您的位置：360文档中心› 2014年初三数学元月调考：3旋 转

2014年初三数学元月调考：3旋 转

合集下载

北京云岗中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测题(包含答案解析)

北京云岗中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3) 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．如图，Rt OCB ∆的斜边在y 轴上，3OC ＝30︒角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，则B 点的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0) 7．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A ．内部B ．外部C ．边上D ．以上都有可能 8．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．23C ．13D ．159．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．51-C ．33D ．3 12．如图，△ABC 的顶点在网格中，现将△ABC 绕格点O 顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．8个二、填空题13．如图，将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转30°，得到Rt ADE △，点E 恰好落在斜边AB 上，连接BD ，则BDE ∠=______．14．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．15．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值和最大值的和为_____．∠=，ADE绕着点A旋转50后能与ABC重合，则16．如图，已知EAD32∠=________度．BAE17．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D 在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF⊥AB，那么n的值是_______．18．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是_____°．19．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2．下面四个结论：①BF =22；②∠CBF =45°；③∠CED =30°；④△ECD 的面积为223+，其中正确的结论有_____．(填番号)参考答案20．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________．三、解答题21．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．22．（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E .求证：AD CE =，CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为()1,3，求点N 的坐标．23．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△ABC 的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）将线段AB绕点A顺时针旋转90 °后得到AB2，画出旋转后的图形，并直接写出点B2的坐标；（3）△A1B1C1的面积为．24．已知△ABC为等边三角形．（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC=120°，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC=PA；（2）如图，P为△ABC内一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠APB的度数．25．如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．（1）旋转的角度是多少度？（2）若BP=3cm，求线段PE的长．26．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设A 的坐标为(,)m n ，根据旋转的性质得到C 是A 和A '的中点，利用中点公式可以求出点A '的坐标．【详解】解：设A 的坐标为(,)m n ，∵A 和A '关于点(0,1)C 对称， ∴02m a +=，12n b +=，解得m a =-，2n b =-+， ∴点A '的坐标2(),a b --+． 故选：B ．【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是利用中点公式求出旋转后的点坐标．2．D解析：D【分析】根据绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得．【详解】绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将纵坐标变为相反数，(3,1)A -，(1,3)A ，故选：D．【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律，熟练掌握绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律是解题关键．3．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．4．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A是中心对称图形，故A正确；B是轴对称图形，故B错误；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．5．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．【详解】解：线段，既是中心对称图形，又是轴对称图形；等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形；平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；正方形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；直角梯形，既不是中心对称图形，又不是轴对称图形；所以，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段，矩形，菱形，正方形共4个． 故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 6．A解析：A【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到1BC =，再利用旋转的性质得到3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ====∠''''=='∠︒，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B ′的坐标． 【详解】如图，在Rt OCB ∆中，30BOC ∠=︒，3331BC ∴===， Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒，∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选A ．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30456090180︒︒︒︒︒，，，，． 7．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB 的交点到B 的距离也是2，与AB 的值相等，从而可以得出点A 在△D′E′B 的边上．【详解】∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=52，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG=52，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C.8．C解析：C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴2222+=+=BC CM3213∴故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．9．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别10．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．C解析：C【分析】连接DB，AC，OE，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC＝BC，进而解答即可．【详解】解：连接DB，AC，OE，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB ＝3CB ，即CB ：AB ＝3， 故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB 是解题的关键． 12．B解析：B【分析】画出图形，利用图象法解决问题即可．【详解】观察图象可知，满足条件的α的值为90°或180°或270°，故选B ．【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题13．【分析】先根据旋转的性质可得再根据直角三角形的性质可得然后根据等腰三角形的性质三角形的内角和定理可得最后根据角的和差即可得【详解】由旋转的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等腰三角形的性 解析：15︒【分析】先根据旋转的性质可得,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，再根据直角三角形的性质可得60ADE ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得75ABD ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，9060ADE DAE ∴∠=︒-∠=︒，,30AB AD DAE =∠=︒， ()1180752ABD ADB DAE ∴∠=∠=︒-∠=︒， 756015BDE ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论【详解】解：当时如图1∵为斜边的中点∴∴∴∴；当时如图2同理可证∴∴∴故答案为40°或100°【点睛】本题考查直角三角形和解析：40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论．【详解】解：当BC BP =时，如图1．∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，∴140COP COB ∠=∠=︒，∴14040100θ=︒-︒=︒．故答案为40°或100°．【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 15．﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM ＝AD 故此点M 在以A 圆心以AD 为半径的圆上故此当点AMC 在一条直线上时CM 有最小值【详解】解：如图所示：连接AM ∵四边形ABCD 为正方形∴AC ＝＝∵点D 与点M 关于A 解析：2﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM ＝AD ，故此点M 在以A 圆心，以AD 为半径的圆上，故此当点A 、M 、C 在一条直线上时，CM 有最小值．【详解】解：如图所示：连接AM ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC 222211AD CD +=+2∵点D 与点M 关于AE 对称，∴AM ＝AD ＝1．∴点M 在以A 为圆心，以AD 长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝2﹣1，故答案为：2﹣1．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键．16．【分析】根据旋转对称图形的定义解答【详解】解：∵△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合∴∠BAD=50°又∵∠EAD=32°∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°故答案为18【解析：18【分析】根据旋转对称图形的定义解答．【详解】解：∵△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠BAD=50°，又∵∠EAD=32°，∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°.故答案为18.【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转对称图形的定义解答.17．135【分析】画出旋转后的图象满足EF⊥AB然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数【详解】解：①如图延长EF交AB于H∵EF⊥AB∠A＝45°∴∠ACH＝45°∴∠ACE＝135°∴n＝解析：135【分析】画出旋转后的图象满足EF⊥AB，然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数．【详解】解：①如图，延长EF交AB于H，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝135°，∴n＝135；②如图，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACE＝45°，∴n＝360﹣45＝315，∵0＜n＜180，∴n＝315不合题意舍去，故答案为：135．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质和三角板的角度去求解，需要考虑多种情况．18．40【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC∠DAE＝∠BAC＝20°求出∠DAE＝∠CAE＝20°再求出∠DAC的度数即可【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED∠BAC＝20°∴AD＝AC∠解析：40【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°，∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，∵AE垂直平分CD于点F，∴∠DAE＝∠CAE＝20°，∴∠DAC＝20°+20°＝40°，即旋转角度数是40°，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．19．①②④【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2∠BCF＝90°则可得△CBF为等腰直角三角形于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB则FA＝FBBE＝AE于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质解析：①②④【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH＝1AC＝2+1，利用旋转性质得CD＝CA＝2+22，则利用三角形面积公式可计算出2△ECD的面积，从而可对④进行判断．【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF为等腰直角三角形，∴BF＝2BC＝22，∠CBF＝45°，所以①②正确；∵直线DF垂直平分AB，∴FA＝FB，BE＝AE，∴∠A＝∠ABF，而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；作EH⊥BD于H，如图，∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CD＝CA＝2+22，∵点E为AB的中点，∴EH＝1AC＝2+1，2∴△ECD的面积＝1•（2+1）•（2+22）＝22+3，所以④正确．2故答案为：①②④．【点睛】考查了旋转的性质，旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20．-12【分析】两个点关于原点对称时它们的横坐标互为相反数纵坐标也互为相反数直接利用关于原点对称点的性质得出mn 的值进而得出答案【详解】∵点B （5）与点A （4）关于原点成中心对称∴∴∴故答案为：【点睛 解析：-12【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值，进而得出答案．【详解】∵点B （3n +，5）与点A （4，m ）关于原点成中心对称，∴34n +=-，5m =-，∴5m =-，7n =-，∴()5712m n +=-+-=-．故答案为：12-．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）AE ．【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF ，∠EAF=90°，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，∴△ADE ≌△ABF ，∠EAF=90°，∴AE=AF ，∴△AEF 是等腰直角三角形；（2）∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt △ADE 中，=．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．22．（1）证明见详解，（2）N （4，2）．【分析】（1）AD l ⊥， BE l ⊥， 90ACB ∠=︒，由一线三直角推出∠DAC=∠BCE易证△ADC ≌△CEB （AAS ）利用全等三角形的性质得AD=CE ，CD=BE ，（2）过M 作MQ ⊥y 轴于Q ，过N 作NP ⊥QM 交QM 的延长线于P 由（1）知△OQM ≌△MPN 由性质得QM=PN ，OQ=MP ，求 P 点的纵坐标N 与P 横坐标相同，PN=1，求N 点纵坐标即可【详解】（1）如图1∵AD l ⊥， BE l ⊥，∴∠ADC=∠CEB=90º，∴∠DAC+∠ACD=90º，∵90ACB ∠=︒，∴∠ACD+∠BCE=180º-∠ACB=90º，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠DAC=∠BCE ，AC BC =，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），AD=CE ，CD=BE ，（2）如图2过M 作MQ ⊥y 轴于Q ，过N 作NP ⊥QM 交QM 的延长线于P ，由（1）知△OQM ≌△MPN ，∴QM=PN ，OQ=MP ，∵点M 的坐标为()1,3，∴MQ=1，OQ=3，∴PN=QM=1，∴MP=OQ=3，∵PQ ⊥y 轴，Q （0,3）P 点的纵坐标为3，QP=QM+MP=1+3=4，P （4，3），∵PN⊥QM，∴PN∥y轴，∴N与P横坐标相同，PN=1，N点纵坐标为3-1=2，∴N（4，2）．【点睛】本题考查全等三角形变换问题，掌握三角形全等的判定方法，会用一线三直角找全等条件，会利用辅助线构型解决问题是关键．23．（1）图见解析；A1（－1，－1），B1（－4，－2），C1（－3，－4）；（2）B2（2，－2）；（3）3.5【分析】（1）先找到A、B、C关于原点对称的A1、B1、C1，再连线即可；（2）根据网格结构点A、B，找出将线段AB绕点A顺时针旋转90°的对应点B2，然后连接A B2，写出坐标即可；（3）△A1B1C1的面积即为三角形ABC的面积，利用“割补法”即可求得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：A1（－1，－1），B1（－4，－2），C1（－3，－4）；（2）如图所示，A1B2即为所求：B2（2，－2）；（3）S△ABC＝11133232113222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝3.5，∴△A1B1C1的面积＝ S△ABC＝3.5，故填：3.5．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转与对称，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键.24．（1）证明见解析；（2）150°．【分析】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；（2）由题意可得出：∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12，∠PBP'=∠ABC=60°，由勾股定理逆定理得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．【详解】（1）如图1，延长BP至点E，使得PE=PC，连接CE．∵∠BPC =120°，PE =PC ，∴∠CPE =60°，∴△CPE 为等边三角形，∴CP =PE =CE ，∠PCE =60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠BCA =60°，∴∠ACB =∠ECP ，∴∠ACB +∠BCP =∠ECP +∠BCP ，即：∠ACP =∠BCE ．在△ACP 和△BCE 中，AC BC ACP BCE PE PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCE （SAS ），∴AP =BE ．∵BE =BP +PE =BP +PC ，∴PB +PC =PA ；（2）如图2，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP '，连接PP '，由旋转知，△APB ≌△CP 'B ，∴∠BPA =∠BP 'C ，P 'B =PB =5，P 'C =PA =12，∠PBP '=∠ABC =60°，又∵P 'B =PB =5，∴△PBP '是等边三角形，∴∠PP 'B =60°，PP '=5．在△PP 'C 中，PC =13，PP '=5，P 'C =12，∴PC2=PP'2+P'C2，即∠PP'C=90°，∴∠APB=∠BP'C=60°+90°=150°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理等知识，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．25．（1）90，（2）cm．【分析】（1）找出对应边AB、BC的夹角的度数就是旋转角的度数；（2）根据旋转变换的性质可知BP=BE，∠PBE=∠ABC，再根据勾股定理列式求解即可得到PE的长度．【详解】解：（1）∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴∠ABC为旋转角．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；（2）∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP=BE=3cm，∠PBE=∠ABC=90°，∴PE===cm．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；【点睛】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握旋转的性质及轴对称的性质．。

上海大同中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(有答案解析)

上海大同中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15°2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．51- 4．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 5．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．237．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转34°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A ＝30°，则∠EFC 的度数为（ ）A ．60°B ．64°C ．66°D ．68°8．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕A 逆时针转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．不能确定 9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）A ．(﹣1，1)B ．(20)-，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-， 10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．512-C ．33D ．3212．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2二、填空题13．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．14．如图，线段BC 为一个通信公司，该公司与两个通信点,A D 恰好围成一个正方形的ABCD公司BC长度为100米，公司准备在正方形ABCD内要建设一个通信中转站点,P，在通信公司的BC边上架设一个通讯中心点Q，在通信中转站点P到两个通信点,A D和通讯中心点Q之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为________米．DE=，把ADE绕点A 15．如图，在正方形ABCD中，3AB=，点E在CD边上，1△，连接EE'，则线段EE'的长为______．顺时针旋转90°，得到ABE'16．如图，在等边△ABC中，AC=10，点O在AC上，且AO=4，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60º得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．17．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为2，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长可取的整数值可以为______________．18．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是____________．19．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．20．如图，在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，如果ABC 绕点B 旋转，使点C 落在AB 边上的点D 处得到EBD △，则点A 到BE 的距离是__________．三、解答题21．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．23．如图，已知，点E 在正方形ABCD 的BC 边上（不与点B ，C 重合），AC 是对角线，过点E 作AC 的垂线，垂足为G ，连接BG ，DG ．把线段DG 绕着G 点顺时针旋转，使D 点的对应点F 点刚好落在BC 延长线上，根据题意补全图形．（1）证明：GC GE =；（2）连接DF ，用等式表示线段BG 与DF 的数量关系，并证明．24．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示放置，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．将此矩形绕点O 逆时针旋转90°，得到矩形OA B C '''．（1）求过点A 、A '、C '的抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 沿x 轴正方向平移，使点C 落在抛物线上，求平移的距离． 25．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A 第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N ．（1）若30θ=︒时，求点A 的坐标；（2）设MBN △的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论；26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)．（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，请在图中画出△A B C '''．（2）以点O 为对称中心，画出与△ABC 对称的△A B C ''''''，并写出A B C ''''''、、的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题旋转中心为点O ，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解．【详解】解：根据旋转的性质可知，D 和B 为对应点，∠DOB 为旋转角，即∠DOB=80°，所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°．故选：B．【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．2．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．B解析：B【分析】分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E 在正方形ABCD内部的时候AE值最小．【详解】解：如图所示，连接AC∵正方形边长为1∴2当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小∴2-1故选：B4．D解析：D【分析】根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．5．B解析：B【分析】连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．【详解】解：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，∴CM=BM=1，PC=12A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．6．A解析：A【分析】由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC ∆≌EDB ∆，∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，∴O 为DE 中点，∴OB=OE ，∴∠OBE=∠E ，∴∠OBE=∠A ，∴AF=BF ，设AF=BF=x ，则CF=4-x ，∵222BC CF BF +=，∴2223(4)x x +-=， ∴258x =， ∴258BF =， ∴257488EF BE BF =-=-=． 故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7．B解析：B【分析】由旋转性质得到∠D 和∠DCF 的度数，再由外角性质得到∠EFC 的度数即可．【详解】解：由旋转的性质可得：∠D=∠A=30°，∠DCF=34°，∴∠EFC=∠A+∠DCF=30°+34°=64°；故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 8．B解析：B【分析】根据旋转的性质，即可得到∠ACQ =∠60B =°，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【详解】解:由旋转可得∠ACQ=∠60B=°．因为点D是AC的中点，所以CD=4．当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时∠CDQ＝30︒．所以122CQ CD==，223422DQ=-=，所以DQ的最小值是23，故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．9．C解析：C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB32，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（02），B2（-1，1），B3（20），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B 2020的坐标为（-1，-1）故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC＝90°，∴ABCB，即CB：AB＝，3故选：C．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB是解题的关键．12．B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．二、填空题13．5【分析】将△BAC绕点B逆时针旋转60º易知△ABA′为等边三角形当AA′D 三点在一线时AD最大AD最大=AA′+A′D【详解】如图以点B为旋转心将△BAC 逆时针旋转60º后的图形为△BA′D连结解析：5．【分析】将△BAC绕点B逆时针旋转60º，易知△ABA′为等边三角形，当A、A′、D三点在一线时AD 最大，AD最大=AA′+A′D．【详解】如图以点B为旋转心，将△BAC逆时针旋转60º后的图形为△BA′D，连结AA′，BA=BA′，∠ABA′=60º，∴△BAA′为等边三角形，则AA′=BA=2，A′D=AC=3，当A、A′、D三点在一线时AD最大，AD最大=2+3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查AD 的最值问题，掌握旋转变换的性质，会用旋转变化构造等边三角形，使问题转化为两线段和最大问题使问题得以解决是关键．14．【分析】根据题意将绕点逆时针旋转得到当三点共线时最小为然后求出的长度即可【详解】解：如图将绕点逆时针旋转得到则和都是等边三角形当三点共线时最小为是上的点当时值最小过作交于点为等边三角形四边形是正方形 解析：100503+【分析】根据题意，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D 当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q '然后求出D Q '的长度即可．【详解】解：如图，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D则60,PAP PD P D '''∠=︒=，PAP '∆和DAD '∆都是等边三角形，','AP PP PA PD PQ PP P D PQ ∴=++=++，当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q 'Q 是BC 上的点，∴当D Q BC '⊥时D Q '值最小，过D 作D Q BC '⊥交AD 于E 点，100,BC ADD '=∆为等边三角形，四边形ABCD 是正方形，'100,'60,30,100,AD D AD ADE CD ∴=∠=︒∠=︒=1502AE AD '∴==，D E '==100,EQ CD =='100D Q DE EQ ∴=+=(米)，则铺设光缆的最短长度为(100+米，故答案为：100+【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 15．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为解析：【分析】先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，1DE =，312CE CD DE ∴=-=-=，由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，180ABC ABE '∴∠+∠=︒，∴点,,E B C '在同一条直线上，134E C BE BC ''∴=+=+=，则在Rt ECE '中，EE '==，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．16．6【分析】根据三角形的外角性质可得∠APO=∠COD 进而可以证明△APO ≌△COD 进而可以证明AP=CO 即可解题【详解】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD ∠A=∠POD=60°∴∠APO=∠COD解析：6【分析】根据三角形的外角性质可得∠APO=∠COD ，进而可以证明△APO ≌△COD ，进而可以证明AP=CO ，即可解题．【详解】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD ，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD ，在△APO 和△COD 中，A C APO COD OD OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△APO ≌△COD （AAS ），即AP=CO ，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证△APO ≌△COD 是解题的关键．17．1或2或3或4【分析】如图连接AF 由题意可知AF-AD≤DF≤AD+AF 即2-2≤DF≤2+2由此即可解决问题【详解】解：如图连接AF 易知AF=2∵AF-AD≤DF≤AD+AF ∴2-2≤DF≤2+2解析：1或2或3或4【分析】如图连接AF ，由题意可知AF-AD≤DF≤AD+AF ，即22，由此即可解决问题．【详解】解：如图连接AF ．易知2∵AF-AD≤DF≤AD+AF，∴22，∵DF是整数，∴DF=1或2或3或4．故答案为：1或2或3或4【点睛】本题考查了旋转变换、正方形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为三边关系解决．18．120°【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合根据旋转变化的性质可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°故答案为120°考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．19．(42)【分析】画出平面直角坐标系作出新的ACBD的垂直平分线的交点P点P即为旋转中心【详解】解：平面直角坐标系如图所示旋转中心是P点P（42）故答案为：（42）【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转解析：(4，2)【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），故答案为：（4，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．20．3【分析】连接AE 作AH ⊥BE 于H 根据勾股定理求出AC 的值根据旋转的性质可知BE=AB=5DE=AC=3然后根据等面积法求解即可【详解】解：连接AE 作AH ⊥BE 于H ∵在中∴AC=由旋转的性质得BE=解析：3【分析】连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，根据勾股定理求出AC 的值，根据旋转的性质可知BE=AB=5，DE=AC=3，然后根据等面积法求解即可．【详解】解：连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，∵在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，∴AC=2254=3-，由旋转的性质得BE=AB=5，DE=AC=3，∵1122BE AH AB DE ⋅=⋅， ∴5AH=5×3，∴AH=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等面积法求线段的长，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．三、解答题21．（1）PM PN =， PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98【分析】（1）根据题意可证得BD CE =，利用三角形的中位线定理得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出//PM CE ，得出DPM DCA =∠∠，通过角的转换得出DPM ∠与DPN ∠互余，证得PM PN ⊥． （2）先证明E ABD AC ∆≌，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论．（3）当BD 最大时，PMN 的面积最大，而BD 最大值是28AB AD +=，21()2PMN SPM =⨯，计算得出结论． 【详解】 （1）线段PM 与PN 的数量关系是PM PN =，位置关系是PM PN ⊥．∵等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，∴AB=AC ，∵AD=AE ，∴AB-AD=AC-AE ，∴BD=CE ，∵点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点， ∴12PM CE =，12PN BD =， ∴PM PN =；∵//PM CE ，∴DPM DCA ∠=∠，∵90A ∠=︒，∴90ADC ACD ∠+∠=︒，∵ADC DPN ∠=∠（两直线平行内错角相等），∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴PM PN ⊥．（2）PMN 是等腰直角三角形．证明：由旋转可知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴()ABD ACE SAS ≌△△，∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =， 根据三角形的中位线定理可得，12PN BD =，12PM CE =， ∴PM PN =， ∴PMN 是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM //CE ，∴DPM DCE ∠=∠， 同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∠=∠，∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，∵90BAC ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90MPN ∠=︒，∴PMN 是等腰直角三角形．（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， ∴PM 最大时，PMN 面积最大，∵点D 在BA 的延长线上，BD 最大，∴28BD AB AD =+=，∴14PM =， ∴2211149822PMN S PM ==⨯=最大△． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒，90CGF FGB ∠+∠=︒，∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中，KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△，∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ， ∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =，∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．23．补图见解析；（1）见解析；（2）2DF BG =，理由见解析【分析】（1）证明△EGC 是等腰直角三角形即可得出结论；（2）连接DG 、FG ，由“SAS”可证△BEG ≌△FCG ，得出BG=GF ，得出EF=BC=DC ，由“SAS”可证△GEF ≌△GCD ，得出∠EGC=∠DGF=90°，FG=GD ，则△DGF 是等腰直角三角形，从而得出DF=2BG ．【详解】解：补全图形如图所示，（1）∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠ACB ＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC=90 °∴∠ GEC= ∠ ACB=45 °∴GC ＝GE ；（2）2DF BG =．理由如下：证明：∵△EGC 是等腰直角三角形，∴EG ＝GC ，∠GEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由旋转得：DG ＝GF ，正方形 ABCD 中，AB=AD ，∠BCA=∠DCA=45°，CG=CG∴△CBG ≌△CDG （SAS ），∴∠CGB=∠CGD ， BG ＝DG ，∴BG=GF ∴∠GBC=∠GFB又∠BEG ＝∠GCF∴△BEG ≌△FCG （AAS ），∴∠BGE ＝∠CGF ，∴∠CGB ﹣∠BGE ＝∠CGD ﹣∠CGF ，即∠EGC ＝∠DGF ＝90°， ∴△DGF 是等腰直角三角形，2222222DF DG GF BG BG BGBG∴=+=+== 即2DF BG =．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（1）A （2，0）、A '（0，2）、C '（－1，0）; 22y x x =-++；（2【分析】（1）先根据图象和题意求得点A 、A '、C '的坐标，再利用待定系数法代入抛物线一般式()20y ax bx c a =++≠求得解析式；（2）设线段BC 与抛物线的交点为P （m ，1），将点P （m ，1）代入抛物线解析式可得关于m 的一元二次方程，解方程即可求解.【详解】解：（1）∵四边形OABC 和四边形OA B C '''都是矩形，∴OA ＝OB ，A B OC '''=,∵B （2，1）∴A （2,0）∵矩形OA B C '''是矩形OABC 旋转90°得到的∴矩形OA B C '''≌矩形OABC∴1A B OC AB '=''==，=2OA OA '=故()1,0C '-，()0,2A '设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将点A 、A '、C '的坐标代入得：04220a b c ca b c =++⎧⎪=⎨⎪=-+⎩解得：121a c b =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线解析式为：22y x x =-++（2）设线段BC 与抛物线的交点为P （m ，1）将点P （m ，1）代入抛物线解析式可得：212m m =-++即210m m --=解得m = 故矩形OABC 沿x个单位使点C 落在抛物线上. 【点睛】本题主要考查图形的旋转、二次函数图象及其性质、二次函数解析式、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识.25．（1）（2，2）不变【详解】解：（1）如图1，过A 作AD ⊥y 轴，交y 轴于点D∵AD ⊥y 轴，30θ=︒，正方形OABC 的边长是4∴AD=2，OD=23∴A 的坐标是（2，23）（2）P 值无变化．证明：延长BA 交y 轴于E 点．（如图2）在△OAE 与△OCN 中90?AOE CON OAE OCN OA OC =⎧⎪==⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△OAE ≌△OCN （AAS ）∴OE=ON ，AE=CN ．在△OME 与△OMN 中45?OE ON MOE MON OM OM =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△OME ≌△OMN （SAS ）∴MN=ME=AM+AE ，∴MN=AM+CN ，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．∴在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化．【点睛】此题主要考查了一次函数的综合应用、全等三角形的判定与性质等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析，()()()0,3,4,4,2,1A B C ''''''---【分析】（1）如图，分别连接OA 、OB 、OC ，根据网格特征在第一象限内作OA 、OB 、OC 的垂线，并使OA′=OA，OB′=OB、OC′=OC，顺次连接A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出A、B、C坐标，顺次连接A″、B″、C″，△A″B″C″即为所求；进而写出A″、B″、C″即可．【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）∵△A″B″C″与△ABC以点O为对称中心，∴点A、B、C分别与A″、B″、C″关于原点对称，∵A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)，∴A″(0，-3)，B″(4，-4)，C″(2，-1)，∴△A″B″C″即为所求；【点睛】本题考查了利用旋转变换及中心对称作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．。

新乡市第一中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

新乡市第一中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．如图，把ABC 绕点C 顺时针旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若105A CB '∠=︒，则ACB '∠度数为（ ）A ．45︒B ．30C ．35︒D ．70︒6．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．戴口罩讲卫生 B ．勤洗手勤通风C ．有症状早就医D ．少出门少聚集7．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）A ．(﹣1，1)B ．(20)-，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-， 9．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 10．如图，Rt OCB ∆的斜边在y 轴上，3OC ＝，含30︒角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，则B 点的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0) 11．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A ．内部B ．外部C ．边上D ．以上都有可能 12．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2二、填空题13．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ．PF 分别交AB ．AC 于点E ．F ，给出下列四个结论：①AE CF =；②EPF ∆是等腰直角三角形；③EF AB =；④四边形AEPF 的面积随着点E ．F 的位置不同发生变化，当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ．B 重合），上述结论中始终正确的有________（把你认为正确的结论的序号都填上）．14．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝4，PB ＝23，PC ＝2，以下五个结论：①∠BPC ＝120°；②∠APC ＝120°；③S △ABC ＝143；④AB ＝28；⑤点P 到△ABC 三边的距离分别为PE ，PF ，PG ，则有PE +PF +PG ＝3AB ，其中正确的有_________．15．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝112°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．当α为______________度时，△AOD 是等腰三角形？16．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．17．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．18．直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为_____．19．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形④9634AOC AOB S S +=△△20．如图，把Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转40︒，得到Rt AB C ''∆，点C '恰好落在边AB 上，连接BB '，则BB C ''∠=___________度．三、解答题21．如图，等腰Rt △ABC 中，∠A ＝45°，∠ABC ＝90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ．（1）求∠DCE 的度数；（2）若AB ＝4，CD ＝3AD ，求DE 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC 各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别为（-1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）求AC 的长；（2）将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C ，直接写出A 点对应点A 1的坐标．23．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A ，C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．（1）求证：BD =CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点．24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到AB C ''．（1）在正方形网格中，画出AB C ''；（2）求线段CC '的长度．25．如图1，在菱形ABCD 和菱形AEFG 中，60DAB GAE ∠=∠=︒，且4AE =，连接DG 和BE ．（1）求证：DG BE =；（2）如图2，将菱形AEFG 绕着点A 旋转，当菱形AEFG 旋转到使点C 落在线段AE 上时（AC AE <），求点F 到AB 的距离．26．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0 0)O ，，点(10 0)A ，，点(0 6)B ，．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ， F ．（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB △≌BCA ；②求出ABH 面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.故选：C【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．2．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．C解析：C【分析】先根据旋转的定义可得35BCB ACA ''∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】由旋转的定义得：BCB '∠和ACA '∠均为旋转角，35BCB ACA ''∴∠=∠=︒，105A CB '∠=︒，35ACB BCB A A CB CA '''∠=∠-∠'∴∠-=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键．6．C解析：C【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A 是中心对称图形，故A 正确；B 是轴对称图形，故B 错误；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．8．C解析：C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB32，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（02），B2（-1，1），B3（20），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B2020的坐标为（-1，-1）故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．9．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项正确；B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选A ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 10．A解析：A【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到1BC =，再利用旋转的性质得到3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ====∠''''=='∠︒，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B ′的坐标． 【详解】如图，在Rt OCB ∆中，30BOC ∠=︒，333133BC OC ∴===， Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒，∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选A ．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30456090180︒︒︒︒︒，，，，． 11．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB 的交点到B 的距离也是2，与AB 的值相等，从而可以得出点A 在△D′E′B 的边上．【详解】∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=52，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG=52，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C.12．B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．二、填空题13．①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形寻找条件证明三角形全等根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断【详解】解：∵∠APE∠CPF都是∠APF的余角∴∠APE＝∠CPF∵AB＝AC∠BAC＝90°解析：①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE＝∠CPF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，∴AP＝CP，又∵AP＝CP，∠EPA＝∠FPC，∠EAP＝∠FCP＝45°∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF＝1S△ABC，①②正确，④错误，四边形2AEPF的面积是固定的；∵旋转过程中，EF的长度的变化的，故EF≠AB，③错误，始终正确的是①②，故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．14．②④⑤【分析】如图将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△AHB连接HP 由全等三角形的性质可得AH＝AP＝4BH＝PC＝2∠AHB＝∠APC可证△AHP是等边三角形由勾股定理的逆定理可求∠HBP＝90解析：②④⑤【分析】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP＝90°，由锐角三角函数可求∠HPB＝30°，可得∠AHB＝120°＝∠APC，∠BPC ＝150°，可判断①②，由勾股定理可求AB的长，由等边三角形的面积公式可求△ABC的面积和PE＋PF＋PG的值，即可判断③④⑤．【详解】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，∴△APC≌△AHB，∠HAP＝60°，∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，∴△AHP是等边三角形，∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°，∵HP2＝16，BH2＋BP2＝16，∴HP2＝BH2＋BP2，∴∠HBP＝90°，∵HB=12HP ， ∴∠HPB ＝30°，∴∠BHP ＝60°，∠APB ＝∠HPB ＋∠APH ＝90°，∴∠AHB ＝∠AHP ＋∠BHP ＝120°＝∠APC ， ∴∠BPC ＝360°−∠APB−∠APC ＝150°，故①不符合题意，②符合题意，∵∠APB ＝90°，∴AB ＝22161227AP BP +=+=，∴S △ABC ＝23734AB =， 故③不合题意，④符合题意，如图，∵S △ABC ＝12AB×PG ＋12AC×PF ＋12BC×PE ＝3， ∴12×7×（PG ＋PF ＋PE ）＝3∴PG ＋PF ＋PE 327⨯3， 故⑤符合题意， 故答案为：②④⑤．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 15．112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°然后分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可【详解】解：∵将△BOC 绕点解析：112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形，进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°，然后分三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可．【详解】解：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，∠ADC =α，∴△COD 是等边三角形．∴∠CDO ＝∠COD ＝60°，①若AO ＝AD ，则∠AOD ＝∠ADO ，∵∠AOD ＝360°﹣112°﹣60°﹣α＝188°﹣α，∠ADO ＝α﹣60°，∴188°﹣α＝α﹣60°，解得：α＝124°；②若OA ＝OD ，则∠OAD ＝∠ADO ．∵∠OAD ＝180°﹣（∠AOD +∠ADO ）＝180°﹣（188°﹣α+α﹣60°）＝52°，∴α﹣60°＝52°，∴α＝112°；③若OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ．∵∠AOD ＝188°﹣α，∠OAD ＝()180602α︒--︒＝120°﹣2α， ∴188°﹣α＝120°﹣2α，解得：α＝136°． 综上所述：当α为112°或124°或136°时，△AOD 是等腰三角形．故答案为：112°或124°或136°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，全面分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．16．60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中∠2+∠3=90°∵∠3=30°∴∠2=60°∴∠1=60°故答案是：60°解析：60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故答案是：60°．17．(42)【分析】画出平面直角坐标系作出新的ACBD 的垂直平分线的交点P 点P 即为旋转中心【详解】解：平面直角坐标系如图所示旋转中心是P 点P （42）故答案为：（42）【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转解析：(4，2)【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC ，BD 的垂直平分线的交点P ，点P 即为旋转中心．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2），故答案为：（4，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．18．（32）【分析】根据题目已知条件写出A1A2A3的坐标找出规律即可解决问题【详解】解：作点A关于y轴的对称点为A1是（﹣32）；作点A1关于原点的对称点为A2是（3﹣2）；作点A2关于x轴的对称点为解析：（3，2）．【分析】根据题目已知条件，写出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解决问题．【详解】解：作点A关于y轴的对称点为A1，是（﹣3，2）；作点A1关于原点的对称点为A2，是（3，﹣2）；作点A2关于x轴的对称点为A3，是（3，2）．显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，则点A2019的坐标是（3，2），故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．19．①②④【分析】连接根据旋转的性质即可得到为等边三角形进而可求证①②③的正确性然后将△AOB绕点A逆时针旋转60°至连接OD易得△ACD也为等边三角形由此可求解【详解】解：连接如图所示：∵线段BO以点解析：①②④【分析】△为等边三角形，进而可求证①②③的正确连接OO'，根据旋转的性质即可得到OBO'△，连接OD，易得△ACD也为等边三角性，然后将△AOB绕点A逆时针旋转60°至ACD形，由此可求解．【详解】解：连接OO '，如图所示：∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，∴,60BO OB O BO ''=∠=︒，O A OC '=，∴OBO '△为等边三角形，∵3OA =，4OB =，5OC =，∴4BO OB '==，5O A OC '==，故①正确；∴22225O O AO O A ''+==，∴90AOO '∠=︒，∴150AOB AOO O OB ''∠=∠+∠=︒，故②正确；过点B 作BE ⊥OO '于点E ，如图所示，∴2OE EO '==， ∴2223BE OB EO =-=， ∴213432BOO S OO BE O O '''=⋅==， ∴134436432O OB AOO AOBO S SS '''=+=⨯⨯+=+四边形，故③错误； 将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，如图所示：同理易得△AOD 为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，∴2139=3436324AOC AOB AOD ODC AOCD S S S SS +=+=⨯⨯=四边形△△④正确； ∴正确的有①②④；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．20．20【分析】先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°∠BAB′=40°AB=AB′则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′【解析：20【分析】先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数，然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′．【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，∴∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，∵AB=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B，∴∠ABB′=1（180°-40°）=70°，2∴∠BB′C′=90°-∠CBB′=20°．故答案为：20．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．理解旋转前后对应角相等，旋转角相等，对应线段相等是解题关键．三、解答题21．（1）90°；（2）【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；（2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长．【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AC==∵CD＝3AD，∴AD=DC=由旋转的性质可知：AD＝EC，∴2225DE CE DC =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 22．（1）10；（2）作图见解析，A 1（-3，-2）【分析】（1）结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；（2）根据旋转的性质，结合题意，分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1，即可解决问题．【详解】（1）结合题意得：AC ＝()()2201121910⎡⎤⎡⎤----=+⎣⎦+=⎣⎦＝10． （2）结合题意，得1A C AC =，1B C BC =∴()103,11A ---，即()13,2A --△A 1B 1C 作图如下： ．【点睛】本题考查了勾股定理、直角坐标系、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、直角坐标系、旋转的性质，从而完成求解．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，AD=AE ，即可证△BAD ≌△CAE ，可得BD=CE ；（2）过点C 作CG ∥BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD ，∠BDG=∠G ，∠BFD=∠GFC ，可证△BFD ≌△CFG ，可得结论；【详解】（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ；（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，∴∠G=∠BDF ，∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，∴∠BDF=30°，∴∠G=30°，由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA=90°，∴∠CEA=90°，∵∠AED=60°，∴∠CED=30°=∠G ，∴CE=CG ，∴BD=CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CGF （AAS ），∴BF=FC ，即F 为BC 的中点．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（1）图见解析；（2）42【分析】（1）先利用网格特点和旋转的性质画出点,C B ''，再顺次连接点,,A C B ''即可得； （2）利用旋转的性质、勾股定理即可得．【详解】（1）分以下三步：①先利用网格特点和旋转的性质画出点C '，②再利用旋转的性质可得,90B B A C BC AC CB '=∠'''=∠=︒，由此可画出点B '， ③顺次连接点,,A C B ''即可，如图中AB C ''即为所作：（2）由网格特点和旋转的性质得：4,90AC AC CAC ''==∠=︒， 则2242CC AC AC ''=+=，即线段CC '的长度为42【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 25．（1）见解析；（2）6．【分析】（1）根据菱形性质，证明△GAD ≌△EAB ，然后得到边相等；（2）延长FE 交AB 于点H ，根据题意可分析得到△AEH 和△AFH 均为含30°的直角三角形，然后计算EH 即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 为菱形∴GA=EA ，OA=BA∵∠DAB=∠GAE=60°∴∠GAD+∠DAE=60°∠DAE+∠EAB=60°∴∠GAD=∠EAB∴△GAD ≌△EAB （SAS ）∴DG=BE（2）延长FE ，AB 交于点H∵AC 是菱形ABCD 对角线∴∠CAB=12∠DAB=30° ∵∠GAE=60°且四边形AEGF 是菱形 ∴GA ∥FE∴∠FEA=180°-60°=120°∴∠AEH=180°-120°=60°∵∠EAB=30°∴∠H=90°∵AE=4，在Rt △EAH=30°∴EH=2∴F 到AB 的距离为4+2=6【点睛】本题主要考查菱形的性质，结合旋转和三角形相关性质是解题的关键．26．（Ⅰ）(2,6)D ；（Ⅱ）①见解析；②1025． 【分析】（Ⅰ）根据旋转可得AD=OA=10，又因为AC=6，利用勾股定理即可求出CD 的长度，从而知道BD 的长度，即可求出点D 的坐标；（Ⅱ）①根据AD=BC ，AB=BA ，即可得到Rt Rt ADB BCA ∆∆≌；②设AH BH m ==，则10HC BC BH m =-=-，在Rt AHC ∆中，根据222AH HC AC =+，可以求出m 的值，再根据三角形面积公式即可求出三角形ABH 面积．【详解】解：（Ⅰ）(10,0)A ，(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =，四边形AOBC 是矩形， 6AC OB ∴==，10OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒． 矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到， 10AD AO ∴==．在Rt ADC ∆中，8CD ==，108=2BD BC CD ∴=-=-，(2,6)D ∴．（Ⅱ）由四边形ADEF 是矩形，得到90ADE ∠=︒， 点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒．由（Ⅰ）可知，=AD AO BC =，=90C ADB ∠=︒∠，在Rt △ADB 和Rt △BCA 中，=BA AB AD BC ⎧⎨=⎩Rt ADB Rt (HL)BCA ∴∆∆≌．②如图②中，由ADB BCA ∆∆≌，BAD CBA ∴∠=∠，BH AH ∴=．设AH BH m ==，则10HC BC BH m =-=-，在Rt AHC ∆中，222AH HC AC =+，2226(10)m m ∴=+-，解得453m = 453BH ∴=， 113410262255ABH S BH AC ∴=⨯⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了旋转以及三角形全等，熟练旋转的性质以及全等三角形的判定是解决本题的关键．。

西安交通大学附属中学航天学校九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(包含答案解析)

西安交通大学附属中学航天学校九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°2．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）A ．46°B ．48°C ．50°D ．52° 3．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．304．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 5．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形 ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．87．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （4，6）、B （5，2）、C （2，1），如果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△''A B C ，那么点A 的对应点'A 的坐标是（ ）．A ．（－3，3）B ．（3，－3）C ．（－2，4）D ．（1，4） 9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形10．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°11．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在平面直角坐标中，点()1,2P -关于原对称的点的坐标为_______________________． 14．如图，将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，若40AOB ︒∠=，则AOD ∠=_______________．15．如图，在ABC 中，108BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为_______．16．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．17．如图，正方形ABCD 的边长为a ，对角线AC 和BD 相交于点O ，正方形A 1B 1C 1O 的边OA 1交AB 于点E ，OC 1交BC 于点F ，正方形A 1B 1C 1O 绕O 点转动的过程中，与正方形ABCD 重叠部分的面积为_____（用含a 的代数式表示）18．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________． 19．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．20．点)1,5A a -与点()2,5B b +-关于原点对称,则(a +b )2 020=____ ． 三、解答题21．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （2，4）、B （1，2）、C （5，3），如图：（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC 顺时针转动90°，得到△A 1B 1C 1，在坐标系中画出△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1的坐标；（2）在（1）中，若△ABC 上有一点P （m ，n ），直接写出对应点P 1的坐标． （3）作出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．22．（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等边三角形，当DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．①填空：AEB ∠的度数为______．②线段AD 、BE 之间的数量关系是_______．（2）拓展研究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==，点A 、D 、E 在同一直线上，若15AE =，7DE =，求AB 的长度．（3）探究发现：图1中的ACB △和DCE ，在DCE 旋转过程中当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索AOE ∠的度数，直接写出结果，并说明理由．23．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．24．如图1，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形， 90A ∠=︒，90E ∠=︒，DEF 的顶点D 恰好落在ABC 的斜边BC 中点，把ADEF 绕点D 旋转，始终保持线段DE 、DF分别与线段AB 、AC 交于M 、N ，连接MN ．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把DEF 旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当//BC MN 时， ①通过计算BMD ∠和NMD ∠的度数，得出BMD ∠________NMD ∠（填>，<或=）； ②设22BC =，通过计算AM 、MN 、NC 的长度，其中NC =____，进而得出AM 、MN 、NC 之间的数量关系是_______．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM 、MN 、NC 之间的数量关系进行证明．25．如图，P 是正方形ABCD 内一点，△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置． （1）旋转的角度是多少度？（2）若BP =3cm ，求线段PE 的长．26．如图，在7×7的正方形网格中，选取14个格点，以其中3个格点为顶点画出△ABC ．（1）请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，要求所画的三角形与△ABC 组成的图形是中心对称图形；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，请猜想新得到的中心对称图形是什么特殊图形（不用证明），并求出它的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．【详解】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=1(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，2∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B 的度数．【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′，∴∠C＝∠AC′C，∵∠C＝65°，∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，∴∠B′C′B＝180°−∠AC′B′−∠AC′C＝50°，故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3．A解析：A【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．【详解】解：∵3120B A ∠=∠=︒∴120B ∠=︒，40A ∠=︒∵△ABC 绕点C 逆时针旋转80°得到△DEC ，∴∠D=∠A=40°，∠DEC=∠B=120°，∴∠DCE=180°-40°-120°=20°，∵∠DCA=80°∴∠α=∠DCA-∠DCE=80°-20°=60°．故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 4．D解析：D【分析】根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．5．C解析：C【分析】证明△BO′A ≌△BOC ，又∠OBO′=60°，所以△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S 四边形AOBO′=S △AOO′+S △OBO′=122，故结论④错误． 【详解】解：如图，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12323④错误；故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．6．C解析：C【分析】由于将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，当点D恰好落在BC上时，易得：△ODP是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP≌△CDO，由此可以求出AP的长．【详解】解：当点D恰好落在BC上时，OP=OD，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO，∴△AOP≌△CDO，∴AP=CO=6．故选：C．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．7．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A是中心对称图形，故A正确；B是轴对称图形，故B错误；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．8．A解析：A【解析】解：△A′B′C的位置如图．A′（-3，3）．故选A．9．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10．C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．考点: 旋转的性质.11．C解析：C【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断即可.【详解】A ：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；B ：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；C ：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；D ：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.12．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选D ．【点睛】考核知识点：中心对称图形的识别.二、填空题13．【分析】关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数【详解】解：点P 的坐标是（1-2）则关于原对称的点的坐标为（-12）故答案为：（-12）【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标解决本题的关键是掌握解析：()1,2-【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：点P 的坐标是（1，-2），则关于原对称的点的坐标为（-1，2），故答案为：（-1，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．30°【分析】根据旋转的性质得到利用角的和差即可求解【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置∴∴故答案为：30°【点睛】本题考查旋转的性质明确旋转的性质是解题的关键解析：30°【分析】根据旋转的性质得到40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，∴40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，∴30AOD AOC COD ∠=∠-∠=︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键．15．24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等找到角之间的关系再根据三角形内角和定理进行求解即可求出答案【详解】解：设=x°根据旋转的性质得∠C=∠=x°=AC=AB ∴∠=∠B ∵∴∠C=∠CA=x°∴∠解析：24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．【详解】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∠C=∠'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB.∴∠'AB B =∠B.∵AB CB ''=，∴∠C=∠CA 'B =x°.∴∠'AB B =∠C+∠CA 'B =2x°.∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，108BAC ∠=︒，∴x+2x+108=180.解得x=24.∴C '∠的度数为24°.故答案为24°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.16．60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中∠2+∠3=90°∵∠3=30°∴∠2=60°∴∠1=60°故答案是：60°解析：60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故答案是：60°．17．a2【分析】由题意得OA ＝OB ∠OAB ＝∠OBC ＝45°又因为∠AOE+∠EOB ＝90°∠BOF+∠EOB ＝90°可得∠AOE ＝∠BOF 根据ASA 可证△AOE ≌△BOF 由全等三角形的性质可得S △AO 解析：14a 2． 【分析】 由题意得OA ＝OB ，∠OAB ＝∠OBC ＝45°又因为∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°可得∠AOE ＝∠BOF ，根据ASA 可证△AOE ≌△BOF ，由全等三角形的性质可得S △AOE ＝S △BOF ，可得重叠部分的面积为正方形面积的14，即可求解． 【详解】解：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°，∵∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠BOF ． 在△AOE 和△BOF 中OAE OBF OA OBAOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△BOF （ASA ），∴S △AOE ＝S △BOF ，∴重叠部分的面积21144AOB ABCD SS a ===正方形， 故答案为：14a 2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE ≌△BOF 是本题的关键． 18．-12【分析】两个点关于原点对称时它们的横坐标互为相反数纵坐标也互为相反数直接利用关于原点对称点的性质得出mn 的值进而得出答案【详解】∵点B （5）与点A （4）关于原点成中心对称∴∴∴故答案为：【点睛解析：-12【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值，进而得出答案．【详解】∵点B （3n +，5）与点A （4，m ）关于原点成中心对称，∴34n +=-，5m =-，∴5m =-，7n =-，∴()5712m n +=-+-=-．故答案为：12-．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质是解题关键．19．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4【分析】根据矩形的性质可以得到AC =90AC CAC ︒'=∠='，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度．【详解】解：∵CD=2，DA=2，∴根据矩形的性质可得AC ==由旋转的性质可得：90AC AC CAC ==∠'=︒'，∴4CC ='==，故答案为4．【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．20．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出ab 的值然后相加计算即可得解【详解】∵点与点关于原点对称∴∴∴故答案为1【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标关于原点的对称点横纵坐标都 解析：1【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a 、b 的值，然后相加计算即可得解．【详解】∵点()1,5A a -与点()2,5B b +-关于原点对称 ∴1+2=0a b -+∴1,2a b ==- ∴()()2 020 2 020211a b =++=- 故答案为1.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 三、解答题21．（1）图见解析，A 1（4，﹣2）、B 1（2，﹣1）、C 1（3，﹣5）；（2）P 1的坐标为（n ，﹣m ）；（3）见解析【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC 顺时针转动90°，即可得到△A 1B 1C 1； （2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P 1的坐标；（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，A 1（4，﹣2）、B 1（2，﹣1）、C 1（3，﹣5）；（2）若△ABC 上有一点P （m ，n ），则对应点P 1的坐标为（n ，﹣m ）．（3）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22．（1）①60°；②AD BE =；（2）AB 的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD=BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM=DM=ME ，从而证到AE=2CH+BE ．（3）由（1）知△ACD ≌△BCE ，得∠CAD=∠CBE ，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．【详解】（1）①如图1，∵ACB △和DCE 均为等边三角形，∴CA CB =，CD CE =，60ACB BCE ∠=∠=，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()?ACD BCE SAS ≌， ∴ADC BEC ∠∠=， ∵DCE 为等边三角形，∴60CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴120ADC ∠=，∴120BEC ∠=，∴60AEB BEC CED ∠=∠-∠=．故答案为：60°．②∵≌ACD BCE ，∴AD BE =，故答案为：AD BE =．（2）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA CB =，CD CE =，90ACB DCE ∠∠==，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACD BCE SAS △≌△，∴8AD BE AE DE ==-=，ADC BEC ∠∠=，∵DCE 为等腰直角三角形，∴45CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴135ADC ∠=，∴135BEC ∠=，∴90AEB BEC CED ∠=∠-∠=， ∴2217AB AE BE =+=．（3）如图3，由（1）知≌ACD BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∵60CAB CBA ∠=∠=，∴120OAB OBA ∠+∠=，∴18012060AOE ∠=-=，如图4，同理求得60AOB ∠=，∴120AOE ∠=，∵AOE ∠的度数是60°或120°．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD ≌△BCE （SAS ）是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）AE ．【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF ，∠EAF=90°，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，∴△ADE ≌△ABF ，∠EAF=90°，∴AE=AF ，∴△AEF 是等腰直角三角形；（2）∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt △ADE 中，=． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．24．（1）①=；②NC =AM NM NC +=；（2）AM NM NC +=，见解析【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD ≌△CND ，可得∠BMD=∠DNC ，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN ；②由等腰三角形的性质可求=NC ，再求出，-2，即可得结论；（2）在CN 上截取CH=AM ，连接AD ，DH ，由“SAS”可证△AMD ≌△CHD ，可得MD=DH ，∠ADM=∠CDH ，再由“SAS”可证△MDN ≌△HDN ，可得MN=HN ，可得结论．【详解】解：（1）①∵△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形，∠A=90°，∠E=90°，∴∠B=∠C=∠EDF=45°，AB=AC ，，∵MN ∥BC ，∴∠AMN=∠B=45°=∠ANM=∠C ，∠DMN=∠BDM ，∴AM=AN ，∴BM=CN ，∵点D 是BC 中点，∴BD=CD ，在△BMD和△CND中BM CNB C BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD=∠DNC，∵∠MDB=∠C+∠DNC=∠MDN+∠BDM，∴∠BDM=∠CND，∴∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN，故答案为：=；②∵BC=22，BC=2AB，∴AB=AC=2，∵∠BMD=∠CND=∠BDM，∴BD=BM=12BC=2，∴NC=2，∴AM=2-2，∵AM=AN，∠A=90°，∴MN=2AM=22-2，∴AM+MN=2-2+22-2=2=NC，故答案为：2；AM+MN=NC；（2）如图1，在CN上截取CH=AM，连接AD，DH，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，∴AD=CD，∠BAD=∠ACD=45°，AD⊥BC，又∵AM=CH，∴△AMD≌△CHD（SAS），∴MD=DH，∠ADM=∠CDH，∵∠ADM+∠ADN=∠MDN=45°，∴∠ADN+∠CDH=45°，∴∠HDN=45°=∠MDN，在△MDN和△HDN中DN DNMDN HDN DM DH=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN=HN，∴NC=CH+NH=AM+MN．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（1）90，（2）32cm．【分析】（1）找出对应边AB、BC的夹角的度数就是旋转角的度数；（2）根据旋转变换的性质可知BP=BE，∠PBE=∠ABC，再根据勾股定理列式求解即可得到PE的长度．【详解】解：（1）∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴∠ABC为旋转角．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；（2）∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP=BE=3cm，∠PBE=∠ABC=90°，∴PE222233BP BE=+=+=32cm．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．26．（1）如图所示见解析；（2）是平行四边形，面积是6．【分析】（1）确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可；（2）观察图形，根据中心对称图形的性质知新得到的图形是平行四边形，再根据格点的特点，利用三角形的面积公式即可得平行四边形的面积．【详解】（1）如图所示：所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形；（2）观察图形，根据中心对称图形的性质知新得到的图形是平行四边形，面积是：123262⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了利用中心对称的性质作图，平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质是作图的关键，要注意对称中心的确定．。

深圳新亚洲学校初中部九年级数学上册第三单元《旋转》测试(包含答案解析)

深圳新亚洲学校初中部九年级数学上册第三单元《旋转》测试(包含答案解析)

一、选择题1．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝47，③AF＝307，④S△AEF＝507中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④3．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．4．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,1)-，将OA绕原点O按顺时针方向旋转90︒得到OA'，则点A'的坐标为（）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3)6．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）A ．22B ．23C ．3D ．327．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 8．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90° 9．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．矩形或菱形 10．在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5-- 11．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，把△ABC 绕着点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，∠1＝30°，则∠BAE ＝（ ）A．10°B．30°C．40°D．70°二、填空题13．如图，将OAB绕点O逆时针旋转70°到OCD的位置，若40AOB︒∠=，则∠=_______________．AOD14．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件_____，使四边形ABCD为矩形．15．如图，如果正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，连接DG，那么∠DGE＝________．16．在平面直角坐标系中，点A（-5，b)关于原点对称的点为B（a，6），则(a+b)2019=____．17．一副直角三角板如图放置，其中90ACB PRQ ∠=∠=，45A ∠=，60Q ∠=，点P 在斜边AB 上，现将三角板PRQ 绕着点P 顺时针旋转，当QR 第一次与AC 平行时，APR ∠的度数是__________．18．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．19．如图，在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，如果ABC 绕点B 旋转，使点C 落在AB 边上的点D 处得到EBD △，则点A 到BE 的距离是__________．20．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE 固定不动，将含30°角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD =15°时，BC ∥DE ，当90°<∠BAD <180°时，∠BAD 的度数为___．三、解答题21．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．23．如图，已知，点E 在正方形ABCD 的BC 边上（不与点B ，C 重合），AC 是对角线，过点E 作AC 的垂线，垂足为G ，连接BG ，DG ．把线段DG 绕着G 点顺时针旋转，使D 点的对应点F 点刚好落在BC 延长线上，根据题意补全图形．（1）证明：GC GE =；（2）连接DF ，用等式表示线段BG 与DF 的数量关系，并证明．24．如图将三角形绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，使点A '落在AC 上，已知45,4,2,//C BC A A C C BC '∠==︒'=求：（1）A BC '∠的度数；（2）AC 的长度．25．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0）、B （3，﹣1）、C （2，2），格中每一格表示一个单位长度，请解答以下问题：（1）求作出△ABC ；（2）将△ABC 平移，使得平移后点C 的对应点为原点，A 、B 的对应点分别为A 1，B 1，请作出平移后的△A 1B 1O ，并直接写出平移的距离为 ；（3）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AB 2C 2，B 、C 的对应点分别为B 2、C 2，请作出△AB 2C 2，并求出B 2、C 2点的坐标．26．在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC 平移，使点A 平移到图中点D 的位置，点B 、C 的对应点分别是点E 、F ，请画出△DEF ；（2）画出△ABC 关于点D 成中心对称的△111A B C ；（3）△DEF 与△111A B C （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；【详解】A、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；B、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C、图形旋转180度之后能与原图形重合，故是中心对称图形；D、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；2．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝47，∴BF＝47，AF7，故②正确，③错误，∴GF＝3+47＝257，∴S△AEF＝S△AGF＝12AB×GF＝507，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．D解析：D【分析】根据中心对称图形定义可得答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5．D解析：D【分析】根据绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得．【详解】绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将纵坐标变为相反数，A-，(3,1)(1,3)A，故选：D．【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律，熟练掌握绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律是解题关键．6．A解析：A【分析】由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到BP，即可得到答案．．【详解】解：解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，而四边形ABCD为正方形，BA=BC，∴BP=BP′，∠PBP′=90，∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，∴．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．7．D解析：D【分析】根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．8．C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为85°．故选C ．考点: 旋转的性质.9．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10．C解析：C【解析】分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．详解：点P （-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），故选C ．点睛：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 11．C解析：C【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断即可.【详解】A ：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；B ：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；C ：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；D ：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.12．D解析：D【分析】先找到旋转角，根据∠BAE ＝∠1+∠CAE 进行计算．【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE ＝40°，所以∠BAE ＝30°+40°＝70°．故选D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．二、填空题13．30°【分析】根据旋转的性质得到利用角的和差即可求解【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置∴∴故答案为：30°【点睛】本题考查旋转的性质明确旋转的性质是解题的关键解析：30°【分析】根据旋转的性质得到40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，∴40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，∴30AOD AOC COD ∠=∠-∠=︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键．14．∠B=90°【分析】根据旋转的性质得AB=CD ∠BAC=∠DCA 则AB ∥CD 得到四边形ABCD 为平行四边形根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°【详解】∵△ABC 绕AC 的中点O 顺解析：∠B=90°．【分析】根据旋转的性质得AB=CD ，∠BAC=∠DCA ，则AB ∥CD ，得到四边形ABCD 为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．【详解】∵△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，∴AB=CD ，∠BAC=∠DCA ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，当∠B=90°时，平行四边形ABCD 为矩形，∴添加的条件为∠B=90°．故答案为∠B=90°．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．15．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD 可得△CDG 是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD ，可得△CDG 是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，∴∠DCG=30°，CG=CD ，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE ＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．16．-1【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数可得ab 再根据负数的奇数次幂是负数可得答案【详解】解：点A （-5b ）关于原点对称的点为B （a6）得a=5b=-6（a+b ）2019=（-1）解析：-1【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a ，b ，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【详解】解：点A （-5，b ）关于原点对称的点为B （a ，6），得a=5，b=-6．（a+b ）2019=（-1）2019=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题【详解】解：根据题意如图：∵QR ∥AC ∴DF ∥BC ∴∠FDB=∠ABC=45°∴故答案为：135°【点睛】本题考查平行线的判定和性质解题的关键是灵活运用所解析：135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：根据题意，如图：∵QR ∥AC ，90ACB PRQ ∠=∠=，∴DF ∥BC ，∴∠FDB=∠ABC=45°，∴18045135APR ∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得∴OB=O解析：90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD ，∴旋转的角度是∠BOD 的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°，故答案为： 90．【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．19．3【分析】连接AE 作AH ⊥BE 于H 根据勾股定理求出AC 的值根据旋转的性质可知BE=AB=5DE=AC=3然后根据等面积法求解即可【详解】解：连接AE 作AH ⊥BE 于H ∵在中∴AC=由旋转的性质得BE=解析：3【分析】连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，根据勾股定理求出AC 的值，根据旋转的性质可知BE=AB=5，DE=AC=3，然后根据等面积法求解即可．【详解】解：连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，∵在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，∴，由旋转的性质得BE=AB=5，DE=AC=3， ∵1122BE AH AB DE ⋅=⋅，∴5AH=5×3，∴AH=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等面积法求线段的长，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．105°或135°【分析】根据题意画出图形再由平行线的判定定理即可得出结论【详解】解：如图（1）当AC∥DE时∠BAD=∠DAE=45°；如图（2）当BC∥AD时∠DAB=∠B=60°；如图（3）当解析：105°或135°【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：如图（1），当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；如图（2），当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；如图（3），当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；如图（4），当AB∥DE时，∵∠E=∠EAB=90°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．∴当90°<∠BAD<180°时，∠BAD=105°或135°．故答案为：105°或135°．【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．三、解答题21．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．【分析】（1）直接利用角的和差计算即可；（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义BON ∠,然后∠BOC-∠BON 即可求得CON ∠；（3）先求出∠BON ，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．【详解】（1）906525MOC MON BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为25°；（2）∵OC 是MOB ∠的角平分线，∴2265130MOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒，∴旋转角1309040BON MOB MON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，654025CON BOC BON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为40°，25°；（3）∵5NOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，∴70BON NOC BOC ∠=∠+∠=︒，∵点O 为直线AB 上一点，∴180AOB ∠=︒，∵90MON ∠=︒，∴180907020AOM AOB MON BON ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒，90CGF FGB ∠+∠=︒，∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中，KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△，∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ， ∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．23．补图见解析；（1）见解析；（2）2DF BG =，理由见解析【分析】（1）证明△EGC 是等腰直角三角形即可得出结论；（2）连接DG 、FG ，由“SAS”可证△BEG ≌△FCG ，得出BG=GF ，得出EF=BC=DC ，由“SAS”可证△GEF ≌△GCD ，得出∠EGC=∠DGF=90°，FG=GD ，则△DGF 是等腰直角三角形，从而得出2BG ．【详解】解：补全图形如图所示，（1）∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠ACB ＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC=90 °∴∠ GEC= ∠ ACB=45 °∴GC ＝GE ；（2）2DF BG =．理由如下：证明：∵△EGC 是等腰直角三角形，∴EG ＝GC ，∠GEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由旋转得：DG ＝GF ，正方形 ABCD 中，AB=AD ，∠BCA=∠DCA=45°，CG=CG∴△CBG ≌△CDG （SAS ），∴∠CGB=∠CGD ， BG ＝DG ，∴BG=GF ∴∠GBC=∠GFB又∠BEG ＝∠GCF∴△BEG ≌△FCG （AAS ），∴∠BGE ＝∠CGF ，∴∠CGB ﹣∠BGE ＝∠CGD ﹣∠CGF ，即∠EGC ＝∠DGF ＝90°，∴△DGF 是等腰直角三角形，2222222DF DG GF BG BG BGBG∴=+=+== 即2DF BG =．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（1）22.5︒；（2）4【分析】（1）根据平行和旋转的性质证明ABC 和ABA '△是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出A BC ∠''的度数，就可以求得A BC '∠的度数；（2）由（1）知ABC 是等腰三角形，可得AC=BC=4．【详解】解：（1）∵//AC BC '，∴AA B A BC '''∠=∠，∵旋转，∴AB A B '=，∴A AA B '∠=∠，∴A A BC ''∠=∠，∵ABC A BC ''∠=∠，∴A ABC ∠=∠，∵45C ∠=︒， ∴1804567.52A BC ABC ︒-︒''∠=∠==︒， ∵//AC BC '，∴45C CBC '∠=∠=︒，∴67.54522.5A BC A BC CBC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）由（1）知A ABC ∠=∠，∴AC=BC=4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转和平行的性质，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．25．（1）作图见解析；（2）；（3）作图见解析；B 2（﹣4，4），C 2（﹣1，5）【分析】（1）根据点的坐标作出三角形即可；（2）分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1即可；（3）分别作出B ，C 的对应点B 2、C 2即可．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求；（2）如图△A 1B 1O 即为所求，平移的距离为；故答案为（3）如图△A B 2C 2即为所求B 2、C 2点的坐标分别为（﹣4，4），（﹣1，5）【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．。

上海园南中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

上海园南中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．45 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-1，3）B ．（3，-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 4．如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D(5，3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90º，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是( )A ．(-2，0)B ．(-2，10)C ．(2，10)或(-2，0)D ．(10，2)或( -2，10) 5．如图，将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，DB 的延长线交EF 于点H ，则∠DHE 的大小为 （ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°6．在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5-- 7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定9．如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若DE ＝12，∠B ＝60°，则点E 与点C 之间的距离为（ ）A ．12B ．6C ．2D ．310．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2 11．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．14．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到COD △，若15AOB ∠=︒，则BOC ∠=______度．15．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，则CB C ''∠的度数为______．16．将点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是______17．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．18．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.19．一副直角三角板如图放置，其中90ACB PRQ ∠=∠=，45A ∠=，60Q ∠=，点P 在斜边AB 上，现将三角板PRQ 绕着点P 顺时针旋转，当QR 第一次与AC 平行时，APR ∠的度数是__________．20．如图，把ABC ∆绕顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当A B AC ''⊥，47A ∠=︒，128A CB ∠='︒时，B CA '∠的度数为_____.三、解答题21．（探索发现）如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且45MAN=∠︒，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点D 与点B 重合，得到ABE ∆，连接AM 、AN 、MN ．（1）试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．（2）如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，45MAN=∠︒，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，120BAD=∠︒，180B+D=∠∠︒，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，60MAN=∠︒，请直接写出线段BN ，DM ，MN 之间的数量关系．22．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE 的长度；（3）BE 与DF 的位置关系如何？23．如图，等腰Rt △ABC 中，∠A ＝45°，∠ABC ＝90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ．（1）求∠DCE 的度数；（2）若AB ＝4，CD ＝3AD ，求DE 的长．24．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．25．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝110°，∠BOC ＝α．将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）求证：△DOC 是等边三角形；（2）当AO ＝5，BO ＝4，α＝150°时，求CO 的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．26．解下列方程：（1）x 2-2x-24=0 （2）用配方法解方程：x 2+6x ﹣1=0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先利用互余计算出∠BAC＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝2BC＝2，接着根据旋转的性质得A'B'＝AB＝2，B'C＝BC＝1，A'C＝AC，∠A'＝∠BAC＝30°，∠A'B' C＝∠B＝60°，于是可判断CA A'为等腰三角形，所以∠CA A'＝∠A'＝30°，再利用三角形外角性质计算出∠B'CA＝30°，可得B'A＝B'C＝1，然后利用A A'＝A B'+A'B'进行计算．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×1＝2，∵ABC绕点C顺时针旋转得到A'B'C，∴A'B'＝AB＝2，B'C＝BC＝1，A'C＝AC，∠A'＝∠BAC＝30°，∠A'B'C＝∠B＝60°，∴CA A'为等腰三角形，∴∠CA A'＝∠A'＝30°，∵A、B'、A'在同一条直线上，∴∠A'B'C＝∠B'AC+∠B'CA，∴∠B'CA＝60°﹣30°＝30°，∴B'A＝B'C＝1，∴A A'＝A B'+A'B'＝2+1＝3．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．2．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3．C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴2222--AO OE==132∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，3∴A′（31），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．C解析：C【分析】根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．【详解】解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，若把△CDB顺时针旋转90º，则点D在x轴的负半轴上，O D=BD=2，所以点D坐标为（﹣2，0）；若把△CDB逆时针旋转90º，则点D到x轴的距离是5+5=10，到y轴的距离是2，∴点D的坐标为（2，10），综上，旋转后点D的对应点D的坐标是(2，10)或(-2，0)，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．5．C解析：C【分析】直接根据四边形AEHB的四个内角和为360°即可求解．【详解】解：∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°，∴∠ABH=135°，∴∠DHE=360°-∠E-∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转角、多边形的内角和定理，正确找出旋转角是解题关键．6．C解析：C【解析】分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．详解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），故选C．点睛：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．7．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，故选B．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．9．D解析：D【分析】由旋转的性质可得DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，由直角三角形的性质可得AB＝12BC＝6，AC＝3，AB＝63，通过证明△ACE是等边三角形，可得AC＝AE＝EC＝63．【详解】解：如图，连接EC，∵将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，∴DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，∵∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝12BC＝6，AC3AB＝3∵AD＝AB，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°＝∠EAC，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC＝3故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是本题的关键．10．B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选D．【点睛】考核知识点：中心对称图形的识别.12．C解析：C【分析】根据题意通过“角角边”证明△AOP≌△CDO，进而得到AP=OC=AC﹣AO=6.【详解】解：根据题意可知：∠A=∠C=60°，∵线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OD，∴OP=DO，∵∠DOP=60°，∴∠AOP+∠COD=∠CDO+∠COD=120°，∴∠AOP=∠CDO，在△AOP与△CDO中，A C AOP CDO OP DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP=OC=AC ﹣AO=6.故选C.【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握其知识点是解此题的关键.二、填空题13．【分析】由旋转角∠BAB′=30°可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED 计算面积即可【详解】如图连接根据旋转角为可知在与中在中故答案为：【点解析：36-【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED ，计算面积即可．【详解】如图，连接AE ，根据旋转角为30，可知，30BAB '∠=︒，9060DAB ∴∠=︒-30︒='︒，在Rt ADE △与Rt AB E '中，AD AB AE AE '=⎧⎨=⎩()Rt ADE Rt AB E HL '∴△△≌，1302EAD B AD DAB '∴∠=∠=∠='︒， ∴在Rt ADE △中，6AD =，ED =11262ADE AD E S D ⋅∴=⨯=⨯=△2ADEB ADE S S '=∴=△，2636ABCD S ==正方形，36ADEB ABCD S S S '∴-==阴影正方形-故答案为：36-【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练添加辅助线，证明全等，灵活计算阴影面积是解题关键．14．60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°且∠COD=∠AOB再用∠BOD加∠COD即可【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD∴∠BOD=45°∠COD=∠AOB又∵∠A解析：60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB，再用∠BOD加∠COD即可．【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，故答案为60°．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质，解题的关键是找准旋转角以及对应的边．15．80【分析】由旋转的性质可得AB=AB∠ABC=50°再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BBA=50°最后根据平角的定义即可解答【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB∠ABC=50°∵AB=AB解析：80【分析】由旋转的性质可得AB=AB',∠AB' C'=50°，再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'A=50°，最后根据平角的定义即可解答．【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.∵AB=AB'，∴∠B=∠BB'A=50°.∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．故答案为80°．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．16．【分析】首先利用平移变化规律得出P1（13）进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标【详解】∵点P （-23）向右平移3个单位得到点P1∴P1（13）∵点P2与点P1关于原点对称∴P2的坐标是：解析：()1,3--【分析】首先利用平移变化规律得出P 1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P 2的坐标．【详解】∵点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，∴P 1（1，3），∵点P 2与点P 1关于原点对称，∴P 2的坐标是：（-1，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．17．60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中∠2+∠3=90°∵∠3=30°∴∠2=60°∴∠1=60°故答案是：60°解析：60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故答案是：60°．18．C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做对称中心可得答案【详解】解：矩形是中心对称图形对称中心是对角线的交点点A 的对称 解析：C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【详解】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A 的对称点是点C ， 故答案为C ．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质．19．135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题【详解】解：根据题意如图：∵QR ∥AC ∴DF ∥BC ∴∠FDB=∠ABC=45°∴故答案为：135°【点睛】本题考查平行线的判定和性质解题的关键是灵活运用所解析：135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：根据题意，如图：∵QR ∥AC ，90ACB PRQ ∠=∠=，∴DF ∥BC ，∴∠FDB=∠ABC=45°，∴18045135APR ∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°则∠A′CA=90°-47°=43°由∠BCB′=∠A′CA=43°则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求【详解】根据旋转的性质可知解析：42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，则∠A′CA=90°-47°=43°，由∠BCB′=∠A′CA=43°，则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求．【详解】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，∴∠A′CA=90°-47°=43°．根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′=∠A′CA=43°，∴∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′=128°-43°-43°=42°．故答案为：42°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．三、解答题21．（1）MN DM BN =+，证明见解析；（2）MN BN DM =-,证明见解析；（3）MN DM BN =+．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+；（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN BN DM =-；（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+；【详解】证明：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，ABC ADC BAD =90将ADM 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE∴ADM ≌ABE∴AM AE,DM BE,MAD EABMAE BAD 90∵MAN 45EAN MAN 45在AMN 和AEN 中AM AEMAN EAN AN ANAMN AEN SAS ≌MN EN∵EN EB BN DM BN =+=+，∴MN BN DM =+（2）如图②，将ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，ABCADC BAD =90 ∵ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE∴ADM ≌ABE∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90, ∵MAN 45EANMAN 45 在AMN 和AEN 中AMAE MANEAN AN ANAMN AEN SAS ≌MN EN∵BNEB EN DM MN ， 即：MN BN DM =-；（3）如图，∵AB AD =，BAD 120∠=，BD 180， 将ADM 绕点A 顺时针旋转120，得到ABE ∴ADM ≌ABE ∴AM AE,DM BE,MAD EABMAEBAD 120 MAN 60EAN MAN60在AMN和AEN中AM AEMAN EANAN AN≌AMN AEN SASMN ENEN BE BNMN DM BN；【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．22．（1）旋转中心：点A，旋转角度：90°或270°；（2）DE= 3；（3）BE⊥DF.【分析】先根据正方形的性质得到：△AFD≌△AEB，从而得出等量关系AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，找到旋转中心和旋转角度．这些等量关系即可求出DE=AD-AE=7-4=3；BE⊥DF．【详解】解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；旋转角度为：90°或270°；（2）DE=AD-AE=7-4=3；（3）BE⊥DF ；延长BE交DF于点G由旋转△ADF≌△ABE∴∠ADF=∠ABE又∵∠DEG=∠AEB∴∠DGE=∠EAB=90°∴BE⊥DF．【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．23．（1）90°；（2）【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE 的度数；（2）根据勾股定理求出AC 的长，根据CD ＝3AD ，可得CD 和AD 的长，根据旋转的性质可得AD ＝EC ，再根据勾股定理即可得DE 的长．【详解】解：（1）∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAD ＝∠BCD ＝45°，由旋转的性质可知∠BAD ＝∠BCE ＝45°，∴∠DCE ＝∠BCE ＋∠BCA ＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴AC == ∵CD ＝3AD ， ∴AD =DC =由旋转的性质可知：AD ＝EC ，∴DE ==【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．24．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点， ∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒， 90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒， 90CGF FGB ∠+∠=︒， ∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中， KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△， ∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△， ∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形 CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4． （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点， ∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+． 由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．25．（1）见解析；（2）CO=3；（3）α＝125°、α＝110°或α＝140°【分析】（1）由△BOC ≌△ADC ，得出CO ＝CD ，再由∠OCD ＝60°，得出结论；（2）利用等边三角形的性质以及直角三角形的定义，即可判断△AOD 为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO 的长；（3）因为△AOD 是等腰三角形，可得①∠AOD ＝∠ADO 、②∠ODA ＝∠OAD 、③∠AOD ＝∠DAO ；若∠AOB ＝110°，∠COD ＝60°，∠BOC ＝190°−∠AOD ，∠BOC ＝∠ADC ＝∠ADO＋∠CDO由①∠AOD＝∠ADO可得α＝125°，由②∠ODA＝∠OAD可得α＝110°，由③∠AOD＝∠DAO可得α＝140°．【详解】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴CO＝CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA＝OB＝4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，∴△AOD为直角三角形．又AO＝5，AD＝4，∴OD＝3，∴CO＝OD＝3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，求得α＝125°；由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°12∠AOD求得α＝110°；由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，求得α＝140°；综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．【点睛】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，掌握分类讨论的思想是解题关键．26．（1）x=-4，x=6；（2）x=﹣．【解析】试题分析：（1）把左边进行因式分解即可；（2）用配方法解方程即可．试题解：（1）（x+4）（x-6）=0，x=-4，x=6．（2）x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，x=﹣．。

上海杨园中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测(有答案解析)

上海杨园中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（）A．15°B．22.5°C．25°D．30°⊥于点,E以点B为中心，取旋转角等于2．如图，已知平行四边形ABCD中，AE BC,∠把BAEABC△顺时针旋转，得到BA E''，连接DA'．若ADC ADA'∠=︒∠=︒，则DA E''60,50∠的大小为（）A．130︒B．150︒C．160︒D．170︒3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（）A．B．C．D．5．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风C．有症状早就医D．少出门少聚集''，且点B刚好落在A B''上，若∠A=35°，6．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A B C'等于( )∠BCA'=40°，则∠A BAA ．45°B ．40°C ．35°D ．30°7．如图，Rt OCB ∆的斜边在y 轴上，3OC ＝，含30︒角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，则B 点的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0) 8．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是( )A ．22B ．4C ．23D ．不能确定 9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定11．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．112．如图,已知△ABC 与△CDA 关于点O 成中心对称,过点O 任作直线EF 分别交AD,BC 于点E,F,则下则结论:①点E 和点F,点B 和点D 是关于中心O 的对称点;②直线BD 必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等;⑤△AOE 与△COF 成中心对称.其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．在平面直角坐标中，点()1,2P -关于原对称的点的坐标为_______________________． 14．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．15．在直角坐标系中，已知()2,3A -，()10B ,，则点A 关于点B 的对称点A '的坐标为______．16．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC ≌△DEF 关于点H 成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．17．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm 2，则阴影部分的面积为_____cm 2．18．如图，如果正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，连接DG ，那么∠DGE ＝________．19．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.20．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．三、解答题21．（探索发现）如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且45MAN=∠︒，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点D 与点B 重合，得到ABE ∆，连接AM 、AN 、MN ．（1）试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．（2）如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，45MAN=∠︒，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，120BAD=∠︒，180B+D=∠∠︒，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，60MAN=∠︒，请直接写出线段BN ，DM ，MN 之间的数量关系．22．如图，等腰Rt △ABC 中，∠A ＝45°，∠ABC ＝90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ．（1）求∠DCE 的度数；（2）若AB ＝4，CD ＝3AD ，求DE 的长．23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．24．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点Р是正方形ABCD 内一点，1,2,3PA PB PC ===，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC ∆绕点B 逆时针旋转90，得到'P BA ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB ∆绕点B 顺时针旋转90，得到'P CB ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数．请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（2）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，要使45APB ∠=，线段PA ，PB ，PC 应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．25．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）． （1）请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1；（2）请画出△ABC 关于点（1，0）成中心对称的图形△A 2B 2C 2；（3）若△A 1B 1C 1绕点M 旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出点M 的坐标；（4）在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．26．如图，已知ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()2,3A -、()3,2B -、()1,1C -．（1）作出ABC 关于原点O 的中心对称图形111A B C △，写出点1A 的坐标； （2）将ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒后得到222A B C △，画出222A B C △，并写出点2A 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数．【详解】解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=12(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．3．D解析：D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．4．A解析：A【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形． 故选A ．【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．5．C解析：C【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6．D解析：D【分析】由旋转的性质可得出35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，由已知条件结合三角形外角的性质求出B BC '∠的度数，即可得出ABC ∠的度数，即可得出A BA '∠的度数．【详解】由旋转的性质可得：35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，∴B BC B ''∠=∠，40BCA '∠=︒，∴75B A C BCA B '''∠=∠+∠=︒，∴75B '∠=︒，∴75ABC B '∠=∠=︒，∴180757530A BA '∠=︒-︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，根据三角形外角的性质以及旋转的性质求出对应角的度数是解题关键．7．A解析：A【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到1BC =，再利用旋转的性质得到1,90OC OC B C BC B C O BCO ====∠''''=='∠︒，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B ′的坐标．【详解】如图，在Rt OCB ∆中，30BOC ∠=︒， 333133BC OC ∴==⨯=， Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒，∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选A ．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30456090180︒︒︒︒︒，，，，． 8．C解析：C【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ 的最小值．【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴∠BCQ=120°，∵点D 是AC 边的中点，∴CD=4，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，此时，∠CDQ=30°，∴CQ=1CD=2，2∴=，∴DQ的最小值是故选：C．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．9．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，故选B．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．11．B解析：B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a +b =﹣3.故选B.【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.12．D解析：D【分析】由于△ABC 与△CDA 关于点O 对称，那么可得到AB=CD 、AD=BC ，即四边形ABCD 是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．【详解】△ABC 与△CDA 关于点O 对称，则AB=CD 、AD=BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形， 因此点O 就是▱ABCD 的对称中心，则有：（1）点E 和点F ；B 和D 是关于中心O 的对称点，正确；（2）直线BD 必经过点O ，正确；（3）四边形ABCD 是中心对称图形，正确；（4）四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等，正确；（5）△AOE 与△COF 成中心对称，正确；其中正确的个数为5个，故选D ．【点睛】熟练掌握平行四边形的性质和中心对称图形的性质是解决此题的关键．二、填空题13．【分析】关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数【详解】解：点P 的坐标是（1-2）则关于原对称的点的坐标为（-12）故答案为：（-12）【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标解决本题的关键是掌握解析：()1,2-【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：点P 的坐标是（1，-2），则关于原对称的点的坐标为（-1，2），故答案为：（-1，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．5【分析】将△BAC 绕点B 逆时针旋转60º易知△ABA′为等边三角形当AA′D三点在一线时AD 最大AD 最大=AA′+A′D 【详解】如图以点B 为旋转心将△BAC 逆时针旋转60º后的图形为△BA′D 连结解析：5．【分析】将△BAC 绕点B 逆时针旋转60º，易知△ABA′为等边三角形，当A 、A′、D 三点在一线时AD 最大，AD 最大=AA′+A′D ．【详解】如图以点B 为旋转心，将△BAC 逆时针旋转60º后的图形为△BA′D ，连结AA′，BA=BA′，∠ABA′=60º，∴△BAA′为等边三角形，则AA′=BA=2，A′D=AC=3，当A 、A′、D 三点在一线时AD 最大，AD 最大=2+3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查AD 的最值问题，掌握旋转变换的性质，会用旋转变化构造等边三角形，使问题转化为两线段和最大问题使问题得以解决是关键．15．【分析】设点的坐标为（xy ）然后根据中心对称的点的坐标特点解答即可【详解】解：设点的坐标为（xy ）∵点是点关于点的对称点∴解得：x=4y=﹣3∴点的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形变化—解析：()4,3-【分析】设点A '的坐标为（x ，y ），然后根据中心对称的点的坐标特点解答即可．【详解】解：设点A '的坐标为（x ，y ），∵点A '是点A 关于点B 的对称点， ∴231,022x y -++==，解得：x =4，y =﹣3， ∴点A '的坐标为()4,3-．故答案为：()4,3-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化—对称，熟记对称点公式是解题的关键．16．（2-1）【分析】连接对应点ADCF 根据对应点的连线经过对称中心则交点就是对称中心H 点在坐标系内确定出其坐标【详解】解：如图连接ADCF 则交点就是对称中心H 点观察图形可知H （2-1）故答案为：（2-解析：（2，-1）【分析】连接对应点AD 、CF ，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H 点，在坐标系内确定出其坐标．【详解】解：如图，连接AD 、CF ，则交点就是对称中心H 点．观察图形可知，H （2，-1）．故答案为：（2，-1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H 点位置是解决问题的关键．17．10【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半即可得出结果【详解】∵O 是菱形两条对角线的交点菱形ABCD 是中心对称图形∴△OEG ≌△OFH 四边形OMAH ≌四边形ONCG 四边形解析：10【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．【详解】∵O 是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD 是中心对称图形，∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，∴阴影部分的面积=12S菱形ABCD=12×20=10（cm2）．故答案为：10．【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．18．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD可得△CDG是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD，可得△CDG是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，∴∠DCG=30°，CG=CD，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．19．（21）【分析】观察图形根据中心对称的性质即可解答【详解】∵点P （11）N（20）∴由图形可知M（30）M1（12）N1（22）P1（31）∵关于中心对称的两个图形对应点的连线都经过对称中心并且被对解析：（2,1）【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.【详解】∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．20．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4【分析】根据矩形的性质可以得到AC =90AC CAC ︒'=∠='，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度．【详解】解：∵CD=2，DA=2，∴根据矩形的性质可得AC ==由旋转的性质可得：90AC AC CAC ==∠'=︒'，∴4CC ='==，故答案为4．【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．三、解答题21．（1）MN DM BN =+，证明见解析；（2）MN BN DM =-,证明见解析；（3）MN DM BN =+．【分析】 （1）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN BN DM =-； （3）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+；【详解】证明：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，ABCADC BAD =90 将ADM 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∴ADM ≌ABE ∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90 ∵MAN45EAN MAN45在AMN和AEN中AM AEMAN EANAN AN≌AMN AEN SASMN EN=+=+，∵EN EB BN DM BN=+∴MN BN DM（2）如图②，将ADM绕点A顺时针旋转90，得到ABE∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，ABC ADC BAD=90∵ADM绕点A顺时针旋转90，得到ABE∴ADM≌ABE∴AM AE,DM BE,MAD EABMAE BAD90,∵MAN45EAN MAN45在AMN和AEN中AM AEMAN EANAN AN≌AMN AEN SASMN EN∵BN EB EN DM MN，=-；即：MN BN DM（3）如图，∵AB AD =，BAD 120∠=，BD 180， 将ADM 绕点A 顺时针旋转120，得到ABE ∴ADM ≌ABE ∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAEBAD 120 MAN 60 EAN MAN 60 在AMN 和AEN 中AMAE MANEAN AN ANAMN AEN SAS≌ MN EN ENBE BN MN DM BN ；【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．22．（1）90°；（2）5【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE 的度数；（2）根据勾股定理求出AC 的长，根据CD ＝3AD ，可得CD 和AD 的长，根据旋转的性质可得AD ＝EC ，再根据勾股定理即可得DE 的长．【详解】解：（1）∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAD ＝∠BCD ＝45°，由旋转的性质可知∠BAD ＝∠BCE ＝45°，∴∠DCE ＝∠BCE ＋∠BCA ＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴2242AC AB BC =+=∵CD ＝3AD ，∴2AD=，32DC=，由旋转的性质可知：AD＝EC＝2，∴2225=+=．DE CE DC【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．24．（1）135；（2）222+=PA PB PC2【分析】（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，证得PA2+P'P2=AP'2，由△PBP'是等腰直角三角形可得出结论．【详解】（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'=CP=3，BP'=BP=2，∠PBP'=90°∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，2222'=+=+=，PP PB P B'2222∵AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9，又∵P'A2=32=9，∴AP2+P'P2=P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，∴P'B=PB=2，P'C=AP=1，∠P'BP=90°，∠APB=∠BP'C，∴∠BP'P=45°，2222'=+=+=PP PB P B'222∵PC=3，P'C=1，∴P'C2+PP'2=PC2，∴∠PP'C=90°，∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，∴∠APB=∠BP'C=135°；（2）线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2=PC2．如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，∴∠BPP'=45°，∵∠APB=45°，∴∠APP'=∠APB+∠BPP'=45°+45°=90°，∴PA2+P'P2=AP'2，又∵△PBP'是等腰直角三角形，∴PB2+P'B2=2PB2=P'P2，∴PA2+2PB2=PC2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．25．（1）见解；（2）见解析；（3）M的坐标为（-1，0）；（4）P的坐标为（2，0）【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可．（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．（4）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点M即为所求，点M的坐标为（-1，0）．（4）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．（1）图见解析，点1A 的坐标为()2,3-；（2）图见解析，点2A 的坐标为()3,2．【分析】（1）分别找到A 、B 、C 三个点关于原点的对称点1A 、1B 、1C ，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都是原来的相反数；（2）连接OA ，将OA 绕着点O 顺时针旋转90︒得到2OA ，用同样的方法得到2OB 、2OC ，从而得到222A B C △．【详解】解：（1）如图，111A B C △为所作：点1A 的坐标为()2,3-；（2）如图，222A B C △为所作：点2A 的坐标为()3,2．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转和画中心对称图形，解题的关键是掌握图形旋转的方法和画中心对称图形的方法．。

南京求真中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(答案解析)

南京求真中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．如图，将△ABC 绕点A 旋转，得到△AEF ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABC ≌△AEF ；②AC=AE ；③∠FAB=∠EAB ；④∠EAB=∠FAC ．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形 6．直线26y x =-+与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，将AOB 绕点A 顺时针旋转90°得到AO B ''△，则点B '的坐标是（ ）A ．()9,9B ．()3,9-C ．()9,3D ．()3,97．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-1，3）B ．（3，-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）A ．(﹣1，1)B ．(2，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-， 10．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种11．如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若DE ＝12，∠B ＝60°，则点E 与点C 之间的距离为（ ）A ．12B ．6C ．62D ．63 12．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．14．如图，在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，点P 是ABC 内一点，将ABP △绕点A 逆时针旋转后能与ACP '△重合，如果5AP =，则PP '的长为______．15．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．16．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B 、A 、C ′在同一直线上，则α=______．17．如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点A 顺时针旋转到111A B C △的位置，点,B O 分别落在点11,B C 处，点1B 在x 轴上，再将111A B C △绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，再将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点2A 在x轴上，依次进行下去，······，若点()3,0,0,2,2A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则点2020B 的坐标为__________________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．19．如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，∠C=30°，AB=2，将ABC 绕着点A 顺时针旋转，得到AMN ，使得点B 落在BC 边上的点M 处，MN 与AC 交于点D ，则ADM △的面积为____．20．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形④9634AOC AOB S S +=+△△．三、解答题21．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，4）． （1）请画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1；通过作图，你发现了△ABC 中任意一点（x ，y ）关于原点中心对称后的点坐标为 ．（2）已知点M 坐标为（m ，n ），点P 的坐标为（2，－3），则点M 关于点P 中心对称的点N 的坐标为 ．22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE BC =，连结CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90︒后得CF ，连结EF ．（1）补充完成图形；（2）求证：BD EF =．23．如图，在平面直角坐标系中有一个直角AOB ，已知90OAC ∠=︒，且点B 的坐为()3,2OA B；（1）画出OAB绕原点O逆时针旋转90 后的11（2）点1B关于原点O对称的点2B的坐标为________．24．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．（1）延长ED交CH于点F，求证：FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．25．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（4、4），B（－2，2），C（3，0），（1）画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'（2）写出 A'，B'，C'三点的坐标．（3）把每个小正方形的边长看作1，试求△ABC的周长．26．在6×6方格中，每个小正方形的边长为1，点A，B在小正方形的格点上，请按下列要求画一个以AB为一边的四边形，且四边形的四个顶点都在格点上．（1）在图甲中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形．参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.故选：C【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．B解析：B【分析】由旋转的性质得到△ABC ≌△AEF ，再由全等三角形的性质逐项判断即可．∵△ABC 绕点A 旋转得到△AEF ，∴△ABC ≌△AEF ，∴AC=AF ，不能确定AC=AE ，故①正确，②错误；∵∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF ，∴即∠EAB=∠FAC ，但不能确定∠EAB 等于∠FAB ，故③错误，④正确；综上所述，结论正确的是①④，共2个．故选：B.【点睛】此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.3．C解析：C【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确， ∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5．A解析：A【分析】根据轴对称及中心对称的概念，结合选项进行判断．【详解】A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；B、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；D、等边三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．C解析：C【分析】由题意可求点A（3，0），点B（0，6），根据旋转的性质可得OA=O'A=3，BO=B'O'=6，B'O'∥OA，即可求点B'坐标．【详解】解：如图：∵直线y=-2x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴当x=0时，y=6；当y=0时，x=3．∴点A（3，0），点B（0，6）∴OA=3，OB=6∵将△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△AO′B′，∴OA=O'A=3，BO=B'O'=6，∠OAO'=∠B'O'A=90°∴B'O'∥OA∴点B'（9，3）故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．7．C解析：C【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+3×42=6+43，故结论④错误．【详解】解：如图，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+3×42=6+43，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．8．C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴2222==132AO OE--∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，OH=AE=3，∴A′（-3，1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．C解析：C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB32，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（02），B2（-1，1），B3（20），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B2020的坐标为（-1，-1）故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．11．D解析：D【分析】由旋转的性质可得DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，由直角三角形的性质可得AB＝12BC＝6，AC＝3，AB＝63，通过证明△ACE是等边三角形，可得AC＝AE＝EC＝63．【详解】解：如图，连接EC，∵将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，∴DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，∵∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝12BC＝6，AC3AB＝3∵AD＝AB，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°＝∠EAC，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC＝故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是本题的关键．12．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选D．【点睛】考核知识点：中心对称图形的识别.二、填空题13．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP或BC=PC两种情况说明讨论【详解】解：当时如图1∵为斜边的中点∴∴∴∴；当时如图2同理可证∴∴∴故答案为40°或100°【点睛】本题考查直角三角形和解析：40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP或BC=PC两种情况说明讨论．【详解】时，如图1．解：当BC BP∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，∴140COP COB ∠=∠=︒，∴14040100θ=︒-︒=︒．故答案为40°或100°．【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 14．【分析】根据旋转的性质得出△ABP ≌△ACP′推出AP=AP′=5∠BAP=∠CAP′求出∠PAP′=90°得出△PAP′是等腰直角三角形根据勾股定理求出PP′即可【详解】∵将△ABP 绕点A 逆时针旋 解析：52【分析】根据旋转的性质得出△ABP ≌△ACP′，推出AP=AP′=5，∠BAP=∠CAP′，求出∠PAP′=90°，得出△PAP′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出PP′即可．【详解】∵将△ABP 绕点A 逆时针旋转后能与△ACP′重合，∴△ABP ≌△ACP′，∴AP=AP′=5，∠BAP=∠CAP′，∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=90°，∴∠CAP′+∠CAP=90°，即∠PAP′=90°，∴△PAP′是等腰直角三角形，由勾股定理得：=即PP′的长是：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，关键是证明△APP′是等腰直角三角形．15．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（xy）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查解析：（1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．16．150°【分析】根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°求出∠BAB′即可【详解】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）使得点BAC′在同一直线上∴解析：150°【分析】根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°，求出∠BAB′即可．【详解】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，∴∠BAC=∠B′AC′=30°，∴∠BAB′=180°-∠B′AC′=180°-30°=150°，即α=150°，故答案为150°．【点睛】本题考查了旋转的性质和邻补角的定义，能根据旋转的性质求出∠B′AC′的度数是解此题的关键．17．(60602)【分析】首先根据已知求出三角形三边长度然后通过旋转发现BB2B4…每偶数之间的B相差6个单位长度根据这个规律可以求得B2020的坐标【详解】∵A(0)B(02)则OA=OB=2∴Rt△解析：(6060，2)【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．【详解】∵A(32，0)，B(0，2)，则OA=32，OB=2，∴Rt△AOB中，52==，∴OA+AB1+B1C2=352622++=，∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2(6，2)，∴B4的横坐标为：2×6=12，∴点B2020的横坐标为：2020÷2×6=6060，点B2020的纵坐标为：2，即B2020的坐标是(6060，2)，故答案为：(6060，2) ．【点睛】本题考查了坐标与旋转规律问题以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．18．2【分析】过点E作EM⊥BD于点M则△DEM为等腰直角三角形根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长【详解】过点E作EM⊥BD于点M如图所解析：【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【详解】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM ＝EC ＝x ，∵CD ＝2，∴DE ＝2﹣x ，∴x ＝22（2﹣x ）， 解得x ＝22﹣2，∴EM ＝22﹣2，由旋转的性质可知：CF ＝CE ＝22﹣2，∴BF ＝BC +CF ＝2+22﹣2＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF 的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．19．【分析】先根据直角三角形的性质可得再根据旋转的性质可得然后根据等边三角形的判定与性质可得又根据三角形的外角性质三角形的内角和定理可得最后根据直角三角形的性质勾股定理可得据此利用直角三角形的面积公式即 3【分析】先根据直角三角形的性质可得60B ∠=︒，再根据旋转的性质可得2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得60AMB ∠=°，又根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理可得30DAM ∠=︒，90ADM ∠=︒，最后根据直角三角形的性质、勾股定理可得1,3DM AD ==用直角三角形的面积公式即可得．【详解】在Rt ABC 中，90,30,2BAC C AB ∠=︒∠=︒=，60B ∴∠=︒，由旋转的性质可知，2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，ABM ∴是等边三角形，60AMB ∴∠=︒，30DAM AMB C ∴∠=∠-∠=︒，18090ADM DAM AMN ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt ADM △中，2211,32DM AM AD AM DM ===-=， 则ADM △的面积为11313222DM AD ⋅=⨯⨯=， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 20．①②④【分析】连接根据旋转的性质即可得到为等边三角形进而可求证①②③的正确性然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至连接OD 易得△ACD 也为等边三角形由此可求解【详解】解：连接如图所示：∵线段BO 以点 解析：①②④【分析】连接OO '，根据旋转的性质即可得到OBO '△为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，易得△ACD 也为等边三角形，由此可求解．【详解】解：连接OO '，如图所示：∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，∴,60BO OB O BO ''=∠=︒，O A OC '=，∴OBO '△为等边三角形，∵3OA =，4OB =，5OC =，∴4BO OB '==，5O A OC '==，故①正确；∴22225O O AO O A ''+==，∴90AOO '∠=︒，∴150AOB AOO O OB ''∠=∠+∠=︒，故②正确；过点B 作BE ⊥OO '于点E ，如图所示，∴2OE EO '==， ∴2223BE OB EO =-=， ∴213432BOO S OO BE O O '''=⋅==， ∴134436432O OB AOO AOBO S SS '''=+=⨯⨯+=+四边形，故③错误； 将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，如图所示：同理易得△AOD 为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，∴2139=3436324AOC AOB AOD ODC AOCD S S S SS +=+=⨯⨯=四边形△△④正确； ∴正确的有①②④；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 三、解答题21．（1）画图见解析,（-x ，-y ），（2）（-m +4，-n -6）【分析】（1）依据中心对称画图，即可得到△A 1B 1C 1；根据关于原点对称的坐标变化规律，可得坐标；（2）将P 点平移到原点，利用（1）的结论，求出N 点坐标．【详解】解：（1）△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1如图所示，（x ，y ）关于原点中心对称后的点坐标为（-x ，-y ）（2）将点P （2，－3）平移到原点，对应的点M 坐标变为M 1（m-2，n+3），M 1（m-2，n+3）关于原点（即现在的点P ）对称点M 2的坐标为（-m+2，-n-3），再将点P 平移回原来的位置，点M 2的坐标变为（-m+4，-n-6），即点N 的坐标为（-m+4，-n-6）【点睛】本题考查了中心对称的画法以及关于原点对称点的坐标变化规律，通过平移点P ，把关于任意一点成中心对称的问题转化为关于原点对称的问题是解决问题的关键，体现了数学的转化思想．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF 为直角，由EF 与CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用SAS 得到三角形BDC 与三角形EFC 全等，利用全等三角形的性质即可得证．【详解】解：（1）补全图形，如图所示（2）由旋转的性质得：CD CF =，90DCF ∠=︒，∴90DCE ECF ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90DCE BCD ∠+∠=︒，∴BCD ECF ∠=∠，在BDC 和EFC 中=DC FC BCD ECF BC EC =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴()SAS BDC EFC △≌△∴BD EF =．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．23．（1）作图见解析；（2）()22,3.B -【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A 、B 的对称点11,A B ,即可得到11OA B ； （2）先写出1B 点的坐标，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出点2B 的坐标．【详解】解：（1）如图，11OA B 为所作；（2）1B 点的坐标为（-2,3），所以点1B 关于原点O 对称的点2B 的坐标为（2，-3）．【点睛】本题考查了作图旋转变换，根据旋转的性质，可以作相等的角，在角的边上截取相等的线段，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24．（1）见解析；（2）2DM 3＝DE ，证明见解析．【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．【详解】（1）如图1中，∵△ADE 由△ABC 旋转得到，∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF∴ACF ADF ≌(HL)，AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ； （2）结论：23DM AD DE +=，理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD ＝CD ＝AC ，∵∠ACF ＝90°，∠CAF ＝60°，∴∠AFC ＝30°，∴AD ＝AC ＝12AF ， ∴AD ＝DF ，∴D 为AF 的中点，又∵M 为AB 的中点，∴DM ＝12FB ，即FB=2DM 在Rt △AFC 中，FC 33AD ，DE CB FB FC ==+，23FB FC DM ∴+=∴23DM DE =．【点睛】本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB 是解题关键．25．（1）见解析；（2）A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；++．（3）2101729【分析】（1）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A′B′C′；（2）结合直角坐标系可得出出A′，B′，C′三点的坐标；（3）根据勾股定理得到AB，AC，BC的长，相加即可求得△ABC的周长．【详解】解：（1）所画图形如下：（2）结合图形可得A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）2262210AB=+=，22AC=+=，141722BC=+=．2529.++．则△ABC的周长为2101729【点睛】此题考查了旋转作图及中心对称、勾股定理的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．26．(1) (2)【分析】(1)根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形；（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是菱形或者正方形；【详解】（1）根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形画图如下：（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是正方形画图如下：【点睛】本题考查了作图应用设计，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形是解题关键.。

成都七中初中学校九年级数学上册第三单元《旋转》检测(包含答案解析)

成都七中初中学校九年级数学上册第三单元《旋转》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A．35︒B．65︒C．55︒D．45︒6．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将ABC绕点B逆时针旋转60°，点C 与对应点D重合，得到EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为（）A．5 B．6 C．26D．417．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（）A．B．C．D．8．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90º，则旋转后点D的对应点D的坐标是( )A．(-2，0) B．(-2，10) C．(2，10)或(-2，0) D．(10，2)或( -2，10)''，且点B刚好落在A B''上，若∠A=35°，9．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A B C∠BCA'=40°，则∠A BA'等于( )A．45°B．40°C．35°D．30°10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．菱形11．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种12．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在AOB 中，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，A OB ''△是由AOB 绕点O 顺时针旋转1(8)0αα<︒角度得到的，若点A '在AB 上，则旋转角α=___︒．14．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．15．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．16．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．17．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．18．一副直角三角板如图放置，其中90ACB PRQ ∠=∠=，45A ∠=，60Q ∠=，点P 在斜边AB 上，现将三角板PRQ 绕着点P 顺时针旋转，当QR 第一次与AC 平行时，APR ∠的度数是__________．19．如图，把ABC ∆绕顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当A B AC ''⊥，47A ∠=︒，128A CB ∠='︒时，B CA '∠的度数为_____.20．点()1,5A a -与点()2,5B b +-关于原点对称,则(a +b )2 020=____ ． 三、解答题21．（1）（操作发现）如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度． （2）（类比探究）如图27的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC 的面积．22．如图，在10×10的正方形方格之中，ABC 的顶点都在格点上（1）在图1中画出ABC 关于格点O 成中心对称的A B C '''．（2）在图2中画出格点ABEF ，使得ABE A C F B S S =．23．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．24．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E （1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．25．如图，在等腰直角三角形MNC 中，90CNM ∠=︒且CN MN =，将MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，连接AM ．（1）判断CAM 的形状并证明；（2）若32AB =AM 的长．26．如图，等边△ABC 中，P 是BC 边上任意一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°．（1）请用圆规和无刻度的直尺作出旋转后的三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）记点P 的对应点为P ʹ，试说明△APP ʹ的形状，并说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．C解析：C【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确， ∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5．C解析：C【分析】先根据旋转的性质可得,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得A '∠的度数，由此即可得．【详解】由旋转的性质得：,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，90A DC '∠=︒，18055A A DC ACA '''∴∠=︒-∠-∠=︒，55A A '∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 6．D解析：D【分析】根据旋转的性质可得BA ＝BE ，∠ABE ＝60°，AC ＝DE ，进而可得△ABE 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得∠EAD ＝90°，根据勾股定理可求出DE 的长，即为AC 的长【详解】解：∵△EBD 是由△ABC 旋转得到，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，∵AE＝AB＝5，AD＝4，∴DE，即故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．7．A解析：A【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形．故选A．【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．8．C解析：C【分析】根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．【详解】解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，若把△CDB顺时针旋转90º，则点D在x轴的负半轴上，O D=BD=2，所以点D坐标为（﹣2，0）；若把△CDB逆时针旋转90º，则点D到x轴的距离是5+5=10，到y轴的距离是2，∴点D的坐标为（2，10），综上，旋转后点D的对应点D的坐标是(2，10)或(-2，0)，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．9．D解析：D【分析】由旋转的性质可得出35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，由已知条件结合三角形外角的性质求出B BC '∠的度数，即可得出ABC ∠的度数，即可得出A BA '∠的度数．【详解】由旋转的性质可得：35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，∴B BC B ''∠=∠，40BCA '∠=︒，∴75B A C BCA B '''∠=∠+∠=︒，∴75B '∠=︒，∴75ABC B '∠=∠=︒，∴180757530A BA '∠=︒-︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，根据三角形外角的性质以及旋转的性质求出对应角的度数是解题关键．10．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．11．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．12．C解析：C【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断即可.【详解】A：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；B：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；C：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；D：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题13．【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′得出△OAA′是等边三角形则∠AOA′=60°则可得出答案【详解】解：∵∠AOB=90°∠B=30°∴∠A=60°∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角解析：60【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′=60°，则可得出答案．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA=OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小是60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC 再根据三角形内角和定理即可求得结论【详解】解：由旋转的性质得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC ∴∠AB 解析：1902α︒︒- 【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，再根据三角形内角和定理即可求得结论．【详解】解：由旋转的性质得，AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=18019022BAD α︒-∠=︒-︒ ∴∠ADE=1902α︒-︒． 故答案为：1902α︒-︒．【点睛】此题主要考查了运用旋转的性质求解，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键． 15．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键【分析】先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．【详解】由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，30BAC ∠=︒，1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，在1Rt ABC 中，1BC ===，【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 16．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P （xy ）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查解析：（1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．17．60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中∠2+∠3=90°∵∠3=30°∴∠2=60°∴∠1=60°故答案是：60°解析：60°【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故答案是：60°．18．135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题【详解】解：根据题意如图：∵QR∥AC∴DF∥BC∴∠FDB=∠ABC=45°∴故答案为：135°【点睛】本题考查平行线的判定和性质解题的关键是灵活运用所解析：135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：根据题意，如图：∵QR ∥AC ，90ACB PRQ ∠=∠=，∴DF ∥BC ，∴∠FDB=∠ABC=45°，∴18045135APR ∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°则∠A′CA=90°-47°=43°由∠BCB′=∠A′CA=43°则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求【详解】根据旋转的性质可知解析：42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，则∠A′CA=90°-47°=43°，由∠BCB′=∠A′CA=43°，则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求．【详解】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，∴∠A′CA=90°-47°=43°．根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′=∠A′C A=43°，∴∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′=128°-43°-43°=42°．故答案为：42°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．20．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出ab 的值然后相加计算即可得解【详解】∵点与点关于原点对称∴∴∴故答案为1【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标关于原点的对称点横纵坐标都 解析：1【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a 、b 的值，然后相加计算即可得解．【详解】∵点)A与点()2,5B b +-关于原点对称∴2=0b +∴1,2a b ==- ∴()()2 020 2 020211a b =++=-【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．三、解答题21．（1）60；（2）3【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB 是等边三角形即可；（2）【类比探究】：如图2中，将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，证明∠APP ＇=30°，∠PAP ＇=90°，设AP ＇=t ，表示出AP 和PC ，利用勾股定理求出t ，进而可求出△APC 的面积．【详解】解：（1）解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，∴AD=AB ，∠DAB=60°，∴△DAB 是等边三角形，∴∠ABD=60°，故答案为60． （2）将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，则△PCP ＇为等边三角形，∴∠CPP ＇=∠CP ＇P=60°．∵∠BPC=120°，∠CPP ＇=60°，又∵∠APC=90°，∴∠APP ＇=30°，由旋转得∠AP ＇C=∠BPC=120°，∴∠APP ＇=120°-60°=60°，∴∠PAP ＇=90°，可设AP ＇=t ，则PC=PP ＇=2t ，()222t t -3t ， 在Rt △APC 中，)()222327t t +=， ∴t=1，∴3PC=2，∴S △APC =12332⨯=．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考常考题．22．（1）画图见解析；（2）画图见解析．【分析】（1）先结合网格特点，根据中心对称的定义画出点,,A B C '''，再顺次连接即可得； （2）先找出AC 的中点E ，连接BE ，再结合网格特点，根据点B 到点A 的平移方式与点E 到点F 的平移方式相同找出点F ，然后连接AF 、EF 即可得．【详解】（1）先结合网格特点，根据中心对称的定义画出点,,A B C '''，再顺次连接即可得到A B C '''，如图所示：（2）先找出AC 的中点E ，连接BE ，再结合网格特点，根据点B 到点A 的平移方式与点E 到点F 的平移方式相同找出点F ，然后连接AF 、EF 即可得到ABEF ，且ABE A C F B S S =，如图所示：【点睛】本题考查了画中心对称图形、画平行四边形等知识点，熟练掌握中心对称的定义是解题关键．23．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．【分析】（1）直接利用角的和差计算即可；（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义BON ∠,然后∠BOC-∠BON 即可求得CON ∠；（3）先求出∠BON ，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．【详解】（1）906525MOC MON BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为25°；（2）∵OC 是MOB ∠的角平分线，∴2265130MOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒，∴旋转角1309040BON MOB MON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，654025CON BOC BON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为40°，25°；（3）∵5NOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，∴70BON NOC BOC ∠=∠+∠=︒，∵点O 为直线AB 上一点，∴180AOB ∠=︒，∵90MON ∠=︒，∴180907020AOM AOB MON BON ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）AD BE DE =+；（3）16【分析】（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．【详解】证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD BE AD AF DF DE +=+==即AD BE DE +=；（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，又∵90ACB ︒∠=，∴90ACF BCF ︒∠+∠=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD AF DF BE DE =+=+，即AD BE DE =+；故答案为：AD BE DE =+．(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，∵2BCE ACD S S =△△∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，∴4AD =，∴16AE AD DE =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．25．（1）CAM 为等边三角形；见解析；（2）AM 6=．【分析】（1）根据有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形进行证明即可；（2）根据勾股定理即可求解．【详解】（1）CAM 为等边三角形．证明：∵MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，∴CA CM =，ACM 60∠=︒∴CAM 为等边三角形；（2）∵NC M 是等腰直角三角形∴ABC 是等腰直角三角形 ∵B CB=32A =∴()()2222AC 32326AB CB =+=+= ∵CAM 为等边三角形∴AM 6=【点睛】此题主要考查等边三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题关键．26．（1）见解析；（2）△APP ʹ是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；（2）根据“含有60°角的等腰三角形是等边三角形”进行判断△APP ʹ的形状．【详解】解：（1）如图所示，（2）△APP ʹ是等边三角形，如图，连接PP ʹ,根据作图得∠PAP ʹ=60°，AP =AP ʹ，∴△APPʹ是等边三角形．【点睛】本题考查的是作图-旋转变换和等边三角形的判断，熟知图形旋转的性质及等边三角形的判定定理是解答此题的关键．。

开封市九年级数学上册第三单元《旋转》检测(有答案解析)

开封市九年级数学上册第三单元《旋转》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 4．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，将△ABC 绕点C （0，－1）旋转180°得到△A′B′C ，设点A 的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为A．（3，2）B．（3，3）C．（3，4）D．（3，1）6．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（）A．3B．2 C．1 D．27．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种8．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．矩形或菱形9．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种10．如图所示的图形中,是中心对称图形的是( )A．B．C ．D ．11．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．51-C ．3D ．3 二、填空题13．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，且点A 的对应点A '落在BC 的延长线上，连接AA '，则AA '的长为________．14．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到COD △，若15AOB ∠=︒，则BOC ∠=______度．15．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝112°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为______________度时，△AOD是等腰三角形？16．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是_____°．17．如图，如果正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，连接DG，那么∠DGE＝________．18．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.19．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC =32°，斜边AC ＝6，将斜边AC 绕点A 逆时针方向旋转26°到达AD 的位置，连接CD ，取线段CD 的中点N ，连接BN ，则BN 的长为_________．三、解答题21．如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,3)A -，0()6,B -，(1,0)C -．（1）将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △．画图，写出点A 的对应点1A 的坐标． （2）将ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到222A B C △．画图，写出点B 对应点2B 的坐标．（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．22．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E（1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．24．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠= 时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明25．将边长为4的正方形ABCD 与边长为5的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转一周，直线EB 与直线DG 交于点P ，（1）DG 与BE 的数量关系：______；DG 与BE 的位置关系：______．（2）如图2，当点B 在线段DG 上时，求ADG 的面积．（3）连结PF ，当42PE =时，求PF 的值．26．在Rt ABC ∆中，,90,,AC BC ACB M N ︒=∠=在直线AB 上，且222MN AM BN =+．（1）如图1，当点,M N 在线段AB 上时，求证：45MCN ︒∠=．（2）如图2，当点M 在BA 的延长线上且点N 在线段AB 上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.故选：C【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．D解析：D【分析】根据中心对称图形定义可得答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．B解析：B【分析】设A 的坐标为(,)m n ，根据旋转的性质得到C 是A 和A '的中点，利用中点公式可以求出点A '的坐标．【详解】解：设A 的坐标为(,)m n ，∵A 和A '关于点(0,1)C 对称，∴02m a +=，12n b +=，解得m a =-，2n b =-+， ∴点A '的坐标2(),a b --+． 故选：B ．【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是利用中点公式求出旋转后的点坐标．4．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A 是中心对称图形，故A 正确；B 是轴对称图形，故B 错误；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 5．A解析：A【解析】试题分析：根据A 与A′关于C 点对称，设A′的坐标为（a ，b ），可知302a -+=，412b -+=-，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A考点：中心对称6．A解析：A【解析】试题分析：由题意可知：∠A=60°，AC=EC ，所以△ACE 是等边三角形，所以∠CEA=∠ECA=60°，由旋转可知，∠CEF=∠A=60°，所以∠FEB=60°，因为∠ECF=∠ACB=90°，所以∠BCF=∠ACE=60°，因为CB=CF ，所以△CBF 是等边三角形，所以∠CBF=60°， ∠FBE=60°+30°=90°， △BEF 是30度角直角三角形，因为AE=AC=1，AB=2AC=2，所以BE=1，EF=2，=A ．考点：1．旋转性质；2．直角三角形性质．7．B解析：B【解析】分析：根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：共5个．故选B．8．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．10．D解析：D【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选D．【点睛】本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．D解析：D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．12．C解析：C【分析】连接DB，AC，OE，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC＝BC，进而解答即可．【详解】解：连接DB，AC，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，∠ABC＝90°，OC＝OA＝OB＝OD，∵点B与点O关于CE对称，∴OE＝EB，∠OEC＝∠BEC，在△COE与△CBE中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴ABCB ，即CB ：AB＝3， 故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB 是解题的关键． 二、填空题13．【分析】根据勾股定理可求得AB=5根据旋转的性质得=5则=1再根据勾股定理即可求得的长【详解】解：∵∴由勾股定理得∵绕着点B 旋转得到∴=5∴=﹣BC=5﹣4=1在Rt △中由勾股定理得：故答案为：【点【分析】根据勾股定理可求得AB =5，根据旋转的性质得A B AB '==5，则A C '=1，再根据勾股定理即可求得AA '的长．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，∴由勾股定理得AB 5==，∵ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，∴A B AB '==5，∴A C '=A B '﹣BC=5﹣4=1，在Rt △A CA '中，由勾股定理得：A A '===【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键． 14．60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°且∠COD=∠AOB 再用∠BOD 加∠COD 即可【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ∴∠BOD=45°∠COD=∠AOB 又∵∠A解析：60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB ，再用∠BOD 加∠COD 即可．【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB ，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，故答案为60°．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质，解题的关键是找准旋转角以及对应的边．15．112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°然后分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可【详解】解：∵将△BOC 绕点解析：112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形，进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°，然后分三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可．【详解】解：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，∠ADC =α，∴△COD 是等边三角形．∴∠CDO ＝∠COD ＝60°，①若AO ＝AD ，则∠AOD ＝∠ADO ，∵∠AOD ＝360°﹣112°﹣60°﹣α＝188°﹣α，∠ADO ＝α﹣60°，∴188°﹣α＝α﹣60°，解得：α＝124°；②若OA ＝OD ，则∠OAD ＝∠ADO ．∵∠OAD ＝180°﹣（∠AOD +∠ADO ）＝180°﹣（188°﹣α+α﹣60°）＝52°，∴α﹣60°＝52°，∴α＝112°；③若OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ．∵∠AOD ＝188°﹣α，∠OAD ＝()180602α︒--︒＝120°﹣2α， ∴188°﹣α＝120°﹣2α，解得：α＝136°． 综上所述：当α为112°或124°或136°时，△AOD 是等腰三角形．故答案为：112°或124°或136°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，全面分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．16．40【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A＝50°∠BCB＝∠ACA由直角三角形的性质可求∠ACA＝40°＝∠B′CB【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△ABC∴∠A＝∠A＝50°∠BCB＝∠解析：40【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝40°＝∠B′CB．【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'∵A'B'⊥AC∴∠A'+∠ACA'＝90°∴∠ACA'＝40°∴∠BCB'＝40°故答案为40．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．17．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD可得△CDG是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD，可得△CDG是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，∴∠DCG=30°，CG=CD，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．18．2+【详解】过点E作EM⊥BD于点M如图所示：∵四边形ABCD为正方形∴∠BAC=45°∠BCD=90°∴△DEM为等腰直角三角形∵BE平分∠DBCEM⊥BD∴EM=EC=1cm∴DE=EM=cm由解析：2+2【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE2EM2cm.由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF22cm.故答案为219．9【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC=解析：9【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=6，所以△A1BA 是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=6，∴△A1BA 是等腰三角形，∠A1BA=30°，∴S△A1BA= 1×6×3=9，2又∵S 阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1=S△ABC，∴S阴影=S△A1BA=9．故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．20．【分析】设M 为AC 中点连接ANBMMN 根据直角三角形斜边中点定理得出MB=MN=同时算出∠BMN=90°最后利用勾股定理算出BN 的长【详解】解：设M 为AC 中点连接ANBMMN 由旋转可知：AC=AD= 解析：32 【分析】 设M 为AC 中点，连接AN ，BM ，MN ，根据直角三角形斜边中点定理得出MB=MN=132AC =，同时算出∠BMN=90°，最后利用勾股定理算出BN 的长. 【详解】解：设M 为AC 中点，连接AN ，BM ，MN ， 由旋转可知：AC=AD=6，∠CAD=26°，∵∠BAC=32°，∠ABC=90°，∴∠ACB=58°，∵AC=AD ，N 为CD 中点，M 为AC 中点，∴MB=MC=MN=3，∴∠MBC=∠MCB=58°，∠MCN=∠MNC=（180-26）÷2=77°，∴∠BMC=64°，∠CMN=26°，∴∠BMN=90°，即△BMN 为等腰直角三角形，∴BN=223332+=.故答案为：32.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和，解题的关键是找出AC 中点M ，构造等腰直角三角形.三、解答题21．（1）画图见解析，(4,3) （2）画图见解析，()0,6- （3）(3,3)或(7,3)-或(5,3)--【分析】（1）根据点平移的规律，找到点A 、B 、C 向右平移6个单位后点1A 、1B 、1C 点的坐标，顺次连接即可．（2）根据旋转三要素找到各点的对应点，顺次连接即可得到222A B C △，结合图像可得点2B 的坐标．（3）以BC 为对角线，AC 为对角线，AB 为对角线，三种情况入手讨论，即可得到第四个点D 的坐标．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求，其中点1A 的坐标为(4,3).（2）如图所示，222A B C △即为所求，其中点2B 的坐标为()0,6-.（3）如图所示：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标，分别为(3,3)或(7,3)-或(5,3)--.【点睛】本题考查了作图—旋转变换，平移变换以及平行四边形的性质，最后一问的求解注意分类讨论，避免漏解．22．（1）见解析；（2）AD BE DE =+；（3）16【分析】（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．【详解】证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD BE AD AF DF DE +=+==即AD BE DE +=；（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，又∵90ACB ︒∠=，∴90ACF BCF ︒∠+∠=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD AF DF BE DE =+=+，即AD BE DE =+；故答案为：AD BE DE =+．(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，∵2BCE ACD S S =△△∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，∴4AD =，∴16AE AD DE =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点A 、B 、C 关于点P 的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）45，见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．（3）结论：当∠PDO ＝45°时，总有ON ＝EP ．过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PH ⊥OA 于点H ，即可构造出△PHM ≌△NCP ，进而得PH ＝NC ，HM ＝CP ，设PH ＝DH ＝x ，MH ＝PC ＝y ，则OP ＝2x ，OC ＝OP ＋PC ＝2x ＋y ，由于点M 关于点D 的对称点为E ，即点D 为ME 中点，故ME ＝2MD ，EH ＝ME−MH ＝2x ＋y ，所以OC ＝EH ，通过证明△OCN ≌△EHP 证得ON ＝EP ．【详解】解（1）如图所示（2）设OPM α∠=线段PM 绕点P 顺时针旋转150得到线段PN150MPN ∴∠=，PM PN =150OPN MPN OPM α∴∠=∠-∠=-30AOB ∠=30AOB ∴∠=180********OMP AOB OPM αα∴∠=-∠-∠=--=-OMP OPN ∴∠=∠（3）当45PDO ∠=时，总有ON EP =，证明如下：过点P 作PC OD ⊥于点C过点N 作NF OB ⊥于点F ，如图90NFP PCM PCE ∴∠=∠=∠=OMP OPN ∠=∠180180OMP OPN ∴-∠=-∠即PMC NPF ∠=∠在PDM ∆与NCP ∆中PCM NFP PMC NPF PM NP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PCM NFP AAS ∴∆≅∆PC NF ∴=，CM FP =30AOB ∠=，22OP PC CD ==点M 关于点D 的对称点为EDE DM CM CD ∴==+2CE CD DE CM CD ∴=+=+OF CE ∴=在OFN ∆与ECP ∆中OF CE OFN ECP NF PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OFN ECP SAS ∴∆≅∆ON EP ∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（1）相等；垂直；（2）4234ADG S =+△；（3）7PF =．【分析】（1）由题意可得△DAG ≌△BAE ，从而可得DG=BE ，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知DG ⊥BE ；（2）连结AC 交DG 于点 O ，则由勾股定理可得OG 的长度，从而得到△ADG 的面积； （3）连结GE 并旋转△PGF 至△HEF ，由勾股定理即可得到正确解答．【详解】（1）在△DAG 与△BAE 中，DA=BA ，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE ，∴△DAG ≌△BAE ，∴DG=BE ，∠DGA=∠BEA ，∴∠BEA+∠GDE=∠DGA+∠GDE=90°，∴∠DPE=90°，∴DG ⊥BE ；（2）如图，当B 在线段DG 上时，连结AC 交DG 于点O ，则22AO =()2252217OG =-=，2217DG =+()122172242342ADG S =⨯+⨯=+△ （3）如图，连结GE ，以F 为中心旋转△FGP 至△FEH ，则与（1）类似有△DAG ≌△BAE ，∴∠DGA=∠BEA ，∴∠DGE+∠GEP=∠DGA+45°+∠GEP=45°+∠BEA+∠GEP=45°+45°=90°，∴∠GPE=90°， ∴()()2222524232PG GE PE =-=-=，由旋转性质可知∠FEH=∠FGP ，∴∠FEH+∠FEP=∠FGP+∠FEP=360°-（∠GFE+∠GPE ）=360°-180°=180°，∴P 、E 、H 三点共线，且PFH △是等腰直角三角形，∵PH=PE+EH=PE+GP=423272=∴(222227298,49PF PH PF ====，PF=7．【点睛】本题考查正方形的综合应用，灵活运用三角形全等的判定与性质、旋转的性质和勾股定理求解是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，利用旋转的性质和等腰三角形的性质证明'NBM ∆为直角三角形，可证明'MN M N =，利用全等三角形的判定（SSS ）可证明()'CMN CM N SSS ∆≅∆，即可证得1'452MCN MCM ︒∠=∠=； （1）仿照（1）中方法将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，证明DBN ∆为直角三角形，再证DN=MN ，进而证明()CMN CDN SSS ∆≅∆即可得出结论．【详解】()1如图1，,90AC BC ACB ︒=∠=，将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，则'ACM NCM ∆≅∆，',','ACM BCM CM CM AM BM ∴∠=∠==，连接'M N ，'CAM CNM ∠=∠=45°，''90M BN CBM CBA ︒∴∠=∠+∠=，'NBM ∴∆为直角三角形，22222''NM BN BM BN AM ∴=+=+，又222MN AM BN =+，'MN M N ∴=， 在CMN ∆和'CM N ∆中''CM CM MC M N CN CN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()'CMN CM N SSS ∴∆≅∆，'MCN M CN ∴∠=∠，1'452MCN MCM ︒∴∠=∠=， 即45MCN ︒∠=；()2如图2，,90AC BC ACB ︒=∠=，将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，CMA CDB ∴∆≅∆，,,135CM CD AM BD CAM CBD ︒∴==∠=∠=，90DBN CBD CBA ︒∴∠=∠-∠=，DBN ∴∆为直角三角形，22222DN BD BN AM BN ∴=+=+，又222MN AM BN =+，DN MN ∴=， 在CMN ∆和CDN ∆中CM CD CN CN MN DN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CMN CDN SSS ∴∆≅∆，1452MCN DCN MCD ︒∴∠=∠=∠=， 45MCN ︒∴∠=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM 构造直角三角形是解答的关键．。

成都市第三中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(含答案解析)

成都市第三中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．83．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 5．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）A ．46°B ．48°C ．50°D ．52° 6．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．307．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-1，3）B ．（3，-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）A ．(﹣1，1)B ．(2，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-， 9．下列命题的逆命题是真命题的是( )A ．等边三角形是等腰三角形B ．若22ac bc >，则a b >C ．成中心对称的两个图形全等D ．有两边相等的三角形是等腰三角形10．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．23C ．13D ．1511．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，且点A 的对应点A '落在BC 的延长线上，连接AA '，则AA '的长为________．14．如图，将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转30°，得到Rt ADE △，点E 恰好落在斜边AB 上，连接BD ，则BDE ∠=______．15．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.16．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于直角坐标系的原点．若点A 的坐标为（－2，3），则点C 的坐标为___________．17．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．18．一副直角三角板如图放置，其中90ACB PRQ ∠=∠=，45A ∠=，60Q ∠=，点P 在斜边AB 上，现将三角板PRQ 绕着点P 顺时针旋转，当QR 第一次与AC 平行时，APR ∠的度数是__________．19．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．20．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．三、解答题21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为()4,5-，()1,3-．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．'''．（2）请作出ABC向下平移的3个单位，再向右平移3个单位后的的A B C（3）点A关于x轴的对称点坐标是______；点C关于y轴的对称点坐标是______；点B 关于原点的对称点坐标是______．22．如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形EFGC，点E在AD上．延长AD交FG≅．于点H．求证：EDC HFE23．如图，已知，点E在正方形ABCD的BC边上（不与点B，C重合），AC是对角线，过点E作AC的垂线，垂足为G，连接BG，DG．把线段DG绕着G点顺时针旋转，使D点的对应点F点刚好落在BC延长线上，根据题意补全图形．=；（1）证明：GC GE（2）连接DF，用等式表示线段BG与DF的数量关系，并证明．24．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD=CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．25．如图，在7×7的正方形网格中，选取14个格点，以其中3个格点为顶点画出△ABC．（1）请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，要求所画的三角形与△ABC 组成的图形是中心对称图形；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，请猜想新得到的中心对称图形是什么特殊图形（不用证明），并求出它的面积．26．在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC 平移，使点A 平移到图中点D 的位置，点B 、C 的对应点分别是点E 、F ，请画出△DEF ；（2）画出△ABC 关于点D 成中心对称的△111A B C ；（3）△DEF 与△111A B C （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.故选：C【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．B解析：B【分析】连接DP ，根据题意，得OP OD =，=60DOP ∠，从而得到120AOP COD ∠+∠=；再根据等边三角形和三角形内角和性质，得120AOP OPA ∠+∠=，从而得COD OPA ∠=∠，通过全等三角形判定，即可得到答案．【详解】如图，点D 落在BC 上，连接DP∵线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD∴OP OD =，=60DOP ∠∴180120AOP COD DOP ∠+∠=-∠=∵等边△ABC∴180120AOP OPA A ∠+∠=-∠=∴COD OPA ∠=∠即：OP OD COD OPA A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴AOP CDO △≌△∴AP OC =∵AC=8，AO=3∴5OC AC AO =-=∴5AP OC ==故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的性质，从而完成求解．3．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A 、是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．4．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．5．C解析：C【分析】根据旋转的性质和∠C ＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C 的度数，从而可以求得∠B′C′B 的度数．【详解】∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC 上，∴AC ＝AC′，∠C ＝∠AC′B′，∴∠C ＝∠AC′C ，∵∠C ＝65°，∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C ＝65°，∴∠B′C′B ＝180°−∠AC′B′−∠AC′C ＝50°，故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．A解析：A【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．【详解】解：∵3120B A ∠=∠=︒∴120B ∠=︒，40A ∠=︒∵△ABC 绕点C 逆时针旋转80°得到△DEC ，∴∠D=∠A=40°，∠DEC=∠B=120°，∴∠DCE=180°-40°-120°=20°，∵∠DCA=80°∴∠α=∠DCA-∠DCE=80°-20°=60°．故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 7．C解析：C【分析】如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴AE=2222AO OE--，132==∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，OH=AE=3，∴A′（-3，1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．C解析：C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3= (2)∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B2020的坐标为（-1，-1）故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．9．D解析：D【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．10．C解析：C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴==∴故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．11．D解析：D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．12．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，故选B．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．二、填空题13．【分析】根据勾股定理可求得AB=5根据旋转的性质得=5则=1再根据勾股定理即可求得的长【详解】解：∵∴由勾股定理得∵绕着点B 旋转得到∴=5∴=﹣BC=5﹣4=1在Rt △中由勾股定理得：故答案为：【点【分析】根据勾股定理可求得AB =5，根据旋转的性质得A B AB '==5，则A C '=1，再根据勾股定理即可求得AA '的长．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，∴由勾股定理得AB 5==，∵ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，∴A B AB '==5，∴A C '=A B '﹣BC=5﹣4=1，在Rt △A CA '中，由勾股定理得：A A '===【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键． 14．【分析】先根据旋转的性质可得再根据直角三角形的性质可得然后根据等腰三角形的性质三角形的内角和定理可得最后根据角的和差即可得【详解】由旋转的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等腰三角形的性 解析：15︒【分析】先根据旋转的性质可得,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，再根据直角三角形的性质可得60ADE ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得75ABD ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，9060ADE DAE ∴∠=︒-∠=︒，,30AB AD DAE =∠=︒，()1180752ABD ADB DAE ∴∠=∠=︒-∠=︒， 756015BDE ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．15．或【分析】连接两对对应点分别作出连线的垂直平分线其交点即为所求【详解】解：如图所示旋转中心P 的坐标为（33）或（66）故答案为（33）或（66）【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图根据旋转的性 解析：()3,3或()6,6【分析】连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．【详解】解：如图所示，旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．故答案为（3，3）或（6，6）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．16．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知点A 与点C 关于原点对称所以C 的坐标为（2-3）【详解】∵在平行四边形ABCD 中A 点与C 点关于原点对称∴C 点坐标为（2-3）故答案为：（2-3）【点睛】本题主解析：(2,3)-【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A 与点C 关于原点对称，所以C 的坐标为（2，-3）.【详解】∵在平行四边形ABCD 中，A 点与C 点关于原点对称，∴C 点坐标为（2，-3）．故答案为：（2，-3）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A 与点C 关于原点对称的特点，是解题的关键．17．9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA 是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S 阴影=S △A1BA+S △A1BC1﹣S △ABC=解析：9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A 1BC 1， ∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B=AB=6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA=30°，∴S △A1BA = 12×6×3=9， 又∵S 阴影=S △A1BA +S △A1BC1﹣S △ABC ，S △A1BC1=S △ABC ，∴S 阴影=S △A1BA =9． 故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．18．135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题【详解】解：根据题意如图：∵QR ∥AC ∴DF ∥BC ∴∠FDB=∠ABC=45°∴故答案为：135°【点睛】本题考查平行线的判定和性质解题的关键是灵活运用所解析：135°【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：根据题意，如图：∵QR ∥AC ，90ACB PRQ ∠=∠=，∴DF ∥BC ，∴∠FDB=∠ABC=45°，∴18045135APR ∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（0-22019）【分析】根据题意得出OP1=1OP2=2OP3=4如此下去得到线段OP3=4=22OP4=8=23…OPn=2n -1再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上进解析：（0，-22019）【分析】根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：∵点P 1的坐标为22⎛ ⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1；∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…，∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P 2014的坐标与点P 6的坐标在同一直线上是解题关键．20．2【分析】过点E 作EM ⊥BD 于点M 则△DEM 为等腰直角三角形根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME 的长度再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF 的长【详解】过点E 作EM ⊥BD 于点M 如图所解析：【分析】过点E 作EM ⊥BD 于点M ，则△DEM 为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME 的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF 的长．【详解】过点E 作EM ⊥BD 于点M ，如图所示．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∴△DEM 为等腰直角三角形．∴EM ＝2DE ， ∵BE 平分∠DBC ，EM ⊥BD ，∴EM ＝EC ，设EM ＝EC ＝x ，∵CD ＝2，∴DE ＝2﹣x ，∴x ＝22（2﹣x ）， 解得x ＝22﹣2，∴EM ＝22﹣2，由旋转的性质可知：CF ＝CE ＝22﹣2，∴BF ＝BC +CF ＝2+22﹣2＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF 的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．三、解答题21．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）()4,5--；()1,3；()2,1-．【分析】（1）直接利用A ，C 点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）分别根据轴对称和中心对称点的求法作出对称点即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）()4,5A -关于x 轴的对称点坐标是()4,5--；()1,3C -关于y 轴的对称点坐标是()1,3；()2,1B -关于原点的对称点坐标是()2,1-．【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称和中心对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 22．证明见解析．【分析】先根据矩形的性质可得,90AB CD A B ADC =∠=∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得,90CD EF EDC F =∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、角的和差可得DCE FEH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】四边形ABCD 是矩形，,90AB CD A B ADC ∴=∠=∠=∠=︒，由旋转的性质得：,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，,90CD EF EDC F ∴=∠=∠=︒，又90,90EDC CEF ∠=︒∠=︒，90CED DCE CED FEH ∴∠+∠=∠+∠=︒，DCE FEH ∴∠=∠，在EDC △和HFE 中，EDC F CD EF DCE FEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()HFE E AS DC A ∴≅．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．23．补图见解析；（1）见解析；（2）2DF BG =，理由见解析【分析】（1）证明△EGC 是等腰直角三角形即可得出结论；（2）连接DG 、FG ，由“SAS”可证△BEG ≌△FCG ，得出BG=GF ，得出EF=BC=DC ，由“SAS”可证△GEF ≌△GCD ，得出∠EGC=∠DGF=90°，FG=GD ，则△DGF 是等腰直角三角形，从而得出DF=2BG ．【详解】解：补全图形如图所示，（1）∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠ACB ＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC=90 °∴∠ GEC= ∠ ACB=45 °∴GC ＝GE ；（2）2DF BG =．理由如下：证明：∵△EGC 是等腰直角三角形，∴EG ＝GC ，∠GEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由旋转得：DG ＝GF ，正方形 ABCD 中，AB=AD ，∠BCA=∠DCA=45°，CG=CG∴△CBG ≌△CDG （SAS ），∴∠CGB=∠CGD ， BG ＝DG ，∴BG=GF ∴∠GBC=∠GFB又∠BEG ＝∠GCF∴△BEG ≌△FCG （AAS ），∴∠BGE ＝∠CGF ，∴∠CGB ﹣∠BGE ＝∠CGD ﹣∠CGF ，即∠EGC ＝∠DGF ＝90°，∴△DGF 是等腰直角三角形， 2222222DF DG GF BG BG BGBG∴=+=+== 即2DF BG =．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，AD=AE ，即可证△BAD ≌△CAE ，可得BD=CE ；（2）过点C 作CG ∥BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD ，∠BDG=∠G ，∠BFD=∠GFC ，可证△BFD ≌△CFG ，可得结论；【详解】（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ；（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，∴∠G=∠BDF ，∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，∴∠BDF=30°，∴∠G=30°，由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA=90°，∴∠CEA=90°，∵∠AED=60°，∴∠CED=30°=∠G ，∴CE=CG ，∴BD=CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CGF （AAS ），∴BF=FC ，即F 为BC 的中点．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（1）如图所示见解析；（2）是平行四边形，面积是6．【分析】（1）确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可；（2）观察图形，根据中心对称图形的性质知新得到的图形是平行四边形，再根据格点的特点，利用三角形的面积公式即可得平行四边形的面积．【详解】（1）如图所示：所画的三角形与△ABC 组成的图形是中心对称图形；（2）观察图形，根据中心对称图形的性质知新得到的图形是平行四边形， 面积是：123262⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查了利用中心对称的性质作图，平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质是作图的关键，要注意对称中心的确定．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．。

上海三门中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

上海三门中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（）A．15°B．22.5°C．25°D．30°2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，将△ABC绕点A旋转，得到△AEF，下列结论正确的个数是（）①△ABC ≌△AEF；②AC=AE；③∠FAB=∠EAB；④∠EAB=∠FAC．A．1 B．2 C．3 D．44．以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第二或第四象限5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．⊥于点,E以点B为中心，取旋转角等于6．如图，已知平行四边形ABCD中，AE BC∠把BAEABC,△顺时针旋转，得到BA E''，连接DA'．若∠=︒∠=︒，则DA E''60,50ADC ADA'∠的大小为（）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 7．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 8．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-13）B 3-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 10．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣2﹣3）B ．（﹣4，﹣2+3）C ．（﹣2，﹣2+3）D ．（﹣2，﹣2﹣3）11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．如图，在AOB 中，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，A OB ''△是由AOB 绕点O 顺时针旋转1(8)0αα<︒角度得到的，若点A '在AB 上，则旋转角α=___︒．14．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.15．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △OA 1B 1的斜边OA 1＝2，且OA 1在x 轴的正半轴上，点B 1落在第一象限内．将Rt △OA 1B 1绕原点O 逆时针旋转45°，得到Rt △OA 2B 2，再将Rt △OA 2B 2绕原点O 逆时针旋转45°，又得到Rt △OA 3B 3，……，依此规律继续旋转，得到Rt △OA 2019B 2019，则点B 2019的坐标为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．17．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形；④9634AOC AOB S S +=+△△．18．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ．将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则BB '的长度为_________．19．点()1,5A a -与点()2,5B b +-关于原点对称,则(a +b )2 020=____ ． 20．如图，在正方形ABCD 内部有一点P ，PB =1，PC =2，135BPC ∠=︒，则PA = ____．三、解答题21．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．22．如图，在10×10的正方形方格之中，ABC 的顶点都在格点上（1）在图1中画出ABC 关于格点O 成中心对称的A B C '''．（2）在图2中画出格点ABEF ，使得ABE A C F B S S =．23．如图，P 是正方形ABCD 内一点，△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置． （1）旋转的角度是多少度？（2）若BP =3cm ，求线段PE 的长．24．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A ，C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．（1）求证：BD =CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点．25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到AB C ''．（1）在正方形网格中，画出AB C ''；（2）求线段CC '的长度．26．在Rt ABC ∆中，,90,,AC BC ACB M N ︒=∠=在直线AB 上，且222MN AM BN =+．（1）如图1，当点,M N 在线段AB 上时，求证：45MCN ︒∠=．（2）如图2，当点M 在BA 的延长线上且点N 在线段AB 上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．【详解】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=1(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，2∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．3．B解析：B【分析】由旋转的性质得到△ABC≌△AEF，再由全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】∵△ABC绕点A旋转得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∴AC=AF ，不能确定AC=AE，故①正确，②错误；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，∴即∠EAB=∠FAC，但不能确定∠EAB等于∠FAB，故③错误，④正确；综上所述，结论正确的是①④，共2个．故选：B.【点睛】此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.4．D解析：D【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．【详解】Q，如图，点P（3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1Q，按顺时针方向旋转90°，得到点2得点Q所在的象限为第二、四象限．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论．5．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．7．D解析：D【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，16,2OB AB OA ∴====，由旋转的性质得：6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上， (63,0),(0,6)A B ''∴-，又点D 为斜边A B ''的中点，63006(,)22D +-'∴，即(33,3)D '-， 故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．C解析：C【分析】由于将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，当点D 恰好落在BC 上时，易得：△ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP ≌△CDO ，由此可以求出AP 的长．【详解】解：当点D 恰好落在BC 上时，OP=OD ，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO ，∴△AOP ≌△CDO ，∴AP=CO=6．故选：C ．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．9．C解析：C【分析】如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴2222==132AO OE--∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，3∴A′（31），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．D解析：D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=30°，∴BC=4，∴AB3∴AD=AB ACBC⋅232⨯3∴BD=2ABBC223（）．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3）．∵BD=3，∴BD1=3，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣23∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣232）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．11．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；故选B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′得出△OAA′是等边三角形则∠AOA′=60°则可得出答案【详解】解：∵∠AOB=90°∠B=30°∴∠A=60°∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角解析：60︒【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′=60°，则可得出答案．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA=OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小是60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．14．15°或60°【分析】分情况讨论：①DE⊥BC②AD⊥BC然后分别计算的度数即可解答【详解】解：①如下图当DE⊥BC时如下图∠CFD＝60°旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2）当AD解析：15°或60°.【分析】分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算α的度数即可解答.【详解】解：①如下图，当DE⊥BC时，如下图，∠CFD＝60°，旋转角为：α＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2）当AD⊥BC时，如下图，旋转角为：α＝∠CAD＝90°-30°＝60°；【点睛】本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.15．（﹣11）【分析】观察图象可知点B1旋转8次为一个循环利用这个规律解决问题即可【详解】解：观察图象可知点B1旋转8次一个循环∵2018÷8＝252余数为2∴点B2019的坐标与B3（﹣11）相同∴点解析：（﹣1，1）观察图象可知，点B 1旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可．【详解】解：观察图象可知，点B 1旋转8次一个循环，∵2018÷8＝252余数为2，∴点B 2019的坐标与B 3（﹣1，1）相同，∴点B 2019的坐标为（﹣1，1）．故答案为（﹣1，1）．【点睛】本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．16．（0-22019）【分析】根据题意得出OP1=1OP2=2OP3=4如此下去得到线段OP3=4=22OP4=8=23…OPn=2n-1再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上进解析：（0，-22019）【分析】根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：∵点P 1的坐标为22⎛ ⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1；∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…，∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P 2014的坐标与点P 6的坐标在同一直线上是解题关键．17．①②④【分析】连接根据旋转的性质即可得到为等边三角形进而可求证①②③的正确性然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至连接OD 易得△ACD 也为等边三角形由此可求解【详解】解：连接如图所示：∵线段BO 以点 解析：①②④连接OO '，根据旋转的性质即可得到OBO '△为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，易得△ACD 也为等边三角形，由此可求解．【详解】解：连接OO '，如图所示：∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，∴,60BO OB O BO ''=∠=︒，O A OC '=，∴OBO '△为等边三角形，∵3OA =，4OB =，5OC =，∴4BO OB '==，5O A OC '==，故①正确；∴22225O O AO O A ''+==，∴90AOO '∠=︒，∴150AOB AOO O OB ''∠=∠+∠=︒，故②正确；过点B 作BE ⊥OO '于点E ，如图所示，∴2OE EO '==， ∴2223BE OB EO =-=， ∴213432BOO S OO BE O O '''=⋅==， ∴134436432O OB AOO AOBO S S S '''=+=⨯⨯+=+四边形，故③错误； 将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，如图所示：同理易得△AOD 为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，∴2139=3436324AOC AOB AOD ODC AOCD S S S SS +=+=⨯⨯=四边形△△④正确； ∴正确的有①②④；故答案为①②④．本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．18．4【分析】由勾股定理得到AB=10然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长最后根据勾股定理求出BB′即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C=90°AC ＝6cmBC ＝8cm ∴又由旋转的性质知AC′=AC=解析：【分析】由勾股定理得到AB=10，然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长，最后根据勾股定理求出BB′即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴10AB =．又由旋转的性质知，AC′=AC=6，B′C′=BC=8∴BC′= AB -AC′=4∵B′C′⊥AB ，∴在Rt △BB′C′中，BB =='．故答案为【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC 、BC 的长度联系起来求解的． 19．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出ab 的值然后相加计算即可得解【详解】∵点与点关于原点对称∴∴∴故答案为1【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标关于原点的对称点横纵坐标都 解析：1【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a 、b 的值，然后相加计算即可得解．【详解】∵点)A与点()2,5B b +-关于原点对称∴2=0b +∴1,2a b ==- ∴()()2 020 2 020211a b =++=- 故答案为1.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．20．【分析】将△PBA沿B点顺时针旋转90°此时A与C点重合P点旋转到E 点连接PE易证△BPE是等腰直角三角形利用勾股定理可求出PE的长再证明△PCE是直角三角形利用勾股定理求出CE的长即可得到PA的长解析：6【分析】将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，易证△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PE的长，再证明△PCE是直角三角形．利用勾股定理求出CE的长，即可得到PA的长．【详解】将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，∴PB=BE=1，PA=EC，∠BPE=90°∴△PEB是等腰直角三角形，∴∠PEB=∠EPB =45°，∴22，又∵∠BPC=135°，∴∠EPC=135°-45°=90°，∴在直角△PEC中，()2222+=+=226PC PE=∴PA=EC66．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．三、解答题21．（1）见解析；（2）AE29．【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，∴△ADE ≌△ABF ，∠EAF=90°，∴AE=AF ，∴△AEF 是等腰直角三角形；（2）∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt △ADE 中，AE=22225229AD DE +=+=．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．22．（1）画图见解析；（2）画图见解析．【分析】（1）先结合网格特点，根据中心对称的定义画出点,,A B C '''，再顺次连接即可得； （2）先找出AC 的中点E ，连接BE ，再结合网格特点，根据点B 到点A 的平移方式与点E 到点F 的平移方式相同找出点F ，然后连接AF 、EF 即可得．【详解】（1）先结合网格特点，根据中心对称的定义画出点,,A B C '''，再顺次连接即可得到A B C '''，如图所示：（2）先找出AC 的中点E ，连接BE ，再结合网格特点，根据点B 到点A 的平移方式与点E到点F 的平移方式相同找出点F ，然后连接AF 、EF 即可得到ABEF ，且ABE A C F B S S =，如图所示：【点睛】本题考查了画中心对称图形、画平行四边形等知识点，熟练掌握中心对称的定义是解题关键．23．（1）90，（2）2cm ．【分析】（1）找出对应边AB 、BC 的夹角的度数就是旋转角的度数；（2）根据旋转变换的性质可知BP=BE ，∠PBE=∠ABC ，再根据勾股定理列式求解即可得到PE 的长度．【详解】解：（1）∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置，∴∠ABC 为旋转角．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，即旋转的角度是90度；（2）∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置，∴BP =BE =3cm ，∠PBE =∠ABC =90°，∴PE 222233BP BE =+=+=2cm ．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，AD=AE ，即可证△BAD ≌△CAE ，可得BD=CE ；（2）过点C 作CG ∥BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD ，∠BDG=∠G ，∠BFD=∠GFC ，可证△BFD ≌△CFG ，可得结论；【详解】（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ；（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，∴∠G=∠BDF ，∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，∴∠BDF=30°，∴∠G=30°，由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA=90°，∴∠CEA=90°，∵∠AED=60°，∴∠CED=30°=∠G ，∴CE=CG ，∴BD=CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CGF （AAS ），∴BF=FC ，即F 为BC 的中点．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（1）图见解析；（2）42．【分析】（1）先利用网格特点和旋转的性质画出点,C B ''，再顺次连接点,,A C B ''即可得； （2）利用旋转的性质、勾股定理即可得．【详解】 （1）分以下三步：①先利用网格特点和旋转的性质画出点C '，②再利用旋转的性质可得,90B B A C BC AC CB '=∠'''=∠=︒，由此可画出点B '， ③顺次连接点,,A C B ''即可，如图中AB C ''即为所作：（2）由网格特点和旋转的性质得：4,90AC AC CAC ''==∠=︒，则2242CC AC AC ''=+=，即线段CC '的长度为42【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 26．（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，利用旋转的性质和等腰三角形的性质证明'NBM ∆为直角三角形，可证明'MN M N =，利用全等三角形的判定（SSS ）可证明()'CMN CM N SSS ∆≅∆，即可证得1'452MCN MCM ︒∠=∠=； （1）仿照（1）中方法将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，证明DBN ∆为直角三角形，再证DN=MN ，进而证明()CMN CDN SSS ∆≅∆即可得出结论．【详解】()1如图1，,90AC BC ACB ︒=∠=，将ACM ∆绕点C 逆时针旋转90︒，得到'BCM ∆，则'ACM NCM ∆≅∆，',','ACM BCM CM CM AM BM ∴∠=∠==，连接'M N ，'CAM CNM ∠=∠=45°，''90M BN CBM CBA ︒∴∠=∠+∠=，'NBM ∴∆为直角三角形，22222''NM BN BM BN AM ∴=+=+，又222MN AM BN =+，'MN M N ∴=， 在CMN ∆和'CM N ∆中''CM CM MC M N CN CN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()'CMN CM N SSS ∴∆≅∆，'MCN M CN ∴∠=∠，1'452MCN MCM ︒∴∠=∠=， 即45MCN ︒∠=；()2如图2，,90AC BC ACB ︒=∠=，将CMA ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到CDB ∆，CMA CDB ∴∆≅∆，,,135CM CD AM BD CAM CBD ︒∴==∠=∠=，90DBN CBD CBA ︒∴∠=∠-∠=，DBN ∴∆为直角三角形，22222DN BD BN AM BN ∴=+=+，又222MN AM BN =+，DN MN ∴=， 在CMN ∆和CDN ∆中CM CD CN CN MN DN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CMN CDN SSS ∴∆≅∆，1452MCN DCN MCD ︒∴∠=∠=∠=， 45MCN ︒∴∠=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM 构造直角三角形是解答的关键．。

上海民办新北郊初级中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(答案解析)

上海民办新北郊初级中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（ ）A ．30B ．35︒C ．40︒D ．50︒2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 4．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，在ABC ∆中，30,8,5BAC AB AC ∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转30得到ADE ∆连接CD ，则CD 的长是（ ）A ．7B ．8C ．12D ．137．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 8．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．()2,2-C ．()0,2-D ．()2,0- 10．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣2﹣3）B ．（﹣4，﹣2+3）C ．（﹣2，﹣2+3）D ．（﹣2，﹣2﹣3）11．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种12．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP的长是()A．4 B．5 C．6 D．8第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30︒后得到正方形''''，则图中阴影部分面积为____________．A B C DDE=，把ADE绕点A 14．如图，在正方形ABCD中，3AB=，点E在CD边上，1△，连接EE'，则线段EE'的长为______．顺时针旋转90°，得到ABE'15．如图，如果正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，连接DG，那么∠DGE＝________．16．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.18．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC ，交DC 与点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，若CE ＝1 cm ，则BF ＝__________cm .19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是菱形，OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝60°，将菱形OBCD 绕点O 旋转任意角度，得到菱形OB 1C 1D 1，则点C 1的纵坐标的最小值为_____．20．如图，在正方形ABCD 内部有一点P ，PB =1，PC =2，135BPC ∠=︒，则PA = ____．三、解答题21．如图，已知△ABC 的顶点均在格点上，A (1，-4)，B (5，-4)，C (4，-1) 以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△111A B C ，并写出点1A ，1B ，1C 的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中有一个直角AOB ，已知90OAC ∠=︒，且点B 的坐为()3,2（1）画出OAB 绕原点O 逆时针旋转90︒后的11OA B ；（2）点1B 关于原点O 对称的点2B 的坐标为________．23．（1）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+；（2）如图，四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当EAF ∠与BAD ∠满足什么关系时，仍有EF BE FD =+，说明理由．24．如图，已知ABC 和A B C ''''''△及点O ．（1）画出ABC 关于点O 对称的A B C '''；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．25．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．26．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A ，C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．（1）求证：BD=CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠C′CA=∠CAB=75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．2．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．3．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝47，∴BF＝47，AF②正确，③错误，∴GF＝3+47＝257，∴S△AEF＝S△AGF＝12AB×GF＝507，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．A解析：A【分析】过点D 作DF AC ⊥与F ，由旋转的性质可得AD=AB=8，30BAC DAB ∠=∠=︒，由直角三角形的性质可得AF=4，DF=3AF=43，由勾股定理可求解．【详解】解：过点D 作DF AC ⊥与F ，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转30得到ADE ∆，830AD AB BAC DAB ∴==∠=∠=︒，，60CAD ∴∠=︒，且DF AC ⊥，AD=84343AF DF AF ∴===，，1CF ∴=，224817CD DF CF ∴=+=+=故选A ．．【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．D解析：D【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，16,2OB AB OA ∴====，由旋转的性质得：6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，(0,6)A B ''∴-， 又点D 为斜边A B ''的中点，006(,)22D -'∴，即3)D '-， 故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．C解析：C【分析】证明△BO′A ≌△BOC ，又∠OBO′=60°，所以△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S 四边形AOBO′=S △AOO′+S △OBO′=12×3×4+4×42，故结论④错误． 【详解】解：如图，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12323④错误；故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．9．C解析：C【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．【详解】解：∵点1P与点O关于点A成中心对称，∴P1(2，0)，过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，∴P 1B=P 2B ，在△P 1BO 和△P 2BD 中121212PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P 2(-2，2)，同理可求：P 3(0，-2)，P 4(2，2)，P 5(-2，0)，P 6(0，0)，P 7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵20136=335…3， ∴点P 2013的坐标为(0，-2)．故选C ．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．10．D解析：D【解析】解：作AD ⊥BC ，并作出把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°后所得△A 1BC 1，如图所示．∵AC =2，∠ABC =30°，∴BC =4，∴AB 3∴AD =AB AC BC ⋅=3243∴BD =2AB BC 223（）．∵点B 坐标为（1，0），∴A 点的坐标为（4，3）．∵BD =3，∴BD 1=3，∴D 1坐标为（﹣2，0），∴A 1坐标为（﹣23∵再向下平移2个单位，∴A ′的坐标为（﹣232）．故选D ．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．11．B解析：B【解析】分析：根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：共5个．故选B ．12．C解析：C【分析】根据题意通过“角角边”证明△AOP ≌△CDO ，进而得到AP=OC=AC ﹣AO=6.【详解】解：根据题意可知：∠A=∠C=60°，∵线段OP 绕点O 逆时针旋转得到线段OD ，∴OP=DO ，∵∠DOP=60°，∴∠AOP+∠COD=∠CDO+∠COD=120°，∴∠AOP=∠CDO ，在△AOP 与△CDO 中，A C AOP CDO OP DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP=OC=AC ﹣AO=6.故选C.【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握其知识点是解此题的关键.二、填空题13．【分析】由旋转角∠BAB′=30°可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED 计算面积即可【详解】如图连接根据旋转角为可知在与中在中故答案为：【点 解析：36123- 【分析】 由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED ，计算面积即可．【详解】如图，连接AE ，根据旋转角为30，可知，30BAB '∠=︒，9060DAB ∴∠=︒-30︒='︒，在Rt ADE △与Rt AB E '中，AD AB AE AE '=⎧⎨=⎩()Rt ADE Rt AB E HL '∴△△≌，1302EAD B AD DAB '∴∠=∠=∠='︒， ∴在Rt ADE △中，6AD =，23ED =，112623632ADE AD E S D ⋅∴=⨯=⨯=△， 1223ADEB ADE S S '=∴=△，2636ABCD S ==正方形，36123ADEB ABCD S S S '∴-==阴影正方形-，故答案为：36123-．【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练添加辅助线，证明全等，灵活计算阴影面积是解题关键．14．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为解析：【分析】先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，1DE =，312CE CD DE ∴=-=-=，由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，180ABC ABE '∴∠+∠=︒，∴点,,E B C '在同一条直线上，134E C BE BC ''∴=+=+=，则在Rt ECE '中，EE '==，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．15．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD 可得△CDG 是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD ，可得△CDG 是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，∴∠DCG=30°，CG=CD ，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE ＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．16．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（xy）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查解析：（1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．17．（21）【分析】观察图形根据中心对称的性质即可解答【详解】∵点P （11）N（20）∴由图形可知M（30）M1（12）N1（22）P1（31）∵关于中心对称的两个图形对应点的连线都经过对称中心并且被对解析：（2,1）【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.【详解】∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．18．2+【详解】过点E作EM⊥BD于点M如图所示：∵四边形ABCD为正方形∴∠BAC=45°∠BCD=90°∴△DEM为等腰直角三角形∵BE平分∠DBCEM⊥BD∴EM=EC=1cm∴DE=EM=cm由解析：【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=2EM=2cm.由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1+2+1=2+2cm.故答案为2+2.19．【分析】连接OC过点C作CE⊥x轴于E由直角三角形的性质可求BE＝BC ＝1CE＝由勾股定理可求OC的长据此进一步分析即可求解【详解】如图连接OC过点C作CE⊥x轴于点E∵四边形OBCD是菱形∴OD∥解析：23【分析】连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝12BC＝1，CE＝3，由勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．【详解】如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，∵四边形OBCD是菱形，∴OD∥BC，∴∠BOD＝∠CBE＝60°，∵CE⊥OE，∴BE＝12BC＝1，CE3∴2223=+=，OC OE CE∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最小值为23-，-．故答案为：23【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．【分析】将△PBA沿B点顺时针旋转90°此时A与C点重合P点旋转到E 点连接PE易证△BPE是等腰直角三角形利用勾股定理可求出PE的长再证明△PCE是直角三角形利用勾股定理求出CE的长即可得到PA的长解析：6【分析】将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，易证△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PE的长，再证明△PCE是直角三角形．利用勾股定理求出CE的长，即可得到PA的长．【详解】将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，∴PB=BE=1，PA=EC，∠BPE=90°∴△PEB是等腰直角三角形，∴∠PEB=∠EPB =45°，∴22，又∵∠BPC=135°，∴∠EPC=135°-45°=90°，∴在直角△PEC中，()2222+=+=226PC PE=∴PA=EC66．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．三、解答题21．画图见详解；A 1（-1，4），B 1（-5，4），C 1（-4，1）．【分析】根据网格结构找出点A 、B 、C 关于坐标原点O 的对称点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可．【详解】解：△A 1B 1C 1如图所示；A 1（-1，4），B 1（-5，4），C 1（-4，1）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22．（1）作图见解析；（2）()22,3.B -【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A 、B 的对称点11,A B ,即可得到11OA B ； （2）先写出1B 点的坐标，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出点2B 的坐标．【详解】解：（1）如图，11OA B 为所作；（2）1B 点的坐标为（-2,3），所以点1B 关于原点O 对称的点2B 的坐标为（2，-3）．【点睛】本题考查了作图旋转变换，根据旋转的性质，可以作相等的角，在角的边上截取相等的线段，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．（1）见解析；（2）2BAD EAF ∠∠=，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG ≌△ABE ，则GF=BE+DF ，只要再证明△AFG ≌△AFE 即可．（2）延长CB 至M ，使BM=DF ，连接AM ，证△ADF ≌△ABM ，再证△FAE ≌△MAE ，即可得出答案；【详解】（1）证明：把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至ADG ，连结EF ，如图所示：则ADG ABE △△≌．∴AG AE =，DAG BAE ∠∠=，DG BE =，又∵45EAF ∠=︒，∴45DAF BAE EAF ∠+∠=∠=︒，∴GAF FAE ∠=∠，在GAF 和FAE 中，AG AE GAF FAE AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴)(AFG AFE SAS ≌，∴GF EF =，又∵DG BE =，∴GF BE DF =+，∴BE DF EF +=；（2）2BAD EAF ∠∠=．理由如下：如图所示，延长CB 至M ，使BM DF =，连接AM ．∵180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABM ∠+∠=︒，∴D ABM ∠=∠，在ABM 和ADF 中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴)(ABM ADF SAS ≌， ∴AF AM =，DAF BAM ∠∠=，∵2BAD EAF ∠∠=，∴DAF BAE EAF ∠+∠=∠，∴EAB BAM EAM EAF ∠+∠=∠=∠，在FAE 和MAE 中，AE AE FAE MAE AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴)(FAE MAE SAS ≌，∴EF EM BE BM BE DF ==+=+，即EF BE DF =+．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出合适的辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．24．（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、，再顺次连接即可；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，连接两组对应点的连线的交点即为所求点.【详解】（1）如图，分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、,连接A B B C A C ''''''、、，则所得A B C '''为所求三角形；（2）如图，连接C C '''、A A '''相交于点O '、则点O '即为所求点.【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，解题的关键是看图. 25．（1）90°－12α；（2）①见解析；②∠ACD=10°．【分析】（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；（2）①由旋转的性质可得BC=BD，∠DBC=60°，所以△BCD为等边三角形，于是BD=CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD；②先由（1）求得∠ABC=70°，再由△BCD为等边三角形可得∠BDC=60°，于是可得∠ABD 的度数．【详解】解：(1)90°－1 2α∵ AB=AC，∴∠ABC=12（180°－∠BAC）=12（180°－α）=90°－1 2α(2)①线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD则BC=BD，∠DBC =60°∴△BCD为等边三角形∴ BD=CD在△ABD和△ACD中，∵AB =ACBD= CD，AD=AD∴△ABD≌△ ACD（SSS）②当α=40°时，∵ AB=AC，∠ACB =∠ABC =90°－12α=70°∵△BCD为等边三角形∴∠BCD =60°∴∠ACD = ∠ACB－∠BCD ＝ 10°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；【详解】（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ；（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，∴∠G=∠BDF ，∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，∴∠BDF=30°，∴∠G=30°，由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA=90°，∴∠CEA=90°，∵∠AED=60°，∴∠CED=30°=∠G ，∴CE=CG ，∴BD=CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CGF （AAS ），∴BF=FC ，即F 为BC 的中点．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

(人教版)济南市九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(答案解析)

(人教版)济南市九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(答案解析)

一、选择题1．如图，将等边ABC 绕点C 逆时针旋转得到A B C ''，旋转角为()060αα︒<<︒．若160BDA '∠=︒，则α的大小是（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°2．如图，把ABC 绕点C 顺时针旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若105A CB '∠=︒，则ACB '∠度数为（ ）A ．45︒B ．30C ．35︒D ．70︒3．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．234．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．()2,2-C ．()0,2-D ．()2,0- 5．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A ．内部B ．外部C ．边上D ．以上都有可能 6．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是( )A ．22B ．4C ．23D ．不能确定 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B 顺时针旋转90︒得到月牙②，则点A 的对应点A’的坐标为 （ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（4，2）D ．（1，2） 8．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D ，E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF ，连接DF ，则下列结论中有( )个是正确的．①∠DAF=45° ②△ABE ≌△ACD ③AD 平分∠EDF ④222BE DC DE +=A ．4B ．3C ．2D ．19．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定10．如图，把△ABC 绕着点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，∠1＝30°，则∠BAE ＝（ ）A ．10°B ．30°C ．40°D ．70° 11．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．1 12．如图,已知△ABC 与△CDA 关于点O 成中心对称,过点O 任作直线EF 分别交AD,BC 于点E,F,则下则结论:①点E 和点F,点B 和点D 是关于中心O 的对称点;②直线BD 必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等;⑤△AOE 与△COF 成中心对称.其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．14．如图．面积为8的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，点A 表示实数2-，正方形ABCD 绕点A 旋转时，顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________15．如图，直角ABC 中，60ACB ∠=︒，在水平桌面上ABC 绕C 点按顺时针方向旋转到ECD 位置，且点B 、C 、E 在一条直线上，那么旋转角是______度．16．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到COD △，若15AOB ∠=︒，则BOC ∠=______度．17．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点A 顺时针旋转到111A B C △的位置，点B ，O （分别落在点1B ，1C 处，点1B 在x 轴上，再将11AB C △绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，再将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…，若点(3,0),(0,4),5A B AB =，则点2021B 的坐标为________．19．如图，点E 在正方形ABCD 的边CB 上，将DCE 绕点D 顺时针旋转90˚到ADF 的位置，连接EF ，过点D 作EF 的垂线，垂足为点H ，于AB 交于点G ，若4AG =，3BG =，则BE 的长为___________．20．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．三、解答题21．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．23．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一点，将AEC 以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC △，AD 的延长线交线段BF 于点P ．探究线段EP ，FP ，BP 之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP BF ⊥；特例探究（2）如图2，当CE 垂直于AD 时，求证：2EP FP BP +=；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1，1），B （4，1），C （3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．25．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（3，﹣1）、C（2，2），格中每一格表示一个单位长度，请解答以下问题：（1）求作出△ABC；（2）将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，A、B的对应点分别为A1，B1，请作出平移后的△A1B1O，并直接写出平移的距离为；（3）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB2C2，B、C的对应点分别为B2、C2，请作出△AB2C2，并求出B2、C2点的坐标．26．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（4、4），B（－2，2），C（3，0），（1）画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'（2）写出 A'，B'，C'三点的坐标．（3）把每个小正方形的边长看作1，试求△ABC的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用旋转的性质结合等边三角形的性质和三角形外角的性质，可得出答案；【详解】解：如图，∵ABC 和A B C ''均为等边三角形，∴60A A '∠=∠=︒由旋转得，旋转角为ACA α'∠=,∵160BDA '∠=︒∴160DOA A ''∠+∠=︒∴100DOA '∠=︒∵DOA COA '∠=∠，180ACA CAA COA ''∠+∠+∠=︒∴20ACA '∠=︒∴α的大小是20° 故选：A【点睛】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质和三角形外角的性质等知识，正确掌握旋转的性质是解题关键．2．C解析：C【分析】先根据旋转的定义可得35BCB ACA ''∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】由旋转的定义得：BCB '∠和ACA '∠均为旋转角，35BCB ACA ''∴∠=∠=︒，105A CB '∠=︒，35ACB BCB A A CB CA '''∠=∠-∠'∴∠-=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键．3．A解析：A【分析】由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC ∆≌EDB ∆，∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，∴O 为DE 中点，∴OB=OE ，∴∠OBE=∠E ，∴∠OBE=∠A ，∴AF=BF ，设AF=BF=x ，则CF=4-x ，∵222BC CF BF +=，∴2223(4)x x +-=， ∴258x =， ∴258BF =， ∴257488EF BE BF =-=-=． 故选A ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4．C解析：C【分析】计算出前几次跳跃后，点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7的坐标，可得出规律，继而可求出点P 2013的坐标．【详解】解：∵点1P 与点O 关于点A 成中心对称，∴P 1(2，0)，过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，∴P 1B=P 2B ，在△P 1BO 和△P 2BD 中121212PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P 2(-2，2)，同理可求：P 3(0，-2)，P 4(2，2)，P 5(-2，0)，P 6(0，0)，P 7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵20136=335…3， ∴点P 2013的坐标为(0，-2)．故选C ．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．5．C解析：C【分析】 先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB 的交点到B 的距离也是2，与AB 的值相等，从而可以得出点A 在△D′E′B 的边上．【详解】∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，2，由三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，设△D′E′B 与直线AB 交于G ，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG=52，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C.6．C解析：C【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴∠BCQ=120°，∵点D是AC边的中点，∴CD=4，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ=30°，∴CQ=1CD=2，2∴22-=，4223∴DQ的最小值是3故选：C．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．7．B解析：B【详解】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（-2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．8．B解析：B【分析】①根据旋转的性质可得出∠BAE=∠CAF，由∠BAC=90°、∠DAE=45°可得出∠CAD+∠CAF=45°，即可判断①；②根据旋转的性质可得出△BAE≌△CAF，不能推出△BAE≌△CAD，即可判断②；③根据∠DAE=∠DAF=45°，根据角平分线定义即可判断③；④根据全等三角形的判定求出△AED≌△AFD，推出DE=DF，求出∠DCF=90°，根据勾股定理推出即可．【详解】∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；③∵∠EAD=∠DAF=45°，∴AD平分∠EAF，故③正确；④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，即BE2+DC2=DF2，在△AED和△AFD中，AD AD EAD DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ，∴BE 2+DC 2=DE 2，故④正确．故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．10．D解析：D【分析】先找到旋转角，根据∠BAE ＝∠1+∠CAE 进行计算．【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE ＝40°，所以∠BAE ＝30°+40°＝70°．故选D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．11．B解析：B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a 、b 的值即可.【详解】∵点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，∴a =﹣2，b =﹣1，∴a +b =﹣3.故选B.关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.12．D解析：D【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．【详解】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F；B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形ABCD是中心对称图形，正确；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为5个，故选D．【点睛】熟练掌握平行四边形的性质和中心对称图形的性质是解决此题的关键．二、填空题13．【分析】根据旋转的性质绕点顺时针方向旋转了90°则△POP´为等腰直角三角形且OP=OP´利用勾股定理求出OP的长进而可求得PP´的长【详解】解：∵绕点顺时针方向旋转使边落在x轴上∴∠POP´=∠A解析：【分析】根据旋转的性质，AOP绕点O顺时针方向旋转了90°，则△POP´为等腰直角三角形，且OP=OP´，利用勾股定理求出OP的长，进而可求得PP´的长．【详解】解：∵AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，∴∠POP´=∠AOA´=90°，OP=OP´,∴△POP´为等腰直角三角形，∵点P坐标为（3，4），∴=，5∴PP´=故答案为：本题考查了坐标与图形变换-旋转变换、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，结合旋转的角度得到△POP´为等腰直角三角形是解答的关键．14．或﹣【分析】先由正方形的面积公式求出AB=再根据点A表示实数即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数【详解】解：∵正方形ABCD的面积为8∴AB=∵点A表示实数∴顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示或﹣【分析】先由正方形的面积公式求出AB=A表示实数，即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为8，∴AB=∵点A表示实数，∴顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数为+或﹣﹣【点睛】本题考查了正方形的面积、实数和数轴、旋转的性质、算术平方根、二次根式的加减运算，理解实数与数轴的关系是解答的关键．15．120【分析】首先要确定旋转中心再找到一对对应点对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角求出这个角即可【详解】∵直角△ABC在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到△EDC的位置∴点B的对应点就是D点则旋转解析：120【分析】首先要确定旋转中心，再找到一对对应点，对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角，求出这个角即可．【详解】∵直角△ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△EDC的位置，∴点B的对应点就是D点，则旋转角等于∠BCD，又∵在直角△ABC中，∠ACB=60°，∴∠ACB=∠ECD=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题考查了旋转的性质，要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．解答此题要熟悉旋转的定义并熟练掌握旋转的性质．16．60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°且∠COD=∠AOB 再用∠BOD 加∠COD 即可【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ∴∠BOD=45°∠COD=∠AOB 又∵∠A解析：60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB ，再用∠BOD 加∠COD 即可．【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB ，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，故答案为60°．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质，解题的关键是找准旋转角以及对应的边．17．【分析】先由点在直线上求出m 的值然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可【详解】解：∵点在直线上∴2m=m+3∴m=3∴点A 坐标是（36）∴点（36）关于原点对称的点的坐标为 解析：(3,6)--【分析】先由点(,2)A m m 在直线3y x 上求出m 的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点(,2)A m m 在直线3y x 上，∴2m =m +3，∴m =3，∴点A 坐标是（3，6），∴点A （3，6）关于原点对称的点B 的坐标为（﹣3，﹣6）．故答案为：（﹣3，﹣6）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 18．【分析】先计算出的值再根据至的变化规律得到B 点的变化规律从而得到的坐标【详解】解：由题意可得：即由上可知从纵坐标为0不变横坐标变为：∵20=8+12×∴的横坐标为故答案为（121280）【点睛】本题解析：(12128,0)【分析】先计算出13B B ，的值，再根据1B 至 3B 的变化规律，得到B 点的变化规律，从而得到2021B 的坐标．【详解】解：由题意可得：()()()123,0,3503540A B C +++，，，， ()()2335430,354350A B +++++++，，，即()()()()()12233,0,80120150,200A B C A B ，，，，，，， 由上可知，从13B B →，纵坐标为0不变，横坐标变为：1222238843520B C C A A B +++=+++=，∵20=8+12×312-，∴2021B 的横坐标为 202118128101012121282-+⨯=+⨯=， 故答案为（12128，0）．【点睛】本题考查旋转的应用，根据旋转的性质找出相等的线段是解题关键． 19．【分析】连接EG 根据DG 垂直平分EF 即可得出EG=FG 设BE=x 则CE=7-x=AFFG=EG=11-x 再根据Rt △BEG 中BE2+BG2=EG2即可得到BE 的长【详解】解：如图所示连接EG 由旋转可解析：5611【分析】连接EG ，根据DG 垂直平分EF ，即可得出EG=FG ，设BE=x ，则CE=7-x =AF ，FG=EG=11-x ，再根据Rt △BEG 中，BE 2+BG 2=EG 2，即可得到BE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可知DCE ≌ADF ，∴DE=AF ，CE=AF ，∵DG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴DG 垂直平分EF ，∴EG=FG ， 设BE=x ，则CE=5-x =AF ，FG=EG=8-x ，∵∠B=90°，∴BE 2+BG 2=EG 2即2223(11)x x +=- 解得5611x =故答案为：5611【点睛】 本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20．90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得∴OB=O解析：90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD ，∴旋转的角度是∠BOD 的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°，故答案为： 90．【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．三、解答题21．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．【分析】（1）直接利用角的和差计算即可；（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义BON ∠,然后∠BOC-∠BON 即可求得CON ∠；（3）先求出∠BON ，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．【详解】（1）906525MOC MON BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为25°；（2）∵OC 是MOB ∠的角平分线，∴2265130MOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒，∴旋转角1309040BON MOB MON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，654025CON BOC BON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为40°，25°；（3）∵5NOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，∴70BON NOC BOC ∠=∠+∠=︒，∵点O 为直线AB 上一点，∴180AOB ∠=︒，∵90MON ∠=︒，∴180907020AOM AOB MON BON ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点A 、B 、C 关于点P 的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）成立．证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形的性质，可得△AEC ≌△BFC ，得到∠FBC=∠EAC ，再由三角形内角和证明AP ⊥BE 即可．（2）先证明四边形CEPF 是正方形，得到CE=FP ，再证明△CED ≌△BPD ，可得CE=BP ，则问题可证．（3）过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，则按照（1）中方法问题证．【详解】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，∴∠FBC=∠EAC．又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，∴∠BDP+∠FBC=90°，∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，∴AP⊥BE．（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，∴四边形CEPF是矩形．∵CE=CF∴四边形CEPF是正方形．∴CE=EP=FP．又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD，∴CE=BP．∴EP+FP=2CE=2BP．（3）成立．理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，∴∠CEG=∠CFH．∵∠CGE=∠CHF=90°，∴△CEG≌△CFH，∴CH=CG，EG=FH．∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，∴四边形CGPH是正方形．又（2）可知，GP+PH=2BP，∴EP+PF=2BP．【点睛】本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题．24．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点．25．（1）作图见解析；（2）22；（3）作图见解析；B2（﹣4，4），C2（﹣1，5）【分析】（1）根据点的坐标作出三角形即可；（2）分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（3）分别作出B，C的对应点B2、C2即可．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）如图△A1B1O即为所求，平移的距离为22；故答案为22．（3）如图△A B2C2即为所求B2、C2点的坐标分别为（﹣4，4），（﹣1，5）【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）见解析；（2）A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；++．（3）2101729【分析】（1）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A′B′C′；（2）结合直角坐标系可得出出A′，B′，C′三点的坐标；（3）根据勾股定理得到AB，AC，BC的长，相加即可求得△ABC的周长．【详解】解：（1）所画图形如下：（2）结合图形可得A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）22AB=+=6221022AC=+141722BC+=．2529.则△ABC的周长为2101729【点睛】此题考查了旋转作图及中心对称、勾股定理的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．。

九年级元月调考数学模拟试卷(三)

九年级元月调考数学模拟试卷(三)

九年级元月调考数学模拟试卷（三）编辑人：袁几 考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1．函数y=2+x 中，自变量x 的取值范围是( )A.x>-2 B ．x ≥-2 C.x≠-2 D.x≤-22．下列运算正确的是( )A ．3+2 =5B ．3×2=6C ． 2)13(-=3-1 D.2235- =5-33．已知关于x 的方程2x -kx-6=0的一个根为3，则实数k 的值为( ) A 。

1 B.-1 C.2 D ．—24．两圆的圆心距为3，两圆半径分别是方程2x -4x+3=0的两个根，则两圆的位置关系是( ) A 。

相交 B.外离C.内含 D ，外切5．下列事件中，必然事件是( )、A ．打开电视，它正在播广告B ．掷两枚质地均匀IC.早晨的太阳从东方升起D.没有水分，种子发芽6.下列五幅图是世博会吉祥物照片，质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则抽到2010年上海世博会吉祥物照片的概率是( ) A.21 B.31 C.41 D.517．下列图形中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )8.⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙O 上，则∠APB=( )A.30°B.45°C.55°D.60°9．武汉市2012年国内生产总值(GDP)比2011年增长了12%，由于受到国际金融危机的 影响，预计今年比2010年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x ﹪，则x%满足的关系是( )A.12%+7﹪=x%B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)C.12%+7%=2·x%D.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)210．如图，在△ABC 中，AB=AC,AB=8,BC=12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A.64π -127B.16π-32 ，C.16π-247D.16π -127 11.下列命题： ①若b=2a+21c,则一元二次方程a 2x +bx+c=O 必有一根为-2；②若ac<0, 则方程 c 2x +bx+a=O 有两个不等实数根； ③若2b -4ac=0, 则方程 c 2x +bx+a=O 有两个相等实数根； 其中正确的个数是（ ）A.O 个B.l 个C.2个 D 。

攀枝花市九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(有答案解析)

攀枝花市九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(有答案解析)

一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3) 3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形 4．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．305．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．6．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（）A．12B．51C．33D．3210．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（）A ．10°B ．30°C ．40°D ．70°12．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若点A 的坐标为(3,33)，经过点A ，作AB x ⊥轴于点B ，将ABO 绕点B 逆时针旋转60︒得到CBD ，则点C 的坐标为______，D 点坐标为______．14．在平面直角坐标中，点()1,2P -关于原对称的点的坐标为_______________________． 15．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．16．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．17．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．18．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．19．如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______．20．在平面直角坐标系中，点A （-5，b)关于原点对称的点为B （a ，6），则(a+b)2019=____．三、解答题21．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中作出△ABC 以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1C 1； （2）若点B 的坐标为(-3，5)，试在图中画出平面直角坐标系，并标出A ，C 两点的坐标． 22．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E （1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．23．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠=时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明24．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1，1），B （4，1），C （3，3）．（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2．26．如图1，AC ⊥CH 于点C ，点B 是射线CH 上一动点，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE （点D 对应点C ）．（1）延长ED 交CH 于点F ，求证：FA 平分∠CFE ；（2）如图2，当∠CAB ＞60°时，点M 为AB 的中点，连接DM ，请判断DM 与DA 、DE 的数量关系，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】根据绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得．【详解】绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将纵坐标变为相反数，A-，(3,1)故选：D ．【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律，熟练掌握绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律是解题关键．3．A解析：A【分析】根据轴对称及中心对称的概念，结合选项进行判断．【详解】A 、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；B 、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；C 、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；D 、等边三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．A解析：A【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．【详解】解：∵3120B A ∠=∠=︒∴120B ∠=︒，40A ∠=︒∵△ABC 绕点C 逆时针旋转80°得到△DEC ，∴∠D=∠A=40°，∠DEC=∠B=120°，∴∠DCE=180°-40°-120°=20°，∵∠DCA=80°∴∠α=∠DCA-∠DCE=80°-20°=60°．故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 5．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A是中心对称图形，故A正确；B是轴对称图形，故B错误；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．7．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.故选：D．【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 9．C解析：C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB 3CB ，即CB ：AB 3， 故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；故选B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.11．D解析：D【分析】先找到旋转角，根据∠BAE＝∠1+∠CAE进行计算．【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°．故选D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．12．D解析：D【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的14，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案．【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°，∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°，∴∠EOF＝∠MON，在△OEF和△OMN中EOF MON OE 0MOEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝14S 正方形CTKW ， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18， 故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．二、填空题13．（）【分析】如图作CE ⊥x 轴于E 点过点D 作DF ⊥x 轴于F 根据A 点坐标可得OBAB 的长利用旋转的性质得到BC ＝BABD=OB ∠ABC ＝60°∠OBD=60°则∠CBE ＝30°然后根据含30°角的直角三解析：33322⎛-⎝（32，33） 【分析】如图，作CE ⊥x 轴于E 点，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，根据A 点坐标可得OB 、AB 的长，利用旋转的性质得到BC ＝BA ，BD=OB ，∠ABC ＝60°，∠OBD=60°，则∠CBE ＝30°，然后根据含30°角的直角三角形三边的关系，在Rt △CBE 中计算出CE 和BE 的长，进而求出OE 的长，从而可得到C 点坐标；根据等边三角形的性质可得∠ODF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DF 、OF 的长即可得得D 坐标．【详解】如图，作CE x ⊥于点E ，∵(3,33)A ，AB x ⊥轴， ∴33AB =OB=3， 由旋转性质得：33BC AB ==60ABC ∠=︒，BD=OB=3，∠OBD=60°，∴30CBE ∠=︒，∴CE=123322BC CE -92=， ∴32OE BE OB =-=， ∴33322C ⎛- ⎝． ∵∠OBD=60°，OB=BD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DF ⊥x 轴，∴∠ODF=12∠ODB=30°， ∴OF=12OB=32，22OD OF -33 ∵将ABO 绕点B 逆时针旋转60︒得到CBD ，∴点D 在第四象限，∴点D 坐标为（32，33）， 故答案为：33322⎛-⎝，（32，33） 【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、等边三角形的判定与旋转及含30°角的直角三角形的旋转；图形或点旋转之后对应边相等、对应角相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握旋转的旋转是解题关键．14．【分析】关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数【详解】解：点P 的坐标是（1-2）则关于原对称的点的坐标为（-12）故答案为：（-12）【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标解决本题的关键是掌握解析：()1,2-【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：点P 的坐标是（1，-2），则关于原对称的点的坐标为（-1，2），故答案为：（-1，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．【分析】由旋转角∠BAB′=30°可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED 计算面积即可【详解】如图连接根据旋转角为可知在与中在中故答案为：【点解析：36-【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED ，计算面积即可．【详解】如图，连接AE ，根据旋转角为30，可知，30BAB '∠=︒，9060DAB ∴∠=︒-30︒='︒，在Rt ADE △与Rt AB E '中，AD AB AE AE '=⎧⎨=⎩()Rt ADE Rt AB E HL '∴△△≌，1302EAD B AD DAB '∴∠=∠=∠='︒， ∴在Rt ADE △中，6AD =，ED =11262ADE AD E S D ⋅∴=⨯=⨯=△2ADEB ADE S S '=∴=△，2636ABCD S ==正方形，36ADEB ABCD S S S '∴-==阴影正方形-故答案为：36123-．【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练添加辅助线，证明全等，灵活计算阴影面积是解题关键．16．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为 解析：5【分析】先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，1DE =，312CE CD DE ∴=-=-=，由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，180ABC ABE '∴∠+∠=︒，∴点,,E B C '在同一条直线上，134E C BE BC ''∴=+=+=，则在Rt ECE '中，22222425EE CE E C ''=++=， 故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．17．【分析】先根据旋转的性质可得再根据等边三角形的判定与性质可得然后根据线段的和差即可得【详解】由旋转的性质得：是等边三角形故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的判定与性质等知识点熟练掌握旋解析：1.8【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得4BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：4AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，4BD AB ∴==，5.8BC =，5.84 1.8CD BC BD ∴=-=-=，故答案为：1.8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．18．【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心以OB 为半径的圆上运动由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘可得对应点B 的坐标根据规 解析：(2,0)-【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB ， 由勾股定理得：2，由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 32，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45∘， ∴B 12),B 2(−1,1),B 32，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B2019的坐标为【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.19．【分析】如图连接CE′过B作BH⊥CE′于H根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝BD＝BE＝2根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′D′B＝BE′＝BD＝2根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠C【分析】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝BD＝BE＝2，根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′，D′B＝BE′＝BD＝2，根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠CBE′，利用SAS可证明△ABD′≌△CBE′，可得∠D′＝∠CE′B＝45°，可得出BH＝E′H＝2BE′，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得CE′的长.【详解】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝∴AB＝BC＝，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，在△ABD′和△CBE中AB BCABD CBE BD BE''=⎧⎪∠=∠''⎨⎪=⎩∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝2BE′，在Rt△BCH中，CH=∴CE′26【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题关键.20．-1【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数可得ab再根据负数的奇数次幂是负数可得答案【详解】解：点A（-5b）关于原点对称的点为B（a6）得a=5b=-6（a+b）2019=（-1）解析：-1【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【详解】解：点A（-5，b）关于原点对称的点为B（a，6），得a=5，b=-6．（a+b）2019=（-1）2019=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；A(0，1)，C(-3，1)【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△AB1C1即可；（2）根据B点坐标，作出平面直角坐标系，即可写出各点坐标．【详解】（1）解：旋转后图形如图所示（2）解：由B点坐标，建立坐标系如图所示，则A（0,1），C（-3,1）．【点睛】本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．=+；（3）1622．（1）见解析；（2）AD BE DE【分析】（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．【详解】证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD BE AD AF DF DE +=+==即AD BE DE +=；（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，又∵90ACB ︒∠=，∴90ACF BCF ︒∠+∠=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD AF DF BE DE =+=+，即AD BE DE =+；故答案为：AD BE DE =+．(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，∵2BCE ACD S S =△△∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，∴4AD =，∴16AE AD DE =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）45，见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．（3）结论：当∠PDO ＝45°时，总有ON ＝EP ．过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PH ⊥OA 于点H ，即可构造出△PHM ≌△NCP ，进而得PH ＝NC ，HM ＝CP ，设PH ＝DH ＝x ，MH ＝PC ＝y ，则OP ＝2x ，OC ＝OP ＋PC ＝2x ＋y ，由于点M 关于点D 的对称点为E ，即点D 为ME 中点，故ME ＝2MD ，EH ＝ME−MH ＝2x ＋y ，所以OC ＝EH ，通过证明△OCN ≌△EHP 证得ON ＝EP ．【详解】解（1）如图所示（2）设OPM α∠=线段PM 绕点P 顺时针旋转150得到线段PN150MPN ∴∠=，PM PN =150OPN MPN OPM α∴∠=∠-∠=-30AOB ∠=30AOB ∴∠=180********OMP AOB OPM αα∴∠=-∠-∠=--=-OMP OPN ∴∠=∠（3）当45PDO ∠=时，总有ON EP =，证明如下：过点P 作PC OD ⊥于点C过点N 作NF OB ⊥于点F ，如图90NFP PCM PCE ∴∠=∠=∠=OMP OPN ∠=∠180180OMP OPN ∴-∠=-∠即PMC NPF ∠=∠在PDM ∆与NCP ∆中PCM NFP PMC NPF PM NP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PCM NFP AAS ∴∆≅∆PC NF ∴=，CM FP =30AOB ∠=，22OP PC CD ==点M 关于点D 的对称点为EDE DM CM CD ∴==+2CE CD DE CM CD ∴=+=+OF CE ∴=在OFN ∆与ECP ∆中OF CE OFN ECP NF PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OFN ECP SAS ∴∆≅∆ON EP ∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（1）90°－12α；（2）①见解析；②∠ACD=10°． 【分析】（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC 的大小；（2）①由旋转的性质可得BC=BD ，∠DBC=60°，所以△BCD 为等边三角形，于是BD=CD ，再根据SSS 可得△ABD ≌△ACD ；②先由（1）求得∠ABC=70°，再由△BCD 为等边三角形可得∠BDC=60°，于是可得∠ABD 的度数．【详解】解：(1)90°－12α ∵ AB=AC ，∴∠ABC=12（180°－∠BAC）=12（180°－α）=90°－1 2α(2)①线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD则BC=BD，∠DBC =60°∴△BCD为等边三角形∴ BD=CD在△ABD和△ACD中，∵AB =ACBD= CD，AD=AD∴△ABD≌△ ACD（SSS）②当α=40°时，∵ AB=AC，∠ACB =∠ABC =90°－12α=70°∵△BCD为等边三角形∴∠BCD =60°∴∠ACD = ∠ACB－∠BCD ＝ 10°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点．26．（1）见解析；（2）2DM +3AD ＝DE ，证明见解析．【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．【详解】（1）如图1中，∵△ADE 由△ABC 旋转得到，∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF∴ACF ADF ≌(HL)，AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ； （2）结论：23DM AD DE +=，理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD ＝CD ＝AC ，∵∠ACF ＝90°，∠CAF ＝60°，∴∠AFC ＝30°，∴AD ＝AC ＝12AF ， ∴AD ＝DF ，∴D 为AF 的中点，又∵M 为AB 的中点，∴DM ＝12FB ，即FB=2DM在Rt△AFC中，FC AD，==+，DE CB FB FC∴+=FB FC DM2∴=．2DM DE【点睛】本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB是解题关键．。

上海控江中学附属民办学校九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(包含答案解析)

上海控江中学附属民办学校九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3) 3．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后得到ACP '△，如果AP =2，那么PP '的长等于（ ）A．32B．23C．22D．46．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕A逆时针转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ( )A．2 B．23C．4 D．不能确定7．下列命题的逆命题是真命题的是()A．等边三角形是等腰三角形B．若22ac bc>，则a b>C．成中心对称的两个图形全等D．有两边相等的三角形是等腰三角形8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕A B C，那么点A的对应点'A的坐标是（）．点C按逆时针方向旋转90°，得到△''A．（－3，3）B．（3，－3）C．（－2，4）D．（1，4）9．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种10．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A ．3B ．23C ．13D ．1511．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2 12．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．14．在直角坐标系中，已知()2,3A -，()10B ,，则点A 关于点B 的对称点A '的坐标为______．15．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．16．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．17．如图，在ABC 中，108BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为_______．18．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC ≌△DEF 关于点H 成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．19．如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′= °，∠AOB= ．20．如图，如果正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，连接DG ，那么∠DGE ＝________．三、解答题21．如图，已知△ABC 的顶点均在格点上，A (1，-4)，B (5，-4)，C (4，-1) 以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△111A B C ，并写出点1A ，1B ，1C 的坐标．22．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．23．如图1，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形， 90A ∠=︒，90E ∠=︒，DEF 的顶点D 恰好落在ABC 的斜边BC 中点，把ADEF 绕点D 旋转，始终保持线段DE 、DF 分别与线段AB 、AC 交于M 、N ，连接MN ．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把DEF 旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当//BC MN 时， ①通过计算BMD ∠和NMD ∠的度数，得出BMD ∠________NMD ∠（填>，<或=）； ②设22BC =，通过计算AM 、MN 、NC 的长度，其中NC =____，进而得出AM 、MN 、NC 之间的数量关系是_______．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM 、MN 、NC 之间的数量关系进行证明．24．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，直线AE ，BD 交于点F ．（1）如图1，当A ，C ，D 三点在同一直线上时，AFB ∠的度数为_____，线段AE 与BD 的数量关系为_____．（2）如图2，当ECD ∆绕点C 顺时针旋转α()0360α︒≤<︒时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．（3）若4AC =，3CD =，当ECD ∆绕点C 顺时针旋转一周时，请直接写出BD 长的取值范围．25．如图，已知ABC 和A B C ''''''△及点O ．（1）画出ABC 关于点O 对称的A B C '''；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．26．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）． （1）请画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的△A 1B 1C 1；（2）请画出△ABC 以点O 为对称中心的中心对称图形△A 2B 2C 2；（3）在x 轴上求作一点P ，使△PAB 的周长最小，请画出△PAB ，并直接写出点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；B 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；C 、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；D 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．D解析：D【分析】根据绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得．【详解】绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将纵坐标变为相反数，(3,1)A -，(1,3)A ，故选：D ．【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律，熟练掌握绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律是解题关键．3．D解析：D【分析】根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．4．B解析：B【分析】连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．【详解】解：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，∴CM=BM=1，PC=12A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】由旋转的性质可得出AP AP '=，B C AP AP '∠∠=，由90BAC ∠=︒可得90PAP '∠=︒，所以APP '是等腰直角三角形，由AP 的长度结合勾股定理计算出'AP 的长度即可．【详解】由旋转的性质可得：AP AP '==2，B C AP AP '∠∠=，∴BAP APC CAP APC '∠+∠=∠+，∴=90BAC PAP '∠=∠︒， ∴22222222PP AP AP ''+=+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，根据旋转的性质得出对应角的度数是解题关键． 6．B解析：B【分析】根据旋转的性质，即可得到∠ACQ =∠60B =°，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ 的最小值．【详解】解:由旋转可得∠ACQ=∠60B=°．因为点D是AC的中点，所以CD=4．当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时∠CDQ＝30︒．所以122CQ CD==，223422DQ=-=，所以DQ的最小值是23，故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．7．D解析：D【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．8．A解析：A【解析】解：△A′B′C的位置如图．A′（-3，3）．故选A．9．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．10．C解析：C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴2222+=+=BC CM3213∴13故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．11．B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选D．【点睛】考核知识点：中心对称图形的识别.二、填空题13．5【分析】将△BAC绕点B逆时针旋转60º易知△ABA′为等边三角形当AA′D 三点在一线时AD最大AD最大=AA′+A′D【详解】如图以点B为旋转心将△BAC 逆时针旋转60º后的图形为△BA′D连结解析：5．【分析】将△BAC绕点B逆时针旋转60º，易知△ABA′为等边三角形，当A、A′、D三点在一线时AD最大，AD 最大=AA′+A′D ．【详解】如图以点B 为旋转心，将△BAC 逆时针旋转60º后的图形为△BA′D ，连结AA′，BA=BA′，∠ABA′=60º，∴△BAA′为等边三角形，则AA′=BA=2，A′D=AC=3，当A 、A′、D 三点在一线时AD 最大，AD 最大=2+3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查AD 的最值问题，掌握旋转变换的性质，会用旋转变化构造等边三角形，使问题转化为两线段和最大问题使问题得以解决是关键．14．【分析】设点的坐标为（xy ）然后根据中心对称的点的坐标特点解答即可【详解】解：设点的坐标为（xy ）∵点是点关于点的对称点∴解得：x=4y=﹣3∴点的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形变化—解析：()4,3-【分析】设点A '的坐标为（x ，y ），然后根据中心对称的点的坐标特点解答即可．【详解】解：设点A '的坐标为（x ，y ），∵点A '是点A 关于点B 的对称点， ∴231,022x y -++==，解得：x =4，y =﹣3， ∴点A '的坐标为()4,3-．故答案为：()4,3-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化—对称，熟记对称点公式是解题的关键．15．【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC 再根据三角形内角和定理即可求得结论【详解】解：由旋转的性质得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC ∴∠AB 解析：1902α︒︒- 【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，再根据三角形内角和定理即可求得结论．【详解】解：由旋转的性质得，AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=18019022BAD α︒-∠=︒-︒ ∴∠ADE=1902α︒-︒． 故答案为：1902α︒-︒．【点睛】此题主要考查了运用旋转的性质求解，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键． 16．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键【分析】先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．【详解】由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，30BAC ∠=︒，1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，在1Rt ABC 中，1BC ===，【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 17．24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等找到角之间的关系再根据三角形内角和定理进行求解即可求出答案【详解】解：设=x°根据旋转的性质得∠C=∠=x°=AC=AB ∴∠=∠B ∵∴∠C=∠CA=x°∴∠解析：24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．【详解】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∠C=∠'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB.∴∠'AB B =∠B.∵AB CB ''=，∴∠C=∠CA 'B =x°.∴∠'AB B =∠C+∠CA 'B =2x°.∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，108BAC ∠=︒，∴x+2x+108=180.解得x=24.∴C '∠的度数为24°.故答案为24°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.18．（2-1）【分析】连接对应点ADCF 根据对应点的连线经过对称中心则交点就是对称中心H 点在坐标系内确定出其坐标【详解】解：如图连接ADCF 则交点就是对称中心H 点观察图形可知H （2-1）故答案为：（2-解析：（2，-1）【分析】连接对应点AD 、CF ，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H 点，在坐标系内确定出其坐标．【详解】解：如图，连接AD 、CF ，则交点就是对称中心H 点．观察图形可知，H （2，-1）．故答案为：（2，-1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H 点位置是解决问题的关键．19．30°110°【分析】根据旋转的性质得到利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可【详解】∵△AOB中∠B=30°将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′∠A′=40°∴∠B=∠B′=解析：30°， 110°【分析】根据旋转的性质得到，利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可．【详解】∵△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，∠A′=40°，∴∠B=∠B′=30°，∠A′=∠A=40°，则∠B′=30°，∠AOB=180°-∠A-∠B=110°．故答案为30，110．考点：旋转的变换20．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD可得△CDG是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD，可得△CDG是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，∴∠DCG=30°，CG=CD，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．三、解答题21．画图见详解；A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1）．【分析】根据网格结构找出点A、B、C关于坐标原点O的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可．【详解】解：△A1B1C1如图所示；A 1（-1，4），B 1（-5，4），C 1（-4，1）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．【分析】（1）直接利用角的和差计算即可；（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义BON ∠,然后∠BOC-∠BON 即可求得CON ∠；（3）先求出∠BON ，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．【详解】（1）906525MOC MON BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为25°；（2）∵OC 是MOB ∠的角平分线，∴2265130MOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒，∴旋转角1309040BON MOB MON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，654025CON BOC BON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为40°，25°；（3）∵5NOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，∴70BON NOC BOC ∠=∠+∠=︒，∵点O 为直线AB 上一点，∴180AOB ∠=︒，∵90MON ∠=︒，∴180907020AOM AOB MON BON ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．23．（1）①=；②2NC =AM NM NC +=；（2）AM NM NC +=，见解析【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD ≌△CND ，可得∠BMD=∠DNC ，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN；②由等腰三角形的性质可求=NC，再求出，-2，即可得结论；（2）在CN上截取CH=AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD=DH，∠ADM=∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN=HN，可得结论．【详解】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A=90°，∠E=90°，∴∠B=∠C=∠EDF=45°，AB=AC，，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B=45°=∠ANM=∠C，∠DMN=∠BDM，∴AM=AN，∴BM=CN，∵点D是BC中点，∴BD=CD，在△BMD和△CND中BM CNB C BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD=∠DNC，∵∠MDB=∠C+∠DNC=∠MDN+∠BDM，∴∠BDM=∠CND，∴∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN，故答案为：=；②∵，AB，∴AB=AC=2，∵∠BMD=∠CND=∠BDM，∴BD=BM=12，∴，∴，∵AM=AN，∠A=90°，∴，∴=NC，AM+MN=NC；（2）如图1，在CN上截取CH=AM，连接AD，DH，∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是BC 中点，∴AD=CD ，∠BAD=∠ACD=45°，AD ⊥BC ，又∵AM=CH ，∴△AMD ≌△CHD （SAS ），∴MD=DH ，∠ADM=∠CDH ，∵∠ADM+∠ADN=∠MDN=45°，∴∠ADN+∠CDH=45°，∴∠HDN=45°=∠MDN ，在△MDN 和△HDN 中DN DN MDN HDN DM DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△MDN ≌△HDN （SAS ），∴MN=HN ，∴NC=CH+NH=AM+MN ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（1）60︒，AE BD =；（2）（1）中结论仍成立；证明见解析；（3）17BD ≤≤．【分析】（1）利用等边三角形的性质证明△ACE ≌△BCD ，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明△ACE ≌△BCD ，得出AE BD =，23∠∠=，再根据三角形的内角和得出60AFB ∠=︒（3）当B 、C 、D 三点共线时得出BD 的最大和最小值，即可得出结论【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，AC BC ∴=，60ACB ∠=︒，ECD ∆是等边三角形，CE CD ∴=，60DCE ∠=︒，60ACB DCE ∴∠=∠=︒∴∠+∠=∠+∠ACB BCE DCE BCE ， 即ACE BCD ∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE BCD ∴∆≅∆，AE BD ∴=，CAE CBD ∠=∠， ∠=∠+∠AFB CAE BDC ，且60ACB ∠=︒ 60∴∠=∠+∠=∠=AFB CBD BDC ACB （2）（1）中结论仍成立证明：ABC ∆是等边三角形， AC BC ∴=，60ACB ∠=︒，ECD ∆是等边三角形，CE CD ∴=，60DCE ∠=︒，60ACB DCE ∴∠=∠=︒11ACB DCE ∴∠+∠=∠+∠， 即ACE BCD ∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE BCD ∴∆≅∆，AE BD ∴=，23∠∠=，32AFB ACB ∠+∠=∠+∠，且60ACB ∠=︒ 60AFB ∴∠=︒（3）ABC ∆是等边三角形，4AC BC ∴==，当旋转α=60︒时，B 、C 、D 三点共线，此时BD=BC+CD=7 当旋转α=240︒时，B 、C 、D 三点共线，此时BD=BC-CD=1 ∴17BD ≤≤．【点睛】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．25．（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、，再顺次连接即可；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，连接两组对应点的连线的交点即为所求点.【详解】（1）如图，分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、,连接A B B C A C ''''''、、，则所得A B C '''为所求三角形；（2）如图，连接C C '''、A A '''相交于点O '、则点O '即为所求点.【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，解题的关键是看图. 26．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，点P 的坐标（2，0）．【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可；（3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于点P ，连接PA ，此时PA+PB 的值最小．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图，点P 即为所求，点P 的坐标为（2，0）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2014武汉元调数学旋转作图题

2014武汉元调数学旋转作图题

图1CAOB图2B 1C 1A 1CAOB【前言】从2013年旋转作图分值为7分，重要性加强了。

这个题的特点是：人人都能动手做，得满分的确不多。

变化是：加入了尺规作图的相关知识，这是课本上所没有的，要加强训练。

主要考什么：图形的平移、对称、旋转（三大变换）作图，加入点的轨迹，引入计算，常见考察弧长与扇形面积的问题，考察图形的变化规律问题。

确保本题满分条件：耐心（慢慢画）+细心（仔细看）【2013元调】△ABC 为等边三角形，点O 是边AB 的延长线上一点（如图1），以点O 为中心，将△ABC 按顺时针方向旋转一定角度得到111A B C（1）若旋转后的图形如图2所示，将111A B C 以点O 为中心，按顺时针方向再次旋转同样的角度得到222A B C ，在图2中用尺规作出222A B C ，请保留作图痕迹，不要求写作法：（2）若将△ABC 按顺时针方向旋转到111A B C 的旋转角度为α(0°<α<360°)且AC ∥11B C ，直接写出旋转角度α的值为_____________ 分析：（1）关键在于尺规作图得到同样的旋转角度 ①以O 为圆心，OA 为半径作圆；②以1A 为圆心，1AA 为半径作圆，交圆O 于点2A ，连接2OA ，从而得到了相同的旋转角，原因是△1AOA ≌△12AOA （SSS ）； ③以O 为圆心，OB 为半径作圆，与2OA 的交点就是2B ；④分别以2B 、2A 为圆心，22A B 的长为半径作弧，二弧的交点就是2C （2）很容易得到答案60度，很容易漏掉240度得到111A B C 后，构造中心对称，得到222A B C 肯定也是符合条件的。

【2013四调】如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在网格的格点上，将△ABC 向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′，将△ABC 按一定规律顺次旋转，第1次，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△11A BC ，第2次，再将△11A BC 绕点1A 顺时针旋转90°得到△112A B C ，第3次，将△112A B C 绕点2C 顺时针旋转90°得到△222A B C ，第4次，将△222A B C 绕点2B 顺时针旋转90°得到△323A B C ，依次旋转下去。

上海鞍山初级中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测卷(包含答案解析)

上海鞍山初级中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°2．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．8 3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．306．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形 ）．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后得到△，如果AP=2，那么PP'的长等于（）ACP'A．32B．23C．22D．48．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种11．若点A（3－m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（－3，2），则m，n的值为（）A．m=－6，n=－4 B．m=O，n=－4C．m=6，n=4 D．m=6，n=－412．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题13．如图，将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转30°，得到Rt ADE △，点E 恰好落在斜边AB 上，连接BD ，则BDE ∠=______．14．如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为_________．15．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．16．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．17．如图，已知EAD 32∠=，ADE 绕着点A 旋转50后能与ABC 重合，则BAE ∠=________度．18．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转_____次，每次旋转_____度形成的．19．在平面直角坐标系中，点A （-5，b)关于原点对称的点为B （a ，6），则(a+b)2019=____．20．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．三、解答题21．有这样一个问题：探究函数的图象()()2)3(1y x x x =---与性质．小东对函数()()23()1y x x x =---的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数()()23()1y x x x =---的自变量x 的取值范围是全体实数；（2）下表是y 与x 的几组对应值．x… －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … y…m－24－662460…m =②若()(),720,11,720M n N -为该函数图象上的两点，则n =（3）在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象上的最低点．①直线1y y =-与该函数图象的交点个数是②根据图象，直接写出不等式()()12()30x x x --->的解集．22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________． （2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．23．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC 和△DEF ，将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ．（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AF 与CD 的数量关系是_______；（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到AB C ''．（1）在正方形网格中，画出AB C ''； （2）求线段CC '的长度．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)．（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，请在图中画出△A B C '''． （2）以点O 为对称中心，画出与△ABC 对称的△A B C ''''''，并写出A B C ''''''、、的坐标．26．解下列方程：（1）x 2-2x-24=0 （2）用配方法解方程：x 2+6x ﹣1=0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ， ∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上， ∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形， ∴∠BDA=15B ∠=︒， ∴∠BAD=150°, ∵50CAD ∠=︒， ∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=， ∴65E ∠=. 故选：C 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．B解析：B 【分析】连接DP ，根据题意，得OP OD =，=60DOP ∠，从而得到120AOP COD ∠+∠=；再根据等边三角形和三角形内角和性质，得120AOP OPA ∠+∠=，从而得COD OPA ∠=∠，通过全等三角形判定，即可得到答案． 【详解】如图，点D 落在BC 上，连接DP∵线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ∴OP OD =，=60DOP ∠∴180120AOP COD DOP ∠+∠=-∠= ∵等边△ABC∴180120AOP OPA A ∠+∠=-∠= ∴COD OPA ∠=∠即：OP OD COD OPA A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴AOP CDO △≌△ ∴AP OC = ∵AC=8，AO=3 ∴5OC AC AO =-= ∴5AP OC == 故选：B ． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的性质，从而完成求解．3．A解析：A 【分析】根据轴对称及中心对称的概念，结合选项进行判断． 【详解】A 、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；B 、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；C 、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；D 、等边三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．D解析：D 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．5．A解析：A 【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答． 【详解】解：∵3120B A ∠=∠=︒ ∴120B ∠=︒，40A ∠=︒∵△ABC 绕点C 逆时针旋转80°得到△DEC ， ∴∠D=∠A=40°，∠DEC=∠B=120°， ∴∠DCE=180°-40°-120°=20°， ∵∠DCA=80°∴∠α=∠DCA-∠DCE=80°-20°=60°． 故选：A ． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．6．C解析：C【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42=6+43，故结论④错误．【详解】解：如图，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12323④错误；故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．7．C解析：C【分析】由旋转的性质可得出AP AP '=，B C AP AP '∠∠=，由90BAC ∠=︒可得90PAP '∠=︒，所以APP '是等腰直角三角形，由AP 的长度结合勾股定理计算出'AP 的长度即可．【详解】由旋转的性质可得：AP AP '==2，B C AP AP '∠∠=，∴BAP APC CAP APC '∠+∠=∠+，∴=90BAC PAP '∠=∠︒，∴PP '==．故选：C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，根据旋转的性质得出对应角的度数是解题关键． 8．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选B ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.故选：D．【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．11．B解析：B【解析】试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4.考点：原点对称12．D解析：D【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的14，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案．【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°，∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°，∴∠EOF ＝∠MON ，在△OEF 和△OMN 中EOF MON OE 0MOEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝14S 正方形CTKW ， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18， 故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．二、填空题13．【分析】先根据旋转的性质可得再根据直角三角形的性质可得然后根据等腰三角形的性质三角形的内角和定理可得最后根据角的和差即可得【详解】由旋转的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等腰三角形的性 解析：15︒【分析】先根据旋转的性质可得,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，再根据直角三角形的性质可得60ADE ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得75ABD ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，9060ADE DAE ∴∠=︒-∠=︒，,30AB AD DAE =∠=︒， ()1180752ABD ADB DAE ∴∠=∠=︒-∠=︒， 756015BDE ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14．48【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答【详解】如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为12和16菱形的面积∵是菱形 解析：48【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的两条对角线的长分别为12和16，菱形ABCD 的面积11216962=⨯⨯=， ∵O 是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD 是中心对称图形，∴OEG OFH ∆≅∆，四边形OMAH ≅四边形ONCG ，四边形OEDM ≅四边形OFBN ，∴阴影部分的面积11964822ABCD S ==⨯=菱形， 故答案为：48．【点睛】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键． 15．【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC 再根据三角形内角和定理即可求得结论【详解】解：由旋转的性质得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC ∴∠AB解析：1902α︒︒- 【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，再根据三角形内角和定理即可求得结论．【详解】解：由旋转的性质得，AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=18019022BAD α︒-∠=︒-︒ ∴∠ADE=1902α︒-︒． 故答案为：1902α︒-︒．【点睛】此题主要考查了运用旋转的性质求解，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键． 16．6【分析】连接PC 由直角三角形的性质及旋转的性质可得根据可进行求解【详解】解：连接PC 如图所示：在Rt △ABC 中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根据旋转的性质可得：∴∴PC=4∵CM=BM=2又∵即解析：6【分析】连接PC ，由直角三角形的性质及旋转的性质可得8A B AB ''==，4PC =，根据PM PC CM ≤+，可进行求解．【详解】解：连接PC ，如图所示：在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转的性质可得：8A B AB ''==，∴A P B P PC ''==，∴PC=4，∵CM=BM=2，又∵PM PC CM ≤+，即6PM ≤，∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线）；故答案为6．【点睛】本题主要考查旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理是解题的关键．17．【分析】根据旋转对称图形的定义解答【详解】解：∵△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合∴∠BAD=50°又∵∠EAD=32°∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°故答案为18【解析：18【分析】根据旋转对称图形的定义解答．【详解】解：∵△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，∴∠BAD=50°，又∵∠EAD=32°，∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°.故答案为18.【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转对称图形的定义解答.18．745【详解】解：利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案进而判断出基本图形和旋转次数与角度故如图所示的美丽图案可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转次每次旋转度形成的故 解析：7 45【详解】解：利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．故如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45．19．-1【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数可得ab 再根据负数的奇数次幂是负数可得答案【详解】解：点A （-5b ）关于原点对称的点为B （a6）得a=5b=-6（a+b ）2019=（-1）解析：-1【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a ，b ，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【详解】解：点A （-5，b ）关于原点对称的点为B （a ，6），得（a+b ）2019=（-1）2019=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．20．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4【分析】根据矩形的性质可以得到AC =90AC CAC ︒'=∠='，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度．【详解】解：∵CD=2，DA=2，∴根据矩形的性质可得AC ==由旋转的性质可得：90AC AC CAC ==∠'=︒'，∴4CC ='==，故答案为4．【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．三、解答题21．（2）①60-；②7n =-； （3）①2；②12x <<或3x >【分析】（2）①通过观察表格，（-2，m ），（6，60）关于 （2，0）成中心对称即可； ②由于M 与N 的函数值互为相反数，()(),720,11,720M n N -关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n 求出即可；（3）①由点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象的最低点，直线1y y =-与该函数图象的有一个交点()11,A x y ,与x <1部分还有一个交点即可； ②()()12()30x x x --->分四段讨论当x<1时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则，当1<x<2时，x-1，x-2，x-3， 判断符号即可则当2<x<3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则 当x>3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则即可求出 ()()12()30x x x --->的范围．（2）①通过观察表格，（-2，m ），（6，60）关于 （2，0）成中心对称，m=60-； ②()(),720,11,720M n N -为该函数图象上的两点，由于M 与N 的函数值互为相反数，()(),720,11,720M n N -关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n ，n=-7；（3）①由点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象的最低点直线1y y =-与该函数图象的有一个交点()11,A x y ,与x <1部分还有一个交点，直线1y y =-与该函数图象的有一个交点有2个；②()()12()30x x x --->，分四段讨论，当x<1时，x-1<0，x-2<0，x-3<0，三负，则()()12()30x x x ---<，当1<x<2时，x-1>0，x-2<0，x-3<0，两负一正，则()()12()30x x x --->，当2<x<3时，x-1>0，x-2>0，x-3<0，两正一负，则()()12()30x x x ---<，当x>3时，x-1>0，x-2>0，x-3>0，三正，则()()12()30x x x --->，()()12()30x x x --->的范围是12x <<或3x >．【点睛】本题考查多次函数的图像与性质，根据给定的表格找出函数图像关于点（2，0）中心对称是解题关键．22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒，90CGF FGB ∠+∠=︒，∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中，KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△，∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ， ∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =，∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．23．（1）AF ＝CD ；（2）成立，理由见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质和图形得出AB=DE ，DF=AC ，∠ABC=∠DEF ，根据SAS 证△ABC ≌△DEF ，推出BF=EC 即可；（2）根据全等三角形的性质推出AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，求出∠ABF=∠DEC ，根据SAS 证△ABF ≌△DEC ，即可推出答案．【详解】解：（1）AF=CD ，理由是：∵四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠DEF ，BF=EC ，在△ABC 和△DEF 中AB DE ABC DEF BF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴BF=EC ，∵AB=DE ，∴AF=CD ，故答案为：AF=CD ．（2）成立，理由是：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，∴∠ABF=∠DEC ，∵在△ABF 和△DEC 中AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEC （SAS ），∴AF=CD ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．24．（1）图见解析；（2）【分析】（1）先利用网格特点和旋转的性质画出点,C B ''，再顺次连接点,,A C B ''即可得； （2）利用旋转的性质、勾股定理即可得．【详解】（1）分以下三步：①先利用网格特点和旋转的性质画出点C '，②再利用旋转的性质可得,90B B A C BC AC CB '=∠'''=∠=︒，由此可画出点B '， ③顺次连接点,,A C B ''即可，如图中AB C ''即为所作：（2）由网格特点和旋转的性质得：4,90AC AC CAC ''==∠=︒， 则2242CC AC AC ''=+=，即线段CC '的长度为42．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析，()()()0,3,4,4,2,1A B C ''''''---【分析】（1）如图，分别连接OA 、OB 、OC ，根据网格特征在第一象限内作OA 、OB 、OC 的垂线，并使OA′=OA ，OB′=OB 、OC′=OC ，顺次连接A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出A 、B 、C 坐标，顺次连接A″、B″、C″，△A″B″C″即为所求；进而写出A″、B″、C″即可．【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）∵△A″B″C″与△ABC 以点O 为对称中心，∴点A 、B 、C 分别与A″、B″、C″关于原点对称，∵A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)，∴A″(0，-3)，B″(4，-4)，C″(2，-1)，∴△A″B″C″即为所求；【点睛】本题考查了利用旋转变换及中心对称作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．26．（1）x=-4，x=6；（2）x=﹣．【解析】试题分析：（1）把左边进行因式分解即可；（2）用配方法解方程即可．试题解：（1）（x+4）（x-6）=0，x=-4，x=6．（2）x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，x=﹣．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

旋 转
一、选择题
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C ． D ．
2．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的角度为( )
A. 120°
B.90°
C.60°
D.30°
3．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，
BE=CF ，连接AE 、BF.将△ABE 绕正方形的对角线交点D
按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是( )
A.45°
B. 120°
C.60°
D. 90°
4．如图，将△A0B 绕点D 按逆时针方向旋转450后得到△A ′0B′，
若∠A0B=15°，则∠A0B ′的度数是( )
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
5．将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDEF 重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点D 成中心对称的图形，若点A 的坐标是(1，3)，则点M 和点N 的坐标分别为( )
A.M(1,-3),N(-1,-3)
B.M( -1,-3),N(-1,3)
C.M(-1,3)，N(1,-3)
D.M(-1,-3)，N(1，-3)
第6题图 第7题图 第8题图
8．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°．∠B=30°，AC=1，则BB ′的长为( )
A.4 B ．33 C ．233 D ．433
9．如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F，G，则旋转后的图中，全等三角形共有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
第9题图第10题图
10．如图，D是正AABC内一点，0A=3，0B=4，00=5，将线段B0以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段B0′，下列结论：①△B0′A可以由△B0C绕点B逆时针旋转60°
得到；②点O与O′的距离为4；③1A0B=150°；④S四边形AOBO′=6+33；
⑤S△AOC+S△A0B=6+93
3
．其中正确的结论是( )
A.①②③⑤
B.①②③④
C.①②③④⑤
D.①②③
二、填空题
11.点P(2，3)绕着原点逆时针方向旋转90°与点P′重合，则P′的坐标为 .
第12题图第13题图第14题图
12．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D．则C′D= ．
13.如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°
到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是 .
14.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过
程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 .
三、解答题
15．经过什么样的图形变换可以把左边倾斜的圣诞树放在右边直立的位置？请画图并给出简要的文字说明．
16.实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，域两段相等的圆弧而成
的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形.
图1 图2 图3 图4
(1)请你仿照图1，用两段相等圆弧(小于或等于半圆)，在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
(2)以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．
17.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。

若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离；
(2)求∠APB的度数。

18.如图，点D是等边△ABC内一点，∠A0B=110°．∠B0C=α.将△B0C绕点C按顺时针
方向旋转60°得△ADC，连接0D.
(1)求证：△C0D是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△A0D的形状，并说明理由；
(3)探究：当α= 时，△A0D是等腰三角形．(直接写出结果)
19.在矩形ABCD中，AD=4，点P在AD上，且AP：PD=a：b．
(1)△PCD的面积&与梯形ABCP的面积&的比值为．
(用含a，b的代数式表示请直接写出)；
(2)将线段PC绕点P逆时针旋转900至PE，
求△APE的面积S(用含a，b的代数式表示)．。

相关文档
最新文档