八年级数学上册期末复习精炼第十三章轴对称考点2线段的垂直平分线的性质课件新版新人教版20180903471
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八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段垂直平分线的性质教学课件
CF=C'F'，∠MFC=∠MFC'=90°.
因此，对称轴经过(jīngguò)对称点所连线段的中点，并且 垂直于这条线段.
M
A
A'
B
B'
C C' N
第五页，共二十页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点1 线段(xiànduàn)的垂直平分
线
概念： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的
从正方形中数字的排列可以看出，其中一条对 角线上的数字都是5，若把对角线所在的直线当 作对称轴，把正方形翻折一下，则除对称轴以 外的其他对称位置的两数之和都是10.
12345 23456 34567 45678 56789
第十五页，共二十页。
拓展(tuò zhǎn)与延伸
如图，在正方形中均匀分布着一些数字，小明利用(lìyòng)轴对称的思想，用了一种 非常简便的方法，迅速地将这些数字的和求了出来，你知道他是怎么求出来的吗？
（2）如果将（1）中∠A的度数(dù shu)改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
（3）你发现有什么规律？请尝试证明.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题发现的规律是否需要加以修改？
A N
A N
A N
B
CM B
M CBM
C
第十七页，共二十页。
拓展(tuò zhǎn)与延伸
（1）解：∵AB的垂直平分线交AB于N，
当堂(dānɡ tánɡ)小练
如图，在3×3的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小
正方形中任意一个(yī ɡè)涂上阴影，那么能使整个图案构成一个(yī ɡè)轴对称图形的涂
因此，对称轴经过(jīngguò)对称点所连线段的中点，并且 垂直于这条线段.
M
A
A'
B
B'
C C' N
第五页，共二十页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点1 线段(xiànduàn)的垂直平分
线
概念： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的
从正方形中数字的排列可以看出，其中一条对 角线上的数字都是5，若把对角线所在的直线当 作对称轴，把正方形翻折一下，则除对称轴以 外的其他对称位置的两数之和都是10.
12345 23456 34567 45678 56789
第十五页，共二十页。
拓展(tuò zhǎn)与延伸
如图，在正方形中均匀分布着一些数字，小明利用(lìyòng)轴对称的思想，用了一种 非常简便的方法，迅速地将这些数字的和求了出来，你知道他是怎么求出来的吗？
（2）如果将（1）中∠A的度数(dù shu)改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
（3）你发现有什么规律？请尝试证明.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题发现的规律是否需要加以修改？
A N
A N
A N
B
CM B
M CBM
C
第十七页，共二十页。
拓展(tuò zhǎn)与延伸
（1）解：∵AB的垂直平分线交AB于N，
当堂(dānɡ tánɡ)小练
如图，在3×3的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小
正方形中任意一个(yī ɡè)涂上阴影，那么能使整个图案构成一个(yī ɡè)轴对称图形的涂
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质导学课件
所以 AB＝8 cm，AC＝6 cm.
精选教育课件
21
9. 如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为
△ ABC 外一点，且 AD＝BD，DE⊥AC 交 CA 的延长线于
第十三章 轴对称 13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
精选教育课件
1
1. 图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直
平分线 ，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所 连线段的 垂直平分线 ．
精选教育课件
2
2. 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的 距离相等 ．反之，与线 段两个端点距离相等的点也在这条线段的 垂直平分线 上．
A．AO 平分∠EAF B．AO 垂直平分 EF C．GH 垂直平分 EF D．GH 平分 AF
精选教育课件
13
3. 如图，点 A 为∠MON 的角平分线上一点，过点 A 任作一直线分别与∠MON 的两边交于 B，C，P 为 BC 的 中点，过点 P 作 BC 的垂线交 OA 于点 D，∠MON＝60°， 则∠BDC＝( A )
＝1 cm，
∴AC＝AD＋DC＝2＋1＝3 cm.
精选教育课件
7
知识点 线段垂直平分线的判定 5. 如图，AP＝BP，AQ＝BQ，下列结论正确的是 (B ) A．AB 垂直平分 PQ B．PQ 垂直平分 AB C．AB 与 PQ 互相垂直平分 D．AB 平分∠PAQ
精选教育课件
8
6. 如图，在公路 l1 同侧，l2 异侧有两个村庄 A，B， 高速公路管理处要建一个服务区，按照设计要求，服务
证明：证△ AEP≌△ADP 得到 AE＝AD，再说明 AF 垂直平分 DE.
人教数学八年级上册第十三章13.1.2《线段的垂直平分线的性质》(共18张PPT)
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等．
用几何符号语言表述：
∵CA=CB， ⊥AB, ∴PA=PB.
线段垂直平分线性质定理的逆命题
与一条线段两个端点距离相等的点, 在 这条线段的垂直平分线上.
已知：如图，PA=PB.
求证: 点P在线段AB
P
的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理:
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等．
A
B
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB于C,
P
则∠PCA=∠PCB=90°.
在RtΔPCA和RtΔPCB中,
∵PA=PB,PC=PC,
∴RtΔPCA≌RtΔPCB(HL). A Ｃ B ∴AC=BC.
又PC⊥AB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
索塔 拉索
如图,直线 垂直平分线段AB，P1， P2，P3，...是 上的点.
试猜想点P1，P2，P3，...到点A与点B 的距离之间的数量关系．
相等
A
B
动手量一量:
借助网格作图测量.和小组同学
交流，你们能得到什么结论？
A
P3 P2 P1
B
如图,线段AB的垂直平分线 ，在 上任意取点P， 那 么这一点P到A与B的距离相等吗?
A
Ｄ Ｅ
Ｂ
Ｃ
牛ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小试
2.如图，MN、PQ分别垂直平分ΔABC的AB、
AC边,MN、PQ相交于点Ｏ．
(1)求证：OA=OB=OC.
(2)问点Ｏ是否在BC边的垂直平分线上?你
用几何符号语言表述：
∵CA=CB， ⊥AB, ∴PA=PB.
线段垂直平分线性质定理的逆命题
与一条线段两个端点距离相等的点, 在 这条线段的垂直平分线上.
已知：如图，PA=PB.
求证: 点P在线段AB
P
的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理:
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等．
A
B
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB于C,
P
则∠PCA=∠PCB=90°.
在RtΔPCA和RtΔPCB中,
∵PA=PB,PC=PC,
∴RtΔPCA≌RtΔPCB(HL). A Ｃ B ∴AC=BC.
又PC⊥AB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
索塔 拉索
如图,直线 垂直平分线段AB，P1， P2，P3，...是 上的点.
试猜想点P1，P2，P3，...到点A与点B 的距离之间的数量关系．
相等
A
B
动手量一量:
借助网格作图测量.和小组同学
交流，你们能得到什么结论？
A
P3 P2 P1
B
如图,线段AB的垂直平分线 ，在 上任意取点P， 那 么这一点P到A与B的距离相等吗?
A
Ｄ Ｅ
Ｂ
Ｃ
牛ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小试
2.如图，MN、PQ分别垂直平分ΔABC的AB、
AC边,MN、PQ相交于点Ｏ．
(1)求证：OA=OB=OC.
(2)问点Ｏ是否在BC边的垂直平分线上?你
八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质课件新版新人教版
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
新课导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两 个图形成轴对称的意义和性质，这节课我 们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线 的性质和判定.
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有 关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课 知识点1 探索并证明线段垂直平分线的性质
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
作法：如图． （为1半）径分作别弧以，点两A弧，相B交为于圆C心，，D以两大点于；12 AB的长
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
C
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？ A
B
确定线段的中点．
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出 图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只 要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段 的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．分Βιβλιοθήκη 上．ABC
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，
A
B
C
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距
离相等的点，在这条线段的 A 垂直平分线上．
C
B
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线
新课导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两 个图形成轴对称的意义和性质，这节课我 们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线 的性质和判定.
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有 关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课 知识点1 探索并证明线段垂直平分线的性质
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
作法：如图． （为1半）径分作别弧以，点两A弧，相B交为于圆C心，，D以两大点于；12 AB的长
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
C
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？ A
B
确定线段的中点．
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出 图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只 要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段 的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．分Βιβλιοθήκη 上．ABC
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，
A
B
C
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距
离相等的点，在这条线段的 A 垂直平分线上．
C
B
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线
数学八年级上册13.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定(共24张PPT)
P3 P2
P1
A
B
l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相 等． 由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明： ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB．
∴ △ADE≌△ADC (AAS）
∴ AE=AC， DE=DC
∴ 点A、D都在CE的垂直平分线上 ∴ 直线AD是CE的垂直平分线
课堂总结
线段的垂直平分线
① 性质定理： 线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等.
② 判定定理： 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上.
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
DE⊥AB于E . 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 证明： ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB ∴ ∠AED＝∠ACB＝90° 在 △AED 和 △FCE 中 ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠AED＝∠ACB AD=AD (公共边）
几何语言描述： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
l P
A
B
C
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
典例精析 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂
足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质课件
A
C
B
第六页，共三十三页。
∵ 证明(zhèngmíng)： l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
l
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． P
∴ PA =PB．
A
C
B
第七页，共三十三页。
线段(xiànduàn)垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点
的距离相等．
的垂线
例1 尺规作图：经过已知直线(zhíxiàn)外一点
作这条直线(zhíxiàn)的垂线.
已知：直线AB和AB外一点(yī diǎn)C（如
C
图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
A
B
第十五页，共三十三页。
作法：（1）任意(rènyì)取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.
（2）以点C为圆心(yuánxīn)，CK长为半 径作弧，交AB于点D和E .
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
A
B
C
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
第十页，共三十三页。
用数学(shùxué)符号表示为：
P
∵ PA =PB，
13.1.2 线段(xiànduàn)的垂直平分线的性质
第一页，共三十三页。
导入课题(kètí)
新课导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图 形成轴对称的意义和性质(xìngzhì)，这节课我们一 起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质
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线DE交AC于点E，连接BE. 若∠A＝35°，则∠CBE的度
数是 A(
)
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 35°
3. 如图M13-9，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分別交 AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的中垂线 上．若∠ABC=98°，则∠APC的度数为( A． 134° B． 135° C． 137°
考点2 线段的垂直平分线的性质
1. 如图M13-7，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，
BE⊥CD，垂足为点D，BE交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC
＝5，BC＝3，则BD的长为( A. 1 B. 1.5 C. 2
A)
D. 2.5
2. 如图M13-8，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分
Ｄ
)
D． 139°
4. 如图M13-10，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为点 E，交BD于点P，PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是＿ 3 ＿＿＿ cm.
5. 如图M13-11，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，
7.8 BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为______cm.
6. 如图M13-12，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD AC ＋AD，则点D在线段_______ 的垂直平分线上.
7. 如图M13-13，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分
别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度 数. 解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝100°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EB＝EA. ∴∠B＝∠BAE. 同理可得∠CAF＝∠C. ∴∠EAF＝∠BAE＋∠CAF－∠BAC
＝∠B＋∠C－∠BAC＝20°.
8. 如图M13-14，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村
民子女就近入学问题，计划新建一所小学，使学校到三个村
庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.
解：连接AC，BC，分别作其垂直平分线， 交点P即为所求(图略).
9. 如图M13-15，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直
PM=PN,
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）. ∴CM=BN．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落， 花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似 生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。 11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑， 便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击，但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。
平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，
PM⊥AC于点M. 求证：CM＝BN.
证明：如答图M13-1，连接PB，PC. ∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB， PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°.
∵点P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB. 在Rt△PMC和Rt△PNB中， PC=PB,
数是 A(
)
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 35°
3. 如图M13-9，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分別交 AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的中垂线 上．若∠ABC=98°，则∠APC的度数为( A． 134° B． 135° C． 137°
考点2 线段的垂直平分线的性质
1. 如图M13-7，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，
BE⊥CD，垂足为点D，BE交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC
＝5，BC＝3，则BD的长为( A. 1 B. 1.5 C. 2
A)
D. 2.5
2. 如图M13-8，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分
Ｄ
)
D． 139°
4. 如图M13-10，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为点 E，交BD于点P，PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是＿ 3 ＿＿＿ cm.
5. 如图M13-11，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，
7.8 BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为______cm.
6. 如图M13-12，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD AC ＋AD，则点D在线段_______ 的垂直平分线上.
7. 如图M13-13，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分
别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度 数. 解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝100°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EB＝EA. ∴∠B＝∠BAE. 同理可得∠CAF＝∠C. ∴∠EAF＝∠BAE＋∠CAF－∠BAC
＝∠B＋∠C－∠BAC＝20°.
8. 如图M13-14，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村
民子女就近入学问题，计划新建一所小学，使学校到三个村
庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.
解：连接AC，BC，分别作其垂直平分线， 交点P即为所求(图略).
9. 如图M13-15，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直
PM=PN,
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）. ∴CM=BN．
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1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落， 花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似 生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。 11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑， 便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击，但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。
平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，
PM⊥AC于点M. 求证：CM＝BN.
证明：如答图M13-1，连接PB，PC. ∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB， PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°.
∵点P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB. 在Rt△PMC和Rt△PNB中， PC=PB,