第二章《轴对称图形》提高练习题

第二章《轴对称图形》提高练习题1．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．2．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．3．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线．（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．①求证：△ABE≌△ACF；②求证：△AEF是等边三角形．（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．4．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．5．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．6．如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长．7．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=cm；②求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．8．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．10．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．参考答案1．考点：等腰三角形的性质．专题：压轴题；开放型．解答：当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE。

证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C，∴∠1=x+∠C=∠2，∴AD=AE．题1 题2 题32．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=AD/2；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DHF和△ECF中，△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF；（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，∴AG=GH，∴S△ADG=S△HDG，∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF=S△ECF，∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF．3．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：压轴题；开放型．（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ACB=∠ACF，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF，∵BE=CF，∴△ABE≌△ACF；②由△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．（2）答：存在。

证明：在CD延长线上取点F，使CF=BE，与（1）①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE，∴∠EAF=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形．注：若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可．4．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵AE=BD，△ABC为等边三角形，∴BE=BF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F=60°，在△ECB和△EDF中，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC=ED．题4 题5 题65．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；动点型．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC/2，即6﹣x=（6+x）/2，解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF/2，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB/2，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．6．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题；证明题；压轴题．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠5=60°．又∵∠5+∠CBE=180°，∴∠CBE=120°．又∵BD 平分∠CBE，∴．∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．∴∠ABD=∠CBE．∵在△ABD和△CBE中，△ABD≌△CBE（ASA）．∴BD=BE．（2）过D作DF⊥AE于F，∴∠DFB=∠DCB=90°，又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，∴△CBD≌△FBD （AAS）．∴CB=BF，DF=CD=4．∵∠3=60°，∠BCD=90°，∴∠CDB=30°，∴设BC=x，则BD=2x，则42+x2=（2x）2，解得：x=，∵BD=BE，∴BD=，在直角三角形BCD中，∵∠BCD=90°，∴BC=，∴BF=BC=．∵AB=BC，∴AF=AB+BF=+=．直角三角形ADF中，AF=，DF=4．∴根据勾股定理可得出AD=．7．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定．专题：几何综合题；压轴题．解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．∵AB=4，M是AD中点，∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；②现证明EP=AE+PD。

方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，∴MG=（AE+PD），在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，∴MG=EP，∴EP=AE+PD．方法二：延长EM交CD延长线于Q点．∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，∴△AME≌△DMQ．∴AE=DQ，EM=MQ．又∵∠EMP=∠B=90°，∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．∵PQ=PD+DQ，∴EP=AE+PD．（2）△PDM的周长保持不变．设AM=x，则MD=4﹣x．由折叠性质可知，EM=4﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4﹣AE）2，整理得：AE2+x2=16﹣8AE+AE2，∴AE=（16﹣x2），又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．又∵∠A=∠D，∴△PDM∽△MAE．∴∴C△PDM=C△MAE•=（4+x）•=8．∴△PDM的周长保持不变．题78．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定．菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=12．已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x﹣4，∴AD=AG﹣DG=16﹣x，AE=AB﹣BE=12﹣4=8．在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16﹣x）2+82解得：x=10．∴DE=10．点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异．从阅卷的情况看，本题的得分在4﹣8分的学生居多．前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低．9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型．分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α﹣60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°﹣α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．10．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有专题：压轴题；探究型．分析：（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴OA=BC=OB=OC，即OA=OB=OC；（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：连接AO∵AC=AB，OC=OB∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，在△AON与△BOM中∴△AON≌△BOM（SAS）∴ON=OM，∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．。