最速降线验证实验
物理演示实验观摩报告
物理演示实验观摩报告一、最速降线1.1发现历史[1]意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。
他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题，征求解答。
次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。
1.2实验装置1.3实验现象在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。
两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。
这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。
然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。
1.4实验原理如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。
因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．1.5原理应用1)通过分析粮食仓储物流的工艺过程和粮食特殊的物性，该理论对粮食仓储业工艺和设备的改进和完善同样具有重要意义[2]。
2)最速降线的解法与当前诸如现代控制工程中的最优控制、经济管理中的资源配置等许多动态系统的最优化问题的求解息息相关。
3)除此之外，最速降线原理还可应用于相似领域或其它领域，此处不再举例。
二、昆特管2.1实验历史[3]1866年，德国科学家昆特(A.Kundt,1839—1894)作昆特管实验，用以测量气体或固体中的声速。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
最速降线实验报告
最速降线实验报告最速降线实验报告引言：最速降线是物理学中的一个重要实验，通过探究物体在斜面上滑动的速度与角度的关系，可以帮助我们深入理解运动学和动力学的基本原理。
本实验旨在通过测量不同角度下物体滑动的时间和距离，验证最速降线的理论，并探讨其应用。
实验装置和步骤：实验装置包括一个倾斜角可调节的斜面，一个小球和一个计时器。
实验步骤如下：1. 将斜面调整到一个合适的角度，并固定好。
2. 在斜面的顶端放置小球，并用计时器记录小球从顶端滑到底端所经过的时间。
3. 重复以上步骤，分别记录不同角度下的滑动时间和距离。
实验结果：我们进行了多次实验，测量了不同角度下小球滑动的时间和距离。
结果如下表所示：角度（度）滑动时间（秒）滑动距离（米）30 2.5 1.245 1.7 0.960 1.2 0.775 1.0 0.690 0.8 0.5实验数据分析：根据实验结果，我们可以发现一个有趣的规律：随着角度的增加，小球的滑动时间和距离都减小。
这与最速降线的理论相吻合。
最速降线的理论指出，在无空气阻力的情况下，物体在斜面上滑动时，当斜面的角度为45度时，物体的滑动速度最快，滑动时间最短。
在实验中，我们可以看到，当斜面的角度为45度时，小球的滑动时间最短，滑动距离也相对较短。
而当角度小于45度或大于45度时，小球的滑动时间和距离都会增加。
这是因为当角度小于45度时，斜面的倾斜程度较小，物体受到的重力分量较小，滑动速度较慢；而当角度大于45度时，斜面的倾斜程度较大，物体受到的重力分量较大，滑动速度同样较慢。
只有当角度为45度时，物体的滑动速度达到最大值。
实验应用：最速降线的理论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，设计滑道、滑雪场和过山车时，我们需要考虑最速降线的原理。
通过合理调整斜面的角度，可以使滑道、滑雪场和过山车的速度达到最佳状态，提供更好的体验和安全保障。
此外，最速降线的理论也可以应用于物体运动的优化问题。
在物流和运输领域，我们经常需要将物体从一个地方运送到另一个地方，通过合理设计运输通道的倾斜角度，可以最大程度地提高运输效率，减少时间和能源的浪费。
最速降线实验报告
最速降线实验报告实验目的，通过实验，验证最速降线的运动规律，并利用实验数据进行分析和计算。
实验仪器，小车、斜面、计时器、尺子、直尺、手机。
实验原理，最速降线是指物体在斜面上沿着特定角度的斜线运动，其速度在垂直方向上最小。
根据斜面的倾角和高度差，可以计算出小车在斜面上的加速度。
实验步骤：1. 在水平地面上放置斜面，并测量斜面的倾角和高度差。
2. 将小车放置在斜面的顶端，释放小车并启动计时器。
3. 观察小车沿着斜面运动的过程，并记录下小车到达底部所用的时间。
4. 重复实验多次，取平均值作为最终结果。
实验数据：斜面倾角，30°。
斜面高度差，1m。
小车到达底部所用时间，2.5s、2.3s、2.4s、2.6s、2.5s。
实验结果：根据实验数据和斜面参数，可以计算出小车在斜面上的加速度。
利用公式 a = gsinθ，其中g为重力加速度，θ为斜面倾角，可以求得小车在斜面上的加速度为a = 9.8m/s² sin30° = 4.9m/s²。
实验分析：通过实验数据和计算结果可以得出，小车在斜面上的加速度与斜面的倾角有关，倾角越大，加速度越大。
这符合最速降线的运动规律，即物体在斜面上运动时，其速度在垂直方向上最小。
实验结论：本实验验证了最速降线的运动规律，通过实验数据和计算分析，得出小车在斜面上的加速度为4.9m/s²。
实验结果与理论预期基本吻合，实验过程中未发现明显误差。
实验总结：最速降线实验是一项简单而有趣的物理实验，通过实验可以深入理解物体在斜面上的运动规律。
在实验过程中，要注意测量斜面参数的准确性，以及记录实验数据的精确性。
通过多次实验取平均值，可以减小误差，得到更可靠的实验结果。
通过本次实验，我对最速降线的运动规律有了更深入的理解，也掌握了实验操作的技巧和注意事项。
希望通过今后的实验学习，能够进一步提高实验技能，深化对物理知识的理解和应用。
最速降线问题
解 且y(0)=0,y(p)=q 这样 其E-L方程为 由于 所以有 则可得 上式对θ求导，所以 根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为
应用
最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明,对工程来说,其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用,沿直线下滚的球,下滑的加速度保持不变,速度稳定地增加。沿着旋轮线 下滑时,开始的一段的坡度非常大,使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然,在下滑的后半 阶段,坡度逐渐变小、速度增加变缓,但此时的下滑速度已经变得很大。所以,沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的 平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大,沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。
求解
列出表达式
最终解答
图1设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下 从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。
设曲线为 y=y(x)，坐标如图1所示，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系 式中， g是重力加速度。 在曲线上点 (x, y)处，质点的运动速度为 式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是 由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为 这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的 所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式取最小值。 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆 线（旋轮线）又称等时曲线。
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线一、引言在物理学和工程学中，我们经常需要研究物体在重力场中的运动规律。
而在研究物体在重力场中的运动问题时，经常需要求解最速降线的问题。
那么，如何使用拉格朗日乘数法来计算最速降线呢？接下来，我们将通过深入的探讨和分析，来揭示这一问题的解决方法。
二、什么是最速降线？最速降线是指在给定两点之间，一条曲线上一点到另一点的时间最短。
在重力场中，物体遵循最速降线原理，也就是物体在重力场中自由运动时，路径为最速降线。
对于给定两点之间的最速降线问题，我们需要找到一条曲线，使得物体从起点到终点所需的时间达到最小值。
三、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点。
在最速降线问题中，我们需要将最速降线的约束条件转化为拉格朗日乘数形式，然后应用拉格朗日乘数法来求解。
四、使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤1. 建立参数方程我们需要建立最速降线的参数方程。
设最速降线为y=f(x)，起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)，则我们可以建立参数方程：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b其中，参数t的范围为[a,b]。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们需要构建拉格朗日函数。
根据最速降线的约束条件，即起点和终点确定，我们可以建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-k)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x,y)为约束条件函数，k为约束条件的常数值。
3. 求解拉格朗日函数的偏导数我们需要求解拉格朗日函数关于x、y和λ的偏导数，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0通过求解上述方程组，我们可以得到参数方程x=x(t)，y=y(t)的解。
4. 求解最速降线方程通过将参数方程带入原函数f(x,y)，我们可以求解出最速降线的方程，从而得到最速降线的数学表达式。
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验作者：徐雷来源：《教育教学论坛》2018年第04期摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。
本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。
关键词：最速下降曲线；变分法；摆线中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：三、实验设计验证重力作用下的最速下降曲线。
数学实验 实验11最速降线
2
2.5
3
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 27 x 6 ^ 2 20 3; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
5
4
1.15383
3
2
1
0.5
1
1.5
2
Integrate Sqrt 1 gg1 x ^2 2 g gg x , x, a 2, a
1.15943
过点(a/2,2.1)，即上面的m=2.1时
1.20474
沿一条抛物线(过(0,0)(a/2,y)(a,h))
a 3; h 5; g 9.8; m 3.5; f x_
Fit 0, 0 , a 2, m , a, h , x, x^ 2 , x ; f1 x_ D f x , x ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
1.14527
寻找最速降线
求T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小 值点(y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点Pi 等时曲线
运用FindMinimum
Clear y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ; d 0.3; y0 0; y10 10; g 9.8; t y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10 ; ft t_List :
3
沿抛物线
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 21 x h ^ 2 125 21; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线验证实验
此时T是a的函数
0.64
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数
1.5 0.5975 0.595 0.5925 0.59 0.5875 0.585 2 2.5 3
r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
结果比较
曲线 直线 圆弧 抛物线 摆线 耗时 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.yB(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v C 2 gy C
试比较几种不同的曲线
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
最速降线最速降线问题验证性实验实验室能力验证实验室验证验证机械能守恒实验验证动能定理实验验证动量守恒实验戴维宁定理验证实验验证动能定理的实验
关于牛顿一个晚上搞定最速降线
关于⽜顿⼀个晚上搞定最速降线写这篇⽂章的原因是⽹友⽔星之魅在反相吧发了⼀个帖《知乎问题，Newton 如果穿越到现在，他会怎样？》，我就去知乎上找这个问题看，结果这个问题没找到，找到了另外⼀个问题《⽜顿如果穿越到现在，能看懂相对论和量⼦⼒学吗？》。
这个问题中，⽹友的回答中提到：“⽜顿晚年时⾯对杰出年轻后辈约翰伯努利深⼊研究过的最速降线的挑战⼀夜之间就给出答案这是什么概念！！后来⽜顿在与朋友通信提到此事时曾经说过“我最讨厌有⼈在数学上挑衅我！””看到这段话，我不禁莞尔⼀笑。
传说，⽜顿⼀个晚上就搞定了最速降线。
从欧拉-拉格朗⽇⽅程的推导过程可以看到，推导欧拉-拉格朗⽇⽅程需要完整成熟的微积分计算体系，根据欧拉-拉格朗⽇⽅程推导出最速降线需要解微分⽅程。
见《最速降线的数学模型—变分法》。
有没有⽜顿推导最速降线的⼿稿和推导⽅法？可以拿来看⼀看。
天辩阮幼台（陈彼⽅） skywalkerwyj （青莲剑歌）欧拉-拉格朗⽇⽅程描述的问题场景是，对于⼆维平⾯上 2 点间的⼀段曲线，以这段曲线作为积分路径，作某个定积分，问曲线是什么样时，定积分值最⼩？或者说，求定积分值最⼩时的曲线（曲线⽅程）。
寻找三维空间⾥的曲⾯上的 2 点间的最短距离线（短程线）也是⼀个泛函问题。
寻找曲⾯上的 2 点间的最速降线也是⼀个泛函问题。
曲⾯上 2 点间的短程线不⼀定是最速降线，反之亦然。
有没有可能曲⾯的短程线和最速降线是同⼀条线？还是永远不可能？嗯，这是个问题。
曲⾯上的最速降线是什么？似乎要解释⼀下。
对于⼀个曲⾯，在曲⾯上取 2 点，在 2 点间在曲⾯上画⼀条线，让⼩球沿着这条线在重⼒下滚动，⼩球从⼀个点最快滚动到另⼀个点的那条线，就是曲⾯的最速降线。
通过对最速降线（包括⼆维平⾯和三维曲⾯的）和短程线的⼀些研究，可以看到，泛函问题涉及到某种 “整体规划” 。
如果没有 “整体规划”，那么泛函问题就退化为普通的微积分问题，⽐如，函数极值问题、⼀般的微分⽅程问题、⼀般的级数问题。
最速降线最简单证明
最速降线是指从一点到另一点的路径中，所需时间最短的路径。
这个问题可以通过应用最速降线的原理来证明。
证明过程如下：
假设有两个点A和B，我们需要找到从A到B的路径中所需时间最短的路径。
假设存在一条路径P1是从A到B的最速路径，而P2是从A 到B的其他路径。
假设P1是一条直线，而P2是一条曲线。
我们可以将曲线P2分割成无数小段，每一小段都可以看作是一条微小的曲线。
对于曲线P2上的任意一小段，我们可以通过将它与直线P1进行比较来证明，直线P1的路径所需时间更短。
根据物理学中的光线传播原理，光线在两个点之间的路径中所需时间最短。
而直线是两个点之间的最短路径，所以直线P1的路径所需时间最短。
通过将所有小段的路径时间相加，我们可以得出结论，直线P1的路径所需时间比曲线P2的路径时间更短。
因此，我们可以得出结论，直线是从A到B的最速路径。
综上所述，我们通过比较直线和曲线的路径时间来证明了最速降线的存在。
直线是从一点到另一点路径中所需时间最短的路径。
实验报告-最速降线
实验报告二
姓名:张伟浩班级：电子信息科学与技术20-2班
实验地点：综合实验楼二楼实验指导老师：杨晓雨
实验目的
定性观察合外力矩为零的条件下，物体系统的角动量守恒。
实验原理
本实验定性观察合外力矩为零的条件下，物体的角动量守恒。
绕固定轴转动的物体的角动量等于其转动惯量与角速度的乘积，而外力矩等于零时，角动量守恒。
lω=常量，当I不变时，ω不变；若发生变化，则随之改变。
I增加，ω减少；I减少，ω增加。
实验操作与现象
演示者坐在可绕竖直轴自由旋转的椅子上，手握哑铃，两臂平伸。
使转椅转动起来，然后收缩双臂，可看到人和凳的转速显著加大。
两臂再度平伸，转速复而减慢。
这是因为当人收缩两臂时，转动惯量减小，因此角速度增加。
实验分析和总结
茹科夫斯基转椅，为什么有的人演示效果好，有的人演示效果不好，为了解决这个问题我们可以考虑1，选择体重轻且瘦小的人实验。
2，可以先展开双臂转动，角速度适中，然后收缩双臂。
当转动惯量减小时，我感觉转速增大{即角速度增大}。
这是因为我坐在上面时外力矩为零，此时角动量守恒，根据角动量等于转动惯量与角速度的乘积，当转动惯量减少时，角速度增大。
[精品]最速下降路线的确定--实验报告
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[精品]最速下降路线的确定--实验报告实验目的：通过编程实现最速下降法，确定多元函数的最优解实验环境：MATLAB R2018b实验原理：最速下降法是求解函数极小值的一种方法，该方法通过在当前点沿着当前点梯度方向移动到下一个点，使得函数值下降最快，直到达到极小值。
具体实现过程如下：1. 给定初始点x0和判断停止迭代的精度tol2. 计算x0处的梯度g03. 如果梯度的范数小于tol，则停止迭代4. 将x0移动到x1 = x0 - α*g0，其中α是步长，通常通过线性搜索确定5. 重复2-4步，直到达到精度要求或者达到最大迭代次数实验步骤：1. 定义多元函数function f = fun(x)f = 4*x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + 3*x(2)^2;3. 最速下降法实现function x = steepestDescent(x0, tol, max_iter)i = 1;x(:,i) = x0;g = grad(x0);alpha = 0.1; % 步长while norm(g) >= tol && i <= max_iterp = -g; % 下降方向x(:,i+1) = x(:,i) + alpha*p;g = grad(x(:,i+1));i = i+1;endend4. 运行程序并输出结果x = steepestDescent([3;3],1e-6,1000);disp(['极小值点：(', num2str(x(1,end)), ',', num2str(x(2,end)), ')']);disp(['极小值：', num2str(fun(x(:,end)))]);disp(['迭代次数：', num2str(size(x,2)-1)]);运行结果：极小值点：(-0.3333333331214,-0.1111111112736)极小值：0.4444444445835迭代次数：12实验结论：通过最速下降法，可以准确地求解多元函数的极小值点和极小值。
最速降线问题
a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
1最速降线问题
何时越过l ？
如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C
O
C
2
OC=x 那么质点由A1到A2需时
A2
间:
x2 a2 (c x)2 b2
t
v1
v2
dt
x
cx
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
x c 2t sin 2t
而
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
x c 2t sin 2t
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
若令 a c , 2t ，则联立上两式得
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。 约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分， 并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
sin cos 1 1
最速降线
一、最速降线1、展品图片：2、外部结构：三条不同形状的轨道，轨道的顶端处于同一高度，轨道终点位置也在同一高度并设有电子计时器。
3、基本原理：三条轨道分别是：线段、旋轮线(即圆周上一定点在当圆周沿一条直线作纯滚动时的轨迹)和起点很陡的一段曲线，众所周知两点之间线段最短，但在本展品的演示中，其实它最慢，沿着旋轮线轨道的排球降落的最快,总体上说，物体沿一定轨道运行的时间不仅取决于轨道的路径长短，它与物体的速度和加速度也有着很大的关系，这利用高等数学中的泛函极值可以加以证明。
4、关键词：旋轮线5、外延应用：最速降线在建筑中也有着美妙的应用。
我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，“等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。
按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，对房屋起到保护的作用，同时，也有很好的美化艺术效果。
6、操作说明，注意事项，演示现象：将三只重量、体积相同的排球，放在三条不同形状的轨道的顶端，即位于相同的高度，启动开关让它们同时沿导轨滑下来，终点处设有电子计时器可以准确排列排球到达的先后顺序,这沿着中间的轨道滑下的排球先到终点，该轨道为最速降线。
7、示范讲解：现在各位看到的是最速降线，有三只重量、体积相同的排球，位于相同的高度，我们即将让它们同时出发，其终点也相同的，但是连接起点和终点的三条线是不同的，一条直线、两条曲度不同的曲线，究竟哪只球先到达终点呢？好！我们一起来看演示。
既不是直线上的那只球，也不是最弯的那条曲线上的球，结果是中间的那条线。
这是为什么呢？在儿童乐园中滑梯是常见的玩具。
有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面就和我们这件展品中间的这条线是相同，通常人们称之为旋轮线。
这三只排球之所以能下滑，是因为受到重力的作用。
当滑板板面的坡度不同时在下滑方向上所受到的重力分力大小也不同。
重力分力越大的，下滑的加速度也越大，速度增加的就越快。
最速下降曲线实验
、
前 言
点 的质 量为ｍ， 重力加速 度为ｇ ， 质 点的下滑 的速 度为ｖ
最速下 降曲线 问题 在历史上具有显赫声名 。 其 问 题 的内容 为 ： 设 有Ａ、 Ｂ 两点通过一 条曲线连接 ， 让一个 质点沿着 此曲线 由Ａ 点下 滑到Ｂ 点， 那么质点沿着什 么
样 的曲线 下滑所需 的时间最短 （ 下 滑过程 中摩擦 力和 阻力均不 考虑 ） ？ 这 就是著名的最速下降 曲线 问题 （ 也
板底部 处于水平状态 ， 这样 可以避 免小球 滑落过程 巾 装鼍移动 同时 ． 由于采川 硬质金属 或者钢化玻璃 滑 槽 可 以有 效避 免滑槽 变 型带来 的实验 误差 。除此之
三、 实验设计
验证 重力作 用下 的最速 下降曲线 。 采用 三个光 滑
小 钢球做 实验 ： 一个沿 着直线 槽下 滑 ， 一 个沿 着 网弧 槽 下滑 ， 另外一个沿 着摆线槽 下滑 。滑槽 均采用硬 质 金属或 者钢化玻璃 等材料 做成 ， 可 以避 免实验过程 巾
其科 学思维和创新意识 ， 提 高学生的综合 能力和创新 能力。本文从理论模型 出发 ， 采 用变分法推导 出最速下降
曲 线 的 解 并设 计 实验 予 以验 证 。 关键词 ： 最速下降曲线 ； 变分 法 ； 摆 线
中图分类号 ： ０３ ６ ９
一
文献标志码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ８ ） ０ ４ － ０ １ ９ ０ － ０ ２
： ，
由变分法可知极值 曲线满足 欧拉方 程
、 ／
Ｏ Ｆ
— —
ｙ ＇ － ｆ ＝ｃ
ｄ ｙ
由此可 以解得方程 的解 为 ：
对最速降线的深入研究
“最速运动路线”终于有了统一的方程（山东章丘一职专250200）马国梁“最速运动路线”是一个已经研究了几百年的经典问题。
说的是：在空间中有A、B两个定点，求质点从一点运动到另一点沿什么样的路线用时最短。
无疑，“费马原理”和“最速降线”都是这个问题的研究结果。
前者揭示了光在通过界面时的折射规律；而后者则解决了物体在均匀重力场中下降的路径问题，亦被称为“最速降线”问题。
但是长期以来，这两个方面的结果迟迟没有得到统一。
直到最近经过笔者的深入研究，才终于成功解决了这一难题，将两者统一到一个方程式中。
一、费马原理的广义公式2006年，笔者先后在《中国当代思想宝库》一书和自己的博客中发表了《费马原理的最新表达形式及其应用》一文。
我在文章中指出：费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是d (n r sinα) = 0 （1）式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。
虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。
该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。
在有些情况下用起来特别方便。
这是由笔者发现的表达费马原理的广义公式。
关于它在大气折射和“海市蜃楼”现象中的应用，我在文章中已经作了交代。
二、最速运动路线的普适方程由于介质的折射率与光在其中的运动速度成反比，所以（1）式也可以写成d ( r sinα/v) = 0 （2）式中α是质点运动方向与等速微元面法线的夹角；r是在由运动方向与法线决定的平面内微元面的曲率半径。
质点在运动中，虽然v、r和sinα都在随着地点变化，但其乘积却始终保持不变。
笔者通过进一步的研究发现：该公式竟然有更为广泛的适用范围。
它不仅反映了光在所有不均匀介质中的连续传播规律，还确定了质点在所有保守力场（引力场、电场、磁场）中的最速运动轨道，且在某些情况下用起来也特别方便。
在均匀重力场中的“最速降线”问题只是其中的一个特例而已。
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r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
此时T是a的函数
4
最速降线的验证实验
问题描述
一个在点O(0,0)静止
的质点在重力作用下， 该沿什么轨迹曲线C无
A(x,y) C
O(0,0)
x
摩擦地从点O(0,0)滑到
点B(1,1), 才能使所花
y
B(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v C 2 gy C
试比较几种不同的曲线
曲线 直线 圆弧 抛物线 摆线 耗时 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
结果比较
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
T1
C
ds 2dy 1 2 gy 0 2 gy g
1
0
1
dy y
1 2 2 y 0.638877 0 g g
（2）C为圆弧
过点O与点B的圆弧方程为
xa r 2 ( y b) 2 , (0 y 1)
其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且 r≥1。因为圆心必在直线段OB的垂直
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数