BE=BE∠BEA=∠BEC，∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)．∴CE=AE=12AC．又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；(3)证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．H为BC中点，则DH⊥BC(等腰三角形“三线合一”)连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=12∠ABC=12×45°=22.5°，∠EGC=45°．又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．∵△GEC是直角三角形，∴CE2+GE2=CG2，∵DH垂直平分BC，∴BG=CG，∴CE2+GE2=CG2=BG2；即2CE2=BG2，BG=√2CE，∴BG>CE．20.解：(1)C；(2)220°；(3)∠1+∠2=180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1=180°−2∠AFE，∠2=180°−2∠AEF，∴∠1+∠2=360°−2(∠AFE+∠AEF)，又∵∠AFE+∠AEF=180°−∠A，∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A．解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°−(∠A+∠B)=360°−90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是220°；(3)∠1+∠2与∠A 的关系是：∠1+∠2=180°+∠A ；21. (1)120°；(2)解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF =EF ． 理由：如图2，在AC 上截取CG =CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF =∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中， {CG =CD ∠DCF =∠GCF CF =CF ，∴△CFG≌△CFD(SAS)，∴DF =GF ．∵∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线， ∴∠FAC =12∠BAC ，∠FCA =12∠ACB ，且∠EAF =∠GAF ， ∴∠FAC +∠FCA =(∠BAC +∠ACB)=12(180°−∠B)=60°， ∴∠AFC =120°，∴∠CFD =60°=∠CFG ，∴∠AFG =60°，又∵∠AFE =∠CFD =60°，∴∠AFE =∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中， {∠AFE =∠AFG AF =AF ∠EAF =∠GAF ，∴△AFG≌△AFE(ASA)，∴EF =GF ，∴DF =EF ；(3)结论：AC =AE +CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG =AE ，同(2)可得，△EAF≌△GAF(SAS)，∴∠EFA =∠GFA ． 又由题可知，∠FAC =12∠BAC ，∠FCA =12∠ACB ，∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠ACB)=12(180°−∠B)=60°，∴∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)=120°，∴∠EFA=∠GFA=180°−120°=60°=∠DFC，∴∠CFG=∠CFD=60°，同(2)可得，△FDC≌△FGC(ASA)，∴CD=CG，∴AC=AG+CG=AE+CD．(1)解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=90°−60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，∴∠AFC=180°−(∠FAC+∠ACF)=120°故答案为120°；22.解：(1)∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=12(180°−∠B)=67.5°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E=12∠ACB=22.5°，在△ABE中，∠BAE=180°−∠B−∠E=112.5°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=112.5°−67.5°=45度；(2)不改变．设∠CAE=x，∵CA=CE，∴∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B=90°−∠ACB=90°−2x，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=12(180°−∠B)=x+45°，在△ABE中，∠BAE=180°−∠B−∠E，=180°−(90°−2x)−x=90°+x，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD，=(90°+x)−(x+45°)=45°；(3)∠DAE=12∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°−2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°−∠B−∠E=2y−x，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=2y−x−y=y−x，∠BAC=∠BAE−∠CAE=2y−x−x=2y−2x，∴∠DAE=12∠BAC．。
2020第二章《轴对称图形》单元测试(含答案)
第二章《轴对称图形》单元测试（满分100分，时间90分钟）一、选择题：（每题3分，共24分）1．若等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为 ( )A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( )A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行6．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A． 6 B．7 C．8D．98．如图是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤二、填空题（每题3分，共24分）9．已知以下四个汽车标志图案：其中是轴对称图形的图案是（只需填入图案代号）．10．星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是时分．（按12小时制填写）11．已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为度．12．如图，在△ABC中，AC=9cm，BC=7cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为cm．13．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．14．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．15．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．16．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于．三、解答题（共52分）17．（本题6分）如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF18．（本题6分）如图，四边形EFGH为长方形的台球桌面，现有一白球A和一彩球B，在图中的GH边上找一点O，当击打白球A时，使白球A碰撞台边GH上的O点，反弹后能击中彩球B．19．（本题8分）（1）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；（2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为．20．（本10分）某供电部门准备在输电主干线上连结一个分支线路，分支点为M，同时向所落成的A，B两个居民小区送电．（1）如果居民小区A，B在主干线L的两旁，如图1，那么分支点M在什么地方时总线路最短？（2）如果居民小区A，B在主干线L的同旁，如图2，那么分支点M在什么地方时总线路最短？21．（本题10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB 和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．22．（本题12分）（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两边于点C、D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底边；（2）若点P不在角平分线上，如图（二），如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？（3）问题（2）中能画出几个满足条件的等腰三角形？一、选择题：（每题3分，共24分）1．若等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°【答案】D2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【答案】D3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【答案】C．4．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C．5把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行【答案】B6．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且P A=PB，下列确定P 点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C8．如图是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤【答案】D二、填空题（每题3分，共24分）9．已知以下四个汽车标志图案：其中是轴对称图形的图案是（只需填入图案代号）．【答案】①，③10．星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是时分．（按12小时制填写）【答案】1：3011．已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为度．【答案】40或7012．如图，在△ABC中，AC=9cm，BC=7cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为cm．【答案】1613．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．【答案】6014．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【答案】15．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．【答案】816．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于．【答案】∠AEF=115°三、解答题（共52分）17．（本题6分）如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF【答案】证明：如图，连接MF、ME，∵MF、ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．18．（本题6分）如图，四边形EFGH为长方形的台球桌面，现有一白球A和一彩球B，在图中的GH边上找一点O，当击打白球A时，使白球A碰撞台边GH上的O点，反弹后能击中彩球B．【答案】如图，作点A关于GH的对称点A′，连接AB′，交EF于点O，将白球A打到台边GH的点O处，反弹后能击中彩球B．19．（本题8分）（1）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；（2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为．【答案】（1）依题意，如下图所示：（2）∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴L△PMN=PM+PN+MN=P1M+MN+P2N=P1P2=5cm．故答案为：5cm20．（本10分）某供电部门准备在输电主干线上连结一个分支线路，分支点为M，同时向所落成的A，B两个居民小区送电．（1）如果居民小区A，B在主干线L的两旁，如图1，那么分支点M在什么地方时总线路最短？（2）如果居民小区A，B在主干线L的同旁，如图2，那么分支点M在什么地方时总线路最短？【答案】：（1）如图1，连接AB，AB与l的交点P就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短；（2）如图2，作B点关于直线l的对称点B2，连接AB2交直线l于点M，此处即为分支点．21．（本题10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．【答案】解：△OMN是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，∴AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；∠B=∠C=45°；在△OAN和OBM中，，∴△OAN≌△OBM（SAS），∴ON=OM（全等三角形的对应边相等）；∴∠AON=∠BOM（全等三角形的对应角相等）；又∵∠BOM+∠AOM=90°，∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．22．（本题12分）（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两边于点C、D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底边；（2）若点P不在角平分线上，如图（二），如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？（3）问题（2）中能画出几个满足条件的等腰三角形？【答案】解：（1）如图，直线CD为过点P的一条垂线且垂足为P，则△OCD是等腰三角形．∵OP为∠AOB的角平分线∴∠AOP=∠BOP∵∠CPO=∠DPO=90°，OP=OP∴△COP≌△DOP（ASA）∴OC=OD∴△OCD是等腰三角形．（2）如图，过点O作∠AOB的角平分线OD，过点P作PD⊥OD于点D，延长交OA，OB于点M，N，则△OMN为等腰三角形．∵OD为∠AOB的角平分线∴∠AOD=∠BOD∵∠MPO=∠NPO=90°，OD=OD∴△MOD≌△NOD（ASA）∴OM=ON∴△OMN是等腰三角形．（3）应该可画3个．①过P作∠AOB中平分线的垂线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．②过P作OA垂线，交OA，OB于E，F，在EA上作EG=OE，连FG，过P作FG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．③过P作OB垂线，交OA，OB于E，F，在FB上作FG=OF，连EG，过P作EG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．所以有三个这样的等腰三角形．- 11 -。
第二章 轴对称图形单元测试(含答案)
第二章轴对称图形单元测试一、选择题1．下列图形(含阴影部分)中，属于轴对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，则实际时间最接近8：00的是( )3．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③等边三角形；④等腰梯形；⑤长方形．其中，一定是轴对称图形的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，AC=AD，BC=BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB5．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP6．在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为( )A．7 B．10 C．7或10 D．7或117．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为( )A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有下列五个结论：①△AOB≌△DOC；②∠DAC=∠DCA；③梯形ABCD是轴对称图形；④∠DAB+∠DCB=180°；⑤AC=BD．其中，正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．59．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB．下列确定点P的方法正确的是( )A．P为∠BAC、∠ABC的平分线的交点B．P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字：__________．12．(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是三角形的角平分线，交AC于点D，AD= 2.2 cm，AC=3.7 cm，则点D到AB边的距离是__________cm．(2)在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B的度数为__________．13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．(1)若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为__________cm．(2)若∠EAF=100°，则∠BAC__________．14．(1)如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=__________．(2)如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=__________．15．(1)若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．(2)已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．16．(1)如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°,AD=4，BC=7，则梯形ABCD的周长是__________．(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM．在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形共有__________个．17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连接AM．如果将△ABM 沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是__________．18．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管__________根．三、解答题19．利用网格作图，(1)请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；(2)请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；(3)请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．20．如图，在AABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，试判断GF与DE有何特殊的位置关系?请说明理由．21．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数．22．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD ，BC =AC ，求该梯形中各内角的度数．23．如图，在等腰△ABC 中，顶角的平分线BD 交AC 于点D ，AD =3，作△ABC 的高AE 交CB 的延长线于点E ，且AE 与BC 的长是方程组55101,10552x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解．已知()1205ABCm m S=≠，求△ABC 的周长．24．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．25．在梯形ABCD中，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿边AD向点D以1 cm／s的速度移动，点Q从点C开始沿边CB向点B以2 cm／s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形?参考答案一、1．B 2. D3．C4．A5．D6．D7．B8．C9．B 10．B二、11．答案不唯一，如目、田12．(1)1.5 (2)70°或20°13．(1)10 (2)140°14．(1)20°(2)45°15．(1)120 (2)80°或20°16．(1)17 (2)3 17．2 18．8三、19．略20．GF⊥DE理由：连接GE、GD．因为BD是△ABC的高，所以∠BDC=90°．因为G是BC的中点，所以DG=12BC．同理，EG=12BC．所以DG=EG．又因为F是DE的中点，所以在△EGD中，GF⊥DE．21．设∠A=x．因为AE=ED，所以∠ADE=∠A=x．又∠BED为△AED的外角，所以∠BED=∠ADE+∠A=2x．因为BD=ED，所以∠DBE=∠DEB=2x．因为∠BDC为△ABD 的外角，所以∠BDC=∠EBD+∠A=3x．因为BD=BC，所以∠BDC=∠C=3x．因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=3x．又因为△ABC的内角和为180°，所以22+3x+3x=180°．解得x=(1807) °，即∠A=(1807) °22．如图，设∠1=x．因为AB=AD，所以∠1=∠2=x．因为AD∥BC，所以∠2=∠3=x．所以∠ABC=∠1+∠3=2x．因为AD∥BC，AB=DC，所以∠ABC=∠DCB=2x，AC=BD．又因为BC=AC，所以BC=BD．所以∠4=∠BCD=2x．因ABCD的内角和为180°．所以x+2x+2x=180°，解得x=36°．所以∠ABC=∠DCB=72°．因为AD∥BC，所以∠ABC+∠BAD=180°，∠DCB+∠ADC=180°，所以∠BAD=∠ADC=108°23．55101,10552,x y mx y m+=-⎧⎨-=-⎩①②由①+②得，15x=15m-3．所以x=m-15．①×2-②得15y=15m，所以y=m．由125ABCmS =，得12xy=125m，即1 2·(m1-5)m=125m．因为m≠0，所以1112(m- )=255，解得m=5．此时x=4.8,y=5.⎧⎨⎩由于AB=BC＞AE，所以BC=5，AE=4.8．又因为AB=BC，BD平分∠ABC，所以AD=DC=3，即AC=6．所以△ABC的周长为6+5 x 2=16。
轴对称图形的练习题
轴对称图形的练习题轴对称图形的练习题轴对称图形是数学中一个有趣且常见的概念。
它们在几何形状的研究中起着重要的作用。
通过练习轴对称图形的题目，我们可以更好地理解轴对称性质以及如何判断一个图形是否具有轴对称性。
本文将给出一些有趣的练习题，帮助读者巩固对轴对称图形的理解。
练习题1：判断轴对称图形首先，让我们来判断一些常见的图形是否具有轴对称性。
请仔细观察下面的图形，并在心中判断它们是否具有轴对称性。
然后，将你的答案写下来。
1. 一个圆2. 一个正方形3. 一个长方形4. 一个等边三角形5. 一个五角星答案：1. 一个圆：具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都可以得到与原图形完全相同的图形。
2. 一个正方形：具有轴对称性。
以正方形的中心为轴，将正方形旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
3. 一个长方形：不具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都无法得到与原图形完全相同的图形。
4. 一个等边三角形：具有轴对称性。
以三角形的中线为轴，将三角形旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
5. 一个五角星：不具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都无法得到与原图形完全相同的图形。
练习题2：找出轴对称图形的轴线现在，让我们来找出一些具有轴对称性的图形的轴线。
请仔细观察下面的图形，并在心中想象它们的轴线。
然后，将你的答案写下来。
1. 一个心形2. 一个蝴蝶形状3. 一个字母“X”4. 一个字母“H”5. 一个字母“O”答案：1. 一个心形：具有轴对称性。
心形的轴线位于心形的中心，将心形沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
2. 一个蝴蝶形状：具有轴对称性。
蝴蝶形状的轴线位于蝴蝶的中心，将蝴蝶形状沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
3. 一个字母“X”：具有轴对称性。
字母“X”的轴线位于字母“X”的中心，将字母“X”沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
【苏科版】八年级上第二章《轴对称图形》压轴题训练(含答案) (2)
第2章 勾股定理与平方根整章水平测试一.选一选，看完四个选项再做决定！（每小题3分，共30分）1.如果一个数的平方根与这个数的立方根相等，那么这个数等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）－12.在实数-π，，|-2｜，，，，0.808008中，无理数个数为( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53.四舍五入保留两个有效数字得0.68的数是（ ）(A)0.6749 (B)6705 (C)0.6850 (D)0.68094.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）（A ）a=7， b=24， c=25 （B ） a=1.5， b=2， c=2.5（C ） a=， b=2， c= （D ） a=15， b=8， c=175.一个等腰三角形底边长为10厘米，腰长为13厘米，则腰长的高为（ ）（Ａ）12厘米 （Ｂ）厘米 （Ｃ）厘米 （Ｄ）136910厘米 6.三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形（C ）直角三角形 （D ）锐角三角形7.估算+2的值在（ ）（A ）5和6之间 （B ）6和7之间（C ）7和8之间 （D ）8和9之间8.小华准备测量一段河水的深度，他把一根竹杆插到离岸边1.5米远的水底，竹杆高出水面0.5米，把竹杆的顶端拉向岸边，杆顶和岸边的水面刚好相齐，则竹杆的高度为（ ）（A ）2米 （B ） 2.5米 （C ）2.25米 （D ）3米B E D CF A 图3 B C A图4 ８cm Ａ BC 图5Ｎ M B A C 图2 9.园丁住宅小区有一块草坪如图1所示，已知AB=3m ，BC=4m ，CD=12m ，DA=13m ，且AB ⊥BC ，这块草坪的面积是（ ）（Ａ）24m 2 （Ｂ）36m 2Ｃ）48m 2 （Ｄ）72m 210.如图2，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是 ( )（Ａ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二.填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共30分）1.如果2m －1和5－m 是一个数a 的两个平方根，则m= ，a= .2.3x －9的平方根是0，则x= ；5+2y 的立方根是－3，则y= .3.当0＜a ＜1时，化简－= .4.在Rt △ABC 中，∠C=90º，若BC=8，AB=17，则AB 边上的高CD 的长为____米.5.如图3，△ABC 和△ACF 都是直角三角形，且∠B=∠CAF=90º，四边形CDEF 是正方形，如果AB=4，BC=3，AF=12，则这个正方形CDEF 的面积为 .6.如图4，从A 处到B 处有两条路，一条是直路AB ，另一条是先沿正西走400米到达C 处，然后沿正北再走300米到达B 处.如果走直路的速度是走第二条路速度的一半，而走第二条路所需的时间是7分钟，那么走直路所需的时间是 .Ａ Ｄ Ｃ B 图17.如图5，由Rt △的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形与正方形的面积之和为 cm.8.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“△”如下：当a ≥b 时，a △b=；当a ＜b 时，a △b=a. 则当x=2时，(1△x)－(3△x) 的值为 .9.已知+=0，则以a.b.c 为三边的三角形形状是 .10.已知数轴上两点A.B 到原点的距离是和2，则AB= .三.做一做，要注意认真审题！（本大题共40分）1.（每小题3分，共6分）计算：（1）－÷412+； （2）31251241－－.2.（每小题3分，共9分）用计算器完成下列各题：（1）求值：±（精确到0.01）；（2）比较大小：与－；（3）计算：（结果保留3个有效数字）.3.（8分）如图6所示，一个寻宝探险队从A 处出发探寻宝藏，他们向东行4千米到达C 点，然后又向正北方向行走2.5千米到达D 点，接着他们又向正东方向行走2千米到达E 点，最后他们又向正北方向行走5.5千米到达B 点，才找到了宝藏.若他们能直线行走，要少走多少路程？ A B C D E 图64.（9分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n0.09 9 900 90000 …0.3 3 30 300 …（1）从表中所给的信息中，你能发现什么规律？请将规律写出来； （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知=1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206；②206；③20600.5.（8分）如图7，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长2.5米，顶端在上运动，量得滑杆下端距点的距离为1.5米，当端点向右移动0.5米时，求滑杆顶端下滑多少米？四.探索创新，再接再厉！（本大题共20分）1.（10分）先阅读然后解答提出的问题：设a.b 是有理数，且满足a+b=3，求的值.解：由题意得(a －3)+(b+2) =0，因为 a.b 都是有理数，所以a A E C B D 图7图8－3，b+2也是有理数.由于是无理数，所以a －3=0，b+2=0，所以a=3，b=－2，所以==－8.问题：设x.y 都是有理数，且满足=17－4.求x+y 的值.2.（10分）如图8（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a 和b ，斜边长为c.图8（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.（1）画出拼成一个能验证勾股定理的图形.（2）用这个图形验证勾股定理. （3）假设图8（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图8（1）中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图（无需说明理由）.c c bc a a c b (2) (1)(4) bc a b c a b c aa cb (3) ca b b c a参考答案一.1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6. C 7.B 8.B 9.B10.C二.1.－4，81 2.3， －16 3.1－2 a 4. 5.169 6.4.9分钟 7.64 8.0 9.直角三角形 10.2+ 或 2－.三.1.（1）原式=2÷+1=2×+1=2；（2）原式=－0.3－0.4=－0.5.2.（1）±1.01；（2）＜－；（3）2.67.3.可把DE 平移与AC 在同一直线上，DC 平移与BE 在同一直线上，构成直角三角形，由勾股定理，得AB==10(千米)，而AC+DC+DE+BE=4+2.5+2+5.5=14(千米)，因此若他们能直线行走，要少走14－10=4(千米).4.（1）被开方数的小数点向右或向左每移动两位，算术平方根则也相应地向右或向左移动一位；（2）①0.1435；②14.35；③143.5.5.设的长为米，依题意得.因为AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90º，所以AC==2.因为BD=0.5，所以在中，2222222.5() 2.5(1.50.5)CE DE CD CD BD =-=-+=-+.所以2－x=1.5，x=0.5，即.答：梯子下滑0.5米.四.1.由题意得=17，y=－4，所以=17，所以x=5或－5，所以x+y 的值为1或－9.2.（1）示意图如图（3）所示，它是直角梯形.（2）因为直角梯形面积为：（a+b ）（a+b ） =；而直角梯形是由两直角边的长分别是a和b，斜边长为c的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的，所以其面积又为： ab×2+c2=ab+ c2.所以=ab+ c2，化简，得.（3）能，如图（4）所示.。
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.3简单的轴对称图形-等要三角形的性质与判定 练习题
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.3简单的轴对称图形-等要三角形的性质与判定【基础训练】1.若等腰三角形的顶角为100°,则它的底角度数为( )(A)80° (B)50° (C)40° (D)20°2.如图,在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为( )(A)10° (B)15°(C)40°(D)50°3.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)54.(2019绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为.5.(2020济宁附中)如图,已知BD平分∠ABC,AD∥BC,且AC=AD.(1)试说明:△ABD为等腰三角形;(2)判断∠C与∠D的数量关系,并说明理由.【综合训练】6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB,交BC于点D,AD=4,则BC的长为( C )(A)8 (B)4 (C)12 (D)67.(2019武威)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .8.如图,在△A B C中,点D在B C边上,B D=A D=A C,E为C D的中点.若∠CAE=16°,则∠B为度.9.(2019重庆A卷)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)试说明:FB=FE.【提高训练】10.(2019哈尔滨)图1,2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出以A C为底边的等腰直角△A B C,点B在小正方形顶点上;图1(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8.(保留作图痕迹)图2。
苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形压轴题练习
2. 在 △ ������������������中,
,������������ = ������������,经过点 C 的直线 l 与 AB 平行,点 D 为直线 l 上
的动点(不与点 C 重合),作射线 DA,过点 D 作射线������������ ⊥ ������������,交直线 BC 于点 E．
(2) 如图 3,若������������ ≠ ������������,
,
BN 与 AB 的位置关系,并说明理由．
,点 M 在线段 AB 上运动,请判断
7. 如图在等腰▵������������������中,������������ = ������������ = 20������������,������������ = 16������������,
5. 在 △ ������������������中,������������ = ������������,
交直线 BC 于点 Q．
,P 为直线 AC 上一点,过点 A 作������������ ⊥ ������������于点 D,
(1)如图 1,当 P 在线段 AC 上时,求证：������������ = ������������；
������→������→������方向运动,且速度为每秒 2cm,它们同时出发,设出发的时间为 t 秒．
(1)出发 2 秒后,求 △ ������������������的面积；
(2)当点 Q 在边 BC 上运动时,出发几秒钟后, △ ������������������能形成等腰三角形？
(3)当点 Q 在边 CA 上运动时,求能使 △ ������������������成为等腰三角形的运动时间．
且在 CM 的下方(沿 CM 顺时针方向)作等腰直角三角形 CMN,
苏科版八年级数学上册 第二章 2.2 轴对称的性质练习题
苏科版八年级数学上册上册第二章 2.2 轴对称的性质一、单选题1.下列说法错误的是（）A. 关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合B. 线段是轴对称图形C. 全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称D. 轴对称图形的对称轴至少有一条2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中符合题意的有（）⑴△ABC≌△A′B′C′⑵∠BAC=∠B′A′C′⑶直线L垂直平分CC′⑷直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.将一长方形纸片，按右图的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为( )A. 60°B. 75°C. 90°D. 95°4.如图,在△ABC中,AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上,连结BD,将△ABC沿BD折叠后,若点C恰好落在AB边上的点E处,则△ADE的周长为( )A. 5B. 6C. 7D. 85.如图，把一个正方形经过上折、右折、下方折三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）A. B. C. D.6.如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（）A. 40°B. 80°C. 90°D. 140°7.如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，点A，B分别落在A′、B′的位置上，EA′与BC相交于点F，已知∠1=130°，则∠2的度数是（）A. 40°B. 50°C. 65°D. 80°8.如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画（）条线段．A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为（）A.120°B.108°C.126°D.114°10.如图，在四边形 ABCD 中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 70°二、填空题11.如图，ΔABC是一个三角形纸片，其中AB=AC，∠A=36°，沿DE 折叠纸片，使点A落在点B处，则∠BEC= ________.12.将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC=27°，则∠ACD的度数为________．13.如图，点D、E分别在ΔABC的AB、AC边上，沿DE将ΔADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC=α，∠A′DB=β，且α<β，则∠A等于________(用含α、β的式子表示).14.如图,点P是直线AC外的一点,点D,E分别是AC,CB两边上的点,点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,则线段P1P2的长为________.15.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点F处，且点F在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为________cm.16.如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠ADB ＋∠BEC＋∠CFA＝________°.17.如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使顶点C落在△ABC内C′处，若∠A=75°，∠B=65°，∠1=40°，则∠2的度数为________．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．19.如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF 的周长为________(用含a的式子表示)．20.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn= ________．三、综合题21.作出已知图形△ABC 关于给定直线 l 的对称图形△A'B'C'.22.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是△ABE的对称轴,△BCE的周长为14,BC=6,求AB 的长.23.探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于________；（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=________；（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是________；（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由.24.如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1， P2是点P关于AB、AC的对称点，连结P1P2，分别交AB、AC于点D、E.（1）若∠A＝52°，求∠DPE的度数；（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1， P2与点A是否在同一直线上，并说明理由.25.ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在F C′上，则∠EFH的度数为________；（2）将长方形纸片的ABCD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′（B′、C′的位置如图所示），若∠B′FC′=18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′（B′、C′的位置如图所示），若∠EFH=β°，求∠B′FC′的度数为________．26.如图（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设∠AED的度数为x ，∠ ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．（2）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【考点】轴对称的性质，轴对称图形解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，符合题意，故本选项不符合题意；B、线段是轴对称图形，符合题意，故本选项不符合题意；C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定全等，故本选项符合题意；D、轴对称图形的对称轴至少有一条，符合题意，故本选项不符合题意．故答案为：C．【分析】根据轴对称的概念以及性质对各选项分析判断即可得解．2.【答案】 B【考点】轴对称的性质解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴①△ABC≌△A′B′C′，符合题意；②∠BAC=∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′=∠B′AC符合题意；③l垂直平分CC′，符合题意；④应为：直线BC 和B′C′的交点一定在l上，故本小题不符合题意．综上所述，结论正确的是①②③共3个．故答案为：B．【分析】轴对称的性质：①成轴对称的两个图形全等，②成轴对称的两个图形，对称点的连线被对称轴垂直平分，据此逐一判断即可.3.【答案】 C【考点】翻折变换（折叠问题）解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，∴∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，=90°，∴∠A′BC+∠E′BD=180°× 12即∠CBD=90°.故答案为：C.【分析】根据折叠的性质得到∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，再根据平角的定义有∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，易得A′BC+∠E′BD=180°× 12 =90°，则∠CBD=90°。
八年级上册第二章《轴对称图形》章节专题训练(无答案 )
八年级上册轴对称章节专题训练专题一：等腰三角形中的多解问题1.有个等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为 cm.2.等腰三角形的一边长为2，周长为5，那么它的腰长为 cm.3.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=20°，点D 在直线BC 上，且CD=AC ，连接AD ，则∠ADC= .4.已知等边三角形ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED=EC ，若AE=6，则CD 的长为 .5.在等腰三角形ABC 中，BD 是AC 边上的高，且AC BD 21 ，则等腰三角形ABC 的底角度数为 . 6.（1）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为 .（2）已知一个等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .7.如图，已知点C 是线段AB 的中点，点 D 是线段BC 上的定点（不同于点B,C ），过点D 作直线l 垂直于线段AB ，若点P 是直线l 上的任一点，连接PA ，PB ，则能使△PAB 称为等腰三角形的点P 一共有 .个（填写确切数字）.8.已知等腰三角形的底边长为10cm ，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长为5cm ，那么这个三角形的腰长为 cm.9.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm 和15cm 两部分，则它的三边长是 cm.10.已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD 的度数.11.以正方形ABCD 的一边CD 为边做等边三角形CDE.连接AE 、BE.（1）画出图形；（2）求∠AEB 的度数.专题二：各类作图题1.如图，点A 、B 、C 处是新建的三个居民小区，我们要在到三个小区的距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置.2.如图，已知直线l及其两侧的两点A、B.（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB；（3）在直线l上求一点O，使到AB两点之间的距离之和最小.（1）（2）（3）3.如图，两条公路OA和OB相交于点O，在两条公路中间的点P处有一油库，若在两条公路上各设置一个加油站，试问设置在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走路程最短？并说明你的理由.4.如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.6.如图，已知P为∠AOB内部任意一点，分别在OA、OB上，求作P1、P2，使△PP1P2的周长最小.7.（1）如图（1），在AB 直线一侧有C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由；（2）如图（2），在∠AOB 内部找一点P ，是否存在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由；（3）如图（3），在∠AOB 内部有两点M 、N ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N 四点组成周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由.8.如图，直线c b a ,,表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？专题三：角平分线与垂直平分线相关的辅助线1.如图，AB=CD ，AC 、BD 的垂直平分线EM 、EN 相交于点E.求证：∠ABE=∠CDE.2.如图，在△ABC 中，D 为BC 的的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 交于点F ，EG ⊥AC 交AC 的延长线于点G.试问：BF 与CG 的大小关系如何？证明你的结论.3.如图，D为∠ABC内一点，点M在边BA上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°.求证：BD平分∠ABC.4.已知：如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，求证：∠ABE=∠CDE.5.如图，在△ABC中，O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，O′是∠ABC，∠ACB外角的平分线的交点. （1）点O′在∠A的平分线上吗？为什么？（2）求证：∠BOC+∠BO′C=180°.专题四：轴对称与三角形相关的面积问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D.若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ） A. 15 B. 30C. 45D. 602.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是30cm ²，AB=8cm ，BC=7cm ，则DE= .3.如图，已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD=3，则△ABC 的面积是 .4.如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，AB=6，BC=8.如果28=∆ABCS ，那么DE= .5.如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则CAO BCO ABO S S S ::∆∆= .6.如图，已知△ABC 的周长是20，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，若△ABC 的面积是30，则OD= .7.如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）求证：BE=BF ；（2）若△ABC 的面积为70，AB=16，DE=5，求BC 的长.专题五：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则三角形CDE的周长为 .2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长为 .3.如图，BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，若EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .4.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC保持不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.当∠BAE=90°，AF=5时，CD的长为 .5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF=2，则AC的长为 .6.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,AC,BD相交于点E,点G,H分别是AC,BD的中点,如果∠BEC=80°,那么∠GHE等于 .7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB中点，AD，CE相交于F，AD=DB.若∠B=35°，则∠DFE= .8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD=58°，则∠EBD 的度数为 .9.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD=CB ，E 为BD 的中点，F 为AC 的中点，连接EF 交CD 于点M ，连接AM.（1）求证：EF=AC 21； （2）若∠BAC=45°，求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系.10.如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，BC=10，EF=4.（1）求△MEF 的周长； （2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF 的度数.专题六：直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半1.如图，AC=BC=10cm ，∠B=15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为 .2.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥OB 于点D ，若PD=2cm ，则PC= cm.3.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M,N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= .4. 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=6,点E 在AB 边上,D 是BC 边上一点(不与点B ,C 重合),且AE=ED ,则线段AE 的最小值是 .5.如图,在△ABC 中,∠C=60°,AD 是BC 边上的高,E 为AD 的中点,连接BE 并延长交AC 于点 F.若∠AFB=90°,EF=2,则BF 的长为 .6.顶角为30°的等腰三角形,若腰长为2,则腰上的高为 .7.如图,在等边三角形ABC 中,BC=2,D 是AB 的中点,过点D 作DF ⊥AC 于点F ,过点F 作FE ⊥BC 于点E ,则BE 的长为 .8.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为 .9.如图,在四边形ABCD 中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD 的长.10.问题探究:如图①,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,为探究Rt △ABC 中30°角所对的直角边AC 与斜边AB 的数量关系,某学习小组成员已经添加了辅助线.(1)请叙述辅助线的添加方法,并完成探究过程.(2)探究应用:如图②,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D 在线段CB 上,以AD 为边作等边三角形ADE ,连接BE ,为探究线段BE 与DE 之间的数量关系,组长佳佳已经添加了辅助线:取AB 的中点F ,连接EF.则线段BE 与DE 之间的数量关系是 ,说明理由.微专题七：等腰三角形的动点多解问题1.如图，在ABC ∆中，90C∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，若动点P 从点C 开始，按C A B →→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设点P 运动的时间为t 秒.(1)则AC = cm ;(2)当BP 平分ABC ∠，求此时点P 的运动时间t 的值;(3)点P 运动过程中，BCP ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值;若不能请说明理由.2.如图，在ABC ∆中，4,5,3AB BCAC ===，动点P 从点C 出发，沿着CB 运动，速度为每秒1个单位，到达点B 时运动停止，设运动时间为t 秒，请解答下列问题:(1)求BC 上的高; (2)当t 为何值时，ACP ∆为等腰三角形?3.如图，在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，4AD =，2CD =，点B 在AD 的延长线上，2BD =，连接BC . (1)求BC 的长;(2)动点P 从点A 出发，向终点B 运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒.①当t 为何值时，PDC BDC ∆≅∆；②当t 为何值时，PBC ∆是以PB 为腰的等腰三角形?4.如图，已知△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，动点P 从点C 出发，沿着△ABC 的三条边逆时针走一圈回到C 点，速度为2cm/s ，设运动时间为t 秒．（1）判断△ABC 的形状，并求AB 边上的高；（2）t 为何值时，△ACP 为等腰三角形？ （3）另有一点Q,从点C 开始,按顺时针走一圈回到C 点,且速度为每秒1cm,若P 、Q 两点同时出发,当P 、Q 中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t 为何值时,直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分?5.如图，△ABC 中，︒=∠90C ，,6,8cm BC cm AC ==若动点P 从点C 开始，按C B A C →→→的路径运动，且速度为每秒cm 2，设运动的时间为t 秒。
鲁教版七年级数学上第二章轴对称 全章练习题
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.1轴对称现象【基础训练】1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )2.(2020广饶期中)下列是轴对称图形的是( )3.下面哪个选项的右边图形与左边图形成轴对称( B )4.下列“数字图形”中,是轴对称图形的数字有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5.下列轴对称图形中,对称轴条数最多的是( )6.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是(填序号).7.在艺术字中,有些字母是轴对称图形,下面的5个字母中,是轴对称图形的有个.8.如图所示,它们都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称.【综合训练】9.下面各选项中右边图形与左边图形成轴对称的是( )10.下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形,则四个图形中是轴对称图形的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11.如图中的各图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )(A)13 (B)11 (C)10 (D)812.画出下列各图形的对称轴.(1) (2) (3)13.如图是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形(画三种不同的方案).【提高训练】14.(核心素养—直观想象)如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形使其成为轴对称图形,这样的白色小方格有个.15.小慧学习了轴对称以后,忽然想起了过去做过的一道题:有一组数排列成如图方阵,试计算这组数的和.小慧想:方阵就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢?于是,她动手试了试,竟得到了非常巧妙的方法.请你试一试,找一找她用的方法.鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.2探索轴对称的性质【基础训练】1.下列说法不正确的是( )(A)两个关于某直线对称的图形一定全等(B)轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴(C)对称图形的对称点一定在对称轴的两侧(D)平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称2.(2020莱州期中)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点.下列结论:①AM=BM;②AP=BN;③∠MAP=∠MBP;④∠ANP=∠BNM,其中错误的是 .(填序号)3.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠B=55°,现将△ADE沿DE折叠,点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为 .4.如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.(1)线段AD与MN的关系是什么?(2)求∠F的度数;(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.5.如图,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′;(2)若BC=3,∠A=17°,则B′C′的长为多少?∠A′的度数为多少?【综合训练】6.如图,△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称,∠BCA=35°,∠D=80°,则∠BAD的度数为( )(A)170°(B)150°(C)130°(D)110°7.如图,△ABC的周长为6 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 cm.8.如图所示的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个.9.如图,已知点O是∠APB内的一点,M,N分别是点O关于PA,PB的对称点,连接MN,与PA,PB 分别相交于点E,F,已知MN=6 cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM,PN,若∠APB=α,求∠MPN的大小(用含α的代数式表示).【提高训练】10.(实际应用题)如图,在一条大的河流中有一形如三角形的小岛,岸与小岛有一桥相连.现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点.水利部门在岸边设立了一个观测站,每天有专人从观测站步行去三个取样点取样,然后带回去化验.请问,三个取样点应分别设在什么位置,才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.1线段的垂直平分线的性质【基础训练】1.根据如图中尺规作图的痕迹,可判断AD 一定为三角形的( )(A) 角平分线(B)中线 (C)高线 (D)都有可能2.如图,在△AEF 中,尺规作图如下:分别以点E,点F 为圆心,大于21EF 的长为半径作弧,两弧相交于G,H 两点,作直线GH,交EF 于点O,连接AO,则下列结论正确的是( ) (A)AO 平分∠EAF (B)AO 垂直平分EF (C)GH 垂直平分EF (D)GH 平分AF3.(2020莱州期中)如图,在△ABC 中,AC=6,BC=3,边AB 的垂直平分线交AC 于点D,则△BDC 的周长等于( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)114.如图,AD ⊥BE,BD=DE,点E 在AC 的垂直平分线上,若AB=6 cm,BD=3 cm,则DC 的长为( )(A)3 cm (B)6 cm (C)9 cm (D)12 cm5.如图,在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE=8,△ABD 的周长是30,则△ABC 的周长是( )(A)30 (B)38 (C)40 (D)466.如图,在△ABC 中,AB=AC,MN 是AB 的垂直平分线.(1)若AB+BC=10 cm,求△BNC的周长;(2)若△BNC的周长为20 cm,BC=8 cm,求AB的长.【综合训练】7.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,则AE的长为( )(A)3 cm (B)6 cm (C)12 cm (D)16 cm8.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )(A)1处(B)2处(C)3处(D)4处9.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为.10.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?①②【提高训练】11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )(A)AB (B)DE (C)BD (D)AF鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.2简单的轴对称图形-角平分线的性质【基础训练】1.(2020济宁附中)如图,MQ 为∠NMP 的平分线,MP ⊥NP,QT ⊥MN,垂足分别为点P,T,下列结论不正确的是( )(A)PQ MN S MNQ ⋅=21△ (B)∠MQT=∠MQP (C)MT=MP (D)∠NQT=∠MQT 2.如图,用直尺和圆规作一个角的平分线,是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,由作图所得条件,判定三角形全等运用的方法是( )(A)SSS (B)AAS (C)SAS (D)ASA3.如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA 于点D,PD=6,则点P 到边OB 的距离为( )(A)5 (B)6 (C)3 (D)44.(2020广饶期中)如图,已知在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,BE 平分∠ABC,交CD 于点E,BC=5,DE=2,那么△BCE 的面积为 .5.(2020广饶期中)如图,AB ∥CD,以点A 为圆心,小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB,AC 于E,F 两点,再分别以点E,F 为圆心,大于EF 21的长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD 于点M.(1)若∠ACD=114°,求∠MAB 的度数;(2)若CN ⊥AM,垂足为点N,求证:△ACN ≌△MCN.【综合训练】6.(2019烟台)已知∠AOB=60°,以点O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB 于点M,N,分别以点M,N 为圆心,以大于MN 21的长度为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点P,以OP 为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为( )(A)15° (B)45° (C)15°或30°(D)15°或45°7.(2019湖州)如图,已知在四边形A B C D中,∠B C D=90°,B D平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )(A)24 (B)30 (C)36 (D)428.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .9.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,E点恰为AB的中点.若DE=1 cm,DB=2 cm,求AC的长.10.如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.【提高训练】11.已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,请说明DE与DF相等的理由.鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.3简单的轴对称图形-等要三角形的性质与判定【基础训练】1.若等腰三角形的顶角为100°,则它的底角度数为( )(A)80° (B)50° (C)40° (D)20°2.如图,在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为( )(A)10° (B)15°(C)40°(D)50°3.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)54.(2019绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为.5.(2020济宁附中)如图,已知BD平分∠ABC,AD∥BC,且AC=AD.(1)试说明:△ABD为等腰三角形;(2)判断∠C与∠D的数量关系,并说明理由.【综合训练】6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB,交BC于点D,AD=4,则BC的长为( C )(A)8 (B)4 (C)12 (D)67.(2019武威)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .8.如图,在△A B C中,点D在B C边上,B D=A D=A C,E为C D的中点.若∠CAE=16°,则∠B为度.9.(2019重庆A卷)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)试说明:FB=FE.【提高训练】10.(2019哈尔滨)图1,2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出以A C为底边的等腰直角△A B C,点B在小正方形顶点上;图1(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8.(保留作图痕迹)图2鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.4利用轴对称进行设计【基础训练】1.第24届冬季奥林匹克运动会,将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中,设计者常常利用对称性进行设计,下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形,其中不是轴对称图形的是( )2.剪纸是中国的民间艺术,剪纸方法很多,下面是一种剪纸方法的图示(现将纸折叠,然后再剪,展开即得到图案).下面四个图案不能用上述方法剪出的是( )3.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次,并在如图位置上剪去一个小正方形,然后把纸片展开,得到的图形应是( )4.国际数学家大会的会标如图1所示,把这个图案沿图中虚线剪开后,能设计成如图2所示的四个图形,则其中是轴对称图形的有个.5.如图,现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形,将其部分涂黑.如图①②所示.观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:①都是轴对称图形;②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图③、图④内分别设计一个新图案,使图案具有上述两个特征.【综合训练】6.将一张正方形纸片按如图方式经过两次对折,并剪出一个四边形小洞后展开铺平,得到的图形是( )7.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.8.把两个相同的正方形剪一剪,拼一拼(这里的剪拼是无重叠且无缝隙的),拼成一个大正方形,除了如图所示的方法外,请你再用另外两种不同的方法剪拼一下,画出示意图.9.认真观察4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题.(1)利用所学知识,请写出这四个图案都具有的特征:特征1: ;特征2: ;(2)请在图中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征.【提高训练】10.用两个圆,两个正三角形,两条线段设计三个轴对称图案,并说明你所作图案表达的含意.。
苏科版八年级上第二章《轴对称图形》全章提优练习(含答案)【14份】
苏科版八年级上第二章《轴对称图形》全章提优练习（含答案）第1课时轴对称与轴对称图形1.下列图形中，对称轴的数量小于3的是( )n 且n为整数).如图，请你2.已知各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，也称为正n边形(这里3(1)边形有条对称轴(2)当n越来越大时，正多边形接近于，该图形有条对称轴.3.小明学习了轴对称知识后，忽然想起了参加数学兴趣小组时老师布置的一道题，当时小明没做出来，题目是这样的:有一组数据排列成方阵，如图.试用简便方法计算这组数据的和.小明想:不考虑每个数据的大小，只考虑每个数据的位置，这个图形是个轴对称图形，能不能用轴对称思想来解决这个问题呢?小明顺着这个思路很快解决了这个题目，请你写出他的解题过程.第2课时 轴对称的性质(1)1.如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A '处，点B 落在点B '处，若240∠=︒，则1∠的度数为( )A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°2.如图，点P 关于,OA OB 的对称点分别是12,P P ，12PP 分别交,OA OB 于点,D C ,12P P =16 cm ，则PCD ∆的周长为 cm.3.如图，O 为ABC ∆内部一点, 132OB =.(1)分别画出点O 关于直线,AB BC 的对称点,P Q ;(2)请指出当ABC ∠的度数为多少时，PQ =7，并说明理由;(3)请判断当ABC ∠的度数不是(2)中的度数时，PQ 的长度是小于7还是大于7，并说明你的判断的理由.第3课时 轴对称的性质(2)1.如图，点,A B 在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C ，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C 在图中共有( )A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个2.如图，在2×2的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的ABC ∆.请你找出网格纸中所有与ABC ∆成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的不角形共有 个.3.如图，在由边长为1的正方形组成的6×5方格中，点,A B 都在格点上.(1)在给定的方格中将线段AB 平移到CD ，使得四边形ABDC 是长方形，且点,C D 都落在格点上.画出四边形ABDC ,并叙述线段AB 的平移过程.(2)在方格中画出ACD ∆关于直线AD 对称的AED ∆.(3)求五边形AEBDC 的面积.第4课时 轴对称的性质—习题课7.如图，线段AB 在直线l 的一侧，请在直线l 上找一点P ，使PAB ∆的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.2.如图，在直线l 上找一点Q ，使得,QA QB 与直线l 的夹角相等.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.3. (1)如图①, P 是AOB ∠内一点，在,OA OB 上分别找点,C D ，使得PCD ∆的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.(2)如图②, ,P Q 是AOB ∠内的两点，在,OA OB 上分别找点,C D ，使得以,,,P Q C D 为顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.第5课时 设计轴对称图案1.在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按如图①②所示的方式对折，然后按图③中的虚线裁剪成图④样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是( )2.在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形按如图所示的方式摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种.3.在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC 和格点三角形DEF ，且ABC ∆和DEF ∆ 关于某条直线成轴对称，请在如图①~⑥所示的网格中画出六个这样的DEF ∆.(每种方案均不相同)第6课时 线段、角的轴对称性(1)1.如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点,,E D EC = 4 , ABC ∆的周长为23，则ABD ∆的周长为( )A. 13B. 15C. 17D. 192.如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于点,,D E AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点,F G .若AEG ∆的周长为2018，则线段BC 的长为 .3.如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点,F D 为线段CE 的中点，且18,72CAD ACB ∠=︒∠=︒.求证: BE AC =.第7课时 线段、角的轴对称性(2)1.设P 是ABC ∆内一点，满足PA PB PC ==，则P 是ABC ∆ ( )A.三条内角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点2.如图，在ABC ∆中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E .若EDC ∆的周长为24, ABC ∆与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为 .3.在ABC ∆中，,AB AC O =为平面上一点，且OB OC =.点A 到BC 的距离为8，点O 到BC 的距离为3.求AO 的长.第8课时 线段、角的轴对称性(3)1.如图，ABC ∆的面积为6,AC =3，现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的点C '处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是( )A. 3B. 4C. 5. 5D. 102.如图，//,,AB CD BP CP 分别平分,,ABC DCB AD ∠∠过点P ，且与AB 垂直.若AD =8，则点P 到BC 的距离为 .3.如图，MN 为ABC ∆的边AC 的垂直平分线，过点M 作ABC ∆另外两边,AB BC 所在直线的垂线，垂足分别为,D E ,且AD CE =，作射线BM .求证: BM 平分ABC ∠.第9课时 线段、角的轴对称性(4)1.如图，,ABC EAC ∠∠的平分线,BP AP 交于点P ，过点P 作,PM BE PN BF ⊥⊥，垂足分别为,M N .下列结论:①CP 平分ACF ∠;②180ABC APC ∠+∠=︒;③AM CN AC +=;④2BAC BPC ∠=∠.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③④D.①③2.如图，AD 是ABC ∆的角平分线，,DE DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，连接EF ,交AD 于点O .下列结论:①DE DF =;②OA OD =;③AD EF ⊥;④AE DF AF DE +=+; ⑤AD 垂直平分EF .其中一定正确的是 .(填序号)3.如图.在ABC ∆中，AB AC >，边BC 的垂直平分线DE 交ABC ∆的外角BAM ∠的平分线于点D ,垂足为,E DF AB ⊥，垂足为F .求证: BF AC AF =+.第10课时 等腰三角形的轴对称性(1)1.如图，在ABC ∆中，55,30B C ∠=︒∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD ∠的度数为( )A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°2.如图，在ABC ∆中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且,50AC CD BD BE A ===∠=︒，则CDE ∠的度数为 .3.如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒, ,D E 为斜边AB 上的两点，且,BD BC AE AC ==，求DCE ∠的度数.第11课时 等腰三角形的轴对称性(1)—习题课1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的底角的度数为( )A. 30°B. 75°C. 15°或30°D. 75°或15°2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒,60ABC ∠=︒，在边AC 所在的直线上找一点P ，使ABP ∆是等腰三角形，此时APB ∠的度数为 .3.在ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交所成的锐角为40°，求B ∠的度数.第12课时 等腰三角形的轴对称性(2)1.如图，在ABC ∆中，,36,,AB AC A BD CE =∠=︒分别是,ABC ACB ∠∠的平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.在ABC ∆中，50A ∠=︒，当B ∠的度数为 时，ABC ∆为等腰三角形.3.如图①，在ABC ∆中，,,AB AC ABC ACB =∠∠的平分线交于点O ，过点O 作//EF BC 交,AB AC 于点,E F .(1)图中有几个等腰三角形?猜想EF 与,BE CF 之间有怎样的数量关系，并说明理由.(2)如图②，若AB AC ≠，其他条件不变，则图中还有等腰三角形吗?如果有，分别写出来;另外在(1)中EF 与,BE CF 之间的数量关系还存在吗?(3)如图③，若在ABC ∆中, ABC ∠的平分线BO 与ABC ∆的外角平分线交于点O ，过点O 作//OE BC 交AB 于点E 、交AC 于点F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与,BE CF 之间的数量关系又如何?并说明你的理由.第13课时 等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.如图，120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠，且OP =2.若点,M N 分别在,OA OB 上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上2.如图，在等边三角形ABC 中，,,AE CD AD BE =相交于点,P BQ AD ⊥于点Q ,则线段,BP PQ 的数量关系为 .3.如图，C 为线段AB 上一点，ACM ∆,CBN ∆是等边三角形.,AN BM 相交于点,,O AN CM 交于点P , ,BM CN 交于点Q ，连接PQ .(1)求证: AN MB =;(2)求AOB ∠的度数;(3)求证: //PQ AB .第14课时 等腰三角形的轴对称性(3)1.如图，在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥ ,垂足分别为,E F .若M 是BC 的中点，则图中等腰三角形有( )A. 1个B. 3个C. 4个D. 5个2.如图，在四边形ABCD 中，90BCD BAD ∠=∠=︒ , ,AC BD 相交于点,,E G H 分别是,AC BD 的中点.如果80BEC ∠=︒，那么GHE ∠的度数为 .3.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在边AC 上(不与点,A C 重合), DE AB ⊥于点E ，连接,BD F 为BD 的中点.试猜想A ∠与CEF ∠的关系并证明.第2章 轴对称图形第1课时 轴对称与轴对称图形1.D2. 3 4 5 6 7 8(1) n(2)圆 无数3. 从方阵的数据看出，正方形的一条对角线上的数据都是10.若把这条对角线所在的直线作为对称轴，把这个方阵对折，对称轴两侧重合的小正方形内的数据之和都是10，相加后如图所示，这样方阵中的所有数据之和为1010100⨯=第2课时 轴对称的性质(1)1.A2. 163. (1)如图，过点O 画OH AB ⊥，垂足为H ，在垂线段OH 的延长线上取一点P ，使得PH OH =P ，此时点P 就是点O 关于直线AB 的对称点，同理画出点Q .(2)当90ABC ∠=︒时，7PQ =理由：如图，连接BP 、BQ∵点O 、P 关于直线AB 对称∴直线AB 垂直平分OP∴90BHO BHP ∠=∠=︒，PH OH =∵BH BH =∴BHO BHP ∆≅∆ ∴132OB PB ==，OBH PBH ∠=∠ 同理132OB QB ==，OBC QBC ∠=∠∴1133722PB QB +=+= 若7PQ =，则PB QB PQ +=，此时P 、B 、Q 三点共线∴180PBQ ∠=︒ ∴1902ABC OBH OBC PBQ ∠=∠+∠=∠=︒ (3)当90ABC ∠≠︒时，7PQ <理由：∵90ABC ∠≠︒∴P 、B 、Q 三点不在同一直线上，此时构成PBQ ∆∴PB BQ PQ +>.由(2)，得7PB BQ +=∴7PQ <第3课时 轴对称的性质(2)1.D2. 53.(1)如图，将线段AB 先向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长度，得线段CD (平移过程不唯一).(2)如图，画点C 关于直线AD 的对称点E ，连接AE 、DE ，则AED ∆即为所求. ( 3)1152(35)21322ACD AEBDC AEBD S S S ∆=+=⨯⨯+⨯+⨯=五边形梯形第4课时 轴对称的性质—习题课1. 由干线段AB 的长度是固定的，要使PAB ∆的周长最短，只要PA PB +最短即可.如图，过点A 作它关于直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 于点P ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆就是周长最短的三角形，∴点P 即为所求.2.如图，过点A 作它关干直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 于点Q .连接QA 、QB ，此时AQH BQD ∠=∠，∴点Q 即为所求.3. (1)如图①，过点P 分别作关于射线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接12P P ，分别交OA 、OB 于点C 、D ，连接PC 、PD 、CD ，此时PCD ∆的周长最短，∴点C 、D 和PCD ∆即为所求.(2)如图②.过点P 、Q 分别作射线OA 、OB 的对称点1P 、1Q ，连接11PQ ，分别交OA 、OB 于点C 、D ，连接PC 、PQ 、QD 、CD ，此时四边形PCDQ 的周长最短，∴点C 、D 和四边形PCDQ 即为所求.第5课时 设计轴对称图案1.A2. 133.要使DEF ∆和ABC ∆于某条直线成轴对称，关键是确定适当的对称轴.再根据轴对称的性质画出符合条件的图案，可以以33⨯的正方形网格图的对称轴为对称轴画出所求的DEF ∆，有四个不同位置的三角形;也可以以ABC ∆的边AC 、BC 的中点连线所在的直线为对称轴画出所求的DEF ∆，有一个三角形;还可以把过ABC ∆的顶点C 与边AB 平行的直线作为对称轴画出所求的DEF ∆，也有一个三角形.如图①~⑥中的DEF ∆即为所求第6课时 线段、角的轴对称性(1)1.B2. 20183. 连接AE ，∵EF 是AB 的垂直平分线∴AE BE =∵在ADC ∆中.，18CAD ∠=︒，72ACB ∠=︒∴18090ADC CAD ACB ∠=︒-∠-∠=︒即AD EC ⊥∵D 为线段CE 的中点∴ED CD =∴AD 垂直平分EC∴AE AC =∴BE AC =第7课时 线段、角的轴对称性(2)1.D2. 63.∵AB AC =∴点A 在线段BC 的垂直平分线上∵OB OC =∴点O 也在线段BC 的垂直平分线上∴AO 所在的直线即为线段BC 的垂直平分线.设直线AO 与BC 交于点M .由题意，得8,3AM OM ==如图①.当点A 、O 在BC 的同侧时，835AO AM OM =-=-=;如图②，当点A 、O 在BC 的异侧时，8311AO AM OM =+=+=第8课时 线段、角的轴对称性(3)1.A2. 43.连接MA 、MC∵点M 在AC 的垂直平分线上∴MA MC =∵,MD AB ME BC ⊥⊥∴90ADM CEM ∠=∠=︒在Rt MAD ∆和Rt MCE ∆中MA MC AD CE=⎧⎨=⎩ ∴Rt MAD Rt MCE ∆≅∆∴点M 在ABC ∠的平分线上，即BM 平分ABC ∠.第9课时 线段、角的轴对称性(4)1.B2. ①③④⑤3.如图.在ABC ∆中，AB AC >，边的垂直平分线DE 交ABC ∆的外角BAM ∠的平分线于点D ,垂足为,E DF AB ⊥，垂足为F .求证: BF AC AF =+.3.过点D 作DN MC ⊥，垂足为N ，连接DB 、DC .∵DN MC ⊥,DF AB ⊥∴90AND AFD ∠=∠=︒∵AD 平分BAM ∠∴NAD FAD ∠=∠在DNA ∆和DNA ∆中，AND AFD NAD FAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DNA DFA ∆≅∆∴,AN AF DN DF ==∵DE 是边BC 的垂直平分线 ∴DB DC =∵DN MC ⊥,DF AB ⊥ ∴90DNC DFB ∠=∠=︒在Rt DFB ∆和Rt DNC ∆中DB DC DF DN =⎧⎨=⎩∴Rt DFB Rt DNC ∆≅∆∴BF CN =∵CN AC AN AC AF =+=+∴BF AC AF =+第10课时 等腰三角形的轴对称性(1)1.A2. 52.5°3.设,BDC x AEC y ∠=∠=∵BD BC =∴BDC BCD x ∠=∠=∵BDC ∆的内角和为180°∴1802B x ∠=︒-同理可求1802A y ∠=︒-∵在ACB ∆中，90ACB ∠=︒∴90A B ∠+∠=︒即1802180290x y ︒-+︒-=︒整理，得135x y +=︒∵DEC ∆的内角和为180°第11课时 等腰三角形的轴对称性(1)—习题课1.D2. 15°或30°或75°或120°3.分三种情况讨论:①当顶角BAC ∠为锐角时，如图①.∵DE 垂直平分AB∴90ADE ∠=︒∵40AED ∠=︒∴在Rt ADE ∆中，904050A ∠=︒-︒=︒∵AB AC = ∴1(18050)652B C ∠=∠=︒-︒=︒ ②当顶角BAC ∠为直角时，BA AC ⊥，此时//DE AC ，不合题意，舍去.③当顶角BAC ∠为钝角时，如图②.∵DE 垂直平分AB∴90ADE ∠=︒∵40AED ∠=︒∴在Rt ADE ∆中，50BAE ∠=︒∵BAE B C ∠=∠+∠∴50B C ∠+∠==︒∵AB AC = ∴150252B C ∠=∠=⨯︒=︒ 综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒第12课时 等腰三角形的轴对称性(2)1.D2. 50°或80°或65°2.在ABC ∆中，50A ∠=︒，当B ∠的度数为 时，ABC ∆为等腰三角形.3. (1)图中有5个等腰三角形：ABC ∆、AEF ∆、OBC ∆、EBO ∆、FOC ∆EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =+理由：∵BO 平分ABC ∠∴EBO OBC ∠=∠∵//EF BC∴EOB OBC ∠=∠∴EBO EOB ∠=∠∴BE OE =同理可证CF OF =∴EF OE OF BE CF =+=+(2)若AB AC ≠，则图中仍旧存在2个等腰三角形：EBO ∆和FOC ∆，EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =+仍旧存在.(3)图中存在等腰三角形EBO ∆和FOC ∆，EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =- 理由：∵BO 平分ABC ∠∴EBO OBC ∠=∠∵//EF BC∴EOB OBC ∠=∠∴EBO EOB ∠=∠∴BE OE =同理可证CF OF =∴EF OE OF BE CF =-=-第13课时 等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.D2.2BP PQ =3. (1)如图，∵ACM ∆,CBN ∆都是等边三角形∴6160∠=∠=︒,,AC CM CN BC ==∵180ACB ∠=︒∴360∠=︒,120ACN MCB ∠=∠=︒在ACN ∆和MCB ∆中AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACN MCB ∆≅∆∴AN MB =(2)如图，由(1)，知ACN MCB ∆≅∆∴54∠=∠∵OQN ∆与CQB ∆的内角和均为180°，且OQN CQB ∠=∠∴160NOQ ∠=∠=︒∵180AOB NOQ ∠+∠=︒∴120AOB ∠=︒(3)如图，∵160∠=︒，360∠=︒∴31∠=∠在PCN ∆和QCB ∆中3154CN CB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴PCN QCB ∆≅∆∴PC QC =又360∠=︒∴PCQ ∆为等边三角形∴260∠=︒∴21∠=∠∴//PQ AB第14课时 等腰三角形的轴对称性(3)1.D2. 10°3. A CEF ∠=∠ 证明：,EBF x CBF y ∠=∠=∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒∴1809090A x y x y ∠=︒-︒--=︒--∵90ACB ∠=︒，F 为BD 的中点 ∴12CF BD BF == ∴FCB FBC y ∠=∠=∴2DFC FCB FBC y ∠=∠+∠=∵DE AB ⊥，F 为BD 的中点 ∴12EF BD BF == ∴FEB FBE x ∠=∠=∴2DFE FEB FBE x ∠=∠+∠=∴22EFC DFE DFC x y ∠=∠+∠=+ 又∵12CF BD =，12EF BD = ∴CF EF =∴CEF ECF ∠=∠∵CEF ∆的内角和为180° ∴11(180)(18022)9022CEF EFC x y x y ∠=︒-∠=︒--=︒-- ∴A CEF ∠=∠。
七年级数学上册第二章轴对称达标检测卷鲁教版五四制
第二章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题,每小题3分,共36分)1．下面所给的图形是轴对称图形的是( )2．如图,弹性小球从点P出发,沿所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时入射角等于反射角(即∠1＝∠2,∠3＝∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点,第2次碰到长方形边上的点记为B点,……第2 020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A．A点B．B点C．C点D．D点3．如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,若∠A＝50°,∠C＝20°,则∠B′的度数为( ) A．110° B．70° C．90° D．30°4．下列说法正确的是( )A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是轴对称图形,它的对称轴是斜边上的中线所在的直线D．等腰三角形有3条对称轴5．如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )A．AC,BC两边上的高的交点处 B．AC,BC两边上的中线的交点处C．AC,BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A,∠B两内角平分线的交点处6．如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A＝60°,∠ABD＝24°,则∠ACF的度数为( )A．48° B．36° C．30° D．24°7．小明和哥哥并排站在镜子前,小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示,那么哥哥球衣上的号码实际是( )A．25 B．52 C．55 D．228．如图,将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折,然后剪下一个小三角形．将纸片打开,则打开后的图形是( )9．如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC的长为5,腰AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,连接BE,则△BEC的周长为( )A．11 B．12 C．13 D．1410．如图所示的轴对称图形中,对称轴的总数量是( )A．16条 B．15条 C．14条 D．13条11．如图,3×3方格图中,将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图,四边形ABCD中,∠C＝50°,∠B＝∠D＝90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题(本大题共6道小题,每小题3分,共18分)13．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,AB＝10,动点P在边AB上运动(不与端点重合),点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2.则在点P的运动过程中,线段P1P2的长的最小值是________．14．在等腰三角形ABC中,AB＝AC,腰AB上的高与AC的夹角为40°,则该等腰三角形顶角的度数为____________．15．如图,在△ABC中,AB＝3,AC＝4,BC＝5,EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点,则|PA －PB|的最大值为________．16．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,点E,F为AD上的两点,若△ABC的面积为12,则图中阴影部分的面积是________．17．如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AD平分∠BAC,交边BC于点D,如果BD＝2,AC＝7,那么△ADC 的面积等于________．18．如图,∠ABC＝30°,点D是∠ABC内的一点,且DB＝9,若点E,F分别是射线BA,BC上异于点B 的动点,则△DEF的周长的最小值是________．三、解答题(本大题共7道小题,19－21题每题8分,22－24题每题10分,25题12分,共66分) 19．作图题：(不写画法,保留作图痕迹)如图,在小河的同旁有甲、乙两个村庄,现计划在河岸AB上建一个水泵站,向甲、乙两村供水,用以解决村民用水问题．(1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等,请你在图①中,确定水泵站M在河岸AB上建造的位置；(2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的材料最省,请你在图②中,确定水泵站M在河岸AB上建造的位置．20．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC,∠BAD＝40°,AD＝AE.求∠CDE的度数．21．如图,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,作BO,CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E,F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．22．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE＝CE.试说明：(1)△AEF≌△CEB；(2)∠ABF＝2∠FBD.23．如图,在四边形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,垂足为点O.(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是,它的对称轴是什么？(2)图中有哪些相等的线段？(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段,并说明它们的大小关系．24．如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时,∠BAD＝________°,∠DEC＝________°,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变________．(填“大”或“小”)(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE？请说明理由．(3)在点D的运动过程中,是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在,请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在,请说明理由．25．如图,已知等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,AD⊥BC于D,点P是BA延长线上一点,点O 是线段AD上一点,OP＝OC.(1)求∠APO＋∠DCO的度数；(2)试说明：AC＝AO＋AP.答案一、1.A 2.D3．A 【点拨】因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,所以∠B′＝∠B.因为∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°,所以∠B′＝110°.4．C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.C10．B 【点拨】图①有4条对称轴,图②有3条对称轴,图③有4条对称轴,图④有4条对称轴,所有图形共有15条对称轴．11．C 【点拨】将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形如图所示,共有3个．12．D【点拨】如图,作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于E,交CD 于F,连接AE,AF,则A′A″的长即为△AEF的周长的最小值．连接AC.因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°,∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°,∠ABC＝90°,∠ADC＝90°,∠BCA＋∠DCA＝50°,所以∠BAC＋∠DAC＝130°,即∠DAB＝130°.所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.又易知∠A′＝∠EAA′,∠FAD＝∠A″,所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.所以∠EAF＝130°－50°＝80°.二、13.9.6 【点拨】如图所示,连接CP.因为点P 关于直线AC ,BC 对称的点分别为P 1,P 2, 所以P 1C ＝PC ＝P 2C . 所以线段P 1P 2的长等于2CP .当CP ⊥AB 时,CP 的长最小,此时线段P 1P 2的长最小． 因为∠ACB ＝90°,BC ＝6,AC ＝8,AB ＝10, 所以CP ＝AC ·BCAB＝4.8. 所以线段P 1P 2的长的最小值是9.6.14．50°或130° 【点拨】当顶角为锐角时,如图①,CD ⊥AB ,∠CDA ＝90°,∠ACD ＝40°, 所以∠A ＝90°－∠ACD ＝90°－40°＝50°；当顶角为钝角时,如图②,CE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ,∠CEA ＝90°,∠ACE ＝40°,所以∠CAE ＝90°－∠ACE ＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC ＝180°－50°＝130°.15．3 【点拨】如图,延长BA 交EF 于P ′,此时|PA －PB |的值最大, 则|P ′A －P ′B |＝AB ＝3.16．6 【点拨】因为AB ＝AC ,AD ⊥BC , 所以△ABC 关于直线AD 对称． 所以S △BEF ＝S △CEF . 因为△ABC 的面积为12,所以图中阴影部分的面积＝12S △ABC ＝6.17．7 【点拨】过点D 作DE ⊥AC 于点E . 因为AD 平分∠BAC ,所以DE ＝BD ＝2. 所以S △ADC ＝12AC ·DE ＝12×7×2＝7.18．9 【点拨】如图所示,作D 关于BA ,BC 的对称点M ,N .连接BM ,BN ,MN ,则当E ,F 是MN 与BA ,BC 的交点时,△DEF 的周长最短,最短的值是MN 的长． 因为D ,M 关于BA 对称, 所以BM ＝BD ,∠ABM ＝∠ABD . 同理可得∠NBC ＝∠DBC ,BN ＝BD . 所以∠MBN ＝2∠ABC ＝60°,BM ＝BN . 所以△BMN 是等边三角形． 所以MN ＝BM ＝BD ＝9.所以△DEF 的周长的最小值是9. 三、19.解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．20．解：因为AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以AD 平分∠BAC .所以∠CAD ＝∠BAD ＝40°.因为AD ＝AE ,所以∠ADE ＝12(180°－∠CAD )＝70°.因为AD ⊥BC ,所以∠ADC ＝90°.所以∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－70°＝20°.21．解：同意．理由如下：如图,连接OE ,OF .由题意,知BE ＝OE ,CF ＝OF ,∠OBC ＝∠OCB ＝30°,所以∠BOE ＝∠OBC ＝30°,∠COF ＝∠OCB ＝30°,∠BOC ＝120°.易得∠EOF ＝60°,∠OEF ＝60°,∠OFE ＝60°.所以△OEF 是等边三角形．所以OE ＝OF ＝EF .所以EF ＝BE ＝CF .所以E ,F 是BC 的三等分点．22．解：(1)因为AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,所以∠AEF ＝∠CEB ＝90°,∠AFE ＋∠EAF ＝90°,∠CFD ＋∠ECB ＝90°.又因为∠AFE ＝∠CFD ,所以∠EAF ＝∠ECB .在△AEF 和△CEB 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，所以△AEF ≌△CEB (ASA )．(2)由△AEF ≌△CEB ,得EF ＝EB ,所以∠EBF ＝∠EFB .在△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以BD ＝CD .所以FB ＝FC .所以∠FBD ＝∠FCD .因为∠EFB ＝180°－∠BFC ＝∠FBD ＋∠FCD ＝2∠FBD ,所以∠EBF ＝2∠FBD ,即∠ABF ＝2∠FBD .23．解：(1)四边形ABCD 是轴对称图形,对称轴是AC 所在直线和BD 所在直线．(2)相等的线段有：AB ＝BC ＝CD ＝AD ,AO ＝OC ,OB ＝OD .(3)如图,分别过点O 作OE ⊥AD 于点E ,OF ⊥AB 于点F .易知AO 平分∠BAD ,又因为OE ⊥AD ,OF ⊥AB ,所以OE ＝OF .24．解：(1)25；115；小(2)当DC ＝2时,△ABD ≌△DCE .理由如下：因为DC ＝2,AB ＝2,所以DC ＝AB .因为AB ＝AC ,∠B ＝40°,所以∠C ＝∠B ＝40°.因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝∠DAC ＋∠C ,∠DEC ＝180°－∠AED ＝∠DAC ＋∠ADE ,且∠C ＝40°,∠ADE ＝40°,所以∠ADB ＝∠DEC .在△ABD 和△DCE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠DEC ，∠B ＝∠C ，AB ＝DC ，所以△ABD ≌△DCE (AAS )．(3)存在．∠BDA ＝110°或∠BDA ＝80°.25．解：(1)连接BO ,如图①所示．因为AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以BD ＝CD .所以OB ＝OC .所以∠DBO＝∠DCO.又因为OP＝OC,所以OB＝OP.所以∠APO＝∠ABO.所以∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC. 因为∠BAC＝120°,AB＝AC,所以∠ABC＝∠ACB＝30°,所以∠APO＋∠DCO＝30°；(2)过点O作OH⊥BP于点H,如图②所示．因为∠BAC＝120°,AB＝AC,AD⊥BC,所以∠HAO＝∠CAD＝60°.又因为OH⊥BP,所以∠OHA＝90°.所以∠HOA＝30°.所以AO＝2AH.因为BO＝PO,OH⊥BP,所以BH＝PH.又因为HP＝AP＋AH,所以BH＝AP＋AH.又因为AB＝BH＋AH,所以AB＝AP＋2AH.又因为AB＝AC,AO＝2AH,所以AC＝AP＋AO.。
苏科版八上第二章《轴对称图形》解答题培优训练（一）（有答案）
苏科版⼋上第⼆章《轴对称图形》解答题培优训练（⼀）（有答案）苏科版⼋上第⼆章《轴对称图形》解答题培优训练（⼀）班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、解答题1.如图，已知∠AOB内有⼀点P，分别在OA、OB上找点Q、R，使△PQR的周长最⼩。
2.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．(1)如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．3.如图，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．(1)如图(1)，若∠A=40°，则∠NMB=______度；(2)如图(2)，若∠A=70°，则∠NMB=______度；(3)如图(3)，若∠A=120，则∠NMB=______度；(4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．4.如图，△ABC是等边三⾓形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC⾄点F，使CF=CD，连接BD．(1)如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF；(2)延长BD与EF交于点G．5.△ABC是等边三⾓形，点E在AC边上，点D是BC边上的⼀个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF.(1)如图1，当点D与点B重合时，求证：(2)如图2，当点D运动到如图2的位置时，猜想CE、CF、CD之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在BC延长线上时，直接写出CE、CF、CD之间的数量关系，不证明．6.如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．(1)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过⼏秒后，△CPQ是等腰三⾓形？7.已知AM//CN，点B为平⾯内⼀点，AB⊥BC于B．(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；(3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．8.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC边上⼀点，连接BD，点E为BD点连接CE，∠CED=∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂⾜为G，AG交ED于点F．(1)判断AF与AD的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若AC=CE，点D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？(3)在(2)的条件下，如图3，若DF=5，求△DEC的⾯积．9.如图，在△ABC中，∠ABC为锐⾓，点D为直线BC上⼀动点，以AD为直⾓边且在AD的右侧作等腰直⾓三⾓形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．(1)如果AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE，BD的位置关系为________，数量关系为________．②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成⽴，请说明理由．(2)如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．10.如图，CD是△ABC的⾼，∠A=2∠B，∠ACB的平分线CE交AB于点E，设∠B=α.(1)求∠DCE的度数(⽤含α的代数式表⽰)；答案和解析解：如图所⽰，作出点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1,P2，点Q、R即为所求作的使△PQR的周长最⼩的点．2.解：(1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°，∴∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=180°?35°?30°?75°=40°；(2)∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，∴∠E=75°?18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°；(3)设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°?α，∴{y °=x °+α(1)y °=x °?α+β(2)， (1)?(2)得2α?β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC =x°+α，∴{x °=y °+α(1)x °+α=y °+β(2)， (2)?(1)得α=β?α，∴2α=β；， (2)?(1)得2α?β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE =∠BAD ．3. 20 35 60解：(1)如图1中，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =12(180°?40°)=70°，∵MN ⊥AB ，∴∠MNB =90°，∴∠NMB =20°，故答案为20．(2)如图2中，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =12(180°?70°)=55°，∵MN ⊥AB ，∴∠MNB =90°，∴∠NMB =35°，故答案为35．(3)如图3中，如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°?120°)=30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB=90°，∴∠NMB=60°，故答案为60．(3)结论：∠NMB=12∠A．理由：如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°?∠A)∵MN⊥AB，∴∠MNB=90°，∴∠NMB=90°?(90°?12∠A．4.2√3(1)证明：如图1中，∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵AD=DC=CF，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∠F=∠CDF，∵∠ACB=∠F+∠CDF=60°，∴∠F=30°，∴∠DBC=∠F，∴BD=DF．(2)①证明：如图2中，作EH//BC交AB于H，连接BE．∵EH//BC，∴∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AEH是等边三⾓形，∴AE=EH=AH，∵AB=AC，∴BH=CE，∵AE=CF，∴EH=CF，∵∠BHE=∠ECF=120°，∴∠EBH=∠CEF，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠ABE=∠CBD，∴∠CBD=∠DEG，∵∠CDB=∠GDE，∴∠EGD=∠DCB=60°，即∠BGE=60°．②解：如图3中，由题意：∠ABE=∠EBD=∠CBD=30°，∵∠BCE=∠∠BGE=60°，∴B，C，G，E四点共圆，∴∠ECG=∠EBG=30°，∴∠BCG=90°，∴CG=12BG=2，BC=√3CG=2√3，∴S△BCG=12?BC?CG=12×2√3×2=2√3．故答案为2√3．5.证明：(1)∵△ABC与△BEF都为等边三⾓形，∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，∴∠ABC?∠EBC=∠EBF?∠EBC，即∠ABE=∠CBF，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDF DE=DF，(2)CE=CF+CD；理由为：过D作DG//AB，交AC于点G，连接CF，∵DG//AB，∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三⾓形，∵△DEF为等边三⾓形，∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，∴∠EDF?∠GDF=∠GDC?∠GDF，即∠EDG=∠FDC，在△EDG和△FDC中，{ED=FD∠EDG=∠FDC DG=DC，∴△EDG≌△FDC(SAS)，∴EG=FC，则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；(3)CF=CE+CD；过E作EG//AB，交BC于点G，∵EG//AB，∴∠CEG=∠EGC=60°，即△EGC为等边三⾓形，∴CE=EG=CG，∠CEG+∠CED=∠CED+∠DEF，即∠DEG=∠CEF，在△DEG和△FEC中，{EF=DE∠DEG=∠CEF CE=EG，∴△DEG≌△FEC(SAS)，∴CF=DG，则CF=DG=CG+CD=CE+CD．当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，则CP=BC?BP=10?4=6cm，CQ=AC?AQ=12?8=4cm，∵D是AB的中点，∴BD=12AB=12×12=6cm，∴BP=CQ，BD=CP，⼜∵△ABC 中，AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BPD 和△CQP 中，{BP =CQ ∠B =∠C BD =CP，∴△BPD≌△CQP(SAS)．(2)设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，有BP =2t ，AQ =4t ，∴t 的取值范围为0则CP =10?2t ，CQ =12?4t ，∵△CPQ 的周长为18cm ，∴PQ =18?(10?2t)?( 12?4t)=6t ?4，要使△CPQ 是等腰三⾓形，则可分为三种情况讨论：①当CP =CQ 时，则有10?2t =12?4t ，解得：t =1，②当PQ =PC 时，则有6t ?4=10?2t ，解得：t =74，③当QP =QC 时，则有6t ?4=12?4t ，解得：t =85，三种情况均符合t 的取值范围．综上所述，经过1秒或74秒或85秒时，△CPQ 是等腰三⾓形．7. 解：(1)∠A +∠C =90°；(2)如图2，过点B 作BG//DM ，∵BD ⊥AM ，∴DB ⊥BG ，即∠ABD +∠ABG =90°，∴∠CBG +∠ABG =90°，∴∠ABD =∠CBG ，∵AM//CN ，BG//AM ，∴CN//BG ，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；(3)如图3，过点B作BG//DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由(2)可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联⽴⽅程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：(1)如图1，∵AM//CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；8.解：(1)结论：AF=AD．理由：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°?∠ABD，∴∠FGE=90°，∴∠EFG=∠AFD=90°?∠CED，∵∠CED=∠ABD，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD．(2)结论：AB=AC．理由：如图2中，∵∠AFD=90°?∠CED，∠ADB=90°?∠ABD，∠CED=∠ABD，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，∠BFA=180°?∠AFD=180°?∠ADF=∠CDE，∵D为AC的中点，∴AD=CD=AF，∴△ABF≌△CED(AAS)，∴AB=CE，∵CE=AC，∴AB=AC．(3)连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．∵∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAH，设∠ABD=∠CED=α，则∠FAD=2α，∠ACG=90°?2α，∵CA=CE，∴∠AEC=∠EAC=45°+α，∴∠AED=45°，∴∠AHE=45°，∴AE=AH，∵AB=AC，∴△ABE≌△ACH(SAS)，∴∠AEB=∠AHC=135°，∴∠CHD=90°，过点A作AK⊥ED于H，∴∠AKD=∠CHD=90°，∵AD=CD，∠ADK=∠CDH，∴△AKD≌△CHD(AAS)∴DK=DH，∵AK⊥DF，AF=AD，AE=AH，∴FK=DK，EK=HK，∴DH=DK=KF=EF=52，∴DE=152，EH=10，∵△AEH是等腰直⾓三⾓形，AK⊥EH，∴AK=EK=KH=5，∴S△EDC=12?DE?CH=12×152×5=754．9.解：(1)①垂直；相等；②成⽴，理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，∵{AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；(2)当∠ACB=45°时，CE⊥BD，理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∴△AGC为等腰直⾓三⾓形，∴∠ACB=∠AGC=45°，AC=AG，在△GAD与△CAE中，{AD=AE∠GAD=∠CAE AG=AC，∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE=∠AGC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即CE⊥BC.解：①等腰直⾓三⾓形ADE中，AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△DAB与△EAC中，{AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴CE=BD，∠B=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD；故答案为：垂直、相等；10.解：(1)如图1所⽰：∵∠B=α，∠A=2∠B，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=180?3α，∵CE平分∠ACB，∴∠1=12∠ACB=90°?32α，∴∠2=∠1+∠B=90°?12α，∴在Rt△DCE中，∠3=90?∠2=90°?(90°?12α)=12α．(2)证明：如图2，在AD上截取DH=DE，连接CH，∵CD⊥AB，∴CH=CE，∴∠4=∠2=90°?12α，∠5=∠3=12α，∴∠HCB=∠5+∠3+∠1=12α+12α+90°?32α=90°?12α，。
第二章轴对称图形知识点归纳+典型例题+提优(汇编)
2.1轴对称与轴对称图形姓名_______学号_______班级_______ 学习目标:1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念.2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系.学习重点:了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值.学习难点:能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．学习过程:一、创设情境观察如下的图案, 它们有什么共同的特征?二、探索活动活动一折纸印墨迹问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、点C与点F都是关于直线MN的对称点.活动二切藕制作成轴对称的两个截面联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？活动三把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________.请你找出图1-5中的各图的对称轴.联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系三、课堂练习1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点.2.画出下列各轴对称图形的对称轴.四、课堂小结了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别. 能正确区分轴对称图形和轴对称..五、课后作业1.下列奥运会会徽是轴对称图形吗？如果是，画出对称轴.2.（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？（2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？（3）如果再图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？3.请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽。
第二章 轴对称图形(压轴题专练)(解析版)
第二章轴对称图形（压轴题专练）一、三角形综合应用（选择压轴）H Q 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC \^，即90GHB Ð=°，又BE Q 平分ABC Ð，GM BD ^，GM GH \=，又BD BH >Q ，BDG BGH S S \>V V ，又ABE CBE≌QV V ABE CBE S S \=V V ，ABE BDG ADGE S S S \=-V V 四边形，CBE BGH GHCE S S S =-V V 四边形，ADGE GHCE S S \<四边形四边形，故④错误；⑤18090HBG BGH GHB Ð+Ð=°-Ð=°，18090DBF DFG BDF Ð+Ð=°-Ð=°，HBG DBF Ð=Ð，BGH DFG \Ð=Ð，又BGH DGF Ð=ÐQ ，DGF DFG \Ð=Ð，DGF \V 为等腰三角形，故⑤正确．\正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C ．2．如图，已知ABC V 中高AD 恰好平分边BC ，30B Ð=°，点P 是BA 延长线上一动点，点O 是线段AD 上一动点，且OP OC =，下面的结论：AB AC=Q，AD BC^，BD CD \=，12 BADÐ=ÐOB OC\=，90ABCÐ=18060PAE BAC Ð=°-Ð=°Q ，AE PA =，APE \V 是等边三角形，60PEA APE \Ð=Ð=°，PE PA =，60APO OPE \Ð+Ð=°，60OPE CPE CPO Ð+Ð=Ð=°Q ，APO CPE \Ð=Ð，在OPA D 和CPE D 中，PA PE APO CPE OP CP =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OPA CPE \V V ≌，AO CE \=，AB AC AE CE AO AP \==+=+；故①正确；OPC Q △是等边三角形，OP OC PC \==，∴2OP OC PC +=，∴当CP AB ^时，OP OC +的值最小，此时CP AB ≠；故②错误；OPC Q △是等边三角形，60OCP \Ð=°，30APO DCO Ð+Ð=°Q ，\90APO PCB Ð+Ð=°，故③正确；过点C 作CH AB ^于H ，60PAC DAC Ð=Ð=°Q ，AD BC ^，CH CD \=，∴BD CE =，AEF ADF Ð=Ð，故①②符合题意；设BD 与AC 交于点G ，∵BAD CAE ≌△△，∴ABF ACF Ð=Ð，∵90ABF BGA Ð+Ð=°，BGA CGF Ð=Ð，∴90ACF CGF Ð+Ð=°，∴90CFG Ð=°，即BD CE ^，故③符合题意；分别过A 作AM BD ^，AN CE ^垂足分别为M 、N ，∵BAD CAE ≌△△，∴AM AN =，∴FA 平分BFE Ð，∴BFA EFA Ð=Ð，若AF 平分CAD Ð，∴CAF DAF Ð=Ð，∴BAF EAF Ð=Ð，而FA FA =，∴BAF EAF V V ≌，∴AB AE =，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；∵FA 平分BFE Ð，BF CF ^，∴45AFE Ð=°，故⑤符合题意．综上，正确的是①②③⑤，故选：D ．4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点P 是CA 的延长线上一点，点O 在AD 的延长线上，OP OB =，下面的结论：①30APO OBD Ð-Ð=°；②BPO △是正三角形；③AB AP AO -=；④2BOC AOBP S S =四边形△其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A 【分析】如图，设AB 交OP 于点J ．由OB OP OC ==，推出APO ABO Ð=Ð，推出60PAB POB Ð=Ð=°，可证①②正确，延长AO 到T ，使得AT AB =，证明(SAS)PBA OBT △≌△，推出PA OT =，可得③正确，推出四边形AOBP 的面积是定值，可得④错误．【详解】解：设AB 交OP 于点J ，如图所示：AB AC =Q ，AD BC ^，BD DC \=，OB OC \=，OP OB =Q ，OP OB OC \==，OPC OCP ACB OCB \Ð=Ð=Ð+Ð，OCB OBC Ð=Ð，AB AC =Q ，120BAC Ð=°，30ABC ACB \Ð=Ð=°，3030OPC OCB OBC ABO \Ð=°+Ð=°+Ð=Ð，30APO OBD \Ð-Ð=°，故①正确；AJP BJO Ð=ÐQ ，60POB PAJ \Ð=Ð=°，OP OB =Q ，BPO \△是正三角形，故②正确；延长AO 到T ，使得AT AB =，连接BT ，如图所示：60BAT Ð=°Q ，AT AB =，ABT \V 是等边三角形，60ABT PBO Ð=Ð=°Q ，PBA OBT \Ð=Ð，在PBA △和OBT △中，BP BO PBA OBT BA BT =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)PBA OBT \△≌△，PA OT \=，AB AT AO OT AO PA \==+=+，AB AP AO \-=，故③正确；PBA OBT Q △≌△，PBA OBT S S \=△△，ABT AOBP S S \=△四边形，且ABT S △为定值，BOC QV 是变化的，2BOC AOBP S S \=V 四边形是错误（与上面定值矛盾），故④错误；综上所述：正确的是①②③，故选：A ．二、探究线段之间的数量关系【答案】2BM NC=【分析】作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，先证MAN HAN V V ≌，推导得NH MC ^；再证BAM CAH V V ≌，推导得30NHC AHC AHN Ð=Ð-Ð=°，最后得到2BM NC =．【详解】解：如图，作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，在MAN △中，∵7560AMN MAN Ð=°Ð=°，，∴180180756045ANM AMN MAN Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．在MAN △与HAN △中，∵AM AH MAN HAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，∴()MAN HAN SAS V V ≌，∴ANM ANH Ð=Ð，AMN AHN Ð=Ð，∵45ANM Ð=°，75AMN Ð=°，∴45ANH Ð=°，75AHN Ð=°，∵45ANM Ð=°，45ANH Ð=°，∴90ANM ANH Ð+Ð=°，即NH MC ^．∵75AMN Ð=°，30B Ð=°，∴=753045BAM AMN B ÐÐ-Ð=°-°=°，∵ABC V 中，30AB AC B =Ð=°，，∴30C B Ð=Ð=°，∴180120BAC C B Ð=°-Ð-Ð=°，∵45BAM Ð=°，60MAN Ð=°，120BAC Ð=°∴120456015NAC BAC BAM MAN Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°，∵60HAN Ð=°，15NAC Ð=°，故答案为：2BM NC=6．（1）已知，如图1，若ABC V 是直角三角形，（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】（1）见解析；（2）①QE QF =；②QE QF=【分析】（1）延长CD 至E ，使DE CD =，连接AE ，证明(SAS ADE BDC ≌△△()Rt Rt SAS CAE ACB ≌△△，可得CE AB =，从而可得结论；（2）①Q 是AB 的中点，过Q 分别过点A 、B 向直线CP 作垂线垂足分别为E∵在ADE V 和BDC V 中AD BD ADE BDCCD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴(SAS ADE BDC ≌△△②延长EQ 交BF 于G∵AE CP ^，BF CP ^，∴90AEP BFP Ð=Ð=°，∴AE BF ∥，∴QAE QBG Ð=Ð，BC=，则CE=；(1)如图1，连接EC，若4(2)如图2，点M是线段CA延长线上的一点(不与点A重合)，以BM为一边，在BM的下方作MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH DM=．①求证：DMB HMG△≌△；②请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段AC延长线上的某个位置时，以BM为一边．在BM的左侧作，与DE之间的数量关系．交DE于点G．请直接写出MD DG求解；（2）①证明DMH △是等边三角形，进而得出DMB HMG Ð=Ð，证明DMB HMG △≌△()ASA ；②由①可知DMB HMG △≌△，得出HG DB =，DMH △是等边三角形．则DH MD =，即可得证．（3）在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，先证DMN V 是等边三角形，可得60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，由“ASA ”可证MNG MDB V V ≌，可得NG BD =，即可求解．【详解】（1）解：∵DE AB ^，90ACB Ð=°，∴90BCD BED Ð=Ð=°，∵BD 是ABC V 的角平分线，∴CBD EBD Ð=Ð，又∵BD BD =，∴()AAS CBD EBD V V ≌，∴CB EB =，∵90ACB Ð=°，30A Ð=°，∴60ABD Ð=°，∴ECB V 是等边三角形，∴4==CE BC ；故答案为：4；（2）①证明：∵30CBD DBA CAB Ð=Ð=Ð=°，DE AB ^，∴60ADE BDE Ð=Ð=°，2DB DE=又∵DH DM =，∴DMH △是等边三角形．∴DM DH MH ==，60DMH DHM Ð=Ð=°∴DMH BMG Ð=Ð，120MHG ADB Ð=Ð=°．∴DMB HMG Ð=Ð．在DMB V 和HMG △中，DMB HMG DM MH MDB MHG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴DMB HMG △≌△()ASA ；②2DG MD DE =+，由①可知DMB HMG △≌△，则HG DB =．∴2HG DE =，∵DMH △是等边三角形．则DH MD =，∴2DG DH HG MD DE =+=+；（3）解：结论：2DM DG DE+=，理由：如图，在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，∵60ADE NDM DN DM Ð=Ð=°=，，∴DMN V 是等边三角形，∴60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，∴60NMD GMB Ð=Ð=°，∴NMG DMB Ð=Ð，在MNG V 和MDB △中，60N BDM MN DM NMG DMB Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA MNG MDB V V ≌，∴NG BD =，∴2NG DE =，∴2DG DN DM DG DE +=+=．三、探究角之间的数量关系【答案】120°+α【分析】延长CB 到E ，使CE ＝＝∠EDC ，再证明△EDA 为等边三角形，得到的计算即可求解．【详解】解：如图，延长CB 到∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD 12ACB a =Ð=，在△ADC 与△EDC 中，AC EC ACD ECD =ìïÐ=Ðí，。
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第二章《轴对称图形》提高练习题1．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．2．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．3．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线．（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．①求证：△ABE≌△ACF；②求证：△AEF是等边三角形．（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．4．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．5．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．6．如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长．7．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=cm；②求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．8．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．10．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．参考答案1．考点：等腰三角形的性质．专题：压轴题；开放型．解答：当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE。
证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C，∴∠1=x+∠C=∠2，∴AD=AE．题1 题2 题32．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=AD/2；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DHF和△ECF中，△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF；（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，∴AG=GH，∴S△ADG=S△HDG，∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF=S△ECF，∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF．3．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：压轴题；开放型．（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ACB=∠ACF，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF，∵BE=CF，∴△ABE≌△ACF；②由△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．（2）答：存在。
证明：在CD延长线上取点F，使CF=BE，与（1）①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE，∴∠EAF=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形．注：若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可．4．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵AE=BD，△ABC为等边三角形，∴BE=BF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F=60°，在△ECB和△EDF中，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC=ED．题4 题5 题65．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；动点型．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC/2，即6﹣x=（6+x）/2，解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF/2，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB/2，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．6．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题；证明题；压轴题．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠5=60°．又∵∠5+∠CBE=180°，∴∠CBE=120°．又∵BD 平分∠CBE，∴．∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．∴∠ABD=∠CBE．∵在△ABD和△CBE中，△ABD≌△CBE（ASA）．∴BD=BE．（2）过D作DF⊥AE于F，∴∠DFB=∠DCB=90°，又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，∴△CBD≌△FBD （AAS）．∴CB=BF，DF=CD=4．∵∠3=60°，∠BCD=90°，∴∠CDB=30°，∴设BC=x，则BD=2x，则42+x2=（2x）2，解得：x=，∵BD=BE，∴BD=，在直角三角形BCD中，∵∠BCD=90°，∴BC=，∴BF=BC=．∵AB=BC，∴AF=AB+BF=+=．直角三角形ADF中，AF=，DF=4．∴根据勾股定理可得出AD=．7．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定．专题：几何综合题；压轴题．解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．∵AB=4，M是AD中点，∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；②现证明EP=AE+PD。
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，∴MG=（AE+PD），在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，∴MG=EP，∴EP=AE+PD．方法二：延长EM交CD延长线于Q点．∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，∴△AME≌△DMQ．∴AE=DQ，EM=MQ．又∵∠EMP=∠B=90°，∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．∵PQ=PD+DQ，∴EP=AE+PD．（2）△PDM的周长保持不变．设AM=x，则MD=4﹣x．由折叠性质可知，EM=4﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4﹣AE）2，整理得：AE2+x2=16﹣8AE+AE2，∴AE=（16﹣x2），又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．又∵∠A=∠D，∴△PDM∽△MAE．∴∴C△PDM=C△MAE•=（4+x）•=8．∴△PDM的周长保持不变．题78．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定．菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=12．已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x﹣4，∴AD=AG﹣DG=16﹣x，AE=AB﹣BE=12﹣4=8．在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16﹣x）2+82解得：x=10．∴DE=10．点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异．从阅卷的情况看，本题的得分在4﹣8分的学生居多．前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低．9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型．分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α﹣60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°﹣α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．10．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有专题：压轴题；探究型．分析：（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴OA=BC=OB=OC，即OA=OB=OC；（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：连接AO∵AC=AB，OC=OB∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，在△AON与△BOM中∴△AON≌△BOM（SAS）∴ON=OM，∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．。