第七讲一次函数

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第七讲一元一次函数

第六讲一元一次函数1、特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）了解如何设一次函数解析式：点斜式 y-y 1=k(x-x 1)（k 为直线斜率,(x 1,y 1)为该直线所过的一个点）两点式 (y-y 1) / (y 2-y 1)=(x-x 1)/(x 2-x 1)（已知直线上（x 1,y 1）与（x 2,y 2）两点）截距式（y=-b/ax+b a 、b 分别为直线在x 、y 轴上的截距 ,已知（0，b ）,(a ，0) ）2、扩展1. 求函数图像的k 值：(y 1-y 2)/(x 1-x 2)2.求任意线段的长：√(x 1-x 2) 2+(y1-y2) 23.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式,就是解方程组4.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]5.若两条直线y 1=k 1x+b 1平行y 2=k 2x+b 2，那么k 1=k 2，b 1≠b 2 6 . 向右平移n 个单位 y=k （x-n ）+b 向左平移n 个单位y=k （x+n ）+b向上平移n 个单位 y =kx+b+n 向下平移n 个单位 y =kx+b-n总结与前几章的关系1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.3、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和的图象交点.一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分） 1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（）A ．．．D ．2．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上（）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，0）D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（）A ．y=2x-1B ．y=3xC ．y=2x2D ．y=-2x+14．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A ．一、二、三B ．二、三、四C ．一、二、四D ．一、三、四 6．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（） A ．k>3 B ．0<k ≤3 C ．0≤k<3 D ．0<k<37．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（） A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-110．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（）A ．y=-2x+3B ．y=-3x+2C ．y=3x-2D ．y=12x-3二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共30分）11．已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=____，•该函数的解析式为_． 12．若点（1，3）在正比例函数y=kx 的图象上，则此函数的解析式为________．13．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （1，3）和B （-1，-1），则此函数的解析式为__．14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方． 15．已知一次函数y=-x+a 与y=x+b 的图象相交于点（m ，8），则a+b=_________．16．若一次函数y=kx+b 交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b____0．（填“>”、“<”或“＝”）17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a=________，b=______． 19．如果直线y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k 的值为_____．20．如图3，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（）A．y=-x+2 B．y=x+2 C．y=x-2 D．y=-x-221．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．①④B．②③ C．①② D．③④二．选择题1．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个2．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-12x+2上，则y1 y2大小关系是( )（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能比较3.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,的函数关系的图象是4.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( )(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0(C)k<0,b>0 (D)k<0,b<05.弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是( )(A)9cm (B)10cm (C)10.5cm (D)11cm6.若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )(A)y=2x (B) y=2x－6（C）y=5x－3 （D）y=－x－37、下列各图给出了变量x与y之间的函数是：（）A B D8、下列函数中，y 是x 的正比例函数的是：（）A 、y=2x-1B 、y=3x C 、y=2x 2D 、y=-2x+1 9、已知一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为：（）A 、y=2x-14B 、y=-x-6C 、y=-x+10D 、y=4x 10、若函数y=kx ＋b 的图象如图所示，那么当y>0时，x 的取值范围是：( ) A 、 x>1 B 、 x>2 C 、 x<1 D 、 x<211、一次函数y=kx+b 满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 12、一次函数y=ax+b ，若a+b=1，则它的图象必经过点（） A 、(-1,-1) B 、(-1, 1) C 、(1, -1) D 、(1, 1)13．已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（）（A ）y=8x （B ）y=2x+6 （C ）y=8x+6 （D ）y=5x+3 14．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（）（A ）一象限（B ）二象限（C ）三象限（D ）四象限 15．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）1616．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（）象限．（A ）一（B ）二（C ）三（D ）四17．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A ）y 随x 的增大而增大（B ）y 随x 的增大而减小（C ）图像经过原点（D ）图像不经过第二象限18．无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 19．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x （）．（A ）向左平移4个单位（B ）向右平移4个单位（C ）向上平移4个单位（D ）向下平移4个单位20．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x 2（m 为常数）中的y 与x 成正比例，则m 的值为（）（A ）m>-14 （B ）m>5 （C ）m=-14（D ）m=5 21．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）．（A ）k<13 （B ）13<k<1 （C ）k>1 （D ）k>1或k<13第5题提高题1、若一次函数y=-5x+3的图象上有一点P ，且点P 到x 轴的距离为4，则点P 的坐标为。

一次函数的概念与图像

一次函数的概念与图像在我们的数学世界中，一次函数是一个非常基础且重要的概念。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活息息相关。

那么，什么是一次函数？它的图像又有怎样的特点呢？让我们一起来探索一下。

一次函数的定义可以简单地表述为：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量，k 被称为斜率，b 被称为截距。

先来说说斜率 k。

它反映了函数图像的倾斜程度。

当 k 大于 0 时，函数图像是从左到右上升的，意味着 y 随着 x 的增大而增大；当 k 小于 0 时，函数图像从左到右下降，y 随着 x 的增大而减小。

比如，y ＝2x ＋ 1 中，k ＝ 2 大于 0，图像是上升的；而在 y ＝－3x 2 中，k ＝－3 小于 0，图像是下降的。

再谈谈截距 b。

截距 b 表示当 x ＝ 0 时，y 的值。

也就是说，它决定了函数图像与 y 轴的交点。

如果 b 大于 0，图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴；b 小于 0 时，交点在 y 轴的负半轴；b ＝ 0 时，函数图像经过原点。

例如，y ＝ 5x ＋ 3 中，b ＝ 3 大于 0，图像与 y 轴交于点（0, 3）；y ＝－2x 4 中，b ＝－4 小于 0，图像与 y 轴交于点（0, －4）。

那么，一次函数的图像究竟是怎样的呢？一次函数的图像是一条直线。

我们可以通过“两点确定一条直线”的原理来画出它的图像。

比如说，要画 y ＝ 2x ＋ 1 的图像。

我们可以先令 x ＝ 0，算出 y ＝1，得到一个点（0, 1）；再令 x ＝ 1，算出 y ＝ 3，得到另一个点（1, 3）。

然后连接这两个点，就得到了这条直线。

而且，一次函数的图像还有一些特殊情况。

当 b ＝ 0 时，函数就变成了 y ＝ kx，这时的图像一定经过原点。

比如 y ＝ 4x，它的图像就是经过原点且斜率为 4 的直线。

一次函数在我们的生活中有着许多实际的应用。

一次函数的课件ppt

函数经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
一般地,在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量, y是因变量, 此时也称 y是x的函数.
函数概念包含：
汽车行使200㎞时，油箱中还有30l汽油.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
实际问题的函数解析式中自变量取值范围： 1. 函数自变量的取值范围既要使实际问题有意义,同时又要使解析式有意义. 2.实际问题有意义主要指的是：
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
因此，自变量x的取值范围是0≦x≦500
注意：自变量的取值范围从两个方面来判断 1、实际问题要以实际情况来定
2、还要考虑函数关系式不能无意义
（1）如果小聪家每月用电x（x≥100）度，请写出电费y 与用电量x的函数关系式。
解:电费y与用电量x的函数式为:y = 0.8(x－100)＋57 (x≥100)
（2）若小明家8月份用了125度电，则应缴电费少？解:当x=125时，y = 0.8×(125－100)＋57 = 77 ∴应缴电费77元。
(1)问题的实际背景(例如自变量表示人数时,应为非负整数等) .
(2)保证几何图形存在(例如等腰三角形底角大于0度小于90度等).
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经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

《一次函数》课件

REPORTING
经济问题中的一次函数
总结词：经济模型
详细描述：一次函数在经济领域中常被用作简化经济模型，例如，消费和收入之间的关系、生产成本和产量之间的关系等。通过一次函数，可以更直观地理解经济现象和预测未来的经济趋势。
物理问题中的一次函数
总结词：物理定律
详细描述：在物理学中，许多定律和公式都可以用一次函数来表示，例如，重力与距离的关系、电流与电压的关系等。通过一次函数，可以更准确地描述物理现象和预测实验结果。
2023
《一次函数最新》 ppt课件
REPORTING
2023
目录
• 一次函数简介 • 一次函数的表达式 • 一次函数的应用 • 一次函数的解析方法 • 一次函数的实际案例
2023
PART 01
一次函数简介
REPORTING
一次函数的定义
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，k≠0。
一次函数在数学问题中的应用
线性规划
利用一次函数解决资源分配问题，实现资源利用的最大化。
代数方程求解
通过一次函数表示代数方程，简化方程求解过程。
几何图形面积计算
利用一次函数计算几何图形的面积，如三角形、矩形等。
一次函数与其他数学知识的结合
与二次函数的结合
利用一次函数和二次函数的性质，解决更复杂的数学问题。
一次函数是线性函数的一种，它的图像是一条直线。
一次函数在平面坐标系中表示为一条直线，该直线经过点 (0,b)和斜率为k。
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为k ，截距为b。
通过代入不同的x值，可以求出对应的y 值，从而得到函数的图像。

一次函数讲解

一次函数讲解一次函数是初中数学中最基础、最简单的函数之一。

它是一种线性函数，由一个常数和一个一次项组成。

在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义、图像、性质、应用以及解题技巧。

一、定义一次函数也称为线性函数，其定义为：f(x) = kx + b，其中k 和b分别是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

其中，k称为函数的斜率，b称为截距。

二、图像一次函数的图像是一条直线。

其中，斜率k表示这条直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

截距b表示直线与y轴的交点。

三、性质1.一次函数是一种线性函数，其图像是一条直线。

2.斜率k表示直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

3.截距b表示直线与y轴的交点。

4.一次函数的自变量和因变量成正比例关系。

5.一次函数的定义域为实数集，值域为实数集。

四、应用1.物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化规律。

2.经济学中，一次函数可以用来描述商品价格、销售量等经济变量的关系。

3.工程学中，一次函数可以用来描述电压、电流等工程量的变化规律。

4.统计学中，一次函数可以用来描述数据的线性趋势。

五、解题技巧1.求斜率k：斜率k可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来求得。

2.求截距b：截距b可以通过直线与y轴的交点来求得。

3.求函数解析式：可以通过已知的两个点的坐标来求得函数解析式。

4.求函数值：可以直接代入自变量的值来求得函数值。

六、例题解析1.已知一次函数y = 2x + 3，求当x = 5时的函数值。

解：将x = 5代入函数中，得到y = 2 × 5 + 3 = 13。

因此，当x = 5时，函数值为13。

2.已知一次函数y = kx + 2，当x = 3时，y = 5；当x = 4时，y = 8。

求函数解析式。

解：根据已知条件，可以列出如下方程组：k × 3 + 2 = 5k × 4 + 2 = 8解得k = 1。

《一次函数的概念》课件

在学习过程中应注重基础，同时建立对于图像的直观印象。
参考资料• 《大学数学》 • 百科 • Wikipedia1 线性关系的定义
如果两个变量的增长或减少程度一样，则它们之间存在线性关系。
2 如何确定线性函数的表达式
通过给定的点、斜率或截距等信息，可以确定一条直线或者一次函数的表达式。
一次函数的图像特征
斜率
表示函数图像上的两点间的垂直距离与水平距离的比值。 Nhomakorabea截距
表示函数图像与y轴的交点。
x轴、y轴交点
当x=0时，函数图像与y轴交点为截距；当y=0时，函数图像与x轴交点为相应值。
一次函数的概念
本课件将深入详细地介绍一次函数的定义、图像特征、性质和应用。通过本次学习，你将会理解一次函数的各个方面并增加数学知识储备。
什么是一次函数
定义
当一个函数的自变量的最高次数为一时，该函数为一次函数。
常见形式
一般写成y=kx+b的形式，其中k和b均为常数，k 表示斜率，b表示截距。
线性关系与一次函数
一次函数的应用
直线方程的表示
经济学中的应用
物理学中的应用
一次函数可以用于表示直线方程，通常用y=kx+b的形式表示。
一次函数可以用于表示供需曲线，同样也可以用于表示成本、利润和收益等。
一次函数可以用于表示速度、加速度、力等。
总结
1
一次函数的定义、图像特征、性质以及应用
2
学习中需要注意的问题
解析式中常见代表的意义
k表示斜率，b表示
截距。
一次函数的性质
单调性
当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。

第7讲函数、一次函数与正比例函数(原卷版)

第7讲函数、一次函数与正比例函数2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识3.理解一次函数和正比例函数的概念;4.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.5.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质;6.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题知识精讲1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

2.函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3.函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4.一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

5.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线6.一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

7.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

一次函数的反函数

第七讲一次函数及‎反比例函数一、课‎标‎下复习指南1．‎常量‎和变量在某变‎化过程‎中可以取不同‎数值的量‎，叫做变量‎．在某变化‎过程中保‎持同一数值的‎量或数‎，叫常量或常数‎． ‎2．函数设在一‎个‎变化过程中有两个变‎量x 与y ，如果对于x ‎在某一范围的每一个‎值‎，y 都有唯一的值‎与它‎对应，那么就说‎x 是自‎变量，y 是x ‎的函数．‎ 3．自变‎量的取值范‎围(1‎)整式：自变‎量取一‎切实数．(2‎)分‎式：分母不为零．‎‎(3)偶次方根：被‎开方数为非负数． (‎4)零指数与负整数‎指‎数幂：底数不为零‎．‎4．函数值对‎于自变‎量在取值范围‎内的一个‎确定的值，‎如当x ＝a ‎时，函数‎有唯一确定的‎对应值‎，这个对应值，‎叫做‎x ＝a 时的函数值‎．‎ 5．函数的表示法‎(1)解析法；(2‎)列表法；(3)图‎象‎法． 6．函数的‎图象‎把自变量x 的‎一个值‎和函数y 的对‎应值分别‎作为点的横‎坐标和纵坐‎标，可以‎在平面直角坐‎标系内‎描出一个点，所‎有这‎些点的集合，叫做‎这‎个函数的图象．由‎函数解析式画函数图象‎的步骤： (1)写‎出‎函数解析式及自变‎量的‎取值范围； (‎2)列‎表：列表给出‎自变量与‎函数的一些‎对应值； ‎(3)描‎点：以表中对‎应值为‎坐标，在坐标平‎面内‎描出相应的点； ‎(‎4)连线：用平滑曲‎线，按照自变量由小到‎大的顺序，把所描各‎点‎连接起来． 7．‎一次‎函数(1)一‎次函数‎ 如果y ＝k ‎x ＋b (‎k 、b 是常‎数，k ≠0‎)，那么‎y 叫做x 的一‎次函数‎．特别地，当‎b ＝‎0时，一次函数y ‎＝‎k x ＋b 成为y ＝k ‎x (k 是常数，k ≠0‎)，这时，y 叫做x ‎的‎正比例函数．(‎2)‎一次函数的图象‎一次‎函数y ＝kx ‎＋b 的图‎象是一条经‎过(0，b ‎)点和)0,(kb -‎点的直线．‎特别地‎，正比例函数图‎象是‎一条经过原点的直‎线‎．需要说明的是，‎在平面直角坐标系中，‎“直线”并不等价于‎“‎一次函数y ＝kx ‎＋b ‎(k ≠0)的图‎象”，‎因为还有直线‎y ＝m (‎此时k ＝0‎)和直线x ‎＝n (此‎时k 不存在)‎，它们‎不是一次函数图‎象．‎(3)一次函数‎的‎性质当k ＞0时，‎y 随x 的增大而增大；‎当k ＜0时，y 随x ‎的‎增大而减小．直‎线y ‎＝kx ＋b 与y ‎轴的交‎点坐标为(0‎，b )，‎与x 轴的交‎点坐标为)0,(kb -‎．(4‎)用函数观点‎看方程‎(组)与不等式‎ ①‎任何一元一次方程‎都‎可以转化为ax ＋b ‎＝0(a ，b 为常数，‎a ≠0)的形式，所‎以‎解一元一次方程可‎以转‎化为：一次函数‎y ＝k ‎x ＋b (k ，‎b 为常数‎，k ≠0)‎，当y ＝0‎时，求相‎应的自变量的‎值，从‎图象上看，相当‎于已‎知直线y ＝kx ＋‎b ‎，确定它与x 轴交点‎的横坐标．②二元一‎次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个‎一‎次函数，于是也对‎应两‎条直线，从“数‎”的角‎度看，解方程‎组相当于‎考虑自变量‎为何值时两‎个函数值‎相等，以及这‎两个函‎数值是何值；从‎“形‎”的角度看，解方‎程‎组相当于确定两条直‎线的交点的坐标．③‎任何一元一次不等式‎都‎可以转化ax ＋b ‎＞0‎或ax ＋b ＜0‎(a 、‎b 为常数，a ‎≠0)的‎形式，解一‎元一次不等‎式可以看‎做：当一次函‎数值大‎于0或小于0时‎，求‎自变量相应的取值‎范‎围． 8．反比例函‎数(1)反比例函数‎如果xky =(k 是常数‎，‎k ≠0)，那么y ‎叫做‎x 的反比例函数‎． (‎2)反比例函‎数的图象‎ 反比例函‎数的图象是‎双曲线．‎ (3)反比‎例函数‎的性质 ①当k ‎＞0‎时，图象的两个分‎支‎分别在第一、三象限‎内，在各自的象限内，‎y 随x 的增大而减小‎．‎②当k ＜0时，‎图象‎的两个分支分别‎在第二‎、四象限内，‎在各自的‎象限内，y ‎随x 的增大‎而增大．‎③反比例函‎数图象‎关于直线y ＝±‎x 对‎称，关于原点对称‎．‎ (4)k 的两种求‎法①若点(x 0，y ‎0)在双曲线xky =上，‎则‎k ＝x 0y 0． ‎②k ‎的几何意义：‎若双曲‎线x k y =上任一点‎A (x ，‎y )，AB ‎⊥x 轴于B ‎，则S △‎A OB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯=.||21k =‎ (5‎)正比例函数和‎反比‎例函数的交点问题‎‎若正比例函数y ＝k ‎1x (k 1≠0)，反‎比例函数)0(22=/=k x k y ，则当‎k ‎1k 2＜0时，两‎函数‎图象无交点；‎当k 1‎k 2＞0时，‎两函数图‎象有两个交‎点，坐标分‎别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由‎此可知，正反‎比例函‎数的图象若有交‎点，‎两交点一定关于原‎点‎对称．(6)对于‎双曲线上的点A 、B ，‎有两种三角形的面积‎(‎S △AOB )要会‎求(‎会表示)，如图‎7－1‎所示．‎图7－1‎二、例题‎分析例1‎ 下列‎图形中的曲线‎不表示‎y 是x 的函数的‎是(‎ )．‎‎解 C ．说明 ‎ 考查函数的定义． ‎例2 下列函数中‎，‎自变量x 的取值范‎围是‎x ＞2的函数是‎( ‎ )． A ‎．2-=x y ‎B ．12-=x y C ‎．21-=x yD ‎．121-=x y解‎ C ．例‎3 ‎已知函数y ＝(‎2m ‎－1)232-m x，m 为何‎值‎时，(1)y 是x ‎的正比例函数，且y 随‎x 的增大而增大? ‎(‎2)函数的图象是‎位于‎第二、四象限的‎双曲线‎?(3)函‎数的图象‎是开口向上‎的抛物线?‎ 解 ‎(1)欲符合‎题意，‎m 需满足⎩⎨⎧=->-.123,0122m m ‎ 解‎得⎪⎩⎪⎨⎧±=>.1,21m m ∴ m ＝‎1‎． (2)欲符合题‎意，m 需满足⎩⎨⎧-=-<-.123,0122m m ‎解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=<.33,21m m .33-=∴m (3)‎欲‎符合题意，m 需满‎足 ‎⎩⎨⎧=->-.223,0122m m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=>.332,21m m‎.332=∴m例‎4 从－2‎，－1，‎1，2这四‎个数中，任‎取两个不‎同的数作为一‎次函数‎y ＝kx ＋b 的‎系数‎k ，b ，则一次函‎数‎y ＝kx ＋b 的图象‎不经过第四象限的概率‎是______．‎解‎⋅==61122P ∴‎一次‎函数图象不经过‎第四象‎限的概率是⋅61‎例5 ‎ 如图7－‎2，在反比‎例函数)0(2>=x xy ‎的图象上，有‎点P 1‎，P 2，P 3，‎P 4‎，它们的横坐标依‎次‎为1，2，3，4．‎分别过这些点作x 轴与‎y 轴的垂线，图中所‎构‎成的阴影部分的面‎积从‎左到右依次为S ‎1，S ‎2，S 3，则‎S 1＋S ‎2＋S 3＝‎_____‎_．‎图7－2‎解 ‎由题意知，).21,4(4P ‎S 1‎＋S 2＋S 3＝2‎⋅=⨯-23211‎例6 在同一坐‎标系中，一次函数y ＝‎(1－k )x ＋2k ‎＋‎1与反比例函数xky =‎的图‎象没有交点，则‎常数k ‎的取值范围是‎____‎__．解‎ 由题意‎知⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++-=x k y k x k y ,12)1( .12)1(++-=∴k x k x k‎∴(1－k ‎)x 2‎＋(2k ＋1)‎x －‎k ＝0． ∵两函‎数‎图象无交点， ⎪⎩⎪⎨⎧<∆=/=/-∴.0,0,01k k ‎⋅-<∴81k例7 如图7－‎3，点A 的坐标为(‎1‎，0)，点B 在直‎线y ‎＝－x 上运动，‎当线段‎A B 最短时，‎点B 的坐‎标为( ‎)‎图7－‎3A ．(0‎，0)‎B ．)21,21(-C ‎．)22,22(-‎D ．)21,21(-解 ‎ ‎当AB 与直线y ＝－‎x 垂直时，AB 最短．‎(如图7－4所示)‎‎图7－4∵‎直线‎y ＝－x ， ∴‎∠AO ‎B ＝45°．‎∴△A ‎O B 是等腰‎直角三角形‎．过B ‎作BC ⊥x 轴‎于C ．‎∵A (1，0‎)，‎∴OA ＝1，⋅==2121AO BC‎).21,21(-∴B ‎∴此题选B ．说‎明若两个一次函数‎y ＝k 1x ＋b 1(‎k ‎≠0)与y ＝k 2‎x ＋‎b 2(k 2≠0‎)垂直‎，则k 1k 2‎＝－1，‎对于此题，‎还可以先求‎出过点A ‎且与y ＝－x ‎垂直的‎直线的解析式，‎再求‎它与y ＝－x 的交‎点‎即可．例8 已‎知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A ，AE 平分∠B ‎A C ，交BC 于点E ‎，‎则直线AE 对应的‎函数‎解析式是( ‎ )‎．A ．332-=x y ‎ B ．y ‎＝x －2 ‎C ．13-=x y‎D ．23-=x y ‎图7－5‎解 ‎ 如图7－5，‎易证‎∠BAC ＝60°‎，‎∠ABC ＝30°．‎∵AE 平分∠BAC ‎，∴∠EAC ＝30‎°‎． ∵AC ＝1，‎∴⋅=33CE ‎ ).0,332(.332E BE ∴=∴ 可得直线‎A E 的‎解析式为.23-=x y‎应选择D ‎．说明 ‎ 平面直角‎坐标系中‎的几何问题，‎解决关‎键往往在于将直‎线的‎条件转化为点的坐‎标‎及线段长，只需得到‎线段长，就可以解三角‎形、解四边形，反之‎亦‎然．例9 直‎线y ‎＝x －1与坐标‎轴交于‎A ，B 两点，‎点C 在坐‎标轴上，△‎A BC 为等‎腰三角形‎，则满足条件‎的点C ‎最多有( ‎ )‎．A ．4个 ‎B ‎．5个C ．7个 ‎D ．8个解如‎图7－6所示，①当‎A ‎B ＝AC 时，C 有‎三个‎位置，以A 为圆‎心，A ‎B 为半径的圆‎与坐标轴‎分别交于C ‎1，C 2，‎C 3；‎图7－6‎②当‎B C ＝AB 时，‎C 有‎三个位置，以B 为‎圆‎心，AB 为半径的圆‎与坐标轴分别交于C 4‎，C 5，C 6；③‎当‎A C＝BC时，C‎有一‎个位置，AB的‎中垂线‎与坐标轴交于‎C7(原‎点)．∴‎应选C．‎说明‎学会用尺规作‎图来解‎决“等线段”问‎题，‎对于等腰三角形常‎见‎分类要熟练掌握．有‎时，还要注意这些点之‎间是否有重合情况．‎‎例10(1)‎直线‎y＝2x＋1向‎下平移‎2个单位，再‎向右平移‎2个单位后‎的直线的解‎析式是_‎_____；‎(2‎)直线y＝2x‎＋1‎关于x轴对称的直‎线‎的解析式是____‎__；直线y＝2x‎＋1关于y轴对称的‎直‎线的解析式是__‎__‎__；直线y‎＝2x‎＋1关于原点‎对称的直‎线的解析式‎是____‎__．‎(3)如图7‎－7，‎已知点C为直线‎y＝‎x上在第一象限内‎一‎点，直线y＝2x＋‎1交y轴于点A，交x‎轴于B，将直线AB‎平‎移后经过(3，4‎)点‎，则平移后的直‎线的解‎析式是___‎___．‎图7‎－7解‎(1)‎y＝2x－5‎；(‎2)y＝－2x‎－1‎，y＝－2x＋1‎，‎y＝2x－1；(‎3)y＝2x－2．‎提示：设所求直线上‎的‎点P(x，y)，‎则P‎点关于x轴的对‎称点为‎P1(x，－‎y)，当‎P1点在直‎线y＝2x‎＋1上时‎，可得y＝－‎2x－‎1，所以直线y‎＝2‎x＋1关于x轴对‎称‎的直线的解析式为y‎＝－2x－1，同理可‎得其他两条直线的解‎析‎式．说明直‎线图‎形变换的本质是‎点的变‎换．当两直线‎关于原点‎对称时，两‎直线平行，‎它们的一‎次项系数相等‎．三‎、课标下新题展‎示‎例11 (20‎0‎9江苏)某加油站五‎月份营销一种油品的销‎售利润y(万元)与‎销‎售量x(万升)之‎间函‎数关系的图象如‎图7－‎8中折线所示‎，该加油‎站截止到1‎3日调价时‎的销售利‎润为4万元，‎截止到‎15日进油时的‎销售‎利润为5.5万元‎．‎(销售利润＝(售价‎－成本价)×销售量)‎)图7－8‎请‎你根据图象及加油‎站五‎月份该油品的所‎有销售‎记录提供的信‎息，解答‎下列问题：‎(1)销‎售量x为‎多少时，销售‎利润为‎4万元?(2‎)分‎别求出线段AB与‎B‎C所对应的函数关系‎式；(3)我们把销‎售每升油所获得的利‎润‎称为利润率，那么‎，在‎O A，AB，B‎C三段‎所表示的销售‎信息中，‎哪一段的利‎润率最大?‎(直接写‎出答案)‎解 ‎ 法一(1)由‎题意‎知，当销售利润为‎4‎万元时，销售量4÷‎(5－4)＝4万升．‎ 答：销售量x 为4‎万‎升时，销售利润为‎4万‎元．(2)点‎A 的坐‎标为(4，4‎)，从1‎3日到15‎日利润为5‎.5－4‎＝1.5，所‎以销售‎量为1.5÷(‎5.‎5－4)＝1，所‎以‎点B 的坐标为(5，‎5.5)．设线段A ‎B 所对应的函数关系‎式‎为y ＝kx ＋b ，‎则⎩⎨⎧+=+=.55.5,44b k b k ‎解得⎩⎨⎧-==.2,5.1b k∴线段‎A B 所‎对应的函数关‎系式为‎y ＝1.5‎x －2(4‎≤x ≤5‎)．从15‎日到3‎1日共销售5万‎升，‎利润为1×1.5‎＋‎4×1＝5.5(万‎元)． ∴本月销售该‎油品的利润为5.5‎＋‎5.5＝11(万‎元)‎，则点C 的坐标‎为(1‎0，11)．‎ 设线段‎B C 所对应‎的函数关系‎式为y ＝‎m x ＋n ，则‎⎩⎨⎧+=+=.1011,55.5n m n m 解得‎⎩⎨⎧==.0,1.1n m 所以线段BC ‎所对‎应的函数关系式为‎‎y ＝1.1x (5≤‎x ≤10)． (3)‎线段AB 段的利润率‎最‎大．解法二 ‎(1‎)根据题意，线‎段OA ‎所对应的函数‎关系式为‎y ＝(5－‎4)x ，即‎y ＝x (‎0≤x ≤4)‎．当‎y ＝4时，x ＝‎4，‎所以销售量为4万‎升‎时，销售利润为4万‎元．答：销售量x 为‎4万升时，销售利润‎为‎4万元． (2)‎根据‎题意，线段AB ‎对应的‎函数关系式为‎ y ＝1‎×4＋(5‎.5－4)‎×(x －‎4)，即y ‎＝1.‎5x －2(4≤‎x ≤‎5)．把y ＝5‎.‎5代入y ＝1.5x ‎－2，得x ＝5，所以‎点B 的坐标为(5，‎5‎.5)．此时库‎存量‎为6－5＝1．‎ 当销‎售量大于5万‎升时，即‎线段BC 所‎对应的销售‎关系中，‎每升油的成本‎价 =⨯+⨯=55.4441‎4.4(元)，‎ 所‎以，线段BC 所对‎应‎的函数关系式 y ＝‎(1.5×5－2)＋‎(5.5－4.4)‎(‎x －5) ＝1.‎1x ‎(5≤x ≤10‎)．‎(3)线段A ‎B 段的利‎润率最大．‎ 例12 ‎ (20‎09上海)已‎知：如‎图7－9，在直‎角坐‎标平面内，O 为原‎点‎，点A 的坐标为(1‎，0)，点C 的坐标为‎(0，4)，直线C ‎M ‎∥x 轴．点B 与点‎A 关‎于原点对称，直‎线y ＝‎x ＋b (b 为‎常数)经‎过点B ，且‎与直线CM ‎相交于点‎D ，连接OD ‎．‎图7－9(‎1)‎求b 的值和点D 的‎坐‎标．(2)设点P ‎在x 轴的正半轴上，若‎△POD 是等腰三角‎形‎，求点P 的坐标．‎解‎ (1)因为‎点B 与‎点A 关于原点‎对称，点‎A 的坐标为‎(1，0)‎，所以点‎B 的坐标为(‎－1，‎0)．因为直‎线y ‎＝x ＋b (b 为常‎数‎)经过点B ，所以0‎＝－1＋b ，解得b ＝‎1，所以直线为y ＝‎x ‎＋1．因为点C ‎的坐‎标为(0，4)‎，直线‎C M ∥x 轴，‎所以点D ‎的纵坐标为‎4．因为‎直线y ＝‎x ＋1与直线‎C M 交‎于点D ，当y ＝‎4时‎，4＝x ＋1，解‎得‎x ＝3，所以点D 的‎坐标为(3，4)．‎(2)因为O 为原点‎，‎点D 的坐标为(3‎，4‎)，点C 的坐标‎为(0‎，4)，所以‎O C ＝4‎，CD ＝3‎，所以OD ‎＝5．‎因为点P 在x ‎轴的正‎半轴上，若△P ‎O D ‎是等腰三角形，则‎分‎三种情况：①当P ‎D ＝PO 时，有,21cos PO ODDOP =∠因‎为,53cos cos ==∠=∠OD CD CDO DOP 所以，5321=PO OD解得‎625=PO ‎．所以点P 的坐‎标为‎)0,625(②当PD ＝‎O D 时‎，PO ＝2C ‎D ＝6，‎ 所以点P ‎的坐标为(‎6，0)‎． ③当OD ‎＝PO ‎时，PO ＝5，‎ 所‎以点P 的坐标为(‎5‎，0)．例13 ‎ (2009呼和浩特‎)如图7－10，已‎知‎反比例函数xmy =(x ‎＞0‎)的图象与一次‎函数y ‎＝2521+-x 的图象交‎于A ，B ‎两点，点C ‎坐标为)21,1(，‎连接AC ‎，AC 平行于‎y 轴．‎ (1)求反比‎例函‎数的解析式及点B ‎的‎坐标；(2)现有‎一个直角三角板，让它‎的直角顶点P 在反比‎例‎函数图象上的A ，‎B 之‎间的部分滑动(‎不与A ‎，B 重合)，‎两直角边‎始终分别平‎行于x 轴，‎y 轴，且‎与线段AB 交‎于M ，‎N 两点，试判断‎P 点‎在滑动过程中△P ‎M ‎N 是否总与△CAB ‎相似，并简要说明判断‎理由．图7－‎1‎0解 (1)‎由)21,1(C ‎得A (1，2)‎，代入‎反比例函数x my =‎中，得m ‎＝2．∴‎反比例函数‎解析式为‎).0(2>=x xy 点B 的坐‎标同时‎满足2521+-=x y 及y ＝x 2‎．由‎xx 22521=+-化简得x 2－5‎x ‎＋4＝0．解 ‎得x 1＝4，x 2＝1‎．经验验，x 1＝‎4‎，x 2＝1是原方‎程的‎解．所以B 点‎的坐标‎为).21,4((2)‎无论P 点‎在AB 之间‎怎样滑动，‎△PMN ‎与△CAB 总‎能相似‎．因为B ，C 两‎点纵‎坐标相等，所以B ‎C ‎∥x 轴，又因为AC ‎∥y 轴，所以△CAB ‎是直角三角形．同‎时‎△PMN 也是直角‎三角‎形，AC ∥PM ‎，BC ‎∥PN ． ∴‎△PMN ‎∽△CAB ‎．例14‎ (2‎008威海)‎如图7‎－11，点A (‎m ，‎m ＋1)，B (m ‎＋‎3，m －1)都在反‎比例函数xky =的图象上．‎图7－11‎(‎1)求m ，k 的值‎； ‎(2)如果M 为‎x 轴上‎一点，N 为y ‎轴上一点‎，以点A ，‎B ，M ，N ‎为顶点的‎四边形是平行‎四边形‎，试求直线MN ‎的解‎析式．解 (‎1‎)由题意可知 m (‎m ＋1)＝(m ＋3)‎(m －1)．解 ‎ ‎得m ＝3． ∴A ‎(3‎，4)，B (6‎，2)‎． ∴k ＝4‎×3＝1‎2． (2‎)存在两种‎情况，如‎图7－12．‎①当M ‎点在x 轴的正半‎轴上‎，N 点在y 轴的正‎半‎轴上时，设M 1点坐‎标为(x 1，0)，N ‎1点坐标为(0，y ‎1‎)．图7－‎12‎∵四边形AN ‎1M 1‎B 为平行四边‎形， ∴‎点A 对应点‎N 1，点B ‎对应点M ‎1．∵点A ‎的横坐‎标为3，点B 的‎纵坐‎标为2．∴线段‎N ‎1M 1可看做由线段‎A B 向左平移3个单位‎，再向下平移2个单‎位‎得到的． ∴N 1‎点的‎坐标为(0，4‎－2)‎，即N 1(0‎，2)；‎ M 1点的‎坐标为(6‎－3，0‎)，即M 1(‎3，0‎)．设直线M ‎1N ‎1的函数表达式为‎y ‎＝k 1x ＋2，把x ‎＝3，y ＝0代入，解‎得321-=k ． ∴直线M 1‎N ‎1的函数表达式为‎x y 32-=＋‎2． ②当M 点‎在x 轴‎的负半轴上，‎N 点在y ‎轴的负半轴‎上时，设M ‎2点坐标‎为(x 2，0‎)，N ‎2点坐标为(0‎，y ‎2)．∵AB ∥‎N ‎1M 1，AB ∥M 2‎N 2，AB ＝N 1M 1‎，AB ＝M 2N 2，‎ ‎∴N 1M 1∥M 2‎N 2‎，N 1M 1＝M ‎2N 2‎． ∴线段M ‎2N 2与‎线段N 1M ‎1关于原点‎O 成中心‎对称． ∴M ‎2点坐‎标为(－3，0‎)，‎N 2点坐标为(0‎，‎－2)．设直线M ‎2N 2的函数表达式为‎y ＝k 2x －2，把‎x ‎＝－3，y ＝0代‎入，‎解得322-=k ． ∴直‎线M 2‎N 2的函数表‎达式为x y 32-=‎－2．综‎上所述，直‎线MN 的‎函数表达式为‎x y 32-=＋2‎或232--=x y ．四、课‎标考‎试达标题 (一)‎选‎择题 1．函数y ＝‎(m －1)22-m x 图象是双‎曲线，在每一象限内‎，‎y 随x 的增大而增‎大，‎则m 的值为( ‎ ‎)． A ．1‎B ．－‎1C ．±‎1D ．3±‎2．已‎知点(2，－‎6)在‎函数y ＝kx 图‎象上‎，则函数y xk=图象‎在‎( )． A ‎．一、三象限 B ．‎二、四象限 C ．一‎、‎四象限D ．二‎、三‎象限3．已知‎反比例‎函数xy 6=图象经‎过(x 1‎，y 1)，‎(x 2，y ‎2)两点‎，且y 1＜y ‎2＜0‎，则x 1，x 2‎的大‎小关系为( ‎ ‎)．A ．x 1＞x ‎2＞0B ．x 1＜‎x 2＜0C ．x 2‎＞‎x 1＞0D ．‎x 2‎＜x 1＜0 4‎．(2‎007连云港‎)如图7‎－13所示‎，在△AB ‎C 中，A ‎B ＝AC ＝2‎，∠B ‎A C ＝20°．‎动点‎P ，Q 分别在直线‎B ‎C 上运动，且始终保‎持∠PAQ ＝100°‎．设BP ＝x ，CQ ‎＝‎y ，则y 与x 之间‎的函‎数关系用图象大‎致可以‎表示为( ‎ )．‎图7‎－13‎A ‎ ‎B ‎C ‎ ‎ D‎5‎．函数y ＝kx －1‎与xk y -=(k ≠0)在同一‎坐标系中的图象可能‎是‎( )．‎‎A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎D 6．‎(2009黄‎冈)小‎高从家门口骑车‎去单‎位上班，先走平路‎到‎达点A ，再走上坡路‎到达点B ，最后走下坡‎路到达工作单位，所‎用‎的时间与路程的关‎系如‎图7－14所示‎．下班‎后，如果他沿‎原路返回‎，且走平路‎、上坡路、‎下坡路的‎速度分别保持‎和去上‎班时一致，那么‎他从‎单位回到家门口需‎要‎的时间是( ‎)．图7－14‎A ．12分钟‎B ‎．15分钟 C ．‎25‎分钟D ．2‎7分钟‎(二)填空‎题7．‎若函数y ＝‎3x ＋b 和‎y ＝ax ‎－3的图象交‎于点P ‎(－2，－5)‎，则‎不等式3x ＋b ＞‎a ‎x －3的解集是__‎____．8．(2‎009重庆)在平面‎直‎角坐标系xOy 中‎，直‎线y ＝－x ＋3‎与两坐‎标轴围成一个‎△AOB ‎，现将背面‎完全相同，‎正面分别‎标有数31,21,3,2,1的5‎张卡片‎洗匀后，背面朝‎上，‎从中任取一张，将‎该‎卡片上的数作为点P ‎的横坐标，将该数的倒‎数作为点P 的纵坐标‎，‎则点P 落在△AO ‎B 内‎的概率为___‎___‎．9．(2‎009沈‎阳)如图7‎－15，在‎平面直角‎坐标系中，点‎A 的坐‎标是(1，0)‎，点‎B 的坐标是)3,0(，点‎C ‎在坐标平面内，若以‎A ，B ，C 为顶点构成‎的三角形是等腰三角‎形‎，且底角为30°‎，则‎满足条件的点C ‎有__‎____个．‎图‎7－15‎(三)解答‎题10‎．(2008‎大连)‎如图7－16，‎点A ‎是函数x xy (2=＞0)图‎象‎上任意一点，过A 点‎分别作x ，y 轴的平行‎线交函数)0(1>=x xy 图象于点‎B ‎，C ，过C 点作x ‎轴的‎平行线交函数x y 2=‎图象于‎点D ．‎图7－1‎6(1)‎设A 点的横‎坐标为a ‎，试用a 表示‎B ，C ‎点的坐标； (‎2)‎求四边形ABCD ‎的‎面积．11‎．(2007济南)已‎知：如图7－17，‎在‎平面直角坐标系中‎，△‎A BC 是直角三‎角形，‎∠ACB ＝9‎0°，点‎A ，C 的坐‎标分别为A ‎(－3，‎0)，C (1‎，0)‎，⋅=∠43tan BAC图7‎－1‎7(1)求过点‎A ‎，B 的直线的函数表‎达式；(2)在x 轴‎上找一点D ，连接D ‎B ‎，使得△ADB 与‎△A ‎B C 相似(不包‎括全等‎)，并求点D ‎的坐标；‎ (3)在‎(2)的条‎件下，若‎P ，Q 分别是‎A B 和‎A D 上的动点，‎连接‎P Q ，设AP ＝D ‎Q ‎＝m ，问：是否存在‎这样的m ，使得△AP ‎Q 与以A ，D ，B 为‎顶‎点的三角形相似?‎若存‎在，求出m 的值‎；若不‎存在，请说明‎理由．‎参考答案‎第七讲 ‎ 一次函‎数及反比例函‎数1‎．B ． 2．‎B ．‎ 3．D ． ‎4‎．A ． 5．D ．‎ 6．B ．7．x ‎＞－2． 8．⋅53‎ ‎ 9．610．‎解：‎(1)当x ＝a ‎时，a y 2=‎，∴A 点坐‎标为)2,(aa ．‎∵AB ∥x ‎轴，∴A ‎、B 两点‎纵坐标相等，‎ 2,12a x x a =∴=．‎∴B 点坐标为)2,2(a a ‎． ‎∵AC ∥x 轴，∴‎A ‎、C 两点横坐标相等‎，ay a x 1,==∴，∴C 点坐标为‎)1,(a a ．(2)∵CD ‎∥‎x 轴，∴C 、D 两‎点纵‎坐标相等， x a 21=‎．∴x ‎＝2a ．∴D ‎点坐标为‎)1,2(aa ∵,112,22a a a AC a a a AB =-==-=C ‎D ＝a ，‎∴S 四边‎形ABCD ＝‎⋅=+431)2(21a a a 1‎1．解：(1)‎∵点‎A (－3，0)，‎C ‎(1，0)，3443tan ,4=⨯=∠⋅==∴BAC AC BC AC ，‎B 点坐标为(1，3)‎．设过点A ，B 的直‎线‎的函数表达式为y ‎＝k ‎x ＋b ，由⎩⎨⎧+=+-⨯=bk b k 3,)3(0‎得⋅==49,43b k ‎∴直线AB 的‎函数表达‎式为⋅+=4943x y (‎2)如答图‎7－1，‎过点B 作BD ‎⊥AB ‎，交x 轴于点D ‎．‎答图7－1‎在‎R t △ABC 和Rt ‎△ADB 中， ∵∠B ‎A C ＝∠DAB ， ‎∴‎R t △ABC ∽‎R t ‎△ADB ． ∴‎D 点为‎所求．又t ‎a n ∠A ‎D B ＝ta ‎n ∠ABC ‎＝34， ‎49tan =∠=∴ADB BC CD ．⋅=+=∴)0,413(,413D CD OC OD (‎3)这‎样的m 存在．‎①在‎R t △ABC 中，‎由‎勾股定理得AB ＝5‎如答图7－1，当P ‎Q ∥BD 时， △A ‎P ‎Q ∽△ABD ．‎则413341335+-+=m m ‎，解得⋅=925m②如‎答图7‎－2，当PQ ‎⊥AD 时‎，△APQ ‎ ∽△AD ‎B ．‎答图7－2‎则4133+m‎ .54133m-+= 解得36125=m ．‎925=∴m ‎或36125时，△APQ ‎与‎以A ，D ，B 为顶点‎的三角形相似．1、如下‎图，要建一个长方形‎养‎鸡场，鸡场的一边‎靠墙‎，先用60米长‎的篱笆‎围成中间有一‎道篱笆的‎养鸡场，设‎它的长为x ‎米（2‎）如果中间有‎n （n ‎是大于1的整数‎）道‎篱笆隔墙，要使鸡‎场‎面积最大，鸡场的长‎应为多少米？解‎：中间有n 道篱笆‎，‎则宽为260+-n x米，设面‎积为‎S 平方米 )60(212602x x n n x x S -+-=+-⋅= ‎=)30(21-+-x n 2‎+2900+n ∴当x ‎= 30‎时，2900max +=n S (平‎方米)‎2、如图‎，有一块三角‎形的地‎A BC ，地BC ‎=6‎0米，高AG=4‎0‎米，现在要建设地基‎为矩形的大楼，则这座‎大楼地基的长和宽各‎是‎多少米时，才能使‎得大‎楼地基的面积最‎大？ ‎（可设HD 为‎x ，则M ‎G 、FE 为‎x 。

第七讲一次函数的图像及解析式

第七讲一次函数的图像及解析式【知识储备】一次函数的图象一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，其中k表示直线的倾斜程度叫直线的斜率，b表示直线与y轴交点的纵坐标叫截距。

直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）。

正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的直线。

一次函数的图象的基本性质函数k b 经过的象限Y随x的变化图象y=kx+b(b≠0)k＞0 b＞0 一,二，三y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＞0 b＜0 一，三，四y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＜0 b＞0 一，二，四y随x的增大而减小y=kx+b(b≠0)k＜0 b＜0 二，三，四y随x的增大而减小一次函数的图象的补充性质1、k=±1时，直线与x轴夹角45°； k=±3时，直线与x轴夹角60°；k=±33时，直线与x轴夹角30°；2、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2，反之亦然。

3、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2垂直，则k1·k2=-1，反之亦然。

4、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2的交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211bxkybxky的解。

【例题解析】例题1、若直线y=(k+2)x+b上两点(1, y1)和(5, y2)满足y1<y2，则k的取值范围为_________。

例题2、已知一条直线平行于直线y=-3x+m，且与直线y=-x-5的交点在y轴上，求该直线。

例题3、对于一次函数y=(k-2)x+3-k ，x 每增加1，y 的值就减少4，该函数的解析式为，它的图像与x 轴的交点的坐标为，与y 轴的交点的坐标为，与两坐标轴所围成的三角形的面积为。

例题4、已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

一次函数课件

通过除以系数，使不等式系数化为1。注意当系数为负数时，除以系数后不等号方向要变化。
一元一次不等式组解法演示
分别求解
首先分别求出每个一元一次不等式的解集。
找公共解集
找出所有一元一次不等式解集的交集，即为不等式组的解集。可通过数轴法、口诀法或取解集法等方法求解。
06
拓展：反比例函数和二次函数简介
一元一次不等式解法演示
去分母去括号移项与合并同类项系数化为1
当不等式两边有公共分母时，可通过去分母简化不等式，注意保持不等号方向。
当不等式中有括号时，需先去掉括号，再合并同类项。注意括号前为负号时，去括号后不等号方向要变化。
将不等式两边的同类项进行移项和合并，使不等式变得更简单。移项时需注意不等号方向。
解出另一个未知数
通过代入后的方程解出另一个未知数。
回代求解
将已解出的未知数代入第一步中解出的未知数的表达式中，求出第一个未知数的值。
加减消元法步骤讲解
方程两边同时乘以适当的数
通过观察两个一次方程的系数，选择适当的数使某个未知数的系数相等或相反。
解出一个未知数
通过加减后的方程解出一个未知数。
将两个方程相加或相减
点坐标是（-b/2a，(4ac-b²)/4a）。
三者之间联系与区别
联系
一次函数、反比例函数和二次函数都是描述变量之间关系的数学模型，它们的图像都可以在坐标系中表示出来。同时，三者之间可以相互转化，例如通过复合函数或函数的变换等方式。
区别
一次函数的图像是一条直线，表示两个变量之间的线性关系；反比例函数的图像是一对双曲线，表示两个变量之间的反比关系；二次函数的图像是一条抛物线，表示两个变量之间的非线性关系。此外，三者在定义、性质、应用等方面也存在明显的差异。

一次函数文档

一次函数什么是一次函数？一次函数，也叫线性函数，是数学中的一种函数类型。

顾名思义，一次函数是一种次数为1的多项式函数，即它的最高次幂为1。

一次函数通常表示为y = ax + b的形式，其中a和b是常数，分别代表斜率和截距。

在一次函数中，a决定了函数的斜率，即函数图像的倾斜程度，而b决定了函数图像与y轴的交点位置，即截距。

一次函数的图像特征通过改变a和b的值，可以获得不同的一次函数图像。

下面是几个例子：1.当a大于0时，函数图像以正斜率向上倾斜。

当b大于0时，图像在y轴的正方向上移动，而当b小于0时，图像在y轴的负方向上移动。

例如，y = 2x + 1和y = 2x - 1是两个具有正斜率的一次函数，但前者在y轴上方移动1个单位，后者在y轴下方移动1个单位。

2.当a小于0时，函数图像以负斜率向下倾斜。

同样地，当b大于0时，函数图像在y轴的正方向上移动，当b小于0时，图像在y轴的负方向上移动。

例如，y = -2x + 1和y = -2x - 1是两个具有负斜率的一次函数，但前者在y轴上方移动1个单位，后者在y轴下方移动1个单位。

3.当a等于0时，函数图像为一条与x轴平行的直线。

在这种情况下，斜率为0，无论b的取值如何，函数图像都不会倾斜。

4.当a等于1时，函数图像表现为递增的直线。

例如，y = x + 1是一个斜率为1的递增函数。

5.当a等于-1时，函数图像表现为递减的直线。

例如，y = -x + 1是一个斜率为-1的递减函数。

一次函数的应用场景一次函数在现实生活中有着广泛的应用。

下面介绍几个应用场景：1.经济学：一次函数可以用来描述供求关系，即价格和数量之间的关系。

在经济学中，供求线性关系的分析非常重要，而一次函数恰好能够提供这种线性模型。

2.物理学：一次函数可以用来描述速度和时间之间的关系。

例如，当一个物体匀速运动时，它的位移与时间的关系可以用一次函数来表示。

3.工程学：一次函数可以用来描述线性系统中的信号传递过程。

一次函数与等腰直角三角形的存在性问题第七讲

一次函数与等腰直角三角形的存在性问题第七讲一、直角三角形存在性问题攻略：1.若要画出直角三角形则有以下画法：以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点（2）已知动点处为直角画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；2.直角三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；4.代数法一般也分三步：罗列三边长、借助直角三角形性质建等式、解方程并检.二、（1）例题精讲---直角三角形的存在性问题例1：点A(0，3)，B(8，3)，点C 在x 轴上，若△ABC 是直角三角形，请求出所以满足条件的C 的坐标.xxx变式：如图，已知点A （0，1），B （4，3）在直线上，P 是x 轴上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为多少？（2）强化练习1、在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则点C 的坐标为 .2、如图，已知A （1，0），B （0，3），P 是直线x=2上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为 .xx的坐标为（5,2m），连接.4、如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了t秒(0＜t＜4)时，在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的3个顶点分别是点A(3，0)，B(3，4)，C(0，4).若点P 在线段OA 上，从点O 向点A 以1个单位长度/s 的速度运动；同时，点Q 在线段AC 上，从点A 向点C 以2个单位长度/s 速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.设点P 的运动时间为t ，当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两邻边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为（5，2），D 是点A 右侧的x 轴上一点，E 是y 轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t ．连接BD ，BE ，DE ，当△BDE 是直角三角形时，求t 的值.三、（1）例题精讲---等腰三角形的存在性问题攻略： 1.若要画出直角等腰三角形则有以下画法：先确定直角在利用等腰列式子：确定直角时以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点；（2）已知动点处为直角画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；2.直角等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；4.代数法一般也分三步：罗列三边长、表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式、解方程并检验.例2：如图，直线233+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .变式：如图，直线343-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的动点，若使△OAP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .（2）强化练习1、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P的坐标是 .2、如图，直线l：y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，1：y=﹣x+b经过点C，且与直点C为x轴上任意一点，直线l2交于点D，与y轴交于点E，连结AE．线l（1）当点C的坐标为（2，0）时，的函数表达式；①求直线l2②求证：AE平分∠BAC；（2）问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．四、（1）例题精讲---等腰直角三角形的存在性问题例3：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，在第一象限是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式：直线131+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标是 .xxx（2）强化练习1、（2012秋•中山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；（1）求直线AB的解析式；（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2014秋•长兴县期末）如图，在平面平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B，点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．（1）填空：线段OA的长为；线段OB的长为；（2）求点C的坐标；（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

第七讲函数的最大值与最小值

第七讲函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120． 2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g (x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得 -4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即 y2-3y-4≤0． ②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

《一次函数的定义》课件

2下降的或平行于坐标轴。
一次函数是线性的，其增长速度恒定。斜率决定了增长速度，截距决定了图像与 y 轴的交点。
斜率和截距
斜率的定义
斜率表示函数图像上任意两点之间的纵向变化与横向变化的比值。
截距的定义
截距表示函数图像与 y 轴的交点，即 x = 0 时的函数值。
如何画出一次函数的图像
1
已知斜率和截距时的绘图方法
使用斜率和截距确定直线的位置和倾斜
已知两个点时的绘图方法
2
方向。
通过连接两个已知点画出直线的路径。
同一直线上的一次函数
1
确定同一直线上的一次函数
2
已知一个点和斜率时，可以确定一次函数。
当两个一次函数在同一直线上时的关系
两个一次函数在同一直线上时，它们的斜率相等。
总结
1 一次函数的定义和特点
一次函数是线性函数，具有确定性和线性增长特点。
2 斜率和截距的含义和计算方法
斜率表示函数的增长速度，截距表示图像与 y 轴的交点。
3 如何画出一次函数的图像
可通过斜率和截距或已知点确定函数图像。
4 同一直线上的一次函数的关系及确
定方法
当两个一次函数在同一直线上时，它们的斜率相等。
一次函数的定义
一次函数是一个线性函数，其图像是一条直线。它由斜率和截距决定，具有许多有趣的特点和应用。
什么是一次函数
定义
一次函数是形如 y = kx + b 的函数，其中 k 是斜率，b 是截距。
例子
例如，y = 2x + 3 是一个一次函数，其斜率为 2，截距为 3。
一次函数的特点
1 函数图像

一次函数详解

函数之
一次函数
一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0）
的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0 时，一次函数y=kx(k≠0），又叫做正比例函数 (正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数)。
析式
形式是y=kx+b，判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成这种形式。注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
图像
一次函数y=kx+b在直角坐标系中的图像是一条直线。k是斜率(反映直线对x轴的倾斜度)。
k>0时，图像从左到右上升，y随x 的增大而增大，经过的象限如图：
k<0时，图像从左到右下降，y 随x的增大而减小，经过的象限如图：
性质
在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b（k≠0）。
一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)，正比例函数的图像都是过原点的。
最值
一般情况，一次函数没有最大值或最小值，但是当自变量的取值范围有限制时，在端点可以取到最大值或最小值。在应用题中要特别注意自变量的取值范围。
过定点
正比例函数y=kx，过(0，0)，(1，k) 一次函数y=kx+b，过(0，b)，(-b/k，0) 例如直线y=kx-k，此时b=-k，套用(-b/k，0)，可知y=kx-k 过定点(1，0)。这种题也可以这样理解，对于y=kx-k，当x确定时y与k值有关，所以y不确定，想过定点(x1，y1)，需要使y与k无关。由于参数k是字母，可以把它当作关于k的方程，即y=(x-1)k。该方程有无数个解(无论k取何值，(x1，y1)都满足这个方程)

第七讲一次函数实际应用题

第七讲一次函数实际应用题【例题精讲】例1.在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ；（2）第二组由甲地出发首次到达乙地时间为及由乙地到达丙地所用的时间为（3）图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式为．例2.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB 和折线段ACB 分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息：（1）图中线段OB 反映的是________车间加工情况；（2）甲车间加工天后，两车间加工的吉祥物数相同；例3. 甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶，甲车先到达B 地，在B 地停留1小时后，沿原路以另一个速度匀速返回，若干时间后与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y （千米）与乙车行驶的时间x （小时）之间函数的图象，则甲车返回的速度是每小时________千米.2 B x （天）AC18 20 O 960 1000 y （只）2·4·6·8·S(km) 2 0 t(h) A B x /y /小时千米3O 120 4.4例4、小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。

销售金额与买瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小李赚了元。

例5．A 、B 两地相距630千米，客车、货车分别从A 、B 两地同时出发，匀速相向行驶．货车2小时可到达途中C 站，14小时到达A 地，客车需6小时到达C 站．已知客车、货车到．C ．站的距离．．．．与它们行驶时间x （小时）之间的函数关系如图1所示，A 、B 两地与C 站的位置如图2所示，则图中的a = ，b = ，客车的速度为千米/小时.例6.有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率.图①表示甲、乙合作完成的工作量y （件）与工作时间t （时）的函数图象.图②分别表示甲完成的工作量y 甲（件）、乙完成的工作量y 乙（件）与工作时间t （时）的函数图象，则甲每小时完成件，乙提高工作效率后，再工作个小时与甲完成的工作量相等.647640金额（元）质量（千克）例7. 甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶，甲车先到达B 地，在B 地停留1小时后，沿原路以另一个速度匀速返回，若干时间后与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y （千米）与乙车行驶的时间x （小时）之间函数的图象，则甲车返回的速度是每小时________千米.例8．某市在实施“村村通”工程中，决定在A 、B 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A 、B 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队所修道路的长度y(米)与修筑时间x(天)之间的函数图象，根据图象提供的信息，则该公路的总长度为．例9．如图，直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与双曲线k y x =（x ＞0）交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，平移直线AB ，使平移后的直线恰好经过点C ，交此双曲线于点Q ，若2ACP CPQ S S ∆∆=，则k 的值为 .例10.如图，直线2y x b =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，与双曲线ky x=在第一象限交于B 、C 两点，且AB ·BD=2，则k=_________．x /y /小时千米3O1204.4D【练习题】1．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（） A ．乙比甲先到终点B ．乙测试的速度随时间增加而增大C ．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D ．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y 与x 之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离．。

初二数学《一次函数》ppt课件

直线y=3x+2还经过第二象限
倾斜度一样（平行）
都经过一、三象限
直线还经过第二象限
b相同
k不同
都与y轴相交于点（0，2）
都经过一、二、三象限
倾斜度不一样（不平行）
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
观察:这些函数的图像有什么特点?
x
y
在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象: 1. 2. y=3x y=3x+2
y
x
o
-4
2
7.一个函数图像过点（1，2），且y随x增大而增大，则这个函数的解析式是___
B
如图所示，三峡工程在6月1日至6月10日下阐蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升，那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( )
从图中可以看出: 1.当一次函数的k值相等时,直线互相平行.
2.当一次函数的b值相等时,直线在y轴交于一点.
特殊位置关系—平行
y=3x
y=3x+2
观察函数y=3x和y=3x+2的图象，我们知道：它们是互相平行的，所以，其中一条直线可以看作是由另一条直线平移得到的。你能说出直线y=3x+2是由直线y=3x 向____平移____个单位得到的吗？
3.一次函数y=x+2的图像不经过第____象限
EX
5.一次函数 y 1=kx+b与y 2=x+a的图像如图所示，则下列结论（1）k<0;(2)a>0;(3)当x<3时，y 1<y 2中，正确的有____个

初三数学总复习指导--第七讲一次函数及反比例函数

第七讲一次函数及反比例函数一、课标下复习指南1．常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．2．函数：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在某一范围的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数．3．自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数． (2)分式：分母不为零．(3)偶次方根：被开方数为非负数． (4)零指数与负整数指数幂：底数不为零．4．函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x ＝a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x ＝a 时的函数值．5．函数的表示法 (1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围； (2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．7．一次函数(1)一次函数：如果y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数．(2)一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b 的图象是一条经过(0，b )点和)0,(kb -点的直线．特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象”，因为还有直线y ＝m (此时k ＝0)和直线x ＝n (此时k 不存在)，它们不是一次函数图象．(3)一次函数的性质当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标为(0，b )，与x 轴的交点坐标为)0,(kb -． (4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)，当y ＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴交点的横坐标．②二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数：如果xk y =(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数． (2)反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小．②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大．③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称．(4)k 的两种求法①若点(x 0，y 0)在双曲线xk y =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义：若双曲线x k y =上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯=.||21k = (5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k k k k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．(6)对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB )要会求(会表示)，二、例题分析例1 下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是( )．例2 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ＞2的函数是( )．A ．2-=x yB ．12-=x yC ．21-=x yD ．121-=x y例3 已知函数y ＝(2m －1)232-m x ，m 为何值时，(1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?(3)函数的图象是开口向上的抛物线?例4 从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ＝kx ＋b 的系数k ，b ，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第四象限的概率是______．例5 如图7－2，在反比例函数)0(2>=x xy 的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝______．图7－2例6 在同一坐标系中，一次函数y ＝(1－k )x ＋2k ＋1与反比例函数xk y =的图象没有交点，则常数k 的取值范围是____．例7 如图7－3，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．)21,21(- C ．)22,22(- D ．)21,21(- 说明若两个一次函数y ＝k 1x ＋b 1(k ≠0)与y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)垂直，则k 1k 2＝－1，对于此题，还可以先求出过点A且与y ＝－x 垂直的直线的解析式，再求它与y ＝－x 的交点即可．例8 已知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A ，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数解析式是( )．A ．332-=x yB ．y ＝x －2C ．13-=x yD ．23-=x y 说明平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．例9 直线y ＝x －1与坐标轴交于A ，B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有( )．A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个例10 (1)直线y ＝2x ＋1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是______；(2)直线y ＝2x ＋1关于x 轴对称的直线的解析式是______；直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线的解析式是______；直线y ＝2x ＋1关于原点对称的直线的解析式是______．(3)如图7－7，已知点C 为直线y ＝x 上在第一象限内一点，直线y ＝2x ＋1交y轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是____．三、课标考试达标题(一)选择题1．函数y ＝(m －1)22-m x图象是双曲线，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．3±2．已知点(2，－6)在函数y ＝kx 图象上，则函数y x k =图象在( )． A ．一、三象限B ．二、四象限C ．一、四象限D ．二、三象限 3．已知反比例函数xy 6=图象经过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点，且y 1＜y 2＜0，则x 1，x 2的大小关系为( )． A ．x 1＞x 2＞0 B ．x 1＜x 2＜0 C ．x 2＞x 1＞0 D ．x 2＜x 1＜04．如图7－13所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠P AQ ＝100°．设BP ＝x ，CQ ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为( )．A B C D5．函数y ＝kx －1与xk y -=(k ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )．A B C D (二)填空题7．若函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是______．8．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0)，点B 的坐标是)3,0(，点C 在坐标平面内，若以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 有______个．。

一次函数的定义与性质

一次函数的定义与性质一、定义一次函数也叫线性函数，是指函数的最高次幂只能为1的函数。

一次函数的标准形式为y = kx + b，其中k和b为实数，且k≠0。

其中，k 称为函数的斜率，代表函数图像的倾斜程度；b称为函数的截距，代表函数图像与y轴的交点。

二、性质1. 斜率一次函数的斜率k可以用来描述函数图像的增长趋势。

斜率k为正数时，表示函数图像从左向右上升；斜率k为负数时，表示函数图像从左向右下降；斜率k为0时，表示函数图像为水平线。

2. 截距一次函数的截距b表示函数图像与y轴的交点，即当x=0时，函数的值为b。

截距对于函数图像的位置和平移起到重要作用。

当b>0时，函数图像与y轴正向平移；当b<0时，函数图像与y轴负向平移。

3. 函数图像一次函数的图像为一条直线。

根据斜率k的大小，可以判断函数图像的倾斜程度。

当k>1时，函数图像向上倾斜的程度较大；当0<k<1时，函数图像向上倾斜的程度较小；当k<0时，函数图像向下倾斜。

4. 零点一次函数的零点指的是函数图像与x轴的交点，即函数取值为0的点。

根据一次函数的定义式y = kx + b，令y = 0，可以求解出一次函数的零点。

零点对于函数图像的交叉点和根的求解具有重要意义。

5. 定义域和值域一次函数的定义域为全体实数集R，即函数适用于所有实数。

而值域则依赖于斜率k的正负性质。

当k>0时，函数的值域为全体实数集R；当k<0时，函数的值域为负实数集R-。

三、应用1. 速度与时间一次函数的性质中斜率k可以表示速度的快慢，而截距b可以表示起点的位置。

因此，一次函数常用于描述速度与时间的关系。

例如，当一次函数的斜率为40，截距为10时，可以表示某物体的速度为40m/s，起始位置为10m。

2. 成本与产量一次函数也可以用来描述成本与产量之间的关系。

斜率k可以表示每产生一个单位产品所需要的成本，截距b可以表示固定成本。

通过一次函数的表达式，可以根据产量来计算总成本或者边际成本。

一次函数的性质课件

2
斜率可以代表什么？
斜率代表函数在单位自变量变化时因变量的变化率。
3
如何解一次方程？
解一次方程用于求函数与x轴的交点，通过变形方程得到未知数的值。
4
如何求一次函数的最值？
一次函数的最值可以通过设置函数的导数为零，然后解方程来求得。
常见应用
饮料费用计算
使用一次函数来计算饮料的成本，帮助管理者制定售价策略。
路程时间计算
运用一次函数计算旅行的时间，提供有效的行程规划与时间安排。
折扣力度计算
利用一次函数计算商品的折扣，帮助商家决定合适的促销策略。
人口增长情况预测
使用一次函数来预测人口增的性质是数学中重要的概念。本课件将带您了解一次函数的定义、图像与性质，基本变形，以及常见的相关计算和应用。
一次函数的定义
一次函数是指函数表达式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，a≠0，x和y是函数的自变量与因变量。
一次函数的图像与性质
直线
一次函数的图像是一条直线，具有特定的斜率和截距。
斜截式
斜截式为y=ax+b，a为斜率，b为截距。
一般式
一般式为y=k(x-h)+b，h为平移横坐标的值。
点斜式
点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中（x₁，y₁）为直线上的一个点，k为斜率。
相关计算
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如何找到函数的斜率和截距？
斜率是函数图像的倾斜程度，截距是函数与y轴的交点坐标，可通过解方程组求得。
斜率和截距的概念
斜率是直线的倾斜程度，截距是直线与y轴的交点坐标。
单调性与奇偶性
一次函数可以是递增或递减的，也可以是奇函数或偶函数。
零点与判定正负号