新华师大版 16章分式复习知识点及习题
华东师大版八年级下册数学 第十六章 分式 全章复习
第十六章 分式 全章复习 学案【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222； （3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab （4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x x x（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
华东师大版八年级下册第十六章分式知识点总结与典型例题讲义(无答案)
目录一、分式的概念1考向1：考查分式的定义2考向2：考查分式有意义的条件2 考向3：考查分式值为0的条件2 考向4：考查分式值为正、负的条件2 考向5：考查分式的值为1，-1的条件2 二、分式的基本性质2考向6：化分数系数、小数系数为整数系数3 考向7：分数的系数变号3 考向8：分式的约分3 考向9：分式的通分3 三、分式的运算3考向10：分式的混合运算4 考向11：化简求值4考向12：求待定字母的值5 四、解分式方程5考向13：用常规方法解分式方程5 考向14：用特殊方法解分式方程5 考向15：分式方程无解忘检验6 考向16：漏乘无分母的项6考向17：由分式方程无解或有增根求未知字母的值6 五、列分式方程应用题6考向18：行程中的应用性问题6 考向19：轮船顺逆水应用问题6 考向20：工程类应用性问题6 考向21：营销类应用性问题7 考向22：浓度应用性问题7 考向23：货物运输应用性问题7分式知识点总结与典型例题一、分式的概念1、定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
2、与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 典型例题：考向1：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： 考向2：考查分式有意义的条件2、当有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-考向3：考查分式值为0的条件 3、当取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x考向4：考查分式值为正、负的条件4、当为何值时，分式x-84为正； 5、当为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；6、当为何值时，分式32+-x x 为非负数 考向5：考查分式的值为1，-1的条件 7、若22||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
华师大版初中数学八年级下册16章 分式
； （4）
2x
4
x y
3
； (5)
；(6)
mn
；(7)
3
+1.
3x 4
4b 2x2 1
同步一试：在代数式－ ，
，x+y， ，
中，分式有（ ）
2 xy3a 兀源自A、2 个B、3 个
C、4 个
问题 2：当 x 取什么值时，下列分式有意义？
1
（1）
；
x3
x 1 x 2
（2）
.
2x 1 2x 3
D、5 个
x
1
1
（2）
与
的最简公分母是：
4x 2x2 x2 4
1
1
1
（3）
,
,
的最简公分母是：
3x(x 2) (x 2)(x 3) 2(x 3)2
x
1
1
（4）
,
,
的最简公分母是：
2x 2 x2 x x2 1
问题
2： 通 分 （ 1）
1 3x2
，
5
（ 2）
12xy
1， x2 x
1 x2 x
1 x2 xy .
为
，
1
所以
＝
x2 y2
1
＝
x2 xy
归纳：求几个分式的最简公分母的步骤？
1．取各分式的分母中系数的
；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最 的；
4．所得的系数的
与各字母（或因式）的最
三、课内巩固训练
次幂的积即为最简公分母。
1
2
通分： （1）
和
2ab3 5a 2b2c
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师大版数学八下第16章《分式》全章复习课件1
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
时,分式
X-7 X2+1
的值是非负数.
10.当x >-1
时,分式
X+1 X2-2x+3
的值为正.
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
用式子表示: A = A X M
B
(BXM )
-a-b a+b c-d = ( d-c )
-x +y x+y
x-y = ( -x-y)
4.与分式
２m－３ ４－m
的值相等的分式是（
A
Ａ
３－２m ４－m
Ｂ
２m-３ ４－m
Ｃ
３－２m ４－m
Ｄ
） ３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ A ）
Ａ
－x＋y －x－y ＝
X－y X＋y
Ｂ
－x＋y －x－y ＝
( a2+b2-2ab )
= a2 –b2
(2) ab+b2 = a+b
ab2+b
( ab+1 )
(4)
a+b ab
=
2a2+2ab
( 2a2b )
2.下列变形正确的是(
)
C
a
a2
A b = b2
a-b a2-b
B
a = a2
C 2-x = X-2 X-1 1-x
华师大版八年级下册第16章分式复习材料
11-x 55+x x 2568x x x -++223(1)9x x x ++-121-+x 9313+--xx 1121--x 1-m m 32+-m m 112+-mm 分式复习材料一、分式的概念（一）特征一：分母中含有字母1、在代数式132x +、5a 、26x y 、35y +、23a b +、2325ab c 、π1中，分式有（ ）.个。
2、在π1,0,1,31),(21,32c a b y x x --中，整式有 ，分式有 . 3.在y x x x n m m n a a -+++251,5,1,3,4,4，21-π中,整式有 ,分式有 ； （二）特征二：分母≠01、当取何值时，下列分式有意义？2、当取何值时，下列分式有意义？3、当取何值时，下列分式无意义？（三）拓展一：（分式的值为0的条件：分子=0，分母≠0） 1、当m 为何值时，分式的值为0？2、当x 为何值时，分式的值为0？3.当时，分式的值为零4.当时，分式的值为零5.当式子2545x x x ---的值为零时，x 的值是（ ）x x 57+x x 3217-x x x --221x x 23+x x 7213-xx x --22132+-m m 55+x x A 、6 B 、-5 C 、-1或5 D 、-5或5（四）拓展二：（分式的值为正或负的条件）1、分式 的值为正数，求M 的取值范围。
2、分式 的值是负数，求X 的取值范围。
二、分式的基本性质 1、变形填空（(),232.1-=--x x x (2)()222c b c b a =,(3)1)(112-=-x x .(4))(11132=-++x x x 2、去掉分子和分母中的“—”号； (1)不改变分式的值,使分式xyx y y y 2,2,2----的分子,分母不含“—”号； (2)不改变值,使分式2311xx x-+-分子,分母最高次项系数为正； 3、去掉分子和分母中的小数和分数； （1）不改变值,使分式yx yx 04.03.05.001.0+-的分子,分母各项系数均为整数.（2）不改变分式值,使分式的分子,分母中各项的系数化为整数,=-+y x y x 2434.三、通分和约分（一）确定最大公约数（三定：定系数，定字母，定指数） 1、指出下列分式的最大公约数324232128yz x z y x322423248c b a c b a d b a c b a 32232432-2、指出下列分式的最大公约数()()y x a x y a --271223()()()()b a y x b a y x -+-+23 44422-++x x x（二）约分（分子,分母都是单项式时可直接约分；当分子,分母是多项式时,先做因式分解,然后再约分）22232223244323342396)5()())(()4(42)3(3012)2(1624)1(y xy y xy x a x x a y x x xx c b a c b a y x z y x -+---+--- （三）确定最简公分母（三定：定系数，定字母，字指数） 1、求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母；2、求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师大版八年级下册数学知识点总结知识讲解
华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章分式§ 16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使-=0的条B件是：A=0, B M 0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
单项式整式单项式分类：有理式多项项分式 -单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
一 A AM A宁M用式子表示为：B =丽二，其中M （M工0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幕、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幕；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
最新华师版八年级数学下册第16章分式专题复习测试题及答案全套
最新华师版八年级数学下册第16章分式专题复习测试题及答案全套专训1 分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：直接代入法求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、设参数求值等．直接代入法求值1．(中考·鄂州改编)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.活用公式求值2．已知x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x的值．设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．专训2 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．其主要考点可概括为：三个概念、一个性质、一种运算、一个解法、一个应用、四种思想．三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．当A ＝0，分式AB的值为0(A ，B 为整式)2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( )A ．m≥1B ．m>1C ．m≤1D ．m<1 概念2 分式方程3．关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x ＝4； ⑥x a ＝35－x.分式方程有____________(填序号)． 4．(中考·遂宁)遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( )A .36x －36＋91.5x ＝20 B .36x －361.5x＝20C .36＋91.5x －36x ＝20D .36x ＋36＋91.5x ＝20 概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( )A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝36．已知方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值．7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x无解，求m 的值．一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y .一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23.一个解法——分式方程的解法10．(中考·嘉兴)小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……① 去括号，得1－x －2＝1.……② 合并同类项，得－x －1＝1.……③ 移项，得－x ＝2.……④ 解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥一个应用——分式方程的应用11．某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300 kg.如果超市按9元/kg的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 kg按售价的八折售完．(1)该种干果第一次的进价是多少？(2)超市销售这种干果共盈利多少元？四种思想思想1数形结合思想12．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x＋23x－5，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．(第12题) 思想2整体思想13．已知实数a满足a2＋4a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1a2＋6a＋9的值．思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b .答案专训11．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，原式＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x＋1x＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23.∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527.点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以原式＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘(x ＋y ＋z)，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1. ∴原式＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k）2－（3k）2＋2（4k）2 2k·3k＋3k·4k＋2k·4k＝27k226k2＝2726.专训21．B2．B点拨：∵x2－2x＋m＝x2－2x＋1＋m－1＝(x－1)2＋m－1，∴当m－1>0，即m>1时，式子1x2－2x＋m总有意义．3．②④⑤4．A 5.B6．解：方程两边同乘x2－1，得2(x－1)＋k(x＋1)＝6.整理得(2＋k)x＋k－8＝0.∵原分式方程有增根x＝1，∴2＋k＋k－8＝0.解得k＝3.7．解：方程两边都乘x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6.①(1)当2m＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m＝－0.5；(2)当2m＋1≠0时，要使关于x的分式方程2m＋xx－3－1＝2x无解，则x＝0或x－3＝0，即x＝0或x＝3.把x＝0代入①，m的值不存在；把x＝3代入①，得3(2m＋1)＝－6，解得m＝－1.5.∴m的值是－0.5或－1.5.8．解：(1)原式＝12x－30y15x＋40y.(2)原式＝5x ＋15y25x －y.9．解：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2 ＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2 ＝2aa ＋b. 当a ＝－12，b ＝23时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋23＝－6.10．解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ； 步骤②括号前面是“－”号，去括号时，没有变号； 步骤⑥前没有检验． 正确的解答过程如下：解：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ， 去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3， 解得x ＝32.经检验x ＝32是原分式方程的解．11．解：(1)设该种干果第一次的进价是x 元/kg ，则第二次的进价是(1＋20%)x 元/kg. 由题意，得9 000（1＋20%）x ＝2×3 000x ＋300.解得x ＝5.经检验，x ＝5是原分式方程的解，且符合题意． 答：该种干果第一次的进价是5元/kg.(2)[3 0005＋9 0005×（1＋20%）－600]×9＋600×9×80%－(3 000＋9 000)＝5 820(元)．答：超市销售这种干果共盈利5 820元．12．解：由题意得2x ＋23x －5＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．13．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a 2＋4a ＋3.由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故原式＝411.点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．14．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z≠0，得到⎩⎨⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎨⎧x ＝4z ，y ＝3z.所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320.点拨：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．15．解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b ＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2aa ＋b.点拨：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识．专训2 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．)分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )A .a ＋1a 2B .a －1a 2＋1C .1a 2－1D .1a ＋1 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x的值为负数，则x 的取值范围是________． 8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( )A.ab＝a2b2B.ab＝aba＋bC.ab＝a＋cb＋cD.ab＝abb210．要使式子1x－3＝x＋2x2－x－6从左到右变形成立，x应满足的条件是( )A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－211．已知x4＝y6＝z7≠0，求x＋2y＋3z6x－5y＋4z的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求x|y＋z|＋y|z＋x|＋z|x＋y|的值．专训2 分式运算的八种技巧名师点金分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．约分计算法1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.整体通分法2．计算：a －2＋4a ＋2.顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m 3m －2n －1.裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc ab ＋bc ＋ac的值．倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．答案专训11．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式． 2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．B 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1. 9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z 7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k. 所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k＋3×7k 6×4k－5×6k＋4×7k ＝37k 22k ＝3722. 12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1－1－1＝－1. 综上所述，所求式子的值为1或－1.专训21．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝ x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x （x ＋1）（x －1）＝4n －6m （3m －2n ＋1）（3m －2n －1）. 5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n（n＋1）＝1 n －1n＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c×2＝16＋19＋115，所以1a＋1b＋1c＝31180.易知abc≠0，所以abcab＋bc＋ac＝11c＋1a＋1b＝18031.7．解：由xx2－3x＋1＝－1，知x≠0，所以x2－3x＋1x＝－1.所以x－3＋1x＝－1.即x＋1x＝2.所以x4－9x2＋1x2＝x2－9＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x2－11＝22－11＝－7.所以x2x4－9x2＋1＝－17.8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为⎩⎨⎧4x－3y＝6z，x＋2y＝7z.解得x＝3z，y＝2z.因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z2＋2×4z2－z22×9z2－3×4z2－10z2＝－13.点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专训3 巧用分式方程的解求字母的值名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．(中考·东营)若分式方程x －a x ＋1＝a 无解，则a ＝________. 6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m 3－x无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1. (1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．答案专训1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 经检验，x ＝3是该方程的解．将x ＝3代入2x ＋4＝m x， 得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m 不能为增根．∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解．3．－14．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3.当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m＋8m＋3＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程4m＋8m＋3＝3的解．综上所述，m的值为－3或1.7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．。
华师大版数学八年级下册第16章 分式 复习课件(共21张PPT)
随堂练习
1.下列代数式
1 1 x，1 ，x2 y2 ，1 +m，5a2 ， 5
5
3 m 2a 6 x
中是分式的有（ C ）个.
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如果把分式 x5xyy中的 x 、y 都扩大到原
来的 5 倍，那么分式的值（ B ）. A.扩大到原来的 25 倍
B.扩大到原来的 5 倍
解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一
小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：
180 x
1
180 x 1.5 x
2 3
，
解这个方程为x=60，
经检验，x=60是所列方程的根，
答：前一小时的速度为60km/小时．
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
3.分式的运算 （1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相 加减，分母不变，分子相加减． （2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相 加减，先通分，变为同分母后再加减．
(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算 顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括 号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配 律，再计算更简便些.
C.不变
D.缩小到原来的
1 5
3.下列各分式中，是最简分式的是（ A ）.
x2 y2 A.
x y
x2 y2 B.x yBiblioteka x2 x C.xy
xy D. y2
4. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物， 将 0.0000025 用科学计数法表示为（ D ）.
A.0.25×10-5
6.零指数幂与负整数指数幂
华东师大版八年级下册第16章分式(分式方程)章复习专题(无答案)
分式、分式方程 ●章复习 考点知识结构图转化为整式方程→整式方程的解 分式方程的概念 实际问题 实际问题的解 分式方程的解 分式的概念 分式的性质 分式的运算（法则） 零指数 负指数 科学计数法综合调控能力题◆利用分式值、分式的概念反求未知数的值1-01、已知分式bax a x +-2。
当x = 3时，分式值为0；当x = —3时，分式无意义，求a 、b 。
◆分式值、绝对值、不等式、“且”和“或”的逻辑意思1-02、若分式232--x x 的值是负数，则的取值范围是（ ）A 、232<<x B 、32>x 或2-<x C 、22<<-x 且32≠x D 、232<<x 或2-<x◆分式值、因式分解、整除1-03、已知分式91862-+-a a 的值为正整数，求整数a 的值。
◆利用增根的实质反求未知数的值1-04、若分式方程x m x x -=--2524产生增根（即无解），求m 的值。
1-05、已知关于x 的方程xx x a x x x x 2222--=-+-恰有一个实根，求满足条件的实数a 的个数。
◆分式方程、因式分解（一元二次方程）1-06、已知21=+a a ，求200220021a a +的值。
◆整体思想（分式方程的构建）1-07、已知方程a a x x 11+=+的两根分别为a 、a 1，求方程1111-+=-+a a x x 的根。
◆分式方程转化为方程组1-08、已知x 、y 、z 满足x z z y x +=-=532，求zy y x 25+-的值。
◆分式方程值的变化特点、“且”和“或”的逻辑意思1-09、将分式ba a +2中的a 扩大到2倍，b 扩大到4倍，而分式的值不变，则（ ） A 、0=a B 、0=b C 、0=a 且0=b D 、0=a 或0=b1-10、把分式ba a -2中的a 和b 都变为原来的n 倍，那么该分式的值（ ） A 、变为原来的n 倍 B 、变为原来的n 2倍 C 、不变 D 、变为原来的n 4倍◆零指数、负指数与分式1-11、解关于x 的方程()116=-+x x 。
华东师大版数学八年级下册第16章分式章末复习一(共30张PPT)
(2)
x2-4 |x|-2
(3)
x2-2x-3 x2-5x-6
x =1
无
x=3
4、(1)当x取何值时，分式
5 3-x
的值为正？
x＜3
(2)当x取何值时，分式
2-x 1+(x+3)2
的值为负？
x＞2
(3)当x取何值时，分式
2-x x+3
的值为非负数？-3＜x≤2
5、当 x、y 满足 2x=3y 时，分式
=
a2(a+1) a(a-1)(a+1)2
【知识点四】
1、分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
A B
·CD
=
A·C B·D
2、分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后 再与被除式相乘。
用符号语言表达：Biblioteka A B÷C D
3、如果(2x-1)-4有意义，则 x≠0.5 .
4、(-2×10-1)3×(2×102)-4= -5×10-12 .
5、(an+1bm)-2÷anb=a-5b-3，则m= 1 ，n=_1__.
6、计算： (1)(2 xy)2 (21 x1 y)3 3
解:原式=
22 32
x2 y2
23 x3 y3
华东师大版数学八年级下册
第16章 《分式》
章末复习
学而不思则罔，疑而不探则空
【学习目标】
1、熟悉分式的定义，分式有(无)意义的条件， 分式值为0、为正、为负的条件；
2、理解掌握分式的基本性质、分式的符号法则；
3、能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分、通分；
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16章 分式复习（一）一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（注意：π表示数，不表示字母） 例、下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式的意义：1、分式有意义的条件是 。
分式无意义的条件是 。
分式值为零的条件是 。
例、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．2122++x x D ．1222-x x例、当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式12122++-x x x 的值为零。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母 ，分式的值不变。
（0≠C ）例：1、如果把分式yx x+10中的y x 、都扩大10倍，则分式的值是（ ）A 、扩大100倍B 、扩大10倍C 、不变D 、缩小10倍2、把分式xyyx 22+中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍四、分式的通分和约分：通分和约分的依据都是 。
关键先是分解因式。
1、约分：分式的约分，就是把分子与分母的 约去。
如何找公因式呢？系数找 ，字母找 ，有多项式要先 ，再找 。
例、计算：（1）、b a ab 2236= = 。
（2）、222b a aba -+= = 。
2、通分：分式的通分，就是把几个异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式。
通分的关键是确定几个异分母的分式的最简公分母。
最简公分母怎样确定？系数找 ，相同字母找 ，不同字母 ，有多项式要先 再找。
例：（1）、分式26x ab ，29ya bc的最简公分母是 ；（2）分式2121a a a -++，261a -的最简公分母是 。
五、最简分式：分式的分子与分母没有 的分式叫做最简分式。
例、分式①434y xa +，②2411x x --，③22x xy y x y -++，④2222a ab ab b +-，⑤2222yx y x -+中是最简分式的有（ ）（填序号）。
五、分式的运算：1、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
最后要约分，化为最简分式。
2、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
最后要约分，化为最简分式。
CB C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=3、分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
5、分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
最后都要化为最简分式。
,a b a b a c ad bc ad bcc c c bd bd bd bd±±±=±=±= 6、混合运算:运算顺序和以前一样，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的。
能用运算率简算的可用运算率简算。
例：计算：（1）x x x x x x -+-÷+-2221211 （2）1112---x xx（3）1)11(2-⋅+x x x （4）ba ab a b b a +÷---)1(22当堂检测：1、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、2y x + B 、y x -3 C 、12+x D 、πy2、要使分式15-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠-13、已知分式112+-x x 的值为零，那么x 的值是 。
4、下列分式中是最简分式的是（ ）A 、122+x xB 、x 24C 、112--x xD 、11--x x5、分式 xyy x x y 41,3,2的最简公分母是（ ） A ．6xy 2B ．24xy 2C ．12xy 2D ．12xy6、一项工程，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙合做此项工程所需的时间为 小时。
7、先化简22)1111(2-÷+--a aa a ， 然后从1、 2、-1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n nn ba b a =)(16章 分式复习（二）六、1、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10≠=a a ；如：0)14.3(-π= 。
0)22(-= 。
2、任何不等于零的数的 n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即n naa1=- )0(≠a 。
如：2)3(--= = 。
2)21(-= = 。
（分数的n -次幂也等于这个分数的倒数的n 次幂） 例：计算：（1）220140)31(2)1(9)32(--+------七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n ma a a +=⋅；（2）幂的乘方：mnn m a a =)(;（3）积的乘方：n n nb a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的（分式的）乘方：nnn ba b a =)((b ≠0)八、科学记数法：把一个数表示成na 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 。
例：312000000= ；-2060000= 。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
例：-0.00000052= ；0.0076= 。
九、分式方程：含有分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要检验。
（增根就是使分式方程分母为0的根） 3、解分式方程的步骤：（1）、去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（如何确定最简公分母？系数找 ，相同字母找 ，不同字母 ，有多项式要先 再找） （2）、解方程：解这个整式方程。
（3）、检验：把整式方程的根代入最简公分母，①若结果不为零，则是原方程的根；②若结果为零，则是增根，应舍去，原方程无解。
（4）、下结论：写出原方程的解或无解的情况。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得的整式方程的根。
例26.解方程。
(1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）01152=+-+x x （4）212242-=++-x x x x十、列分式方程解应用题（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记答。
（二）应用题的几种类型：1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.2、工程问题基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米? 当堂检测：1、计算：3181)14.3(2+---π= 。
2、分式方程121=-x的解为；方程112=++xxx的解是。
3、若方程1317-=+-xmx有增根（无解），则增根为，m= 。
4、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为。
5、用换元法解分式方程01131=+---xxxx时，如果设yxx=-1，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y-3=0 B．y2-3y+1=0 C．3y2-y+1=0 D．3y2-y-1=06、（1）计算224)21()2014(10---+--π（2）解方程5113--=-xxx6、2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？。