第七章 静电场

E
er
r
q e ( r R ) 2 r E 4 0 r 0( r R )
q 4 0 R 2

O
R
r
7(14)
例7-7:【书P267例题7-8(1)】求均匀带电球体的电场分布。已 知R，q 。 （设q＞0） 解：电荷分布的球对称性 电场分布的球对称性 选取同心球面为“高斯面”
§7-3 静电场的高斯定理 （重点、难点）
一、静电场的高斯定理
e
S
E dS
q内
0
二、高斯定理的应用 （重点、难点）
解题步骤：
e
S
E dS
q内
0

E
重点：选择一个合适的闭合曲面作为高斯面
要求：高斯面首先应是通过待求场强点的闭合面，其次高斯 面上各点的场强应大小处处相等，方向与高斯面正交；若有的地 方场强大小不等，或不能肯定相等，则应使这部分高斯面上的场 强与高斯面相切。
7(2)
§7-2
静电场 电场强度
（SI）V/m ；1V/m = 1N/c
F 定义场强： E = q0
一、点电荷的场强
F 1 qq0 er 2 4πε0 r
F E q0
E
1 q e 2 r 4πε0 r
7(3)
二、电场强度的计算
1. 点电荷系的场强计算
上 下 侧
r
h
h 0 ( r R ) 0 0 E dS E 2 rh 2 2 侧 hr 0 R r R )
2 r er ( r R ) 0 E r e r R ) 2 0 R 2 r
E
2 0 R
O
R
7(17)
r
讨 论：
1）无限长均匀带电圆柱面的场强分布为：
( r R ) E 2 0 r 0 r R )
2）电荷是面分布的，在带电面上场强有突变。 电荷是体分布的，场强连续。
7(18)
例7-9:（书P268例题7-9）求无限大均匀带电平面的场强分布。设 带电平面的电荷面密度为σ。
x R 2 2 1/ 2 1 2 (R x ) x
2 1 2
σ 无限大均匀带电平面的场强（匀强电场） 2 ε0
1 R 1 2 x
2
σR 2 q E i i 2 2 4 ε0 x 4πε0 x
（可视为点电荷的电场）
讨 论：
en

S
(1) 电通量对应于一定的面或面元，既不是矢量，也不是点函数。 (2) 电通量是代数量，其正负是相对的。（取决于所取面元的正法线方向） (3) 对闭合面，统一规定由内向外的法向为正法向，故： e S E d S = 净穿出闭合面的电场线条数。
7(12)
7(16)
例7-8:（书P269例题7-10）求无限长均匀带电直线的场强分布。设 带电直线的电荷线密度为λ。（半径为R）
解：电荷分布的柱对称性 电场分布的柱对称性
选取上下封底的同轴圆柱面为“高斯面”
R

EdS EdS EdS E dS
R x
r

P dE
dE dE
θ
x
z
7(6)
由对称性可知： E d E 0
E E i dE i dE cos i
x i 2 4 0 r r dq
即
E
qx i 2 2 32 4 0 ( x R )
y
R dθ
dl
dE
dq sin d 0 4 0 R 4 0 R 2
x
dE x dE cos dE y dE sin
2 sin E x dE x 0 cos d 0 0 4 0 R 2 sin E y dE y 0 sin d 0 0 4 0 R 4 0 R
2πσx R rdr E dE 4πε0 0 ( r 2 x 2 )3 / 2
r
dr
x

σ 2 ε0
x 1 2 ( R x 2 )1 / 2
7(9)
σ E 2 ε0
x 1 ( R 2 x 2 )1 / 2
讨 论：
1. 当 R x, E 2. 当 R x,
7(4)
2. 连续带电体的场强计算
（重点、难点！）
思路：在连续带电体上取电荷元 dq ，视为点电荷，
则：d E
dq e 2 r 4πε0 r
dl e L 4 r 2 r 0 ds E e s 4 r 2 r 0 dV E e V 4 r 2 r 0
E
7(5)
dq 分布 ; 根据叠加原理： 线 dl dq dq E d E e 面分布 ; 2 r 4 0 r ds dq 体分布 ; dV
例7-2:（书P259例题7-6）在Oyz平面内有一半径为R的圆环，均匀带
2
dx
l+r-x

4πε0 l r x
∵所有的dF 都沿x方向，则矢量叠加可化为标量求和
F 0 dF
l
Qq l Qq 1 Qq dx ( 1 )= 4πlε0 0 ( l r x )2 4πlε0 r l r 4πε0 r ( l + r )
当Q与q 同号时， F沿x轴正向；反之， F 沿x轴负向。
0 E Ex i E y j j 4 0 R
7(11)
三、电场强度通量（电通量）
定义： d e EdS EdS cos E d S
d S dSen
E

S
dS
对任意曲面积分： ψ e S E d S 对闭合曲面积分： ψe S E d S
讨 论：
1) x R E
2) x 0 E 0
3) E 的方向取决于q,x的符号。
7(7)
q 4 0 x 2
i （点电荷模型的相对性）
例7-3:（书P258例题7-5）设有一均匀带电直棒，长度为L，总电荷 量为q，线外一点P离开直棒的垂直距离为a， P点和直棒的两端的 连线与直棒之间的夹角θ1和θ2。求P点的场强。
E
q 4 0 R 2
O
R
r
7(15)
总 结：
1）一均匀带电球面和球体在球外激发的场强相当于所带 电荷集中在球心处的一个点电荷所激发的场强一样。
2）一个均匀带电球面内部各点场强处处为零； 而一个均匀带电球体内部各点场强正比于r。
3）均匀带电球面上场强不连续，有突变； 而均匀带电球体表面（r =R处）的场强是连续的。
左 右
侧
ES ES 0 2ES
q内 0 S 0
E E
E 2 0
P
a
a
S
P
7(19)
例7-10：求互相平行放置的面密度分别为〒σ的两个无限大均匀带 电板之间的电场分布。
解：设水平向右为x轴正向
由上例可知：
EL i 2 0 ER i 2 0
此例题不用会计算，只要记住以下结论：
en
对“无限长”带电直线
Ex 0
Ey
a a
2 0 a
E
en （柱对称性） 2 0 a
en
7(8)
例7-4:（书P260例题7-7）试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心O相距 为x的任一给定点P处的场强。设盘半径为R，电荷面密度为σ。
7(10)
例7-5:（练习六计2）半径为R的带电细圆环，电荷线密度 心O处的电场强度。
解：如图在细圆环上取长度为dl 的线元
dq dl 0 sin Rd
dE x O θ dE y dE
λ λ0 sinθ
（式中λ0为正常数，θ为细圆环半径R与x轴的夹角）。求细圆环中
解：在圆盘上任取一半径为r，宽度为dr的细圆环 dq σ 2πrdr
E qx 4πε0 ( R2 x 2 )3 / 2
P259例7-6
R P
dE
x 2 rdr xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r 2 x 2 )3 / 2 4 0 ( r x )
第七章 静止电荷的电场 — 静电场
§7-1 电荷 库仑定律
一、库仑定律
q1q2 F 21 F 12 e 2 r 21 4πε0 r21
F Fi
二、 静电力的叠加原理
注意：在利用库仑定理解题时，先用标量式求出 静电力的大小，再根据具体情况判断力的方向。
7(1)
例7-1 一均匀带电细棒，长为l，带电量为Q。另一点电荷q位于细棒的 延长线上，与细棒的近端相距为r ，求此点电荷所受到的库仑力。 l 解：在带电棒任取一长度为dx，坐标为
o
x
r
q
x
x的一段视为点电荷dq ，则
dF dq q 4πε0 l r x
2
dq
( Q l )dx q
i
L:左侧 R:右侧
ER E R
EL
EL i 2 0 ER i 2 0
7(13)
例7-6:【书P267例题7-8(2)】求均匀带电球面的电场分布。已 知R，q 。 （设q＞0） 解：电荷分布的球对称性 电场分布的球对称性 选取同心球面为“高斯面”